Sageli lihtsalt mainimine diferentsiaalvõrrandid tekitab õpilastes ebamugavust. Miks see juhtub? Kõige sagedamini seetõttu, et materjali põhitõdede õppimisel tekib teadmistes lünk, mille tõttu muutub difuuride edasine uurimine lihtsalt piinamiseks. Pole selge, mida teha, kuidas otsustada, kust alustada?
Siiski püüame teile näidata, et difuurid pole nii keerulised, kui tundub.
Diferentsiaalvõrrandite teooria põhimõisted
Kooliajast teame lihtsamaid võrrandeid, milles peame leidma tundmatu x. Tegelikult diferentsiaalvõrrandid neist vaid veidi erinev – muutuja asemel X peate leidma neis funktsiooni y(x) , mis muudab võrrandi identiteediks.
D diferentsiaalvõrrandid omavad suurt praktilist tähtsust. See ei ole abstraktne matemaatika, millel pole mingit seost meid ümbritseva maailmaga. Paljusid reaalseid looduslikke protsesse kirjeldatakse diferentsiaalvõrrandite abil. Näiteks stringi võnked, harmoonilise ostsillaatori liikumine, kasutades diferentsiaalvõrrandeid mehaanika ülesannetes, leiavad keha kiiruse ja kiirenduse. Samuti DU leida lai rakendus bioloogias, keemias, majanduses ja paljudes teistes teadustes.
Diferentsiaalvõrrand (DU) on võrrand, mis sisaldab funktsiooni y(x), funktsiooni enda, sõltumatute muutujate ja muude parameetrite tuletisi erinevates kombinatsioonides.
Diferentsiaalvõrrandid on mitut tüüpi: tavalised diferentsiaalvõrrandid, lineaarsed ja mittelineaarsed, homogeensed ja mittehomogeensed, esimest ja kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid, osadiferentsiaalvõrrandid jne.
Diferentsiaalvõrrandi lahendus on funktsioon, mis muudab selle identiteediks. Kaugjuhtimispuldil on üldised ja erilahendused.
Diferentsiaalvõrrandi üldlahendus on lahenduste üldkogum, mis muudab võrrandi identiteediks. Diferentsiaalvõrrandi osalahend on lahendus, mis vastab algselt määratud lisatingimustele.
Määratakse kindlaks diferentsiaalvõrrandi järjekord kõrgeim järjekord selles sisalduvad derivaadid.
Tavalised diferentsiaalvõrrandid
Tavalised diferentsiaalvõrrandid on võrrandid, mis sisaldavad ühte sõltumatut muutujat.
Vaatleme lihtsaimat tavalist diferentsiaalvõrrandit esimene tellimus. See näeb välja nagu:
Sellise võrrandi saab lahendada lihtsalt selle parema külje integreerimisega.
Selliste võrrandite näited:
Eraldatavad võrrandid
Üldiselt näeb seda tüüpi võrrand välja järgmine:
Siin on näide:
Sellise võrrandi lahendamisel peate muutujad eraldama, viies selle vormile:
Pärast seda jääb alles mõlemad osad integreerida ja lahendus leida.
Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid
Sellised võrrandid näevad välja järgmised:
Siin on p(x) ja q(x) mõned sõltumatu muutuja funktsioonid ning y=y(x) on soovitud funktsioon. Siin on näide sellisest võrrandist:
Sellise võrrandi lahendamisel kasutavad nad enamasti suvalise konstandi muutmise meetodit või esitavad soovitud funktsiooni kahe teise funktsiooni y(x)=u(x)v(x) korrutisena.
Selliste võrrandite lahendamiseks on vaja teatud ettevalmistusi ja neid on üsna keeruline "ühe pilguga" võtta.
Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamise näide
Niisiis vaatasime lihtsamaid kaugjuhtimispuldi tüüpe. Vaatame nüüd ühe neist lahendust. Olgu selleks eraldatavate muutujatega võrrand.
Esmalt kirjutame tuletise tuttavamal kujul ümber:
Seejärel jagame muutujad, see tähendab, et võrrandi ühes osas kogume kõik "mina" ja teises - "X":
Nüüd jääb üle mõlemad osad integreerida:
Integreerime ja saame ühine otsus sellest võrrandist:
Muidugi on diferentsiaalvõrrandite lahendamine omamoodi kunst. Peate suutma aru saada, mis tüüpi võrrandiga on tegu, ning õppima ka nägema, milliseid teisendusi tuleb sellega teha, et viia ühele või teisele vormile, rääkimata lihtsalt eristamis- ja integreerimisvõimest. Ja DE lahendamise õnnestumiseks on vaja harjutamist (nagu kõiges). Ja kui teil on Sel hetkel teil pole aega aru saada, kuidas diferentsiaalvõrrandeid lahendatakse, või on Cauchy probleem nagu luu kurku kinni jäänud või te ei tea, võtke ühendust meie autoritega. Lühikese ajaga pakume Sulle valmis ja detailse lahenduse, mille detailidest saad aru igal Sulle sobival ajal. Seniks soovitame vaadata videot teemal “Kuidas lahendada diferentsiaalvõrrandeid”:
Las X 1, X 2, ..., X n- muutujate x antud funktsioonid 1, x 2, ..., x n.
Lineaarse homogeense esimest järku osadiferentsiaalvõrrandi lahendamiseks:
on vaja lahendada tavaliste diferentsiaalvõrrandite süsteem (karakteristiku võrrand):
:
Järgmisena peate esitama lahenduse kujul:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 1,
φ 2 (x 1, x 2, ..., x n) = C 2,
..................
φ n- 1 (x 1, x 2, ..., x n) = C n-1,
kus C k on konstandid.
Siis saame kohe üldise lahenduse:
,
kus F on n - suvaline funktsioon 1
argumendid.
Kui teil on vaja saada konkreetne lahendus teatud piirtingimustega, peate asendama muutujate väärtused piirtingimustest üldlahendusega ja leidma funktsiooni F kuju.
Esimest järku lineaarsed ebahomogeensed osadiferentsiaalvõrrandid
Las X 1, X2, ..., X n+1- muutujate x antud funktsioonid 1, x 2, ..., x n ja z.
Lineaarse ebahomogeense esimest järku osadiferentsiaalvõrrandi lahendamiseks:
,
on vaja lahendada karakteristikute võrrand:
.
Selle süsteemi lahendus peab olema esitatud kujul järgmine vorm:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 1,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 2,
..................
φn (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C n.
Pärast mida saame kohe kaudsel kujul üldise integraali:
kus F on suvaline funktsioon. Üldintegraali saab esitada ka kujul erinevaid valikuid, Näiteks:
φ 1 = F(φ 2, φ 3, ..., φ n),
φ 2 = F(φ 1, φ 3, ..., φ n),
jne.
Näited lineaarsete esimest järku osadiferentsiaalvõrrandite lahendustest
Homogeenne võrrand
Ülesanne
Leidke esimest järku lineaarse homogeense osadiferentsiaalvõrrandi üldlahendus ja lahendage Cauchy ülesanne määratud piirtingimusega:
,
aadressil .
Lahendus
See on esimest järku lineaarne homogeenne osadiferentsiaalvõrrand. Koostame tunnuste võrrandi:
See karakteristikute võrrand sisaldab kolme võrrandit:
;
;
.
Peame valima ja lahendama neist kaks. Siis tehakse kolmas automaatselt.
Valime ja lahendame esimese võrrandi:
Siin on muutujad juba eraldatud, integreerime:
tabeli integraalid,
Tugevdame:
Siit
Või:
integreeriv tegur. Korrutage x -1-ga ja teisendage:
Integreerime:
Asendame eelnevalt saadud avaldise C 1 = x y 2:
Algse osadiferentsiaalvõrrandi üldine lahendus on:
kus F on kahe argumendi F(φ 1, φ 2) suvaline funktsioon. Leiame selle kuju piirtingimusest
aadressil .
Kaalume lahendust piiril.
Paneme x y = -1:
Siit
Piiri peal
.
F (φ 1, φ 2) = φ 1 φ 2.
Sellel on kogu piirkonnas sama välimus.
Asendamine
;
,
saame esialgse osadiferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse antud piirtingimusega:
Vastus
Ühine otsus:
kus F on kahe argumendi F suvaline funktsioon (φ 1, φ 2).
Privaatne lahendus:
Mittehomogeenne võrrand
Ülesanne
Leidke pind, mis seda võrrandit rahuldab
,
ja antud ringi läbimine x + y + z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = a 2.
Lahendus
See on esimest järku lineaarne ebahomogeenne osadiferentsiaalvõrrand. Koostame tunnuste võrrandi:
See sisaldab kolme võrrandit:
;
;
.
Peame valima ja lahendama neist kaks. Siis rahuldatakse kolmas automaatselt. Valime esimese ja teise võrrandi.
Lahendame võrrandi:
Korrutage 2 z-ga ja integreerige:
tabeli integraalid,
Tugevdame:
Siit
x = C 1a
Asendame teise võrrandiga:
Või:
Siis me märkame seda
See on lineaarne võrrand. Lahendame integreeriva teguri abil. Jagage y 2-ga ja teisendage:
Integreerime:
Asendame varem saadud avaldise ja teisendame:
Niisiis, oleme leidnud kaks omaduste võrrandi integraali:
Edasiste arvutuste hõlbustamiseks tuleb arvestada, et ka konstandi funktsioon on konstantne. Seetõttu kirjutame integraalid kujul:
Algse osadiferentsiaalvõrrandi üldine integraal on kujul:
F (φ 1, φ 2) = 0
Kuid kuna F on kahe argumendi suvaline funktsioon, saab üldise integraali kirjutada ka järgmisel kujul:
φ 1 = F(φ 2),
kus F on ühe argumendi suvaline funktsioon.
Leiame selle funktsiooni kuju, kaalub lahendust piiril.
Piiril x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Võrrandist x + y + z = 0, z = - (x+y). Asendage x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ja teisendage:
x2+y2+ (x + y) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Jagades y 2-ga, saame
Niisiis, me leidsime, et piiril:
.
Asendame üldise integraali avaldisega:
φ 1 = F(φ 2)
.
Teeme asendus
:
.
Niisiis leidsime, et piiril on funktsioonil F vorm:
.
Sel juhul on see kogu piirkonnas ühesugune
.
Asendame φ 1 ja φ 2 avaldised:
.
Korrutame 2 y 2-ga.
Mõelge suhteliselt lihtsale osalisele diferentsiaalvõrrandile:
Klassifikatsioon
Mõõtmed
Võrdne sõltumatute muutujate arvuga. Peab olema vähemalt 2 (1 korral saadakse tavaline diferentsiaalvõrrand).
Lineaarsus
On lineaarsed ja mittelineaarsed võrrandid. Lineaarvõrrandit saab esitada tundmatute funktsioonide tuletiste lineaarse kombinatsioonina. Koefitsiendid võivad olla kas konstandid või teadaolevad funktsioonid.
Lineaarvõrrandid on lahendamiseks hästi uuritud üksikud liigid jagati miljonidollarilisi auhindu mittelineaarsete võrrandite eest (Millennium Problems).
Ühtsus
Võrrand on ebahomogeenne, kui on olemas termin, mis ei sõltu tundmatutest funktsioonidest.
Telli
Võrrandi järjekorra määrab tuletise maksimaalne järjekord. Kõigi muutujate järjekord on oluline.
Teist järku võrrandite klassifikatsioon
Teist järku lineaarsed osadiferentsiaalvõrrandid liigitatakse paraboolseteks, elliptilisteks ja hüperboolseteks.
Teist järku lineaarvõrrand, mis sisaldab kahte sõltumatut muutujat, on järgmine:
Kus A, B, C- muutujatest sõltuvad koefitsiendid x Ja y, ja ellips tähendab termineid sõltuvalt x, y, u ja esimest järku osatuletised: ja . See võrrand on sarnane koonilise lõigu võrrandiga:
Nii nagu koonilised lõigud jagatakse olenevalt diskriminandi märgist ellipsideks, paraboolideks ja hüperboolideks, klassifitseeritakse ka teist järku võrrandid antud punktis:
Juhul kui kõik koefitsiendid A, B, C- konstandid, võrrand on muutujate tasandi kõigis punktides sama tüüpi x Ja y. Kui koefitsiendid A, B, C sõltuvad pidevalt x Ja y, moodustab punktide kogum, milles see võrrand on hüperboolset (elliptilist) tüüpi, tasapinnal avatud piirkonna, mida nimetatakse hüperboolseks (ellipsiks), ja punktide kogum, milles võrrand on paraboolset tüüpi, on suletud. Võrrandit nimetatakse segatud (segatüüpi ), kui mõnes tasandi punktis on see hüperboolne ja mõnes punktis elliptiline. Sel juhul moodustavad paraboolpunktid tavaliselt sirge nimega tüübi muutmise rida või degeneratsiooni joon.
IN üldine juhtum, kui teist järku võrrand sõltub paljudest sõltumatutest muutujatest:
Mittemandunud lineaarse teisenduse abil
ruutvormi saab alati taandada kanooniliseks vormiks:
Veelgi enam, vastavalt inertsi teoreemile positiivsete, negatiivsete ja võrdne nulliga koefitsiendid ruutvormi kanoonilisel kujul on muutumatud ega sõltu lineaarsest teisendusest. Selle põhjal tehakse vaadeldava võrrandi klassifikatsioon (punktis ):
Paljude sõltumatute muutujate puhul saab läbi viia täpsema klassifitseerimise (selle vajadust kahe sõltumatu muutuja puhul ei teki):
- Hüperboolne tüüp
- Normaalne hüperboolne tüüp, kui üks koefitsient on ühe märgiga ja ülejäänud on teise märgiga.
- Ultrahüperboolne tüüp, kui ühe või teise märgi koefitsiente on rohkem kui üks.
- Paraboolne tüüp võib veel liigitada:
- Elliptiline-paraboolne tüüp, kui ainult üks koefitsient on võrdne nulliga ja ülejäänud on sama märgiga.
- Hüperbool-paraboolne tüüp, kui ainult üks koefitsient on võrdne nulliga ja ülejäänutel on erinevad märgid. Sarnaselt hüperboolsele tüübile võib selle jagada järgmisteks osadeks:
- Normaalne hüperbool-paraboolne tüüp
- Ultrahüperboolne-paraboolne tüüp
- Ultraparaboolne tüüp, kui rohkem kui üks koefitsient on null. Siin on võimalik ka edasine klassifitseerimine sõltuvalt nullist erineva koefitsientide märkidest.
Lahenduse olemasolu ja kordumatus
Kuigi vastusel küsimusele tavalise diferentsiaalvõrrandi lahenduse olemasolu ja kordumatuse kohta on täiesti ammendav vastus (Picard-Lindelofi teoreem), ei ole osadiferentsiaalvõrrandite puhul sellele küsimusele ühemõttelist vastust. On olemas üldine teoreem (Cauchy-Kowalevskaya teoreem), mis väidab, et Cauchy probleemil mis tahes analüütilise osadiferentsiaalvõrrandi jaoks tundmatute funktsioonide ja nende tuletiste jaoks on ainulaadne analüütiline lahendus. Siiski on näiteid lineaarsetest osadiferentsiaalvõrranditest, mille koefitsientide tuletised on igat järku ja neil pole lahendust (Levy (1957)). Isegi kui lahendus on olemas ja ainulaadne, võib sellel olla soovimatuid omadusi.
Mõelge Cauchy probleemide järjestusele (olenevalt n) Laplace'i võrrandi jaoks:
Kus n- terve. Funktsiooni tuletis u muutuja järgi y kipub ühtlaselt 0-ni x suurenemisega n, aga võrrandi lahendus on
Lahendus kipub lõpmatuseni, kui nx mitte ühegi nullist erineva väärtuse kordne y. Laplace'i võrrandi Cauchy ülesannet nimetatakse halvasti püstitatuks või valeks, kuna lahendus ei sõltu pidevalt algandmetest.
| Selles jaotises puuduvad viited teabeallikatele.
Teave peab olema kontrollitav, vastasel juhul võidakse see kahtluse alla seada ja kustutada. |
Osadiferentsiaalvõrrandi peaaegu lahendus- mõiste, mille V. M. Mikljukov tutvustas seoses eemaldamatute singulaarsustega lahenduste uurimisega.
Valiku artiklitest, mis on seotud peaaegu lahenduste omaduste kirjeldusega (maksimaalne põhimõte, Harnacki ebavõrdsus jne), vt http://www.uchimsya.info.
Näited
Ühemõõtmeline soojusvõrrand
Võrrandil, mis kirjeldab soojuse levikut homogeenses varras, on vorm
Kus u(t,x) on temperatuur ja α on positiivne konstant, mis kirjeldab soojuse levimise kiirust. Cauchy probleem on esitatud järgmiselt:
Kus f(x) on suvaline funktsioon.
Stringi vibratsiooni võrrand
Siin u(t,x) - nööri nihkumine tasakaaluasendist või liigne õhurõhk torus või suurusjärk elektromagnetväli torus ja c- laine levimise kiirus. Cauchy probleemi sõnastamiseks algsel ajahetkel tuleks määrata stringi nihe ja kiirus algsel ajahetkel:
Kahemõõtmeline Laplace'i võrrand
Seos analüütiliste funktsioonidega
Kompleksmuutuja mis tahes holomorfse funktsiooni reaalne ja kujuteldav osa on konjugeeritud harmooniline funktsioonid: mõlemad vastavad Laplace'i võrrandile ja nende gradiendid on ortogonaalsed. Kui f=u+iv, siis näitavad Cauchy-Riemanni tingimused järgmist:
Võrrandid üksteisest liites ja lahutades saame:
Samuti saab näidata, et mis tahes harmooniline funktsioon on mõne analüütilise funktsiooni tegelik osa.
Piirväärtusprobleemid
Piirväärtusprobleemid püstitatakse järgmiselt: leidke funktsioon u, mis rahuldab Laplace'i võrrandit kõigis piirkonna sisemistes punktides S, ja piirkonna piiril - teatud tingimusel. Sõltuvalt seisundi tüübist eristatakse järgmisi põhiülesandeid:
Matemaatilise füüsika võrrandite lahendamine
Seda tüüpi võrrandite lahendamiseks on kahte tüüpi meetodeid:
- analüütiline, milles tulemus tuletatakse erinevate matemaatiliste teisendustega;
- numbriline, milles saadud tulemus vastab etteantud täpsusega tegelikule, kuid mis nõuab palju rutiinseid arvutusi ja on seetõttu teostatav ainult arvutitehnoloogiat (arvuteid) kasutades.
Analüütiline lahendus
Võnkumise võrrand
Vaatleme pikkusega stringi vibratsiooni probleemi. Eeldame, et stringi lõpus funktsioon kaob:
Algsel ajahetkel määrasime esialgsed tingimused:
Kujutagem ette lahendust kujul:
Pärast algsesse vibratsioonivõrrandisse asendamist korrutisega jagades saame:
Selle võrrandi parem pool sõltub , vasak - sees , seetõttu saab seda võrrandit rahuldada ainult siis, kui selle mõlemad pooled on võrdsed konstantse väärtusega, mida tähistame:
Siit leiame võrrandi:
Selle võrrandi mittetriviaalsed lahendused homogeensetes piirtingimustes on võimalikud ainult järgmistel juhtudel:
Mõelge leidmise võrrandile:
Tema lahendus:
Seega vormi iga funktsioon
on lainevõrrandi lahendus.
Algtingimuste lahenduse rahuldamiseks koostame seeria:
Algtingimuste asendamine annab:
Viimased valemid tähistavad funktsioonide laiendamist ja Fourier' seerias intervalli kohta. Laienduskoefitsiendid arvutatakse järgmiste valemite abil:
Numbriline lahendus
Stringi vibratsioonide võrrand
Seda lahendust nimetatakse lõpliku diferentsiaalmeetodi abil. Programmeerimise abil on seda üsna lihtne rakendada.
See meetod põhineb funktsiooni tuletise määratlemisel:
Kui funktsioon on olemas, on osaline tuletis järgmine:
Kuna kasutame üsna väikest, võib piirmärgid ära visata. Siis saame järgmised väljendid:
Mugavuse huvides võtame kasutusele järgmise märge:
,Seejärel saab eelmised väljendid kirjutada järgmiselt:
Neid väljendeid nimetatakse õige diferentsiaalid. Neid saab kirjutada ka muul viisil: , - see vasakule diferentsiaalid.
Mõlema avaldise liitmisel saame järgmise:
millest järeldub:
Mõlemat avaldist nimetatakse diferentsiaaliks keskne punkt. Need lähendavad tuletist suurema täpsusega.
Samamoodi võime saada teist järku diferentsiaale:
Stringi vibratsioonivõrrand on kirjutatud järgmisel kujul: .
Lisatingimused on täpsustatud kujul: , , , ,
Kus ja on stringi otste (kinnituste) asukohad ajas ning ning on nööri algseisund ja kiirus, millest saame valemi abil saada stringi oleku järgmisel ajahetkel (vt Euleri meetod):
Sissejuhatus
Osadiferentsiaalvõrrandite teooria alused
1 Osadiferentsiaalvõrrandite teooria põhimõisted
2 Füüsikalised probleemid, mis viivad osadiferentsiaalvõrranditeni
Tõenäosuslike meetodite kasutamine osadiferentsiaalvõrrandite lahendamisel
1 üldkirjeldus Monte Carlo meetodid
2 Osadiferentsiaalvõrrandite lahendamine Monte Carlo meetodil Dirichlet' ülesande näitel Laplace'i ja Poissoni võrrandite jaoks
Järeldus
Kirjandus
Sissejuhatus
Keeruliste matemaatiliste mudelite jaoks on analüütilisi lahendusi võimalik saada suhteliselt harva. Seetõttu on ligikaudsete matemaatiliste meetodite hulgas peamised ülesannete lahendamise meetodid numbrilised. Need meetodid võimaldavad saavutada uuritava protsessi või nähtuse hea kvalitatiivse ja kvantitatiivse kirjelduse.
Dirichleti probleemi saab sõnastada järgmiselt: leida funktsioon, mis on antud suletud piirkonnas pidev, piirkonnas harmooniline ja võtab selle piiril pidevaid etteantud väärtusi. Käesoleva töö raames vaatlesime Dirichlet' ülesande lahendamist Laplace'i võrrandile ja Poissoni võrrandile ruudustikmeetodil põhineva Monte Carlo meetodi abil.
Võrgumeetodi kasutamisel piirväärtusülesannete lahendamisel tekib ennekõike probleem diferentsiaalvõrrandite asendamisel diferentsiaalvõrranditega - etteantud diferentsiaalvõrrand asendatakse konstrueeritud ruudustiku sõlmedes vastava lõplike diferentsiaalvõrrandiga.
Võrgumeetodi idee pärineb Eulerist. Kuid praktiline kasutamine Meetodiga tekkisid tõsised raskused, kuna piirväärtuse probleemile piisavalt täpse lahenduse saamine viis algebraliste võrrandite süsteemideni, mille lahendamine nõudis aeganõudvat käsitsi arvutamist. Olukord muutus dramaatiliselt kiirete elektrooniliste arvutite tulekuga.
Monte Carlo meetodid on arvulised meetodid matemaatiliste probleemide lahendamiseks, kasutades juhuslike suuruste modelleerimist ja nende omaduste statistilist hindamist. Käesolevas töös esitatakse kaks meetodit Laplace'i võrrandi Dirichlet' ülesande lahendamiseks Monte Carlo meetodi abil ning ühe põhjal on antud seda realiseeriv programm.
Käesoleva töö eesmärgiks on uurida tõenäosuslikke meetodeid osadiferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.
Töö eesmärgid:
osadiferentsiaalvõrrandite teooria põhiprintsiipide õppimine;
osadiferentsiaalvõrrandite klassifikatsioon;
osadiferentsiaalvõrrandite lahendamise meetodite uurimine;
Monte Carlo meetodite uurimine;
Monte Carlo meetodi rakendamine Dirichlet' ülesande lahendamiseks Laplace'i ja Poissoni võrrandite jaoks.
Õppeobjekt: osadiferentsiaalvõrrandid.
Uurimisaine: tõenäosuslikud meetodid osadiferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.
Töö koosneb kahest peatükist, sissejuhatusest, kokkuvõttest ja kirjanduse loetelust. 1. peatükis esitatakse osadiferentsiaalvõrrandite teooria põhimõisted ja näidatakse neid praktiline kasutamine. 2. peatükis kirjeldatakse Monte Carlo meetodeid osadiferentsiaalvõrrandite lahendamise ülesannete kontekstis.
1. Osadiferentsiaalvõrrandite teooria alused
1 Osadiferentsiaalvõrrandite teooria põhimõisted
Diferentsiaalvõrrandite teooria on matemaatika haru, mis tegeleb diferentsiaalvõrrandite ja nendega seotud probleemide uurimisega. Selle tulemusi kasutatakse paljudes loodusteadused ah, eriti laialt – füüsikas.
Mitteametlikult öeldes on diferentsiaalvõrrand võrrand, milles tundmatu suurus on funktsioon. Veelgi enam, võrrand ise ei hõlma mitte ainult tundmatut funktsiooni, vaid ka selle erinevaid tuletisi. Diferentsiaalvõrrand kirjeldab seost tundmatu funktsiooni ja selle tuletiste vahel. Selliseid seoseid leidub kõige rohkem erinevad valdkonnad teadmised: mehaanika, füüsika, keemia, bioloogia, majandus jne.
On olemas tavalised diferentsiaalvõrrandid (ODE) ja osalised diferentsiaalvõrrandid (PDE). Samuti on olemas stohhastilised diferentsiaalvõrrandid (SDE), mis hõlmavad juhuslikke protsesse.
Algselt tekkisid diferentsiaalvõrrandid mehaanika probleemidest, mis hõlmasid kehade koordinaate, nende kiirusi ja kiirendusi, mida peeti aja funktsioonideks.
Üks lihtsamaid diferentsiaalvõrrandite rakendusi on mittetriviaalse probleemi lahendamine teadaolevate kiirendusprojektsioonide põhjal keha trajektoori leidmiseks. Näiteks Newtoni teise seaduse kohaselt on keha kiirendus võrdeline mõjuvate jõudude summaga; vastaval diferentsiaalvõrrandil on vorm. Teades tegutsevaid jõude ( parem osa), saate selle võrrandi lahendada ja lähtetingimusi (koordinaate ja kiirust algsel ajahetkel) arvesse võttes leida punkti trajektoori .
Olgu mõni tundmatu funktsioon vms. selle mitmesuguse järgu osatuletised.
Mõelge võrrandile
sõltumatute muutujate x, y, soovitud funktsiooni u(x, y) ja selle erinevat järku osatuletite ühendamine. Võrrandit (1) nimetatakse osaliseks diferentsiaalvõrrandiks.
Võrrandi järjekorra määrab võrrandis esineva osatuletise kõrgeim järk.
) on esimest järku diferentsiaalvõrrand.
) - teist järku diferentsiaalvõrrand jne.
Diferentsiaalvõrrandi lahendus on mis tahes funktsioon u(x, y), mis muudab selle identiteediks. Osalise diferentsiaalvõrrandi lahendamisega seotud ülesanded on tavaliselt keerukamad kui tavaliste diferentsiaalvõrrandite ülesanded.
Teame, et tavaliste n-ndat järku diferentsiaalvõrrandite üldlahendus sõltub n suvalisest konstandist C1, C2, ..., Cn. Keerulisem olukord tekib osadiferentsiaalvõrrandite lahendamisel. Näiteks diferentsiaalvõrrandi lahendiks on mis tahes funktsioon, s.t. üldlahendus sõltub lõpmatust arvust funktsioonidest, mis sõltuvad ainult ühest muutujast
Osadiferentsiaalvõrrandite teooria teemaks on diferentsiaalvõrrandite uurimine, mis kirjeldavad üht või teist loodusnähtust, peamiselt füüsikalist. Meie kursus keskendub peamiselt teist järku osadiferentsiaalvõrranditele.
Sellega seoses käsitleme mõningaid füüsilisi probleeme, mis viivad osadiferentsiaalvõrrandite lahendamiseni.
Diferentsiaalvõrrandite teooria on kaasaegse matemaatika üks suuremaid harusid. Iseloomustamaks selle kohta tänapäeva matemaatikateaduses, tuleb esiteks rõhutada diferentsiaalvõrrandite teooria põhijooni, mis koosneb kahest laiast matemaatikavaldkonnast: tavaliste diferentsiaalvõrrandite teooriast ja osadiferentsiaalvõrrandite teooriast. .
Esimene omadus on otsene seos diferentsiaalvõrrandite teooria ja rakenduste vahel. Iseloomustades matemaatikat kui looduse saladustesse tungimise meetodit, võib öelda, et selle meetodi peamine rakendusviis on matemaatiliste mudelite moodustamine ja uurimine. päris maailm. Mis tahes füüsikalise nähtuse uurimisel loob uurija ennekõike selle matemaatilise idealiseerimise ehk teisisõnu matemaatilise mudeli, st jättes tähelepanuta nähtuse sekundaarsed omadused, kirjutab ta matemaatilisel kujul üles seda nähtust reguleerivad põhiseadused. . Väga sageli saab neid seadusi väljendada diferentsiaalvõrranditena. Need on kontiinummehaanika erinevate nähtuste mudelid, keemilised reaktsioonid, elektrilised ja magnetilised nähtused jne.
Uurides saadud diferentsiaalvõrrandeid koos lisatingimustega, mis reeglina täpsustatakse alg- ja piirtingimuste kujul, saab matemaatik teavet toimuva nähtuse kohta ning mõnikord saab teada ka selle mineviku ja tuleviku. Õppimine matemaatiline mudel Matemaatiliste meetodite kasutamine võimaldab mitte ainult saada füüsikaliste nähtuste kvalitatiivseid omadusi ja arvutada reaalse protsessi kulgu teatud täpsusega, vaid võimaldab ka tungida füüsikaliste nähtuste olemusse ja mõnikord ennustada uusi füüsikalisi mõjusid. Juhtub, et loodus ise füüsiline nähtus pakub välja nii matemaatilise uurimistöö lähenemisviise kui ka meetodeid. Matemaatilise mudeli õige valiku kriteeriumiks on praktika, matemaatiliste uurimisandmete võrdlemine katseandmetega.
Osadiferentsiaalvõrrandite ülesannete püstitamine hõlmab võrrandi enda (või mitme võrrandisüsteemi) määramist, aga ka vajaliku arvu piirtingimusi (mille arvu ja olemuse määrab võrrandi spetsiifika). Nimetuse järgi peavad võrrandid sisaldama tundmatu funktsiooni ja (või mitme funktsiooni, kui võrrandit on mitu) osatuletisi erinevate argumentide, näiteks ruumimuutuja x ja aja t suhtes. Seega on ülesande lahendamiseks vaja arvutada mitme muutuja funktsioon, näiteks u Osadiferentsiaalvõrrandid ise (mõnevõrra kokkuleppeliselt) võib jagada kolme põhitüüpi: paraboolne (näide:) - sisaldab esimest tuletist ühe muutuja ja teist teise suhtes ning kõik need tuletised sisenevad võrrandisse sama märgiga; hüperboolne (näide:) - sisaldab esimest tuletist ühe muutuja suhtes ja teist teise suhtes, sisestades võrrandisse erinevate märkidega; elliptiline (näide: 1. ,) - sisaldab ainult teist tuletist ja on sama märgiga. Mõnda keerulisemat võrrandit ei saa antud klassifikatsiooniga üheselt sobitada, siis räägitakse hübriidvõrranditüüpidest. Tavaliste diferentsiaalvõrrandite käigust on teada, et n-ndat järku diferentsiaalvõrrandi lahendus on määratletud mitmetähenduslikult. Üldlahend sõltub n suvalisest konstandist ja unikaalseks lahendatavaks on vaja seada nn algtingimused Võrrandi (1) ülesande lahendust algtingimustega (2) nimetatakse Cauchy probleemiks ja teatud tingimustel on selle ülesande lahendus olemas ja ainulaadne. Keerulisem olukord tekib osadiferentsiaalvõrrandite käsitlemisel. Tõepoolest: lihtsaima võrrandi üldlahendus on suvaline funktsioon Lahenduse kindlamaks muutmiseks on vaja seada lisatingimused, näiteks nõuda, et tundmatu funktsioon ja võimalik, et ka selle tuletised võtaksid mõnel kollektoril kindlad väärtused. Iga matemaatilise füüsika ülesanne on püstitatud probleemina teatud võrrandile lahenduse leidmiseks teatud lisatingimustel, mis enamikul juhtudel on tingitud selle füüsikalisest sõnastusest. 1.2 Füüsikalised probleemid, mis viivad osadiferentsiaalvõrranditeni Vaatleme mõningaid füüsikalisi probleeme, mille lahendused viivad osadiferentsiaalvõrranditeni. Ülesanne 1 (nööri põikivõngete kohta). Olgu l pikkusega nöör venitatud jõuga T 0ja on sirgjoonelises tasakaaluasendis. Ajahetkel t=0 antakse stringi punktidele teatud hälbed ja kiirused. Esitame probleemi stringipunktide väikeste põikivõngete määramiseks t>0 juures, kui stringi otsad: a) jäigalt fikseeritud, b) tasuta c) liikuda ristisuunas vastavalt etteantud seadustele. Lahendus. Olgu x-telg ühtib stringi algpositsiooniga tasakaaluasendis Valime stringi lõigu A-st B-ni ja projitseerime kõik sellele lõigule mõjuvad jõud u-teljele. D'Alemberti põhimõtte kohaselt peab projektsioonide summa olema null. kuna arvestame väikseid võnkumisi ja jätame väikese väärtuse tähelepanuta. See tähendab, et stringi osa ei pikene ja seetõttu ei sõltu Hooke'i seaduse kohaselt pinge väärtus ei ajast ega x-st. Pingutusjõu projektsioon Laskma olla pidev lineaarne tihedus välised jõud. Siis mõjub jõud AB-le piki u-telge Inertsjõu leidmiseks kasutame avaldist kus Siis See on stringi sunnitud vibratsiooni võrrand. Kui ρ=const ja siis Lisaks peab soovitud funktsioon u(x, y) vastama algtingimustele: Stringi esialgne asend Esialgne impulss. Piirtingimused: a) pael on otstes fikseeritud b) vabade otste puhul peaks olema c) - stringi otste liikumisseadused. Ülesanne 2. Järjepidevuse võrrand. Vooluprobleem. Vaatleme ideaalse vedeliku (gaasi) liikumist, s.o. vedelik, milles puuduvad viskoossed jõud. Olgu vedeliku kiirusvektor, selle tihedus ja allikate intensiivsus. Valime vedelikus teatud ruumala ω, mida piirab pind S. Vedeliku massi muutus ω sees ajaühikus on võrdne teisest küljest peab see muutus olema võrdne vedeliku koguse Q1 suurenemisega allikate tõttu miinus läbi S voolava Q2 kogus Ostrogradsky-Gaussi valem, kus on S välimine normaal, seega ω meelevaldsuse tõttu See on ideaalse vedeliku liikumise järjepidevuse võrrand. Vaatleme nüüd vooluprobleemi tahkeΩ kokkusurumatu homogeense vedeliku potentsiaalse voolu piiriga S, mille kiirus on allikate puudumisel lõpmatuses. Sel juhul ja seetõttu: tingimusel Olgu u kiiruspotentsiaal, st. Siis Ülesanne 3. Soojuse levikust Soojusjuhtivuse võrrandi tuletamine põhineb Fourier' seadusel, mille kohaselt määratakse aja ∆t jooksul läbi vaadeldava keha sees asuva väikese ala ∆S läbiv soojushulk valemiga kus on ∆S normaal, mis on suunatud soojusülekandele, k(x, u) on sisemise soojusjuhtivuse koefitsient, u(x, t) on kehatemperatuur ajahetkel t. Eeldatakse, et keha on soojusjuhtivuse suhtes isotroopne, s.t. k(x, u) ei sõltu ala suunast. Valime keha sees ruumala ω, mida piirab S. Fourier' seaduse kohaselt on intervalli jooksul S-st läbiv soojushulk võrdne Kui on soojusallikate tihedus, siis on nende tõttu tekkiv soojushulk ω-s määratud aja jooksul võrdne Kokku soojust, mis voolab ω-sse aja jooksul t1 kuni t2, saab arvutada ka temperatuuri tõusu tõttu kus ja on aine soojusmahtuvus ja tihedus. Siis ω ja ajaintervalli t1, t2 meelevaldsuse tõttu järgneb võrdsus nimetatakse soojuse võrrandiks. Kui (ei sõltu temperatuurist), muutub võrrand (5) lineaarseks. Kui keha on homogeenne ja võrrand (5) on järgmine: Füüsikalistest kaalutlustest järeldub, et soojuse leviku protsessi ühemõtteliseks kirjeldamiseks on lisaks võrrandile vaja täpsustada algne temperatuurijaotus Esialgne seisund ja temperatuuri režiim piiri peal Piirtingimus (võimalikud on ka muud võimalused piirtingimuste seadmiseks). 2. Tõenäosuslike meetodite kasutamine osadiferentsiaalvõrrandite lahendamisel 1 Monte Carlo meetodite üldine kirjeldus Osadiferentsiaalvõrrandile ei ole alati võimalik analüütiliselt lahendust leida. Juhtudel, mis ei hõlma võrrandile analüütiliselt lahenduse leidmist, kasutatakse numbrilisi meetodeid. Käesoleva töö raames käsitleme tõenäosusteooria matemaatilisel aparaadil põhinevat arvuliste meetodite rühma, mida nimetatakse Monte Carlo meetoditeks. Monte Carlo meetodite üldtunnustatud määratlust veel ei ole. Nimetagem Monte Carlo meetodeid arvulisteks meetoditeks matemaatiliste ülesannete lahendamiseks, kasutades juhuslike suuruste modelleerimist ja nende omaduste statistilist hindamist. Selle definitsiooniga on vaja Monte Carlo meetodite hulka lisada veel mõned meetodid, nagu stohhastilised lähendused või juhuslik otsing, mida traditsiooniliselt käsitletakse eraldi. Nende probleemidega tegelevad spetsialistid nimetavad oma tehnikaid aga sageli Monte Carlo meetoditeks. Samal ajal rõhutatakse määratluses järgmist: A) me räägime numbriliste meetodite kohta (ja need võivad konkureerida klassikaliste numbriliste meetoditega, mitte aga analüüsimeetodid probleemi lahendamine); b) kõiki matemaatilisi probleeme saab lahendada Monte Carlo meetoditega (ja mitte ainult juhuslike suurustega seotud tõenäosusliku päritoluga ülesandeid). Seda tuleb kohe rõhutada teoreetiline alus Monte Carlo meetodid olid tuntud palju varem. Pealegi on selliseid meetodeid matemaatilise statistika arvutamiseks kasutatud rohkem kui üks kord. Monte Carlo meetoditest ei saanud aga enne elektrooniliste arvutite (arvutite) tulekut saada universaalsed arvmeetodid, sest juhuslike suuruste käsitsi modelleerimine on väga töömahukas protsess. Monte Carlo meetodite väljatöötamist soodustas kiire areng ARVUTI. Monte Carlo algoritme (tavaliselt vähese ühenduvusega) on suhteliselt lihtne programmeerida ja need võimaldavad arvutada palju probleeme, mis on klassikaliste numbriliste meetodite jaoks kättesaamatud. Arvutite täiustamise jätkudes on põhjust oodata Monte Carlo meetodite edasiarendamist ja nende rakendusala edasist laiendamist. Monte Carlo meetodite koostamise kõige olulisem tehnika on probleemi taandamine matemaatiliste ootuste arvutamiseks. Täpsemalt: teatud skalaarsuuruse a ligikaudseks arvutamiseks tuleb välja mõelda selline juhuslik suurus, et; siis, olles arvutanud suuruse sõltumatud väärtused, võime eeldada, et. Näide. On vaja hinnata mõne piiratud ruumikuju mahtu. Valime rööptahuka, mille maht on teada. Valime juhuslikud punktid, mis on ühtlaselt jaotunud, ja tähistame nendesse langevate punktide arvuga. Kui see on suur, siis ilmselt : , millest saame hinnangu. Selles näites on juhuslik suurus võrdne, kui juhuslik punkt langeb, ja nulliga, kui punkt langeb sisse. Lihtne on kontrollida, kas matemaatiline ootus ja aritmeetiline keskmine On lihtne mõista, et selliseid juhuslikke muutujaid on lõpmatult palju. Seetõttu peab Monte Carlo meetodite teooria vastama kahele küsimusele: ) kuidas valida konkreetse probleemi arvutamiseks sobiv väärtus; ) kuidas leida suvalise juhusliku suuruse väärtusi? Nende küsimuste uurimine peaks moodustama Monte Carlo meetodite praktilise kursuse põhisisu. Paljud meetodid põhinevad matemaatiliste ootuste arvutamisel. On olemas juhusliku otsingu meetodid (välja arvatud kõige lihtsamad) ja stohhastilised lähendused. Monte Carlo meetodite hulgas võib eristada meetodeid, milles arvutatud protsessi mudel taasesitatakse täielikult. Selliseid meetodeid nimetatakse mõnikord "füüsilisteks", kuigi autor näib eelistavat nendele meetoditele teist nimetust - simulatsiooni. Imitatsioon looduslikud protsessid kasutatakse laialdaselt enamikus erinevaid valdkondi teadus, tehnoloogia, majandus. 2 Osadiferentsiaalvõrrandite lahendamine Monte Carlo meetodil Dirichlet' ülesande näitel Laplace'i ja Poissoni võrrandite jaoks Definitsioon. Funktsiooni, millel on domeenis pidevad teist järku jagatised ja mis rahuldab sisemiselt Laplace'i võrrandit, nimetatakse harmooniliseks funktsiooniks: Lihtsaim näide kahe muutuja harmoonilisest funktsioonist on funktsioon kujul kus (Laplace'i võrrandi põhilahend). Dirichleti probleemi võib teisiti sõnastada järgmiselt: leida funktsioon, mis on antud suletud piirkonnas pidev, piirkonnas harmooniline ja võtab selle piiril pidevaid etteantud väärtusi. Kui, siis Dirichlet' ülesanne rahuldab Poissoni võrrandit Dirichlet' ülesande lahenduse kordumatus ja selle pidev esitus piirtingimustest (piirväärtusülesande õigsus) tuleneb järgmistest harmooniliste funktsioonidest. Omadus 1 (maksimaalne põhimõte). Funktsioon, mis on piiratud piirkonnas harmooniline ja suletud piirkonnas pidev, ei saa selles piirkonnas võtta suuremaid väärtusi kui selle maksimaalne väärtus pidevate antud väärtuste piiril. Tõestus. Olgu piirväärtused maksimaalsed. Oletame, et sees olev funktsioon omandab mingil hetkel väärtuse ja. Loome abifunktsiooni kus on piirkonna läbimõõt. Ilmselgelt on meil ja kui ebavõrdsus kehtib Seetõttu saavutab funktsioon oma kõrgeim väärtus piirkonna sees mingil hetkel ja sel hetkel vajalikud tingimused maksimaalseks funktsiooniks: Suhtest sellest järeldub, et vähemalt üks tuletistest või on sisemiselt positiivne. Seetõttu ei saa funktsioonil olla maksimumi üheski konkreetses piirkonna punktis ja järelikult jõuame vastuoluni. Seega,. Samamoodi on tõestatud, et kus - väikseim väärtus funktsioonid piiril. Tagajärg. Olgu funktsioon piiratud piirkonnas harmooniline ja suletud piirkonnas pidev. Sel juhul kehtib võrdsus, kus edasi, edasi. Kommenteeri. On võimalik tõestada tugevamat väidet, et funktsioon, mis on piiratud ja suletud piirkonnas harmooniline, välja arvatud konstant, ei võta selle sees suurimaid ja väikseimaid väärtusi. Omadus II (Dirichlet’ probleemi lahenduse unikaalsus). Suletud ja piiratud domeeni Dirichleti probleemil võib olla ainult unikaalne lahendus, st suletud piiratud domeenis pole kahte pidevat harmoonilist funktsiooni, mis võtaksid piiril samad väärtused. Tõestus. Oletame, et kaks funktsiooni, mõlemad selles piirkonnas harmoonilised, langevad kõikjal selle piiril kokku. Mõelge funktsioonile Ilmselgelt on na harmooniline funktsioon, mis piiril kaob. Vastavalt omadusele I ei saa see funktsioon võtta väärtusi, mis on suuremad kui või vähem kui null, seega sees ja. Kommenteeri. Omandist II ei tulene, et Dirichlet' probleemil piiratud suletud domeeni jaoks on lahendus; see omadus ütleb ainult, et kui domeeni jaoks on Dirichleti probleemile lahendus, siis on see ainulaadne. Võib tõestada, et kui piirkond on kumer, st sisaldab koos oma kahe punktiga neid ühendavat lõiku ja selle piiril on tegelikult lahendus (Neumanni teoreem). Omadus III (Dirichlet’ ülesande õigsus). Dirichleti probleemi lahendus suletud ja piiratud piirkonna jaoks sõltub pidevalt piiriandmetest. Tõestus. Oletame, et ja on Dirichlet’ probleemi lahendused, võttes vastavalt väärtuse ja piiril. Olgu ebavõrdsus igal pool rahuldatud kus on suvaline väike positiivne arv. Mõelge harmoonilisele funktsioonile Piiril võtab see funktsioon väärtuse Alates sellest ajast kinnisvara järgi oleme meil aadressil, st. või. Seega on Dirichlet' ülesande korrektsuse nõue täidetud, kui. Olgu tasapinnal antud tükiliselt sileda piiriga piirkond. Alal ehitame ruudustiku sammuga: Eeldame, et võrk koosneb esimest tüüpi sisemistest sõlmedest ja piirsõlmedest. Võrgusilma piirisõlmed moodustavad selle piiri. Jämedalt öeldes on piir punktide lineaarne jada, mis läheneb piirkonna kõverjoonelisele piirile. Kujutagem ette osakest, mis sooritab ühtlase juhusliku kõnni piki võrgusõlmi (1). Nimelt, olles sisevõrgu sõlmes, võib see osake ühes üleminekus sama tõenäosusega 1/4 liikuda ühte neljast naabersõlmest: kas (samm vasakule) või (samm paremale), või sisse (samm alla) või sisse (samm üles) ja iga selline üksik üleminek on täiesti juhuslik ega sõltu osakese asukohast ja selle varasemast ajaloost. Eeldame, et osakese ekslemine lõpeb niipea, kui see osake jõuab piirile; selles mõttes tähistab ääris "neelavat ekraani". Võib tõestada, et tõenäosusega 1 lõpeb punkti ekslemine pärast lõplikku arvu samme piiril. Kui osake alustas oma liikumist ruudustiku fikseeritud sisemisest punktist, siis selle osakese järjestikuste positsioonide lõplikku kogumit: kus ja, nimetatakse osakese trajektooriks (sammudega) või käigu ajalooks. Osakese ühtlast juhuslikku liikumist tasapinnal saab korraldada ühtlaselt jaotatud ühekohalise jada abil juhuslikud arvud, võttes väärtusi. Selleks piisab näiteks joonise tegemisest, s.t. juhuslik arvude valik; ning numbrid 8 ja 9 mängitakse uuesti. Juhuslikud arvud võetakse valmis tabelitest või genereeritakse elektroonilise masina abil. Viimast meetodit eelistatakse arvutusmasinaga töötamisel, kuna see võimaldab vältida masina mälu ülekoormamist. Olgu mingi funktsioon defineeritud domeeni G piiri Г punktides. Kanname need väärtused üle võrgu piirile. Näiteks määrame iga piirsõlme jaoks horisontaalselt (või vertikaalselt) lähima punkti ja asetame selle. Lühiduse huvides tutvustame tähistust. Olgu tõenäosus, et võrgusõlmest väljuva osakese trajektoor lõpeb piirsõlmega. Kuna punkti ekslemine lõpeb paratamatult piiril kõige esimeses punktis, mis jõuab piirini, siis kus liitmine laieneb kõikidele piiripunktidele ja kus on piirisõlm. Teeme summa kus punkt läbib kogu piiri. Kui funktsiooni käsitletakse juhusliku suurusena, mis võtab väärtusi piiril, siis summa (4) tähistab piiril oleva funktsiooni matemaatilist ootust (keskmist väärtust) trajektooride jaoks, mis algavad punktist (“piirini jõudmise lisatasu ” alguspunktist). Osake, mis alustab juhuslikku liikumist sisemisest sõlmest pärast esimest sammu tõenäosusega 1/4, jõuab ühte neljast naabersõlmest. Seetõttu jagunevad sõlmest algavad juhuslikud jalutuskäigud olenevalt trajektooride tüübist uute juhuslike jalutuskäikude nelja kategooriasse: Seega korrutades mõlemad võrdsuse pooled (5) piirväärtustega ja liites kõik võimalikud väärtused ning valemi (4) põhjal saame Lisaks on meil valemi (3) alusel kui punkt. Vaatleme nüüd Dirichleti probleemi, et leida funktsioon, mis on piirkonnas harmooniline ja võtab selle piiril antud pidevaid väärtusi. Võrgumeetodi kohaselt taandub see probleem soovitud funktsiooni väärtuste leidmisele teatud võrgu sisemistes sõlmedes, eeldusel, et piirisõlmede väärtused on teada ja võrdsed. Tundmatud määratakse lineaarvõrrandisüsteemi abil Võrreldes valemeid (8) valemitega (6), (7), näeme, et need kattuvad kuni märgistuseni. Seetõttu võib tundmatuid tundmatuid pidada matemaatilisteks ootusteks. Koguseid saab määrata katseliselt. Vaatleme piisavalt suurt hulka osakese ühtlaseid juhuslikke käike piki võrgusõlmi, alustades fikseeritud sõlmest ja lõpetades piiril. Laske osakese vastavatel punktidel väljuda piirini. Asendades matemaatilise ootuse empiirilise matemaatilise ootusega, saame Valem (9) annab väärtuse statistilise hinnangu ja seda saab kasutada Dirichlet' probleemi ligikaudseks lahendamiseks. Saadud juhuslike suuruste kasutamisel põhinev ülesannete lahendamise meetod üldnimetus Monte Carlo meetod. Pange tähele, et valemi (9) abil saate otse leida Dirichlet' ülesande lahenduse ligikaudse väärtuse ühest fikseeritud ruudustikupunktist, teadmata ülejäänud ruudustikupunktide ülesande lahendust. Sel juhul erineb Dirichlet' probleemi Monte Carlo meetod järsult tavapärastest standardmeetoditest selle probleemi lahendamiseks. Huvitav on märkida, et tõenäosus on valemi (4) alusel Greeni funktsiooni analoog valdkonnas Dirichlet' probleemi jaoks. Selle väärtuse saab eksperimentaalselt leida valemi (9) põhjal, kui on määratud järgmised piirtingimused: Olles konstrueerinud sellise Greeni funktsiooni, saame valemi (9) abil võimaluse lihtsalt leida Dirichlet' probleemi ligikaudne lahendus antud piiriga piirkonna jaoks mis tahes piirväärtuste korral. Monte Carlo meetodi vaadeldava versiooni miinuseks Dirichlet' probleemi jaoks on tõenäosuse nõrk konvergents empiirilise matemaatilise ootuse jaoks. matemaatilisele ootusele. Selle ebasoodsa asjaolu kõrvaldamiseks kasutatakse juhuslike jalutuskäikude erinevaid modifikatsioone. Lisaks on ülesande lahendamisel kasulik arvestada ka sellega, et punktist algav osakese kõnd on automaatselt osakese juhuslik jalutuskäik, mis algab selle osakese trajektoori mis tahes vahepunktist. Näidakem veel üht Monte Carlo meetodit Dirichlet' ülesande lahendamiseks Laplace'i võrrandi jaoks, mis ei ole seotud diferentsiaalvõrranditega. Olgu antud piiratud ühendatud piirkond ja punkt. Määratleme juhusliku trajektoori järgmiselt: pane; edasi, kui punkt on teada, siis konstrueerime sees asuva suvalise raadiusega ringi ja valime sellel ringil juhusliku punkti. Seega, kus ja nurk jaotuvad intervallis ühtlaselt. Esitame teoreemi: kui funktsioon rahuldab domeenis Laplace'i võrrandit siis iga ja mis tahes jaoks on matemaatiline ootus võrdne trajektoori alguses oleva väärtusega. Tõestus. Andkem raadiuse suvalisuse väitele täpsem tähendus. Eeldame, et on antud teatud tasapind, mis on identselt võrdne nulliga kõigi väärtust ületavate väärtuste korral minimaalne vahemaa alates piirini, samuti kell; ka juhtum on lubatud; ja valik tehakse tiheduse järgi. Olgu punkti c jaotustihedus. Siis on väärtuse matemaatiline ootus võrdne Harmoonilise funktsiooni keskmise väärtuse teoreemi järgi Sellepärast Punkti juures ja. Induktsiooni kasutades saame teoreemi väite. Kolmemõõtmelisel juhul vaadeldavat tüüpi trajektooride konstrueerimist nimetatakse mõnikord sfääridel kõndimiseks. Ülaltoodud trajektoori saab kasutada Dirichlet' probleemi ligikaudseks lahendamiseks. Olgu domeeni piiril määratud piiratud funktsioon. Tähistame soovitud lahendusega, mis rahuldab võrrandi (1) sisemiselt ja muutub at-ks. Kinnitame üsna väikese piiri (joonis 3, lisa D). Arvutamiseks koostame vormi trajektoore, kuni satub juhuslik punkt. Laskma olla lähim piiripunkt. Võime eeldada, et juhusliku suuruse väärtus on ligikaudu võrdne. Seda tüüpi trajektoore koostades saame väärtused, mille järgi soovitud lahendust hinnatakse Pange tähele, et tõenäosuse lähenemine kui see ei tulene Hintšini teoreemist, mis ütleb, et identse jaotusega sõltumatute muutujate jada, millel on matemaatilised ootused, järgib suurte arvude seadust, kuna summa (3) hõlmab mitmesuguseid juhuslikke muutujaid, mis erinevad valikureeglite poolest. , aga kasutada teist suurte arvude vormiseadust – Tšebõševi teoreemi: Kui kogused on sõltumatud ja on ja, siis millal (Selle teoreemi tõestust on lihtne saada, rakendades kvantiteedile Tšebõševi võrratust). Meie puhul kõike, välja arvatud dispersioonid, kus. Tegelikult, nagu teada, saavutatakse harmoonilise funktsiooni maksimum ja miinimum piirkonna piiril, seega kõigi jaoks. Seda arvutusmeetodit peetakse kiiremaks kui diferentsiaalvõrrandeid kasutavat meetodit, kuna see võimaldab teha suuremaid samme piirist kaugel. Tavaliselt soovitatakse valida maksimaalsed võimalikud raadiused. Selle meetodi pakkus välja J. Brown ja seda põhjendas M. Muller, kes tõestas eelkõige, et tõenäosus, et trajektoor kunagi ei taba, on null. Edasine areng meetod - sõltuvate testide korraldamine, võrrandite lahendamine rohkem üldine vaade, kasutades ringide asemel muid kujundeid (mille jaoks on Greeni funktsioonid teada). Olgu Laplace'i võrrandi lahend ühikruudus, mis vastab piirtingimustele. Arvutage väärtus. Valime ruudustiku sammuga ruudus ja nummerdame sõlmed ümber (joonis (4), lisa E). Laplace'i võrrandi puhul on valem (8) üha enam lihtsustatud: , seega on see võrdne väärtusega sõlmes, kus ahel tabab piiri. Kui juhuslik number osutub 0 või 4, siis liigume külgnevasse sõlme paremale; kui see osutub 1 või 5, siis liigume vasakule; kui see osutub 2 või 5 6, siis liigume üles, kui selgub, et see on 3 või 7, siis liigume alla; 8 või 9-ga võrdsed väärtused jäetakse välja. Tabel 2 (lisa F) näitab 16 juhuslikku ahelat. Esimesel real on kasutatud juhuslikud numbrid ja kolmandal real on kett(id) ise. Nendele vooluringidele vastavad väärtused on võrdsed. Nende suuruste aritmeetiline keskmine annab meile lahenduse ligikaudse väärtuse punktis: Dispersiooni empiirilisest hinnangust sellest järeldub, et tegemist on tõenäolise veaga. Täpne lahendus probleemile kaaluti, nii, ja faktiline viga arvutus on 0,08. Siin esitatud meetod võimaldab arvutada diferentsiaalvõrranditele ligikaudseid lahendusi. Järeldus Käesoleva töö raames uuriti osadiferentsiaalvõrrandite teooria põhisätteid ning näidati tõenäosuslike meetodite kasutamise võimalust nende lahendamiseks. Näitena valiti Dirichlet' ülesanne Laplace'i ja Poissoni võrrandite jaoks. Arvulisi ja empiirilisi meetodeid kasutatakse sageli paljudes füüsika, matemaatika ja teiste loodusteaduste valdkondades otseste ja pöördülesannete lahendamiseks. Tuleb märkida diferentsiaalvõrrandite erilist rolli selliste probleemide lahendamisel, kuna alati pole võimalik kindlaks teha funktsionaalne sõltuvus soovitud ja antud muutujate vahel, kuid sageli on võimalik tuletada diferentsiaalvõrrand, mis võimaldab täpselt ennustada teatud protsess teatud tingimustel. Diferentsiaalvõrrandid on tohutu praktilise tähtsusega, olles võimsaks vahendiks paljude loodusteaduste ja -tehnoloogia probleemide uurimisel: neid kasutatakse laialdaselt mehaanikas, astronoomias, füüsikas ning paljudes keemia- ja bioloogiaprobleemides. Seda seletatakse asjaoluga, et väga sageli on teatud protsesse reguleerivad seadused kirjutatud diferentsiaalvõrrandite kujul ja need võrrandid ise on seega vahendiks nende seaduste kvantitatiivseks väljendamiseks. võrrandi tuletis Laplace'i ülesanne Kirjandus 1. Aramanovitš I.G., Levin V.I. Matemaatilise füüsika võrrandid. - M.: Nauka, 1964. 2.Berezin I.S., Zhidkov N.P. Arvutusmeetodid. - M.: Riiklik Kirjastus, 1959. - 602 lk. 3.Bitsadze A.V. Matemaatilise füüsika võrrandid: õpik. M.: Nauka, 1982. 336 lk. 4.Bitsadze A.V., Kalinichenko D.F. Ülesannete kogumik matemaatilise füüsika võrrandite kohta: õpik. toetust. M.: Nauka, 1977. 222 lk. Budak B.M., Samarsky A.A., Tihhonov A.N. Matemaatilise füüsika ülesannete kogu: õpik. toetust. M.: Nauka, 1980. 686 lk. 6. Buslenko N.P., Shrader Yu.A. Statistiline katsemeetod (Monte Carlo) ja selle rakendamine aastal digitaalsed masinad. - M.: Fizmatgiz, 1961. - 315 lk. 7.Vladimirov V.S., Matemaatilise füüsika võrrandid, M., 1967. - 256 lk. 9.Demidovich B.P., Maron I.A., Shuvalova E. Numbrilised analüüsimeetodid. - M.: Nauka, 1967. - 368 lk. 10. Kantorovich L.V. ja Krylov V.I., Kõrgema analüüsi ligikaudsed meetodid, 5. väljaanne, L. - M., 1962. - 256 lk. Mihhailov V.P. Diferentsiaalvõrrandid osatuletistes: Õpik. M.: Nauka, 1983. 424 lk. Petrovsky I.G., Loengud integraalvõrrandite teooriast, 3. väljaanne, M., 1999. - 213 lk. 14. Sdvižnikov O.A., Matemaatika arvutis: Maple8. M.: Solon-Press, 2003. -176 lk. Smirnov V.I. Kõrgema matemaatika kursus: Õpik: 4 köites T.2. M.: Nauka, 1981. 655 lk. 16. Sobol I.M. Numbrilised Monte Carlo meetodid. - M.: Nauka, 1973. - 312 lk. 17.Tihhonenko A.V. Arvuti matemaatilised paketid kursusel “Füüsika lineaarsed ja mittelineaarsed võrrandid”. Obninsk: IATE, 2005.- 80 lk. 18. Tihhonov A.N., Samarski A.A. Matemaatilise füüsika võrrandid: õpik. M.: Nauka, 1977. 735 lk. Matemaatilises füüsikas keskendume teist järku osadiferentsiaalvõrrandite lahendamisega seotud ülesannete käsitlemisel alati Mõelge teist järku üldkuju võrrandile: Verbaalselt võib selle klassifikatsiooni sõnastada järgmiselt. Võrrand on hüperboolne, kui vastava ruutvormi defekt on Näiteid erinevat tüüpi võrranditest
Näide 1. Termiline võrrand. Näide 2. Laine võrrand. Näide 3. Poissoni võrrand. Näide 4. Helmholtzi võrrand. Näide 5. Tricomi võrrand. Vaatame lähemalt juhtumit, kui tundmatul funktsioonil on ainult kaks argumenti: Hüperboolsed võrrandid Paraboolvõrrandid Elliptilised võrrandid Vaatame mitut näidet, millest igaüks nõuab võrrandi viimist kanoonilisse vormi. Tehnoloogia mängib nendes näidetes keskset rolli. Näited teist järku võrrandite taandamiseks kanooniliseks vormiks
Näide 1. Muutujate lineaarse muutumise juhtum hüperboolvõrrandis. Näide 2. Muutujate lineaarse muutumise juhtum elliptilises võrrandis. Koostame iseloomuliku võrrandi: Näide 3. Muutujate lineaarse muutumise juhtum paraboolvõrrandis. Koostame iseloomuliku võrrandi:
Teoreetiline miinimum
mõne põhivõrrandi analüüsist: Poisson, soojusjuhtivus, lainevõrrand. See on tingitud võimalusest tuua teise võrrandid
tellida nn kanooniline vorm, nimelt samadele äsja loetletud võrranditele.
,
Kus. Sel juhul eeldame üldistust kaotamata, et koefitsiendi maatriks on sümmeetriline, s.o. 
(see on tegelikult nõue, et segatuletised oleksid diferentseerimisjärjekorrast sõltumatud). Järgnevalt nimetame seda maatriksit kõrgeima maatriksiks
koefitsiendid Rangelt võttes sama võrrand sisse erinevaid punkte võib viidata erinevad tüübid klassifikatsioonid. Näide tuuakse hiljem.
Selle märkusega seoses räägime teatud punktis juhtivate koefitsientide maatriksist. Eeldame, et juhtivate koefitsientide maatriks esindab
on mingi ruutkuju maatriks. Seda vormi saab taandada normaalse välimusega, st. diagonaalvorm, mille koefitsiendid on suurusjärgus võrdsed
null või üks. Tuletame meelde, et positiivsete koefitsientide arvu nimetatakse ruutvormi positiivseks inertsindeksiks, negatiivsete arvuks.
koefitsiendid – negatiivne kujuindeks ja nullkoefitsientide arv – kujudefekt. Nende abil saab võrrandeid klassifitseerida
kolm numbrit, mille me näitame nende loetletud järjekorras: . Nende kolme arvu summa võrdub sõltumatute muutujate arvuga.
On selge, et kogu võrrandi korrutamine miinus ühega viib selleni, et juhtivate koefitsientide maatriksi kõik elemendid muudavad märki. Seega
vastava vormi positiivsed ja negatiivsed indeksid vahetavad rolle. Seega võrrandid kuuluvad
ühte klassifikatsiooni tüüpi.
Loetleme peamised võrrandite klassid:
- hüperboolne
- paraboolne
- elliptilised
- ultrahüperboolne
- elliptiline-paraboolne
Viimast kahte tüüpi võrrandit tavakursustes ei käsitleta.
on võrdne nulliga ja üks indeksitest on võrdne ühega. Võrrand on paraboolne, kui selle vormis on viga, mis on võrdne ühega ja kõik koefitsiendid on sama märgiga.
Võrrand on elliptiline, kui selle vormidefekt on null ja kõigil kordajatel on sama märk.
Paraboolse tüüpi võrrand.
Hüperboolse tüübi võrrand.
Täpsemalt, kui paremal on null, saadakse Laplace'i võrrand. 
Elliptilise tüübi võrrand.
Kui , siis võrrand on elliptiline; kui , siis võrrand on paraboolne; kui , siis on võrrand hüperboolne.
.
Koefitsiendid on muutujate funktsioonid ja (põhimõtteliselt on võimalik ka sõltuvus tundmatust funktsioonist (antud juhul võrrand
on kvaasilineaarne; me piirame ennast lineaarvõrrandid). Üldvõrrandit saab lihtsustada, asendades sõltumatud muutujad -
taandatud kanoonilisele kujule. See kanooniline vorm, nagu ka asendustüüp, määratakse iseloomuliku võrrandiga
.
Iseloomulik võrrand, olemine ruutvõrrand tuletise suhtes jaguneb see kohe kaheks.
Radikaalse avaldise märk määrab võrrandi tüübi.
Seda juhul, kui. Karaktervõrrandi üldintegraalid.
Vahetamine pooleli.
.
Asendus tehakse, kus on suvaline kaks korda diferentseeruv funktsioon, mille jaoks
seisund .
Seda juhul, kui. Karakteristiku võrrandi üldintegraal . Vahetamine pooleli
.
muutujate asendusi, sest asendus enda täpsustamine on tavaliselt üsna lihtne. Muutujate lineaarne muutmine toimub üsna lihtsalt (võrrandiga
konstantsed koefitsiendid).
Märge. Muidugi on muutujate asendamisel teatud vabadus. Näiteks määratakse asendus igal juhul märgi täpsusega, mis ei mängi olulist rolli
tuletisinstrumentide teisendamine. Samuti toob paraboolvõrrandi puhul mitmetähenduslikkuse sisse vabadus valida muutujate asendamiseks teine funktsioon, mis on väga piiratud
nõrgad tingimused.
.
Esialgne võrrand on seega hüperboolset tüüpi. Leiame leitud võrrandite üldintegraalid:
.
Tutvustame asendust. Teisendame tuletised. IN sel juhul võime eeldada, et funktsioon sõltub muutujatest,
mis omakorda sõltuvad vanadest muutujatest:
.
.
.
Algne võrrand on seega elliptilist tüüpi. Leiame mis tahes leitud võrrandi üldise integraali:
.
Tutvustame asendust. Teisendame tuletised täpselt samamoodi nagu näites 1.
Pärast nende tuletiste asendamist algsesse võrrandisse saame 
.
.
Algne võrrand on seega paraboolset tüüpi. Leiame leitud võrrandi üldise integraali:
.
See teeb selgeks, kuidas saab valida ühe muutuja: 
. Teine muutuja tuleb valida iseseisvalt.
Tavaliselt valitakse kõige lihtsam, et mitte teha arvutusi keeruliseks. Vaatame kahte võimalust, et näha, kuidas teise valimine mõjutab
muutuja võrrandi lõplikule kujule. Kõigepealt paneme. Teisendame tuletised uuesti sarnaselt näitele 1. 
Pärast nende tuletiste asendamist algsesse võrrandisse saame 