MAATRIKSID, DETERMINANTID, LINEAARVÕRDENDITE SÜSTEEMID
MAATRIKS MÄÄRATLUS. MAATRIKSIDE LIIGIDMaatriks suurusega m× n nimetatakse komplektiks m·n numbrid on paigutatud ristkülikukujulisse tabelisse m read ja n veerud. See tabel on tavaliselt sulgudes. Näiteks võib maatriks välja näha selline:Lühiduse huvides võib maatriksi tähistada ühega suur algustäht, Näiteks, A või IN.IN üldine vaade maatriksi suurus m× n kirjuta see nii
.
Maatriksi moodustavaid numbreid nimetatakse maatriksi elemendid. Maatrikselemendid on mugav varustada kahe indeksiga a ij: esimene tähistab rea numbrit ja teine veeru numbrit. Näiteks, a 23 – element asub 2. reas, 3. veerus. Kui maatriksi ridade arv on võrdne veergude arvuga, siis maatriksi nn. ruut, ja kutsutakse selle ridade või veergude arv korras maatriksid. Ülaltoodud näidetes on teine maatriks ruut - selle järjekord on 3 ja neljas maatriks on järjekord 1. Maatriksit, milles ridade arv ei võrdu veergude arvuga, nimetatakse ristkülikukujuline. Näidetes on see esimene maatriks ja kolmas.On ka maatrikseid, millel on ainult üks rida või üks veerg Maatriksit, millel on ainult üks rida, nimetatakse maatriks - rida(või string) ja ainult ühe veeruga maatriks maatriks - veerg.Nimetatakse maatriks, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga null ja seda tähistatakse (0) või lihtsalt 0-ga. Näiteks
.
Kutsutakse ruutmaatriksit, milles kõik põhidiagonaalist allpool olevad elemendid on võrdsed nulliga kolmnurkne maatriks.
.
Ruutmaatriksit, milles kõik elemendid, välja arvatud ehk põhidiagonaalil olevad elemendid, on võrdsed nulliga, nimetatakse diagonaal maatriks. Näiteks või . Kutsutakse diagonaalmaatriksit, mille kõik diagonaalelemendid on võrdsed ühega vallaline maatriks ja seda tähistatakse tähega E. Näiteks 3. järku identiteedimaatriksil on vorm 
.TEGEVUSED MAATRIKSIDEGAMaatriksi võrdsus. Kaks maatriksit A Ja B nimetatakse võrdseks, kui neil on sama arv ridu ja veerge ning nende vastavad elemendid on võrdsed a ij = b ij. Nii et kui 
Ja 
, See A=B, Kui a 11
= b 11
,a 12
= b 12
,a 21
= b 21
Ja a 22
= b 22
.Transponeerida. Mõelge suvalisele maatriksile A alates m read ja n veerud. Seda saab seostada järgmise maatriksiga B alates n read ja m veerud, milles iga rida on maatriksi veerg A sama numbriga (seega on iga veerg maatriksi rida A sama numbriga). Nii et kui 
, See 
.See maatriks B helistas üle võetud maatriks A ja üleminek alates A To B ülevõtmine Seega on transpositsioon maatriksi ridade ja veergude rollide ümberpööramine. Maatriks maatriksiks transponeeritud A, tavaliselt tähistatakse A T.Maatriksi vaheline seos A ja selle transponeerimise saab kirjutada kujul . Näiteks. Leia antud maatriks, mis on transponeeritud. 
Maatriksi lisamine. Lase maatriksitel A Ja B koosneb sama number ridu ja sama palju veerge, st. on samad suurused
. Siis maatriksite lisamiseks A Ja B vaja maatrikselementide jaoks A lisada maatrikselemente B seisab samadel kohtadel. Seega kahe maatriksi summa A Ja B nimetatakse maatriksiks C, mis on määratud reegliga, näiteks
Lihtne on kontrollida, kas maatriksi liitmine järgib järgmisi seadusi: kommutatiivne A+B=B+A ja assotsiatiivne ( A+B)+C=A+(B+C).Maatriksi korrutamine arvuga. Maatriksi korrutamiseks A numbri kohta k maatriksi iga elementi on vaja A korrutage selle arvuga. Seega maatrikskorrutis A numbri kohta k on uus maatriks, mis määratakse reegliga 
või .Suvaliste numbrite puhul a Ja b ja maatriksid A Ja B kehtivad järgmised võrdsused: 
Näited. 
. 
Maatriks C ei leia, sest maatriksid A Ja B on erineva suurusega. Maatrikskorrutis. See operatsioon viiakse läbi vastavalt omapärasele seadusele. Kõigepealt märgime, et faktorimaatriksite suurused peavad olema järjepidevad. Korrutada saab ainult neid maatrikseid, milles esimese maatriksi veergude arv langeb kokku teise maatriksi ridade arvuga (st esimese rea pikkus võrdub teise veeru kõrgusega). Töö maatriksid A mitte maatriks B nimetatakse uueks maatriksiks C=AB, mille elemendid koosnevad järgmiselt: Näiteks selleks, et saada toode (st maatriksis C) element, mis asub 1. reas ja 3. veerus c 13 , peate võtma 1. maatriksi 1. rea, 2. maatriksi 3. veeru ja seejärel korrutama rea elemendid vastava veeru elementidega ja liitma saadud korrutised. Ja muud korrutismaatriksi elemendid saadakse esimese maatriksi ridade ja teise maatriksi veergude sarnase korrutise abil. üldine juhtum, kui maatriksit korrutada A = (a ij ) suurus m× n maatriksile B = (b ij ) suurus n× lk, siis saame maatriksi C suurus m× lk, mille elemendid arvutatakse järgmiselt: element c ij saadakse elementide korrutise tulemusena i maatriksi rida A vastavatele elementidele j maatriksi veerus B ja nende liitmised.Sellest reeglist järeldub, et alati saab korrutada kaks sama järku ruutmaatriksit, mille tulemusena saame sama järgu ruutmaatriksi. Eelkõige saab ruutmaatriksit alati korrutada iseendaga, s.t. ruut.Teine oluline juhtum on reamaatriksi korrutamine veerumaatriksiga ja esimese laius peab olema võrdne teise kõrgusega, mille tulemuseks on esimest järku maatriks (st üks element). Tõesti,
.
Otsige elemente c 12
, c 23
Ja c 21
maatriksid C. - Leidke maatriksite korrutis.
. 
Otsi AB Ja VA. 
Otsi AB Ja VA. , B·A- pole mõtet. Seega need lihtsaid näiteid näitavad, et maatriksid üldiselt ei pendelda omavahel, st. A∙B
≠
B∙A
. Seetõttu tuleb maatriksite korrutamisel hoolikalt jälgida tegurite järjekorda Saate kontrollida, kas maatriksite korrutamine järgib assotsiatiivseid ja distributiivseid seadusi, s.t. (AB)C=A(BC) Ja (A+B)C=AC+BC.Seda on lihtne kontrollida ka ruutmaatriksi korrutamisel A identiteedimaatriksisse E samas järjekorras saame taas maatriksi A ja AE=EA=A Märkida võib järgmist huvitavat fakti. Teatavasti ei võrdu 2 nullist erineva arvu korrutis 0-ga. Maatriksite puhul ei pruugi see nii olla, s.t. 2 nullist erineva maatriksi korrutis võib osutuda võrdseks nullmaatriksiga. Näiteks, Kui 
, See 
.
Seega tuleb teist järku determinandi leidmiseks lahutada põhidiagonaali elementide korrutisest piki teist diagonaali elementide korrutis. Näited. Arvutage teist järku determinandid. 
Samamoodi võime käsitleda kolmandat järku maatriksit ja sellele vastavat determinanti. Kolmandat järku determinant, mis vastab antud kolmandat järku ruutmaatriksile, on arv, mida tähistatakse ja saadakse järgmiselt:
.
Seega annab see valem kolmandat järku determinandi laienduse esimese rea elementide suhtes a 11
,a 12
,a 13
ja taandab kolmanda järgu determinandi arvutamise teist järku determinantide arvutamiseks. Näited. Arvutage kolmandat järku determinant. 
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1
= 4, x 2
= 1. Samamoodi saate tutvustada neljanda, viienda jne determinantide mõisteid. järjestused, alandades nende järjekorda, laienedes 1. rea elementidele, kusjuures terminite märgid "+" ja "-" vahelduvad. Seega erinevalt maatriksist, mis on arvude tabel, on determinant arv, mis on panna kirjavahetusse teatud viisil maatriksisse.
DETERMINANTIDE OMADUSED
Tõestus teostatakse taatlemisega, s.o. kirjaliku võrdsuse mõlema poole võrdlemisega. Arvutame determinandid vasakul ja paremal: 
- Kahe rea või veeru ümberkorraldamisel muudab determinant oma märgi vastupidiseks, säilitades absoluutväärtuse, s.t.
Kolmandat järku determinandi puhul kontrollige seda ise. 
Tõepoolest, kui siin 2. ja 3. rida ümber paigutada, siis omaduse 2 järgi peaks see determinant märki muutma, kuid determinant ise on sel juhul ei muutu, st. saame | A| = –|A| või | A| = 0. 
Tõestus viiakse läbi kontrollimise teel, nagu atribuut 1. (Iseseisvalt)
- Kui determinandi mis tahes rea või veeru kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis determinant ise võrdne nulliga. (Tõend kontrollimisega). Kui determinandi mis tahes rea või veeru kõik elemendid on esitatud 2 liikme summana, saab determinandi esitada 2 determinandi summana, kasutades valemit, näiteks:
.
- Kui mõnele determinandi reale (või veerule) liidame teise rea (või veeru) vastavad elemendid, korrutatuna sama arvuga, siis determinant oma väärtust ei muuda. Näiteks,
. Tõestame seda võrdsust determinandi eelnevate omaduste abil. 
Neid determinantide omadusi kasutatakse üsna sageli determinantide arvutamisel ja mitmesugustes ülesannetes. ALGEBRAALISED TÄIENDUSED JA ALAALANE Olgu meil kolmandat järku determinant: 
.Alaealine, mis vastab sellele elemendile a ij kolmandat järku determinandiks nimetatakse teist järku determinandi, mis saadakse antud determinandist, kustutades rea ja veeru, mille ristumiskohas antud element seisab, s.t. i-th rida ja j veerus. Minorid, mis vastavad antud elemendile a ij me tähistame M ij .Näiteks, alaealine M 12
, mis vastab elemendile a 12
, saab olema määraja 
, mis saadakse antud determinandist 1. rea ja 2. veeru kustutamisel Seega näitab kolmandat järku determinandi defineeriv valem, et see determinant on võrdne 1. rea elementide ja neile vastavate minooride korrutistega ; sel juhul elemendile vastav moll a 12
, võetakse “–” märgiga, st. me võime seda kirjutada On lihtne näha, et kasutades elementide algebralisi liitmisi, saab valemi (1) kirjutada kujul:. Sarnaselt selle valemiga on võimalik saada determinandi laiendamine mis tahes rea või veeru elementideks. Näiteks determinandi laiendamise 2. rea elementideks saab järgmiselt. Determinandi omaduse 2 järgi on meil: 
Laiendame saadud determinandi 1. rea elementideks.
|
|
.
sest teist järku determinandid valemis (2) on elementide alaealised a 21
,a 22
,a 23
. Seega, st. oleme saanud determinandi laienduse 2. rea elementideks Samamoodi saame determinandi laienduse kolmanda rea elementideks. Kasutades determinantide omadust 1 (transpositsiooni kohta), saame näidata, et sarnased laiendused kehtivad ka veergude elementide kaupa laiendamisel, seega kehtib järgmine teoreem. Teoreem (determinandi laiendamise kohta üle antud rea või veeru). Determinant on võrdne tema mis tahes rea (või veeru) elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega.Kõik eelnev kehtib ka mis tahes kõrgemat järku determinantide kohta. Näited. 
- Arvutage determinant, kasutades selle omadusi. Enne determinandi laiendamist mis tahes rea elementide kohal, taandades selle kolmandat järku determinantideks, teisendame selle omaduse 7 abil, muutes kõik elemendid mis tahes reas või veerus, välja arvatud üks, võrdseks nulliga. Sel juhul on mugav kaaluda 4. veergu või 4. rida:
PÖÖRDMAATRIKS
Pöördmaatriksi mõiste võetakse kasutusele ainult selleks ruutmaatriksid.Kui A on siis ruutmaatriks tagurpidi selle jaoks on maatriks maatriks, tähistatud A -1 ja tingimuse rahuldamine. (See definitsioon võetakse kasutusele analoogia põhjal arvude korrutamisega) Kehtib järgmine teoreem: Teoreem. Selleks, et ruutmaatriks A oli pöördväärtus, on vajalik ja piisav, et selle determinant erineks nullist. Tõestus:- Vajadus. Lase maatriksi jaoks A on pöördmaatriks A -1
. Näitame, et | A| ≠ 0.
. Aga muul viisil 
. Sellest tulenev vastuolu tõestab, et | A| ≠ 0. 
Näitame, et sel juhul on maatriks pöördmaatriks 
, Kus A ij elemendi algebraline täiend a ij. Otsime üles AB=C. Pange tähele, et kõik maatriksi diagonaalsed elemendid C on võrdne 1-ga. Näiteks Samamoodi saab determinandi stringi elementideks laiendamise teoreemi kasutades tõestada, et c 22
= c 33
= 1. Lisaks kõik maatriksi mittediagonaalsed elemendid C on võrdsed nulliga. Näiteks, 
Seega AB=E. Samamoodi võib näidata, et BA=E. Sellepärast B=A -1
.Seega sisaldab teoreem meetodit pöördmaatriksi leidmiseks. Kui teoreemi tingimused on täidetud, siis leitakse maatriksiga pöördmaatriks järgmiselt
,
Kus A ij- elementide algebraline liitmine a ij antud maatriks A.Niisiis vajaliku pöördmaatriksi leidmiseks: Sarnaselt teist järku maatriksite puhul on pöördmaatriksiks järgmine maatriks 
.Näited. |A| = 2. Leia maatriksi elementide algebralised täiendid A. 
Eksam: 
. Samamoodi A∙A -1
=E. 
. Arvutame | A| = 4. Siis 
. 
. 
LINEAARVÕRRANDITE SÜSTEEMID
Süsteem m lineaarvõrrandid n tundmatuga nimetatakse vormisüsteemiks
Kus a ij Ja b i (i=1,…,m; b=1,…,n) - mõned teadaolevad numbrid, A x 1 ,…,x n- teadmata. Koefitsientide määramisel a ij esimene indeks i tähistab võrrandi numbrit ja teist j– tundmatute arv, mille juures see koefitsient seisab. Tundmatute koefitsiendid kirjutame maatriksi kujul, mida nimetame süsteemi maatriks.Võrrandite paremal küljel olevad arvud on b 1 ,…,b m kutsutakse tasuta liikmed. Totaalsus n numbrid c 1 ,…,c n helistas otsus antud süsteemist, kui süsteemi iga võrrand muutub pärast arvude asendamist võrduseks c 1 ,…,c n vastavate tundmatute asemel x 1 ,…,x n.Meie ülesandeks jääb süsteemile lahenduste leidmine. Sel juhul võib tekkida kolm olukorda: Lineaarvõrrandisüsteemi, millel on vähemalt üks lahend, nimetatakse liigend. Vastasel juhul, st. kui süsteemil pole lahendusi, siis kutsutakse seda mitteliigeste Vaatleme võimalusi süsteemile lahenduste leidmiseks. MAATRIKS-MEETOD LINEAARSÜSTEEMIDE LAHENDAMISEKS Maatriksid võimaldavad lühidalt kirja panna lineaarvõrrandisüsteemi. Olgu antud 3 võrrandi süsteem kolme tundmatuga:
Mõelge süsteemimaatriksile 
ja maatriksite veerud tundmatutest ja vabadest terminitest 
Otsime töö üles
need. korrutise tulemusena saame selle süsteemi võrrandite vasakpoolsed küljed. Seejärel saab selle süsteemi maatriksvõrdsuse definitsiooni kasutades kirjutada kujule 
või lühem A∙X = B.Siin on maatriksid A Ja B on teada ja maatriks X teadmata. See on vajalik üles leida, sest... selle elemendid on selle süsteemi lahendus. Seda võrrandit nimetatakse maatriksvõrrand.Olgu maatriksi determinant nullist erinev | A| ≠ 0. Seejärel lahendatakse maatriksvõrrand järgmiselt. Korrutage vasakpoolse võrrandi mõlemad pooled maatriksiga A -1
, maatriksi pöördväärtus A: . Kuna A -1
A=E Ja E∙X = X, siis leiame maatriksvõrrandi lahendi kujul X = A
-1
B
Pange tähele, et kuna pöördmaatriksit saab leida ainult ruutmaatriksite jaoks, saab maatriksmeetodiga lahendada ainult need süsteemid, milles võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga. Süsteemi maatrikssalvestus on aga võimalik ka juhul, kui võrrandite arv ei võrdu tundmatute arvuga, siis maatriks A ei saa olema ruudukujuline ja seetõttu on vormis võimatu süsteemile lahendust leida X = A -1
B.Näited. Lahendage võrrandisüsteeme. 
Leiame maatriksi pöördväärtuse A. , 
Seega x = 3, y = – 1. 
Niisiis, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. 
Avaldagem vajalik maatriks X antud võrrandist. 
Leiame maatriksi A -1 . 
Eksam: 
Võrrandist saame 
. 
Seega 
CRAMERI REEGEL Vaatleme kolmest lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga:
Süsteemi maatriksile vastav kolmandat järku determinant, s.o. koosneb tundmatute koefitsientidest,
helistas süsteemi määraja Koostame veel kolm determinanti järgmiselt: asendame järjestikku 1, 2 ja 3 veergu determinandis D vabade liikmete veeruga
Siis saame tõestada järgmise tulemuse. Teoreem (Crameri reegel). Kui süsteemi determinant Δ ≠ 0, siis on vaadeldaval süsteemil üks ja ainult üks lahend ning
Lisame need võrrandid:
Vaatame iga sulgu ja parem pool see võrrand. Determinandi laienemise teoreemi järgi 1. veeru elementides
Samamoodi saab näidata, et ja . Lõpuks on seda lihtne märgata 
Seega saame võrdsuse: .Siit, .Võrdused ja tuletatakse sarnaselt, millest järeldub teoreemi väide Seega märgime, et kui süsteemi determinant Δ ≠ 0, siis süsteemil on ainus otsus ja tagasi. Kui süsteemi determinant on võrdne nulliga, siis süsteemil on kas lõpmatu arv lahendeid või puuduvad lahendid, s.t. Sobimatu. Näited. Lahenda võrrandisüsteem 
Niisiis, X=1, juures=2, z=3. 
Süsteemil on ainulaadne lahendus, kui Δ ≠ 0. 
. Sellepärast . GAUSSi MEETOD Eelnevalt käsitletud meetoditega saab lahendada ainult neid süsteeme, milles võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga ja süsteemi determinant peab olema nullist erinev. Gaussi meetod on universaalsem ja sobib suvalise arvu võrranditega süsteemidele. See seisneb tundmatute järjestikuses eemaldamises süsteemi võrranditest. Vaatleme veel kord kolmest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga:
.
- Süsteemid m lineaarvõrrandid n teadmata.
Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine- see on selline numbrite komplekt ( x 1, x 2, …, x n), kui see asendatakse süsteemi igas võrrandis, saadakse õige võrdsus.
Kus aij, i = 1, …, m; j = 1, …, n— süsteemi koefitsiendid;
b i , i = 1, …, m- vabaliikmed;
x j , j = 1, …, n- teadmata.
Ülaltoodud süsteemi saab kirjutada maatriksi kujul: A X = B,
Kus ( A|B) on süsteemi põhimaatriks;
A— laiendatud süsteemimaatriks;
X— tundmatute veerg;
B— vabaliikmete kolonn.
Kui maatriks B ei ole nullmaatriks ∅, siis nimetatakse seda lineaarvõrrandisüsteemi ebahomogeenseks.
Kui maatriks B= ∅, siis nimetatakse seda lineaarvõrrandisüsteemi homogeenseks. Homogeensel süsteemil on alati null (triviaalne) lahendus: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Lineaarvõrrandi süsteem on lineaarvõrrandi süsteem, millel on lahendus.
Ebaühtlane lineaarvõrrandisüsteem on lahendamatu lineaarvõrrandi süsteem.
Teatud lineaarvõrrandisüsteem on lineaarsete võrrandite süsteem, millel on ainulaadne lahendus.
Määramatu lineaarvõrrandi süsteem on lõpmatu arvu lahendustega lineaarvõrrandi süsteem. - n lineaarvõrrandi süsteemid n tundmatuga
Kui tundmatute arv on võrdne võrrandite arvuga, on maatriks ruut. Maatriksi determinanti nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi peamiseks determinandiks ja seda tähistatakse sümboliga Δ.
Crameri meetod süsteemide lahendamiseks n lineaarvõrrandid n teadmata.
Crameri reegel.
Kui lineaarvõrrandisüsteemi põhideterminant ei ole võrdne nulliga, on süsteem järjekindel ja defineeritud ning ainus lahendus arvutatakse Crameri valemite abil:
kus Δ i on determinandid, mis on saadud süsteemi peadeterminandist Δ asendamise teel i veerust vabaliikmete veergu. . - M lineaarvõrrandi süsteemid n tundmatuga
Kronecker-Capelli teoreem.
Et antud lineaarvõrrandisüsteem oleks järjepidev, on vajalik ja piisav, et süsteemimaatriksi auaste oleks võrdne süsteemi laiendatud maatriksi astmega, helin(Α) = helin(Α|B).
Kui helin(Α) ≠ helin(Α|B), siis pole süsteemil ilmselgelt lahendusi.
Kui helin(Α) = helin(Α|B), siis on võimalikud kaks juhtumit:
1) aste(Α) = n(tundmatute arv) - lahendus on ainulaadne ja selle saab Crameri valemite abil;
2) auaste (Α)< n - lahendusi on lõputult palju. - Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks
Loome laiendatud maatriksi ( A|B) antud süsteemi tundmatute ja parempoolsete koefitsientide põhjal.
Gaussi meetod ehk tundmatute elimineerimise meetod seisneb laiendatud maatriksi ( A|B) kasutades elementaarteisendusi üle oma ridade diagonaalkujule (ülemisele kolmnurksele kujule). Tulles tagasi võrrandisüsteemi juurde, on kõik tundmatud määratud.
Elementaarsed teisendused stringide üle hõlmavad järgmist:
1) vahetada kaks rida;
2) stringi korrutamine 0-st erineva arvuga;
3) stringile teise stringi lisamine, mis on korrutatud suvalise arvuga;
4) nulljoone väljaviskamine.
Laiendatud maatriks, mis on taandatud diagonaalseks vormiks, vastab lineaarne süsteem, samaväärne sellega, mille lahendamine raskusi ei tekita. . - Homogeensete lineaarvõrrandite süsteem.
Homogeensel süsteemil on vorm:
see vastab maatriksvõrrandile A X = 0.
1) Homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna r(A) = r(A|B), on alati olemas nulllahendus (0, 0, …, 0).
2) Et homogeensel süsteemil oleks nullist erinev lahendus, on vajalik ja piisav, et r = r(A)< n , mis võrdub Δ = 0.
3) Kui r< n , siis ilmselgelt Δ = 0, siis tekivad vabad tundmatud c1, c2, …, cn-r, on süsteemil mittetriviaalsed lahendused ja neid on lõpmatult palju.
4) Üldine lahendus X juures r< n saab kirjutada maatriksi kujul järgmiselt:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
kus on lahendused X 1, X 2, …, X n-r moodustavad põhimõttelise lahenduste süsteemi.
5) Lahenduste põhisüsteemi saab hankida üldine lahendus homogeenne süsteem:
,
kui seame parameetrite väärtused järjestikku võrdseks (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Üldlahenduse laiendamine põhilahenduste süsteemi osas on üldlahenduse kirje põhisüsteemi kuuluvate lahenduste lineaarse kombinatsioonina.
Teoreem. Selleks, et lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil oleks nullist erinev lahendus, on vajalik ja piisav, et Δ ≠ 0.
Seega, kui determinant Δ ≠ 0, siis on süsteemil ainulaadne lahendus.
Kui Δ ≠ 0, siis on lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil lõpmatu arv lahendeid.
Teoreem. Selleks, et homogeensel süsteemil oleks nullist erinev lahendus, on vajalik ja piisav, et r(A)< n .
Tõestus:
1) r rohkem ei saa olla n(maatriksi järjestus ei ületa veergude või ridade arvu);
2) r< n , sest Kui r = n, siis süsteemi põhideterminant Δ ≠ 0 ja Crameri valemite järgi on olemas ainulaadne triviaalne lahendus x 1 = x 2 = … = x n = 0, mis on tingimusega vastuolus. Tähendab, r(A)< n .
Tagajärg. Homogeense süsteemi nimel n lineaarvõrrandid n Tundmatutel oli nullist erinev lahendus, on vajalik ja piisav, et Δ = 0.
1.1. Kahe lineaarvõrrandi ja teist järku determinantide süsteemid
Vaatleme kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi:
Koefitsiendid 
tundmatutega 
Ja 
on kaks indeksit: esimene tähistab võrrandi numbrit, teine – muutuja numbrit.
Crameri reegel: Süsteemi lahendus leitakse abideterminantide jagamisel süsteemi põhideterminandiga
,
Märkus 1. Crameri reegli kasutamine on võimalik, kui süsteemi determinant 
ei ole võrdne nulliga.
Märkus 2. Crameri valemid on üldistatud kõrgema järgu süsteemideks.
Näide 1. Lahendage süsteem: 
.
Lahendus.
;
;
;
Eksam:
Järeldus: Süsteem on õigesti lahendatud: 
.
1.2. Kolme lineaarvõrrandi ja kolmandat järku determinantide süsteemid
Vaatleme kolmest lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga:
Nimetatakse determinanti, mis koosneb tundmatute koefitsientidest süsteemi determinant või peamine determinant:
.
Kui 
siis on süsteemil ainulaadne lahendus, mis määratakse Crameri valemitega:
kus on määrajad 
– nimetatakse abistavateks ja saadakse determinandist 
asendades selle esimese, teise või kolmanda veeru süsteemi vabade liikmete veeruga.
Näide 2. Lahendage süsteem 
.
Moodustame peamised ja abideterminandid:
Jääb üle kaaluda kolmandat järku determinantide arvutamise reegleid. Neid on kolm: veergude lisamise reegel, Sarruse reegel, lagunemise reegel.
a) Reegel kahe esimese veeru lisamiseks põhideterminandile:
Arvutamine toimub järgmiselt: põhidiagonaali ja sellega paralleelide elementide korrutised lähevad nende märgiga; vastupidise märgiga võetakse sekundaarse diagonaali ja sellega paralleelide elementide korrutised.
b) Sarruse reegel:
Oma märgiga võtavad nad põhidiagonaali ja sellega paralleelsete elementide korrutised ning vastasnurgast võetakse puuduv kolmas element. Vastandmärgiga võtke sekundaarse diagonaali elementide korrutised ja piki sellega paralleele võetakse vastasnurgast kolmas element.
c) Rea või veeru elementide järgi jaotamise reegel:
Kui 
, Siis.
Algebraline komplement on madalamat järku determinant, mis saadakse vastava rea ja veeru läbikriipsutamisel ning märgi arvestamisel 
, Kus 
- rea number, 
- veeru number.
Näiteks,
,
,
jne.
Seda reeglit kasutades arvutame abideterminandid 
Ja 
, laiendades neid vastavalt esimese rea elementidele.
Pärast kõigi determinantide arvutamist leiame muutujad Crameri reegli abil:
Eksam:
Järeldus: süsteem on õigesti lahendatud: .
Determinantide põhiomadused
Tuleb meeles pidada, et määraja on number, leitud teatud reeglite järgi. Selle arvutamist saab lihtsustada, kui kasutada põhiomadusi, mis kehtivad mis tahes järjestuse determinantide jaoks.
Vara 1. Determinandi väärtus ei muutu, kui kõik selle read asendatakse arvuliselt vastavate veergudega ja vastupidi.
Ridade asendamist veergudega nimetatakse transponeerimiseks. Sellest omadusest järeldub, et iga väide, mis on tõene determinandi ridade puhul, kehtib ka selle veergude puhul.
Vara 2. Kui determinandis on kaks rida (veeru) vahetatud, muutub determinandi märk vastupidiseks.
Vara 3. Kui determinandi mis tahes rea kõik elemendid on võrdsed 0-ga, siis on determinant 0-ga.
Vara 4.
Kui determinandi stringi elemendid korrutada (jagada) mingi arvuga 
, siis determinandi väärtus suureneb (väheneb) aastal 
üks kord.
Kui rea elementidel on ühine tegur, siis saab selle determinandi märgist välja võtta.
Vara 5. Kui determinandil on kaks identset või võrdelist rida, on selline determinant võrdne 0-ga.
Vara 6. Kui determinandi mis tahes rea elemendid on kahe liikme summa, siis on determinant võrdne kahe determinandi summaga.
Vara 7. Determinandi väärtus ei muutu, kui rea elemendid liidetakse teise rea elementidele ja korrutatakse sama arvuga.
Selles determinandis liideti esmalt kolmas rida teisele reale, korrutati 2-ga, seejärel lahutati teine kolmandast veerust, misjärel liideti teine rida esimesele ja kolmandale, mille tulemusena saime palju nullid ja lihtsustas arvutust.
Elementaarne teisendusi determinanti nimetatakse selle lihtsustamiseks määratud omaduste kasutamise kaudu.
Näide 1. Arvuta determinant
Otsene arvutamine ühe ülalkirjeldatud reegli järgi toob kaasa tülikad arvutused. Seetõttu on soovitatav kasutada järgmisi omadusi:
a) realt 1 lahutage teine, korrutatuna 2-ga;
b) reast II lahutage kolmas, korrutatuna 3-ga.
Selle tulemusena saame:
Laiendame seda determinanti esimese veeru elementideks, mis sisaldavad ainult ühte nullist erinevat elementi.
.
Kõrgemate tellimuste süsteemid ja määrajad
süsteem 
lineaarvõrrandid 
Tundmatuid saab kirjutada järgmiselt:
Sel juhul on võimalik koostada ka põhi- ja abideterminandid ning määrata tundmatud Crameri reegli abil. Probleem on selles, et kõrgemat järku determinante saab arvutada ainult järgu langetades ja kolmandat järku determinantideks taandades. Seda saab teha otsese lagundamise teel ridade või veergude elementideks, samuti kasutades esialgseid elementaarteisendusi ja edasist lagundamist.
Näide 4. Arvutage neljandat järku determinant
Lahendus leiame selle kahel viisil:
a) otsese laiendamisega esimese rea elementidele:
b) esialgsete teisenduste ja edasise lagunemise kaudu
|
|
a) realt I lahutada III |
|
|
b) lisage IV rida II |
Näide 5. Arvutage viiendat järku determinant, saades neljanda veeru abil nullid kolmandas reas
|
|
esimesest reast lahutame teise, kolmandast lahutame teise, neljandast lahutame teise korrutatuna 2-ga. |
lahutage teisest veerust kolmas: 
lahutage teisest realt kolmas: 
Näide 6. Lahendage süsteem:
Lahendus. Koostame süsteemi determinandi ja determinantide omadusi kasutades arvutame selle:
(esimesest reast lahutame kolmanda ja seejärel saadud kolmanda järgu determinandis kolmandast veerust lahutame esimese, korrutatuna 2-ga). Determinant 
, seetõttu on rakendatavad Crameri valemid.
Arvutame ülejäänud determinandid:
Neljas veerg korrutati 2-ga ja lahutati ülejäänud osast
Neljas veerg lahutati esimesest ja seejärel korrutati 2-ga teisest ja kolmandast veerust.
.
Siin teostasime samad teisendused nagu 
.
.
Kui leiate 
esimene veerg korrutati 2-ga ja lahutati ülejäänud osast.
Crameri reegli kohaselt on meil:
Pärast leitud väärtuste asendamist võrranditesse oleme veendunud, et süsteemi lahendus on õige.
2. MAATRIKSID JA NENDE KASUTAMINE
LINEAARSÜSTEEMIDE LAHENDAMISES
Kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel tekib väga sageli vajadus arvutada maatriksi determinant. Maatriksi determinant esineb lineaaralgebras, analüütilises geomeetrias, matemaatilises analüüsis ja teistes kõrgema matemaatika harudes. Seega on ilma determinantide lahendamise oskuseta lihtsalt võimatu hakkama saada. Samuti saate enesetestimiseks tasuta alla laadida determinantide kalkulaatori, mis ei õpeta teid ise determinante lahendama, kuid see on väga mugav, kuna õige vastus on alati kasulik ette teada!
Ma ei anna determinandile ranget matemaatilist määratlust ja üldiselt püüan matemaatilist terminoloogiat minimeerida; see ei muuda enamiku lugejate jaoks lihtsamaks. Selle artikli eesmärk on õpetada teile, kuidas lahendada teist, kolmandat ja neljandat järku determinante. Kogu materjal on esitatud lihtsas ja juurdepääsetav vorm, ja isegi täis (tühi) teekann kõrgemas matemaatikas suudab pärast materjali hoolikat uurimist determinante õigesti lahendada.
Praktikas võib kõige sagedamini leida teist järku determinandi, näiteks: ja kolmandat järku determinandi, näiteks: 
.
Neljandat järku determinant 
See ei ole ka antiik ja me käsitleme seda õppetunni lõpus.
Loodan, et kõik mõistavad järgmist: Determinandi sees olevad arvud elavad iseenesest ja lahutamisest pole juttugi! Numbreid ei saa vahetada!
(Eelkõige on võimalik determinandi ridade või veergude paarikaupa ümberpaigutamist selle märgi muutmisega, kuid sageli pole see vajalik - vt järgmist õppetundi Determinandi omadused ja selle järjestuse alandamine)
Seega, kui on antud mingi determinant, siis Me ei puuduta selle sees midagi!
Nimetused: Kui antakse maatriks 
, siis märgitakse selle determinant . Samuti on väga sageli determinanti tähistatud ladina või kreeka tähega.
1)Mida tähendab determinandi lahendamine (leidmine, paljastamine)? Determinandi arvutamine tähendab ARVU LEIDMIST. Ülaltoodud näidete küsimärgid on täiesti tavalised numbrid.
2) Nüüd jääb üle välja mõelda KUIDAS seda numbrit leida? Selleks peate taotlema teatud reeglid, valemid ja algoritmid, millest me nüüd räägime.
Alustame determinandiga "kaks" ja "kaks":
SEE TULEB MEELES pidada, vähemalt ülikoolis kõrgemat matemaatikat õppides.
Vaatame kohe näidet:
Valmis. Kõige tähtsam on MITTE MÄRKIDES SEGEMISEKS SAADA.
Kolm korda kolm maatriksi determinant saab avada 8 viisil, neist 2 on lihtsad ja 6 on tavalised.
Alustame kahega lihtsaid viise
Sarnaselt kaks korda kahe determinandiga saab kolm korda kolme determinanti laiendada, kasutades valemit:
Valem on pikk ja ettevaatamatusest on lihtne viga teha. Kuidas tüütuid vigu vältida? Selleks leiutati teine determinandi arvutamise meetod, mis tegelikult langeb kokku esimesega. Seda nimetatakse Sarruse meetodiks või "paralleelribade" meetodiks.
Alumine rida on see, et määrajast paremale määrake esimene ja teine veerg ning tõmmake pliiatsiga ettevaatlikult jooned:
"Punastel" diagonaalidel asuvad kordajad on valemis kaasatud plussmärgiga.
"Sinistel" diagonaalidel asuvad kordajad sisalduvad valemis miinusmärgiga:
Näide:
Võrrelge kahte lahendust. On lihtne näha, et see on SAMA, lihtsalt teisel juhul on valemitegurid veidi ümber paigutatud ja mis kõige tähtsam, eksimise tõenäosus on palju väiksem.
Vaatame nüüd kuut tavalisi viise determinandi arvutamiseks
Miks normaalne? Sest enamikul juhtudel tuleb kvalifitseerijad sel viisil avalikustada.
Nagu märkasite, on kolm korda kolme determinandil kolm veergu ja kolm rida.
Determinandi saate lahendada selle avamisega mis tahes rea või veeru järgi.
Seega on 6 meetodit, mis kõigil juhtudel kasutatakse sama tüüpi algoritm.
Maatriksi determinant on võrdne rea (veeru) elementide korrutistega vastavate algebraliste täienditega. Hirmutav? Kõik on palju lihtsam; kasutame mitteteaduslikku, kuid arusaadavat lähenemist, mis on kättesaadav isegi matemaatikast kaugel olevale inimesele.
Järgmises näites laiendame determinanti esimesel real.
Selleks vajame märkide maatriksit: . Lihtne on märgata, et märgid on paigutatud ruudukujuliselt.
Tähelepanu! Märgimaatriks on minu enda leiutis. See kontseptsioon ei ole teaduslik, seda ei pea kasutama ülesannete lõplikul kujundamisel, see aitab ainult mõista determinandi arvutamise algoritmi.
Esmalt annan täieliku lahenduse. Võtame uuesti oma eksperimentaalse determinandi ja teostame arvutused:
JA põhiküsimus: KUIDAS saada seda määrajast "kolm korda kolm": 
?
Niisiis, kolm korda kolm määraja taandub lahendusele kolm pisikest determinandid või nagu neid nimetatakse, MINOROV. Soovitan terminit meeles pidada, seda enam, et see on meeldejääv: alaealine – väike.
Kui determinandi lagundamise meetod on valitud esimesel real, on ilmne, et kõik keerleb tema ümber:
Elemente vaadatakse tavaliselt vasakult paremale (või ülalt alla, kui veerg on valitud)
Lähme, kõigepealt tegeleme rea esimese elemendiga, see tähendab ühega:
1) Märkide maatriksist kirjutame välja vastava märgi: 
2) Seejärel kirjutame elemendi enda: 
3) Tõmmake VAIMSELT läbi rida ja veerg, milles esimene element ilmub: 
Ülejäänud neli numbrit moodustavad determinandi "kaks kahega", mida nimetatakse VÄIKE antud elemendist (ühikust).
Liigume edasi rea teise elemendi juurde.
4) Märkide maatriksist kirjutame välja vastava märgi:
5) Seejärel kirjutage teine element: 
6) kriipsutage VAIMSELT läbi rida ja veerg, milles teine element kuvatakse: 
Noh, esimese rea kolmas element. Originaalsus puudub:
7) Märkide maatriksist kirjutame välja vastava märgi: 
8) Kirjutage üles kolmas element: 
9) Tõmmake VAIMSELT läbi rida ja veerg, mis sisaldavad kolmandat elementi: 
Ülejäänud neli numbrit kirjutame väikesesse determinandi.
Ülejäänud toimingud ei valmista mingeid raskusi, kuna me juba teame, kuidas kahekaupa determinante loendada. ÄRGE SEEGEGE MÄRKIDES!
Samamoodi saab determinandi laiendada üle mis tahes rea või mis tahes veergu. Loomulikult on vastus kõigil kuuel juhul sama.
Neli korda nelja determinandi saab arvutada sama algoritmi abil.
Sel juhul suureneb meie märkide maatriks:
Järgmises näites olen determinanti laiendanud neljanda veeru järgi:
Kuidas see juhtus, proovige see ise välja mõelda. Lisainformatsioon Saab hiljem. Kui keegi soovib determinandi lõpuni lahendada, on õige vastus: 18. Harjutamiseks on parem determinant lahendada mõne teise veeru või muu rea järgi.
Harjutamine, paljastamine, arvutamine on väga hea ja kasulik. Aga kui palju aega kulutate suurele kvalifikatsiooniturniirile? Kas pole kiiremat ja usaldusväärsemat viisi? Soovitan tutvuda tõhusad meetodid determinantide arvutused teises tunnis - Determinandi omadused. Determinandi järjekorra vähendamine.
OLE ETTEVAATLIK!
RCB KAITSE SÕJAÜLIKOOLI KOSTROMA FILIAAL
Sõjaväe juhtimise automatiseerimise osakond
Ainult õpetajatele
"Ma kiidan heaks"
Osakonnajuhataja nr 9
Kolonel YAKOVLEV A.B.
"____"__________________ 2004
Dotsent A.I. SMIRNOVA
"KVALIFITSIOONID.
LINEAARVÕRDSÜSTEEMIDE LAHENDUS"
LOENG nr 2 / 1
Arutati osakonna koosolekul nr 9
"________"___________ 2004
Protokoll nr ___________
Kostroma, 2004.
Sissejuhatus
1. Teist ja kolmandat järku determinandid.
2. Determinantide omadused. Dekompositsiooni teoreem.
3. Crameri teoreem.
Järeldus
Kirjandus
1. V.E. Schneider et al. Lühike kursus Kõrgem matemaatika, I köide, Ch. 2 lõige 1.
2. V.S. Štšipatšov, Kõrgem matemaatika, 10. peatükk, lõik 2.
SISSEJUHATUS
Loengus käsitletakse teise ja kolmanda järgu determinante ja nende omadusi. Ja ka Crameri teoreem, mis võimaldab determinantide abil lahendada lineaarvõrrandisüsteeme. Determinante kasutatakse ka hiljem teemas “Vektoralgebra” vektorite vektorkorrutise arvutamisel.
1. õppeküsimus TEISE JA KOLMANDA MÄÄRAJAD
TELLIMINE
Vaatleme vormi nelja numbriga tabelit
Tabelis olevad numbrid on tähistatud kahe indeksiga tähega. Esimene indeks tähistab rea numbrit, teine veeru numbrit.
MÄÄRATLUS 1. Teist järku determinant helistas väljendus lahke :
(1)
Numbrid A 11, …, A 22 nimetatakse determinandi elementideks.
Elementidest moodustatud diagonaal A 11 ; A 22 nimetatakse peamiseks ja diagonaaliks, mille moodustavad elemendid A 12 ; A 21 - kõrvuti.
Seega on teist järku determinant võrdne põhi- ja sekundaardiagonaali elementide korrutistega.
Pange tähele, et vastus on arv.
NÄITED. Arvutama:
Nüüd kaaluge üheksa numbriga tabelit, mis on kirjutatud kolmes reas ja kolmes veerus:
MÄÄRATLUS 2. Kolmandat järku determinant nimetatakse vormi väljenduseks :
Elemendid A 11; A 22 ; A 33 – moodustab põhidiagonaali.
Numbrid A 13; A 22 ; A 31 – moodustada külgdiagonaal.
Kujutame skemaatiliselt, kuidas pluss- ja miinusliikmed moodustuvad:
" + " " – "
Pluss sisaldab: põhidiagonaalil olevate elementide korrutis, ülejäänud kaks liiget on põhidiagonaaliga paralleelsete alustega kolmnurkade tippudes paiknevate elementide korrutis.
Miinusliikmed moodustatakse sekundaarse diagonaali suhtes sama skeemi järgi.
Seda kolmandat järku determinandi arvutamise reeglit nimetatakse
Reegel T reugolnikov.
NÄITED. Arvutage kolmnurga reegli abil:
KOMMENTEERI. Determinante nimetatakse ka determinantideks.
2. õppeküsimus DETERMINANTIDE OMADUSED.
LAIENDUSTEOREEM
Vara 1. Determinandi väärtus ei muutu, kui selle read vahetatakse vastavate veergudega.
.
Mõlema determinandi paljastamisega oleme veendunud võrdsuse kehtivuses.
Omadus 1 kehtestab determinandi ridade ja veergude võrdsuse. Seetõttu sõnastame determinandi kõik edasised omadused nii ridade kui ka veergude jaoks.
Vara 2. Kahe rea (või veeru) ümberpaigutamisel muudab determinant oma märgi vastupidiseks, säilitades oma absoluutväärtuse .
.
Vara 3. Kokku kordaja rea elemendid (või veerus)saab välja võtta määrava märgina.
.
Vara 4. Kui determinandil on kaks identset rida (või veergu), siis on see võrdne nulliga.
Seda omadust saab tõestada otsese kontrolliga või kasutada atribuuti 2.
Tähistame determinandi tähega D. Kahe identse esimese ja teise rea ümberpaigutamisel see ei muutu, kuid vastavalt teisele omadusele peab ta muutma märki, s.t.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Vara 5. Kui kõik stringi elemendid (või veerus)on nulliga, siis on determinant võrdne nulliga.
Seda vara võib pidada erijuhtum omadused 3 kl
Vara 6. Kui kahe joone elemendid (või veerud)determinandid on võrdelised, siis on determinant võrdne nulliga.
.
Saab tõestada otsese kontrollimise või omaduste 3 ja 4 abil.
Vara 7. Determinandi väärtus ei muutu, kui rea (või veeru) elementidele lisatakse teise rea (või veeru) vastavad elemendid, korrutades sama arvuga.
.
Tõestatud otsese kontrolliga.
Nende omaduste kasutamine võib mõnel juhul hõlbustada determinantide, eriti kolmandat järku, arvutamise protsessi.
Järgneva jaoks vajame väiksema ja algebralise täienduse mõisteid. Vaatleme neid mõisteid kolmanda järjekorra määratlemiseks.
MÄÄRATLUS 3. Alaealine Kolmandat järku determinandi antud elemendist nimetatakse teist järku determinandiks, mis saadakse antud elemendist rea ja veeru läbikriipsutamise teel, mille ristumiskohas antud element asub.
Element väike A i j tähistatud M i j. Nii et elemendi jaoks A 11 alaealine
See saadakse kolmanda järgu determinandi esimese rea ja esimese veeru läbikriipsutamisel.
MÄÄRATLUS 4. Determinandi elemendi algebraline täiend nad nimetavad seda alaealiseks korrutatuna (-1)k , Kus k - rea- ja veerunumbrite summa, mille ristumiskohas see element asub.
Elemendi algebraline täiend A i j tähistatud A i j .
Seega A i j =
.Kirjutame üles elementide algebralised liitmised A 11 ja A 12.
.
.
Kasulik on meeles pidada reeglit: determinandi elemendi algebraline täiend on võrdne selle märgilise molliga pluss, kui rea- ja veerunumbrite summa, milles element kuvatakse, on isegi, ja märgiga miinus, kui see summa kummaline .