>

Millise sündmuse tõenäosus on null. Probleemide lahendamine sõnastusega "vähemalt üks"

Tõenäosus sündmus on antud sündmust soodustavate elementaarsete tulemuste arvu suhe kõigi võrdselt võimalike kogemuste tulemuste arvu, milles see sündmus võib aset leida. Sündmuse A tõenäosust tähistatakse P(A)-ga (siin P on prantsuskeelse sõna probabilite esimene täht – tõenäosus). Definitsiooni järgi
(1.2.1)
kus on sündmust A soodustavate elementaarsete tulemuste arv; - kõigi võrdselt võimalike kogemuste elementaarsete tulemuste arv, mis moodustavad tervikliku sündmuste rühma.
Seda tõenäosuse määratlust nimetatakse klassikaliseks. See tekkis tõenäosusteooria väljatöötamise algfaasis.

Sündmuse tõenäosusel on järgmised omadused:
1. Teatud sündmuse tõenäosus on võrdne ühega. Tähistame kindlat sündmust tähega. Teatud sündmuse puhul seega
(1.2.2)
2. Võimatu sündmuse tõenäosus on null. Võimatut sündmust tähistame tähega . Võimatu sündmuse puhul seega
(1.2.3)
3. Juhusliku sündmuse tõenäosust väljendatakse positiivse arvuna, mis on väiksemad kui üks. Kuna ebavõrdsused , või on täidetud juhusliku sündmuse korral, siis
(1.2.4)
4. Mis tahes sündmuse tõenäosus rahuldab ebavõrdsust
(1.2.5)
See tuleneb seostest (1.2.2) -(1.2.4).

Näide 1 Urnis on 10 ühesuuruse ja kaaluga palli, millest 4 on punased ja 6 sinised. Urnist tõmmatakse üks pall. Kui suur on tõenäosus, et tõmmatud pall on sinine?

Lahendus. Sündmust "tõmmatud pall osutus siniseks" tähistatakse tähega A. Sellel katsel on 10 võrdselt võimalikku elementaarset tulemust, millest 6 eelistab sündmust A. Valemi (1.2.1) kohaselt saame

Näide 2 Kõik naturaalarvud 1 kuni 30 kirjutatakse identsetele kaartidele ja asetatakse urni. Pärast kaartide põhjalikku segamist eemaldatakse üks kaart urnist. Kui suur on tõenäosus, et joonistatud kaardil olev arv on 5-kordne?

Lahendus. Tähistage A-ga sündmust "võetud kaardil olev arv on 5-kordne". Selles testis on 30 võrdselt võimalikku elementaarset tulemust, millest 6 tulemust soosivad sündmust A (numbrid 5, 10, 15, 20, 25, 30). Järelikult

Näide 3 Visatakse kaks täringut, arvutatakse ülemiste tahkude punktide summa. Leidke sündmuse B tõenäosus, mis seisneb selles, et kuubikute ülemistel tahkudel on kokku 9 punkti.

Lahendus. Selles katses on 6 2 = 36 võrdselt võimalikku elementaarset tulemust. Sündmust B soosib 4 tulemust: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), seega

Näide 4. Juhuslikult valitakse naturaalarv, mis ei ületa 10. Kui suur on tõenäosus, et see arv on algarv?

Lahendus. Tähistage C-tähega sündmust "valitud arv on algarv". Sel juhul n = 10, m = 4 (algarvud 2, 3, 5, 7). Seega soovitud tõenäosus

Näide 5 Visatakse kaks sümmeetrilist münti. Kui suur on tõenäosus, et mõlema mündi ülemisel küljel on numbrid?

Lahendus. Tähistagem D-tähega sündmust "iga mündi pealmisel küljel oli number". Selles testis on 4 võrdselt võimalikku elementaarset tulemust: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Tähistus (G, C) tähendab, et esimesel mündil on vapp, teisel - number). Sündmust D soosib üks elementaarne tulemus (C, C). Kuna m = 1, n = 4, siis

Näide 6 Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud kahekohalise arvu numbrid on samad?

Lahendus. Kahekohalised arvud on arvud vahemikus 10 kuni 99; selliseid numbreid on kokku 90. 9 numbrit on ühesuguste numbritega (need on numbrid 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kuna sel juhul m = 9, n = 90, siis
,
kus A on "samade numbritega number" sündmus.

Näide 7 Sõna tähtedest diferentsiaalüks täht valitakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et see täht on: a) täishäälik b) kaashäälik c) täht h?

Lahendus. Diferentsiaalis on 12 tähte, millest 5 on täishäälikud ja 7 kaashäälikud. Kirjad h see sõna mitte. Tähistame sündmusi: A - "vokaal", B - "konsonant", C - "täht h". Soodsate elementaarsete tulemuste arv: - sündmuse A jaoks, - sündmuse B jaoks, - sündmuse C jaoks. Kuna n \u003d 12, siis
, Ja .

Näide 8 Visatakse kaks täringut, märgitakse iga täringu ülaosas olevate punktide arv. Leidke tõenäosus, et mõlemal täringul on sama arv punkte.

Lahendus. Tähistame seda sündmust tähega A. Sündmust A eelistavad 6 elementaarset tulemust: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Kokku on võrdselt võimalikke elementaartulemusi, mis moodustavad tervikliku sündmuste rühma, antud juhul n=6 2 =36. Seega soovitud tõenäosus

Näide 9 Raamatus on 300 lehekülge. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult avatud lehel on järjekorranumber, mis on 5-kordne?

Lahendus.Ülesande tingimustest järeldub, et kõiki võrdselt võimalikke elementaartulemusi, mis moodustavad tervikliku sündmuste rühma, on n = 300. Neist m = 60 soosib määratud sündmuse toimumist. Tõepoolest, arvul, mis on 5-kordne, on vorm 5k, kus k on naturaalarv ja kust . Järelikult
, kus A – sündmusel "lehekülg" on järjekorranumber, mis on 5-kordne.

Näide 10. Visatakse kaks täringut, arvutatakse ülemiste tahkude punktide summa. Mis on tõenäolisem, et saada kokku 7 või 8?

Lahendus. Märgistame sündmused: A - "7 punkti kukkus välja", B - "8 punkti kukkus välja". Sündmust A eelistavad 6 põhitulemust: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) ja sündmust B – 5 tulemust: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Kõiki võrdselt võimalikke elementaartulemusi on n = 6 2 = 36. Seega, Ja .

Seega P(A)>P(B), st kokku 7 punkti saamine on tõenäolisem sündmus kui 8 punkti kokku saamine.

Ülesanded

1. Juhuslikult valitakse naturaalarv, mis ei ületa 30. Kui suur on tõenäosus, et see arv on 3-kordne?
2. Urnis a punane ja b sama suuruse ja kaaluga sinised pallid. Kui suur on tõenäosus, et sellest urnist juhuslikult tõmmatud pall on sinine?
3. Juhuslikult valitakse arv, mis ei ületa 30. Kui suur on tõenäosus, et see arv on zo jagaja?
4. Urnis aga sinine ja b sama suuruse ja kaaluga punased pallid. Sellest urnist tõmmatakse üks pall ja pannakse kõrvale. See pall on punane. Seejärel tõmmatakse urnist veel üks pall. Leidke tõenäosus, et ka teine ​​pall on punane.
5. Juhuslikult valitakse naturaalarv, mis ei ületa 50. Kui suur on tõenäosus, et see arv on algarv?
6. Visatakse kolm täringut, arvutatakse ülemiste tahkude punktide summa. Mis on tõenäolisem – kas saada kokku 9 või 10 punkti?
7. Loositakse kolm täringut, arvutatakse väljalangenud punktide summa. Mis on tõenäolisem, et saada kokku 11 (sündmus A) või 12 punkti (sündmus B)?

Vastused

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - tõenäosus saada kokku 9 punkti; p 2 \u003d 27/216 - tõenäosus saada kokku 10 punkti; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Küsimused

1. Mida nimetatakse sündmuse tõenäosuseks?
2. Kui suur on teatud sündmuse tõenäosus?
3. Kui suur on võimatu sündmuse tõenäosus?
4. Millised on juhusliku sündmuse tõenäosuse piirid?
5. Millised on mis tahes sündmuse tõenäosuse piirid?
6. Millist tõenäosuse definitsiooni nimetatakse klassikaliseks?

Tõenäosusteooria on matemaatika haru, mis uurib juhuslike nähtuste mustreid: juhuslikke sündmusi, juhuslikke muutujaid, nende omadusi ja tehteid nendega.

Pikka aega polnud tõenäosusteoorial selget definitsiooni. See sõnastati alles 1929. aastal. Tõenäosusteooria kui teaduse teket seostatakse keskajaga ja hasartmängude matemaatilise analüüsi esimeste katsetega (vise, täring, rulett). 17. sajandi prantsuse matemaatikud Blaise Pascal ja Pierre de Fermat avastasid hasartmängude võitude ennustamist uurides esimesed tõenäosuslikud mustrid, mis täringute viskamisel tekivad.

Tõenäosusteooria tekkis teadusena usust, et massiivsete juhuslike sündmuste aluseks on teatud seaduspärasused. Tõenäosusteooria uurib neid mustreid.

Tõenäosusteooria tegeleb sündmuste uurimisega, mille toimumine pole täpselt teada. See võimaldab teil hinnata mõne sündmuse toimumise tõenäosust võrreldes teistega.

Näiteks: mündi peade või sabade viskamise tulemust ei ole võimalik üheselt määrata, kuid korduva viskamise korral kukub välja ligikaudu sama arv päid ja sabasid, mis tähendab, et tõenäosus, et pead või sabad kukuvad ", on võrdne kuni 50%.

katsetada sel juhul nimetatakse teatud tingimuste kogumi rakendamist, see tähendab antud juhul mündi viskamist. Väljakutset saab mängida piiramatu arv kordi. Sel juhul sisaldab tingimuste kompleks juhuslikke tegureid.

Testi tulemus on sündmus. Sündmus toimub:

  1. Usaldusväärne (esineb alati testimise tulemusena).
  2. Võimatu (ei juhtu kunagi).
  3. Juhuslik (võib, kuid ei pruugi ilmneda testi tulemusena).

Näiteks mündi viskamisel võimatu sündmus - münt satub servale, juhuslik sündmus - "peade" või "sabade" kaotamine. Konkreetset testi tulemust nimetatakse elementaarne sündmus. Testi tulemusena toimuvad ainult elementaarsed sündmused. Nimetatakse kõigi võimalike, erinevate, spetsiifiliste testitulemuste kogum elementaarne üritusteruum.

Teooria põhimõisted

Tõenäosus- sündmuse toimumise tõenäosuse määr. Kui mõne võimaliku sündmuse tegeliku toimumise põhjused kaaluvad üles vastupidised põhjused, nimetatakse seda sündmust tõenäoliseks, muidu - ebatõenäoliseks või ebatõenäoliseks.

Juhuslik väärtus- see on väärtus, mis testi tulemusena võib võtta ühe või teise väärtuse ja pole ette teada, milline. Näiteks: tuletõrjedepoode arv ööpäevas, tabamuste arv 10 lasuga jne.

Juhuslikud muutujad võib jagada kahte kategooriasse.

  1. Diskreetne juhuslik suurus nimetatakse sellist suurust, mis testi tulemusel võib teatud tõenäosusega omandada teatud väärtused, moodustades loendatava hulga (kogumi, mille elemente saab nummerdada). See komplekt võib olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks laskude arv enne esimest tabamust sihtmärgile on diskreetne juhuslik suurus, kuna see väärtus võib omandada lõpmatu, kuigi loendatava arvu väärtusi.
  2. Pidev juhuslik muutuja on suurus, mis võib võtta mis tahes väärtuse mõnest lõplikust või lõpmatust intervallist. Ilmselgelt on pideva juhusliku suuruse võimalike väärtuste arv lõpmatu.

Tõenäosusruum- kontseptsiooni tutvustas A.N. Kolmogorov 1930. aastatel, et formaliseerida tõenäosuse mõiste, mis tõi kaasa tõenäosusteooria kui range matemaatilise distsipliini kiire arengu.

Tõenäosusruum on kolmik (mõnikord raamitud nurksulgudesse: , kus

See on suvaline hulk, mille elemente nimetatakse elementaarseteks sündmusteks, tulemusteks või punktideks;
- alamhulkade sigma-algebra, mida nimetatakse (juhuslikeks) sündmusteks;
- tõenäosusmõõt ehk tõenäosus, s.o. sigma-additiivne lõplik meede nii, et .

De Moivre-Laplace'i teoreem- üks tõenäosusteooria piiravatest teoreemidest, mille kehtestas Laplace 1812. aastal. Ta väidab, et sama juhusliku katse kordamisel kahe võimaliku tulemusega õnnestumiste arv jaguneb ligikaudu normaalselt. See võimaldab teil leida tõenäosuse ligikaudse väärtuse.

Kui iga sõltumatu katse puhul on mõne juhusliku sündmuse toimumise tõenäosus võrdne () ja see on katsete arv, milles see tegelikult aset leiab, siis on ebavõrdsuse kehtivuse tõenäosus lähedane (suurte ) Laplace'i integraali väärtusele.

Jaotusfunktsioon tõenäosusteoorias- juhusliku suuruse või juhusliku vektori jaotust iseloomustav funktsioon; tõenäosus, et juhuslik suurus X saab väärtuse, mis on väiksem või võrdne x-ga, kus x on suvaline reaalarv. Teatud tingimustel määrab see täielikult juhusliku suuruse.

Oodatud väärtus- juhusliku suuruse keskmine väärtus (see on tõenäosusteoorias vaadeldav juhusliku suuruse tõenäosusjaotus). Inglise kirjanduses tähistatakse seda vene keeles -. Statistikas kasutatakse sageli tähistust.

Olgu antud tõenäosusruum ja sellel defineeritud juhuslik suurus. See on definitsiooni järgi mõõdetav funktsioon. Siis, kui ruumi üle on Lebesgue'i integraal, nimetatakse seda matemaatiliseks ootuseks või keskmiseks väärtuseks ja seda tähistatakse .

Juhusliku suuruse dispersioon- antud juhusliku suuruse leviku mõõt, st selle kõrvalekalle matemaatilisest ootusest. Määratud vene kirjanduses ja välismaal. Statistikas kasutatakse sageli nimetust või. Dispersiooni ruutjuurt nimetatakse standardhälbeks, standardhälbeks või standardlevikuks.

Olgu mingis tõenäosusruumis defineeritud juhuslik suurus. Siis

kus sümbol tähistab matemaatilist ootust.

Tõenäosusteoorias nimetatakse kahte juhuslikku sündmust sõltumatu kui neist ühe esinemine ei muuda teise esinemise tõenäosust. Samamoodi nimetatakse kahte juhuslikku muutujat sõltuv kui ühe väärtus mõjutab teise väärtuste tõenäosust.

Suurte arvude seaduse lihtsaim vorm on Bernoulli teoreem, mis ütleb, et kui sündmuse toimumise tõenäosus on kõigis katsetes sama, siis katsete arvu kasvades kaldub sündmuse sagedus sündmuse tõenäosusele ja lakkab olemast juhuslik.

Tõenäosusteooria suurte arvude seadus ütleb, et fikseeritud jaotuse lõpliku valimi aritmeetiline keskmine on lähedane selle jaotuse teoreetilisele keskmisele. Sõltuvalt konvergentsi tüübist eristatakse nõrka suurte arvude seadust, kui toimub tõenäosuse konvergents, ja tugevat suurte arvude seadust, kui lähenemine toimub peaaegu kindlasti.

Suurte arvude seaduse üldine tähendus seisneb selles, et suure hulga identsete ja sõltumatute juhuslike tegurite koosmõju viib tulemuseni, mis piirides ei sõltu juhusest.

Sellel omadusel põhinevad lõpliku valimi analüüsil põhinevad tõenäosuse hindamise meetodid. Hea näide on valimistulemuste ennustamine valimi valimi uuringu põhjal.

Keskpiiri teoreemid- tõenäosusteooria teoreemide klass, mis väidab, et piisavalt suure arvu nõrgalt sõltuvate juhuslike suuruste summal, millel on ligikaudu sama skaala (ükski mõistetest ei domineeri, ei anna summale otsustavat panust) on jaotus lähedane normaalne.

Kuna paljud juhuslikud suurused rakendustes moodustuvad mitme nõrgalt sõltuva juhusliku faktori mõjul, peetakse nende jaotust normaalseks. Sel juhul tuleb jälgida tingimust, et ükski tegur ei ole domineeriv. Keskpiirteoreemid õigustavad neil juhtudel normaaljaotuse rakendamist.

See on nende vaatluste arvu suhe, mille käigus kõnealune sündmus aset leidis, vaatluste koguarvusse. Selline tõlgendus on lubatud piisava hulga vaatluste või katsete korral. Näiteks kui umbes pooled tänaval kohatud inimestest on naised, siis võib öelda, et tõenäosus, et tänaval kohatud inimene on naine, on 1/2. Teisisõnu võib selle esinemise sagedus juhusliku katse sõltumatute korduste seerias olla sündmuse tõenäosuse hinnang.

Tõenäosus matemaatikas

Kaasaegses matemaatilises käsitluses annab klassikalise (st mitte kvant) tõenäosuse Kolmogorovi aksiomaatika. Tõenäosus on mõõt P, mis on võtteplatsil seadistatud X, mida nimetatakse tõenäosusruumiks. Sellel meetmel peavad olema järgmised omadused:

Nendest tingimustest järeldub, et tõenäosus mõõdab P omab ka kinnisvara liitlikkus: kui seab A 1 ja A 2 ei ristu, siis . Selle tõestamiseks peate kõik panema A 3 , A 4 , … võrdne tühja hulgaga ja rakendage loendatava liitivuse omadust.

Tõenäosusmõõtu ei pruugi komplekti kõigi alamhulkade jaoks määratleda X. Piisab selle defineerimisest sigma-algebral, mis koosneb hulga mõnest alamhulgast X. Sellisel juhul määratletakse juhuslikud sündmused kui ruumi mõõdetavad alamhulgad X, see tähendab sigma algebra elementidena.

Tõenäosustunne

Kui leiame, et mõne võimaliku fakti tegeliku ilmnemise põhjused kaaluvad üles vastupidised põhjused, arvestame seda asjaolu tõenäoline, muidu - uskumatu. See positiivsete aluste ülekaal negatiivsete üle ja vastupidi võib esindada määramatut kraadide kogumit, mille tulemusena tõenäosus(Ja ebatõenäolisus) juhtub rohkem või vähem .

Keerulised üksikud faktid ei võimalda nende tõenäosusastmeid täpselt arvutada, kuid isegi siin on oluline kehtestada mõned suured alajaotused. Nii näiteks õigusvaldkonnas, kui tunnistaja ütluste põhjal tehakse kindlaks kohtualune isiklik fakt, jääb see rangelt võttes alati ainult tõenäoliseks ja on vaja teada, kui oluline see tõenäosus on; Rooma õiguses aktsepteeriti siin neljakordset jaotust: katseaeg(kus tõenäosus praktiliselt muutub autentsus), edasi - probatio miinus plena, siis - probatio semiplena major ja lõpuks probatio semiplena minor .

Lisaks juhtumi tõenäosuse küsimusele võib nii õiguse kui ka moraali valdkonnas (teatud eetilise seisukohaga) tõstatada küsimus, kui tõenäoline on, et antud konkreetne fakt kujutab endast üldseaduse rikkumist. See küsimus, mis on Talmudi religioosse jurisprudentsi peamiseks motiiviks, tõi roomakatoliku moraaliteoloogias (eriti alates 16. sajandi lõpust) kaasa väga keerukad süstemaatilised konstruktsioonid ja tohutu kirjanduse, dogmaatilise ja poleemilise (vt Tõenäosus). ).

Tõenäosuse mõiste lubab kindlat arvavaldist selle rakendamisel ainult selliste faktide puhul, mis on osa teatud homogeensetest seeriatest. Seega (lihtsaimas näites), kui keegi viskab münti sada korda järjest, leiame siit ühe üldise või suure seeria (mündi kõikide kukkumiste summa), mis koosneb kahest privaatsest või väiksemast. kääne arvuliselt võrdne, seeria (langeb " kotkas" ja langeb "sabad"); Tõenäosus, et seekord kukub münt saba, st et see üldrea uus liige kuulub kahe väiksema rea ​​hulka, on võrdne murdosaga, mis väljendab selle väikese ja suurema rea ​​arvulist suhet, nimelt 1/2, st sama tõenäosus kuulub ühele või teisele kahest erasarjast. Vähem lihtsate näidete puhul ei saa järeldust teha otse probleemi enda andmete põhjal, vaid see nõuab eelnevat esilekutsumist. Nii näiteks küsitakse: kui suur on tõenäosus, et antud vastsündinu elab kuni 80 aastat? Siin peab olema üldine või suur seeria teadaolevast arvust inimestest, kes on sündinud sarnastes tingimustes ja surevad erinevas vanuses (see arv peab olema piisavalt suur, et välistada juhuslikud kõrvalekalded, ja piisavalt väike, et säilitada seeria homogeensus, sest inimene, sündinud näiteks Peterburis heal järjel kultuurperes, kogu linnamiljoniline elanikkond, millest olulise osa moodustavad inimesed erinevatest rühmadest, kes võivad enneaegselt surra - sõdurid, ajakirjanikud , ohtlike elukutsete töötajad – esindab tõenäosuse tegeliku määratluse jaoks liiga heterogeenset rühma) ; koosnegu see üldine seeria kümnest tuhandest inimelust; see sisaldab väiksemaid ridu, mis näitavad nende inimeste arvu, kes elavad selle või selle vanuseni; üks neist väiksematest ridadest tähistab kuni 80-aastaste inimeste arvu. Kuid selle väiksema seeria (nagu ka kõigi teiste) suurust on võimatu määrata. a priori; seda tehakse puhtalt induktiivsel viisil, statistika kaudu. Oletame, et statistilised uuringud on kindlaks teinud, et 10 000 keskklassi peterburglasest jääb 80-aastaseks ellu vaid 45; seega on see väiksem rida seotud suuremaga 45 kuni 10 000 ja tõenäosus, et antud inimene kuulub sellesse väiksemasse ritta ehk elab 80-aastaseks, on väljendatud murdosana 0,0045. Tõenäosuse uurimine matemaatilisest vaatepunktist moodustab erilise distsipliini, tõenäosusteooria.

Vaata ka

Märkmed

Kirjandus

  • Alfred Renyi. Tähed tõenäosuse kohta / tõlge. alates Hung. D. Saas ja A. Crumley, toim. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970. aasta
  • Gnedenko B.V. Tõenäosuskursus. M., 2007. 42 lk.
  • Kuptsov V.I. Determinism ja tõenäosus. M., 1976. 256 lk.

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Sünonüümid:

Antonüümid:

Vaadake, mis on "tõenäosus" teistes sõnaraamatutes:

    Üldteaduslik ja filosoofiline. kategooria, mis tähistab massiliste juhuslike sündmuste esinemise võimalikkuse kvantitatiivset astet fikseeritud vaatlustingimustes ja iseloomustab nende suhteliste sageduste stabiilsust. Loogikas on semantiline aste ...... Filosoofiline entsüklopeedia

    TÕENÄOSUS, arv vahemikus nullist üheni (kaasa arvatud), mis tähistab selle sündmuse toimumise võimalust. Sündmuse tõenäosus on defineeritud kui sündmuse toimumise võimaluste arvu suhe võimalike ... ... Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik

    Suure tõenäosusega .. Vene sünonüümide ja tähenduselt sarnaste väljendite sõnastik. all. toim. N. Abramova, M.: Vene sõnaraamatud, 1999. tõenäosus, võimalus, tõenäosus, juhus, objektiivne võimalus, maza, lubatavus, risk. Ant. võimatus...... Sünonüümide sõnastik

    tõenäosus- Meede, et sündmus võib toimuda. Märkus. Tõenäosuse matemaatiline määratlus on "juhusliku sündmusega seotud reaalarv vahemikus 0 kuni 1". Arv võib kajastada suhtelist sagedust vaatluste seerias ... ... Tehnilise tõlkija käsiraamat

    Tõenäosus- "matemaatiline, numbriline karakteristik mis tahes sündmuse toimumise tõenäosuse astme kohta teatud konkreetsetes tingimustes, mida saab korrata piiramatu arv kordi." Põhineb sellel klassikal…… Majandus- ja matemaatikasõnaraamat

    - (tõenäosus) Sündmuse või teatud tulemuse toimumise võimalus. Seda saab esitada skaalana jaotustega 0 kuni 1. Kui sündmuse tõenäosus on null, on selle toimumine võimatu. Tõenäosusega 1 algab ... Äriterminite sõnastik

tõenäosus on arv vahemikus 0 kuni 1, mis peegeldab juhusliku sündmuse toimumise tõenäosust, kus 0 on sündmuse toimumise tõenäosuse täielik puudumine ja 1 tähendab, et kõnealune sündmus kindlasti toimub.

Sündmuse E tõenäosus on arv vahemikus kuni 1.
Üksteist välistavate sündmuste tõenäosuste summa on 1.

empiiriline tõenäosus- tõenäosus, mis arvutatakse ajalooliste andmete analüüsi põhjal minevikus toimunud sündmuse suhtelise sagedusena.

Väga harva esinevate sündmuste tõenäosust ei saa empiiriliselt arvutada.

subjektiivne tõenäosus- tõenäosus, mis põhineb sündmuse isiklikul subjektiivsel hinnangul, sõltumata ajaloolistest andmetest. Investorid, kes teevad aktsiate ostu-müügiotsuseid, tegutsevad sageli subjektiivse tõenäosuse alusel.

eelnev tõenäosus -

Võimalus 1/... (tõenäosus), et sündmus toimub tõenäosuse mõiste kaudu. Sündmuse toimumise võimalust väljendatakse tõenäosusena järgmiselt: P/(1-P).

Näiteks kui sündmuse tõenäosus on 0,5, siis on sündmuse tõenäosus 1/2, kuna 0,5/(1-0,5).

Võimalus, et sündmust ei toimu, arvutatakse valemiga (1-P)/P

Ebaühtlane tõenäosus- näiteks ettevõtte A aktsiate hinnas arvestatakse võimalikust sündmusest E 85% ja ettevõtte B aktsia hinnas vaid 50%. Seda nimetatakse mittevastavuse tõenäosuseks. Hollandi kihlveo teoreemi kohaselt loob ebaühtlane tõenäosus kasumi teenimise võimalusi.

Tingimusteta tõenäosus on vastus küsimusele "Kui suur on sündmuse toimumise tõenäosus?"

Tingimuslik tõenäosus on vastus küsimusele: "Kui suur on sündmuse A tõenäosus, kui sündmus B juhtuks." Tingimuslik tõenäosus on tähistatud kui P(A|B).

Ühine tõenäosus on tõenäosus, et sündmused A ja B toimuvad samal ajal. Tähistatakse kui P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Tõenäosuste liitmise reegel:

Tõenäosus, et sündmus A või sündmus B juhtub, on

P(A või B) = P(A) + P(B) – P(AB) (2)

Kui sündmused A ja B on üksteist välistavad, siis

P(A või B) = P(A) + P(B)

Sõltumatud üritused- sündmused A ja B on sõltumatud, kui

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

See tähendab, et see on tulemuste jada, mille tõenäosusväärtus on ühest sündmusest teise konstantne.
Mündivise on sellise sündmuse näide – iga järgmise viske tulemus ei sõltu eelmise tulemusest.

Sõltuvad sündmused Need on sündmused, mille puhul ühe toimumise tõenäosus sõltub teise toimumise tõenäosusest.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegel:
Kui sündmused A ja B on sõltumatud, siis

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Kogutõenäosuse reegel:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S ja S" on üksteist välistavad sündmused

oodatud väärtus juhuslik suurus on juhusliku suuruse võimalike tulemuste keskmine. Sündmuse X puhul on ootus tähistatud kui E(X).

Oletame, et meil on 5 teatud tõenäosusega üksteist välistavate sündmuste väärtust (näiteks ettevõtte tulu oli sellise tõenäosusega selline ja selline summa). Ootus on kõigi tulemuste summa, mis on korrutatud nende tõenäosusega:

Juhusliku suuruse dispersioon on juhusliku suuruse ruuthälvete eeldatav väärtus selle eeldatavast väärtusest:

s 2 = E( 2 ) (6)

Tingimuslik eeldatav väärtus – juhusliku suuruse X ootus eeldusel, et sündmus S on juba toimunud.

Vaevalt, et paljud mõtlevad sellele, kas enam-vähem juhuslikke sündmusi on võimalik välja arvutada. Lihtsamalt öeldes, kas on realistlik teada, kumb pool täringut järgmisena kukub. Just selle küsimuse esitasid kaks suurt teadlast, kes panid aluse sellisele teadusele nagu tõenäosusteooria, milles sündmuse tõenäosust uuritakse üsna põhjalikult.

Päritolu

Kui proovite sellist mõistet defineerida tõenäosusteooriana, saate järgmise: see on üks matemaatika harudest, mis uurib juhuslike sündmuste püsivust. Loomulikult ei avalda see kontseptsioon tegelikult kogu olemust, seega on vaja seda üksikasjalikumalt käsitleda.

Tahaksin alustada teooria loojatest. Nagu eespool mainitud, oli neid kaks ja just nemad olid esimeste seas, kes proovisid valemite ja matemaatiliste arvutuste abil sündmuse tulemust välja arvutada. Üldiselt ilmnes selle teaduse algus keskajal. Sel ajal püüdsid erinevad mõtlejad ja teadlased analüüsida hasartmänge, nagu rulett, craps jne, pannes paika teatud numbrite väljalangemise mustri ja protsendi. Vundamendi rajasid XVII sajandil eelnimetatud teadlased.

Esialgu ei saanud nende tööd selle valdkonna suurte saavutuste arvele panna, sest kõik, mida nad tegid, olid lihtsalt empiirilised faktid ja katsed pandi paika visuaalselt, valemeid kasutamata. Aja jooksul osutus see suurepäraseks tulemuseks, mis ilmnes täringuviske jälgimise tulemusena. Just see tööriist aitas tuletada esimesed arusaadavad valemid.

Sarnaselt mõtlevad inimesed

"Tõenäosusteooriaks" nimetatud teema uurimisel on võimatu mainimata jätta sellist isikut nagu Christian Huygens (sündmuse tõenäosus on selles teaduses täpselt käsitletud). See inimene on väga huvitav. Tema, nagu ka ülaltoodud teadlased, püüdis matemaatiliste valemite kujul tuletada juhuslike sündmuste regulaarsust. Tähelepanuväärne on see, et ta ei teinud seda koos Pascali ja Fermat'ga, see tähendab, et kõik tema teosed ei ristunud kuidagi nende meeltega. Huygens tõi välja

Huvitav fakt on see, et tema töö ilmus ammu enne avastajate töö tulemusi, õigemini kakskümmend aastat varem. Määratud mõistete hulgas on kõige kuulsamad:

  • tõenäosuse mõiste kui juhuse suurus;
  • matemaatiline ootus diskreetsete juhtumite jaoks;
  • tõenäosuste korrutamise ja liitmise teoreemid.

Samuti on võimatu mitte meenutada, kes samuti probleemi uurimisse olulise panuse andis. Kellestki sõltumatult oma katseid korraldades õnnestus tal esitada tõestus suurte arvude seaduse kohta. Teadlased Poisson ja Laplace, kes töötasid 19. sajandi alguses, suutsid omakorda tõestada algseid teoreeme. Sellest hetkest alates hakati tõenäosusteooriat kasutama vaatluste käigus tekkinud vigade analüüsimiseks. Sellest teadusest ei saanud mööda ka vene teadlased, õigemini Markov, Tšebõšev ja Djapunov. Suurte geeniuste tehtud töö põhjal fikseerisid nad selle aine matemaatika haruks. Need arvud töötasid juba 19. sajandi lõpus ja tänu nende panusele ilmnesid sellised nähtused nagu:

  • suurte arvude seadus;
  • Markovi ahelate teooria;
  • keskpiiri teoreem.

Nii et teaduse sünniloo ja peamiste seda mõjutanud inimestega on kõik enam-vähem selge. Nüüd on aeg kõik faktid konkretiseerida.

Põhimõisted

Enne seaduste ja teoreemide puudutamist tasub uurida tõenäosusteooria põhimõisteid. Üritus võtab selles juhtrolli. See teema on üsna mahukas, kuid ilma selleta pole kõigest muust võimalik aru saada.

Tõenäosusteoorias on sündmus mis tahes katse tulemuste kogum. Selle nähtuse mõisteid pole nii palju. Nii ütles sel alal töötav teadlane Lotman, et antud juhul räägime sellest, mis "juhtus, kuigi võib-olla poleks juhtunud".

Juhuslikud sündmused (tõenäosusteooria pöörab neile erilist tähelepanu) on mõiste, mis hõlmab absoluutselt kõiki nähtusi, millel on esinemisvõime. Või vastupidi, see stsenaarium ei pruugi juhtuda, kui paljud tingimused on täidetud. Samuti tasub teada, et just juhuslikud sündmused haaravad kogu toimunud nähtuste mahu. Tõenäosusteooria näitab, et kõiki tingimusi saab pidevalt korrata. Just nende käitumist nimetati "eksperimendiks" või "testimiseks".

Teatud sündmus on sündmus, mis toimub antud testis 100%. Sellest tulenevalt on võimatu sündmus see, mida ei juhtu.

Tegevuspaari (tinglikult juhtum A ja juhtum B) kombinatsioon on samaaegselt esinev nähtus. Need on tähistatud kui AB.

Sündmuste paaride A ja B summa on C, teisisõnu, kui vähemalt üks neist juhtub (A või B), siis saadakse C. Kirjeldatud nähtuse valem on kirjutatud järgmiselt: C \u003d A + B.

Tõenäosusteooria mitteühendatud sündmused viitavad sellele, et need kaks juhtumit välistavad üksteist. Need ei saa kunagi juhtuda samal ajal. Ühissündmused tõenäosusteoorias on nende antipood. See tähendab, et kui A juhtus, siis see ei takista B-d mingil moel.

Vastandlikke sündmusi (tõenäosusteooria käsitleb neid väga üksikasjalikult) on lihtne mõista. Parim on nendega võrrelda. Need on peaaegu samad, mis tõenäosusteoorias kokkusobimatud sündmused. Kuid nende erinevus seisneb selles, et üks paljudest nähtustest peab igal juhul toimuma.

Sama tõenäolised sündmused on need tegevused, mille kordumise võimalus on võrdne. Et asi selgem oleks, võime kujutleda mündi viskamist: ühe külje kaotamine on sama suure tõenäosusega ka teiselt poolt välja kukkumine.

Soodsat sündmust on näitega lihtsam näha. Oletame, et on episood B ja episood A. Esimene on täringu viskamine paaritu numbriga ja teine ​​on numbri viie ilmumine täringule. Siis selgub, et A soosib B-d.

Sõltumatud sündmused on tõenäosusteoorias projitseeritud ainult kahele või enamale juhtumile ja viitavad mis tahes tegevuse sõltumatusele teisest. Näiteks A - mündi viskamisel sabade kukkumine ja B - tungraua tekilt saamine. Need on tõenäosusteoorias sõltumatud sündmused. Siinkohal sai asi selgemaks.

Tõenäosusteoorias on ka sõltuvad sündmused lubatud ainult nende hulga puhul. Need viitavad ühe sõltuvusele teisest, see tähendab, et nähtus B saab ilmneda ainult siis, kui A on juba juhtunud või, vastupidi, pole juhtunud, kui see on B põhitingimus.

Ühest komponendist koosneva juhusliku katse tulemuseks on elementaarsed sündmused. Tõenäosusteooria selgitab, et see on nähtus, mis juhtus vaid korra.

Põhivalemid

Niisiis, eespool käsitleti mõisteid "sündmus", "tõenäosusteooria", anti ka selle teaduse põhimõistete määratlus. Nüüd on aeg tutvuda vahetult oluliste valemitega. Need avaldised kinnitavad matemaatiliselt kõiki peamisi mõisteid sellises keerulises aines nagu tõenäosusteooria. Sündmuse tõenäosus mängib ka siin suurt rolli.

Parem on alustada peamistest Ja enne nende juurde asumist tasub kaaluda, mis see on.

Kombinatoorika on eeskätt matemaatika haru, see tegeleb tohutu hulga täisarvude uurimisega, aga ka nii arvude endi kui ka nende elementide, erinevate andmete jms permutatsioonidega, mis viivad mitmete kombinatsioonide ilmumiseni. Lisaks tõenäosusteooriale on see haru oluline statistika, arvutiteaduse ja krüptograafia jaoks.

Niisiis, nüüd saate liikuda valemite endi ja nende määratluse esitluse juurde.

Esimene neist on permutatsioonide arvu avaldis, see näeb välja järgmine:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Võrrand kehtib ainult siis, kui elemendid erinevad ainult oma järjestuse poolest.

Nüüd võetakse arvesse paigutuse valemit, see näeb välja järgmine:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

See väljend on rakendatav mitte ainult elemendi järjekorra, vaid ka selle koostise kohta.

Kombinatoorika kolmandat võrrandit, mis on ka viimane, nimetatakse kombinatsioonide arvu valemiks:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Kombinatsiooni nimetatakse vastavalt valikuks, mis ei ole järjestatud ja see reegel kehtib nende kohta.

Kombinatoorika valemite väljamõtlemine osutus lihtsaks, nüüd saame liikuda klassikalise tõenäosuste määratluse juurde. See väljend näeb välja selline:

Selles valemis on m sündmusele A soodsate tingimuste arv ja n on absoluutselt kõigi võrdselt võimalike ja elementaarsete tulemuste arv.

Avaldisi on palju, artikkel ei käsitle neid kõiki, kuid puudutatakse neist olulisemat, nagu näiteks sündmuste summa tõenäosus:

P(A + B) = P(A) + P(B) - see teoreem on mõeldud ainult mitteühilduvate sündmuste liitmiseks;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - ja see on mõeldud ainult ühilduvate lisamiseks.

Sündmuste tekkimise tõenäosus:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - see teoreem on sõltumatute sündmuste jaoks;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - ja see on ülalpeetavate jaoks.

Sündmuse valem lõpetab loendi. Tõenäosusteooria räägib meile Bayesi teoreemist, mis näeb välja järgmine:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Selles valemis on H 1 , H 2 , …, H n kogu hüpoteeside rühm.

Näited

Kui matemaatika mis tahes haru hoolikalt uurida, pole see täielik ilma harjutuste ja näidislahendusteta. Nii ka tõenäosusteooriaga: sündmused, näited siin on lahutamatu komponent, mis kinnitab teaduslikke arvutusi.

Permutatsioonide arvu valem

Oletame, et kaardipakis on kolmkümmend kaarti, alustades nimiväärtusega ühest. Järgmine küsimus. Mitu võimalust on pakki laduda nii, et kaardid nimiväärtusega üks ja kaks ei oleks kõrvuti?

Ülesanne on püstitatud, nüüd liigume edasi selle lahendamise juurde. Kõigepealt peate määrama kolmekümne elemendi permutatsioonide arvu, selleks võtame ülaltoodud valemi, selgub, et P_30 = 30!.

Selle reegli alusel saame teada, kui palju võimalusi on paki erineval viisil voltimiseks, kuid peame neist lahutama need, milles esimene ja teine ​​kaart on järgmised. Selleks alustame valikuga, kui esimene on teisest kõrgemal. Selgub, et esimene kaart võib võtta kakskümmend üheksa kohta - esimesest kahekümne üheksandani ja teine ​​kaart teisest kuni kolmekümnendani, selgub, et kaardipaari jaoks on ainult kakskümmend üheksa kohta. Ülejäänud võivad omakorda võtta kakskümmend kaheksa kohta ja suvalises järjekorras. See tähendab, et kahekümne kaheksa kaardi permutatsiooni jaoks on kakskümmend kaheksa võimalust P_28 = 28!

Selle tulemusena selgub, et kui arvestada lahendusega, kui esimene kaart on teisest kõrgemal, on lisavõimalusi 29 ⋅ 28! = 29!

Sama meetodit kasutades peate arvutama üleliigsete valikute arvu juhuks, kui esimene kaart on teise all. Selgub ka 29 ⋅ 28! = 29!

Sellest järeldub, et lisavõimalusi on 2⋅ 29!, samas kui teki ehitamiseks on 30 vajalikku võimalust! - 2 ⋅ 29!. Jääb vaid üle lugeda.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nüüd peate kõik arvud omavahel korrutama ühest kahekümne üheksani ja seejärel korrutama kõik 28-ga. Vastus on 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Näidislahendus. Paigutuse numbri valem

Selle ülesande puhul peate välja selgitama, mitu võimalust on viisteist köidet ühele riiulile panna, kuid tingimusel, et neid on kokku kolmkümmend köidet.

Selles ülesandes on lahendus veidi lihtsam kui eelmises. Juba teadaoleva valemi abil on vaja arvutada korralduste koguarv kolmekümnest viieteistkümnest köitest.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 3

Vastus on vastavalt 202 843 204 931 727 360 000.

Võtame nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Peate välja selgitama, mitu võimalust on kolmekümne raamatu paigutamiseks kahele raamaturiiulile, eeldusel, et ühel riiulil saab olla ainult viisteist köidet.

Enne lahenduse alustamist tahaksin selgitada, et mõned probleemid lahendatakse mitmel viisil, seega on selles kaks võimalust, kuid mõlemas kasutatakse sama valemit.

Selles ülesandes saab vastuse võtta eelmisest, sest seal arvutasime välja, mitu korda saab erineval viisil täita riiuli viieteistkümne raamatuga. Selgus A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Teise riiuli arvutame permutatsioonivalemi järgi, sest sinna on paigutatud viisteist raamatut, järele jääb vaid viisteist. Kasutame valemit P_15 = 15!.

Selgub, et kokku on A_30^15 ⋅ P_15 teed, kuid lisaks tuleb kõigi arvude korrutis kolmekümnest kuueteistkümneni korrutada arvude korrutisega ühest viieteistkümneni, mille tulemusena saadakse saadakse kõigi arvude korrutis ühest kolmekümneni, see tähendab, et vastus võrdub 30-ga!

Kuid seda probleemi saab lahendada erineval viisil - lihtsamalt. Selleks võib ette kujutada, et kolmekümne raamatu jaoks on üks riiul. Kõik need on paigutatud sellele tasapinnale, kuid kuna tingimus nõuab, et riiulit oleks kaks, siis lõikame ühe pika pooleks, kumbki tuleb välja kaks viisteist. Sellest selgub, et paigutusvalikud võivad olla P_30 = 30!.

Näidislahendus. Kombinatsiooninumbri valem

Nüüd käsitleme kombinatoorika kolmanda ülesande varianti. Peate välja selgitama, mitu võimalust on viieteistkümne raamatu paigutamiseks, eeldusel, et peate valima kolmekümne täiesti identse raamatu hulgast.

Lahenduse puhul rakendatakse loomulikult kombinatsioonide arvu valemit. Tingimusest selgub, et identsete viieteistkümne raamatu järjestus pole oluline. Seetõttu peate esialgu välja selgitama kolmekümne viieteistkümne raamatu kombinatsioonide koguarvu.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

See on kõik. Seda valemit kasutades oli selline probleem võimalikult lühikese aja jooksul võimalik lahendada, vastus on vastavalt 155 117 520.

Näidislahendus. Tõenäosuse klassikaline määratlus

Kasutades ülaltoodud valemit, leiate vastuse lihtsast ülesandest. Kuid see aitab tegevuste kulgu visuaalselt näha ja jälgida.

Probleemiks on antud, et urnis on kümme absoluutselt identset palli. Neist neli on kollased ja kuus sinised. Urnist võetakse üks pall. Peate välja selgitama sinise saamise tõenäosuse.

Ülesande lahendamiseks on vaja sündmuseks A määrata sinise palli saamine. Sellel kogemusel võib olla kümme tulemust, mis omakorda on elementaarsed ja võrdselt tõenäolised. Samas on sündmuse A jaoks soodsad kuus kümnest. Lahendame valemiga:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Seda valemit rakendades saime teada, et sinise palli saamise tõenäosus on 0,6.

Näidislahendus. Sündmuste summa tõenäosus

Nüüd esitatakse variant, mis on lahendatud sündmuste summa tõenäosuse valemi abil. Seega, tingimusel, et kaste on kaks, sisaldab esimene üks halli ja viis valget palli ning teine ​​kaheksa halli ja neli valget palli. Selle tulemusena võeti üks neist esimesest ja teisest kastist. Tuleb välja selgitada, milline on võimalus, et väljavõetud pallid on hallid ja valged.

Selle probleemi lahendamiseks on vaja sündmused määrata.

  • Niisiis, A - võtke esimesest kastist hall pall: P(A) = 1/6.
  • A '- nad võtsid valge palli ka esimesest kastist: P (A ") \u003d 5/6.
  • B - juba teisest kastist võeti välja hall pall: P(B) = 2/3.
  • B' - nad võtsid teisest kastist halli palli: P(B") = 1/3.

Vastavalt ülesande seisundile on vajalik, et ilmneks üks nähtustest: AB 'või A'B. Valemit kasutades saame: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Nüüd on kasutatud tõenäosuse korrutamise valemit. Järgmiseks peate vastuse leidmiseks rakendama nende liitmise võrrandit:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Seega saate valemi abil sarnaseid probleeme lahendada.

Tulemus

Artikkel andis teavet teemal "Tõenäosusteooria", milles sündmuse tõenäosus mängib üliolulist rolli. Loomulikult ei võetud kõike arvesse, kuid esitatud teksti põhjal saab teoreetiliselt selle matemaatika osaga tutvuda. Kõnealune teadus võib olla kasulik mitte ainult erialases töös, vaid ka igapäevaelus. Selle abiga saate arvutada mis tahes sündmuse võimaluse.

Tekst puudutas ka olulisi kuupäevi tõenäosusteooria kui teaduse kujunemise ajaloos ja inimeste nimesid, kelle tööd sellesse investeeriti. Nii viis inimlik uudishimu selleni, et inimesed õppisid arvutama isegi juhuslikke sündmusi. Kunagi nad lihtsalt tundsid selle vastu huvi, aga täna teavad seda juba kõik. Ja keegi ei ütle, mis meid tulevikus ees ootab, milliseid säravaid avastusi vaadeldava teooriaga seoses veel tehakse. Üks on aga kindel – uuringud ei seisa paigal!