Selles õppetükis jätkame ratsionaalsete võrratuste lahendamist, kasutades keerulisemate võrratuste jaoks intervallmeetodit. Vaatleme murdosalineaar- ja murdruutvõrratuste lahendust ja nendega seotud probleeme.

Nüüd pöördume tagasi ebavõrdsuse juurde

Vaatame mõnda seotud ülesannet.

Leidke ebavõrdsuse väikseim lahendus.

Leidke ebavõrdsuse loomulike lahenduste arv

Leidke nende intervallide pikkus, mis moodustavad ebavõrdsuse lahendite hulga.

2. Portaal Loodusteadused ().

3. Elektrooniline õppe- ja metoodiline kompleks 10-11 klasside ettevalmistamiseks sisseastumiseksamid informaatikas, matemaatikas, vene keeles ().

5. Hariduskeskus “Õppetehnoloogia” ().

6. College.ru matemaatika sektsioon ().

1. Mordkovich A.G. jt.Algebra 9. klass: Ülesannete raamat õpilastele õppeasutused/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina jt - 4. trükk. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 lk.: ill. nr 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

Intervallmeetodit peetakse ebavõrdsuse lahendamisel universaalseks. Mõnikord nimetatakse seda meetodit ka vahemeetodiks. Seda saab kasutada nii ühe muutujaga ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamiseks kui ka teist tüüpi võrratuste lahendamiseks. Oma materjalis püüdsime pöörata tähelepanu probleemi kõikidele aspektidele.

Mis ootab teid selles rubriigis? Analüüsime intervallmeetodit ja kaalume selle abil ebavõrdsuse lahendamise algoritme. Puudutame edasi teoreetilised aspektid, millel meetodi rakendamine põhineb.

Pöörame erilist tähelepanu teema nüanssidele, mida tavaliselt sees ei käsitleta kooli õppekava. Vaatleme näiteks intervallidele märkide paigutamise reegleid ja intervallide meetodit ennast üldkujul, ilma selle seoseta ratsionaalse ebavõrdsusega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritm

Kes mäletab, kuidas intervallide meetodit kooli algebra kursusel tutvustati? Tavaliselt algab kõik vormi f (x) võrratuste lahendamisest< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >või ≥). Siin võib f(x) olla polünoom või polünoomide suhe. Polünoomi saab omakorda esitada järgmiselt:

• lineaarsete binoomide korrutis koefitsiendiga 1 muutuja x jaoks;
• juhtkoefitsiendiga 1 ruuttrinoomide ja nende juurte negatiivse diskriminandi korrutis.

Siin on mõned näited sellisest ebavõrdsusest:

(x + 3) · (x 2 - x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x – 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Kirjutame algoritmi seda tüüpi võrratuste lahendamiseks, nagu oleme näidetes andnud, kasutades intervallmeetodit:

• leiame lugeja ja nimetaja nullid, selleks võrdsustame võrratuse vasakul poolel oleva avaldise lugeja ja nimetaja nulliga ning lahendame saadud võrrandid;
• määrame leitud nullidele vastavad punktid ja märgime need koordinaatteljel kriipsudega;
• määratleda väljendusmärgid f(x) igal intervallil lahendatava võrratuse vasakult küljelt ja pane need graafikule;
• rakendame graafiku vajalikele osadele varjutamist, juhindudes järgmisest reeglist: kui ebavõrdsusel on märgid< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >või ≥ , siis tõstame esile plussmärgiga tähistatud alad varjutades.

Mustril, millega töötame, võib olla skemaatiline vaade. Liigne detailid võivad joonist üle koormata ja raskendada selle lahendamist. Meid ei huvita mastaap. Piisab kleepimisest õige asukoht punktid, kui nende koordinaatide väärtused suurenevad.

Rangete ebavõrdsustega töötamisel kasutame punkti tähistust täitmata (tühja) keskpunktiga ringi kujul. Mitterangete võrratuste korral kujutame nimetaja nullidele vastavad punktid tühjana ja kõik ülejäänud tavalise mustana.

Märgistatud punktid jagavad koordinaatjoone mitmeks numbriliseks intervalliks. See võimaldab meil saada arvulise hulga geomeetrilise esituse, mis on tegelikult selle ebavõrdsuse lahendus.

Lõhe meetodi teadus

Intervallmeetodi aluseks olev lähenemisviis põhineb pideva funktsiooni järgmisel omadusel: funktsioon säilitab konstantse märgi intervallil (a, b), millel see funktsioon on pidev ega kao. Sama omadus on iseloomulik arvkiirtele (− ∞ , a) ja (a, + ∞).

Seda funktsiooni omadust kinnitab Bolzano-Cauchy teoreem, mis on toodud paljudes õpikutes sisseastumiseksamiteks valmistumiseks.

Märgi püsivust intervallidel saab põhjendada ka arvuliste võrratuste omaduste põhjal. Näiteks võtame võrratuse x - 5 x + 1 > 0. Kui leiame lugeja ja nimetaja nullid ja kanname need arvujoonele, saame intervallide jada: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) ja (5 , + ∞) .

Võtame suvalise intervalli ja näitame sellele, et kogu intervalli vältel on ebavõrdsuse vasakpoolsel avaldisel konstantne märk. Olgu selleks intervall (− ∞ , − 1) . Võtame sellest intervallist suvalise arvu t. See vastab tingimustele t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Kasutades nii saadud võrratusi kui ka arvuliste võrratuste omadusi, võime eeldada, et t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t intervallil (− ∞ , − 1) .

Kasutades negatiivsete arvude jagamise reeglit, saame väita, et avaldise t - 5 t + 1 väärtus on positiivne. See tähendab, et avaldise väärtus x - 5 x + 1 on positiivne mis tahes väärtuse korral x vahelt (− ∞ , − 1) . Kõik see võimaldab väita, et näitena võetud intervallil on avaldisel konstantne märk. Meie puhul on see "+" märk.

Lugeja ja nimetaja nullide leidmine

Nullide leidmise algoritm on lihtne: võrdsustame avaldised lugejast ja nimetajast nulliga ning lahendame saadud võrrandid. Kui teil on raskusi, võite vaadata teemat "Võrrandite lahendamine faktoriseerimise teel". Selles jaotises piirdume vaid näite vaatamisega.

Vaatleme murdosa x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Lugeja ja nimetaja nullide leidmiseks võrdsustame need nulliga, et saada ja lahendada võrrandid: x (x − 0, 6) = 0 ja x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Esimesel juhul saame minna kahe võrrandi komplekti x = 0 ja x − 0, 6 = 0, mis annab meile kaks juurt 0 ja 0, 6. Need on lugeja nullid.

Teine võrrand on võrdne kolme võrrandi hulgaga x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Viime läbi rea teisendusi ja saame x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. Esimese võrrandi juur on 0, teisel võrrandil pole juuri, kuna sellel on negatiivne diskriminant, siis kolmanda võrrandi juur on 5. Need on nimetaja nullid.

0 tolli sel juhul on nii lugeja null kui ka nimetaja null.

IN üldine juhtum, kui võrratuse vasakul küljel on murd, mis ei pruugi olla ratsionaalne, on võrrandite saamiseks võrdsed ka lugeja ja nimetaja nulliga. Võrrandite lahendamine võimaldab leida lugeja ja nimetaja nullid.

Intervalli märgi määramine on lihtne. Selleks leiate avaldise väärtuse ebavõrdsuse vasakust servast antud intervalli mis tahes suvaliselt valitud punkti jaoks. Saadud avaldise väärtuse märk suvaliselt valitud intervalli punktis langeb kokku kogu intervalli märgiga.

Vaatame seda väidet näitega.

Võtame võrratuse x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Ebavõrdsuse vasakpoolsel avaldisel pole lugejas nulle. Nimetaja nulliks on arv - 3. Arvureale saame kaks intervalli (− ∞ , − 3) ja (− 3 , + ∞) .

Intervallide märkide määramiseks arvutame avaldise x 2 - x + 4 x + 3 väärtuse igal intervallil suvaliselt võetud punktide jaoks.

Esimesest vahest (− ∞ , − 3) võtame – 4. Kell x = −4 meil on (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24. Saime negatiivse väärtuse, mis tähendab, et kogu intervallil on märk "-".

Vahe pärast (− 3 , + ∞) Teeme arvutused nullkoordinaadiga punktiga. Kui x = 0 on meil 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3. Saime positiivse väärtuse, mis tähendab, et kogu intervallil on "+" märk.

Märkide määramiseks võite kasutada teist viisi. Selleks saame ühelt intervallilt märgi leida ja selle salvestada või nulli läbimisel muuta. Selleks, et kõike õigesti teha, tuleb järgida reeglit: nulli läbimisel nimetaja, kuid mitte lugeja või lugeja, kuid mitte nimetaja, saame muuta märgi vastupidiseks, kui selle nulli andev avaldis on paaritu ja me ei saa muuta märki, kui aste on paaris. Kui oleme saanud punkti, mis on nii lugeja kui ka nimetaja null, siis saame märgi vastupidiseks muuta ainult siis, kui selle nulli andvate avaldiste astmete summa on paaritu.

Kui meenutada ebavõrdsust, mida uurisime selle materjali esimese lõigu alguses, siis võime kõige parempoolsemale intervallile panna märgi “+”.

Vaatame nüüd näiteid.

Võtke võrratus (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 ja lahendage see intervallmeetodil . Selleks peame leidma lugeja ja nimetaja nullid ning märkima need koordinaatjoonele. Lugeja nullid on punktid 2 , 3 , 4 , nimetaja punkt 1 , 3 , 4 . Märgime need koordinaatide teljel kriipsudega.

Märgistame nimetaja nullid tühjade punktidega.

Kuna tegemist on mitterange ebavõrdsusega, asendame ülejäänud kriipsud tavaliste punktidega.

Nüüd paneme intervallidele punktid. Parempoolseim tühik (4 , + ∞) on + märk.

Paremalt vasakule liikudes paneme ülejäänud intervallide jaoks maha märgid. Läbime punkti koordinaadiga 4. See on nii lugeja kui ka nimetaja null. Kokkuvõttes annavad need nullid avaldised (x – 4) 2 Ja x - 4. Liidame nende astmed 2 + 1 = 3 ja saame paaritu number. See tähendab, et sel juhul muutub märk ülemineku ajal vastupidiseks. Intervallil (3, 4) on miinusmärk.

Liigume intervallile (2, 3) läbi punkti koordinaadiga 3. See on ka null nii lugeja kui ka nimetaja jaoks. Saime selle tänu kahele avaldisele (x − 3) 3 ja (x – 3) 5, mille astmete summa on 3 + 5 = 8. Paarisarvu saamine võimaldab meil jätta intervalli märgi muutmata.

Punkt koordinaadiga 2 on lugeja null. Avaldise x - 2 aste on 1 (paaritu). See tähendab, et selle punkti läbimisel tuleb märk muuta vastupidiseks.

Meil on jäänud viimane intervall (− ∞ , 1) . Punkt koordinaadiga 1 on nimetaja null. See tuletati väljendist (x – 1) 4, paarisastmega 4 . Seetõttu jääb märk samaks. Lõplik joonis näeb välja selline:

Intervallmeetod on eriti tõhus siis, kui avaldise väärtuse arvutamine nõuab palju tööd. Näitena võiks tuua avaldise väärtuse arvutamise vajaduse

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

mis tahes punktis intervallis 3 - 3 4, 3 - 2 4.

Nüüd hakkame omandatud teadmisi ja oskusi praktikas rakendama.

Näide 1

Lahendage võrratus (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

Lahendus

Ebavõrdsuse lahendamiseks on soovitatav kasutada intervallmeetodit. Leidke lugeja ja nimetaja nullid. Lugeja nullid on 1 ja -5, nimetaja nullid 7 ja 1. Märgime need numbrireale. Tegemist on mitterange ebavõrdsusega, seega tähistame nimetaja nullid tühjade punktidega ja lugeja null - 5 - tähistatakse tavalise täidetud punktiga.

Paneme intervallide märgid nulli läbimisel märgi muutmise reegleid kasutades. Alustame kõige parempoolsemast intervallist, mille jaoks arvutame avaldise väärtuse ebavõrdsuse vasakust küljest intervallist meelevaldselt võetud punktis. Saame märgi "+". Liigume järjestikku läbi kõik koordinaatjoone punktid, järjestades märke ja saame:

Töötame mitterange ebavõrdsusega märgiga ≤. See tähendab, et "-" märgiga tähistatud ruumid tuleb varjutusega tähistada.

Vastus: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamine nõuab enamikul juhtudel nende eelnevat teisendamist õiget tüüpi. Alles pärast seda on võimalik kasutada intervallmeetodit. Selliste teisenduste läbiviimise algoritme käsitletakse materjalis "Ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamine".

Vaatame näidet ruuttrinoomide teisendamisest ebavõrdsusteks.

Näide 2

Leidke võrratuse (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 lahend.

Lahendus

Vaatame, kas ruuttrinoomide diskriminandid ebavõrdsuse tähistuses on tõesti negatiivsed. See võimaldab meil kindlaks teha, kas selle ebavõrdsuse vorm võimaldab meil kasutada lahendamiseks intervallmeetodit.

Arvutame trinoomi diskriminandi x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Nüüd arvutame trinoomi x 2 + 2 · x − 8 diskriminandi: D ’ = 1 2 - 1 · (− 8) = 9 > 0 . Nagu näete, nõuab ebavõrdsus esialgset teisendust. Selleks esitame trinoomi x 2 + 2 x − 8 as (x + 4) · (x - 2), ja seejärel rakendage ebavõrdsuse (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0 lahendamiseks intervallmeetodit.

Vastus: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Üldistatud intervallmeetodit kasutatakse kujul f (x) olevate võrratuste lahendamiseks< 0 (≤ , >, ≥) , kus f (x) on suvaline ühe muutujaga avaldis x.

Kõik toimingud viiakse läbi vastavalt teatud algoritmile. Sel juhul erineb üldistatud intervallmeetodi abil ebavõrdsuse lahendamise algoritm pisut sellest, mida me varem käsitlesime:

• leiame funktsiooni f definitsioonipiirkonna ja selle funktsiooni nullid;
• märgi koordinaatide teljel piiripunktid;
• joonista funktsiooni nullpunktid arvjoonele;
• määrata intervallide tunnuseid;
• rakendada varjutust;
• kirjuta vastus üles.

Arvjoonele on vaja muu hulgas märkida definitsioonivaldkonna üksikud punktid. Näiteks funktsiooni määratluspiirkond on hulk (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . See tähendab, et peame märkima punktid koordinaatidega − 5, 1, 3, 4 , 7 Ja 10 . Punktid − 5 ja 7 on kujutatud tühjana, ülejäänud saab värvilise pliiatsiga esile tõsta, et eristada neid funktsiooni nullidest.

Mitterangete võrratuste korral joonistatakse funktsiooni nullpunktid tavaliste (varjutatud) punktidega, rangete võrratuste korral tühjade punktidega. Kui nullid langevad kokku definitsioonipiirkonna piiripunktide või üksikute punktidega, saab need vastavalt ebavõrdsuse tüübile ümber värvida mustaks, muutes need tühjaks või varjutatud.

Vastusekirje on numbriline komplekt, mis sisaldab:

• varjutusega ruumid;
• definitsioonipiirkonna üksikud punktid plussmärgiga, kui tegemist on ebavõrdsusega, mille märk on > või ≥, või miinusmärgiga, kui ebavõrdsusel on märke< или ≤ .

Nüüd on selgunud, et algoritm, mille me teema alguses esitasime, on üldistatud intervallmeetodi kasutamise algoritmi erijuht.

Vaatleme näidet üldistatud intervallmeetodi kasutamisest.

Näide 3

Lahendage võrratus x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Lahendus

Tutvustame funktsiooni f nii, et f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Leiame funktsiooni definitsioonipiirkonna f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4, 7) ∪ (7, + ∞).

Nüüd leiame funktsiooni nullid. Selleks lahendame irratsionaalse võrrandi:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Saame juure x = 12.

Koordinaatide telje piiripunktide määramiseks kasutame oranž värv. Punktid - 6, 4 täidetakse ja 7 jäetakse tühjaks. Saame:

Märgistame funktsiooni nullpunkti tühja musta punktiga, kuna töötame range ebavõrdsusega.

Märgid määrame individuaalsete intervallidega. Selleks võtke igast intervallist üks punkt, näiteks 16 , 8 , 6 Ja − 8 ja arvutage neis oleva funktsiooni väärtus f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56-9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Asetame äsja määratletud märgid ja varjutame tühikutele miinusmärgiga:

Vastus on kahe intervalli liitmine märgiga “-”: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

Vastuseks lisasime punkti koordinaadiga - 6. See ei ole funktsiooni null, mida me range ebavõrdsuse lahendamisel vastusesse ei võtaks, vaid definitsioonipiirkonna piiripunkt, mis sisaldub definitsioonivaldkonnas. Funktsiooni väärtus selles punktis on negatiivne, mis tähendab, et see rahuldab ebavõrdsust.

Me ei lisanud vastusesse punkti 4, nagu ka kogu intervalli [4, 7). Sel hetkel, nagu kogu näidatud intervalli jooksul, on funktsiooni väärtus positiivne, mis ei rahulda lahendatavat ebavõrdsust.

Kirjutame selle selgema mõistmise huvides uuesti üles: värvilised punktid tuleb vastusesse lisada järgmistel juhtudel:

• need punktid on osa viirutatud vahest,
• need punktid on funktsiooni definitsioonipiirkonna üksikud punktid, lahendatakse funktsiooni väärtused, mis rahuldavad ebavõrdsust.

Vastus: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Esiteks natuke laulutekste, et tunnetada probleemi, mille intervallmeetod lahendab. Oletame, et peame lahendama järgmise ebavõrdsuse:

(x – 5) (x + 3) > 0

Millised on võimalused? Esimene asi, mis enamikule õpilastele meelde tuleb, on reeglid "pluss pluss annab plussi" ja "miinus miinus annab plussi". Seetõttu piisab, kui arvestada juhtumiga, kui mõlemad sulud on positiivsed: x − 5 > 0 ja x + 3 > 0. Siis vaatleme ka juhtumit, kui mõlemad sulud on negatiivsed: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Edasijõudnumad õpilased mäletavad (võib-olla), et vasakul on ruutfunktsioon, mille graafik on parabool. Veelgi enam, see parabool lõikub OX-teljega punktides x = 5 ja x = −3. Edasiseks tööks tuleb sulgud avada. Meil on:

x 2 - 2x - 15 > 0

Nüüd on selge, et parabooli oksad on suunatud ülespoole, sest koefitsient a = 1 > 0. Proovime joonistada selle parabooli diagrammi:

Funktsioon on suurem kui null, kui see läbib OX-telje kohal. Meie puhul on need intervallid (−∞ −3) ja (5; +∞) – see on vastus.

Pange tähele: pilt näitab täpselt funktsiooni diagramm, mitte tema ajakava. Sest päris graafiku jaoks on vaja kokku lugeda koordinaate, arvutada nihkeid ja muud jama, millest meil praegu absoluutselt kasu pole.

Miks on need meetodid ebaefektiivsed?

Niisiis, oleme kaalunud sama ebavõrdsuse kahte lahendust. Mõlemad osutusid üsna tülikaks. Tekib esimene otsus – lihtsalt mõelge sellele! — ebavõrdsuse süsteemide kogum. Teine lahendus pole samuti eriti lihtne: peate meeles pidama parabooli graafikut ja hunnikut muid väikeseid fakte.

See oli väga lihtne ebavõrdsus. Sellel on ainult 2 kordajat. Kujutage nüüd ette, et kordajaid pole mitte 2, vaid vähemalt 4. Näiteks:

(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Kuidas sellist ebavõrdsust lahendada? Kas läbida kõik võimalikud plusside ja miinuste kombinatsioonid? Jah, me jääme magama kiiremini, kui leiame lahenduse. Graafiku joonistamine pole samuti võimalik, kuna pole selge, kuidas selline funktsioon koordinaattasandil käitub.

Selliste ebavõrdsuste jaoks on vaja spetsiaalset lahendusalgoritmi, mida me täna kaalume.

Mis on intervallmeetod

Intervallmeetod on spetsiaalne algoritm, mis on loodud lahendama keerulisi võrratusi kujul f (x) > 0 ja f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Lahendage võrrand f (x) = 0. Seega saame võrratuse asemel võrrandi, mida on palju lihtsam lahendada;
2. Märkige kõik saadud juured koordinaatjoonele. Seega jagatakse sirgjoon mitmeks intervalliks;
3. Leia funktsiooni f (x) märk (pluss või miinus) kõige parempoolsemal intervallil. Selleks piisab, kui asendada f (x)-ga suvaline arv, mis jääb kõigist märgitud juurtest paremale;
4. Märkige märgid ülejäänud intervallidega. Selleks pidage meeles, et iga juure läbimisel märk muutub.

See on kõik! Pärast seda jääb üle vaid meid huvitavad intervallid kirja panna. Need on tähistatud märgiga “+”, kui ebavõrdsus oli kujul f (x) > 0, või märgiga “−”, kui ebavõrdsus oli kujul f (x)< 0.

Esmapilgul võib tunduda, et intervallmeetod on mingi tina. Kuid praktikas on kõik väga lihtne. Lihtsalt harjuta veidi ja kõik saab selgeks. Vaadake näiteid ja veenduge ise:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

(x – 2) (x + 7)< 0

Töötame intervallmeetodil. 1. samm: asendage ebavõrdsus võrrandiga ja lahendage see:

(x – 2) (x + 7) = 0

Korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks teguritest võrdne nulliga:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Meil on kaks juurt. Liigume edasi 2. sammu juurde: märkige need juured koordinaatjoonele. Meil on:

Nüüd samm 3: leidke funktsiooni märk kõige parempoolsemast intervallist (märgitud punktist x = 2 paremal). Selleks peate võtma mis tahes numbri, mis rohkem numbrit x = 2. Võtame näiteks x = 3 (aga keegi ei keela võtta x = 4, x = 10 ja isegi x = 10 000). Saame:

f (x) = (x - 2) (x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Leiame, et f (3) = 10 > 0, seega paneme kõige parempoolsemasse intervalli plussmärgi.

Liigume edasi viimase punkti juurde - peame märkima ülejäänud intervallide märgid. Peame meeles, et iga juure läbimisel peab märk muutuma. Näiteks juurest x = 2 paremal on pluss (selles veendusime eelmises etapis), seega peab miinus olema vasakul.

See miinus laieneb kogu intervallile (−7; 2), seega on miinus juurest x = −7 paremal. Seetõttu on juurest x = −7 vasakul pluss. Jääb üle märkida need märgid koordinaatide teljele. Meil on:

Pöördume tagasi algse ebavõrdsuse juurde, millel oli vorm:

(x – 2) (x + 7)< 0

Nii et funktsioon peaks olema vähem kui null. See tähendab, et meid huvitab miinusmärk, mis esineb ainult ühel intervallil: (−7; 2). See on vastus.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

1. samm: võrdsustage vasak pool nulli:

(x + 9) (x - 3) (1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Pidage meeles: korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on meil õigus võrdsustada iga üksik sulg nulliga.

2. samm: märkige koordinaatjoonele kõik juured:

3. samm: leidke parempoolseima tühimiku märk. Võtame suvalise arvu, mis on suurem kui x = 1. Näiteks võime võtta x = 10. Meil ​​on:

f (x) = (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 · 7 · (-9) = -1197;
f (10) = -1197< 0.

4. samm: asetage ülejäänud märgid. Mäletame, et iga juure läbimisel märk muutub. Selle tulemusena näeb meie pilt välja selline:

See on kõik. Jääb üle vaid vastus kirja panna. Vaadake uuesti algset ebavõrdsust:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

See on ebavõrdsus kujul f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

See on vastus.

Märkus funktsioonimärkide kohta

Praktika näitab, et suurimad raskused intervallmeetodi puhul tekivad kahes viimases etapis, s.o. märkide paigutamisel. Paljud õpilased hakkavad segadusse sattuma: milliseid numbreid võtta ja kuhu märgid panna.

Intervallmeetodi lõplikuks mõistmiseks kaaluge kahte tähelepanekut, millel see põhineb:

1. Pidev funktsioon muudab märki ainult nendes punktides kus see on võrdne nulliga. Sellised punktid jagavad koordinaattelje tükkideks, mille sees funktsiooni märk kunagi ei muutu. Seetõttu lahendame võrrandi f (x) = 0 ja märgime leitud juured sirgele. Leitud numbrid on "piiripunktid", mis eraldavad plusse ja miinuseid.
2. Funktsiooni märgi leidmiseks mis tahes intervallil piisab, kui asendada funktsiooni suvaline arv sellest intervallist. Näiteks intervalli (−5; 6) jaoks on meil õigus soovi korral võtta x = −4, x = 0, x = 4 ja isegi x = 1,29374. Miks see oluline on? Jah, sest kahtlused hakkavad paljusid õpilasi närima. Mis siis, kui x = −4 korral saame plussi ja x = 0 korral saame miinuse? Aga midagi sellist ei juhtu kunagi. Kõik sama intervalli punktid annavad sama märgi. Mäleta seda.

See on kõik, mida peate intervallimeetodi kohta teadma. Muidugi võtsime selle lahti lihtne versioon. Neid on rohkemgi keerulised ebavõrdsused- mitteranged, murdosalised ja korduvate juurtega. Nende puhul võib kasutada ka intervallmeetodit, aga see on eraldi suure õppetunni teema.

Nüüd tahaksin vaadata täiustatud tehnikat, mis oluliselt lihtsustab intervallmeetodit. Täpsemalt puudutab lihtsustamine ainult kolmandat etappi – joone kõige parempoolsema osa märgi arvutamist. Koolides seda tehnikat millegipärast ei õpetata (vähemalt mulle ei seletanud seda keegi). Aga asjata – sest tegelikult on see algoritm väga lihtne.

Seega on funktsiooni märk numbrireal paremal. Sellel tükil on vorm (a ; +∞), kus a on võrrandi f (x) = 0 suurim juur. Et mitte eksida, vaatleme konkreetset näidet:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x )< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Meil on 3 juuri. Loetleme need kasvavas järjekorras: x = −2, x = 1 ja x = 7. Ilmselgelt on suurim juur x = 7.

Kellel on lihtsam graafiliselt arutleda, märgin need juured koordinaatide reale. Vaatame mis juhtub:

Vajalik on leida funktsiooni f (x) märk kõige parempoolsemal intervallil, s.o. kuni (7; +∞). Kuid nagu me juba märkisime, võite märgi määramiseks võtta sellest intervallist mis tahes arvu. Näiteks võite võtta x = 8, x = 150 jne. Ja nüüd – sama tehnika, mida koolides ei õpetata: võtame lõpmatust arvuna. Täpsemalt, pluss lõpmatus, st. +∞.

„Kas sa oled kividega loobitud? Kuidas saate asendada lõpmatuse funktsiooniga? - võite küsida. Kuid mõelge sellele: me ei vaja funktsiooni enda väärtust, vajame ainult märki. Seetõttu tähendavad näiteks väärtused f (x) = −1 ja f (x) = −938 740 576 215 sama asja: selle intervalli funktsioon on negatiivne. Seetõttu on teilt vaja vaid leida lõpmatuses kuvatav märk, mitte funktsiooni väärtus.

Tegelikult on lõpmatuse asendamine väga lihtne. Tuleme tagasi oma funktsiooni juurde:

f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x)

Kujutage ette, et x on väga suur arv. Miljard või isegi triljon. Nüüd vaatame, mis toimub igas sulus.

Esimene sulg: (x − 1). Mis juhtub, kui lahutada miljardist üks? Tulemuseks on arv, mis ei erine palju miljardist ja see arv on positiivne. Samamoodi teise suuga: (2 + x). Kui liita miljard kahele, saad miljardi ja kopikaid – see on positiivne arv. Lõpuks kolmas sulg: (7 − x). Siin tuleb miinusmiljard, millest “näris ära” haletsusväärne tükk seitsme kujul. Need. saadud arv ei erine palju miinus miljardist - see on negatiivne.

Jääb üle vaid leida kogu teose märk. Kuna meil oli esimestes sulgudes pluss ja viimases miinus, saame järgmise konstruktsiooni:

(+) · (+) · (−) = (−)

Viimane märk on miinus! Ja see ei oma tähtsust, mis on funktsiooni enda väärtus. Peaasi, et see väärtus oleks negatiivne, st. kõige parempoolsemal intervallil on miinusmärk. Jääb vaid lõpetada intervallmeetodi neljas samm: korraldada kõik märgid. Meil on:

Algne ebavõrdsus oli:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x )< 0

Seetõttu oleme huvitatud miinusmärgiga tähistatud intervallidest. Kirjutame vastuse välja:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

See on kogu trikk, mida ma tahtsin teile rääkida. Kokkuvõtteks on siin veel üks ebavõrdsus, mida saab lahendada intervallmeetodiga, kasutades lõpmatust. Lahenduse visuaalseks lühendamiseks jätan sammude numbrid ja üksikasjalikud kommentaarid kirjutamata. Kirjutan ainult seda, mida peate tegelike probleemide lahendamisel kirjutama:

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus:

x (2x + 8) (x - 3) > 0

Asendame võrratuse võrrandiga ja lahendame selle:

x (2x + 8) (x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Koordinaadijoonele märgime kõik kolm juurt (märkidega korraga):

Koordinaatide telje paremal küljel on pluss, sest funktsioon näeb välja selline:

f (x) = x (2x + 8) (x - 3)

Ja kui asendame lõpmatuse (näiteks miljard), saame kolm positiivset sulgu. Kuna algne avaldis peab olema suurem kui null, siis oleme huvitatud ainult positiivsetest. Jääb üle vaid vastus välja kirjutada:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Esimene tase

Intervall meetod. Põhjalik juhend (2019)

Peate lihtsalt sellest meetodist aru saama ja teadma seda nagu oma viit sõrme! Kasvõi juba sellepärast, et seda kasutatakse ratsionaalsete ebavõrdsuste lahendamiseks ja kuna seda meetodit õigesti teades on nende võrratuste lahendamine üllatavalt lihtne. Veidi hiljem räägin teile paar saladust, kuidas nende ebavõrdsuste lahendamisel aega säästa. Noh, kas olete huvitatud? Siis lähme!

Meetodi olemus seisneb ebavõrdsuse arvutamises tegurites (teema kordamine) ning ODZ ja tegurite märgi määramises; nüüd selgitan kõike. Võtame kõige lihtsama näite: .

Siia pole vaja kirjutada vastuvõetavate väärtuste vahemikku (), kuna muutujaga jagamist ei toimu ja siin pole täheldatud radikaale (juuri). Kõik siin on meie jaoks juba faktoriseeritud. Kuid ärge lõdvestage, see kõik on teile põhitõdede meelde tuletamiseks ja olemuse mõistmiseks!

Oletame, et te ei tea intervallmeetodit, kuidas te seda ebavõrdsust lahendaksite? Lähenege loogiliselt ja tuginege sellele, mida te juba teate. Esiteks on vasak pool suurem kui null, kui mõlemad sulgudes olevad avaldised on suuremad kui null või väiksemad kui null, sest "pluss" tähendab "pluss" annab "pluss" ja "miinus" "miinus" annab "pluss", eks? Ja kui sulgudes olevate avaldiste märgid on erinevad, siis lõpuks jääb vasak pool nullist väiksemaks. Mida on vaja nende väärtuste väljaselgitamiseks, mille puhul sulgudes olevad avaldised on negatiivsed või positiivsed?

Peame lahendama võrrandi, see on täpselt sama mis ebavõrdsus, ainult märgi asemel on märk, selle võrrandi juured võimaldavad meil määrata need piirväärtused, millest väljumisel on tegurid suuremad või vähem kui null.

Ja nüüd intervallid ise. Mis on intervall? See on arvurea teatud intervall, st kõik võimalikud numbrid, mis on suletud kahe numbri vahele – intervalli lõpud. Neid intervalle pole nii lihtne oma peas ette kujutada, nii et intervallide joonistamine on tavaline, ma õpetan teile nüüd.

Joonistame telje, terviku numbriseeria alates ja kuni. Teljele kantakse punktid, funktsiooni nn nullid, väärtused, mille korral avaldis võrdub nulliga. Need punktid on "kinnitatud", mis tähendab, et need ei kuulu nende väärtuste hulka, mille puhul ebavõrdsus on tõsi. Sellisel juhul torgatakse need läbi, sest märgi sisse ebavõrdsus ja mitte, st rangelt suurem kui ja mitte suurem või võrdne.

Tahan öelda, et nulli pole vaja märkida, see on siin ilma ringideta, vaid lihtsalt mõistmiseks ja teljel orienteerumiseks. Olgu, joonistasime telje, panime punktid (täpsemalt ringid), mis edasi, kuidas see mind lahendamisel aitab? - te küsite. Nüüd lihtsalt võtke intervallidest järjekorras x väärtus ja asendage need oma ebavõrdsusega ja vaadake, millise märgi korrutamine annab.

Lühidalt, võtame selle näiteks, asendame selle siin, see toimib, mis tähendab, et ebavõrdsus kehtib kogu intervalli (kogu intervalli ulatuses) alates kuni, millest me selle võtsime. Teisisõnu, kui x on alates kuni, siis on ebavõrdsus tõene.

Teeme sama intervalliga alates kuni, võtame või näiteks asendame, määrame märgi, märgiks on “miinus”. Ja sama teeme ka viimase, kolmanda intervalliga alates kuni, kus märk osutub plussiks. Teksti on nii palju, aga selgust pole piisavalt, eks?

Vaadake veel kord ebavõrdsust.

Nüüd rakendame samale teljele ka selle tulemusel saadavad märgid. Minu näites tähistab katkendjoon telje positiivseid ja negatiivseid lõike.

Vaadake ebavõrdsust - joonist, jälle ebavõrdsust - ja uuesti joonist, on midagi selge? Nüüd proovige öelda, millistel intervallidel X on ebavõrdsus tõene. Täpselt nii, alates kuni ebavõrdsus on ka tõene alates kuni, kuid intervallil alates kuni on ebavõrdsus null ja see intervall ei paku meile suurt huvi, sest meil on ebavõrdsuses märk.

Nüüd, kui olete selle välja mõelnud, jääb üle ainult vastus üles kirjutada! Vastuseks kirjutame need intervallid, mille vasak pool on suurem kui null, mis loeb, et X kuulub vahemikku miinus lõpmatusest miinus üheni ja kahest plusslõpmatuseni. Tasub selgitada, et sulud tähendavad, et väärtused, millega intervalli piiratakse, ei ole ebavõrdsuse lahendused, see tähendab, et need ei sisaldu vastuses, vaid näitavad ainult, et näiteks kuni ei ole lahendus.

Nüüd näide, kus te ei pea ainult intervalli joonistama:

Mida tuleks teie arvates teha enne punktide teljele panemist? Jah, arvesta see teguritega:

Joonistame intervalle ja asetame märke, märkame, et meil on täpid torgatud, kuna märk on rangelt nullist väiksem:

On aeg avaldada teile üks saladus, mille ma selle teema alguses lubasin! Mis siis, kui ma ütleksin teile, et märgi määramiseks ei pea te iga intervalli väärtusi asendama, vaid saate määrata märgi ühes intervallis ja lihtsalt vahetada märke ülejäänutes!

Nii hoidsime veidi aega tähiste mahapanekul – arvan, et see ühtsel riigieksamil võidetud aeg ei tee paha!

Kirjutame vastuse:

Vaatleme nüüd näidet murdratsionaalsest ebavõrdsusest – ebavõrdsusest, mille mõlemad osad on ratsionaalsed avaldised (vt.).

Mida selle ebavõrdsuse kohta öelda? Ja te vaatate seda kui murdosa-ratsionaalvõrrandit, mida me kõigepealt teeme? Näeme kohe, et juuri pole, mis tähendab, et see on kindlasti ratsionaalne, kuid siis on see murdosa ja isegi kui nimetaja on tundmatu!

See on õige, me vajame ODZ-d!

Niisiis, lähme edasi, siin on kõigil teguritel peale ühe esimese astme muutuja, kuid on tegur, kus x-l on teine ​​aste. Tavaliselt muutus meie märk pärast ühe punkti läbimist, kus ebavõrdsuse vasak pool omandab nullväärtuse, mille jaoks määrasime kindlaks, millega x peaks olema võrdne igas teguris. Kuid siin on see alati positiivne, sest suvaline arv ruudus > null ja positiivne liige.

Kas see teie arvates mõjutab ebavõrdsuse tähendust? Täpselt nii – see ei mõjuta! Võime ebavõrdsuse julgelt jagada mõlemaks osaks ja seeläbi selle teguri eemaldada, et see silma ei hakkaks.

Kätte on jõudnud aeg intervallide joonistamiseks, selleks tuleb määrata need piirväärtused, millest väljumisel on kordajad suuremad ja väiksemad kui null. Kuid pange tähele, et siin on märk, see tähendab, et me ei vali välja punkti, kus ebavõrdsuse vasak pool saab nulli, see sisaldub lahenduste arvus, meil on ainult üks selline punkt, see on punkt, kus x on võrdne ühega. Kas värvime punkti, kus nimetaja on negatiivne? - Muidugi mitte!

Nimetaja ei tohi olla null, seega näeb intervall välja järgmine:

Selle diagrammi abil saate hõlpsalt vastuse kirjutada, ütlen lihtsalt, et nüüd on teie käsutuses uut tüüpi sulud – ruudukujulised! Siin on sulg [ ütleb, et väärtus sisaldub lahendusvahemikus, st. on vastuse osa, vastab see sulg täidetud (mitte kinnitatud) punktile teljel.

Niisiis, kas saite sama vastuse?

Arvestame selle tegurite hulka ja viime kõik ühele poole; lõppude lõpuks peame sellega võrdlemiseks jätma paremale nulli:

Juhin teie tähelepanu asjaolule, et viimases teisenduses korrutan nii lugejas kui ka nimetajas ebavõrdsuse mõlemad pooled arvuga. Pea meeles, et kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada, muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks!!!

Kirjutame ODZ:

Vastasel juhul läheb nimetaja nulli ja nagu mäletate, ei saa te nulliga jagada!

Nõus, sellest tulenev ebavõrdsus on ahvatlev lugejat ja nimetajat vähendada! Seda ei saa teha, võite kaotada mõned otsused või ODZ!

Proovi nüüd ise punktid teljele panna. Märgin vaid ära, et punktide joonestamisel tuleb tähelepanu pöörata sellele, et väärtusega punkt, mis märgi põhjal näib olevat teljele varjutatud kujul, ei jääks varju, vaid välja kaevatud! Miks sa küsid? Ja pidage meeles ODZ-d, te ei jaga niimoodi nulliga?

Pidage meeles, ODZ on esikohal! Kui kõik ebavõrdsused ja võrdusmärgid ütlevad üht ja ODZ ütleb teist, siis usaldage ODZ-d, suurepärane ja võimas! Noh, sa ehitasid intervallid, ma olen kindel, et sa võtsid minu vihje vaheldumise kohta ja said selle nii (vt pilti allpool) Nüüd kriipsuta see maha ja ära tee seda viga enam! Mis viga? - te küsite.

Fakt on see, et selles ebavõrdsuses korrati tegurit kaks korda (mäletate, kuidas proovisite seda vähendada?). Seega, kui ebavõrdsuses korratakse mõnda tegurit paarisarv kordi, siis selle teguri nulliks pöörava telje punkti (antud juhul punkti) läbimisel märk ei muutu; kui see on paaritu , siis märk muutub!

Järgmine intervallide ja märkidega telg on õige:

Ja pange tähele, et meid huvitab märk ei ole see, mis oli alguses (kui me esimest korda ebavõrdsust nägime, oli märk seal), pärast teisendusi muutus märk märgiks, mis tähendab, et meid huvitavad intervallid märgiga.

Vastus:

Ütlen ka, et on olukordi, kus on ebavõrdsuse juured, mis ei sisaldu üheski intervallis, vastuseks kirjutatakse need lokkis sulgudesse, näiteks nii: . Selliste olukordade kohta saate täpsemalt lugeda artiklist keskmine tase.

Teeme kokkuvõtte, kuidas lahendada ebavõrdusi intervallmeetodi abil:

1. Me liigutame kõik vasakule küljele, jättes paremale ainult nulli;
2. Leiame ODZ;
3. Joonistame teljele kõik ebavõrdsuse juured;
4. Võtame ühest intervallist suvalise ja määrame selle intervalli märgi, kuhu juur kuulub, vaheldume märke, pöörates tähelepanu juurtele, mis korduvad ebavõrdsuses mitu korda; sõltub sellest, kas märk nende läbimisel muutub nende kordamiste arvu ühtsuse või veidruse kohta;
5. Vastuseks kirjutame intervallid, jälgides torke- ja läbitorkamata punkte (vt ODZ), asetades nende vahele vajalikku tüüpi sulud.

Ja lõpuks, meie lemmikjaotis "tee ise"!

Näited:

Vastused:

INTERVALLI MEETOD. KESKMINE TASE

Lineaarne funktsioon

Vormi funktsiooni nimetatakse lineaarseks. Võtame näitena funktsiooni. See on positiivne ja negatiivne. Punkt on funktsiooni () nullpunkt. Näitame selle funktsiooni märke arvteljel:

Me ütleme, et "funktsioon muudab punkti läbimisel märki".

Näha on, et funktsiooni märgid vastavad funktsiooni graafiku asukohale: kui graafik on telje kohal, on märk “ ”, kui selle all on “ ”.

Kui üldistame saadud reegli suvaliseks lineaarseks funktsiooniks, saame järgmise algoritmi:

• Funktsiooni nullpunkti leidmine;
• Märgime selle numbriteljel;
• Määrame funktsiooni märgi nulli vastaskülgedel.

Ruutfunktsioon

Loodan, et mäletate, kuidas ruutvõrratust lahendada? Kui ei, siis loe teemat. Lubage mul teile meelde tuletada üldine vorm ruutfunktsioon: .

Nüüd meenutagem, milliseid märke ruutfunktsioon võtab. Selle graafik on parabool ja funktsioon võtab märgi " " nende jaoks, kus parabool on telje kohal, ja " " - kui parabool on teljest allpool:

Kui funktsioonil on nullid (väärtused, mille juures), lõikub parabool teljega kahes punktis - vastava juurtes. ruutvõrrand. Seega on telg jagatud kolmeks intervalliks ja funktsiooni märgid vaheldumisi muutuvad iga juure läbimisel.

Kas märke on võimalik kuidagi määrata ilma iga kord parabooli joonistamata?

Tuletame meelde, et ruudukujulist trinoomi saab faktoriseerida:

Näiteks: .

Märgime teljele juured:

Peame meeles, et funktsiooni märk saab muutuda ainult juure läbimisel. Kasutame seda fakti: iga kolme intervalli puhul, millesse telg on jagatud juurtega, piisab funktsiooni märgi määramisest ainult ühes meelevaldselt valitud punktis: intervalli ülejäänud punktides on märk sama. .

Meie näites on mõlemad sulgudes olevad avaldised positiivsed (asendus, näiteks:). Paneme teljele märgi " ":

Noh, kui (näiteks asendaja), on mõlemad sulud negatiivsed, mis tähendab, et toode on positiivne:

Seda see on intervalli meetod: teades iga intervalli tegurite märke, määrame kogu toote märgi.

Vaatleme ka juhtumeid, kui funktsioonil pole nulle või on ainult üks.

Kui neid pole, siis pole ka juuri. See tähendab, et „juure läbimist” ei toimu. See tähendab, et funktsioon võtab kogu arvurealt ainult ühe märgi. Seda saab hõlpsasti määrata, asendades selle funktsiooniga.

Kui on ainult üks juur, puudutab parabool telge, mistõttu funktsiooni märk juurt läbides ei muutu. Millise reegli saame sellisteks olukordadeks välja mõelda?

Kui arvestada sellise funktsiooniga, saate kaks identset tegurit:

Ja iga ruudukujuline avaldis ei ole negatiivne! Seetõttu funktsiooni märk ei muutu. Sellistel juhtudel tõstame esile juure, mille läbimisel märk ei muutu, tehes selle ruuduga ringi:

Nimetame sellist juurt mitmekordseks.

Intervallmeetod võrratustes

Nüüd saab iga ruutvõrratuse lahendada ilma parabooli joonistamata. Piisab, kui asetada teljele ruutfunktsiooni märgid ja valida intervallid sõltuvalt ebavõrdsuse märgist. Näiteks:

Mõõdame juured teljel ja asetame märgid:

Vajame telje osa, millel on märk " "; kuna ebavõrdsus ei ole range, kaasatakse lahendusse ka juured:

Vaatleme nüüd ratsionaalset ebavõrdsust – ebavõrdsust, mille mõlemad pooled on ratsionaalsed väljendid (vt.).

Näide:

Kõik tegurid peale ühe on siin "lineaarsed", see tähendab, et need sisaldavad muutujat ainult esimese astmeni. Intervallmeetodi rakendamiseks vajame selliseid lineaarseid tegureid – märk muutub nende juurte läbimisel. Kuid kordajal pole üldse juuri. See tähendab, et see on alati positiivne (kontrollige seda ise) ega mõjuta seetõttu kogu ebavõrdsuse märki. See tähendab, et saame jagada vasak- ja parem pool ebavõrdsus ja vabaneda sellest:

Nüüd on kõik sama, mis ruutvõrratustega: määrame, millistes punktides muutub iga tegur nulliks, märgime need punktid teljele ja järjestame märgid. Tahaksin juhtida teie tähelepanu ühele väga olulisele faktile:

Vastus:. Näide: .

Intervallmeetodi rakendamiseks peab olema üks ebavõrdsuse osadest. Seetõttu liigutagem parem pool vasakule:

Lugejal ja nimetajal on sama tegur, kuid ärge kiirustage seda vähendama! Lõppude lõpuks võime unustada selle punkti välja torgata. Parem on see juur märkida mitmekordseks, see tähendab, et selle läbimisel märk ei muutu:

Vastus:.

Ja veel üks väga illustreeriv näide:

Jällegi, me ei tühista lugeja ja nimetaja samu tegureid, sest kui me seda teeme, peame meeles pidama punkti läbitorkamist.

• : korduvad korrad;
• : korda;
• : korda (lugejas ja üks nimetajas).

Paarisarvu puhul teeme samamoodi nagu varem: teeme ruuduga punkti ümber ja juure läbimisel märki ei muuda. Kuid paaritu arvu puhul see reegel ei kehti: märk muutub juure läbimisel ikkagi. Seetõttu ei tee me sellise juurega midagi täiendavat, nagu see polekski kordne. Ülaltoodud reeglid kehtivad kõikide paaris- ja paaritute astmete kohta.

Mida peaksime vastusesse kirjutama?

Kui märkide vaheldumist rikutakse, tuleb olla väga ettevaatlik, sest kui ebavõrdsus ei ole range, peaks vastus sisaldama kõik varjutatud punktid. Kuid mõned neist eristuvad sageli, see tähendab, et need ei kuulu varjutatud alasse. Sel juhul lisame need vastusele isoleeritud punktidena (lokkides sulgudes):

Näited (otsustage ise):

Vastused:

1. Kui tegurite hulgas on see lihtne, on see juur, sest seda saab esitada kui.
   .

INTERVALLI MEETOD. LÜHIDALT PEAMISEST

Intervallmeetodit kasutatakse ratsionaalsete võrratuste lahendamiseks. See seisneb toote märgi määramises tegurite märkide põhjal erinevatel intervallidel.

Algoritm ratsionaalsete võrratuste lahendamiseks intervallmeetodil.

• Me liigutame kõik vasakule küljele, jättes paremale ainult nulli;
• Leiame ODZ;
• Joonistame teljele kõik ebavõrdsuse juured;
• Võtame ühest intervallist suvalise ja määrame selle intervalli märgi, kuhu juur kuulub, vaheldume märke, pöörates tähelepanu juurtele, mis korduvad ebavõrdsuses mitu korda; sõltub sellest, kas märk nende läbimisel muutub nende kordamiste arvu ühtsuse või veidruse kohta;
• Vastuseks kirjutame intervallid, jälgides torke- ja läbitorkamata punkte (vt ODZ), asetades nende vahele vajalikku tüüpi sulud.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Edukaks ühtse riigieksami sooritamine, eelarvega kolledžisse sissesaamiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Inimesed, kes said hea haridus, teenivad palju rohkem kui need, kes seda ei saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - 999 hõõruda.

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Teisel juhul me anname teile simulaator "6000 ülesannet lahenduste ja vastustega iga teema jaoks, igal keerukusastmel." Kindlasti piisab sellest, kui saad oma käed mistahes teemal probleemide lahendamisele.

Tegelikult on see palju enamat kui lihtsalt simulaator – terve koolitusprogramm. Vajadusel saad kasutada ka TASUTA.

Juurdepääs kõigile tekstidele ja programmidele on tagatud KOGU saidi eksisteerimise perioodiks.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

Kuidas lahendada ebavõrdsust intervallmeetodi abil (algoritm näidetega)

Näide . (ülesanne OGE-lt) Lahendage võrratus intervallmeetodiga \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Lahendus:

Vastus : \((7;7+\sqrt(11))\)

Näide . Lahendage võrratus intervallmeetodi abil \(≥0\)
Lahendus:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Siin tundub esmapilgul kõik normaalne ja ebavõrdsus viiakse esialgu soovitud vormi. Kuid see pole nii - lõppude lõpuks on lugeja esimeses ja kolmandas sulgudes x miinusmärgiga. Teisendame sulud, võttes arvesse asjaolu, et neljas aste on paaris (st see eemaldab miinusmärgi) ja kolmas on paaritu (st see ei eemalda). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Nagu nii. Nüüd tagastame sulud "paigale" juba muudetud kujul.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Nüüd näevad kõik sulgud välja sellised nagu peaksid ( läheb esimesena nõue ilma märgita ja alles siis number). Lugeja ette aga ilmus miinus. Eemaldame selle, korrutades ebavõrdsuse arvuga \(-1\), unustamata võrdlusmärki ümber pöörata
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Valmis. Nüüd näeb ebavõrdsus välja selline, nagu peab. Võite kasutada intervallmeetodit.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Asetame teljele punktid, märgid ja värvime üle vajalikud intervallid.
		Intervallis \(4\) kuni \(6\) märki muuta ei pea, kuna sulg \((x-6)\) on paarisastmes (vt algoritmi punkt 4) . Lipp tuletab meelde, et kuus on ka lahendus ebavõrdsusele. Paneme vastuse kirja.

Vastus : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\left\(6\right\)\)

Näide.(ülesanne OGE-lt) Lahendage võrratus intervallmeetodi abil \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Lahendus:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Vasakul ja paremal on identsed - see pole ilmselgelt juhus. Esimene soov on jagada arvuga \(-x^2-64\), kuid see on viga, sest on võimalus juur kaotada. Selle asemel liigutage \(64(-x^2-64)\) asukohta vasak pool
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Võtame esimesest sulust välja miinuse ja arvestame teise
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Pange tähele, et \(x^2\) on kas võrdne nulliga või suurem kui null. See tähendab, et \(x^2+64\) on üheselt positiivne iga x väärtuse korral, see tähendab, et see avaldis ei mõjuta kuidagi vasaku külje märki. Seetõttu võime selle avaldise abil julgelt jagada ebavõrdsuse mõlemad pooled. Jagame ka ebavõrdsuse \(-1\), et miinusest lahti saada.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Nüüd saate kasutada intervallmeetodit
\(x=8;\) \(x=-8\)		Paneme vastuse kirja

Vastus : \((-∞;-8]∪}