Nurki mõõdetakse kraadides või radiaanides. Oluline on mõista nende mõõtühikute vahelist seost. Selle seose mõistmine võimaldab teil opereerida nurkadega ja teha üleminekut kraadidelt radiaanidele ja tagasi. Selles artiklis tuletame valemi kraadide radiaanideks ja radiaanide kraadideks teisendamiseks ning vaatame ka mitmeid praktilisi näiteid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Seos kraadide ja radiaanide vahel

Kraadide ja radiaanide vahelise seose tuvastamiseks on vaja teada nurga kraadi ja radiaani mõõtu. Näiteks võtke kesknurk, mis põhineb ringi läbimõõdul raadiusega r. Selle nurga radiaanimõõdu arvutamiseks on vaja kaare pikkus jagada ringi raadiuse pikkusega. Vaadeldav nurk vastab kaare pikkusele, mis on võrdne poole ümbermõõduga π·r. Jagage kaare pikkus raadiusega ja saage nurga radiaanmõõt: π · r r = π rad.

Seega on kõnealune nurk π radiaani. Teisest küljest on see vastupidine nurk, mis on võrdne 180 °. Seega 180° = π rad.

Seos kraadide ja radiaanide vahel

Radiaanide ja kraadide suhet väljendatakse valemiga

π radiaan = 180°

Valemid radiaanide teisendamiseks kraadideks ja vastupidi

Ülaltoodud valemist saate tuletada muid valemeid nurkade teisendamiseks radiaanidest kraadideks ja kraadidest radiaanideks.

Avaldame ühte radiaani kraadides. Selleks jagage raadiuse vasak ja parem külg pi-ga.

1 r a d = 180 π ° - 1 radiaani nurga kraadimõõt on võrdne 180 π.

Üht kraadi saab väljendada ka radiaanides.

1° = π 180 r a d

Saate teha ligikaudseid arvutusi nurga väärtustest radiaanides ja vastupidi. Selleks võtke arvu π väärtused kümne tuhandiku täpsusega ja asendage need saadud valemitega.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Seega on ühes radiaanis ligikaudu 57 kraadi

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Üks kraad sisaldab 0,0175 radiaani.

Valem radiaanide kraadideks teisendamiseks

x r a d = x 180 π °

Nurga radiaanidest kraadideks teisendamiseks peate nurga radiaanides korrutama 180-ga ja jagama pi-ga.

Näited kraadide teisendamiseks radiaanideks ja radiaanide kraadideks teisendamiseks

Vaatame näidet.

Näide 1. Radiaanidest kraadideks teisendamine

Olgu α = 3,2 rad. Peame välja selgitama selle nurga kraadi.

Väärtuste tabel trigonomeetrilised funktsioonid

Märge. See trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel kasutab ruutjuure tähistamiseks märki √. Murru märkimiseks kasutage sümbolit "/".

Vaata ka kasulikud materjalid:

Sest trigonomeetrilise funktsiooni väärtuse määramine, leidke see trigonomeetrilist funktsiooni tähistava joone ristumiskohast. Näiteks siinus 30 kraadi - otsime veergu pealkirjaga sin (siinus) ja leiame selle tabeli veeru ristumiskoha reaga "30 kraadi", nende ristumiskohas loeme tulemust - pool. Samamoodi leiame koosinus 60 kraadid, siinus 60 kraadid (taas kord patu veeru ja 60 kraadise joone ristumiskohas leiame väärtuse sin 60 = √3/2) jne. Samamoodi leitakse teiste "populaarsete" nurkade siinuste, koosinuste ja puutujate väärtused.

Siinus pi, koosinus pi, puutuja pi ja muud nurgad radiaanides

Allolev koosinuste, siinuste ja puutujate tabel sobib ka trigonomeetriliste funktsioonide väärtuse leidmiseks, mille argument on antud radiaanides. Selleks kasutage nurga väärtuste teist veergu. Tänu sellele saate populaarsete nurkade väärtused kraadidest radiaanidesse teisendada. Näiteks leiame esimesel real nurga 60 kraadi ja loeme selle alt selle väärtuse radiaanides. 60 kraadi on võrdne π/3 radiaaniga.

Arv pi väljendab üheselt ümbermõõdu sõltuvust nurga astmest. Seega on pi radiaanid 180 kraadi.

Mis tahes pi (radiaanides) väljendatud arvu saab kergesti teisendada kraadideks, asendades pi (π) 180-ga.

Näited:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
seega on pi siinus sama mis siinus 180 kraadi ja see võrdub nulliga.

2. Koosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
seega on pi koosinus sama, mis 180 kraadi koosinus ja see võrdub miinus ühega.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
seega puutuja pi on sama, mis puutuja 180 kraadi ja see on võrdne nulliga.

Siinuse, koosinuse, puutuja väärtuste tabel nurkade 0–360 kraadi jaoks (tavalised väärtused)

Kui trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelis on funktsiooni väärtuse asemel näidatud kriips (puutuja (tg) 90 kraadi, kotangens (ctg) 180 kraadi), siis nurga astme mõõtme antud väärtuse korral on funktsioon ei oma konkreetset väärtust. Kui kriips puudub, on lahter tühi, mis tähendab, et me pole veel sisenenud soovitud väärtus. Oleme huvitatud sellest, milliste päringute jaoks kasutajad meie poole pöörduvad ja täiendame tabelit uute väärtustega, hoolimata asjaolust, et praegused andmed kõige levinumate nurgaväärtuste koosinuste, siinuste ja puutujate väärtuste kohta on enamiku lahendamiseks piisavad. probleeme.

Trigonomeetriliste funktsioonide sin, cos, tg väärtuste tabel kõige populaarsemate nurkade jaoks
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 kraadi
(numbrilised väärtused "Bradise tabelite järgi")

Trigonomeetrilised funktsioonid on elementaarfunktsioonid, mille argument on nurk. Trigonomeetrilised funktsioonid kirjeldavad täisnurkse kolmnurga külgede ja teravnurkade vahelisi seoseid. Trigonomeetriliste funktsioonide kasutusvaldkonnad on äärmiselt mitmekesised. Näiteks võib mis tahes perioodilisi protsesse esitada trigonomeetriliste funktsioonide summana (Fourier' jada). Need funktsioonid ilmnevad sageli diferentsiaal- ja funktsionaalvõrrandite lahendamisel.

Trigonomeetrilised funktsioonid hõlmavad 6 järgmist funktsiooni: sinus, koosinus, puutuja, kotangent, sekant Ja kosekant. Kõigi nende funktsioonide jaoks on olemas pöördfunktsiooni trigonomeetriline funktsioon.

Trigonomeetriliste funktsioonide geomeetrilist määratlust saab mugavalt tutvustada kasutades üksuse ring. Alloleval joonisel on raadiusega ring r= 1. Ringjoonel on punkt M(x,y). Raadiusvektori vaheline nurk OM ja positiivse telje suund Ox võrdub α .

Sinus nurk α y punktid M(x,y) raadiusele r: patt α = y/r. Kuna r= 1, siis siinus on võrdne punkti ordinaadiga M(x,y).

Koosinus nurk α x punktid M(x,y) raadiusele r:cos α = x/r = x

Tangent nurk α nimetatakse ordinaatsuhteks y punktid M(x,y) selle abstsissile x:tan α = y/x, x ≠ 0

Kotangent nurk α nimetatakse abstsisssuhteks x punktid M(x,y) selle ordinaadile y:voodi α = x/y, y ≠ 0

Sekant nurk α − on raadiuse suhe r abstsissile x punktid M(x,y):sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekant nurk α − on raadiuse suhe r ordinaati y punktid M(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

Projektsiooni ühikringis x, y punktid M(x,y) ja raadius r moodustavad täisnurkse kolmnurga, milles x, y on jalad ja r− hüpotenuus. Seetõttu on ülaltoodud täisnurksele kolmnurgale rakendatud trigonomeetriliste funktsioonide määratlused sõnastatud järgmiselt: Sinus nurk α nimetatakse vastaskülje ja hüpotenuusi suhteks. Koosinus nurk α nimetatakse külgneva jala ja hüpotenuusi suhteks. Tangent nurk α nimetatakse külgneva vastasküljeks. Kotangent nurk α nimetatakse vastasküljega külgnevaks pooleks.

Siinusfunktsiooni graafik y= patt x, domeen: x ∈ ℜ , vahemik: −1 ≤ sin x ≤ 1

Koosinusfunktsiooni graafik y=cos x, domeen: x ∈ ℜ , vahemik: −1 ≤ cos x ≤ 1

Puutujafunktsiooni graafik y= ttg x, domeen: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, vahemik: −∞< tg x < ∞

Kootangensfunktsiooni graafik y=ctg x, domeen: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, vahemik: −∞< ctg x < ∞

Vaatame pilti. Vektor \(AB\) on punkti \(A\) suhtes teatud määral "pöördunud". Seega on selle pöörde mõõt algpositsiooni suhtes nurk \(\alpha\).

Mida veel peate nurga mõiste kohta teadma? No muidugi, nurgaühikud!

Nurka, nii geomeetrias kui ka trigonomeetrias, saab mõõta kraadides ja radiaanides.

Nurk \(1()^\circ \) (üks kraad) on ringjoone kesknurk, mille kaar on võrdne \(\dfrac(1)(360) \) ringi osaga.

Seega koosneb kogu ringjoon \(360\) ringikaare "tükist" ehk ringiga kirjeldatud nurk on \(360()^\circ \) .

See tähendab, et ülaltoodud joonisel on nurk \(\beta \) võrdne \(50()^\circ \), see tähendab, et see nurk toetub ringkaarele, mille mõõtmed on \(\dfrac(50)(360) \ ) ümbermõõt.

Nurk \(1\) radiaanides on kesknurk ringis, mis on ümbritsetud ringkaarega, mille pikkus on võrdne ringi raadiusega.

Seega on joonisel nurk \(\gamma \) võrdne \(1 \) radiaaniga, see tähendab, et see nurk toetub ringkaarele, mille pikkus on võrdne ringi raadiusega (pikkus \( AB \) on võrdne pikkusega \(BB" \) või raadius \(r\) võrdub kaare pikkusega \(l\)) Seega arvutatakse kaare pikkus valemiga:

\(l=\theta \cdot r\) , kus \(\theta \) on kesknurk radiaanides.

Noh, kas saate seda teades vastata, mitu radiaani ringjoonega kirjeldatud nurgas sisaldub? Jah, selleks peate meeles pidama ümbermõõdu valemit. Siin ta on:

\(L=2\pi \cdot r\)

Noh, nüüd korreleerime need kaks valemit ja leiame, et ringiga kirjeldatud nurk on võrdne \(2\pi \) . See tähendab, et korreleerides väärtust kraadides ja radiaanides, leiame, et \(2\pi =360()^\circ \) . Vastavalt sellele \(\pi =180()^\circ \) . Nagu näete, on erinevalt "kraadidest" sõna "radiaan" välja jäetud, kuna mõõtühik on tavaliselt kontekstist selge.

Kraadid radiaanidesse. Sõbrad, see postitus on lühike, kuid kasulik paljudele. Nagu teate, tutvustab kooli matemaatikakursus meile kahte põhilist nurgamõõtu: kraadid ja radiaanid.Neid meetmeid kasutades lahendatakse peaaegu kõik ülesanded nii matemaatikas kui ka füüsikas.

Nende omavaheliste seoste mõistmine on äärmiselt vajalik. On hea, kui saate hõlpsalt arvutusi teha, kasutades mõnda neist meetmetest. Kuid mitte igaüks ei saa seda lihtsalt teha.

Arvutuste (erinevad teisendused) radiaani ühikut kasutades on vaja head tava.Näiteks nõuab hea oskus trigonomeetriliste avaldiste lahendamisel perioodi eraldamist murdosast. Mõne jaoks on kraadide abil probleeme lihtsam ja selgem lahendada.Poolte õpilaste jaoks ei eksisteeri kraadide radiaanideks teisendamise (või vastupidi) probleemi. Kui teil on vaja seda korrata, on see materjal teie jaoks.

Nurga mõõtmise vastavustabel

Niisiis, põhiteave, mida on vaja. Sellest kirjavahetusest tuleb ükskord aru saada ja meelde jätta!

Näited radiaanide kraadideks teisendamiseks:

Kui nurk on antud radiaanis ja selle avaldis sisaldab arvu Pi, siis asendame selle kraadiekvivalendi ehk 180 kraadi ja arvutame:

Kui radiaanid on antud täisarvu, murdosa või murdosaga täisarvu kujul, siis lahendame proportsiooni kaudu. Kirjutasin sellest aastal protsentidega seotud probleemidest. Näiteks määrame, mitu kraadi on 2 radiaani ja 5 radiaani. Teeme proportsiooni:

Näited kraadide teisendamiseks radiaanideks.

Teisendame 510 kraadi radiaanideks. Selle toimingu jaoks on vaja luua proportsioon. Selleks loome kirjavahetuse. On teada, et 180 kraadi vastab Pi radiaanile. Ja me tähistame 510 kraadi kui X radiaanid (kuna peame defineerima radiaanid), tähendab:

Teisendame 340, 220, 1210 kraadi radiaanideks:

Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.