Tõenäosuste järgi tegutsemise vajadus tekib siis, kui teatud sündmuste tõenäosused on teada ja on vaja välja arvutada teiste sündmustega seotud tõenäosused.
Tõenäosuste liitmist kasutatakse juhul, kui on vaja arvutada juhuslike sündmuste kombinatsiooni või loogilise summa tõenäosus.
Sündmuste summa A Ja B tähistama A + B või A ∪ B. Kahe sündmuse summa on sündmus, mis toimub siis ja ainult siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest. See tähendab et A + B– sündmus, mis toimub siis ja ainult siis, kui sündmus leidis aset vaatluse ajal A või sündmus B, või samaaegselt A Ja B.
Kui sündmused A Ja B on omavahel vastuolus ja on antud nende tõenäosused, siis arvutatakse tõenäosuste liitmise abil tõenäosus, et üks neist sündmustest ühe katse tulemusena aset leiab.
Tõenäosuste liitmise teoreem. Tõenäosus, et juhtub üks kahest asjast kokkusobimatud sündmused, võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga:
Näiteks jahil käies tehakse kaks lasku. Sündmus A– pardi löömine esimese lasuga, sündmus IN– tabamus teisest löögist, sündmus ( A+ IN) – tabamus esimesest või teisest või kahest lasust. Niisiis, kui kaks sündmust A Ja IN– kokkusobimatud sündmused siis A+ IN– vähemalt ühe neist sündmustest või kahest sündmusest.
Näide 1. Karbis on 30 palli samad suurused: 10 punast, 5 sinist ja 15 valget. Arvutage tõenäosus, et värviline (mitte valge) pall võetakse üles vaatamata.
Lahendus. Oletame, et sündmus A- "punane pall on võetud" ja sündmus IN- "Sinine pall võeti ära." Siis on sündmus "võetakse värviline (mitte valge) pall." Leiame sündmuse tõenäosuse A:
ja sündmused IN:
Sündmused A Ja IN– vastastikku kokkusobimatu, sest kui üks pall võetakse, siis palle võtta ei saa erinevad värvid. Seetõttu kasutame tõenäosuste liitmist:
Mitme kokkusobimatu sündmuse tõenäosuste lisamise teoreem. Kui sündmused moodustavad sündmuste täieliku komplekti, on nende tõenäosuste summa 1:
Vastandlike sündmuste tõenäosuste summa on samuti võrdne 1-ga:
Vastandlikud sündmused moodustavad sündmuste täieliku komplekti ja sündmuste täieliku kogumi tõenäosus on 1.
Vastupidiste sündmuste tõenäosused on tavaliselt märgitud väikeste tähtedega lk Ja q. Eriti,
millest tulenevad järgmised vastupidiste sündmuste tõenäosuse valemid:
Näide 2. Lasketiirus olev sihtmärk on jagatud 3 tsooni. Tõenäosus, et teatud laskur esimeses tsoonis sihtmärki laseb, on 0,15, teises tsoonis 0,23, kolmandas tsoonis 0,17. Leia tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki ja tõenäosus, et laskur jääb märklauast mööda.
Lahendus: leidke tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki:
Leiame tõenäosuse, et laskur jääb sihtmärgist mööda:
Keerulisemate ülesannete kohta, mille puhul tuleb kasutada nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist, vaata lehekülge "Erinevad probleemid, mis hõlmavad tõenäosuste liitmist ja korrutamist".
Vastastikku samaaegsete sündmuste tõenäosuste liitmine
Kaht juhuslikku sündmust nimetatakse ühiseks, kui ühe sündmuse toimumine ei välista teise sündmuse toimumist samas vaatluses. Näiteks täringu viskamisel sündmus A Arvatakse, et number 4 on välja lastud ja sündmus IN– paarisarvu veeretamine. Kuna 4 on paarisarv, on need kaks sündmust ühilduvad. Praktikas on probleeme ühe vastastikku samaaegse sündmuse toimumise tõenäosuse arvutamisega.
Tõenäosuste liitmise teoreem ühissündmuste jaoks. Tõenäosus, et üks ühissündmustest aset leiab, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest lahutatakse mõlema sündmuse ühise toimumise tõenäosus ehk tõenäosuste korrutis. Ühiste sündmuste tõenäosuse valem on järgmisel kujul:
Alates sündmustest A Ja INühilduv, sündmus A+ IN tekib siis, kui toimub üks kolmest võimalikust sündmusest: või AB. Kokkusobimatute sündmuste liitmise teoreemi kohaselt arvutame järgmiselt:
Sündmus A juhtub, kui toimub üks kahest kokkusobimatust sündmusest: või AB. Ühe sündmuse toimumise tõenäosus mitmest kokkusobimatust sündmusest on aga võrdne kõigi nende sündmuste tõenäosuste summaga:
Samamoodi:
Asendades avaldised (6) ja (7) avaldisega (5), saame ühissündmuste tõenäosuse valemi:
Valemi (8) kasutamisel tuleb arvestada, et sündmused A Ja IN võib olla:
- vastastikku sõltumatud;
- vastastikku sõltuvad.
Tõenäosuse valem vastastikku sõltumatute sündmuste jaoks:
Tõenäosuse valem vastastikku sõltuvate sündmuste jaoks:
Kui sündmused A Ja IN on vastuolulised, siis on nende kokkusattumus võimatu juhtum ja seega P(AB) = 0. Kokkusobimatute sündmuste neljas tõenäosusvalem on:
Näide 3. Autorallis on esimese autoga sõites suurem võimalus võita ja teise autoga sõites. Leia:
- tõenäosus, et mõlemad autod võidavad;
- tõenäosus, et vähemalt üks auto võidab;
1) Tõenäosus, et esimene auto võidab, ei sõltu teise auto tulemusest, seega sündmused A(esimene auto võidab) ja IN(võidab teine auto) – iseseisvad üritused. Leiame tõenäosuse, et mõlemad autod võidavad:
2) Leidke tõenäosus, et üks kahest autost võidab:
Keerulisemate ülesannete kohta, mille puhul tuleb kasutada nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist, vaata lehekülge "Erinevad probleemid, mis hõlmavad tõenäosuste liitmist ja korrutamist".
Lahendage tõenäosuste liitmise probleem ise ja seejärel vaadake lahendust
Näide 4. Visatakse kaks münti. Sündmus A- vapi kadumine esimesel mündil. Sündmus B- vapi kadumine teisel mündil. Leidke sündmuse tõenäosus C = A + B .
Tõenäosuste korrutamine
Tõenäosuse korrutamist kasutatakse siis, kui tuleb arvutada sündmuste loogilise korrutise tõenäosus.
Sel juhul peavad juhuslikud sündmused olema sõltumatud. Kaht sündmust nimetatakse teineteisest sõltumatuks, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust.
Sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutamise teoreem. Kahe sõltumatu sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus A Ja IN on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega ja arvutatakse järgmise valemiga:
Näide 5. Münti visatakse kolm korda järjest. Leidke tõenäosus, et vapp ilmub kõik kolm korda.
Lahendus. Tõenäosus, et vapp ilmub mündi esimesel viskel, teisel ja kolmandal korral. Leiame tõenäosuse, et vapp ilmub kõik kolm korda:
Lahendage tõenäosuse korrutamise ülesanded iseseisvalt ja seejärel vaadake lahendust
Näide 6. Karbis on üheksa uut tennisepalli. Mängimiseks võetakse kolm palli ja pärast mängu pannakse need tagasi. Pallide valikul ei eristata mängitud palle mängimata pallidest. Kui suur on tõenäosus, et kolme mängu järel pole kasti ühtegi mängimata palli?
Näide 7. Väljalõigatud tähestikukaartidele on kirjutatud 32 vene tähestiku tähte. Viis kaarti tõmmatakse juhuslikult üksteise järel ja asetatakse lauale ilmumise järjekorras. Leidke tõenäosus, et tähed moodustavad sõna "lõpp".
Näide 8. Täis kaardipakist (52 lehte) võetakse korraga välja neli kaarti. Leidke tõenäosus, et kõik need neli kaarti on erineva mastiga.
Näide 9. Sama ülesanne nagu näites 8, kuid iga kaart pärast eemaldamist tagastatakse kaardipakki.
Keerulisemad ülesanded, mille puhul tuleb kasutada nii tõenäosuste liitmist ja korrutamist kui ka arvutada mitme sündmuse korrutis, leiate lehelt "Erinevad tõenäosuste liitmise ja korrutamise probleemid".
Tõenäosuse, et toimub vähemalt üks teineteisest sõltumatu sündmus, saab arvutada, lahutades 1-st vastupidiste sündmuste tõenäosuste korrutise, st kasutades valemit:
Näide 10. Kaupa toimetatakse kohale kolme transpordiliigiga: jõe-, raudtee- ja maanteetransport. Tõenäosus, et veos tuuakse kohale jõetranspordiga, on 0,82, raudteel 0,87, maanteetranspordiga 0,90. Leidke tõenäosus, et lasti toimetab kohale vähemalt üks järgmistest kolme tüüpi transport.
Tõenäosus sündmus on antud sündmusele soodsate elementaarsete tulemuste arvu suhe kogemuse kõigi võrdselt võimalike tulemuste arvu, milles see sündmus võib ilmneda. Sündmuse A tõenäosust tähistatakse P(A)-ga (siin P on prantsuskeelse sõna probabilite esimene täht – tõenäosus). Definitsiooni järgi
(1.2.1)
kus on sündmusele A soodsate elementaartulemuste arv; - katse kõigi võrdselt võimalike elementaarsete tulemuste arv, moodustades täisgrupp sündmused.
Seda tõenäosuse määratlust nimetatakse klassikaliseks. See tekkis edasi esialgne etapp tõenäosusteooria arendamine.
Sündmuse tõenäosusel on järgmised omadused:
1. Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega. Tähistagem usaldusväärset sündmust tähega. Teatud sündmuse puhul seega
(1.2.2)
2. Võimatu sündmuse tõenäosus on null. Tähistagem võimatut sündmust tähega . Võimatu sündmuse puhul seega
(1.2.3)
3. Juhusliku sündmuse tõenäosust väljendatakse positiivse arvuna, mis on väiksem kui üks. Kuna juhusliku sündmuse ebavõrdsused , või , on täidetud, siis
(1.2.4)
4. Mis tahes sündmuse tõenäosus rahuldab ebavõrdsust
(1.2.5)
See tuleneb suhetest (1.2.2) - (1.2.4).
Näide 1. Urnis on 10 võrdse suuruse ja kaaluga palli, millest 4 on punased ja 6 sinised. Urnist tõmmatakse üks pall. Kui suur on tõenäosus, et tõmmatud pall on sinine?
Lahendus. Sündmust “tõmmatud pall osutus siniseks” tähistame tähega A. Sellel testil on 10 võrdselt võimalikku elementaarset tulemust, millest 6 pooldavad sündmust A. Valemi (1.2.1) kohaselt saame 
Näide 2. Kõik naturaalarvud 1 kuni 30 kirjutatakse identsetele kaartidele ja asetatakse urni. Pärast kaartide põhjalikku segamist eemaldatakse üks kaart urnist. Kui suur on tõenäosus, et võetud kaardil olev arv on 5-kordne?
Lahendus. Tähistagem A-ga sündmust "võetud kaardil olev arv on 5-kordne." Selles testis on 30 võrdselt võimalikku elementaarset tulemust, millest sündmust A soosib 6 tulemust (numbrid 5, 10, 15, 20, 25, 30). Seega 
Näide 3. Visatakse kaks täringut ja arvutatakse ülemiste tahkude punktide summa. Leia sündmuse B tõenäosus, et täringu ülemistel tahkudel on kokku 9 punkti.
Lahendus. Selles testis on ainult 6 2 = 36 võrdselt võimalikku elementaarset tulemust. Sündmust B soosib 4 tulemust: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), seega 
Näide 4. Valitud juhuslikult naturaalarv, ei ületa 10. Kui suur on tõenäosus, et see arv on algarv?
Lahendus. Tähistagem tähega C sündmust “valitud arv on algarv”. IN sel juhul n = 10, m = 4 ( algarvud 2, 3, 5, 7). Seega nõutav tõenäosus 
Näide 5. Visatakse kaks sümmeetrilist münti. Kui suur on tõenäosus, et mõlema mündi ülemisel küljel on numbrid?
Lahendus. Tähistagem D-tähega sündmust "iga mündi ülemisel küljel on number". Selles testis on 4 võrdselt võimalikku elementaarset tulemust: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Tähistus (G, C) tähendab, et esimesel mündil on vapp, teisel on number). Sündmust D soosib üks elementaarne tulemus (C, C). Kuna m = 1, n = 4, siis 
Näide 6. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud kahekohalises numbris on samad numbrid?
Lahendus. Kahekohalised arvud on arvud vahemikus 10 kuni 99; Selliseid numbreid on kokku 90. Samad numbrid neil on 9 numbrit (need numbrid on 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kuna sel juhul m = 9, n = 90, siis 
,
kus A on "identsete numbritega number" sündmus.
Näide 7. Sõna tähtedest diferentsiaalÜks täht valitakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et see täht on: a) täishäälik, b) kaashäälik, c) täht h?
Lahendus. Diferentsiaalsõnas on 12 tähte, millest 5 on täishäälikud ja 7 kaashäälikud. Kirjad h selles sõnas puudub. Tähistagem sündmusi: A - "vokaalitäht", B - "konsonanttäht", C - "täht" h". Soodsate elementaartulemuste arv: - sündmuse A jaoks, - sündmuse B jaoks, - sündmuse C jaoks. Kuna n = 12, siis
, Ja .
Näide 8. Visatakse kaks täringut ja märgitakse iga täringu peal olevate punktide arv. Leidke tõenäosus, et mõlemad täringud veerevad sama number punktid.
Lahendus. Tähistame seda sündmust tähega A. Sündmust A eelistavad 6 elementaarset tulemust: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Täieliku sündmuste rühma moodustavate võrdselt võimalike elementaarsete tulemuste koguarv, antud juhul n=6 2 =36. See tähendab, et nõutav tõenäosus 
Näide 9. Raamatus on 300 lehekülge. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult avatud leht avaneb seerianumber, 5-kordne?
Lahendus.Ülesande tingimustest järeldub, et kõik võrdselt võimalikud elementaartulemused, mis moodustavad tervikliku sündmuste rühma, on n = 300. Nendest m = 60 soosivad määratud sündmuse toimumist. Tõepoolest, arvul, mis on 5-kordne, on vorm 5k, kus k on naturaalarv ja kust 
. Seega 
, kus A – sündmuse „lehe” järjenumber on 5-kordne.
Näide 10. Visatakse kaks täringut ja arvutatakse ülemiste tahkude punktide summa. Mis on tõenäolisem – saada kokku 7 või 8?
Lahendus. Tähistagem sündmusi: A - "visetakse 7 punkti", B - "visetakse 8 punkti". Sündmust A soosib kuus elementaarset tulemust: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) ja sündmust B. 5 tulemusega: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Kõik võrdselt võimalikud elementaarsed tulemused on n = 6 2 = 36. Ja .
Niisiis, P(A)>P(B), st kokku 7 punkti saamine on tõenäolisem sündmus kui 8 punkti kogumine.
Ülesanded
1. Juhuslikult valitakse naturaalarv, mis ei ületa 30. Kui suur on tõenäosus, et see arv on 3-kordne?
2. Urnis a punane ja b sinised pallid, suuruse ja kaalu poolest identsed. Kui suur on tõenäosus, et sellest urnist juhuslikult tõmmatud pall on sinine?
3. Juhuslikult valitakse arv, mis ei ületa 30. Kui suur on tõenäosus, et see arv jagab arvu 30?
4. Urnis A sinine ja b punased pallid, suuruse ja kaalu poolest identsed. Sellest urnist võetakse üks pall ja pannakse kõrvale. See pall osutus punaseks. Pärast seda tõmmatakse urnist veel üks pall. Leidke tõenäosus, et ka teine pall on punane.
5. Juhuslikult valitakse rahvusarv, mis ei ületa 50. Kui suur on tõenäosus, et see arv on algarv?
6. Loobitakse kolm täringut ja arvutatakse tippude punktide summa. Mis on tõenäolisem – kas saada kokku 9 või 10 punkti?
7. Loositakse kolm täringut ja arvutatakse veeretatud punktide summa. Mis on tõenäolisem – saada kokku 11 (sündmus A) või 12 punkti (sündmus B)?
Vastused
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - tõenäosus saada kokku 9 punkti; p 2 = 27/216 - tõenäosus saada kokku 10 punkti; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Küsimused
1. Kuidas nimetatakse sündmuse tõenäosust?
2. Kui suur on usaldusväärse sündmuse tõenäosus?
3. Kui suur on võimatu sündmuse tõenäosus?
4. Millised on juhusliku sündmuse tõenäosuse piirid?
5. Millised on mis tahes sündmuse tõenäosuse piirid?
6. Millist tõenäosuse definitsiooni nimetatakse klassikaliseks?
On selge, et igal sündmusel on selle toimumise (elluviimise) võimalus erineval määral. Sündmuste kvantitatiivseks võrdlemiseks nende võimalikkuse astme järgi on ilmselgelt vaja seostada iga sündmusega teatud arv, mis on seda suurem, mida võimalikum on sündmus. Seda arvu nimetatakse sündmuse tõenäosuseks.
Sündmuse tõenäosus– on selle sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse määra numbriline mõõt.
Vaatleme selles katses täheldatud stohhastilist katset ja juhuslikku sündmust A. Kordame seda katset n korda ja olgu m(A) katsete arv, milles sündmus A toimus.
Seos (1.1)
helistas suhteline sagedus sündmusi A läbiviidud katsete sarjas.
Omaduste kehtivust on lihtne kontrollida:
kui A ja B on vastuolus (AB= ), siis ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1,2)
Suhteline sagedus määratakse alles pärast katseseeriat ja üldiselt võib see seeriate lõikes erineda. Kogemus näitab aga, et paljudel juhtudel läheneb suhteline sagedus katsete arvu suurenedes teatud arvule. Seda suhtelise sageduse stabiilsuse fakti on korduvalt kontrollitud ja seda võib pidada eksperimentaalselt kindlaks tehtud.
Näide 1.19.. Kui viskad ühe mündi, ei oska keegi ennustada, kummale poole see otsa maandub. Kui aga visata kaks tonni münte, siis kõik ütlevad, et umbes üks tonn kukub koos vapiga üles ehk siis vapi väljakukkumise suhteline sagedus on ligikaudu 0,5.
Kui katsete arvu suurenemisel kaldub sündmuse suhteline sagedus ν(A) teatud kindlale arvule, siis öeldakse, et sündmus A on statistiliselt stabiilne, ja seda arvu nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks.
Sündmuse tõenäosus A kutsutakse mingi fikseeritud arv P(A), milleni selle sündmuse suhteline sagedus ν(A) kaldub katsete arvu kasvades, st. 
Seda määratlust nimetatakse tõenäosuse statistiline määramine .
Vaatleme teatud stohhastilist eksperimenti ja koosneme selle elementaarsündmuste ruum lõplikust või lõpmatust (kuid loendatavast) elementaarsündmuste hulgast ω 1, ω 2, …, ω i, …. Oletame, et igale elementaarsündmusele ω i omistatakse teatud arv - р i, mis iseloomustab antud elementaarsündmuse toimumise võimalikkuse astet ja vastab järgmistele omadustele:
Seda numbrit p i kutsutakse elementaarsündmuse tõenäosusωi.
Olgu A nüüd selles katses vaadeldud juhuslik sündmus ja vastagu see teatud hulgale
Selles seadistuses sündmuse tõenäosus A nimeta A-d soodustavate elementaarsündmuste tõenäosuste summa(sisaldub vastavas komplektis A):
(1.4)
Sel viisil sisestatud tõenäosusel on samad omadused kui suhtelisel sagedusel, nimelt:
Ja kui AB = (A ja B ei ühildu),
siis P(A+B) = P(A) + P(B)
Tõepoolest, vastavalt (1.4)
Viimases seoses kasutasime ära asjaolu, et ükski elementaarne sündmus ei saa eelistada kahte kokkusobimatut sündmust korraga.
Märgime eriti, et tõenäosusteooria ei näita meetodeid p i määramiseks, neid tuleb otsida praktilistel kaalutlustel või hankida vastavast statistilisest eksperimendist.
Näiteks kaaluge klassikaline skeem tõenäosusteooria. Selleks vaadeldakse stohhastilist eksperimenti, mille elementaarsündmuste ruum koosneb lõplikust (n) arvust elementidest. Eeldame lisaks, et kõik need elementaarsündmused on võrdselt võimalikud, st elementaarsündmuste tõenäosused on võrdsed p(ω i)=p i =p. Sellest järeldub
Näide 1.20. Sümmeetrilise mündi viskamisel on peade ja sabade saamine võrdselt võimalik, nende tõenäosus on 0,5.
Näide 1.21. Sümmeetrilise täringu viskamisel on kõik näod võrdselt võimalikud, nende tõenäosus on 1/6.
Nüüd olgu sündmus A soositud m elementaarsündmuste poolt, neid tavaliselt nimetatakse sündmusele A soodsad tulemused. Siis
Sain klassikaline tõenäosuse määratlus: sündmuse A tõenäosus P(A) võrdub sündmusele A soodsate tulemuste arvu ja tulemuste koguarvu suhtega
Näide 1.22. Urnis on m valget ja n musta palli. Kui suur on valge palli tõmbamise tõenäosus?
Lahendus. Elementaarsündmuste koguarv on m+n. Need kõik on võrdselt tõenäolised. Soodne sündmus A millest m. Seega 
.
Tõenäosuse definitsioonist tulenevad järgmised omadused:
Vara 1. Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.
Tõepoolest, kui sündmus on usaldusväärne, siis iga testi elementaarne tulemus soosib sündmust. Sel juhul t=p, seega,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Vara 2. Võimatu sündmuse tõenäosus on null.
Tõepoolest, kui sündmus on võimatu, siis ükski testi elementaarsetest tulemustest ei soosi sündmust. Sel juhul T= 0, seega P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Vara 3.Juhusliku sündmuse tõenäosus on positiivne arv nulli ja ühe vahel.
Tõepoolest, juhuslik sündmus eelistab ainult osa testi elementaarsete tulemuste koguarvust. See tähendab 0≤m≤n, mis tähendab 0≤m/n≤1, seega rahuldab mis tahes sündmuse tõenäosus topeltvõrratust 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Võrreldes tõenäosuse (1,5) ja suhtelise sageduse (1,1) definitsioone, järeldame: tõenäosuse määratlus ei nõua testimist tegelikult; suhtelise sageduse määratlus eeldab seda testid on tegelikult tehtud. Teisisõnu, tõenäosus arvutatakse enne katset ja suhteline sagedus pärast katset.
Tõenäosuse arvutamiseks on siiski vaja esialgset teavet antud sündmuse jaoks soodsate elementaarsete tulemuste arvu või tõenäosuste kohta. Sellise eelinformatsiooni puudumisel kasutatakse tõenäosuse määramiseks empiirilisi andmeid, st sündmuse suhteline sagedus määratakse stohhastilise katse tulemuste põhjal.
Näide 1.23. osakond tehniline kontroll avastas 3 mittestandardsed osad 80 juhuslikult valitud osast koosnevas partiis. Mittestandardsete osade esinemise suhteline sagedus r(A)= 3/80.
Näide 1.24. Vastavalt eesmärgile.toodetud 24 lasti ja registreeriti 19 tabamust. Suhteline eesmärgi tabamusmäär. r(A)=19/24.
Pikaajalised vaatlused on näidanud, et kui katsed viiakse läbi identsetes tingimustes, millest igaühes on katsete arv piisavalt suur, siis on suhtelisel sagedusel stabiilsuse omadus. See vara on mis sisse erinevaid kogemusi suhteline sagedus muutub vähe (mida vähem, seda rohkem teste tehakse), kõikudes teatud konstantse arvu ümber. Selgus, et seda konstantset arvu saab võtta tõenäosuse ligikaudse väärtusena.
Suhtelise sageduse ja tõenäosuse vahelist seost kirjeldatakse üksikasjalikumalt ja täpsemalt allpool. Nüüd illustreerime stabiilsuse omadust näidetega.
Näide 1.25. Rootsi statistika järgi iseloomustavad 1935. aasta tüdrukute suhtelist sündide sagedust kuude lõikes järgmised numbrid (numbrid on järjestatud kuude järjekorras, alustades jaanuar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Suhteline sagedus kõigub numbri 0,481 ümber, mida võib võtta tüdrukute sünni tõenäosuse ligikaudse väärtusena.
Pange tähele, et erinevate riikide statistilised andmed annavad ligikaudu sama suhtelise sageduse väärtuse.
Näide 1.26. Mitu korda tehti mündiviskamise katseid, mille käigus loendati “vapi” ilmumiste arvu. Mitmete katsete tulemused on toodud tabelis.
ontoloogilise kategooriana peegeldab mis tahes entiteedi tekkimise võimaluse ulatust mis tahes tingimustel. Vastupidiselt selle mõiste matemaatilisele ja loogilisele tõlgendusele ei seo ontoloogiline matemaatika end kvantitatiivse väljendamise kohustusega. V. tähendus avaldub determinismi ja laiemalt arengu olemuse mõistmise kontekstis.
Suurepärane määratlus
Mittetäielik määratlus ↓
TÕENÄOSUS
suurusi iseloomustav mõiste. teatud sündmuse toimumise võimalikkuse mõõt teatud ajal tingimused. Teaduslikus teadmisi on kolm tõlgendust V. Klassikaline mõiste V., mis tekkis matemaatilisest. analüüs hasartmängud ja kõige täiuslikumalt välja töötanud B. Pascal, J. Bernoulli ja P. Laplace, peab võitu soodsate juhtumite arvu suhteks kõigi võrdselt võimalike juhtumite koguarvuga. Näiteks kui visata täringut, millel on 6 külge, võib eeldada, et igaüks neist maandub väärtusega 1/6, kuna ühelgi poolel pole eeliseid teise ees. Sellist katsetulemuste sümmeetriat võetakse mängude korraldamisel eriti arvesse, kuid see on suhteliselt haruldane teaduse ja praktika objektiivsete sündmuste uurimisel. Klassikaline V. tõlgendus andis teed statistikale. V. mõisted, mis lähtuvad tegelikust teatud sündmuse toimumise jälgimine pikema aja jooksul. kogemus täpselt kindlaksmääratud tingimustel. Praktika kinnitab, et mida sagedamini sündmus aset leiab, seda suurem on selle toimumise objektiivse võimalikkuse aste ehk B. Seega statistiline. V. tõlgendus põhineb suhestumise mõistel. sagedus, mida saab katseliselt määrata. V. kui teoreetiline mõiste ei lange kunagi kokku empiiriliselt määratud sagedusega, aga mitmuses. Juhtudel erineb see suhtelisest praktiliselt vähe. kestuse tulemusena leitud sagedus. tähelepanekud. Paljud statistikud peavad V. "topelt" viitab. sagedused, servad määratakse statistiliselt. vaatlustulemuste uurimine
või katsed. Vähem realistlik oli V. määratlus, kuna piir on seotud. R. Misesi pakutud massiürituste või rühmade sagedused. Nagu edasine areng Sageduskäsitlus V.-le esitab V. dispositsioonilise ehk kalduva tõlgenduse (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Selle tõlgenduse järgi iseloomustab V. näiteks tingimuste genereerimise omadust. katse. installatsioonid, et saada massiliste juhuslike sündmuste jada. Just selline suhtumine tekitabki füüsilise dispositsioonid ehk eelsoodumused, V. mida saab sugulaste abil kontrollida. sagedus
Statistiline V. tõlgendus domineerib teaduslikus uurimistöös. tunnetus, sest see peegeldab spetsiifilist. juhusliku iseloomuga massinähtustele omaste mustrite olemus. Paljudes füüsilistes, bioloogilistes, majanduslikes, demograafilistes. ja muude sotsiaalsete protsesside puhul on vaja arvestada paljude juhuslike tegurite toimega, mida iseloomustab stabiilne sagedus. Nende stabiilsete sageduste ja koguste tuvastamine. selle hindamine V. abil võimaldab paljastada paljude õnnetuste kumuleeruva toime läbimise vajaduse. Siin saab avalduse juhuse vajaduseks muutmise dialektika (vt F. Engels, raamatus: K. Marx ja F. Engels, Works, 20. kd, lk 535-36).
Loogiline ehk induktiivne arutluskäik iseloomustab suhet mittedemonstratiivse ja eriti induktiivse arutluse eelduste ja järelduste vahel. Erinevalt deduktsioonist ei taga induktsiooni eeldused järelduse tõesust, vaid muudavad selle ainult enam-vähem usutavaks. Seda usutavust saab täpselt sõnastatud eeldustega mõnikord hinnata V abil. Selle V väärtus määratakse enamasti võrdluse teel. mõisted (rohkem kui, väiksem või võrdne) ja mõnikord ka arvuliselt. Loogiline tõlgendust kasutatakse sageli induktiivse arutluse ja konstrueerimise analüüsimiseks erinevaid süsteeme tõenäosusloogika (R. Carnap, R. Jeffrey). Semantikas loogilised mõisted V. on sageli defineeritud kui aste, mil määral kinnitatakse üht väidet teiste poolt (näiteks hüpotees selle empiiriliste andmetega).
Seoses otsuste langetamise ja mängude teooriate arenguga nn V. personalistlik tõlgendus. Kuigi V. väljendab samal ajal subjekti usu astet ja teatud sündmuse toimumist, tuleb V. ise valida nii, et V. arvutuse aksioomid oleksid täidetud. Seetõttu väljendab V. sellise tõlgendusega mitte niivõrd subjektiivse, vaid pigem mõistliku usu astet. Järelikult on sellise V. põhjal tehtud otsused ratsionaalsed, kuna need ei võta arvesse psühholoogilisi tegureid. subjekti omadused ja kalduvused.
Epistemoloogilisega t.zr. erinevus statistilise, loogilise vahel. ja personalistlikud tõlgendused V. on see, et kui esimene iseloomustab juhusliku iseloomuga massinähtuste objektiivseid omadusi ja seoseid, siis kaks viimast analüüsivad subjektiivse, tunnetusliku tunnuseid. inimtegevus ebakindluse tingimustes.
TÕENÄOSUS
üks olulisemaid teaduse mõisteid, mis iseloomustab erilist süsteemset nägemust maailmast, selle struktuurist, evolutsioonist ja teadmistest. Tõenäosusliku maailmavaate eripära ilmneb juhuslikkuse, sõltumatuse ja hierarhia mõistete (süsteemide struktuuri ja määratluse tasandite idee) kaasamise kaudu eksistentsi põhimõistete hulka.
Ideed tõenäosuse kohta tekkisid iidsetel aegadel ja olid seotud meie teadmiste omadustega, samas tunnistati tõenäosusteadmiste olemasolu, mis erinesid usaldusväärsetest teadmistest ja valeteadmistest. Tõenäosuse idee mõju teaduslikule mõtlemisele ja teadmiste arengule on otseselt seotud tõenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arenguga. Matemaatilise tõenäosusdoktriini tekkelugu ulatub 17. sajandisse, mil kujunes välja mõistete tuum, mis võimaldas. kvantitatiivsed (numbrilised) tunnused ja tõenäosusliku idee väljendamine.
Tõenäosuse intensiivsed rakendused tunnetuse arengule toimuvad 2. poolel. 19 - 1. korrus 20. sajandil Tõenäosus on sisenenud selliste loodusteaduste alusteaduste struktuuridesse nagu klassikaline statistiline füüsika, geneetika, kvantteooria ja küberneetika (infoteooria). Seetõttu personifitseerib tõenäosus seda etappi teaduse arengus, mis on nüüd määratletud kui mitteklassikaline teadus. Tõenäosusliku mõtteviisi uudsuse ja tunnuste paljastamiseks on vaja lähtuda tõenäosusteooria ainese ja selle arvukate rakenduste aluste analüüsist. Tõenäosusteooriat defineeritakse tavaliselt kui matemaatilist distsipliini, mis uurib massiliste juhuslike nähtuste mustreid teatud tingimustel. Juhuslikkus tähendab seda, et massilise iseloomu raames ei sõltu iga elementaarnähtuse olemasolu teiste nähtuste olemasolust ega määra seda. Samas on nähtuste massilisus ise stabiilse struktuuriga ja sisaldab teatud seaduspärasusi. Massinähtus jaguneb üsna rangelt alamsüsteemideks ja elementaarnähtuste suhteline arv igas alamsüsteemis (suhteline sagedus) on väga stabiilne. Seda stabiilsust võrreldakse tõenäosusega. Massinähtust tervikuna iseloomustab tõenäosusjaotus ehk alamsüsteemide ja neile vastavate tõenäosuste täpsustamine. Tõenäosusteooria keel on tõenäosusjaotuste keel. Seetõttu defineeritakse tõenäosusteooriat kui abstraktset teadust jaotustega opereerimisest.
Tõenäosus tekitas teaduses ideid statistiliste mustrite ja statistiliste süsteemide kohta. Viimane essents sõltumatutest või kvaasi-sõltumatutest üksustest moodustatud süsteemid, nende struktuuri iseloomustavad tõenäosusjaotused. Kuidas on aga võimalik moodustada süsteeme sõltumatutest üksustest? Tavaliselt eeldatakse, et terviklike omadustega süsteemide moodustamiseks on vajalik, et nende elementide vahel oleks piisavalt stabiilsed ühendused, mis süsteeme tsementeerivad. Statistiliste süsteemide stabiilsuse annab välistingimuste, väliskeskkonna, väliste, mitte sisemiste jõudude olemasolu. Juba tõenäosuse määratlus põhineb alati algmassi nähtuse kujunemise tingimuste seadmisel. Teine oluline tõenäosuslikku paradigmat iseloomustav idee on hierarhia (alluvuse) idee. See idee väljendab suhet üksikute elementide omaduste ja süsteemide terviklike omaduste vahel: viimased on justkui ehitatud esimeste peale.
Tõenäosuslike meetodite tähtsus tunnetuses seisneb selles, et need võimaldavad uurida ja teoreetiliselt väljendada hierarhilise, “kahetasandilise” struktuuriga objektide ja süsteemide struktuuri- ja käitumismustreid.
Tõenäosuse olemuse analüüs põhineb selle sagedusel, statistilisel tõlgendusel. Samas väga kaua aega Teaduses valitses selline arusaam tõenäosusest, mida nimetati loogiliseks ehk induktiivseks tõenäosuseks. Loogilist tõenäosust huvitavad küsimused eraldiseisva, individuaalse otsuse kehtivuse kohta teatud tingimustel. Kas induktiivse järelduse (hüpoteetilise järelduse) kinnitusastet (usaldusväärsust, tõesust) on võimalik hinnata kvantitatiivsel kujul? Tõenäosusteooria väljatöötamise käigus arutati selliseid küsimusi korduvalt ja hakati rääkima hüpoteetiliste järelduste kinnitusastmetest. Selle tõenäosuse mõõdiku määrab saadaolev see inimene teavet, tema kogemusi, maailmavaateid ja psühholoogilist mõtteviisi. Kõigil sellistel juhtudel ei saa tõenäosuse suurust rangelt mõõta ja see jääb praktiliselt väljaspool tõenäosusteooria kui järjepideva matemaatilise distsipliini pädevust.
Tõenäosuse objektiivne, sagedane tõlgendus kehtestati teaduses märkimisväärsete raskustega. Algselt mõjutasid tõenäosuse olemuse mõistmist tugevalt need filosoofilised ja metodoloogilised vaated, mis olid omased klassikalisele teadusele. Ajalooliselt toimus tõenäosuslike meetodite areng füüsikas mehaanika ideede määrava mõju all: statistilisi süsteeme tõlgendati lihtsalt mehaanilistena. Kuna vastavad probleemid jäid lahendamata ranged meetodid mehaanika, siis tekkisid väited, et tõenäosuslike meetodite ja statistiliste seaduste poole pöördumine on meie teadmiste ebatäielikkuse tagajärg. Klassikalise statistilise füüsika arenguloos on seda tehtud arvukalt katseid põhjendada. klassikaline mehaanika aga nad kõik ebaõnnestusid. Tõenäosuse aluseks on see, et see väljendab teatud klassi süsteemide struktuurseid tunnuseid, välja arvatud mehaanilised süsteemid: nende süsteemide elementide seisundit iseloomustab ebastabiilsus ja interaktsioonide eriline (mehaanikale mitte taandatav) iseloom.
Tõenäosuse sisenemine teadmistesse viib kõva determinismi kontseptsiooni eitamiseni, klassikalise teaduse kujunemisprotsessis välja töötatud olemise ja teadmise põhimudeli eitamiseni. Statistiliste teooriate poolt esindatud põhimudelitel on erinev, rohkem üldine iseloom: Nende hulka kuuluvad juhuslikkuse ja sõltumatuse ideed. Tõenäosuse idee on seotud objektide ja süsteemide sisemise dünaamika avalikustamisega, mida ei saa täielikult kindlaks määrata välised tingimused ja asjaolud.
Tõenäosusliku maailmanägemuse kontseptsioon, mis põhineb iseseisvuse ideede absolutiseerimisel (nagu enne jäiga määratuse paradigmat), on nüüd paljastanud oma piirangud, mis mõjutavad üleminekut kõige tugevamalt. kaasaegne teadus To analüüsimeetodid keeruliste süsteemide ning iseorganiseerumisnähtuste füüsiliste ja matemaatiliste aluste uurimine.
Suurepärane määratlus
Mittetäielik määratlus ↓