Tõenäosusteooria. Sündmuse tõenäosus, juhuslikud sündmused (tõenäosusteooria)

siis nad ütlevad, et juhuslik muutuja ξ Sellel on tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x).

Definitsioon. Laske . Pideva jaotusfunktsiooni jaoks F teoreetiline α-kvantiil nimetatakse võrrandi lahendiks.

See lahendus ei pruugi olla ainus.

Kvantiilne tase ½ nimetatakse teoreetiliseks mediaan , kvantiilitasemed ¼ Ja ¾ -alumised ja ülemised kvartiilid vastavalt.

Aktuaarirakendustes mängib olulist rolli Tšebõševi ebavõrdsus:

igal juhul

Matemaatilise ootuse sümbol.

See kõlab nii: tõenäosus, et moodul on suurem või võrdne mooduli matemaatilise ootusega jagatuna .

Eluaeg juhusliku muutujana

Elukindlustuses on suur riskitegur surmahetke määramatus.

Üksikisiku surmahetke kohta ei saa öelda midagi kindlat. Kui aga tegemist on suure homogeense inimrühmaga ja ei huvita sellesse rühma kuuluvate üksikute inimeste saatus, siis oleme tõenäosusteooria kui teaduse raamistikus, mis käsitleb massilisi juhuslikke nähtusi, millel on sageduse stabiilsuse omadus. .

vastavalt võime rääkida oodatavast elueast kui juhuslikust suurusest T.

Ellujäämise funktsioon

Tõenäosusteooria kirjeldab mis tahes juhusliku suuruse stohhastilist olemust T jaotusfunktsioon F(x), mis on defineeritud kui tõenäosus, et juhuslik suurus T vähem kui arv x:

.

Aktuaarses matemaatikas on tore töötada mitte jaotusfunktsiooniga, vaid täiendava jaotusfunktsiooniga . Pikaealisuse mõttes on see tõenäosus, et inimene elab vananemiseni x aastat.

helistas ellujäämisfunktsioon(ellujäämisfunktsioon):

Ellujäämisfunktsioonil on järgmised omadused:

Elu tabelid eeldavad tavaliselt, et neid on vanusepiirang (vanuse piiramine) (tavaliselt aastaid) ja vastavalt kl x>.

Analüütiliste seaduste abil suremust kirjeldades eeldatakse tavaliselt, et eluiga on piiramatu, kuid seaduste tüüp ja parameetrid valitakse nii, et teatud vanusest üle elamise tõenäosus on tühine.

Ellujäämisfunktsioonil on lihtne statistiline tähendus.

Oletame, et me vaatleme rühma vastsündinuid (tavaliselt), keda me jälgime ja saame jäädvustada nende surmahetki.

Tähistagem selle rühma elavate esindajate arvu vanuses . Seejärel:

.

Sümbol E siin ja allpool tähistatakse matemaatilist ootust.

Seega on ellujäämisfunktsioon võrdne nende inimeste keskmise osakaaluga, kes jäävad ellu mõnest kindlast vastsündinute rühmast.

Aktuaarses matemaatikas ei töötata sageli mitte ellujäämisfunktsiooniga, vaid äsja sisestatud väärtusega (grupi algsuuruse fikseerimine).

Ellujäämisfunktsiooni saab rekonstrueerida tiheduse järgi:

Eluea omadused

Praktilisest seisukohast on olulised järgmised omadused:

1 . Keskmine eluaeg

,
2 . Dispersioon eluaeg

,
Kus
,

Olulised märkused!
1. Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Kuidas seda brauseris teha, on kirjutatud siin:
2. Enne artikli lugemise alustamist pöörake tähelepanu meie navigaatorile, et leida kõige kasulikumad vahendid

Mis on tõenäosus?

Kui ma seda terminit esimest korda kohtasin, poleks ma aru saanud, mis see on. Seetõttu püüan selgelt selgitada.

Tõenäosus on võimalus, et soovitud sündmus juhtub.

Näiteks otsustasite minna sõbra majja, mäletate sissepääsu ja isegi põrandat, millel ta elab. Aga unustasin ära korteri numbri ja asukoha. Ja nüüd seisate trepil ja teie ees on uksed, mille vahel valida.

Kui suur on võimalus (tõenäosus), et kui helistate esimest uksekella, avab teie sõber teie eest ukse? Seal on ainult korterid ja sõber elab ainult ühe taga. Võrdsete võimalustega saame valida mis tahes ukse.

Aga mis see võimalus on?

Uks, õige uks. Tõenäosus esimese uksekella helistades ära arvata: . See tähendab, et üks kord kolmest arvate täpselt ära.

Tahame ühe korra helistades teada, kui tihti me ust ära arvame? Vaatame kõiki võimalusi:

1. Sa helistasid 1 uks
2. Sa helistasid 2 uks
3. Sa helistasid 3 uks

Vaatame nüüd kõiki võimalusi, kus sõber võiks olla:

A. Taga 1 uks
b. Taga 2 uks
V. Taga 3 uks

Võrdleme kõiki valikuid tabeli kujul. Linnuke tähistab valikuid, kui teie valik langeb kokku sõbra asukohaga, rist - kui see ei ühti.

Kuidas sa kõike näed Võib olla valikuid teie sõbra asukoht ja teie valik, millisele uksele helistada.

A kõigile soodsaid tulemusi . See tähendab, et ühe korra uksekella helistades aimatakse ära, s.t. .

See on tõenäosus - soodsa tulemuse (kui teie valik langeb kokku teie sõbra asukohaga) ja võimalike sündmuste arvu suhe.

Määratlus on valem. Tõenäosust tähistatakse tavaliselt p-ga, seega:

Sellise valemi kirjutamine pole eriti mugav, seega võtame - soodsate tulemuste arvu ja - tulemuste koguarvu.

Tõenäosuse saab kirjutada protsentides, selleks peate saadud tulemuse korrutama järgmisega:

Tõenäoliselt jäi teile silma sõna "tulemused". Kuna matemaatikud nimetavad erinevaid toiminguid (meie puhul on selline tegevus uksekell) katseteks, siis tavaliselt nimetatakse selliste katsete tulemust tulemuseks.

Noh, on soodsaid ja ebasoodsaid tulemusi.

Läheme tagasi meie näite juurde. Oletame, et helistasime ühele uksele, kuid võõras avas selle meile. Me ei arvanud õigesti. Kui suur on tõenäosus, et kui helistame mõnele allesjäänud uksele, avab meie sõber selle meile?

Kui te nii arvasite, on see viga. Selgitame välja.

Meil on jäänud kaks ust. Seega on meil võimalikud sammud:

1) Helista 1 uks
2) Helista 2 uks

Sõber, vaatamata sellele kõigele, on kindlasti ühe neist taga (lõppude lõpuks ei olnud ta selle taga, kellele me helistasime):

a) sõber 1 uks
b) sõber 2 uks

Joonistame uuesti tabeli:

Nagu näete, on ainult valikud, millest on soodsad. See tähendab, et tõenäosus on võrdne.

Miks mitte?

Olukord, mida me kaalusime, on näide sõltuvatest sündmustest. Esimene sündmus on esimene uksekell, teine ​​sündmus on teine ​​uksekell.

Ja neid nimetatakse sõltuvateks, kuna need mõjutavad järgmisi toiminguid. Lõppude lõpuks, kui pärast esimest helinat vastaks uksekellale sõber, siis kui suur on tõenäosus, et ta oli kahest teisest taga? Õige,.

Aga kui on sõltuvad sündmused, siis peavad ka olema sõltumatu? See on õige, neid juhtub.

Õpiku näide on mündi viskamine.

1. Viska üks kord münt. Kui suur on näiteks peade saamise tõenäosus? Täpselt nii – kuna valikud on kõik (kas pead või sabad, jätame tähelepanuta tõenäosuse, et münt selle servale maandub), aga see sobib ainult meile.
2. Aga see tuli pähe. Olgu, viskame uuesti. Kui suur on tõenäosus nüüd pead saada? Midagi pole muutunud, kõik on endine. Mitu võimalust? Kaks. Kui paljudega me rahul oleme? Üks.

Ja las see tuleb pähe vähemalt tuhat korda järjest. Tõenäosus korraga pead saada on sama. Alati on valikuid ja soodsaid.

Sõltuvatest sündmustest on lihtne eristada:

1. Kui katse tehakse üks kord (visatakse korra münti, korra helistatakse uksekella jne), siis on sündmused alati sõltumatud.
2. Kui katset tehakse mitu korda (üks kord visatakse münt, helistatakse mitu korda uksekella), on esimene sündmus alati sõltumatu. Ja siis, kui soodsate arv või kõigi tulemuste arv muutub, on sündmused sõltuvad ja kui mitte, siis sõltumatud.

Harjutame veidi tõenäosuse määramist.

Näide 1.

Münti visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus saada kaks korda järjest pead?

Lahendus:

Vaatleme kõiki võimalikke valikuid:

1. Kotkas-kotkas
2. Pead-sabad
3. Sabad-pead
4. Sabad-sabad

Nagu näete, on ainult valikud. Nendest oleme ainult rahul. See tähendab, et tõenäosus:

Kui tingimus palub lihtsalt leida tõenäosus, siis tuleb vastus anda kümnendmurruna. Kui oleks täpsustatud, et vastus tuleb anda protsentides, siis korrutaksime sellega.

Vastus:

Näide 2.

Šokolaadikarbis on kõik šokolaadid pakendatud samasse ümbrisesse. Küll aga maiustustest - pähklitega, konjakiga, kirssidega, karamelliga ja nougatiga.

Kui suur on tõenäosus, et võtad ühe kommi ja saad pähklitega kommi? Esitage oma vastus protsentides.

Lahendus:

Kui palju on võimalikke tulemusi? .

See tähendab, et kui võtate ühe kommi, on see üks karbis saadaolevatest.

Kui palju on soodsaid tulemusi?

Sest karbis on ainult pähklitega šokolaadid.

Vastus:

Näide 3.

Õhupallide karbis. millest valged ja mustad.

1. Kui suur on valge palli tõmbamise tõenäosus?
2. Lisasime karpi veel mustad pallid. Kui suur on nüüd valge palli tõmbamise tõenäosus?

Lahendus:

a) Kastis on ainult pallid. Nendest on valged.

Tõenäosus on:

b) Nüüd on kastis rohkem palle. Ja valgeid on alles nii palju - .

Vastus:

Kogu tõenäosus

Oletame, et kastis on punased ja rohelised pallid. Kui suur on punase palli tõmbamise tõenäosus? Roheline pall? Punane või roheline pall?

Punase palli tõmbamise tõenäosus

Roheline pall:

Punane või roheline pall:

Nagu näete, on kõigi võimalike sündmuste summa võrdne (). Selle punkti mõistmine aitab lahendada paljusid probleeme.

Näide 4.

Karbis on markerid: roheline, punane, sinine, kollane, must.

Kui suur on tõenäosus, et joonistatakse MITTE punane marker?

Lahendus:

Loeme arvu soodsaid tulemusi.

EI ole punane marker, see tähendab rohelist, sinist, kollast või musta.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegel

Sa juba tead, mis on iseseisvad sündmused.

Mis siis, kui teil on vaja leida tõenäosus, et kaks (või enam) sõltumatut sündmust toimuvad järjest?

Oletame, et tahame teada, kui suur on tõenäosus, et kui me ühe mündi viskame, näeme päid kaks korda?

Oleme juba kaalunud - .

Mis siis, kui viskame korra mündi? Kui suur on tõenäosus näha kotkast kaks korda järjest?

Võimalikud valikud kokku:

1. Kotkas-kotkas-kotkas
2. Pead-pead-sabad
3. Pead-sabad-pead
4. Pead-sabad-sabad
5. Sabad-pead-pead
6. Sabad-pead-sabad
7. Sabad-sabad-pead
8. Sabad-sabad-sabad

Ma ei tea, kuidas teil on, aga ma tegin selle loendi koostamisel mitu korda vigu. Vau! Ja meile sobib ainus variant (esimene).

5 viske puhul saate ise koostada nimekirja võimalikest tulemustest. Kuid matemaatikud pole nii töökad kui teie.

Seetõttu panid nad esmalt tähele ja seejärel tõestasid, et teatud sõltumatute sündmuste jada tõenäosus iga kord väheneb ühe sündmuse tõenäosuse võrra.

Teisisõnu,

Vaatame sama õnnetu mündi näidet.

Tõenäosus, et proovite peatada? . Nüüd viskame mündi ühe korra ümber.

Kui suur on tõenäosus saada pead järjest?

See reegel ei tööta ainult siis, kui meil palutakse leida tõenäosus, et sama sündmus kordub mitu korda järjest.

Kui sooviksime leida järjestikuste visete jaoks järjestust SABAD-PEAD-SABAD, teeme sama.

Sabade saamise tõenäosus on , pead - .

Jada TAILS-HEADS-TAILS-TAILS saamise tõenäosus:

Saate seda ise kontrollida, tehes tabeli.

Ühildumatute sündmuste tõenäosuste lisamise reegel.

Nii et lõpetage! Uus määratlus.

Selgitame välja. Võtame oma kulunud mündi ja viskame selle korra maha.
Võimalikud valikud:

1. Kotkas-kotkas-kotkas
2. Pead-pead-sabad
3. Pead-sabad-pead
4. Pead-sabad-sabad
5. Sabad-pead-pead
6. Sabad-pead-sabad
7. Sabad-sabad-pead
8. Sabad-sabad-sabad

Seega on kokkusobimatud sündmused teatud sündmuste jada. - need on kokkusobimatud sündmused.

Kui tahame määrata, milline on kahe (või enama) kokkusobimatu sündmuse tõenäosus, siis liidame nende sündmuste tõenäosused.

Peate mõistma, et pea või saba on kaks sõltumatut sündmust.

Kui tahame määrata jada (või mõne muu) esinemise tõenäosust, siis kasutame tõenäosuste korrutamise reeglit.
Kui suur on tõenäosus saada esimesel viskel pead ning teisel ja kolmandal viskel sabad?

Aga kui tahame teada, kui suur on tõenäosus saada üks mitmest jadast, näiteks kui pead kerkivad täpselt üks kord, s.t. valikuid ja siis peame nende jadade tõenäosused liitma.

Meile sobivad kõik valikud.

Sama saame, kui liidame iga jada esinemise tõenäosused:

Seega lisame tõenäosused, kui tahame määrata teatud, ebajärjekindlate sündmuste jadade tõenäosust.

On olemas suurepärane reegel, mis aitab teil vältida segadust, millal korrutada ja millal lisada:

Läheme tagasi näite juurde, kus viskasime korra mündi ja tahtsime teada, kui suur on tõenäosus, et näeme kordi päid.
Mis juhtuma hakkab?

Peaks välja kukkuma:
(pead JA sabad AND sabad) VÕI (sabad JA sabad AND sabad) VÕI (sabad JA sabad JA pead).
See selgub nii:

Vaatame mõnda näidet.

Näide 5.

Karbis on pliiatsid. punane, roheline, oranž ja kollane ja must. Kui suur on tõenäosus joonistada punaseid või rohelisi pliiatseid?

Lahendus:

Näide 6.

Kui täringut visatakse kaks korda, siis kui suur on tõenäosus saada kokku 8?

Lahendus.

Kuidas me saame punkte saada?

(ja) või (ja) või (ja) või (ja) või (ja).

Ühe (mis tahes) näo saamise tõenäosus on .

Arvutame tõenäosuse:

Koolitus.

Ma arvan, et nüüd saate aru, millal peate tõenäosusi arvutama, millal neid liita ja millal korrutada. Pole see? Harjutame natuke.

Ülesanded:

Võtame kaardipaki, mis sisaldab kaarte, sealhulgas labidaid, südameid, 13 nuia ja 13 teemanti. Alates kuni iga masti ässani.

1. Kui suur on tõenäosus, et tõmmatakse nuisid järjestikku (paneme esimese väljatõmmatud kaardi paki tagasi ja segame)?
2. Kui suur on musta kaardi (labidad või nuiad) tõmbamise tõenäosus?
3. Kui suur on tõenäosus joonistada pilt (tungraud, emand, kuningas või äss)?
4. Kui suur on tõenäosus joonistada kaks pilti järjest (eemaldame pakist esimese väljatõmmatud kaardi)?
5. Kui suur on tõenäosus, et kahe kaardi võtmisel kogutakse kombinatsioon - (tungraud, emand või kuningas) ja äss? Kaartide tõmbamise järjekord ei oma tähtsust.

Vastused:

Kui suutsid kõik probleemid ise lahendada, siis oled suurepärane! Nüüd murrate ühtse riigieksami tõenäosusteooria ülesandeid nagu mutreid!

TÕENÄOSUSTEOORIA. KESKMINE TASE

Vaatame näidet. Oletame, et viskame täringut. Mis luu see on, kas tead? Seda nimetatakse kuubiks, mille esiküljel on numbrid. Mitu nägu, nii palju numbreid: alates mitmeni? Enne.

Seega veeretame täringut ja tahame, et see üles tuleks või. Ja me saame sellest aru.

Tõenäosusteoorias öeldakse, mis juhtus soodne sündmus(mitte segi ajada jõukaga).

Kui see juhtuks, oleks üritus ka soodne. Kokku võib juhtuda ainult kaks soodsat sündmust.

Kui paljud on ebasoodsad? Kuna võimalikke sündmusi on kokku, tähendab see, et ebasoodsad on sündmused (see on kui või langeb välja).

Definitsioon:

Tõenäosus on soodsate sündmuste ja kõigi võimalike sündmuste arvu suhe. See tähendab, et tõenäosus näitab, kui suur osa kõigist võimalikest sündmustest on soodsad.

Need tähistavad tõenäosust ladina tähega (ilmselt ingliskeelsest sõnast probability – tõenäosus).

Tõenäosust on tavaks mõõta protsentides (vt teemat,). Selleks tuleb tõenäosuse väärtus korrutada. Täringu näites tõenäosus.

Ja protsentides: .

Näited (otsustage ise):

1. Kui suur on tõenäosus mündi viskamisel pead saada? Kui suur on peade maandumise tõenäosus?
2. Kui suur on tõenäosus saada täringu viskamisel paarisarv? Kumb on veider?
3. Lihtsate, siniste ja punaste pliiatsite karbis. Joonistame juhuslikult ühe pliiatsi. Kui suur on tõenäosus saada lihtne?

Lahendused:

1. Kui palju valikuid on? Pead ja sabad – ainult kaks. Kui paljud neist on soodsad? Ainult üks on kotkas. Nii et tõenäosus

   Sama on sabadega: .

2. Valikuid kokku: (mitu külge kuubikul on, nii palju erinevaid valikuid). Soodsad: (need on kõik paarisarvud:).
   Tõenäosus. Muidugi on sama lugu paaritute numbritega.
3. Kokku: . Soodne:. Tõenäosus:.

Kogu tõenäosus

Kõik karbis olevad pliiatsid on rohelised. Kui suur on tõenäosus joonistada punane pliiats? Võimalusi pole: tõenäosus (lõppude lõpuks soodsad sündmused -).

Sellist sündmust nimetatakse võimatuks.

Kui suur on tõenäosus joonistada roheline pliiats? Soodsaid sündmusi on täpselt sama palju kui kogusündmusi (kõik sündmused on soodsad). Seega on tõenäosus võrdne või.

Sellist sündmust nimetatakse usaldusväärseks.

Kui kastis on rohelised ja punased pliiatsid, siis kui suur on tõenäosus joonistada roheline või punane? Ikka jälle. Pangem tähele: rohelise väljatõmbamise tõenäosus on võrdne ja punase väljatõmbamise tõenäosus on võrdne.

Kokkuvõttes on need tõenäosused täpselt võrdsed. See on, kõigi võimalike sündmuste tõenäosuste summa on võrdne või.

Näide:

Pliiatsite karbis on nende seas sinine, punane, roheline, tavaline, kollane ja ülejäänud on oranžid. Kui suur on tõenäosus, et rohelist ei joonista?

Lahendus:

Peame meeles, et kõik tõenäosused liidetakse. Ja tõenäosus roheliseks saada on võrdne. See tähendab, et tõenäosus, et rohelist ei joonista, on võrdne.

Pidage meeles seda trikki: Tõenäosus, et sündmust ei toimu, on võrdne sündmuse toimumise tõenäosusega.

Sõltumatud sündmused ja korrutamisreegel

Viskad münti ühe korra ja tahad, et see tuleks mõlemal korral pähe. Kui suur on selle tõenäosus?

Vaatame läbi kõik võimalikud valikud ja määrame, kui palju neid on:

Pead-pead, sabad-pead, pead-sabad, sabad-sabad. Mida veel?

Kokku valikud. Neist meile sobib ainult üks: Eagle-Eagle. Kokkuvõttes on tõenäosus võrdne.

Hästi. Nüüd viskame korra münti. Arvutage ise. Juhtus? (vastus).

Võib-olla olete märganud, et iga järgneva viske lisamisel väheneb tõenäosus poole võrra. Üldreeglit nimetatakse korrutamisreegel:

Sõltumatute sündmuste tõenäosused muutuvad.

Mis on iseseisvad sündmused? Kõik on loogiline: need on need, mis üksteisest ei sõltu. Näiteks kui viskame münti mitu korda, siis iga kord tehakse uus vise, mille tulemus ei sõltu kõikidest eelnevatest visetest. Sama lihtsalt saame visata korraga kahte erinevat münti.

Veel näiteid:

1. Täringut visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus saada see mõlemal korral?
2. Münt visatakse üks kord. Kui suur on tõenäosus, et see kerkib esimest korda üles ja seejärel kaks korda?
3. Mängija viskab kahte täringut. Kui suur on tõenäosus, et nendel olevate arvude summa on võrdne?

Vastused:

1. Sündmused on sõltumatud, mis tähendab, et korrutamisreegel töötab: .
2. Peade tõenäosus on võrdne. Sabade tõenäosus on sama. Korruta:
3. 12 saab ainult siis, kui veeretatakse kaks -ki: .

Kokkusobimatud sündmused ja lisamise reegel

Sündmusi, mis täiendavad üksteist täieliku tõenäosuseni, nimetatakse kokkusobimatuteks. Nagu nimigi ütleb, ei saa need toimuda üheaegselt. Näiteks kui me viskame münti, võib see välja tulla kas pea või sabaga.

Näide.

Pliiatsite karbis on nende seas sinine, punane, roheline, tavaline, kollane ja ülejäänud on oranžid. Kui suur on tõenäosus joonistada roheline või punane?

Lahendus.

Rohelise pliiatsi joonistamise tõenäosus on võrdne. Punane -.

Soodsad sündmused kokku: roheline + punane. See tähendab, et rohelise või punase joonistamise tõenäosus on võrdne.

Sama tõenäosust saab esitada järgmisel kujul: .

See on lisamise reegel: kokkusobimatute sündmuste tõenäosused liidetakse.

Segatüüpi probleemid

Näide.

Münti visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus, et rullide tulemused on erinevad?

Lahendus.

See tähendab, et kui esimene tulemus on pead, siis teine ​​peab olema sabad ja vastupidi. Selgub, et on olemas kaks sõltumatute sündmuste paari ja need paarid ei sobi omavahel kokku. Kuidas mitte sattuda segadusse, kus korrutada ja kuhu lisada.

Selliste olukordade jaoks on lihtne reegel. Proovige kirjeldada, mis juhtub, kasutades sidesõnu "JA" või "VÕI". Näiteks antud juhul:

See peaks tõusma üles (pead ja sabad) või (sabad ja pead).

Kui on sidesõna "ja", toimub korrutamine ja kus on "või", toimub liitmine:

Proovige ise:

1. Kui suur on tõenäosus, et kui münti visata kaks korda, langeb münt mõlemal korral samale küljele?
2. Täringut visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus saada punkte kokku?

Lahendused:

Veel üks näide:

Viska üks kord münt. Kui suur on tõenäosus, et pead ilmuvad vähemalt korra?

Lahendus:

TÕENÄOSUSTEOORIA. LÜHIDALT PEAMISEST

Tõenäosus on soodsate sündmuste ja kõigi võimalike sündmuste arvu suhe.

Iseseisvad üritused

Kaks sündmust on sõltumatud, kui ühe toimumine ei muuda teise toimumise tõenäosust.

Kogu tõenäosus

Kõigi võimalike sündmuste tõenäosus on võrdne ().

Tõenäosus, et sündmust ei toimu, on võrdne sündmuse toimumise tõenäosusega.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegel

Teatud sõltumatute sündmuste jada tõenäosus on võrdne iga sündmuse tõenäosuste korrutisega

Kokkusobimatud sündmused

Kokkusobimatud sündmused on need, mis ei saa katse tulemusel üheaegselt toimuda. Mitmed kokkusobimatud sündmused moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Kokkusobimatute sündmuste tõenäosused liidetakse.

Olles kirjeldanud, mis peaks juhtuma, kasutades sidesõnu “JA” või “VÕI”, paneme “JA” asemele korrutusmärgi ja “OR” asemele liitmismärgi.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Ühtse riigieksami eduka sooritamise, eelarvega kõrgkooli astumise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

tõenäosus- arv vahemikus 0 kuni 1, mis peegeldab juhusliku sündmuse toimumise tõenäosust, kus 0 on sündmuse toimumise tõenäosuse täielik puudumine ja 1 tähendab, et kõnealune sündmus kindlasti toimub.

Sündmuse E tõenäosus on arv vahemikus 1.
Üksteist välistavate sündmuste tõenäosuste summa on võrdne 1-ga.

empiiriline tõenäosus- tõenäosus, mis arvutatakse minevikus toimunud sündmuse suhtelise sagedusena, mis saadakse ajalooliste andmete analüüsist.

Väga harva esinevate sündmuste tõenäosust ei saa empiiriliselt arvutada.

subjektiivne tõenäosus- tõenäosus, mis põhineb sündmuse isiklikul subjektiivsel hinnangul, arvestamata ajaloolisi andmeid. Investorid, kes teevad otsuseid aktsiate ostmise ja müügi kohta, lähtuvad sageli subjektiivsest tõenäosusest.

eelnev tõenäosus -

Võimalus on 1 in... (tõenäosus), et sündmus toimub tõenäosuse mõiste kaudu. Sündmuse toimumise võimalust väljendatakse tõenäosuse kaudu järgmiselt: P/(1-P).

Näiteks kui sündmuse tõenäosus on 0,5, siis on sündmuse tõenäosus 1/2, sest 0,5/(1-0,5).

Võimalus, et sündmust ei toimu, arvutatakse valemiga (1-P)/P

Ebaühtlane tõenäosus- näiteks ettevõtte A aktsia hind arvestab võimalikku sündmust E 85% ja ettevõtte B aktsia hind ainult 50%. Seda nimetatakse ebajärjekindlaks tõenäosuseks. Hollandi kihlveo teoreemi kohaselt loob ebajärjekindel tõenäosus kasumivõimalusi.

Tingimusteta tõenäosus on vastus küsimusele "Kui suur on sündmuse toimumise tõenäosus?"

Tinglik tõenäosus- see on vastus küsimusele: "Kui suur on sündmuse A tõenäosus, kui sündmus B toimub." Tingimuslik tõenäosus on tähistatud kui P(A|B).

Ühine tõenäosus- tõenäosus, et sündmused A ja B toimuvad samaaegselt. Tähistatakse kui P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Tõenäosuste summeerimise reegel:

Tõenäosus, et sündmus A või sündmus B juhtub, on

P (A või B) = P(A) + P(B) – P(AB) (2)

Kui sündmused A ja B on üksteist välistavad, siis

P (A või B) = P(A) + P(B)

Iseseisvad üritused- sündmused A ja B on sõltumatud, kui

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

See tähendab, et see on tulemuste jada, mille tõenäosusväärtus on ühest sündmusest teise konstantne.
Mündivise on sellise sündmuse näide – iga järgneva viske tulemus ei sõltu eelmise tulemusest.

Sõltuvad sündmused- need on sündmused, kus ühe toimumise tõenäosus sõltub teise toimumise tõenäosusest.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegel:
Kui sündmused A ja B on sõltumatud, siis

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Kogu tõenäosuse reegel:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S ja S" on üksteist välistavad sündmused

oodatud väärtus juhuslik suurus on juhusliku suuruse võimalike tulemuste keskmine. Sündmuse X puhul on ootus tähistatud kui E(X).

Oletame, et meil on 5 teatud tõenäosusega üksteist välistavate sündmuste väärtust (näiteks ettevõtte tulu oli sellise tõenäosusega selline ja selline summa). Eeldatav väärtus on kõigi tulemuste summa, mis on korrutatud nende tõenäosusega:

Juhusliku muutuja dispersioon on juhusliku suuruse ruuthälvete ootus selle ootusest:

s 2 = E( 2 ) (6)

Tingimuslik oodatav väärtus on juhusliku suuruse X eeldatav väärtus eeldusel, et sündmus S on juba toimunud.

Majanduses, nagu ka teistes inimtegevuse valdkondades või looduses, peame pidevalt tegelema sündmustega, mida ei ole võimalik täpselt ennustada. Seega sõltub toote müügimaht nõudlusest, mis võib oluliselt erineda, ja mitmetest muudest teguritest, mida on peaaegu võimatu arvesse võtta. Seetõttu tuleb tootmist korraldades ja müüki teostades ennustada selliste tegevuste tulemust kas enda varasema kogemuse või teiste inimeste sarnase kogemuse või intuitsiooni põhjal, mis suures osas toetub ka eksperimentaalsetele andmetele.

Et kõnealust sündmust kuidagi hinnata, tuleb arvestada või spetsiaalselt korraldada tingimused, milles see sündmus salvestatakse.

Nimetatakse teatud tingimuste või toimingute rakendamine kõnealuse sündmuse tuvastamiseks kogemusi või katse.

Üritus on nn juhuslik, kui kogemuse tulemusena võib see tekkida või mitte.

Üritus on nn usaldusväärne, kui see ilmneb tingimata antud kogemuse tulemusena ja võimatu, kui see selles kogemuses ilmneda ei saa.

Näiteks lumesadu Moskvas 30. novembril on juhuslik sündmus. Igapäevast päikesetõusu võib pidada usaldusväärseks sündmuseks. Lumesadu ekvaatoril võib pidada võimatuks sündmuseks.

Tõenäosusteooria üks peamisi ülesandeid on sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivse mõõdiku määramine.

Sündmuste algebra

Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks, kui neid ei saa ühes kogemuses koos vaadelda. Seega on kahe ja kolme auto korraga müügil olemine ühes kaupluses kaks kokkusobimatut sündmust.

Summa sündmused on sündmus, mis koosneb vähemalt ühe neist sündmustest

Sündmuste summa näiteks on kahest tootest vähemalt ühe olemasolu poes.

Töö sündmused on sündmus, mis koosneb kõigi nende sündmuste samaaegsest toimumisest

Sündmus, mis koosneb kahe kauba korraga kauplusesse ilmumisest, on sündmuste produkt: - ühe toote ilmumine, - teise toote ilmumine.

Sündmused moodustavad tervikliku sündmuste rühma, kui vähemalt üks neist kindlasti toimub kogemuses.

Näide. Laevade vastuvõtmiseks on sadamas kaks kaid. Käsitleda võib kolme sündmust: - laevade puudumine kaide ääres, - ühe laeva viibimine ühe kai ääres, - kahe laeva olemasolu kahe kai ääres. Need kolm sündmust moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Vastupidi nimetatakse kahte ainulaadset võimalikku sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma.

Kui üht vastandlikku sündmust tähistatakse tähega , siis vastupidist sündmust tähistatakse tavaliselt tähega .

Sündmuse tõenäosuse klassikalised ja statistilised definitsioonid

Kõiki võrdselt võimalikke katsete (katsete) tulemusi nimetatakse elementaarseks tulemuseks. Tavaliselt tähistatakse neid tähtedega. Näiteks visatakse täringut. Kokku võib olla kuus elementaarset tulemust, mis põhinevad külgede punktide arvul.

Elementaarsetest tulemustest saate luua keerukama sündmuse. Seega määratakse paarisarv punktide sündmus kolme tulemusega: 2, 4, 6.

Kõnealuse sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivne mõõde on tõenäosus.

Sündmuse tõenäosuse kõige laialdasemalt kasutatavad määratlused on järgmised: klassikaline Ja statistiline.

Klassikaline tõenäosuse definitsioon on seotud soodsa tulemuse mõistega.

Tulemust nimetatakse soodne antud sündmusele, kui selle toimumine toob kaasa selle sündmuse toimumise.

Ülaltoodud näites on kõnealusel sündmusel – paarisarv punkte veeretaval küljel – kolm soodsat tulemust. Sel juhul kindral
võimalike tulemuste arv. See tähendab, et siin saab kasutada klassikalist sündmuse tõenäosuse definitsiooni.

Klassikaline määratlus võrdub soodsate tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhtega

kus on sündmuse tõenäosus, on sündmusele soodsate tulemuste arv, on võimalike tulemuste koguarv.

Vaadeldavas näites

Tõenäosuse statistiline definitsioon on seotud sündmuse toimumise suhtelise sageduse mõistega katsetes.

Sündmuse suhteline esinemissagedus arvutatakse valemi abil

kus on sündmuse esinemiste arv katsete (testide) seerias.

Statistiline määratlus. Sündmuse tõenäosus on arv, mille ümber suhteline sagedus stabiliseerub (koguneb) katsete arvu piiramatu suurenemisega.

Praktilistes ülesannetes võetakse sündmuse tõenäosuseks suhteline sagedus piisavalt suure arvu katsete puhul.

Nendest sündmuse tõenäosuse määratlustest on selge, et ebavõrdsus on alati täidetud

Sündmuse tõenäosuse määramiseks valemi (1.1) alusel kasutatakse sageli kombinatoorika valemeid, mille abil leitakse soodsate tulemuste arv ja võimalike tulemuste koguarv.

On selge, et igal sündmusel on selle toimumise (elluviimise) võimalus erineval määral. Sündmuste kvantitatiivseks võrdlemiseks nende võimalikkuse astme järgi on ilmselgelt vaja iga sündmusega seostada teatud arv, mis on suurem, mida võimalikum on sündmus. Seda arvu nimetatakse sündmuse tõenäosuseks.

Sündmuse tõenäosus– on selle sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse määra numbriline mõõt.

Vaatleme selles katses täheldatud stohhastilist katset ja juhuslikku sündmust A. Kordame seda katset n korda ja olgu m(A) katsete arv, milles sündmus A toimus.

Seos (1.1)

helistas suhteline sagedus sündmusi A läbiviidud katsete sarjas.

Omaduste kehtivust on lihtne kontrollida:

kui A ja B on vastuolus (AB= ), siis ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1,2)

Suhteline sagedus määratakse alles pärast katseseeriat ja üldiselt võib see seeriate lõikes erineda. Kogemus näitab aga, et paljudel juhtudel läheneb suhteline sagedus katsete arvu suurenedes teatud arvule. Seda suhtelise sageduse stabiilsuse fakti on korduvalt kontrollitud ja seda võib pidada eksperimentaalselt kindlaks tehtud.

Näide 1.19.. Kui viskad ühe mündi, ei oska keegi ennustada, kummale poole see otsa maandub. Kui aga visata kaks tonni münte, siis kõik ütlevad, et umbes üks tonn kukub koos vapiga üles ehk siis vapi väljakukkumise suhteline sagedus on ligikaudu 0,5.

Kui katsete arvu suurenemisel kaldub sündmuse suhteline sagedus ν(A) teatud kindlale arvule, siis öeldakse, et sündmus A on statistiliselt stabiilne, ja seda arvu nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks.

Sündmuse tõenäosus A kutsutakse mingi fikseeritud arv P(A), milleni selle sündmuse suhteline sagedus ν(A) kaldub katsete arvu kasvades, st.

Seda määratlust nimetatakse tõenäosuse statistiline määramine .

Vaatleme teatud stohhastilist eksperimenti ja koosneme selle elementaarsündmuste ruum lõplikust või lõpmatust (kuid loendatavast) elementaarsündmuste hulgast ω 1, ω 2, …, ω i, …. Oletame, et igale elementaarsündmusele ω i omistatakse teatud arv - р i, mis iseloomustab antud elementaarsündmuse toimumise võimalikkuse astet ja vastab järgmistele omadustele:

Seda numbrit p i kutsutakse elementaarsündmuse tõenäosusωi.

Olgu A nüüd selles katses vaadeldud juhuslik sündmus ja vastagu see teatud hulgale

Selles seadistuses sündmuse tõenäosus A nimeta A-d soodustavate elementaarsündmuste tõenäosuste summa(sisaldub vastavas komplektis A):

(1.4)

Sel viisil sisestatud tõenäosusel on samad omadused kui suhtelisel sagedusel, nimelt:

Ja kui AB = (A ja B ei ühildu),

siis P(A+B) = P(A) + P(B)

Tõepoolest, vastavalt (1.4)

Viimases seoses kasutasime ära asjaolu, et ükski elementaarne sündmus ei saa eelistada kahte kokkusobimatut sündmust korraga.

Märgime eriti, et tõenäosusteooria ei näita meetodeid p i määramiseks, neid tuleb otsida praktilistel kaalutlustel või hankida vastavast statistilisest eksperimendist.

Vaatleme näiteks klassikalist tõenäosusteooria skeemi. Selleks vaadeldakse stohhastilist eksperimenti, mille elementaarsündmuste ruum koosneb lõplikust (n) arvust elementidest. Eeldame lisaks, et kõik need elementaarsündmused on võrdselt võimalikud, st elementaarsündmuste tõenäosused on võrdsed p(ω i)=p i =p. Sellest järeldub

Näide 1.20. Sümmeetrilise mündi viskamisel on peade ja sabade saamine võrdselt võimalik, nende tõenäosus on 0,5.

Näide 1.21. Sümmeetrilise täringu viskamisel on kõik näod võrdselt võimalikud, nende tõenäosus on 1/6.

Nüüd olgu sündmus A soositud m elementaarsündmuste poolt, neid tavaliselt nimetatakse sündmusele A soodsad tulemused. Siis

Sain klassikaline tõenäosuse määratlus: sündmuse A tõenäosus P(A) võrdub sündmusele A soodsate tulemuste arvu ja tulemuste koguarvu suhtega

Näide 1.22. Urnis on m valget ja n musta palli. Kui suur on valge palli tõmbamise tõenäosus?

Lahendus. Elementaarsündmuste koguarv on m+n. Need kõik on võrdselt tõenäolised. Soodne sündmus A millest m. Seega .

Tõenäosuse definitsioonist tulenevad järgmised omadused:

Vara 1. Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.

Tõepoolest, kui sündmus on usaldusväärne, siis iga testi elementaarne tulemus soosib sündmust. Sel juhul t=p, seega,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Vara 2. Võimatu sündmuse tõenäosus on null.

Tõepoolest, kui sündmus on võimatu, siis ükski testi elementaarsetest tulemustest ei soosi sündmust. Sel juhul T= 0, seega P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Vara 3.Juhusliku sündmuse tõenäosus on positiivne arv nulli ja ühe vahel.

Tõepoolest, juhuslik sündmus eelistab ainult osa testi elementaarsete tulemuste koguarvust. See tähendab 0≤m≤n, mis tähendab 0≤m/n≤1, seega rahuldab mis tahes sündmuse tõenäosus topeltvõrratust 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Võrreldes tõenäosuse (1,5) ja suhtelise sageduse (1,1) definitsioone, järeldame: tõenäosuse määratlus ei nõua testimist tegelikult; suhtelise sageduse määratlus eeldab seda testid on tegelikult tehtud. Teisisõnu, tõenäosus arvutatakse enne katset ja suhteline sagedus pärast katset.

Tõenäosuse arvutamiseks on siiski vaja esialgset teavet antud sündmuse jaoks soodsate elementaarsete tulemuste arvu või tõenäosuste kohta. Sellise eelinformatsiooni puudumisel kasutatakse tõenäosuse määramiseks empiirilisi andmeid, st sündmuse suhteline sagedus määratakse stohhastilise katse tulemuste põhjal.

Näide 1.23. Tehnilise kontrolli osakond avastas 3 mittestandardsed osad 80 juhuslikult valitud osast koosnevas partiis. Mittestandardsete osade esinemise suhteline sagedus r(A)= 3/80.

Näide 1.24. Vastavalt eesmärgile.toodetud 24 lasti ja registreeriti 19 tabamust. Suhteline eesmärgi tabamusmäär. r(A)=19/24.

Pikaajalised vaatlused on näidanud, et kui katsed viiakse läbi identsetes tingimustes, millest igaühes on katsete arv piisavalt suur, siis on suhtelisel sagedusel stabiilsuse omadus. See vara on et erinevates katsetes muutub suhteline sagedus vähe (mida vähem, seda rohkem katseid tehakse), kõikudes teatud konstantse arvu ümber. Selgus, et seda konstantset arvu saab võtta tõenäosuse ligikaudse väärtusena.

Suhtelise sageduse ja tõenäosuse vahelist seost kirjeldatakse üksikasjalikumalt ja täpsemalt allpool. Nüüd illustreerime stabiilsuse omadust näidetega.

Näide 1.25. Rootsi statistika järgi iseloomustavad 1935. aasta tüdrukute suhtelist sündide sagedust kuude lõikes järgmised numbrid (numbrid on järjestatud kuude järjekorras, alustades jaanuar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Suhteline sagedus kõigub numbri 0,481 ümber, mida võib võtta tüdrukute sünni tõenäosuse ligikaudse väärtusena.

Pange tähele, et erinevate riikide statistilised andmed annavad ligikaudu sama suhtelise sageduse väärtuse.

Näide 1.26. Mitu korda tehti mündiviskamise katseid, mille käigus loendati “vapi” ilmumiste arvu. Mitmete katsete tulemused on toodud tabelis.