مرحبا جميعا! اسمي هو، ريبينيك فاليريا,أوليانوفسك واليوم سأقوم بنشر العديد من مقالاتي العلمية على موقع LCI.

الخاص بي أولا مقاله بحثيهسيتم تخصيص هذه المدونة ل فركتلات. سأقول على الفور أن مقالاتي مصممة لأي جمهور تقريبًا. أولئك. آمل أن تكون ذات فائدة لكل من تلاميذ المدارس والطلاب.

لقد تعلمت مؤخرا عن هذه الأشياء الأكثر إثارة للاهتمامالعالم الرياضي كفركتلات. لكنها موجودة ليس فقط في الرياضيات. إنهم يحيطون بنا في كل مكان. الفركتلات طبيعية. سأتحدث عن ماهية الفركتلات وعن أنواع الفركتلات وعن أمثلة لهذه الكائنات وتطبيقاتها في هذه المقالة. في البداية، سأخبرك بإيجاز ما هو الفراكتل.

كسورية(باللاتينية fractus - مسحوق، مكسور، مكسور) هو شكل هندسي معقد له خاصية التشابه الذاتي، أي يتكون من عدة أجزاء، كل جزء منها يشبه الشكل بأكمله. بمعنى أوسع، تُفهم الفركتلات على أنها مجموعات من النقاط في الفضاء الإقليدي لها بُعد متري كسري (بمعنى مينكوفسكي أو هاوسدورف)، أو بُعد متري مختلف عن البعد الطوبولوجي. على سبيل المثال، سوف أقوم بإدراج صورة تصور أربعة فركتلات مختلفة.

سأخبرك قليلاً عن تاريخ الفركتلات. أصبحت مفاهيم الهندسة الكسورية والكسورية، التي ظهرت في أواخر السبعينيات، راسخة بين علماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينات. كلمة "فركتل" صاغها بينوا ماندلبروت في عام 1975 للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة ولكن المشابهة ذاتيًا التي كان مهتمًا بها. عادة ما ترتبط ولادة الهندسة الكسورية بنشر كتاب ماندلبروت الهندسة الكسورية للطبيعة في عام 1977. استخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة 1875-1925 في نفس المجال (بوينكاريه، فاتو، جوليا، كانتور، هاوسدورف). ولكن في عصرنا فقط أصبح من الممكن دمج عملهم في نظام واحد.

هناك الكثير من الأمثلة على الفركتلات، لأنها، كما قلت، تحيط بنا في كل مكان. في رأيي، حتى كوننا بأكمله عبارة عن فراكتل واحد ضخم. بعد كل شيء، كل شيء فيه، من بنية الذرة إلى بنية الكون نفسه، يكرر بعضها البعض بالضبط. ولكن هناك، بالطبع، المزيد أمثلة محددةفركتلات من مناطق مختلفة. الفركتلات، على سبيل المثال، موجودة في ديناميكيات معقدة. هناك تظهر بشكل طبيعي في دراسة اللاخطية الأنظمة الديناميكية. الحالة الأكثر دراسة هي عندما يتم تحديد النظام الديناميكي من خلال التكرارات متعدد الحدودأو هولومورفيك وظيفة مجمع من المتغيراتعلى السطح. ومن أشهر الفركتلات من هذا النوع مجموعة جوليا ومجموعة ماندلبروت ومجمعات نيوتن. أدناه، بالترتيب، الصور تصور كل من الفركتلات المذكورة أعلاه.

مثال آخر على الفركتلات هو المنحنيات الفركتلية. من الأفضل شرح كيفية إنشاء فراكتل باستخدام مثال المنحنيات الفراكتلية. أحد هذه المنحنيات هو ما يسمى بـ Koch Snowflake. موجود إجراء بسيطالحصول على منحنيات كسورية على متن الطائرة. دعونا نحدد خطًا متقطعًا عشوائيًا يحتوي على عدد محدود من الروابط، يسمى المولد. بعد ذلك، نستبدل كل قطعة فيه بمولد (بتعبير أدق، خط متقطع يشبه المولد). في الخط المتقطع الناتج، نستبدل كل قطعة بمولد مرة أخرى. بالاستمرار إلى ما لا نهاية، في الحد نحصل على منحنى كسورية. يوجد أدناه ندفة الثلج Koch (أو المنحنى).

هناك أيضًا مجموعة كبيرة ومتنوعة من المنحنيات الكسورية. وأشهرها هي ندفة الثلج كوخ التي سبق ذكرها، بالإضافة إلى منحنى ليفي، ومنحنى مينكوفسكي، وخط التنين المكسور، ومنحنى البيانو، وشجرة فيثاغورس. أعتقد أنه يمكنك بسهولة العثور على صورة لهذه الفركتلات وتاريخها على ويكيبيديا إذا كنت ترغب في ذلك.

المثال الثالث أو نوع الفركتلات هو الفركتلات العشوائية. وتشمل هذه الفركتلات مسار الحركة البراونية على المستوى وفي الفضاء، وتطور شرام لونر، أنواع مختلفةفركتلات عشوائية، أي فركتلات تم الحصول عليها باستخدام إجراء عودي يتم فيه إدخال معلمة عشوائية في كل خطوة.

هناك أيضًا فركتلات رياضية بحتة. هذه، على سبيل المثال، مجموعة كانتور، اسفنجة مينجر، مثلث سيربينسكي وغيرها.

ولكن ربما تكون الفركتلات الأكثر إثارة للاهتمام هي الطبيعية. الفركتلات الطبيعية هي كائنات في الطبيعة لها خصائص كسورية. وهنا القائمة كبيرة بالفعل. لن أذكر كل شيء، لأنه ربما يكون من المستحيل سردهم جميعًا، لكنني سأخبرك ببعضها. على سبيل المثال، في الطبيعة الحية، تشمل هذه الفركتلات لدينا نظام الدورة الدمويةوالرئتين. وكذلك تيجان وأوراق الأشجار. وهذا يشمل أيضًا نجم البحر، قنافذ البحروالمرجان والأصداف البحرية وبعض النباتات مثل الكرنب أو البروكلي. يتم عرض العديد من هذه الفركتلات الطبيعية من الطبيعة الحية بوضوح أدناه.

إذا اعتبرنا الطبيعة الجامدة، فهناك العديد من الأمثلة المثيرة للاهتمام أكثر من الحياة الواقعية. البرق، رقاقات الثلج، السحب، المعروفة للجميع، الأنماط على النوافذ في الأيام الباردة، البلورات، سلاسل الجبال - كل هذه أمثلة على فركتلات طبيعية من الطبيعة غير الحية.

نظرنا إلى أمثلة وأنواع الفركتلات. أما بالنسبة لاستخدام الفركتلات، فهي تستخدم في أغلب الأحيان مناطق مختلفةمعرفة. في الفيزياء، تحدث الفركتلات بشكل طبيعي في عمليات المحاكاة. العمليات غير الخطية، مثل تدفق السوائل المضطرب، العمليات المعقدةالانتشار والامتزاز، واللهب، والسحب، وما إلى ذلك. تُستخدم الفركتلات في نمذجة المواد المسامية، على سبيل المثال، في البتروكيمياء. في علم الأحياء، يتم استخدامها لنمذجة السكان ووصف الأنظمة. اعضاء داخلية(نظام الأوعية الدموية). بعد إنشاء منحنى كوخ، تم اقتراح استخدامه في حساب طول الخط الساحلي. تُستخدم الفركتلات أيضًا بنشاط في هندسة الراديو وعلوم المعلومات وتكنولوجيا الكمبيوتر والاتصالات وحتى الاقتصاد. وبطبيعة الحال، يتم استخدام الرؤية كسورية بنشاط في فن معاصروالهندسة المعمارية. فيما يلي أحد الأمثلة على الأنماط الفراكتلية:

وهكذا، أعتقد أنه بهذا أكمل قصتي حول ظاهرة رياضية غير عادية مثل الفراكتل. لقد تعلمنا اليوم عن ماهية الفركتلات، وكيف ظهرت، وعن أنواع وأمثلة الفركتلات. تحدثت أيضًا عن تطبيقهم وأظهرت بعض الفركتلات بصريًا. أتمنى أن تكون قد استمتعت بهذه الرحلة الصغيرة إلى عالم الأجسام الفركتلية المذهلة والرائعة.

لتقديم مجموعة كاملة من الفركتلات، من المناسب اللجوء إلى تصنيفها المقبول عمومًا.

2.1 فركتلات هندسية

فركتلات هذه الفئة هي الأكثر وضوحًا. وفي الحالة ثنائية الأبعاد، يتم الحصول عليها باستخدام خط متقطع (أو سطحي في الحالة ثلاثية الأبعاد)، يسمى مولد كهرباء. في خطوة واحدة من الخوارزمية، يتم استبدال كل جزء من الأجزاء التي تشكل الخطوط المتعددة بمولد متعدد الخطوط، على المقياس المناسب. ونتيجة للتكرار الذي لا نهاية له لهذا الإجراء، يتم الحصول على كسورية هندسية.

الشكل 1. بناء منحنى ثالوث كوخ.

دعونا نفكر في أحد هذه الأجسام الفركتلية - منحنى كوخ الثلاثي. يبدأ بناء المنحنى بقطعة طول الوحدة (الشكل 1) - وهذا هو الجيل الصفري من منحنى كوخ. بعد ذلك، يتم استبدال كل رابط (قطعة واحدة في الجيل الصفري) بـ العنصر التكويني، المحدد في الشكل 1 بواسطة ن = 1. ونتيجة لهذا الاستبدال، يتم الحصول على الجيل التالي من منحنى كوخ. في الجيل الأول، هذا منحنى من أربع وصلات مستقيمة، كل طول 1/3 . للحصول على الجيل الثالث، يتم تنفيذ نفس الإجراءات - يتم استبدال كل رابط بعنصر تشكيل مخفض. لذلك، للحصول على كل جيل لاحق، يجب استبدال جميع وصلات الجيل السابق بعنصر تشكيل مخفض. منحنى ن-الجيل الخامس لأي محدود نمُسَمًّى كسورية. ويبين الشكل 1 خمسة أجيال من المنحنى. في نعندما يقترب منحنى كوخ من اللانهاية، فإنه يصبح كائنًا كسوريًا.

الشكل 2. بناء "التنين" هارتر-هايثواي.

للحصول على كائن كسورية آخر، تحتاج إلى تغيير قواعد البناء. دع عنصر التشكيل عبارة عن جزأين متساويين متصلين بزوايا قائمة. في الجيل الصفري نستبدل قطعة الوحدة بعنصر التوليد هذا بحيث تكون الزاوية في الأعلى. يمكننا القول أنه مع مثل هذا الاستبدال هناك إزاحة لمنتصف الرابط. عند بناء الأجيال اللاحقة، يتم اتباع القاعدة: يتم استبدال الرابط الأول على اليسار بعنصر تشكيل بحيث يتم إزاحة منتصف الرابط إلى يسار اتجاه الحركة، وعند استبدال الروابط اللاحقة، اتجاهات يجب أن يتناوب إزاحة منتصف الأجزاء. يوضح الشكل 2 الأجيال القليلة الأولى والجيل الحادي عشر من المنحنى المبني وفقًا للمبدأ الموضح أعلاه. الحد من منحنى كسورية (في نيميل إلى ما لا نهاية) يسمى تنين هارتر-هايثواي .

في رسومات الحاسوب، يعد استخدام الفركتلات الهندسية ضروريًا عند الحصول على صور للأشجار والشجيرات والسواحل. تُستخدم فركتلات هندسية ثنائية الأبعاد لإنشاء أنسجة ثلاثية الأبعاد (أنماط على سطح كائن ما).

2.2 الفركتلات الجبرية

هذه هي أكبر مجموعة من الفركتلات. يتم الحصول عليها باستخدام العمليات غير الخطية في ن- فضاءات الأبعاد . العمليات ثنائية الأبعاد هي الأكثر دراسة. عند تفسير العملية التكرارية غير الخطية كنظام ديناميكي منفصل، يمكن للمرء استخدام مصطلحات نظرية هذه الأنظمة: صورة المرحلة, عملية ثابتة, جاذبإلخ.

من المعروف أن الأنظمة الديناميكية غير الخطية لها عدة حالات مستقرة. الحالة التي يجد فيها النظام الديناميكي نفسه بعد عدد معين من التكرارات تعتمد على حالته الأولية. لذلك، فإن كل حالة مستقرة (أو كما يقولون، جاذبة) لديها منطقة معينة من الحالات الأولية، والتي سيقع النظام منها بالضرورة في الحالات النهائية قيد النظر. وهكذا يتم تقسيم مساحة الطور للنظام إلى مجالات الجذبجاذبون. إذا كان فضاء الطور ثنائي الأبعاد فيمكن الحصول عليه بتلوين مناطق الجذب بألوان مختلفة صورة مرحلة اللونهذا النظام (عملية تكرارية). من خلال تغيير خوارزمية اختيار اللون، يمكنك الحصول على أنماط فركتالية معقدة مع أنماط غريبة متعددة الألوان. كانت المفاجأة لعلماء الرياضيات هي القدرة على إنشاء هياكل معقدة للغاية وغير تافهة باستخدام خوارزميات بدائية.

الشكل 3. مجموعة ماندلبروت.

على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار مجموعة ماندلبروت (انظر الشكل 3 والشكل 4). خوارزمية بنائها بسيطة للغاية وتعتمد على تعبير تكراري بسيط:

ز = ز[أنا] * ز[أنا] + ج,

أين زانا و ج- المتغيرات المعقدة. يتم تنفيذ التكرارات لكل نقطة بداية جمنطقة مستطيلة أو مربعة - مجموعة فرعية من المستوى المعقد. وتستمر العملية التكرارية حتى ز[i] لن يتجاوز دائرة نصف القطر 2، التي يقع مركزها عند النقطة (0،0)، (وهذا يعني أن جاذب النظام الديناميكي موجود عند اللانهاية)، أو بعد عدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات (على سبيل المثال، 200-500) ز[i] سوف تتقارب في نقطة ما على الدائرة. اعتمادا على عدد التكرارات التي خلالها ز[i] بقي داخل الدائرة، يمكنك ضبط لون النقطة ج(لو ز[i] يبقى داخل الدائرة لفترة طويلة بما فيه الكفاية كمية كبيرةالتكرارات، تتوقف عملية التكرار ويتم طلاء هذه النقطة النقطية باللون الأسود).

الشكل 4. جزء من حدود مجموعة ماندلبروت، موسع بمقدار 200 مرة.

تعطي الخوارزمية المذكورة أعلاه تقريبًا لما يسمى بمجموعة ماندلبروت. تحتوي مجموعة ماندلبروت على النقاط التي خلال لانهائيعدد التكرارات لا يصل إلى ما لا نهاية (النقاط سوداء). النقاط التي تنتمي إلى حدود المجموعة (هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الهياكل المعقدة) تذهب إلى ما لا نهاية في عدد محدود من التكرارات، والنقاط الواقعة خارج المجموعة تذهب إلى ما لا نهاية بعد عدة تكرارات (خلفية بيضاء).

2.3 فركتلات العشوائية

فئة أخرى معروفة من الفركتلات هي الفركتلات العشوائية، والتي يتم الحصول عليها إذا تم تغيير بعض معلماتها بشكل عشوائي في عملية متكررة. في هذه الحالة، تكون الكائنات الناتجة مشابهة جدًا للأشياء الطبيعية - الأشجار غير المتكافئة، والسواحل الوعرة، وما إلى ذلك. تُستخدم الفركتلات العشوائية ثنائية الأبعاد في نمذجة التضاريس وسطح البحر.

هناك تصنيفات أخرى للفركتلات، على سبيل المثال، تقسيم الفركتلات إلى حتمية (جبرية وهندسية) وغير حتمية (عشوائية).

مثال كسورية

تم تقديم "الفراكتل" للاستخدام من قبل علماء الرياضيات منذ أقل من نصف قرن، وسرعان ما أصبح، إلى جانب التآزر والجذب، أحد "الركائز الثلاثة" لنظرية الفوضى الحتمية الناشئة، ويُعترف به اليوم بالفعل كواحد من الركائز الثلاث. العناصر الأساسية لبنية الكون.

مع تتم ترجمة الكلمة اللاتينية fractusمثل "مكسورة"، الحديثة اللغات اللاتينيةأعطاها معنى "ممزقة". الفراكتل هو شيء مطابق للكل/الأكبر الذي هو جزء منه، وفي الوقت نفسه، ينسخ كل فراكتل خاص به عنصر. وبالتالي فإن "الكسورية" هي التشابه اللامتناهي لـ "كل شيء" مع مكوناته، أي أنها تشابه ذاتي على أي مستوى. يُطلق على كل مستوى من فرع الفركتل اسم "التكرار"، وكلما كان النظام الموصوف أو المرسوم بيانيًا أكثر تطورًا، كلما زادت التكرارات الفركتلية التي يراها المراقب. في هذه الحالة، تسمى النقطة التي يحدث عندها الانقسام (على سبيل المثال، الجذع إلى فروع، والنهر إلى مجريين، وما إلى ذلك) بنقطة التشعب.

مصطلح الكسرتم اختياره من قبل عالم الرياضيات بينوا ماندلبروت في عام 1975 لوصفه اكتشاف علميوأصبح مشهورًا بعد بضع سنوات - بعد أن طور الموضوع لجمهور أوسع في كتابه الهندسة الكسورية للطبيعة.

تُعرف الفراكتلات اليوم على نطاق واسع بأنها الأنماط الرائعة لما يسمى "الفن الكسيري" الذي ابتكره برامج الحاسوب. ولكن بمساعدة جهاز كمبيوتر، لا يمكنك إنشاء صور مجردة جميلة فحسب، بل يمكنك أيضًا إنشاء مناظر طبيعية معقولة جدًا - الجبال والأنهار والغابات. وهنا، في الواقع، هي نقطة انتقال العلم إلى الحياه الحقيقيهأو العكس، إذا افترضنا أنه يمكن الفصل بينهما بشكل عام.

الحقيقة انه مبدأ كسوريةمناسبة ليس فقط لوصف الاكتشافات في العلوم الدقيقة. هذا هو في المقام الأول مبدأ بناء الطبيعة نفسها وتطورها. كل شيء حولنا هو فركتلات! المجموعة الأكثر وضوحًا من الأمثلة هي الأنهار ذات الروافد، والجهاز الوريدي مع الشعيرات الدموية، والبرق، وأنماط الصقيع، والأشجار... وفي الآونة الأخيرة، قام العلماء بالاختبار نظرية كسورية، لقد تحققنا تجريبيًا من أنه بناءً على الرسم التخطيطي لشجرة واحدة، يمكن للمرء استخلاص استنتاجات حول مساحة الغابة التي تنمو فيها هذه الأشجار. أمثلة أخرى للمجموعات الكسورية: الذرة - الجزيء - النظام الكوكبي - النظام الشمسي- المجرات - الكون... الدقيقة - الساعة - اليوم - الأسبوع - الشهر - السنة - القرن... حتى مجتمع البشر ينظم نفسه وفق مبادئ الكسورية: أنا - العائلة - العشيرة - الجنسية - القوميات - الأجناس.. الفرد - الجماعة - الحزب - الدولة. موظف - قسم - قسم - مؤسسة - اهتمام... حتى الآلهة الإلهية ديانات مختلفةمبنية على نفس المبدأ، بما في ذلك المسيحية: الله الآب – الثالوث – القديسون – الكنيسة – المؤمنون، ناهيك عن تنظيم الآلهة الإلهية للديانات الوثنية.

قصةتنص على أن المجموعات المتشابهة ذاتيًا قد لوحظت لأول مرة في القرن التاسع عشر في أعمال العلماء - بوانكاريه، وفاتو، وجوليا، وكانتور، وهوسدورف، ولكن الحقيقة هي أنه بالفعل السلاف الوثنيينلقد ترك لنا دليلاً على أن الناس فهموا الوجود الفردي باعتباره تفصيلًا صغيرًا في لا نهاية الكون. هذا كائن من الثقافة الشعبية يسمى "العنكبوت"، وقد درسه مؤرخو الفن في بيلاروسيا وأوكرانيا. إنه نوع من النموذج الأولي للنحت الطراز الحديث"متحرك" (الأجزاء في حركة مستمرة بالنسبة لبعضها البعض). غالبًا ما يكون "العنكبوت" مصنوعًا من القش، ويتكون من عناصر صغيرة ومتوسطة وكبيرة من نفس الشكل، معلقة من بعضها البعض بحيث يكرر كل جزء أصغر الجزء الأكبر تمامًا والهيكل بأكمله ككل. تم تعليق هذا التصميم في الزاوية الرئيسية للمنزل، وكأنه يدل على أن المنزل عنصر من عناصر العالم كله.

تعمل نظرية الكسورية في كل مكان اليوم، بما في ذلك في الفلسفة، التي تقول أنه خلال كل حياة، وأي حياة ككل، تكون كسورية، وتحدث "نقاط التشعب" عندما يكون هناك المزيد من الكسورية. مستويات عاليةيمكن أن يتخذ التطور مسارات مختلفة، واللحظة التي "يجد فيها الشخص نفسه أمام خيار" هي "نقطة التشعب" الحقيقية في فركتلات حياته.

تقول نظرية الفوضى الحتمية أن تطور كل كسورية ليس لانهائيًا. يعتقد العلماء أنه في لحظة معينة، يأتي حد يتوقف بعده نمو التكرارات ويبدأ الكسورية في "التضييق"، لتصل تدريجياً إلى وحدة قياسها الأصلية، ثم تسير العملية مرة أخرى في دائرة - على غرار الشهيق والزفير، تغيرات الصباح والليل والشتاء والصيف في الطبيعة.

لقد عرفت الفركتلات منذ ما يقرب من قرن من الزمان، وقد تمت دراستها جيدًا ولها العديد من التطبيقات في الحياة. وتستند هذه الظاهرة للغاية فكرة بسيطة: يمكن الحصول على مجموعة لا حصر لها من الأشكال من حيث الجمال والتنوع من تصميمات بسيطة نسبيًا باستخدام عمليتين فقط - النسخ والقياس

هذا المفهوم ليس له تعريف صارم. لذلك، فإن كلمة "فركتل" ليست مصطلحًا رياضيًا. هذا هو عادة الاسم الذي يطلق على الشكل الهندسي الذي يحقق واحدة أو أكثر من الخصائص التالية:

• لديه بنية معقدة في أي تكبير؛
• هو (تقريبا) مماثل ذاتيا؛
• له بُعد هاوسدورف (فركتلي) كسري، وهو أكبر من البعد الطوبولوجي؛
• يمكن بناؤها عن طريق إجراءات العودية.

في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين، كانت دراسة الفركتلات عرضية أكثر منها منهجية، لأن علماء الرياضيات في السابق كانوا يدرسون بشكل أساسي الأشياء "الجيدة" التي يمكن دراستها باستخدام الطرق الشائعةوالنظريات. في عام 1872، قام عالم الرياضيات الألماني كارل فايرستراس ببناء مثال لدالة متصلة لا يمكن اشتقاقها في أي مكان. ومع ذلك، كان بنائه مجردًا تمامًا ويصعب فهمه. لذلك، في عام 1904، توصل السويدي هيلج فون كوخ إلى منحنى مستمر ليس له مماس في أي مكان، ومن السهل رسمه. اتضح أنه يحتوي على خصائص كسورية. أحد أشكال هذا المنحنى يسمى "ندفة الثلج كوخ".

تم التقاط أفكار التشابه الذاتي للشخصيات من قبل الفرنسي بول بيير ليفي، معلم بينوا ماندلبرو المستقبلي. في عام 1938، تم نشر مقالته "المنحنيات المستوية والمكانية والأسطح التي تتكون من أجزاء مشابهة للكل"، والتي وصفت كسورية أخرى - منحنى ليفي C. يمكن تصنيف كل هذه الفركتلات المذكورة أعلاه بشكل مشروط كفئة واحدة من الفركتلات البناءة (الهندسية).

فئة أخرى هي الفركتلات الديناميكية (الجبرية)، والتي تشمل مجموعة ماندلبروت. يعود البحث الأول في هذا الاتجاه إلى بداية القرن العشرين ويرتبط بأسماء علماء الرياضيات الفرنسيين غاستون جوليا وبيير فاتو. في عام 1918، نشرت جوليا عملًا يتكون من مائتي صفحة تقريبًا عن تكرارات الدوال العقلانية المعقدة، والذي وصف مجموعات جوليا - وهي عائلة كاملة من الفركتلات المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. حصل هذا العمل على جائزة من الأكاديمية الفرنسية، لكنه لم يحتوي على رسم توضيحي واحد، لذلك كان من المستحيل تقدير جمال الأشياء المفتوحة. على الرغم من أن هذا العمل جعل جوليا مشهورة بين علماء الرياضيات في ذلك الوقت، إلا أنه تم نسيانه بسرعة.

عاد الاهتمام مرة أخرى إلى أعمال جوليا وفاتو بعد نصف قرن فقط، مع ظهور أجهزة الكمبيوتر: فهي التي جعلت ثراء وجمال عالم الفركتلات مرئيًا. ففي نهاية المطاف، لم تتمكن فاتو أبدًا من النظر إلى الصور التي نعرفها الآن كصور لمجموعة ماندلبروت، لأن العدد المطلوب من الحسابات لا يمكن إجراؤه يدويًا. أول شخص استخدم الكمبيوتر لهذا كان بينوا ماندلبروت.

في عام 1982، نُشر كتاب ماندلبروت “الهندسة الكسورية للطبيعة”، حيث قام المؤلف بجمع وتنظيم جميع المعلومات تقريبًا عن الفركتلات المتوفرة في ذلك الوقت وعرضها بطريقة سهلة ويمكن الوصول إليها. لم يركز ماندلبروت بشكل أساسي في عرضه التقديمي على الصيغ الثقيلة والإنشاءات الرياضية، بل على الحدس الهندسي للقراء. بفضل الرسوم التوضيحية التي تم الحصول عليها باستخدام الكمبيوتر والقصص التاريخية، والتي قام المؤلف بتخفيف المكون العلمي للدراسة بمهارة، أصبح الكتاب من أكثر الكتب مبيعا، وأصبحت الفركتلات معروفة لعامة الناس. يرجع نجاحهم بين غير علماء الرياضيات إلى حد كبير إلى حقيقة أنه بمساعدة الإنشاءات والصيغ البسيطة جدًا التي يمكن حتى لطالب المدرسة الثانوية فهمها، يتم الحصول على صور ذات تعقيد مذهل وجمال. عندما أصبحت أجهزة الكمبيوتر الشخصية قوية بما فيه الكفاية، ظهر حتى اتجاه كامل في الفن - الرسم الكسري، ويمكن لأي مالك كمبيوتر تقريبًا القيام بذلك. يمكنك الآن العثور بسهولة على العديد من المواقع المخصصة لهذا الموضوع على الإنترنت.

أصبحت مفاهيم الهندسة الكسورية والكسورية، التي ظهرت في أواخر السبعينيات، راسخة بين علماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينات. كلمة فركتال مشتقة من الكلمة اللاتينية fractus وتعني تتكون من أجزاء. تم اقتراحه من قبل بينوا ماندلبروت في عام 1975 للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة ولكن المشابهة ذاتيًا التي كان مهتمًا بها. عادة ما ترتبط ولادة الهندسة الكسورية بنشر كتاب ماندلبرو “الهندسة الكسورية للطبيعة” عام 1977. وقد استخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة 1875-1925 في نفس المجال (بوينكاريه، فاتو، جوليا، كانتور، هاوسدورف ولكن في عصرنا فقط كان من الممكن دمج عملهم في نظام واحد.
دور الفركتلات في رسومات الكمبيوتر اليوم كبير جدًا. إنهم يأتون للإنقاذ، على سبيل المثال، عندما يكون من الضروري، باستخدام عدة معاملات، تحديد الخطوط والأسطح ذات الأشكال المعقدة للغاية. من وجهة نظر رسومات الحاسوب، لا غنى عن الهندسة الكسورية عند إنشاء السحب الاصطناعية والجبال والأسطح البحرية. في الواقع، تم العثور على طريقة لتمثيل الأجسام غير الإقليدية المعقدة بسهولة، والتي تشبه صورها إلى حد كبير الصور الطبيعية.
واحدة من الخصائص الرئيسية للفركتلات هي التشابه الذاتي. في أبسط الحالات، جزء صغير من الفراكتل يحتوي على معلومات حول الفراكتل بأكمله. تعريف ماندلبروت للكسورية هو: "الكسورية هي بنية تتكون من أجزاء تشبه إلى حد ما الكل."

هناك عدد كبير من الكائنات الرياضية التي تسمى الفركتلات (مثلث سيربينسكي، ندفة ثلج كوخ، منحنى بيانو، مجموعة ماندلبروت وجاذبات لورنتز). يتم وصف الفركتلات بدقة كبيرة من قبل الكثيرين الظواهر الفيزيائيةوالتعليم العالم الحقيقي: الجبال، السحب، التيارات المضطربة، جذور وأغصان وأوراق الأشجار، الأوعية الدموية، وهو أبعد ما يكون عن الاتساق مع البساطة الأشكال الهندسية. لأول مرة، تحدث بينوا ماندلبروت عن الطبيعة الكسورية لعالمنا في عمله الأساسي "الهندسة الكسورية للطبيعة".
تم تقديم مصطلح الفركتل بواسطة بينوا ماندلبروت في عام 1977 في عمله الأساسي الفركتلات والشكل والفوضى والبعد. وفقا لماندلبروت، فإن كلمة كسورية تأتي من الكلمات اللاتينية fractus - كسري وfrangere - لكسر، وهو ما يعكس جوهر الكسورية باعتبارها مجموعة "مكسورة وغير منتظمة".

تصنيف الفركتلات.

من أجل تقديم مجموعة كاملة من الفركتلات، من المناسب اللجوء إلى تصنيفها المقبول عمومًا. هناك ثلاث فئات من الفركتلات.

1. فركتلات هندسية.

فركتلات هذه الفئة هي الأكثر وضوحًا. وفي الحالة ثنائية الأبعاد، يتم الحصول عليها باستخدام خط متقطع (أو سطح في الحالة ثلاثية الأبعاد)، يسمى المولد. في خطوة واحدة من الخوارزمية، يتم استبدال كل جزء من الأجزاء التي تشكل الخطوط المتعددة بمولد متعدد الخطوط على المقياس المناسب. ونتيجة للتكرار الذي لا نهاية له لهذا الإجراء، يتم الحصول على كسورية هندسية.

دعونا نفكر في مثال لأحد هذه الأجسام الفركتلية - منحنى كوخ الثلاثي.

بناء منحنى كوخ الثلاثي.

لنأخذ قطعة مستقيمة بطول 1. لنسميها بذرة. دعونا نقسم البذرة إلى ثلاثة أجزاء متساوية بطول 1/3، ونتخلص من الجزء الأوسط ونستبدله بخط متقطع من وصلتين بطول 1/3.

سنحصل على خط متقطع يتكون من 4 روابط بطول إجمالي 4/3 - ما يسمى الجيل الاول.

من أجل الانتقال إلى الجيل التالي من منحنى كوخ، من الضروري التخلص من الجزء الأوسط من كل رابط واستبداله. وعليه فإن طول الجيل الثاني سيكون 16/9 والثالث - 64/27. إذا واصلنا هذه العملية إلى ما لا نهاية، فإن النتيجة هي منحنى كوخ الثلاثي.

دعونا الآن نفكر في خصائص منحنى كوخ الثلاثي ونكتشف سبب تسمية الفركتلات بـ "الوحوش".

أولا، هذا المنحنى ليس له طول - كما رأينا، مع عدد الأجيال فإن طوله يميل إلى ما لا نهاية.

ثانيًا، من المستحيل إنشاء مماس لهذا المنحنى - كل نقطة من نقاطه هي نقطة انعطاف لا يوجد عندها المشتق - هذا المنحنى ليس سلسًا.

يعد الطول والنعومة من الخصائص الأساسية للمنحنيات، والتي تمت دراستها من خلال الهندسة الإقليدية وهندسة لوباتشيفسكي وريمان. نحو منحنى كوخ الثلاثي الطرق التقليديةتبين أن التحليل الهندسي غير قابل للتطبيق، لذلك تبين أن منحنى كوخ هو وحش - "وحش" ​​بين السكان السلسين للهندسة التقليدية.

بناء "التنين" هارتر-هايثواي.

للحصول على كائن كسورية آخر، تحتاج إلى تغيير قواعد البناء. دع عنصر التشكيل عبارة عن جزأين متساويين متصلين بزوايا قائمة. في الجيل الصفري نستبدل قطعة الوحدة بعنصر التوليد هذا بحيث تكون الزاوية في الأعلى. يمكننا القول أنه مع مثل هذا الاستبدال هناك إزاحة لمنتصف الرابط. عند بناء الأجيال اللاحقة، يتم اتباع القاعدة: يتم استبدال الرابط الأول على اليسار بعنصر تشكيل بحيث يتم إزاحة منتصف الرابط إلى يسار اتجاه الحركة، وعند استبدال الروابط اللاحقة، اتجاهات يجب أن يتناوب إزاحة منتصف الأجزاء. يوضح الشكل الأجيال القليلة الأولى والجيل الحادي عشر من المنحنى المبني وفقًا للمبدأ الموضح أعلاه. يُطلق على المنحنى الذي يميل n إلى ما لا نهاية اسم تنين هارتر-هايثواي.
في رسومات الحاسوب، يعد استخدام الفركتلات الهندسية ضروريًا عند الحصول على صور للأشجار والشجيرات. تُستخدم فركتلات هندسية ثنائية الأبعاد لإنشاء أنسجة ثلاثية الأبعاد (أنماط على سطح كائن ما).

2.فركتلات جبرية

هذه هي أكبر مجموعة من الفركتلات. يتم الحصول عليها باستخدام العمليات غير الخطية في الفضاءات ذات الأبعاد n. العمليات ثنائية الأبعاد هي الأكثر دراسة. عند تفسير عملية تكرارية غير خطية كنظام ديناميكي منفصل، يمكن للمرء استخدام مصطلحات نظرية هذه الأنظمة: صورة الطور، عملية الحالة المستقرة، الجاذب، إلخ.
من المعروف أن الأنظمة الديناميكية غير الخطية لها عدة حالات مستقرة. الحالة التي يجد فيها النظام الديناميكي نفسه بعد عدد معين من التكرارات تعتمد على حالته الأولية. لذلك، فإن كل حالة مستقرة (أو كما يقولون، جاذبة) لديها منطقة معينة من الحالات الأولية، والتي سيقع النظام منها بالضرورة في الحالات النهائية قيد النظر. وبالتالي، يتم تقسيم مساحة الطور للنظام إلى مناطق جذب الجاذبين. إذا كان فضاء الطور هو فضاء ثنائي الأبعاد، فمن خلال تلوين مناطق الجذب بألوان مختلفة، يمكن الحصول على صورة طورية ملونة لهذا النظام (عملية تكرارية). من خلال تغيير خوارزمية اختيار اللون، يمكنك الحصول على أنماط فركتالية معقدة مع أنماط غريبة متعددة الألوان. كانت المفاجأة لعلماء الرياضيات هي القدرة على إنشاء هياكل معقدة للغاية وغير تافهة باستخدام خوارزميات بدائية.

مجموعة ماندلبروت.

على سبيل المثال، النظر في مجموعة ماندلبروت. خوارزمية بنائها بسيطة للغاية وتعتمد على تعبير تكراري بسيط: Z = Z[i] * Z[i] + C، أين زيو ج- المتغيرات المعقدة. يتم تنفيذ التكرارات لكل نقطة بداية من منطقة مستطيلة أو مربعة - مجموعة فرعية من المستوى المعقد. وتستمر العملية التكرارية حتى ض [أنا]لن يتجاوز دائرة نصف القطر 2، التي يقع مركزها عند النقطة (0،0)، (وهذا يعني أن جاذب النظام الديناميكي موجود عند اللانهاية)، أو بعد عدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات (على سبيل المثال ، 200-500) ض [أنا]سوف تتقارب إلى نقطة ما على الدائرة. اعتمادا على عدد التكرارات التي خلالها ض [أنا]بقي داخل الدائرة، يمكنك ضبط لون النقطة ج(لو ض [أنا]يبقى داخل الدائرة لعدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات، وتتوقف عملية التكرار ويتم طلاء هذه النقطة النقطية باللون الأسود).

3. فركتلات العشوائية

فئة أخرى معروفة من الفركتلات هي الفركتلات العشوائية، والتي يتم الحصول عليها إذا تم تغيير بعض معلماتها بشكل عشوائي في عملية متكررة. في هذه الحالة، تكون الكائنات الناتجة مشابهة جدًا للأشياء الطبيعية - الأشجار غير المتكافئة، والسواحل الوعرة، وما إلى ذلك. تُستخدم الفركتلات العشوائية ثنائية الأبعاد في نمذجة التضاريس والأسطح البحرية.
هناك تصنيفات أخرى للفركتلات، على سبيل المثال، تقسيم الفركتلات إلى حتمية (جبرية وهندسية) وغير حتمية (عشوائية).

حول استخدام الفركتلات

بادئ ذي بدء، تعتبر الفركتلات مجالًا للفن الرياضي المذهل، حيث يتم الحصول على صور ذات جمال وتعقيد استثنائيين بمساعدة أبسط الصيغ والخوارزميات! غالبًا ما تظهر الأوراق والأشجار والزهور في محيط الصور المبنية.

تكمن بعض أقوى تطبيقات الفركتلات في رسومات الكمبيوتر. أولا، هذا هو ضغط كسورية للصور، وثانيا، بناء المناظر الطبيعية والأشجار والنباتات وتوليد القوام كسورية. بدأت الفيزياء والميكانيكا الحديثة للتو في دراسة سلوك الأجسام الفركتلية. وبطبيعة الحال، يتم استخدام الفركتلات مباشرة في الرياضيات نفسها.
مزايا خوارزميات ضغط الصور النمطية الكسورية كبيرة جدًا حجم صغيرملف معبأ ووقت قصير لاستعادة الصورة. يمكن تحجيم الصور المعبأة كسورية دون التسبب في البيكسل. لكن عملية الضغط تستغرق وقتا طويلا وأحيانا تستمر لساعات. تتيح لك خوارزمية التغليف الفراكتلية المفقودة ضبط مستوى الضغط، على غرار تنسيق jpeg. تعتمد الخوارزمية على البحث عن القطع الكبيرة من الصورة التي تشبه بعض القطع الصغيرة. والقطعة المشابهة فقط هي التي يتم كتابتها في ملف الإخراج. عند الضغط، عادة ما يتم استخدام شبكة مربعة (القطع عبارة عن مربعات)، مما يؤدي إلى زاوية طفيفة عند استعادة الصورة، والشبكة السداسية ليس بها هذا العيب.
قامت شركة Iterated بتطوير تنسيق صورة جديد، "Sting"، والذي يجمع بين الضغط الكسري و"الموجي" (مثل jpeg) بدون فقدان البيانات. يتيح لك التنسيق الجديد إنشاء صور مع إمكانية التحجيم اللاحق عالي الجودة، ويبلغ حجم ملفات الرسوم 15-20٪ من حجم الصور غير المضغوطة.
يتم استغلال ميل الفركتلات إلى التشابه مع الجبال والزهور والأشجار من قبل بعض محرري الرسوم، على سبيل المثال، السحب الفركتلية من 3D studio MAX، والجبال الفركتلية في World Builder. يتم تعريف الأشجار الكسورية والجبال والمناظر الطبيعية بأكملها من خلال صيغ بسيطة، وهي سهلة البرمجة ولا تنقسم إلى مثلثات ومكعبات منفصلة عند الاقتراب منها.
لا يمكن للمرء أن يتجاهل استخدام الفركتلات في الرياضيات نفسها. في نظرية المجموعات، تثبت مجموعة كانتور وجود مجموعات كثيفة لا تشوبها شائبة؛ في نظرية القياس، تعتبر دالة الارتباط الذاتي "سلم كانتور" مثالًا جيدًا لدالة توزيع لقياس فردي.
في الميكانيكا والفيزياء، يتم استخدام الفركتلات نظرًا لخاصيتها الفريدة المتمثلة في تكرار الخطوط العريضة للعديد من الأشياء الطبيعية. تتيح لك الفركتلات تقريب الأشجار والأسطح الجبلية والشقوق بدقة أعلى من التقريبات باستخدام مجموعات من المقاطع أو المضلعات (بنفس كمية البيانات المخزنة). النماذج الكسورية، مثل الأجسام الطبيعية، لها "خشونة"، ويتم الحفاظ على هذه الخاصية مهما كان حجم تكبير النموذج. يسمح وجود مقياس موحد للفركتلات بتطبيق التكامل والنظرية المحتملة واستخدامها بدلاً من الكائنات القياسية في المعادلات التي تمت دراستها بالفعل.
مع النهج الكسري، تتوقف الفوضى عن كونها الفوضى الزرقاء وتصبح هيكل غرامة. لا يزال علم الفراكتلات صغيرًا جدًا وأمامه مستقبل عظيم. إن جمال الفركتلات أبعد ما يكون عن الاستنفاد وسيظل يقدم لنا العديد من الروائع - تلك التي تسعد العين، وتلك التي تجلب المتعة الحقيقية للعقل.

حول بناء فركتلات

طريقة التقريب المتعاقبة

بالنظر إلى هذه الصورة، ليس من الصعب أن نفهم كيف يمكنك بناء فراكتل مماثل ذاتيًا (في في هذه الحالةهرم سيربينسكي). نحتاج أن نأخذ هرمًا منتظمًا (رباعي السطوح)، ثم نقطع وسطه (المجسم الثماني)، فينتج عن ذلك أربعة أهرامات صغيرة. مع كل واحد منهم نقوم بنفس العملية، الخ. وهذا تفسير ساذج إلى حد ما ولكنه واضح.

دعونا نفكر في جوهر الطريقة بشكل أكثر صرامة. يجب أن يكون هناك نظام IFS، أي. نظام رسم الخرائط الضغط س=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (على سبيل المثال، بالنسبة لهرمنا، تكون التعيينات بالشكل S i (x)=1/2*x+o i ، حيث o i رؤوس رباعي الاسطح، i=1،..،4). ثم نختار مجموعة مدمجة A 1 في R n (في حالتنا نختار رباعي السطوح). ونحدد بالاستقراء تسلسل المجموعات A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). ومن المعروف أن مجموعات A k مع زيادة k تقارب الجاذب المطلوب للنظام بشكل أفضل وأفضل س.

لاحظ أن كل من هذه التكرارات تعتبر عامل جذب النظام المتكرر للوظائف المتكررة (مصطلح انجليزي ديغراف IFS, ريفسو أيضا IFS الموجه بالرسم البياني) وبالتالي من السهل بنائها باستخدام برنامجنا.

طريقة نقطة بنقطة أو الطريقة الاحتمالية

هذه هي أسهل طريقة للتنفيذ على جهاز الكمبيوتر. من أجل التبسيط، فإننا نعتبر حالة مجموعة مسطحة ذاتية التقارب. لذا دع (س

) - بعض أنظمة الانقباضات العاطفية. عرض س

يمكن تمثيله بـ: S

حجم المصفوفة الثابتة 2x2 و o

عمود متجه ثنائي الأبعاد.

• لنأخذ النقطة الثابتة للرسم الأول S 1 كنقطة بداية:
  س:= o1;
  هنا نستفيد من حقيقة أن جميع نقاط الضغط الثابتة S 1 ,..,S m تنتمي إلى الفراكتل. يمكنك تحديد نقطة عشوائية كنقطة البداية وسيتم رسم تسلسل النقاط الناتجة عنها إلى كسورية، ولكن بعد ذلك ستظهر عدة نقاط إضافية على الشاشة.
• لنضع علامة على النقطة الحالية x=(x 1 ,x 2) على الشاشة:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• لنختار عشوائيًا رقمًا j من 1 إلى m ونعيد حساب إحداثيات النقطة x:
  ي:=عشوائي(م)+1;
  س:=S ي (خ)؛
• ننتقل إلى الخطوة 2، أو إذا قمنا بعدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات، نتوقف.

ملحوظة.إذا كانت نسب ضغط التعيينات S i مختلفة، فسيتم ملء الفركتل بالنقاط بشكل غير متساو. إذا كانت التعيينات S i متشابهة، فيمكن تجنب ذلك عن طريق تعقيد الخوارزمية قليلاً. للقيام بذلك، في الخطوة الثالثة من الخوارزمية، يجب اختيار الرقم j من 1 إلى m مع الاحتمالات p 1 =r 1 s,..,p m =r m s، حيث r i تشير إلى معاملات الضغط للتعيينات Si، و الرقم s (يسمى بعد التشابه) تم إيجاده من المعادلة r 1 s +...+r m s =1. ويمكن إيجاد حل هذه المعادلة، على سبيل المثال، بطريقة نيوتن.

حول الفركتلات وخوارزمياتها

كلمة كسورية تأتي من الصفة اللاتينية "fractus"، وفي الترجمة تعني تتكون من أجزاء، والفعل اللاتيني المقابل "frangere" يعني كسر، أي إنشاء أجزاء غير منتظمة. أصبحت مفاهيم الهندسة الكسورية والكسورية، التي ظهرت في أواخر السبعينيات، راسخة بين علماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينات. تمت صياغة هذا المصطلح من قبل بينوا ماندلبروت في عام 1975 للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة ولكن المشابهة ذاتيًا التي كان مهتمًا بها. عادة ما ترتبط ولادة الهندسة الكسورية بنشر كتاب ماندلبروت “الهندسة الكسورية للطبيعة” في عام 1977. استخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة 1875-1925 في نفس المجال (بوينكاريه، فاتو، جوليا، كانتور، هاوسدورف).

التعديلات

اسمحوا لي أن أقوم ببعض التعديلات على الخوارزميات المقترحة في كتاب H.-O. Peitgen and P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993 كان الهدف منه فقط القضاء على الأخطاء المطبعية وتسهيل فهم العمليات لأنه بعد دراستها بقي الكثير لغزا بالنسبة لي. ولسوء الحظ، فإن هذه الخوارزميات "المفهومة" و"البسيطة" تقود أسلوب حياة متأرجح.

يعتمد بناء الفركتلات على وظيفة غير خطية معينة لعملية معقدة تعليق z => z 2 +c بما أن z وc أرقام مركبة، إذن z = x + iy, c = p + iq فمن الضروري توسيعه إلى x وy من أجل الانتقال إلى مستوى أكثر واقعية بالنسبة إلى شخص عادي:

س(ك+1)=س(ك) 2 -ص(ك) 2 + ص,
ذ(ك+1)=2*س(ك)*ص(ك) + ف.

يمكن اعتبار المستوى الذي يتكون من جميع أزواج (x,y) كما لو كان القيم الثابتة ص و فومع تلك الديناميكية. في الحالة الأولى وذلك بالمرور على جميع النقاط (x,y) للمستوى حسب القانون وتلوينها حسب عدد تكرارات الدالة اللازمة للخروج من العملية التكرارية أو عدم تلوينها (اللون الأسود) عندما تم تجاوز الحد الأقصى المسموح به من التكرارات، وسنحصل على عرض لمجموعة جوليا. على العكس من ذلك، إذا حددنا زوج القيم الأولي (x،y) وتتبعنا مصيره اللوني بقيم متغيرة ديناميكيًا للمعلمات p و q، فإننا نحصل على صور تسمى مجموعات ماندلبروت.

فيما يتعلق بمسألة خوارزميات تلوين الفركتلات.

عادةً ما يتم تمثيل جسم المجموعة كحقل أسود، على الرغم من أنه من الواضح أنه يمكن استبدال اللون الأسود بأي لون آخر، إلا أن هذه أيضًا نتيجة مثيرة للاهتمام بعض الشيء. يعد الحصول على صورة لمجموعة ملونة بجميع الألوان مهمة لا يمكن حلها باستخدام العمليات الدورية بسبب عدد تكرارات المجموعات التي تشكل الجسم يساوي الحد الأقصى الممكن وهو نفسه دائمًا. قم بتلوين المجموعة بداخلها ألوان مختلفةربما باستخدام نتيجة التحقق من شرط الخروج من الحلقة (z_magnitude) أو ما شابه ذلك، ولكن مع عمليات حسابية أخرى، كرقم اللون.

تطبيق "المجهر الكسري"

لإثبات الظواهر الحدودية.

الجاذبون هم المراكز التي تقود الصراع من أجل الهيمنة على متن الطائرة. تظهر حدود بين الجاذبات، تمثل نمطًا مزهرًا. ومن خلال زيادة حجم النظر ضمن حدود المجموعة، يمكن الحصول على أنماط غير تافهة تعكس حالة الفوضى الحتمية - وهي ظاهرة شائعة في العالم الطبيعي.

تشكل الكائنات التي يدرسها الجغرافيون نظامًا ذا حدود منظمة للغاية، وبالتالي فإن تحديدها لا يصبح مهمة عملية بسيطة. تحتوي المجمعات الطبيعية على نوى نموذجية تعمل كجاذبات تفقد تأثيرها على المنطقة أثناء ابتعادها.

باستخدام المجهر الكسري لمجموعتي ماندلبروت وجوليا، يمكن للمرء تكوين فكرة عن العمليات والظواهر الحدودية التي تتسم بنفس القدر من التعقيد بغض النظر عن حجم الاعتبار وبالتالي إعداد تصور المتخصص لمواجهة جسم طبيعي ديناميكي وفوضوي على ما يبدو في المكان والزمان، لفهم طبيعة الهندسة الكسورية. من المؤكد أن الألوان المتعددة الألوان والموسيقى الكسورية ستترك بصمة عميقة في أذهان الطلاب.

تم تخصيص آلاف المنشورات وموارد الإنترنت الهائلة للفركتلات، ولكن بالنسبة للعديد من المتخصصين البعيدين عن علوم الكمبيوتر، يبدو هذا المصطلح جديدًا تمامًا. الفركتلات، باعتبارها أشياء تهم المتخصصين في مختلف مجالات المعرفة، يجب أن تحصل على مكان مناسب في دورات علوم الكمبيوتر.

أمثلة

شبكة سيبينسكي

هذه إحدى الفركتلات التي جربها ماندلبروت عند تطوير مفاهيم الأبعاد والتكرارات الفركتلية. يتم قطع المثلثات المتكونة من خلال ربط نقاط المنتصف لمثلث أكبر من المثلث الرئيسي، لتشكل مثلثًا كمية كبيرةالثقوب. البادئ في هذه الحالة هو المثلث الكبير والقالب هو عملية قطع المثلثات المشابهة للأكبر. يمكنك أيضًا الحصول على نسخة ثلاثية الأبعاد للمثلث باستخدام رباعي السطوح العادي واستبعاد رباعيات السطوح الصغيرة. البعد لهذا الفراكتل هو ln3/ln2 = 1.584962501. ليحصل سجادة سيربينسكيخذ مربعًا وقسمه إلى تسعة مربعات واقطع المربع الأوسط. سنفعل الشيء نفسه مع المربعات الصغيرة المتبقية. في النهاية، يتم تشكيل شبكة فركتالية مسطحة، ليس لها مساحة ولكن مع اتصالات لا نهائية. في شكلها المكاني، تتحول إسفنجة سيربينسكي إلى نظام من الأشكال الشاملة، حيث يتم استبدال كل عنصر من البداية إلى النهاية بنوعه الخاص باستمرار. هذا الهيكل مشابه جدًا للقطع أنسجة العظام. يومًا ما ستصبح هذه الهياكل المتكررة عنصرًا في هياكل البناء. ويعتقد ماندلبروت أن إحصائياتها وديناميكياتها تستحق دراسة وثيقة.

منحنى كوخ

يعد منحنى كوخ واحدًا من أكثر الفركتلات الحتمية شيوعًا. تم اختراعه في القرن التاسع عشر على يد عالم رياضيات ألماني يُدعى هيلج فون كوخ، والذي صادف، أثناء دراسته لأعمال جورج كونتور وكارل فايرستراس، أوصافًا لبعض المنحنيات الغريبة ذات السلوك غير المعتاد. البادئ هو خط مستقيم. المولد عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع، تساوي أضلاعه ثلث طول القطعة الأكبر. تتم إضافة هذه المثلثات إلى منتصف كل قطعة مرارًا وتكرارًا. في بحثه، أجرى ماندلبروت تجارب مكثفة على منحنيات كوخ، وأنتج أشكالًا مثل جزر كوخ، وصلبان كوخ، ورقاقات ثلج كوخ، وحتى تمثيلات ثلاثية الأبعاد لمنحنى كوخ باستخدام رباعي السطوح وإضافة رباعيات أصغر إلى كل وجه من وجوهه. منحنى كوخ له البعد ln4/ln3 = 1.261859507.

ماندلبروت كسورية

هذه ليست مجموعة ماندلبروت، التي تراها كثيرًا. تعتمد مجموعة ماندلبروت على معادلات غير خطية وهي كسورية معقدة. وهذا أيضًا أحد أشكال منحنى كوخ، على الرغم من أن هذا الكائن ليس مشابهًا له. يختلف البادئ والمولد أيضًا عن تلك المستخدمة لإنشاء الفركتلات بناءً على مبدأ منحنى كوخ، لكن الفكرة تظل كما هي. بدلاً من ضم المثلثات متساوية الأضلاع إلى قطعة منحنى، يتم ربط المربعات بمربع. ونظرًا لحقيقة أن هذا الفراكتل يشغل نصف المساحة المخصصة بالضبط في كل تكرار، فإنه يحتوي على بُعد فركتلي بسيط قدره 3/2 = 1.5.

فركتلات معقدة

في الواقع، إذا قمت بتكبير مساحة صغيرة من أي كسورية معقدة ثم فعلت الشيء نفسه مع مساحة صغيرة من تلك المنطقة، فإن التكبيرين سيكونان مختلفين بشكل كبير عن بعضهما البعض. ستكون الصورتان متشابهتين جدًا في التفاصيل، لكنهما لن تكونا متطابقتين تمامًا.

الشكل 1. مجموعة ماندلبروت التقريبية

قارن، على سبيل المثال، صور مجموعة ماندلبروت المعروضة هنا، والتي تم الحصول على إحداها عن طريق تكبير مساحة معينة من الأخرى. كما ترون، فهي غير متطابقة تماما، على الرغم من أننا نرى دائرة سوداء، والتي تمتد منها مخالب المشتعلة في اتجاهات مختلفة. تتكرر هذه العناصر إلى أجل غير مسمى في مجموعة ماندلبروت بنسب متناقصة.

الفركتلات الحتمية خطية، في حين أن الفركتلات المعقدة ليست كذلك. ولكونها غير خطية، يتم إنشاء هذه الفركتلات بواسطة ما أسماه ماندلبروت المعادلات الجبرية غير الخطية. مثال جيدهي العملية Zn+1=ZnІ + C، وهي المعادلة المستخدمة لبناء مجموعة ماندلبروت وجوليا من الدرجة الثانية. يتضمن حل هذه المعادلات الرياضية أرقامًا معقدة وتخيلية. عندما يتم تفسير المعادلة بيانيا في المستوى المركب، تكون النتيجة شكلا غريبا تتحول فيه الخطوط المستقيمة إلى منحنيات وتظهر تأثيرات التشابه الذاتي، وإن لم تكن خالية من التشوهات، على مستويات مقياس مختلفة. وفي الوقت نفسه، فإن الصورة بأكملها غير متوقعة وفوضوية للغاية.

كما ترون من خلال النظر إلى الصور، فإن الفركتلات المعقدة هي بالفعل معقدة للغاية ولا يمكن إنشاؤها دون مساعدة الكمبيوتر. للحصول على نتائج ملونة، يجب أن يحتوي هذا الكمبيوتر على معالج رياضي قوي وشاشة دقة عالية. على عكس الفركتلات الحتمية، لا يتم حساب الفركتلات المعقدة في 5-10 تكرارات. تقريبًا كل نقطة على شاشة الكمبيوتر تشبه كسورية منفصلة. أثناء المعالجة الرياضية، يتم التعامل مع كل نقطة على أنها رسم منفصل. كل نقطة يتوافق مع قيمة محددة. يتم إنشاء المعادلة لكل نقطة ويتم تنفيذها، على سبيل المثال، 1000 تكرار. للحصول على صورة غير مشوهة نسبياً خلال فترة زمنية مقبولة لأجهزة الكمبيوتر المنزلية، من الممكن إجراء 250 تكراراً لنقطة واحدة.

معظم الفركتلات التي نراها اليوم ملونة بشكل جميل. ربما تكتسب الصور الكسورية أهمية جمالية كبيرة على وجه التحديد بسبب أنظمة الألوان الخاصة بها. وبعد حساب المعادلة، يقوم الكمبيوتر بتحليل النتائج. إذا ظلت النتائج مستقرة، أو تتقلب حول قيمة معينة، فعادةً ما تتحول النقطة إلى اللون الأسود. إذا كانت القيمة في خطوة أو أخرى تتجه إلى اللانهاية، يتم رسم النقطة بلون مختلف، ربما باللون الأزرق أو الأحمر. خلال هذه العملية، يقوم الكمبيوتر بتعيين الألوان لجميع سرعات الحركة.

عادةً ما يتم تلوين النقاط السريعة الحركة باللون الأحمر، بينما يتم تلوين النقاط الأبطأ باللون الأصفر، وهكذا. بقع سوداءوربما الأكثر استقرارا.

تختلف الفركتلات المعقدة عن الفركتلات الحتمية بمعنى أنها معقدة بشكل لا نهائي، ولكن لا يزال من الممكن إنشاؤها بواسطة صيغة بسيطة للغاية. لا تتطلب الفركتلات الحتمية صيغًا أو معادلات. ما عليك سوى أخذ بعض ورق الرسم ويمكنك إنشاء منخل Sierpinski لما يصل إلى 3 أو 4 تكرارات دون أي صعوبة. جرب هذا مع الكثير من جوليا! من الأسهل قياس طول ساحل إنجلترا!

مجموعة ماندلبروت

الشكل 2. مجموعة ماندلبروت

ربما تكون مجموعتا ماندلبروت وجوليا هما الأكثر شيوعًا بين الفركتلات المعقدة. يمكن العثور عليها في العديد من المجلات العلمية وأغلفة الكتب والبطاقات البريدية وشاشات توقف الكمبيوتر. من المحتمل أن تكون مجموعة ماندلبروت، التي أنشأها بينوا ماندلبروت، أول ارتباط يكون لدى الناس عندما يسمعون كلمة كسورية. يتم إنشاء هذا الفراكتل، الذي يشبه آلة تمشيط ذات مناطق دائرية تشبه الأشجار المشتعلة، بواسطة الصيغة البسيطة Zn+1=Zna+C، حيث Z وC أرقام معقدة وa هو رقم موجب.

مجموعة ماندلبروت، والتي يمكن رؤيتها في أغلب الأحيان، هي مجموعة ماندلبروت من الدرجة الثانية، أي أ = 2. حقيقة أن مجموعة ماندلبروت ليست فقط Zn+1=ZnІ+C، بل هي فراكتل، يمكن أن يكون المؤشر في صيغته أي رقم موجب، قد ضللت الكثيرين. في هذه الصفحة ترى مثالاً لمجموعة ماندلبروت معان مختلفةالمؤشر أ.
الشكل 3. ظهور الفقاعات عند a=3.5

العملية Z=Z*tg(Z+C) شائعة أيضًا. ومن خلال تضمين دالة الظل، تكون النتيجة مجموعة ماندلبروت محاطة بمنطقة تشبه التفاحة. عند استخدام وظيفة جيب التمام، يتم الحصول على تأثيرات فقاعة الهواء. باختصار، هناك عدد لا حصر له من الطرق لتكوين مجموعة ماندلبروت لإنتاج صور جميلة مختلفة.

الكثير من جوليا

والمثير للدهشة أن مجموعات جوليا يتم تشكيلها وفقًا لنفس صيغة مجموعة ماندلبروت. تم اختراع مجموعة جوليا من قبل عالم الرياضيات الفرنسي غاستون جوليا، والذي سُميت المجموعة باسمه. السؤال الأول الذي يطرح نفسه بعد التعرف بصريًا على مجموعتي ماندلبروت وجوليا هو "إذا تم إنشاء كلا الفركتلتين وفقًا لنفس الصيغة، فلماذا هما مختلفان إلى هذا الحد؟" أول نظرة على صور مجموعة جوليا. غريب بما فيه الكفاية، لكنها موجودة أنواع مختلفةمجموعات جوليا. عند رسم فركتال باستخدام نقاط بداية مختلفة (لبدء عملية التكرار)، يتم إنشاء صور مختلفة. وهذا ينطبق فقط على مجموعة جوليا.

الشكل 4. مجموعة جوليا

على الرغم من أنه لا يمكن رؤيته في الصورة، إلا أن فراكتل ماندلبروت هو في الواقع العديد من فراكتلات جوليا المرتبطة ببعضها البعض. كل نقطة (أو إحداثية) من مجموعة ماندلبروت تتوافق مع كسورية جوليا. يمكن إنشاء مجموعات جوليا باستخدام هذه النقاط كقيم أولية في المعادلة Z=ZI+C. لكن هذا لا يعني أنه إذا قمت بتحديد نقطة على فركتال ماندلبروت وقمت بتكبيرها، فيمكنك الحصول على فراكتل جوليا. هاتان النقطتان متطابقتان، ولكن بالمعنى الرياضي فقط. إذا أخذت هذه النقطة وقمت بحسابها باستخدام هذه الصيغة، فيمكنك الحصول على كسورية جوليا المقابلة لنقطة معينة من كسورية ماندلبروت.