Sissejuhatus
Täis- või murdarvud, mis määravad kvantsüsteeme (aatomituum, aatom, molekul jne) iseloomustavate füüsikaliste suuruste võimalikud väärtused, dep. elem. osakesed, hüpoteetilised osakesed kvargid ja gluoonid.
Kvantitatiivsed arvud võeti esmakordselt kasutusele füüsikas, et kirjeldada at empiiriliselt leitud seadusi. spektrid, kuid kvantarvude tähendus ja sellega seotud mõnede mikroosakeste käitumist iseloomustavate füüsikaliste suuruste diskreetsus selgus alles kvantmehaanika. Vastavalt kvantmehaanika, füüsika võimalikud väärtused. kogused määravad nad ise. vastavate operaatorite väärtused - pidevad või diskreetsed; viimasel juhul tekivad mingid kvantarvud. (Veidi teistsuguses tähenduses nimetatakse kvantarvudeks vahel suurusi, mis liikumisprotsessi käigus säilivad, kuid ei pruugi kuuluda võimalike väärtuste diskreetsesse spektrisse, näiteks impulss või vabalt liikuva osakese energiat.)
magnetiline kvantkiirgus
Kvantarvud
Kvantelektrodünaamika
Kvantarvud on energiaparameetrid, mis määravad elektroni oleku ja tüübi aatomi orbitaal, millel see asub. Kvantarvud on vajalikud iga elektroni oleku kirjeldamiseks aatomis. Kokku on 4 kvantarvu. Need on: peakvantarv – n, orbitaalkvantarv – l, magnetkvantarv – ml ja spinnide kvantarv – ms. Peamine kvantarv on n.
Peamine kvantarv – n – määrab elektroni energiataseme, kauguse energia tase tuumast ja elektronpilve suurusest. Peamine kvantarv aktsepteerib mis tahes täisarvu arvväärtusi, alates n=1 (n=1,2,3,...) ja vastab perioodi numbrile.
Orbitaalkvantarv - l. Orbitaalkvantarv – l – määrab aatomorbitaali geomeetrilise kuju. Orbitaalkvantarv omandab mis tahes täisarvu väärtused alates l=0 (l=0,1,2,3,…n-1). Olenemata energiataseme numbrist vastab iga orbitaalkvantarvu väärtus erikujulise orbitaalile. Selliste orbitaalide "komplekt" koos samad väärtused Peamist kvantarvu nimetatakse energiatasemeks. Iga orbitaalkvantarvu väärtus vastab erikujulise orbitaalile. Orbitaalkvantarvu väärtus l=0 vastab s-orbitaalile (1-in tüüpi). Orbitaalkvantarvu väärtus l=1 vastab p-orbitaalidele (3 tüüpi). Orbitaalkvantarvu väärtus l=2 vastab d-orbitaalidele (5 tüüpi). Orbitaalkvantarvu väärtus l=3 vastab f-orbitaalidele (7 tüüpi).
Tabel 1
f orbitaalidel on veelgi keerulisem kuju. Iga orbitaali tüüp on ruumi maht, milles elektroni leidmise tõenäosus on maksimaalne.
Magnetiline kvantarv - ml.
Magnetkvantarv - ml - määrab orbitaali orientatsiooni ruumis välise magnetilise või elektriväli. Magnetkvantarv võtab suvalise täisarvu vahemikus -l kuni +l, sealhulgas 0. See tähendab, et iga orbiidi kuju jaoks on orbitaalruumis 2l+1 energeetiliselt ekvivalentset orientatsiooni.
s orbitaali jaoks:
l=0, m=0 - üks ekvivalentne orientatsioon ruumis (üks orbitaal).
p-orbitaali jaoks:
l=1, m=-1,0,+1 - kolm ekvivalentset orientatsiooni ruumis (kolm orbitaali).
D-orbitaali jaoks:
l=2, m=-2,-1,0,1,2 - viis ekvivalentset orientatsiooni ruumis (viis orbitaali).
Orbitaali jaoks:
l=3, m=-3,-2,-1,0,1,2,3 - seitse ekvivalentset orientatsiooni ruumis (seitse orbitaali).
Pöörlemiskvantarv – ms.
Spinni kvantarv – ms – määrab magnetmomendi, mis tekib elektroni pöörlemisel ümber oma telje. Pöörlemiskvantarvul võib olla ainult kaks võimalikku väärtust: +1/2 ja -1/2. Need vastavad elektroni enda magnetmomendi kahele võimalikule ja vastupidisele suunale - spinnidele.
Kvantelektrodünaamika
(QED), interakteeruvate elektron-magnetväljade ja laetud osakeste kvantteooria. QED-d nimetatakse sageli selleks kvanti osaks. väljateooria, mis käsitleb elektron-magnetvälja ja elektron-positronvälja vastastikmõju. Elektronmagnetväli näib sellises teoorias gabariidiväljana. Selle välja kvantiks on footon – osake, mille puhkemass on null ja spinn 1 ning kahe elemendi vastastikmõju on nendevahelise virtuaalsete footonite vahetuse tulemus. Interaktsiooni intensiivsust iseloomustav mõõtmeteta konstant on konstant peen struktuur a=e2/ћc»I/137 (täpsemalt a-1=137.035987(29)). A väikese väärtuse tõttu on QED-s peamine arvutusmeetod häiritusteooria, visuaal graafiline pilt mida annavad Feynmani diagrammid.
QED õigsust on kinnitanud tohutu hulk katseid kogu saadaoleva kauguste (energiate) vahemikus, alates kosmilisest - 1020 cm ja kuni osakesesisese - 10-16 cm. QED kirjeldab selliseid protsesse nagu soojuskiirgus. kehad, Comptoni efekt, bremsstrahlung jne. Siiski on QED jaoks kõige iseloomulikumad protsessid, mis on seotud vaakumpolarisatsiooniga.
QED esimene täheldatud mõju on lambaliha muutus anergiatasemes. Rekorditäpsusega arvutatakse nn. ebanormaalne magnetiline e-hetk. Magn. moment on suurus, mis määrab puhkeolekus oleva osakese vastasmõju välisega mag. valdkonnas. Kvantidest Diraci elektroni teooria järgib, et elektronil peab olema Bohri magnetoniga võrdne magnetmoment: mB = eћ/2mc (kus m on elektroni mass). QED-is tõlgendatakse sellise interaktsiooni energia avaldises esinevaid parandusi loomulikult magnetmomendi "vaakum" lisandite ilmnemise tulemusena. Neid lisandeid, mida esmakordselt uuris teoreetiliselt Ameerika füüsik Yu. Schwinger, nimetatakse anomaalseks magnetmomendiks.
Elektroni magnetmomendi m arvutuslik väärtus
teoor=mB (1+a/2p-0,328478(a/p)2+1,184175(a/p)3=1,00115965236(28) mB
on suurepäraselt kooskõlas eksperimentaalse väärtusega: meexp=1.00115965241(21)mB
QED-i iseloomulik mõju on valguse hajumine valguse poolt. IN klassikaline elektrodünaamika see efekt puudub: elektromagnetlaineid peetakse selles mitteinterakteeruvateks. QED-s saab efekt võimalikuks elektron-positroni vaakumi kõikumiste mõjul.
Algolekus on kaks footoni ( lainelised jooned); üks neist kaob punktis 1, tekitades virtuaalse elektron-positroni paari (pidevad jooned); teine footon punktis 2 neeldub ühes selle paari osakestest (ülaloleval diagrammil positron). Siis tekivad lõplikud footonid: üks sünnib punktis 4 virtuaalse elektroni poolt, teine tekib virtuaalse elektron-positroni paari annihilatsiooni tulemusena punktis 3. Tänu virtuaalsetele elektron-positroni paaridele tekib footonite omavaheline interaktsioon, s.t. superpositsiooni põhimõte elektromagnetlained on rikutud. See peaks väljenduma sellistes protsessides nagu valguse hajumine valguse poolt. Eksperimentaalselt on täheldatud, et neid on mitu suure tõenäosusega footonite hajumise protsess raske tuuma välise elektrostaatilise välja, s.o virtuaalsete footonite poolt (Delbrücki hajumine). Perturbatsioonimeetodil arvutatud “kõrgemad” (kiirgus) korrektsioonid ilmnevad ka laetud osakeste hajumise protsessides ja mõnes muus nähtuses.
Teine teooria ennustatud vaakumefektide klass on osakeste-antiosakeste sünd väga tugevates (nii staatilises kui ka muutuvas) elektromagnetilises ja gravitatsioonilises väljas. Viimaseid käsitletakse eelkõige seoses kosmoloogiliste probleemidega, mis on seotud varajased faasid Universumi evolutsioon (paaride sünd mustade aukude gravitatsiooniväljas).
See protsess on näide leptonite ja hadronite füüsika tihedast põimumisest. Seda tüüpi protsesside analüüsimise tähtsus on eriti suurenenud pärast elektron-positronkiirte põrkuvate katsete tulekut.
(QFT), relativistlik kvant. füüsika teooria lõpmatu arvu vabadusastmetega süsteemid. Sellise süsteemi näide on elektromagnetväli täielik kirjeldus mis nõuab igal ajahetkel elektri- ja magnetvälja tugevuste seadmist protsessi igas punktis ehk lõpmatu hulga suuruste seadmist. Seevastu osakese asukoht igal ajahetkel määratakse selle kolme koordinaadi määramisega.
Seni oleme käsitlenud vabasid mitteinterakteeruvaid osakesi, mille arv jäi muutumatuks; nagu seoseid (6) kasutades on lihtne näidata, kommuteerib osakeste arvu operaator N^(n)=a+na-n energiaoperaatoriga?^=S?(p)N^(p), seega osakeste arv peab olema konstantne, t See tähendab, et täiendavate osakeste ilmumise protsessid, nende kadumine ja vastastikused muundumised puudusid. Nende protsesside arvessevõtmine eeldab osakeste koostoime kaasamist.
Interaktsioon CTP-s.
Klassikalises elektrodünaamikas toimub laetud osakeste vaheline interaktsioon välja kaudu: laeng loob välja, mis toimib teistele laengutele. Kvantteoorias interaktsioon elektro magnetväli ja laetud osake näeb välja nagu footonite osade emissioon ja neeldumine ning laetud osakeste vaheline interaktsioon on nende footonite vahetuse tulemus: iga elektron kiirgab footoneid (interaktsiooni kandva elektromagnetvälja kvante), mis siis neelavad teised elektronid. Sarnane pilt interaktsioonist tekib elektrodünaamika eriomaduse tõttu, s.t. n. mõõdiku sümmeetria. Sarnane interaktsioonimehhanism leiab üha enam kinnitust ka teiste füüsikateaduste puhul. väljad. Vaba osake ei saa aga kvanti emiteerida ega neelata. Näiteks süsteemis, kus osake on puhkeolekus, nõuab kvantkiirgus energiakulu ja osakese massi vähenemist (energia ja massi samaväärsuse tõttu), mis on võimatu. Selle paradoksi lahendamiseks peame arvestama, et kõnealused osakesed on kvant. objektid, mille seos D?Dt?ћ on oluliselt ebakindel, võimaldades osakese energia muutumist väärtuse D? ja sellest tulenevalt nullkvantide emissioon või neeldumine, eeldusel, et need kvantid eksisteerivad ajavahemikus Dt?ћ/D?. (Sarnase arutluskäigu ja lähimaa tuumajõudude fakti põhjal ennustas Jaapani füüsik H. Yukawa osakese olemasolu – tuumamõju kandja massiga ligikaudu 200-300 elektronmassi, mis hiljem avastati eksperimentaalselt ja mida nimetatakse p-mesoniks.) generaatorid ja võimendid elektromagnetlained, mis põhinevad sunnitud (indutseeritud) kiirguse nähtusel. Mikrolaineahju kvantgeneraatori tööpõhimõte, mida nimetatakse maseriks (lühend Ingliskeelsed sõnad Charles Townes pakkus 1954. aastal välja mikrolainevõimenduse stimuleeritud kiirguse abil, mis tähendab "stimuleeritud kiirgusest tingitud mikrolainevõimendust". (Sama põhimõte on aluseks optilistel kvantvõimenditel ja lasergeneraatoritel.) Kuna kiirguse sagedus kvantgeneraatori väljundis on määratud aatomite või molekulide rangelt fikseeritud, diskreetsete energiatasemetega aktiivne sööde, mida sellises generaatoris kasutatakse, on sellel täpselt määratletud ja konstantne väärtus.
Spontaanne ja stimuleeritud emissioon.
Energia elektromagnetiline kiirgus vabaneb või neeldub eraldi "osade" kujul, mida nimetatakse kvantideks või footoniteks, ja ühe kvanti energia on võrdne hn-ga, kus h on Plancki konstant ja n on kiirguse sagedus. Kui aatom neelab energiakvanti, liigub see kõrgemale energiatasemele, s.t. üks selle elektronidest hüppab tuumast kaugemal asuvale orbiidile. On tavaks öelda, et aatom läheb sel juhul ergastatud olekusse. Ergastatud olekus sattunud aatom võib oma salvestatud energiat vabastada erineval viisil. Üks võimalik viis- kiirgavad spontaanselt sama sagedusega kvanti, misjärel see naaseb algsesse olekusse.
See on spontaanse kiirguse (emissiooni) protsess, mis on skemaatiliselt kujutatud joonisel fig. 3 Sees kõrged sagedused, st. Nähtavale valgusele vastavate lühikeste lainepikkuste korral toimub spontaanne emissioon väga kiiresti.
Ergastatud aatom, mis on absorbeerinud nähtava valguse footoni, kaotab tavaliselt omandatud energia spontaanse emissiooni kaudu vähem kui ühe miljondiku sekundiga.
Spontaanse emissiooni protsess madalamatel sagedustel viibib.
Lisaks võib aatom minna mingisse vahepealsesse olekusse, kaotades vaid osa oma energiast tema poolt kiiratava madalama energiaga footoni näol.
Vesinikuaatomil on ainult üks elektron ja selle emissioonispekter on suhteliselt lihtne. Teiste elementide aatomite emissioonispektrites on joonte arv suurem. Juba enne Bohri mudeli tulekut õppisid füüsikud eristama tihedalt asetsevaid jooni sellistes spektrites, mis erinevad välimus. Mõnda neist (väga kitsast) nimetatakse "teravaks" (inglise keelest sharp). Eredamaid jooni nimetati "peamiseks" (inglise keelest). Täheldati laiemaid jooni - neid nimetati "häguseks" (hajutatud). Teist tüüpi liini nimetatakse "fundamentaalseks" (inglise keelest basic). Esimeste tähtede järgi Ingliskeelsed nimed rääkis s-, p-, d- ja f-joonte olemasolust emissioonispektris. Seoses Bohri mudeliga tähendab see, et vesinikust keerukamate aatomite spektrites võivad püsivad elektroonilised tasemed koosneda mitmest tihedalt asetsevast alamtasemest:
S-alamtase on saanud nime "terava" joone järgi,
P-alamtase on nimetatud rea "peamine" järgi,
D-alamtase on oma nime saanud rea “hajutatud”, “hajutatud” järgi, f-alamtase on nimetatud rea “fundamental” järgi.
Tasandite kompleksne paigutus on näidatud joonisel 4, mille esitame siin uuesti:
Aatomite elektroonilised alamtasemed on keerulisemad kui vesinik. Alamtasandite olemasolu selgitab spektrites "teravate", "põhimõtteliste" ja "hajutatud" joonte päritolu. Rohkem kõrgel tasemel pole joonisel näidatud.
Spektreid kasutades selgus, et esimene tase (n = 1) ei sisalda alamtasemeid peale s. Teine tase koosneb kahest alamtasandist (s ja p), 3. tase - kolmest alamtasandist (s, p ja d) jne. Nagu näeme, on alamtasandid tähistatud spektrite vastavate joonte ingliskeelsete nimede esitähtedega. Seejärel hakati kõrgemaid alamtasemeid tähistama lihtsalt ladina tähestikku jätkates: g-alamtase, h-alamtase jne.
Joonisel 5 on kujutatud liitiumiaatomi elektronide mõningate energiaüleminekute diagramm, mis on saadud selle metalli kuumade aurude emissioonispektrist.
Liitiumi aatomi osa energiatasemete ja alamtasemete diagramm. Tase 1s on palju madalam kui tase 2s ja ei mahu pildi skaalasse (joonis J. Campbelli raamatust “Modern General Chemistry”, M.: Mir, 1975, kd 1, lk 109).
Võib märkida, et joonisel 5 on mõned alamtasandid kujutatud mitmest võrdse energiaga "riiulist" koosnevana. Näiteks p-alatasemed koosnevad kolmest võrdse energia osast, d-alamtasemed - viiest, f-alatasandid - seitsmest. Kuidas sa seda teadsid? Veel 1896. aastal asetas Saksa füüsik P. Zeeman vesiniklambiga sarnase, kuid kuuma naatriumi auruga täidetud seadme tugevasse magnetvälja. Avastati, et magnetväljas suureneb joonte arv emissioonispektris (Zeemani efekt). Sarnast nähtust täheldatakse ka tugevas elektriväljas. Kuni elektronidele mõjuvad ainult tuuma sisemised jõud, võivad osad neist olla sama energiaga olekus. Kuid kui ilmub täiendav väline väli, ei saa see energia enam samaks jääda. Zeemani spektrite analüüs viis palju hiljem teoreetilise füüsiku Wolfgang Pauli mõttele, et ühele energia "riiulile" ei mahu rohkem kui kaks elektroni. Ja vastu panna võimsad jõud tõrjumine, peavad sellistel elektronidel olema erinevad spinnid (naaseme selle omaduse juurde veidi hiljem). Selgub, et aatomil ei saa olla samas olekus kahte elektroni. Seda järeldust tuntakse Pauli printsiibi (või välistamise) nime all.
Füüsikalised katsed võimaldavad määrata tasemete ja alamtasandite elektronpopulatsiooni. Selleks on vaja mõõta aatomite ionisatsioonienergiat, s.o. sellest elektronide eemaldamise energia. Esmalt mõõtke energiat, mis on vajalik esimese elektroni eemaldamiseks aatomist, seejärel 2., 3. jne. Selgus, et kõigil aatomitel on elektronid, mille ionisatsioonienergiad on lähedased. Näiteks argooni jaoks (selle elektronkihis on 18 elektroni) leitakse viis sarnast ionisatsioonienergiaga rühma. Neil on 2, 2, 6, 2 ja 6 elektroni. Kuid aatomi 5 madalaimat energiataset vastavad 1s, 2s, 2p, 3s ja 3p alamtasemetele (see on teada emissioonispektritest). Sel juhul peaks s-alamtase koosnema ainult ühest orbitaalist (selles on 2 elektroni), p-alatasand peaks koosnema kolmest orbitaalist (elektrone on 6 – iga orbitaali kohta kaks). Saab näidata, et d-alamtase tavatingimustes (ilma välisväljata) koosneb viiest sama energiaga orbitaalist ja f-alatasand seitsmest.
Bohri mudelit täiustati järk-järgult. Teadlasi köitis see, sest sellega sai teha päris palju täpsed arvutused. Näiteks oli võimalik arvutada vesinikuaatomi energiat põhi- ja ergastatud olekus, määrata selle raadius, arvutada ionisatsioonienergiat jne. Nendel eesmärkidel varustati mudel paljude uurijate jaoks selge ja arusaadava matemaatilise aparaadiga, mille töötasid välja peamiselt N. Bohr ise ja tema järgija A. Sommerfeld. Arvutuste läbiviimiseks oli vaja kirjeldada elektroni olekut aatomis, s.o. näidata selle täpne “aadress” elektronkihis (täpsemalt elektronkihi mudelis) nn kvantarvude abil. Me juba teame, et iga elektron eksisteerib mingil tasemel (1, 2, 3 jne). Seda taset tähistab arv n, mida nimetatakse peamiseks kvantarvuks. On selge, et arv n võib võtta ainult täisarvulisi väärtusi.
Kuna tasemetele oli juba määratud peamine kvantarv n, võeti alamtasandite jaoks kasutusele abikvantarv l. Kui peamine kvantarv n on taseme "aadress", siis arv l on alamtaseme "aadress":
l = 0 on s-alamtase, l = 1 on p-alamtase, l = 2 on d-alamtase, l = 3 on f-alatase.
Peaasi . See määrab elektroni energia vesinikuaatomis ja üheelektronilistes süsteemides (He +, Li 2+ jne). Sel juhul elektroni energiaOrbitaalkvantarv l iseloomustab orbitaalide kuju ja võtab väärtused 0 kuni n– 1. Välja arvatud numbriline l on kirjatähistused
Sama väärtusega elektronid l moodustavad alamtasandi.
Kvantarv l määrab elektroni orbiidi nurkimpulsi kvantimise tuuma sfääriliselt sümmeetrilises Coulombi väljas.
Kvantarv m l helistas magnetiline . See määrab aatomiorbitaali ruumilise asukoha ja võtab täisarvu väärtused l kuni + l läbi nulli, see tähendab 2 l+ 1 väärtused. Orbitaali asukohta iseloomustab orbitaali nurkimpulsi vektori projektsiooni väärtus Mz mis tahes koordinaatteljele (tavaliselt z):
|
Kõik ülaltoodud saab esitada tabelis:
|
||||||||||||||||||
Tabel 2.1. Orbitaalide arv energia alamtasanditel. |
Sama alamtaseme orbitaalid ( l= const) on sama energiaga. Seda tingimust nimetatakse energias degenereerunud. Niisiis lk-orbitaal - kolm korda, d- viis korda ja f– seitsmekordne degenereerunud.
Piirdepinnad s-, lk-, d-, f- orbitaalid on näidatud joonisel fig. 2.1.
s - Orbitaalid sfääriliselt sümmeetriline mis tahes n ja erinevad üksteisest ainult sfääri suuruse poolest. Nende maksimaalselt sümmeetriline kuju on tingitud sellest, et millal l= 0 ja μ l = 0.
lk - Orbitaalid olemas millal n≥ 2 ja l= 1, seega on ruumis orienteerumiseks kolm võimalust: m l= –1, 0, +1. Kõikidel p-orbitaalidel on sõlmtasapind, mis jagab orbitaali kaheks piirkonnaks, seega on piirpinnad hantlite kujuga, mis on ruumis üksteise suhtes 90° nurga all orienteeritud. Nende jaoks on sümmeetriateljed koordinaatteljed, mis on määratud p x, p y, p z.
d - Orbitaalid määratud kvantarvuga l = 2 (n≥ 3), mille juures m l= –2, –1, 0, +1, +2, see tähendab, et neid iseloomustab viis ruumis orienteerumisvõimalust. d- Märgitakse piki koordinaattelgede labadega orienteeritud orbitaalid d z² ja d x ²– y² ja labad, mis on orienteeritud piki koordinaatnurkade poolitajaid - dxy, d yz, dxz.
Seitse f-orbitaalid, vastav l = 3 (n≥ 4), on kujutatud piirpindade kujul, mis on näidatud joonisel fig. 2.1.
Kvantarvud n, l Ja m l ei iseloomusta täielikult elektroni olekut aatomis. Eksperimentaalselt on kindlaks tehtud, et elektronil on veel üks omadus – spin. Lihtsustatult võib spinni kujutada kui elektroni pöörlemist ümber oma telje. Pöörlemise kvantarv Prl sellel on ainult kaks tähendust Prl= ±1/2, mis kujutab elektroni nurkimpulsi kahte projektsiooni valitud teljele. Elektronid erinevate Prl on näidatud üles ja alla suunatud nooltega.
IN mitmeelektronilised aatomid, nagu vesinikuaatomi puhul, määravad elektroni oleku sama nelja kvantarvu väärtused, kuid sel juhul ei asu elektron mitte ainult tuuma, vaid ka teiste elektronide väljas . Seetõttu määrab energia mitmeelektronilistes aatomites mitte ainult põhi-, vaid ka orbitaalkvantarvuga või õigemini nende summaga: aatomiorbitaalide energia suureneb summa suurenedes. n + l; kui kogus on sama, täidetakse kõigepealt väiksemaga tase n ja suur l. Aatomiorbitaalide energia suureneb vastavalt seeriale
1s s p s p s ≈ 3 d ps ≈ 4 d ps ≈ 4 f ≈ 5d ps ≈ 5 f ≈ 6d lk. |
Niisiis, neli kvantarvu kirjeldavad elektroni olekut aatomis ja iseloomustavad elektroni energiat, selle spinni, elektronipilve kuju ja orientatsiooni ruumis. Aatomi üleminekul ühest olekust teise toimub elektronpilve ümberstruktureerimine, st kvantarvude väärtused muutuvad, millega kaasneb energiakvantide neeldumine või emissioon aatomi poolt.
Esimene kvantarv n nimetatakse peamiseks kvantarvuks, see võib võtta täisarvu väärtused 1-st lõpmatuseni. Vesinikuaatomis iseloomustab see arv elektroni energiat (aatomiühikutes):
E(n) = -ZR/(2∙n 2),
kus Z on tuumalaeng, R=109678,76 cm -1 on Rydbergi konstant.
Teine kvantarv l nimetatakse orbiidi numbriks. Arvestades n teatud väärtust, võib see võtta täisarvu väärtused 0 kuni (n-1). Number l määrab aatomis oleva elektroni orbiidi nurkimpulsi ühe võimaliku väärtuse. Number l määrab orbitaali kuju. Iga väärtus l sobitage tähega (spektroskoopilised tähised):
Elektroni (või orbitaali) oleku tähistamisel kirjutatakse peamine kvantarv orbitaalkvantarvu sümboli ette valemi kujul: nl. Näiteks:
4s n=4 ja l=0, st. elektronpilv on sfäärilise kujuga;
2lk tähendab elektroni, millel on n=2i l=1 (elektronipilv on hantli kujuline) jne.
Kolmas kvantarv m l iseloomustab orbitaalide ruumilist paigutust . Seda nimetatakse magnetiks kvantarv ja määrab orbiidi nurkimpulsi projektsiooni suuruse valitud suunas (tavaliselt z-teljel). m l võtab täisarvu väärtused alates – l kuni + l. Number erinevad tähendused m l teatud väärtuses l võrdub N=(2 l+1).
Elektroni s-olekule vastab üks orbitaal
Elektroni p-olekule vastab kolm orbitaali
Elektroni d-olekule vastab viis orbitaali
Elektroni f-olek vastab seitsmele orbitaalile
Seega iseloomustab orbitaali teatud hulk kolmest kvantarvust: n, l, m.
Antud energiataseme orbitaalide koguarv on N = n 2.
Elektroni omadusi uurides tekkis vajadus võtta kasutusele neljas kvantarv, mida nimetati spin-kvantarvuks Prl .
Elektroni spin iseloomustab elektroni pöörlemist ümber oma telje. See pöörlemine võib toimuda elektroni orbiidi suhtes päri- või vastupäeva. Olenevalt sellest Prl võib võtta ühe kahest väärtusest:
Elektroni spin iseloomustab elektroni enda pöörlemismomenti. Vesinikuaatomis liidetakse elektroni spinni nurkimpulss elektroni orbiidi nurkimpulssile.
Pauli välistamisprintsiibi järgi (Šveitsi füüsik, 1925):aatomi kahel elektronil ei saa olla samu nelja kvantarvu komplekti. See tähendab, et kui aatomi kahel elektronil on samad väärtused n, l Ja m l, siis peab neil olema erinevad tähendused Prl. Nende seljad peaksid olema suunatud erinevatesse suundadesse. Iga orbitaal võib sisaldada maksimaalselt 2 vastassuunaliste spinnidega elektroni.
Pauli seaduse järeldus: elektronide maksimaalne arv ühel tasemel on võrdne peakvantarvu kahekordse ruuduga
Antud alamkihi orbitaalide täitmise järjekord järgib Hundi reegel: Antud alamkihi elektronide koguarv peaks olema maksimaalne.
Teisisõnu, antud alamkihi orbitaalid täidetakse esmalt ühe elektroniga, seejärel teise elektroniga. Samal orbitaalil olevad vastassuunaliste spinnidega elektronid moodustavad kaheelektronilise pilve ja nende koguspinn on null.
Kvantarvud on energiaparameetrid, mis määravad elektroni oleku ja selle aatomiorbitaali tüübi, millel see asub. Kvantarvud on vajalikud iga elektroni oleku kirjeldamiseks aatomis. Kokku on 4 kvantarvu. See on: peamine kvantarv -n, l, magnetiline kvantarv -mlja spin-kvantarv - ms.
Peamine kvantarv onn.
Peamine kvantarv - n - määrab elektroni energiataseme, energiataseme kauguse tuumast ja elektronipilve suuruse. Peamine kvantarv võib võtta mis tahes täisarvu, alatesn=1 (n=1,2,3,...) ja vastab perioodi numbrile.
Orbiidi kvantarv -l.
Orbiidi kvantarv -l- määrab aatomiorbitaali geomeetrilise kuju. Orbiidi kvantarv võib võtta mis tahes täisarvu, alatesl=0 (l=0,1,2,3,… n-1). Olenemata energiataseme numbrist vastab iga orbitaalkvantarvu väärtus erikujulise orbitaalile. Selliste orbitaalide komplekti, millel on põhikvantarvu identsed väärtused, nimetatakse energiatasemeks. Iga orbitaalkvantarvu väärtus vastab erikujulise orbitaalile. Orbitaalkvantarvu väärtusl=0 vastabs-orbitaalne (1-in tüüpi). Orbitaalkvantarvu väärtusl=1 vastablk-orbitaalid (3 tüüpi). Orbitaalkvantarvu väärtusl=2 vastavadd-orbitaalid (5 tüüpi). Orbitaalkvantarvu väärtusl=3 vastavadf-orbitaalid (7 tüüpi).
f orbitaalidel on veelgi keerulisem kuju. Iga orbitaali tüüp on ruumi maht, milles elektroni leidmise tõenäosus on maksimaalne.
Magnetiline kvantarv - ml.
Magnetkvantarv – ml – määrab orbitaali orientatsiooni ruumis välise magnet- või elektrivälja suhtes. Magnetkvantarv võtab suvalise täisarvu vahemikus -l kuni +l, sealhulgas 0. See tähendab, et iga orbitaalikuju jaoks on ruumis 2l+1 energeetiliselt ekvivalentset orientatsiooni – orbitaali.
s orbitaali jaoks:
l=0, m=0 - üks ekvivalentne orientatsioon ruumis (üks orbitaal).
p-orbitaali jaoks:
l=1, m=-1,0,+1 - kolm ekvivalentset orientatsiooni ruumis (kolm orbitaali).
D-orbitaali jaoks:
l=2, m=-2,-1,0,1,2 - viis ekvivalentset orientatsiooni ruumis (viis orbitaali).
Orbitaali jaoks:
l=3, m=-3,-2,-1,0,1,2,3 - seitse ekvivalentset orientatsiooni ruumis (seitse orbitaali).
Pöörlemiskvantarv – ms.
Spinni kvantarv – ms – määrab magnetmomendi, mis tekib elektroni pöörlemisel ümber oma telje. Pöörlemiskvantarvul võib olla ainult kaks võimalikku väärtust: +1/2 ja -1/2. Need vastavad elektroni enda magnetmomendi kahele võimalikule ja vastupidisele suunale - spinnidele. Erinevate spinnidega elektronide tähistamiseks kasutatakse järgmisi sümboleid: 5 Ja 6 .
Elektronkvantarvud
Peamine kvantarv n määrab elektroni koguenergia antud orbitaalil. See võib võtta mis tahes täisarvu, alates ühest (n = 1,2,3, ...). Under peamine kvantarv, võrdub ∞-ga, tähendab see, et elektronile on antud piisavalt energiat selle täielikuks eraldumiseks tuumast (aatomi ionisatsioon).
Lisaks selgub, et teatud energiatasemete piires võivad elektronid oma energia alamtasemete poolest erineda. Antud energiataseme erinevatele alamtasanditele kuuluvate elektronide energiaseisundi erinevusi peegeldab külg (mõnikord nimetatakse seda ka orbitaalseks) kvantarv l. See kvantarv võib võtta täisarvud vahemikus 0 kuni n - 1 (l = 0,1, ..., n - 1). Tavaliselt tähistatakse l arvväärtusi järgmiste tähestikuliste sümbolitega:
Väärtus l 0 1 2 3 4
Kirja tähistus s p d f g
Sel juhul räägime elektronide s -, p-, d -, f -, g - olekutest või s -, p -, d -, f -, g - orbitaalidest.
Orbitaal on elektroni positsioonide kogum aatomis, s.t. ruumi piirkond, kus elektron on kõige tõenäolisemalt leitud.
Külg- (orbitaal)kvantarv l iseloomustab elektronide erinevaid energiaseisundeid antud tasemel, määrab elektronipilve kuju ja ka orbitaalmoment lk- elektroni nurkimpulss, kui see pöörleb ümber tuuma (sellest ka selle kvantarvu teine nimi - orbitaal)
Seega elektron, millel on osakese ja laine omadused, koos kõige tõenäolisemalt liigub ümber tuuma, moodustades elektronpilve, mille kuju on s-, p-, d-, f-, g-olekus erinev.
Rõhutame, et elektronpilve kuju sõltub külgkvantarvu l väärtusest. Seega, kui l = 0 (s-orbitaal), siis elektronpilvel on sfääriline kuju(sfääriline sümmeetria) ja sellel puudub ruumis suund 
Kui l = 1 (p-orbitaal), on elektronpilvel hantli kuju, st. jooniselt kaheksa saadud pöörleva keha kuju 
. D -, f - ja g - elektronide elektronpilvede kuju on palju keerulisem.
Elektroni liikumine suletud orbiidil põhjustab magnetvälja ilmnemise. Elektroni olekut, mis on määratud elektroni orbitaalse magnetmomendiga (selle orbitaalliikumise tulemusena), iseloomustab kolmas kvantarv – magnetiline m 1. See kvantarv iseloomustab orbitaali orientatsiooni ruumis, väljendades orbitaali nurkimpulsi projektsiooni magnetvälja suunale.
Vastavalt orbitaali orientatsioonile välise magnetvälja tugevuse vektori suuna suhtes võib magnetkvantarv m 1 võtta mis tahes positiivsete ja negatiivsete täisarvude väärtused vahemikus –l kuni +l, sealhulgas 0 , st. summaarsed (2l + 1) väärtused.
Seega m 1 iseloomustab orbiidi nurkimpulsi vektori projektsiooni suurust valitud suunas. Näiteks p-orbitaal (“hantel”) magnetväljas võib olla ruumis orienteeritud kolmes erinevas asendis, kuna l = 1 korral võib magnetkvantarvul olla kolm väärtust: -1, 0, +1 . Seetõttu on elektronpilved piki x-, y- ja z-telge piklikud, kusjuures kummagi telg on risti kahe ülejäänud teljega. 
Aatomi kõigi omaduste selgitamiseks esitati 1925. aastal hüpotees, et elektronil on nn spin (alguses arvati selguse huvides, et see nähtus sarnaneb Maa pöörlemisega ümber oma telje). see liigub orbiidil ümber Päikese). Tegelikult on spinn elektroni puhtalt kvantomadus, millel pole klassikalisi analooge. Rangelt võttes on spin elektroni enda nurkimment, mis ei ole seotud ruumis liikumisega. Kõigi elektronide puhul on spinni absoluutväärtus alati s = 1/2. Spinni projektsioonil teljele = (magnetilise tiirlemise arv m s) võib olla ainult kaks väärtust: m s = 1/2 või m s = -1/2.
Kuna elektroni spin s on konstantne suurus, siis seda tavaliselt elektroni liikumist aatomis iseloomustavate kvantarvude hulka ei arvata ja need räägivad neljast kvantarvust.