Üks primitiivse taseme algebra elemente on logaritm. Nimi pärineb kreeka keelest sõnast "arv" või "kraad" ja tähendab, mil määral on vaja numbrit põhjas tõsta, et lõplik arv leida.
Logaritmide tüübid
- log a b on arvu b logaritm aluse a suhtes (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- lg b - kümnendlogaritm (logaritmi alus 10, a = 10);
- ln b - naturaalne logaritm (logaritmi alus e, a = e).
Kuidas logaritme lahendada?
Arvu b logaritm alusele a on eksponent, mis eeldab aluse a tõstmist arvuni b. Tulemust hääldatakse järgmiselt: "b logaritm a baasi". Logaritmiülesannete lahendus on see, et peate määrama etteantud astme arvude järgi määratud arvude järgi. Logaritmi määramiseks või lahendamiseks, samuti tähise enda teisendamiseks on mõned põhireeglid. Nende abil lahendatakse logaritmilisi võrrandeid, leitakse tuletisi, lahendatakse integraale ja tehakse palju muid tehteid. Põhimõtteliselt on logaritmi enda lahendus selle lihtsustatud tähistus. Allpool on toodud peamised valemid ja omadused:
Iga a ; a > 0; a ≠ 1 ja mis tahes x korral; y > 0.
- a log a b = b on logaritmiline põhiidentiteet
- log a 1 = 0
- log a a = 1
- log a (x y ) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, kui k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x \u003d log b x / log b a - uuele alusele ülemineku valem
- log a x = 1/log x a
Kuidas lahendada logaritme - samm-sammult juhised lahendamiseks
- Kõigepealt kirjutage üles vajalik võrrand.
Pange tähele: kui baaslogaritm on 10, siis kirjet lühendatakse, saadakse kümnendlogaritm. Kui on naturaalarv e, siis kirjutame üles, taandades naturaallogaritmile. See tähendab, et kõigi logaritmide tulemus on võimsus, milleni tõstetakse baasarv, et saada arv b.
Otseselt peitub lahendus selle kraadi arvutamises. Enne avaldise lahendamist logaritmiga tuleb seda reegli järgi lihtsustada ehk siis valemeid kasutades. Peamised identiteedid leiate artiklis veidi tagasi minnes.
Kahe erineva arvuga, kuid sama alusega logaritmide liitmisel ja lahutamisel asendage ühe logaritmiga vastavalt arvude b ja c korrutise või jagamisega. Sel juhul saate üleminekuvalemi rakendada teisele alusele (vt ülalt).
Kui kasutate avaldisi logaritmi lihtsustamiseks, tuleb meeles pidada mõningaid piiranguid. Ja see on: logaritmi a alus on ainult positiivne arv, kuid mitte võrdne ühega. Arv b, nagu a, peab olema suurem kui null.
On juhtumeid, kui pärast avaldise lihtsustamist ei saa te logaritmi arvulises vormis arvutada. Juhtub, et sellisel avaldisel pole mõtet, sest paljud kraadid on irratsionaalsed arvud. Selle tingimuse korral jätke arvu aste logaritmiks.
Logaritmide liitmine ja lahutamine
Logaritmide põhiomadused
Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.
Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.
Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: log a x ja logi jah. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:
1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).
Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on jagatise logaritm. Pange tähele: võtmepunkt siin on - samadel alustel. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!
Need valemid aitavad arvutada logaritmilist avaldist isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:
Leidke avaldise väärtus: log 6 4 + palk 6 9.
Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3.
Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5.
Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, seda kontrolli – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:
1. logi a x n = n logi a x;
3. 
On lihtne mõista, et viimane reegel järgib nende kahte esimest. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.
Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. logaritmi endasse saab sisestada arvud enne logaritmi märki. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.
Leidke avaldise väärtus: logi 7 49 6 .
Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Leidke avaldise väärtus:
Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed võimsused: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Meil on:
Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.
Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.
Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.
Logaritmide liitmine ja lahutamine
Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: log a x ja logi a y. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:
- logi a x+logi a y= log a (x · y);
- logi a x−logi a y= log a (x : y).
Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on jagatise logaritm. Pange tähele: võtmepunkt siin on - samadel alustel. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!
Need valemid aitavad teil arvutada logaritmi avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:
log 6 4 + palk 6 9.
Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3.
Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5.
Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, kontroll – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.
Astendaja eemaldamine logaritmist
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:
On lihtne mõista, et viimane reegel järgib nende kahte esimest. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.
Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. logaritmi endasse saab sisestada arvud enne logaritmi märki. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 7 49 6 .
Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:
[Joonise pealkiri]
Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meil on:
[Joonise pealkiri] Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.
Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugejal ja nimetajal on sama arv: log 2 7. Kuna log 2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mis ka tehti. Tulemuseks on vastus: 2.
Üleminek uuele vundamendile
Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui alused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?
Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:
Laske logaritmil logida a x. Siis suvalise numbri jaoks c selline, et c> 0 ja c≠ 1, võrdsus on tõene:
[Joonise pealkiri]
Eelkõige, kui paneme c = x, saame:
[Joonise pealkiri]
Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.
Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada, välja arvatud uuele sihtasutusele kolimine. Vaatleme paari neist:
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 5 16 log 2 25.
Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:
[Joonise pealkiri]Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 9 100 lg 3.
Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:
[Joonise pealkiri]Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:
[Joonise pealkiri]Põhiline logaritmiline identiteet
Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:
Esimesel juhul number n muutub argumendi eksponendiks. Number n võib olla absoluutselt ükskõik, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.
Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks.
Tõepoolest, mis saab siis, kui number b tõsta võimule nii et b sel määral annab numbri a? See on õige: see on sama number a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi - paljud inimesed ripuvad selle küljes.
Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:
[Joonise pealkiri]
Pange tähele, et log 25 64 = log 5 8 - lihtsalt võttis ruudu baasist välja ja logaritmi argumendi. Arvestades sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:
[Joonise pealkiri]Kui keegi pole kursis, siis eksamilt oli see päris ülesanne :)
Logaritmiline ühik ja logaritmiline null
Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida on raske omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsioonist tulenevad tagajärjed. Neid leitakse pidevalt probleemidest ja üllataval kombel tekitavad nad probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.
- logi a a= 1 on logaritmiline ühik. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest alusest ise on võrdne ühega.
- logi a 1 = 0 on logaritmiline null. Alus a võib olla ükskõik, kuid kui argument on üks, on logaritm null! sest a 0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.
See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.
tuletatud selle määratlusest. Ja nii ka arvu logaritm b põhjusega a defineeritud kui astendaja, milleni arv tuleb tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).
Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x=log a b, on võrdne võrrandi lahendamisega kirves=b. Näiteks, log 2 8 = 3 sest 8 = 2 3 . Logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhjusega a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmi teema on tihedalt seotud arvu astme teemaga.
Logaritmidega, nagu kõigi arvudega, saate sooritada liitmise, lahutamise tehted ja muuta igal võimalikul viisil. Kuid arvestades asjaolu, et logaritmid pole päris tavalised arvud, kehtivad siin omad erireeglid, mida nimetatakse põhiomadused.
Logaritmide liitmine ja lahutamine.
Võtke kaks logaritmi sama alusega: logi x ja logi a y. Pärast eemaldamist saate teha liitmise ja lahutamise toiminguid:
log a x+ log a y= log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi x 1 + logi x 2 + logi x 3 + ... + logi a x k.
Alates jagatislogaritmi teoreemid võib saada veel ühe logaritmi omaduse. On hästi teada, et logi a 1 = 0, seega
logi a 1 /b= log a 1 - palk a b= -log a b.
Seega on võrdsus:
log a 1 / b = - log a b.
Kahe vastastikku pöördarvu logaritmid samal alusel erinevad üksteisest ainult märgi poolest. Niisiis:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Mis on logaritm?
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
Mis on logaritm? Kuidas logaritme lahendada? Need küsimused ajavad paljud koolilõpetajad segadusse. Traditsiooniliselt peetakse logaritmide teemat keeruliseks, arusaamatuks ja hirmutavaks. Eriti - võrrandid logaritmidega.
See pole absoluutselt tõsi. Absoluutselt! Ei usu? Hea. Nüüd umbes 10–20 minutit:
1. Saage aru mis on logaritm.
2. Õppige lahendama tervet klassi eksponentsiaalvõrrandeid. Isegi kui te pole neist kuulnud.
3. Õppige arvutama lihtsaid logaritme.
Veelgi enam, selleks peate teadma ainult korrutustabelit ja seda, kuidas arv astmeks tõstetakse ...
Ma tunnen, et kahtled... Noh, hoia aega! Mine!
Esmalt lahendage oma mõtetes järgmine võrrand:
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.