Bakalyar Maria
Uuritakse neljamõõtmelise kuubi (tesserakti) mõiste tutvustamise meetodeid, selle struktuuri ja mõningaid omadusi Küsimus, millised ruumilised objektid saadakse, kui neljamõõtmelist kuupi lõikuvad selle kolmemõõtmeliste tahkudega paralleelsed hüpertasandid , samuti käsitletakse selle põhidiagonaaliga risti olevaid hüpertasandeid. Vaadeldakse uurimistöös kasutatavat mitmemõõtmelise analüütilise geomeetria aparatuuri.
Lae alla:
Eelvaade:
Sissejuhatus…………………………………………………………………………………….2
Põhiosa…………………………………………………………………..4
Järeldused …………………………………………………………..12
Viited…………………………………………………………..13
Sissejuhatus
Neljamõõtmeline ruum on pikka aega pälvinud nii professionaalsete matemaatikute kui ka selle teaduse uurimisest kaugel olevate inimeste tähelepanu. Huvi neljanda dimensiooni vastu võib tuleneda eeldusest, et meie kolmemõõtmeline maailm on "kasutatud" neljamõõtmelisse ruumi, nii nagu tasapind on "kasutatud" kolmemõõtmelisse ruumi, on sirgjoon "sukeldatud" ruumi. tasapinnal ja punkt on sirgel. Lisaks mängib neljamõõtmeline ruum oluline roll V kaasaegne teooria relatiivsusteooria (nn aegruum ehk Minkowski ruum) ning seda võib käsitleda ka erijuhtuminadimensiooniline eukleidiline ruum (koos).
Neljamõõtmeline kuup (tesserakt) on objekt neljamõõtmeline ruum, millel on maksimaalne võimalik mõõde (sarnaselt sellele, kuidas tavaline kuup on objekt kolmemõõtmeline ruum). Pange tähele, et see pakub ka otsest huvi, nimelt võib see ilmneda lineaarse programmeerimise optimeerimisprobleemides (alana, kus leitakse nelja muutuja lineaarfunktsiooni miinimum või maksimum), ja seda kasutatakse ka digitaalses mikroelektroonikas (kui elektroonilise kella näidiku töö programmeerimine). Lisaks aitab arengule kaasa neljamõõtmelise kuubi uurimise protsess ise ruumiline mõtlemine ja kujutlusvõimet.
Sellest tulenevalt on neljamõõtmelise kuubi struktuuri ja spetsiifiliste omaduste uurimine üsna asjakohane. Väärib märkimist, et struktuuri poolest on neljamõõtmelist kuupi üsna hästi uuritud. Palju huvitavam on selle lõikude olemus erinevate hüpertasandite järgi. Seega on selle töö põhieesmärk uurida tesserakti struktuuri ning selgitada ka küsimust, millised kolmemõõtmelised objektid saadakse, kui neljamõõtmelist kuupi tükeldatakse hüpertasanditega paralleelselt ühega selle kolmemõõtmelistest objektidest. mõõtmetega tahkudega või selle põhidiagonaaliga risti olevate hüpertasandite abil. Neljamõõtmelises ruumis asuvat hüpertasandit nimetatakse kolmemõõtmeliseks alamruumiks. Võime öelda, et tasapinna sirgjoon on ühemõõtmeline hüpertasand, kolmemõõtmelise ruumi tasapind on kahemõõtmeline hüpertasand.
Eesmärk määras uuringu eesmärgid:
1) õppida tundma mitmemõõtmelise analüütilise geomeetria põhitõdesid;
2) uurida 0 kuni 3 mõõtmetega kuubikute ehitamise iseärasusi;
3) uurida neljamõõtmelise kuubi ehitust;
4) kirjeldab analüütiliselt ja geomeetriliselt neljamõõtmelist kuupi;
5) Teha ruumiliste ja neljamõõtmeliste kuubikute arenduste ja keskprojektsioonide mudelid.
6) Kirjeldage mitmemõõtmelise analüütilise geomeetria aparatuuri abil kolmemõõtmelisi objekte, mis tekivad neljamõõtmelise kuubi lõikumisel selle kolmemõõtmelise küljega paralleelsete hüpertasanditega või põhidiagonaaliga risti olevate hüpertasanditega.
Sel viisil saadud teave võimaldab meil paremini mõista tesserakti struktuuri, samuti tuvastada sügavaid analoogiaid erinevate mõõtmetega kuubikute struktuuris ja omadustes.
Põhiosa
Esiteks kirjeldame matemaatilist aparaati, mida selle uuringu käigus kasutame.
1) Vektori koordinaadid: kui, See
2) Hüpertasandi võrrand normaalvektoriga näeb välja nagu Siin
3) Lennukid ja on paralleelsed siis ja ainult siis
4) Kahe punkti vaheline kaugus määratakse järgmiselt: kui, See
5) vektorite ortogonaalsuse tingimus:
Kõigepealt selgitame välja, kuidas kirjeldada neljamõõtmelist kuupi. Seda saab teha kahel viisil – geomeetriliselt ja analüütiliselt.
Kui räägime täpsustamise geomeetrilisest meetodist, siis on soovitav jälgida kuubikute konstrueerimise protsessi, alustades nullmõõtmest. Nulldimensiooniga kuup on punkt (pange muuseas tähele, et punkt võib mängida ka nullmõõtmega kuuli rolli). Järgmisena tutvustame esimest mõõdet (x-telg) ja vastavale teljele märgime kaks punkti (kaks nullmõõtmelist kuupi), mis asuvad üksteisest 1 kaugusel. Tulemuseks on segment – ühemõõtmeline kuup. Märgime kohe iseloomulik tunnus: Ühemõõtmelise kuubi (lõigu) piirid (otsad) on kaks nullmõõtmelist kuupi (kaks punkti). Järgmisena tutvustame teist mõõdet (ordinaattelg) ja tasapinnalEhitame kaks ühemõõtmelist kuupi (kaks segmenti), mille otsad on üksteisest 1 kaugusel (tegelikult on üks lõikudest teise ortogonaalprojektsioon). Segmentide vastavate otste ühendamisel saame ruudu - kahemõõtmelise kuubi. Jällegi pange tähele, et kahemõõtmelise kuubi (ruudu) piiriks on neli ühemõõtmelist kuupi (neli segmenti). Lõpuks tutvustame kolmandat mõõdet (rakendustelg) ja konstrueerime ruumiskaks ruutu nii, et üks neist on teise ortogonaalprojektsioon (ruutude vastavad tipud on üksteisest 1 kaugusel). Ühendame vastavad tipud segmentidega – saame kolmemõõtmelise kuubiku. Näeme, et kolmemõõtmelise kuubi piiriks on kuus kahemõõtmelist kuupi (kuus ruutu). Kirjeldatud konstruktsioonid võimaldavad tuvastada järgmise mustri: igal etapilmõõtmetega kuup "liigub, jättes jälje" sissee mõõtmine kaugusel 1, kusjuures liikumissuund on kuubikuga risti. See on selle protsessi formaalne jätk, mis võimaldab meil jõuda neljamõõtmelise kuubi kontseptsioonini. Nimelt sunnime ruumilist kuupi liikuma neljanda mõõtme suunas (risti kuubikuga) kaugusega 1. Toimides sarnaselt eelmisega ehk ühendades kuubikute vastavaid tippe, saame neljamõõtmelise kuubi. Tuleb märkida, et geomeetriliselt on selline konstruktsioon meie ruumis võimatu (kuna see on kolmemõõtmeline), kuid siin ei kohta me loogilisest vaatenurgast mingeid vastuolusid. Liigume nüüd neljamõõtmelise kuubi analüütilise kirjelduse juurde. See saadakse ka formaalselt, kasutades analoogiat. Seega on nullmõõtmelise ühikukuubi analüütiline spetsifikatsioon järgmine:
Ühemõõtmelise ühikkuubiku analüütiline ülesanne on kujul:
Kahemõõtmelise ühikkuubiku analüütiline ülesanne on kujul:
Kolmemõõtmelise ühikkuubiku analüütiline ülesanne on kujul:
Nüüd on väga lihtne anda neljamõõtmelise kuubi analüütiline esitus, nimelt:
Nagu näeme, kasutati nii geomeetrilises kui ka analüütilises neljamõõtmelise kuubi määratlemise meetodis analoogia meetodit.
Nüüd saame analüütilise geomeetria aparatuuri abil teada, milline on neljamõõtmelise kuubi struktuur. Kõigepealt uurime, milliseid elemente see sisaldab. Siingi saame kasutada analoogiat (hüpoteesi püstitamiseks). Ühemõõtmelise kuubi piirid on punktid (nullmõõtmelised kuubikud), kahemõõtmelisel - segmendid (ühemõõtmelised kuubikud), kolmemõõtmelisel - ruudud (kahemõõtmelised tahud). Võib oletada, et tesserakti piirid on kolmemõõtmelised kuubikud. Selle tõestamiseks teeme selgeks, mida mõeldakse tippude, servade ja tahkude all. Kuubi tipud on selle nurgapunktid. See tähendab, et tippude koordinaadid võivad olla nullid või ühed. Seega ilmneb seos kuubi mõõtme ja selle tippude arvu vahel. Rakendame kombinatoorse korrutise reeglit – kuna tipustmõõdetud kuubikul on täpseltkoordinaadid, millest igaüks on võrdne nulli või ühega (sõltumata kõigist teistest), siis kokku on olemastipud Seega on mis tahes tipu kõik koordinaadid fikseeritud ja võivad olla võrdsed või . Kui fikseerime kõik koordinaadid (kõik need võrdseks või , olenemata teistest), välja arvatud üks, saame kuubi servi sisaldavad sirgjooned. Sarnaselt eelmisega võib arvestada, et neid on täpseltasju. Ja kui me nüüd fikseerime kõik koordinaadid (kõik need võrdseks või , teistest sõltumatult), välja arvatud mõned kaks, saame tasapinnad, mis sisaldavad kuubi kahemõõtmelisi tahke. Kombinatoorika reeglit kasutades leiame, et neid on täpseltasju. Järgmisena samamoodi - kõigi koordinaatide kinnitamine (kõik need võrdseks või , teistest sõltumatult), välja arvatud mõned kolm, saame kuubi kolmemõõtmelisi tahke sisaldavad hüpertasandid. Sama reeglit kasutades arvutame nende arvu - täpseltjne. See on meie uurimistöö jaoks piisav. Rakendame saadud tulemusi neljamõõtmelise kuubi struktuurile, nimelt kõigis tuletatud valemites, mille paneme. Seetõttu on neljamõõtmelisel kuubil: 16 tippu, 32 serva, 24 kahemõõtmelist tahku ja 8 kolmemõõtmelist tahku. Selguse huvides määratleme analüütiliselt kõik selle elemendid.
Neljamõõtmelise kuubi tipud:
Neljamõõtmelise kuubi servad ():
Neljamõõtmelise kuubi kahemõõtmelised küljed (sarnased piirangud):
Neljamõõtmelise kuubi kolmemõõtmelised tahud (sarnased piirangud):
Nüüd, kui neljamõõtmelise kuubi struktuur ja selle määratlemise meetodid on piisavalt üksikasjalikult kirjeldatud, jätkame juurutamist. peamine eesmärk– kuubi erinevate osade olemuse selgitamine. Alustame elementaarjuhust, kui kuubi lõigud on paralleelsed ühe selle kolmemõõtmelise tahuga. Näiteks kaaluge selle sektsioone, mille hüpertasandid on paralleelsed näogaAnalüütilisest geomeetriast on teada, et iga selline lõik antakse võrrandigaMääratleme vastavad jaotised analüütiliselt:
Nagu näeme, oleme saanud hüpertasandil asuva kolmemõõtmelise ühikkuubi analüütilise spetsifikatsiooni
Analoogia leidmiseks kirjutame kolmemõõtmelise kuubi lõike tasapinna järgi Saame:
See on ruut, mis asub tasapinnas. Analoogia on ilmne.
Neljamõõtmelise kuubi lõiked hüpertasandite kaupaannab täiesti sarnaseid tulemusi. Need on ka üksikud kolmemõõtmelised kuubikud, mis asuvad hüpertasandites vastavalt.
Vaatleme nüüd neljamõõtmelise kuubi lõike, mille hüpertasandid on risti selle põhidiagonaaliga. Esmalt lahendame selle ülesande kolmemõõtmelise kuubi jaoks. Kasutades ülalkirjeldatud ühikulise kolmemõõtmelise kuubi defineerimise meetodit, järeldab ta, et põhidiagonaaliks võib võtta näiteks otstega lõigu Ja . See tähendab, et põhidiagonaali vektoril on koordinaadid. Seetõttu on mis tahes põhidiagonaaliga risti oleva tasapinna võrrand:
Määrame parameetrite muutumise piirid. Sest , siis lisades need ebavõrdsused järk-järgult, saame:
Või .
Kui siis (piirangute tõttu). Samamoodi – kui, See. Niisiis, millal ja millal lõiketasandil ja kuubil on täpselt üks ühine punkt ( Ja vastavalt). Nüüd paneme tähele järgmist. Kui(taas muutuvate piirangute tõttu). Vastavad tasapinnad lõikuvad korraga kolme tahku, sest vastasel juhul oleks lõiketasand ühega neist paralleelne, mis tingimuse järgi ei toimu. Kui, siis lõikub tasapind kuubi kõik tahud. Kui, siis lõikub tasapind nägudega. Toome välja vastavad arvutused.
Lase Siis lennukületab piiri sirgjoonel ja . Ääre pealegi. Edge tasapind lõikub sirgjoonega, ja
Lase Siis lennukületab joone:
serv sirgjooneliselt ja .
serv sirgjooneliselt ja .
serv sirgjooneliselt ja .
serv sirgjooneliselt ja .
serv sirgjooneliselt ja .
serv sirgjooneliselt ja .
Seekord saame kuus segmenti, millel on järjestikku ühised otsad:
Lase Siis lennukületab piiri sirgjoonel ja . Edge tasapind lõikub sirgjoonega ja . Edge tasapind lõikub sirgjoonega, ja . See tähendab, et saame kolm segmenti, millel on paarikaupa ühised otsad:Seega määratud parameetri väärtuste jaokstasapind lõikab kuubi piki korrapärast tippudega kolmnurka
Niisiis, siin on põhjalik kirjeldus tasapinna kujunditest, mis saadakse siis, kui kuubik lõikub selle põhidiagonaaliga risti oleva tasapinnaga. Põhiidee oli järgmine. Tuleb aru saada, millised tahud tasapind lõikub, milliseid hulki mööda ta neid lõikub ja kuidas need hulgad on omavahel seotud. Näiteks kui selgus, et tasapind lõikub täpselt kolme tahku mööda segmente, millel on paarikaupa ühised otsad, siis lõik on võrdkülgne kolmnurk (mida tõestab lõikude pikkuste otsene arvutamine), mille tipud on need otsad. segmentidest.
Kasutades sama aparaati ja sama sektsioonide õppimise ideed, saab täiesti analoogsel viisil järeldada järgmised faktid:
1) Neljamõõtmelise ühikkuubi ühe põhidiagonaali vektoril on koordinaadid
2) Suvalise hüpertasandi, mis on risti neljamõõtmelise kuubi põhidiagonaaliga, saab kirjutada kujul.
3) Sekantse hüpertasandi võrrandis parameetervõib varieeruda vahemikus 0 kuni 4;
4) Millal ja sekantsel hüpertasandil ja neljamõõtmelisel kuubil on üks ühine punkt ( Ja vastavalt);
5) Millal ristlõige annab korrapärase tetraeedri;
6) Millal ristlõikes on tulemuseks oktaeedr;
7) Millal ristlõige annab korrapärase tetraeedri.
Vastavalt sellele lõikub siin hüpertasand tesserakti piki tasapinda, millel muutujate piirangute tõttu eristatakse kolmnurkset piirkonda (analoogia - tasapind ristas kuubikuga mööda sirgjoont, millel piirangute tõttu muutujad, eristati segment). Juhul 5) lõikub hüpertasand täpselt nelja tesserakti kolmemõõtmelist tahku, st saadakse neli kolmnurka, millel on paarikaupa ühised küljed ehk teisisõnu moodustavad tetraeedri (see on õige, kuidas seda arvutada). Juhul 6) lõikub hüpertasand täpselt kaheksa tesserakti kolmemõõtmelist külge, see tähendab, et saadakse kaheksa kolmnurka, millel on järjestikku ühised küljed ehk teisisõnu moodustavad oktaeedri. Juhtum 7) on täiesti sarnane juhtumiga 5).
Illustreerime öeldut konkreetne näide. Nimelt uurime neljamõõtmelise kuubi läbilõiget hüpertasandi järgiMuutuvate piirangute tõttu lõikub see hüpertasand järgmiste kolmemõõtmeliste tahkudega: Edge lõikub piki tasapindaMuutujate piirangute tõttu on meil:Saame kolmnurkse tippudega alaEdasi,saame kolmnurgaKui hüpertasand ristub näogasaame kolmnurgaKui hüpertasand ristub näogasaame kolmnurgaSeega on tetraeedri tippudel järgmised koordinaadid. Nagu on lihtne arvutada, on see tetraeeder tõepoolest korrapärane.
järeldused
Niisiis uuriti selle uurimistöö käigus mitmemõõtmelise analüütilise geomeetria põhitõdesid, uuriti 0 kuni 3 mõõtmetega kuubikute konstrueerimise iseärasusi, uuriti neljamõõtmelise kuubi ehitust, neljamõõtmelise kuubi ehitust. analüütiliselt ja geomeetriliselt kirjeldati, tehti kolmemõõtmeliste ja neljamõõtmeliste kuubikute arengumudelid ja keskprojektsioonid, kolmemõõtmelised kuubikud olid analüütiliselt kirjeldatud objektid, mis tekkisid neljamõõtmelise kuubi ristumisel hüpertasanditega, mis on paralleelsed selle ühe kolmemõõtmelistest kuubikutest. mõõtmetega tahkudega või selle põhidiagonaaliga risti olevate hüpertasanditega.
Läbiviidud uurimustöö võimaldas tuvastada sügavaid analoogiaid erineva mõõtmega kuubikute ehituses ja omadustes. Kasutatavat analoogiatehnikat saab rakendada näiteks uurimistöös,dimensiooniline sfäär võidimensiooniline simpleks. Nimelt,dimensioonilist sfääri saab määratleda punktide koguminaantud punktist võrdsel kaugusel asuv mõõtmeline ruum, mida nimetatakse sfääri keskpunktiks. Edasi,dimensioonilist simpleksit saab defineerida osanamõõtmete ruum on piiratud minimaalse arvugamõõtmetega hüpertasandid. Näiteks ühemõõtmeline simpleks on segment (ühemõõtmelise ruumi osa, piiratud kahe punktiga), kahemõõtmeline simpleks on kolmnurk (kahemõõtmelise ruumi osa, piiratud kolme joonega), a kolmemõõtmeline simpleks on tetraeeder (kolmemõõtmelise ruumi osa, mis on piiratud nelja tasapinnaga). Lõpuksosana defineerime dimensioonilise simpleksimõõtmetega ruum, piiratudmõõtmete hüpertasand.
Pange tähele, et hoolimata tesserakti paljudest rakendustest mõnes teadusvaldkonnas, see uuring on ikka suuresti matemaatiline uurimine.
Bibliograafia
1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Kõrgem matemaatika, 1. kd – M.: Bustard, 2005 – 284 lk.
2) Kvant. Neljamõõtmeline kuup / Dužin S., Rubtsov V., nr 6, 1986.
3) Kvant. Kuidas joonistada mõõtmetega kuup / Demidovich N.B., nr 8, 1974.
Mis on hüperkuubik ja neljamõõtmeline ruum
Meie tavapärasel ruumil on kolm mõõdet. Geomeetrilisest vaatenurgast tähendab see, et selles saab märkida kolm üksteisega risti olevat joont. See tähendab, et iga joone jaoks leiate teise rea, mis on risti esimesega, ja paari jaoks võite leida kolmanda rea, mis on risti esimese kahega. Neljandat joont, mis oleks risti olemasoleva kolmega, ei ole enam võimalik leida.
Neljamõõtmeline ruum erineb meie omast ainult selle poolest, et sellel on veel üks lisasuund. Kui teil on juba kolm üksteisega risti asetsevat joont, võite leida neljanda, nii et see on kõigi kolmega risti.
Hüperkuub on lihtsalt kuup neljamõõtmelises ruumis.
Kas on võimalik ette kujutada neljamõõtmelist ruumi ja hüperkuubi?
See küsimus on seotud küsimusega: „kas on võimalik ette kujutada Viimane õhtusöök, vaadates Leonardo da Vinci (1452-1519) samanimelist maali (1495-1498)?"
Ühest küljest te muidugi ei kujuta ette seda, mida Jeesus nägi (ta istub näoga vaataja poole), eriti kuna te ei tunne akna taga aia lõhna ega maitse laual olevat toitu, ei kuule linde. laulmine... Täielikku pilti tol õhtul toimunust ei saa, aga ei saa ka öelda, et midagi uut ei õpiks ja pilt ei paku huvi.
Hüperkuubi küsimusega on olukord sarnane. Seda on võimatu täielikult ette kujutada, kuid saate lähemale mõistmisele, mis see on.
Hüperkuubi ehitamine
0-mõõtmeline kuup
Alustame algusest – 0-mõõtmelise kuubikuga. See kuubik sisaldab 0 vastastikku risti olevat tahku, see tähendab, et see on lihtsalt punkt.
1-mõõtmeline kuubik
Ühemõõtmelises ruumis on meil ainult üks suund. Liigutame punkti selles suunas ja saame segmendi.
See on ühemõõtmeline kuup.
2-mõõtmeline kuubik
Meil on teine mõõde, nihutame oma ühemõõtmelist kuupi (segmenti) teise mõõtme suunas ja saame ruudu.
See on kuubik kahemõõtmelises ruumis.
3-mõõtmeline kuubik
Kolmanda mõõtme tulekuga teeme sama: liigutame ruutu ja saame tavalise kolmemõõtmelise kuubiku.
4-mõõtmeline kuup (hüperkuubik)
Nüüd on meil neljas mõõde. See tähendab, et meie käsutuses on suund, mis on risti kõigi kolme eelmisega. Kasutame seda täpselt samamoodi. Neljamõõtmeline kuubik näeb välja selline.
Kahemõõtmelisel ekraanitasandil ei saa loomulikult kujutada kolme- ja neljamõõtmelisi kuubikuid. See, mida ma joonistasin, on projektsioonid. Prognoosidest räägime veidi hiljem, aga praegu paar paljalt fakti ja arvu.
Tipude, servade, tahkude arv
Erineva suurusega kuubikute omadused
1-mõõtmeline ruum
2-arv tippe
3-servade arv
4 nägude arv
0 (punkt) 1 0 0
1 (segment) 2 1 2 (punktid)
2 (ruut) 4 4 4 (segmendid)
3 (kuubik) 8 12 6 (ruudud)
4 (hüperkuubik) 16 32 8 (kuubikud)
N ( üldine valem) 2N N 2N-1 2 N
Pange tähele, et hüperkuubiku nägu on meie tavaline kolmemõõtmeline kuup. Kui vaatate tähelepanelikult hüperkuubi joonist, võite tegelikult leida kaheksa kuubikut.
Neljamõõtmelise ruumi elaniku projektsioonid ja nägemus
Paar sõna nägemisest
Me elame kolmemõõtmelises maailmas, kuid näeme seda kahemõõtmelisena. See on tingitud asjaolust, et meie silmade võrkkest asub tasapinnal, millel on ainult kaks mõõdet. Seetõttu suudame tajuda kahemõõtmelisi pilte ja leida need tegelikkusega sarnaseks. (Loomulikult suudab silm tänu majutusele hinnata kaugust objektini, kuid see on juba nii kõrvalmõju, mis on seotud meie silmadesse ehitatud optikaga.)
Neljamõõtmelise ruumi elaniku silmadel peab olema kolmemõõtmeline võrkkest. Selline olend näeb kohe kogu kolmemõõtmelist figuuri: kõiki selle nägusid ja sisemust. (Samamoodi näeme kahemõõtmelist figuuri, kõiki selle nägusid ja sisemust.)
Seega ei suuda me oma nägemisorganite abil neljamõõtmelist kuupi tajuda nii, nagu seda tajuks neljamõõtmelise ruumi elanik. Kahjuks. Jääb üle vaid loota oma vaimusilmale ja kujutlusvõimele, millel pole õnneks füüsilisi piiranguid.
Hüperkuubi tasapinnal kujutamisel olen aga lihtsalt sunnitud tegema selle projektsiooni kahemõõtmelisse ruumi. Võtke seda asjaolu jooniste uurimisel arvesse.
Servade ristumiskohad
Hüperkuubi servad loomulikult ei ristu. Ristmikud on näha ainult joonistel. See ei tohiks aga üllatusena tulla, sest piltidel ristuvad ka tavalise kuubiku servad.
Serva pikkused
Väärib märkimist, et neljamõõtmelise kuubi kõik tahud ja servad on võrdsed. Joonisel pole need võrdsed ainult seetõttu, et asuvad vaatesuuna suhtes erinevate nurkade all. Küll aga on võimalik hüperkuubi pöörata nii, et kõik projektsioonid oleksid ühepikkused.
Muide, sellel joonisel on selgelt näha kaheksa kuubikut, mis on hüperkuubi näod.
Hüperkuubik on seest tühi
Raske uskuda, kuid hüperkuubi piiravate kuubikute vahel on ruumi (neljamõõtmelise ruumi fragment).
Et seda paremini mõista, vaatame tavalise kolmemõõtmelise kuubi kahemõõtmelist projektsiooni (tegin selle teadlikult mõnevõrra skemaatiliselt).
Kas saate selle järgi arvata, et kuubi sees on ruumi? Jah, aga ainult oma kujutlusvõimet kasutades. Silm seda ruumi ei näe. See juhtub seetõttu, et kolmandas mõõtmes asuvad servad (mida ei saa tasapinnalisel joonisel kujutada) on nüüdseks muutunud joonise tasapinnas asuvateks segmentideks. Need ei anna enam helitugevust.
Kuubi ruumi piiravad ruudud kattusid üksteisega. Kuid võib ette kujutada, et algkujul (kolmemõõtmeline kuubik) asusid need ruudud eri tasapindadel, mitte aga üksteise peal samal tasapinnal, nagu juhtus joonisel.
Hüperkuubikuga on olukord täpselt sama. Hüperkuubi kuubikud-tahud tegelikult ei kattu, nagu meile projektsioonil tundub, vaid paiknevad neljamõõtmelises ruumis.
Pühkib
Seega näeb neljamõõtmelise ruumi elanik kolmemõõtmelist objekti korraga igast küljest. Kas me näeme kolmemõõtmelist kuupi korraga igast küljest? Silmaga - ei. Kuid inimesed on välja mõelnud mooduse, kuidas tasapinnalisel joonisel korraga kujutada kolmemõõtmelise kuubi kõiki tahke. Sellist pilti nimetatakse skaneerimiseks.
Kolmemõõtmelise kuubi arendamine
Ilmselt teavad kõik, kuidas moodustub kolmemõõtmelise kuubi areng. Seda protsessi näidatakse animatsioonis.
Selguse huvides muudetakse kuubikute servade servad poolläbipaistvaks.
Tuleb märkida, et me suudame seda kahemõõtmelist pilti tajuda ainult tänu oma kujutlusvõimele. Kui vaatleme lahtirullumise faase puhtalt kahemõõtmelisest vaatenurgast, tundub protsess kummaline ja üldse mitte selge.
Tundub, et esmalt tekivad järk-järgult moonutatud ruutude piirjooned ja seejärel hiilivad need paika, võttes samal ajal vajaliku kuju.
Kui vaadata lahtivoltitavat kuupi selle ühe tahu suunas (sellest vaatenurgast näeb kuubik välja nagu ruut), siis on lahtivoltimise kujunemise protsess veelgi ebaselgem. Kõik näeb välja nagu algsest ruudust (mitte lahtivolditud kuubist) välja hiilivad ruudud.
Kuid skaneerimine ei ole visuaalne ainult silmade jaoks. Tänu oma kujutlusvõimele saate sellest palju teavet ammutada.
Neljamõõtmelise kuubi väljatöötamine
Hüperkuubi lahtivoltimise animeeritud protsessi on lihtsalt võimatu vähemalt mõnevõrra visuaalseks muuta. Kuid seda protsessi võib ette kujutada. (Selleks peate vaatama seda läbi neljamõõtmelise olendi silmade.)
Skaneerimine näeb välja selline.
Siin on näha kõik kaheksa hüperkuubi piiravat kuupi.
Servad, mis peaksid kokkuvoldimisel joonduma, on värvitud samade värvidega. Näod, mille puhul paarid pole nähtavad, jäetakse halliks. Pärast voltimist peaks ülemise kuubi ülemine külg olema joondatud alumise kuubi alumise servaga. (Kolmemõõtmelise kuubi lahtivoltimine tõmbub kokku sarnaselt.)
Pange tähele, et pärast keerdumist puutuvad kaheksa kuubi kõik pinnad kokku, sulgedes hüperkuubi. Ja lõpetuseks, voltimise protsessi ette kujutades ärge unustage, et voltimisel ei toimu mitte kuubikute kattumine, vaid nende mähkimine ümber teatud (hüperkuubilise) neljamõõtmelise ala.
Salvador Dali (1904-1989) kujutas ristilöömist korduvalt ja paljudel tema maalidel on ristid. Maal “Ristilöömine” (1954) kasutab hüperkuubiku skaneerimist.
Aegruum ja eukleidiline neljamõõtmeline ruum
Loodan, et suutsite hüperkuubi ette kujutada. Kuid kas teil on õnnestunud jõuda lähemale mõistmisele, kuidas toimib neljamõõtmeline aegruum, milles me elame? Kahjuks mitte päris.
Siin oli juttu eukleidilisest neljamõõtmelisest ruumist, kuid aegruumil on hoopis teised omadused. Eelkõige jäävad segmendid mis tahes pöörete ajal alati ajatelje suhtes kaldu, kas alla 45 kraadise nurga või üle 45 kraadise nurga all.
ALLIKAS 2
Tesseract on neljamõõtmeline hüperkuubik, kuubiku analoog neljamõõtmelises ruumis. Oxfordi sõnaraamatu järgi mõtles sõna "tesserakt" välja ja kasutas seda 1888. aastal Charles Howard Hinton (1853-1907) oma raamatus. Uus ajastu mõtted". Hiljem nimetasid mõned inimesed sama kuju "tetrakuubiks".
Proovime ette kujutada, milline näeb välja hüperkuub, jätmata välja kolmemõõtmeline ruum.
Ühemõõtmelises “ruumis” - joonel - valime lõigu AB pikkusega L. Kahemõõtmelisel tasapinnal, mis asub AB-st kaugusel L, joonestame sellega paralleelse lõigu DC ja ühendame nende otsad. Tulemuseks on ruut ABCD. Korrates seda toimingut tasapinnaga, saame kolmemõõtmelise kuubi ABCDHEFG. Ja nihutades kuupi neljandas dimensioonis (risti esimese kolmega) kauguse L võrra, saame hüperkuubi ABCDEFGHIJKLMNOP.
Ühemõõtmeline segment AB toimib kahemõõtmelise ruudu ABCD küljena, ruut kuubiku ABCDHEFG küljena, mis omakorda on neljamõõtmelise hüperkuubi külg. Sirgjoonel on kaks piiripunkti, ruudul neli tippu, kuubil kaheksa. Neljamõõtmelises hüperkuubis on seega 16 tippu: 8 tippu algsest kuubist ja 8 tippu neljandas dimensioonis nihutatust. Sellel on 32 serva – igaüks 12 annab algse kuubi alg- ja lõppasendi ning veel 8 serva “joonistavad” selle kaheksa tippu, mis on liikunud neljandasse dimensiooni. Sama arutluskäiku saab teha ka hüperkuubi nägude kohta. Kahemõõtmelises ruumis on ainult üks (ruut ise), kuubil on neid 6 (kaks tahku liigutatud ruudust ja veel neli, mis kirjeldavad selle külgi). Neljamõõtmelisel hüperkuubil on 24 ruutu – 12 ruutu algsest kuubist kahes asendis ja 12 ruutu kaheteistkümnest servast.
Samamoodi võime jätkata hüperkuubikute arutluskäiku rohkem mõõtmed, kuid palju huvitavam on näha, kuidas neljamõõtmeline hüperkuub meid, kolmemõõtmelise ruumi elanikke, otsib. Selleks kasutame juba tuttavat analoogiate meetodit.
Võtame traatkuubiku ABCDHEFG ja vaatame seda ühe silmaga serva küljelt. Näeme ja saame tasapinnale joonistada kaks ruutu (selle lähi- ja kaugemad servad), mis on ühendatud nelja joonega - külgservad. Sarnaselt näeb neljamõõtmeline hüperkuub kolmemõõtmelises ruumis välja nagu kaks kuubikut, mis on üksteisesse sisestatud ja ühendatud kaheksa servaga. Sel juhul projitseeritakse "kastid" ise - kolmemõõtmelised näod "meie" ruumi ja neid ühendavad jooned venivad neljandas mõõtmes. Samuti võite proovida kujutada kuubikut mitte projektsioonis, vaid ruumilises pildis.
Nii nagu kolmemõõtmeline kuubik moodustatakse selle näo pikkuse võrra nihutatud ruudust, moodustab neljandasse dimensiooni nihutatud kuubik hüperkuubi. See on piiratud kaheksa kuubikuga, mis perspektiivis näevad välja nagu mõni üsna keeruline kujund. See osa, mis jäi “meie” ruumi, on joonistatud pidevate joontega, hüperruumi läinud osa aga punktiirjoontega. Neljamõõtmeline hüperkuubik ise koosneb lõpmatust arvust kuubikutest, nagu ka kolmemõõtmelist kuubi saab “lõigata” lõpmatuks arvuks lamedaks ruutudeks.
Lõigates ruumilise kuubi kuue tahu, saate selle lagundada lamedaks kujundiks - arenguks. Sellel on algse näo mõlemal küljel ruut, millele lisandub veel üks – selle vastaskülg. Ja neljamõõtmelise hüperkuubi kolmemõõtmeline arendus koosneb algsest kuubist, kuuest sellest “kasvavast” kuubist ja veel ühest - lõplikust “hüpernäost”. Tesserakti omadused on omaduste laiendus geomeetrilised kujundid väiksem mõõde neljamõõtmelisse ruumi.
Muud nimed
Heksadekakoroon
Octachoron
Tetrakuub
4-kuubik
Hüperkuub (kui mõõtmete arv pole määratud)
10-mõõtmeline ruum
See on inglise keeles. Neile, kes ei tea, on piltidel see üsna selge
Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338
19. september 2009
Tesseract (vanakreeka keelest τέσσερες ἀκτῖνες – neli kiirt) on neljamõõtmeline hüperkuubik – kuubiku analoog neljamõõtmelises ruumis.
Kujutis on neljamõõtmelise kuubi projektsioon (perspektiiv) kolmemõõtmelisse ruumi.
Oxfordi sõnaraamatu järgi lõi sõna "tesserakt" ja kasutas seda 1888. aastal Charles Howard Hinton (1853–1907) oma raamatus A New Age of Thought. Hiljem nimetasid mõned inimesed sama kuju "tetrakuubiks".
Geomeetria
Tavalist tesserakti Eukleidilises neljamõõtmelises ruumis määratletakse punktide kumera korpusena (±1, ±1, ±1, ±1). Teisisõnu, seda saab esitada järgmise komplektina:
Tesserakt on piiratud kaheksa hüpertasandiga, mille ristumiskoht tesserakti endaga määrab selle kolmemõõtmelised tahud (mis on tavalised kuubikud). Iga mitteparalleelsete 3D-tahkude paar ristub, moodustades 2D-tahud (ruudud) jne. Lõpuks on tesseraktil 8 3D tahku, 24 2D tahku, 32 serva ja 16 tippu.
Populaarne kirjeldus
Proovime ette kujutada, milline näeb välja hüperkuub, jätmata välja kolmemõõtmeline ruum.
Ühemõõtmelises “ruumis” - joonel - valime lõigu AB pikkusega L. Kahemõõtmelisel tasapinnal, mis asub AB-st kaugusel L, joonestame sellega paralleelse lõigu DC ja ühendame nende otsad. Tulemuseks on ruut ABCD. Korrates seda toimingut tasapinnaga, saame kolmemõõtmelise kuubi ABCDHEFG. Ja nihutades kuupi neljandas dimensioonis (risti esimese kolmega) kauguse L võrra, saame hüperkuubi ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG
Ühemõõtmeline segment AB toimib kahemõõtmelise ruudu ABCD küljena, ruut - kuubi ABCDHEFG küljena, mis omakorda saab olema neljamõõtmelise hüperkuubi külg. Sirgesegmendil on kaks piiripunkti, ruudul neli tippu ja kuubil kaheksa. Neljamõõtmelises hüperkuubis on seega 16 tippu: 8 tippu algsest kuubist ja 8 tippu neljandas dimensioonis nihutatust. Sellel on 32 serva – igaüks 12 annab algse kuubi alg- ja lõppasendi ning veel 8 serva “joonistavad” selle kaheksa tippu, mis on liikunud neljandasse dimensiooni. Sama arutluskäiku saab teha ka hüperkuubi nägude kohta. Kahemõõtmelises ruumis on ainult üks (ruut ise), kuubil on neid 6 (kaks tahku liigutatud ruudust ja veel neli, mis kirjeldavad selle külgi). Neljamõõtmelisel hüperkuubil on 24 ruutu – 12 ruutu algsest kuubist kahes asendis ja 12 ruutu kaheteistkümnest servast.
Samamoodi võime jätkata oma arutluskäiku suurema hulga mõõtmetega hüperkuubikute kohta, kuid palju huvitavam on näha, kuidas neljamõõtmeline hüperkuub meid, kolmemõõtmelise ruumi elanikke, otsib. Selleks kasutame juba tuttavat analoogiate meetodit.
Tesserakti lahtipakkimine
Võtame traatkuubiku ABCDHEFG ja vaatame seda ühe silmaga serva küljelt. Näeme ja saame tasapinnale joonistada kaks ruutu (selle lähi- ja kaugemad servad), mis on ühendatud nelja joonega - külgservad. Sarnaselt näeb neljamõõtmeline hüperkuub kolmemõõtmelises ruumis välja nagu kaks kuubikut, mis on üksteisesse sisestatud ja ühendatud kaheksa servaga. Sel juhul projitseeritakse "kastid" ise - kolmemõõtmelised näod "meie" ruumi ja neid ühendavad jooned venivad neljandas mõõtmes. Samuti võite proovida kujutada kuubikut mitte projektsioonis, vaid ruumilises pildis.
Nii nagu kolmemõõtmeline kuubik moodustatakse selle näo pikkuse võrra nihutatud ruudust, moodustab neljandasse dimensiooni nihutatud kuubik hüperkuubi. See on piiratud kaheksa kuubikuga, mis perspektiivis näevad välja nagu mõni üsna keeruline kujund. See osa, mis jäi “meie” ruumi, on joonistatud pidevate joontega, hüperruumi läinud osa aga punktiirjoontega. Neljamõõtmeline hüperkuubik ise koosneb lõpmatust arvust kuubikutest, nagu ka kolmemõõtmelist kuubi saab “lõigata” lõpmatuks arvuks lamedaks ruutudeks.
Lõigates ruumilise kuubi kuue tahu, saate selle lagundada lamedaks kujundiks - arenguks. Sellel on algse näo mõlemal küljel ruut, millele lisandub veel üks – selle vastaskülg. Ja neljamõõtmelise hüperkuubi kolmemõõtmeline arendus koosneb algsest kuubist, kuuest sellest “kasvavast” kuubist ja veel ühest - lõplikust “hüpernäost”.
Tesserakti omadused kujutavad endast madalama mõõtmega geomeetriliste kujundite omaduste jätkumist neljamõõtmelisse ruumi.
Prognoosid
Kahemõõtmelisse ruumi
Seda struktuuri on raske ette kujutada, kuid tesserakti on võimalik projitseerida kahe- või kolmemõõtmelisse ruumi. Lisaks võimaldab tasapinnale projitseerimine hõlpsasti mõista hüperkuubi tippude asukohta. Sel viisil on võimalik saada pilte, mis ei kajasta enam ruumisuhteid tesseraktis, kuid mis illustreerivad tipuühenduse struktuuri, nagu järgmistes näidetes:
Kolmemõõtmelisse ruumi
Tesserakti projektsioon kolmemõõtmelisse ruumi kujutab endast kahte pesastatud kolmemõõtmelist kuupi, mille vastavad tipud on omavahel segmentidega ühendatud. Sisemisel ja välimisel kuubikul on erinevad suurused kolmemõõtmelises ruumis, kuid neljamõõtmelises ruumis on need võrdsed kuubikud. Kõigi tesseraktide kuubikute võrdsuse mõistmiseks loodi pöörlev tesseraktide mudel.
Kuus kärbitud püramiidi piki tesserakti servi on kujutised võrdsest kuuest kuubist.
Stereo paar
Tesrakti stereopaari on kujutatud kahe projektsioonina kolmemõõtmelisse ruumi. See tesserakti kujutis loodi esindama sügavust neljanda mõõtmena. Stereopaari vaadeldakse nii, et kumbki silm näeb ainult ühte neist kujutistest, ilmub stereoskoopiline pilt, mis kordab tesserakti sügavust.
Tesserakti lahtipakkimine
Tesserakti pinna saab lahti voltida kaheksaks kuubiks (sarnaselt sellele, kuidas kuubiku pinda saab lahti voltida kuueks ruuduks). Seal on 261 erinevat tesserakti kujundust. Tesserakti lahtivoltimist saab arvutada, kandes ühendatud nurgad graafikule.
Tesserakt kunstis
Edwina A. filmis "New Abbott Plain" toimib hüperkuub jutustajana.
Jimmy Neutroni seikluste ühes osas: "Boy Genius" leiutab Jimmy neljamõõtmelise hüperkuubi, mis on identne Heinleini 1963. aasta romaani "Glory Road" voldikkastiga.
Robert E. Heinlein on hüperkuubikuid maininud vähemalt kolmes ulmeloos. Teoses The House of Four Dimensions (The House That Teal Built, 1940) kirjeldas ta maja, mis oli ehitatud nagu lahtipakkimata tesserakt.
Heinleini romaan Glory Road kirjeldab ülisuurt nõusid, mis olid seest suuremad kui väljast.
Henry Kuttneri lugu "Mimsy Were the Borogoves" kirjeldab harivat mänguasja lastele kaugest tulevikust, mis sarnaneb ülesehituselt tesseraktiga.
Alex Garlandi (1999) romaanis kasutatakse terminit "tesserakt" pigem neljamõõtmelise hüperkuubi kolmemõõtmeliseks lahtivoltimiseks, mitte hüperkuubi enda kohta. See on metafoor, mille eesmärk on näidata, et kognitiivne süsteem peab olema teadlikust laiem.
Kuubiku 2 süžee: Hüperkuubik keskendub kaheksale võõrale inimesele, kes on lõksus "hüperkuubikus" või ühendatud kuubikute võrgustikus.
Telesari Andromeda kasutab süžeeseadmena tesseraktide generaatoreid. Need on mõeldud peamiselt ruumi ja aja manipuleerimiseks.
Salvador Dali maal "Ristilöömine" (Corpus Hypercubus) (1954)
Nextwave'i koomiksiraamat kujutab sõidukit, mis sisaldab 5 tesserakti tsooni.
Albumis Voivod Nothingface kannab üks kompositsioon nimega “In my hypercube”.
Anthony Pearce'i romaanis Route Cube, üks orbitaalkuudest Rahvusvaheline Assotsiatsioon arendust nimetatakse tesseraktiks, mis on kokku surutud 3 dimensiooniks.
Sarjas "Kool" Must auk“” kolmandal hooajal on episood “Tesseract”. Lucas vajutab salajast nuppu ja kool hakkab kuju võtma nagu matemaatiline tesserakt.
Mõiste “tesserakt” ja selle tuletissõna “tesseraat” leidub Madeleine L’Engle’i loos “A Wrinkle in Time”.
Kui ma olin esimese kursuse tudeng, tekkis mul ühe klassikaaslasega tuline vaidlus. Ta ütles, et neljamõõtmelist kuupi ei saa ühelgi kujul kujutada, kuid ma kinnitasin, et seda saab kujutada üsna selgelt. Siis tegin isegi kirjaklambritest meie kolmemõõtmelisele ruumile hüperkuubi projektsiooni... Aga räägime kõigest järjekorras.
Mis on hüperkuubik (tesserakt) ja neljamõõtmeline ruum
Meie tavapärasel ruumil on kolm mõõdet. Geomeetrilisest vaatenurgast tähendab see, et selles saab märkida kolm üksteisega risti olevat joont. See tähendab, et iga joone jaoks leiate teise rea, mis on risti esimesega, ja paari jaoks võite leida kolmanda rea, mis on risti esimese kahega. Neljandat joont, mis oleks risti olemasoleva kolmega, ei ole enam võimalik leida.
Neljamõõtmeline ruum erineb meie omast ainult selle poolest, et sellel on veel üks lisasuund. Kui teil on juba kolm üksteisega risti asetsevat joont, võite leida neljanda, nii et see on kõigi kolmega risti.
Hüperkuub on lihtsalt kuup neljamõõtmelises ruumis.
Kas on võimalik ette kujutada neljamõõtmelist ruumi ja hüperkuubi?
See küsimus on sarnane küsimusega: "Kas on võimalik ette kujutada viimast õhtusööki, vaadates Leonardo da Vinci (1452-1519) samanimelist maali (1495-1498)?"
Ühest küljest te muidugi ei kujuta ette seda, mida Jeesus nägi (ta istub näoga vaataja poole), eriti kuna te ei tunne akna taga aia lõhna ega maitse laual olevat toitu, ei kuule linde. laulmine... Täielikku pilti tol õhtul toimunust ei saa, aga ei saa ka öelda, et midagi uut ei õpiks ja pilt ei paku huvi.
Hüperkuubi küsimusega on olukord sarnane. Seda on võimatu täielikult ette kujutada, kuid saate lähemale mõistmisele, mis see on.
Aegruum ja eukleidiline neljamõõtmeline ruum
Loodan, et suutsite hüperkuubi ette kujutada. Kuid kas teil on õnnestunud jõuda lähemale mõistmisele, kuidas toimib neljamõõtmeline aegruum, milles me elame? Kahjuks mitte päris.
Siin oli juttu eukleidilisest neljamõõtmelisest ruumist, kuid aegruumil on hoopis teised omadused. Eelkõige jäävad segmendid mis tahes pöörete ajal alati ajatelje suhtes kaldu, kas alla 45 kraadise nurga või üle 45 kraadise nurga all.
Neljamõõtmelise ruumi elaniku projektsioonid ja nägemus
Paar sõna nägemisest
Me elame kolmemõõtmelises maailmas, kuid näeme seda kahemõõtmelisena. See on tingitud asjaolust, et meie silmade võrkkest asub tasapinnal, millel on ainult kaks mõõdet. Seetõttu suudame tajuda kahemõõtmelisi pilte ja leida need tegelikkusega sarnaseks. (Loomulikult saab silm tänu majutusele hinnata kaugust objektini, kuid see on meie silmadesse ehitatud optikaga seotud kõrvalmõju.)
Neljamõõtmelise ruumi elaniku silmadel peab olema kolmemõõtmeline võrkkest. Selline olend näeb kohe kogu kolmemõõtmelist figuuri: kõiki selle nägusid ja sisemust. (Samamoodi näeme kahemõõtmelist figuuri, kõiki selle nägusid ja sisemust.)
Seega ei suuda me oma nägemisorganite abil neljamõõtmelist kuupi tajuda nii, nagu seda tajuks neljamõõtmelise ruumi elanik. Kahjuks. Jääb üle vaid loota oma vaimusilmale ja kujutlusvõimele, millel pole õnneks füüsilisi piiranguid.
Hüperkuubi tasapinnal kujutamisel olen aga lihtsalt sunnitud tegema selle projektsiooni kahemõõtmelisse ruumi. Võtke seda asjaolu jooniste uurimisel arvesse.
Servade ristumiskohad
Hüperkuubi servad loomulikult ei ristu. Ristmikud on näha ainult joonistel. See ei tohiks aga üllatusena tulla, sest piltidel ristuvad ka tavalise kuubiku servad.
Serva pikkused
Väärib märkimist, et neljamõõtmelise kuubi kõik tahud ja servad on võrdsed. Joonisel pole need võrdsed ainult seetõttu, et asuvad vaatesuuna suhtes erinevate nurkade all. Küll aga on võimalik hüperkuubi pöörata nii, et kõik projektsioonid oleksid ühepikkused.
Alustuseks selgitame, mis on neljamõõtmeline ruum.
See on ühemõõtmeline ruum, see tähendab lihtsalt OX-telg. Igat punkti sellel iseloomustab üks koordinaat.
Nüüd joonistame OY-telje risti OX-teljega. Seega saame kahemõõtmelise ruumi, see tähendab XOY tasapinna. Igat punkti sellel iseloomustavad kaks koordinaati - abstsiss ja ordinaat.
Joonistame OZ-telje risti OX ja OY telgedega. Tulemuseks on kolmemõõtmeline ruum, milles igal punktil on abstsiss, ordinaat ja rakendus.
On loogiline, et neljas telg OQ peaks olema samal ajal risti telgedega OX, OY ja OZ. Kuid me ei saa sellist telge täpselt konstrueerida ja seetõttu saame seda ainult ette kujutada. Igal neljamõõtmelise ruumi punktil on neli koordinaati: x, y, z ja q.
Nüüd vaatame, kuidas neljamõõtmeline kuup ilmus.
Pildil on kujund ühemõõtmelises ruumis – joon.
Kui teete selle joone paralleeltõlke mööda OY-telge ja seejärel ühendate kahe saadud joone vastavad otsad, saate ruudu.
Samamoodi, kui teete ruudu paralleeltõlke piki OZ-telge ja ühendate vastavad tipud, saate kuubiku.
Ja kui teeme kuubi paralleeltõlke piki OQ telge ja ühendame nende kahe kuubi tipud, siis saame neljamõõtmelise kuubi. Muide, seda nimetatakse tesserakt.
Kuubiku joonistamiseks lennukis on seda vaja projekt. Visuaalselt näeb see välja selline: 
Kujutagem ette, et see ripub pinna kohal õhus traatraami mudel kuubik, see tähendab justkui "traadist valmistatud" ja selle kohal on lambipirn. Kui lülitate lambipirni sisse, jälgige pliiatsiga kuubi varju ja seejärel lülitate lambipirni välja, kuvatakse pinnal kuubiku projektsioon.
Liigume edasi millegi veidi keerukama juurde. Vaadake uuesti joonist lambipirniga: nagu näete, koonduvad kõik kiired ühte punkti. Seda nimetatakse kadumispunkt ja seda kasutatakse ehitamiseks perspektiivprojektsioon(ja see võib olla ka paralleelne, kui kõik kiired on üksteisega paralleelsed. Tulemuseks on see, et helitugevuse tunnet ei teki, kuid see on kergem ja pealegi, kui kadumispunkt on projitseeritavast objektist üsna kaugel , siis on nende kahe projektsiooni erinevus vähe märgatav). Antud punkti projitseerimiseks antud tasapinnale kadumispunkti abil tuleb läbi kadumispunkti ja antud punkti tõmmata sirge ning seejärel leida saadud sirge ja tasapinna lõikepunkt. Ja keerukama kujundi, näiteks kuubi projitseerimiseks peate projitseerima selle kõik tipud ja seejärel ühendama vastavad punktid. Tuleb märkida, et algoritm ruumi projitseerimiseks alamruumi saab üldistada 4D->3D puhul, mitte ainult 3D->2D.
Nagu ma ütlesin, ei kujuta me täpselt ette, milline OQ telg välja näeb, täpselt nagu tesserakt. Kuid me saame sellest piiratud ettekujutuse, kui projitseerime selle köitele ja seejärel joonistame selle arvutiekraanile!
Räägime nüüd tesserakti projektsioonist.
Vasakul on kuubi projektsioon tasapinnale ja paremal on tesserakt helitugevusele. Need on üsna sarnased: kuubi projektsioon näeb välja nagu kaks väikest ja suurt ruutu, mis on üksteise sees ja mille vastavad tipud on ühendatud joontega. Ja tesserakti projektsioon näeb välja nagu kaks väikest ja suurt kuubikut, mis on üksteise sees ja mille vastavad tipud on ühendatud. Kuid me kõik oleme kuubikut näinud ja võime kindlalt öelda, et nii väike ruut kui ka suur ruut ning neli trapetsi väikese ruudu kohal, all, paremal ja vasakul on tegelikult ruudud ja need on võrdsed. . Ja tesseraktil on sama asi. Ja suur kuubik, väike kuubik ja kuus kärbitud püramiidid väikese kuubi külgedel - need on kõik kuubikud ja need on võrdsed.
Minu programm ei saa mitte ainult joonistada tesserakti projektsiooni ruumalale, vaid ka seda pöörata. Vaatame, kuidas seda tehakse.
Esiteks ütlen teile, mis see on tasapinnaga paralleelne pöörlemine.
Kujutage ette, et kuubik pöörleb ümber OZ-telje. Seejärel kirjeldab iga selle tipp ringjoont ümber OZ-telje. 
Ring on tasane kujund. Ja kõigi nende ringide tasapinnad on üksteisega paralleelsed ja sissepoole sel juhul paralleelselt XOY tasapinnaga. See tähendab, et me ei saa rääkida ainult pöörlemisest ümber OZ-telje, vaid ka pöörlemisest paralleelselt XOY teljega Nagu näeme, punktide puhul, mis pöörlevad paralleelselt XOY teljega, muutuvad ainult abstsiss ja ordinaat, samas kui aplikaat jääb alles. Ja tegelikult saame rääkida ümber sirgjoone pöörlemisest ainult siis, kui tegemist on kolmemõõtmelise ruumiga. Kahemõõtmelises ruumis pöörleb kõik ümber punkti, neljamõõtmelises ruumis pöörleb kõik ümber tasapinna, viiemõõtmelises ruumis räägime pöörlemisest ümber ruumala. Ja kui me kujutame ette pöörlemist ümber punkti, siis pöörlemine ümber tasapinna ja helitugevuse on midagi mõeldamatut. Ja kui rääkida tasapinnaga paralleelsest pöörlemisest, siis mistahes n-mõõtmelises ruumis võib punkt pöörata paralleelselt tasapinnaga.
Paljud teist on ilmselt kuulnud pöörlemismaatriksist. Korrutades punkti sellega, saame punkti, mis on pööratud paralleelselt tasapinnaga nurga phi võrra. Kahemõõtmelise ruumi puhul näeb see välja järgmine: 
Kuidas korrutada: nurga phi võrra pööratud punkti x = algpunkti nurga phi*ix koosinus miinus algpunkti nurga phi*ig siinus;
nurga phi võrra pööratud punkti ig = algpunkti nurga phi * ix siinus pluss nurga phi * ig koosinus algpunktist.
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, kus Xa ja Ya on pööratava punkti abstsiss ja ordinaat, Xa` ja Ya` on juba pööratud punkti abstsiss ja ordinaat
Kolmemõõtmelise ruumi jaoks on see maatriks üldistatud järgmiselt: 
XOY tasapinnaga paralleelne pöörlemine. Nagu näete, Z-koordinaat ei muutu, vaid muutuvad ainult X ja Y
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (sisuliselt Za`=Za)
XOZ-tasandiga paralleelne pöörlemine. Ei midagi uut,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 – sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (sisuliselt Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za
Ja kolmas maatriks.
Xa=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (põhimõtteliselt Xa=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya – sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za
Ja neljanda mõõtme jaoks näevad nad välja järgmised: 
Ma arvan, et saate juba aru, millega korrutada, nii et ma ei hakka enam detailidesse laskuma. Kuid ma märgin, et see teeb sama asja nagu maatriks, mis võimaldab kolmemõõtmelises ruumis tasapinnaga paralleelselt pöörata! Mõlemad muudavad ainult ordinaati ja rakendust ning ei puuduta teisi koordinaate, nii et seda saab kasutada kolmemõõtmelisel juhul, lihtsalt ei pööra tähelepanu neljandale koordinaadile.
Kuid projektsioonivalemiga pole kõik nii lihtne. Olenemata sellest, kui palju foorumeid ma lugesin, ei töötanud ükski projekteerimismeetod minu jaoks. Paralleel mulle ei sobinud, kuna projektsioon ei näeks välja kolmemõõtmeline. Mõnes projektsioonivalemis on punkti leidmiseks vaja lahendada võrrandisüsteem (ja ma ei tea, kuidas arvutit neid lahendama õpetada), teistes ma lihtsalt ei saanud aru... Üldiselt otsustasin, et mõtlen välja oma tee. Selleks võtke arvesse 2D->1D projektsiooni.
pov tähendab "vaatepunkti", ptp tähendab "punkt projekti" (projitseeritav punkt) ja ptp` on soovitud punkt OX-teljel.
Nurgad povptpB ja ptpptp`A on vastavatena võrdsed (punktiirjoon on paralleelne OX-teljega, sirgjoon povptp on sekant).
Punkti ptp` x on võrdne punkti ptp x-ga miinus lõigu ptp`A pikkus. Selle lõigu võib leida kolmnurgast ptpptp`A: ptp`A = ptpA/nurga ptpptp`A puutuja. Selle puutuja leiame kolmnurgast povptpB: puutuja ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Vastus: Xptp`=Xptp-Yptp/nurga tangens ptpptp`A.
Ma ei kirjeldanud seda algoritmi siin üksikasjalikult, kuna on palju erijuhtumeid, kui valem mõnevõrra muutub. Kellel huvi, vaadake programmi lähtekoodi, seal on kõik kommentaarides kirjeldatud.
Kolmemõõtmelise ruumi punkti tasapinnale projitseerimiseks kaalume lihtsalt kahte tasandit - XOZ ja YOZ ning lahendame selle ülesande igaühe jaoks. Neljamõõtmelise ruumi puhul on vaja arvestada kolme tasapinnaga: XOQ, YOQ ja ZOQ.
Ja lõpuks programmi kohta. See toimib järgmiselt: lähtestage tesserakti kuusteist tippu -> sõltuvalt kasutaja sisestatud käskudest, pöörake seda -> projitseerige see helitugevusele -> sõltuvalt kasutaja sisestatud käskudest, pöörake selle projektsiooni -> projekteerige lennuk -> joonista.
Projektsioonid ja rotatsioonid kirjutasin ise. Need töötavad nende valemite järgi, mida just kirjeldasin. OpenGL-i teek tõmbab jooni ja tegeleb ka värvide segamisega. Ja tesseraktide tippude koordinaadid arvutatakse järgmiselt:
Algpunktis tsentreeritud sirge tippude koordinaadid ja pikkus 2 - (1) ja (-1);
- " - " - ruut - " - " - ja serv pikkusega 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) ja (-1; -1);
- " - " - kuubik - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Nagu näete, on ruut üks joon OY teljest kõrgemal ja üks joon OY teljest allpool; kuubik on üks ruut XOY tasapinna ees ja üks selle taga; Tesserakt on üks kuubik XOYZ-i köite teisel küljel ja üks sellel küljel. Kuid seda ühtede ja miinuste vaheldumist on palju lihtsam tajuda, kui need on kirjutatud veergu
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
Esimeses veerus vahelduvad üks ja miinus üks. Teises veerus on kõigepealt kaks plussi, seejärel kaks miinust. Kolmandas - neli pluss ühte ja seejärel neli miinus ühte. Need olid kuubi tipud. Tesseraktis on neid kaks korda rohkem ja seetõttu tuli nende deklareerimiseks kirjutada silmus, muidu on väga lihtne segadusse sattuda.
Minu programm oskab joonistada ka anaglüüfi. 3D-prillide õnnelikud omanikud saavad jälgida stereoskoopilist pilti. Pildi joonistamises pole midagi keerulist; lihtsalt joonistate tasapinnale kaks projektsiooni parema ja vasaku silma jaoks. Kuid programm muutub palju visuaalsemaks ja huvitavamaks ning mis kõige tähtsam, annab parema ettekujutuse neljamõõtmelisest maailmast.
Vähem olulised funktsioonid on ühe serva punaseks valgustamine, et pöörded oleksid paremini nähtavad, samuti väikesed mugavused - "silma" punktide koordinaatide reguleerimine, pöördekiiruse suurendamine ja vähendamine.
Arhiiv koos programmi, lähtekoodi ja kasutusjuhendiga.