Püramiid. Kärbitud püramiid

Püramiid on hulktahukas, mille üks tahk on hulknurk ( alus ) ja kõik teised tahud on kolmnurgad, millel on ühine tipp ( külgmised näod ) (joonis 15). Püramiidi nimetatakse õige , kui selle alus on korrapärane hulknurk ja püramiidi tipp on projitseeritud aluse keskmesse (joonis 16). Nimetatakse kolmnurkpüramiidi, mille kõik servad on võrdsed tetraeeder .

Külgmised ribid püramiidi külgpinna külg, mis ei kuulu alusele Kõrgus püramiid on kaugus selle tipust aluse tasapinnani. Tavalise püramiidi kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed, kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Hariliku püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgust nimetatakse apoteem . Diagonaalne lõige nimetatakse püramiidi lõiguks tasapinnaga, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku.

Külgmine pindala püramiid on kõigi külgpindade pindalade summa. Kogupindala nimetatakse kõigi külgpindade ja aluse pindalade summaks.

Teoreemid

1. Kui püramiidis on kõik külgmised servad aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse püramiidi tipp aluse lähedale piiritletud ringi keskmesse.

2. Kui püramiidi kõik külgmised servad on võrdse pikkusega, siis projitseeritakse püramiidi tipp aluse lähedale piiritletud ringi keskmesse.

3. Kui püramiidi kõik tahud on aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse püramiidi tipp selle alusele kirjutatud ringi keskmesse.

Suvalise püramiidi ruumala arvutamiseks on õige valem:

Kus V- maht;

S alus– baaspind;

H- püramiidi kõrgus.

Tavalise püramiidi puhul on õiged järgmised valemid:

Kus lk– baasi perimeeter;

h a– apoteem;

H- kõrgus;

S täis

S pool

S alus– baaspind;

V– tavalise püramiidi ruumala.

Kärbitud püramiid nimetatakse püramiidi osaks, mis jääb aluse ja püramiidi põhjaga paralleelse lõiketasandi vahele (joon. 17). Tavaline kärbitud püramiid nimetatakse korrapärase püramiidi osaks, mis jääb aluse ja püramiidi põhjaga paralleelse lõiketasandi vahele.

Põhjused kärbitud püramiid – sarnased hulknurgad. Külgmised näod - trapetsid. Kõrgus kärbitud püramiidi on selle aluste vaheline kaugus. Diagonaal kärbitud püramiid on segment, mis ühendab selle tippe, mis ei asu samal pinnal. Diagonaalne lõige on kärbitud püramiidi läbilõige tasapinnast, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku.

Kärbitud püramiidi puhul kehtivad järgmised valemid:

(4)

Kus S 1 , S 2 – ülemise ja alumise aluse alad;

S täis– kogupindala;

S pool– külgpindala;

H- kõrgus;

V– kärbitud püramiidi ruumala.

Tavalise kärbitud püramiidi puhul on valem õige:

Kus lk 1 , lk 2 – aluste perimeetrid;

h a– tavalise kärbitud püramiidi apoteem.

Näide 1. Tavalise kolmnurkse püramiidi korral on kahetahuline nurk põhjas 60º. Leidke külgserva kaldenurga puutuja aluse tasapinnaga.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 18).

Püramiid on korrapärane, mis tähendab, et selle põhjas on võrdkülgne kolmnurk ja kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Dihedraalne nurk põhjas on püramiidi külgpinna kaldenurk aluse tasapinna suhtes. Lineaarnurk on nurk a kahe risti vahel: jne. Püramiidi tipp projitseeritakse kolmnurga keskpunkti (ümberringi keskpunkt ja kolmnurga sisse kirjutatud ringjoon ABC). Külgmise serva kaldenurk (näiteks S.B.) on nurk serva enda ja selle projektsiooni vahel aluse tasapinnale. Ribi jaoks S.B. see nurk on nurk SBD. Puutuja leidmiseks peate teadma jalgu NII Ja O.B.. Laske segmendi pikkus BD võrdub 3 A. Punkt KOHTA joonelõik BD on jagatud osadeks: ja Alates leiame NII: Siit leiame:

Vastus:

Näide 2. Leidke tavalise kärbitud nelinurkse püramiidi ruumala, kui selle aluste diagonaalid on cm ja cm ning kõrgus on 4 cm.

Lahendus. Kärbitud püramiidi ruumala leidmiseks kasutame valemit (4). Aluste pindala leidmiseks peate leidma aluse ruutude küljed, teades nende diagonaale. Aluste küljed on vastavalt 2 cm ja 8 cm See tähendab aluste pindalasid ja Asendades kõik andmed valemisse, arvutame kärbitud püramiidi ruumala:

Vastus: 112 cm 3.

Näide 3. Leidke tavalise kolmnurkse tüvipüramiidi külgpinna pindala, mille aluste küljed on 10 cm ja 4 cm ning püramiidi kõrgus on 2 cm.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 19).

Selle püramiidi külgkülg on võrdhaarne trapets. Trapetsi pindala arvutamiseks peate teadma alust ja kõrgust. Alused on antud seisukorra järgi, teadmata jääb vaid kõrgus. Me leiame ta, kust A 1 E punktist risti A 1 alumise aluse tasapinnal, A 1 D– risti alates A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, kuna see on püramiidi kõrgus. Leidma DE Teeme lisajoonise, mis näitab pealtvaadet (joon. 20). Punkt KOHTA– ülemise ja alumise aluse tsentrite projektsioon. kuna (vt joon. 20) ja Teisest küljest Okei– ringi sisse kirjutatud raadius ja OM– ringi sisse kirjutatud raadius:

MK = DE.

Pythagorase teoreemi järgi alates

Külgpind:

Vastus:

Näide 4. Püramiidi põhjas asub võrdhaarne trapets, mille alused A Ja b (a> b). Iga külgpind moodustab nurga, mis on võrdne püramiidi aluse tasapinnaga j. Leidke püramiidi kogupindala.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 21). Püramiidi kogupindala SABCD võrdne trapetsi pindala ja pindala summaga ABCD.

Kasutame väidet, et kui püramiidi kõik tahud on aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse tipp alusesse kirjutatud ringi keskmesse. Punkt KOHTA– tipuprojektsioon S püramiidi põhjas. Kolmnurk SOD on kolmnurga ortogonaalprojektsioon CSD aluse tasapinnale. Kasutades teoreemi tasapinnalise kujundi ortogonaalprojektsiooni ala kohta, saame:

Samamoodi tähendab see Seega taandus probleem trapetsi pindala leidmisele ABCD. Joonistame trapetsi ABCD eraldi (joonis 22). Punkt KOHTA– trapetsi sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Kuna trapetsi saab kirjutada ringi, siis või Pythagorase teoreemist saame

Selles õppetükis vaatleme tüvipüramiidi, tutvume tavalise kärbitud püramiidiga ja uurime nende omadusi.

Meenutagem n-nurkse püramiidi mõistet kolmnurkpüramiidi näitel. Kolmnurk ABC on antud. Väljaspool kolmnurga tasapinda võetakse punkt P, mis on ühendatud kolmnurga tippudega. Saadud hulktahulist pinda nimetatakse püramiidiks (joonis 1).

Riis. 1. Kolmnurkne püramiid

Lõikame püramiidi tasapinnaga, mis on paralleelne püramiidi aluse tasandiga. Nende tasandite vahel saadud kujundit nimetatakse kärbitud püramiidiks (joonis 2).

Riis. 2. Kärbitud püramiid

Olulised elemendid:

Ülemine alus;

ABC alumine alus;

Külgpind;

Kui PH on algse püramiidi kõrgus, siis on see kärbitud püramiidi kõrgus.

Kärbitud püramiidi omadused tulenevad selle ehitusmeetodist, nimelt aluste tasandite paralleelsusest:

Kõik kärbitud püramiidi külgpinnad on trapetsikujulised. Mõelge näiteks servale. Sellel on paralleelsete tasapindade omadus (kuna tasapinnad on paralleelsed, lõikavad nad algse AVR-i püramiidi külgpinda mööda paralleelseid sirgeid), kuid samal ajal ei ole nad paralleelsed. Ilmselgelt on nelinurk trapets, nagu kõik kärbitud püramiidi külgpinnad.

Aluste suhe on kõigi trapetside puhul sama:

Meil on mitu paari sarnaseid kolmnurki, millel on sama sarnasuskordaja. Näiteks kolmnurgad ja RAB on sarnased tasandite paralleelsuse ja , sarnasuskoefitsiendi tõttu:

Samal ajal on kolmnurgad ja RVS sarnased sarnasuskoefitsiendiga:

Ilmselgelt on kõigi kolme sarnaste kolmnurkade paari sarnasuskoefitsiendid võrdsed, seega on aluste suhe kõigi trapetside puhul sama.

Tavaline kärbitud püramiid on tüvipüramiid, mis saadakse korrapärase püramiidi lõikamisel, mille tasapind on alusega paralleelne (joonis 3).

Riis. 3. Regulaarne kärbitud püramiid

Definitsioon.

Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui selle alus on korrapärane n-nurk ja selle tipp projitseeritakse selle n-nurga keskpunkti (sissekirjutatud ja piiritletud ringi keskpunkti).

Sel juhul on püramiidi põhjas ruut ja ülaosa projitseeritakse selle diagonaalide ristumispunkti. Saadud korrapärasel nelinurksel kärbitud püramiidil ABCD on alumine alus ja ülemine alus. Algse püramiidi kõrgus on RO, kärbitud püramiidi kõrgus (joon. 4).

Riis. 4. Korrapärane nelinurkne tüvipüramiid

Definitsioon.

Tüvipüramiidi kõrgus on risti, mis on tõmmatud ühe aluse mis tahes punktist teise aluse tasapinnaga.

Algpüramiidi apoteem on RM (M on AB keskpaik), kärbitud püramiidi apoteem on (joon. 4).

Definitsioon.

Tüvipüramiidi apoteem on mis tahes külgpinna kõrgus.

On selge, et kärbitud püramiidi kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed, see tähendab, et külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed trapetsid.

Korrapärase kärbitud püramiidi külgpinna pindala on võrdne poole aluste ja apoteemi perimeetrite summa korrutisega.

Tõestus (tavalise nelinurkse tüvipüramiidi jaoks – joon. 4):

Seega peame tõestama:

Siinne külgpinna pindala koosneb külgpindade pindalade summast - trapetsidest. Kuna trapetsid on samad, on meil:

Võrdhaarse trapetsi pindala on poole aluste ja kõrguse summa korrutis; apoteem on trapetsi kõrgus. Meil on:

Q.E.D.

n-nurkse püramiidi jaoks:

Kus n on püramiidi külgpindade arv, a ja b on trapetsi alused ja apoteem.

Korrapärase kärbitud nelinurkse püramiidi aluse küljed võrdub 3 cm ja 9 cm, kõrgus - 4 cm. Leidke külgpinna pindala.

Riis. 5. 1. ülesande illustratsioon

Lahendus. Illustreerime tingimust:

Küsis: , ,

Läbi punkti O tõmbame alumise aluse kahe küljega paralleelse sirge MN ja sarnaselt läbi punkti tõmbame sirge (joon. 6). Kuna kärbitud püramiidi aluste ruudud ja konstruktsioonid on paralleelsed, saame külgpindadega võrdse trapetsi. Veelgi enam, selle külg läbib külgpindade ülemise ja alumise serva keskpunkte ning on kärbitud püramiidi apoteem.

Riis. 6. Lisakonstruktsioonid

Vaatleme saadud trapetsi (joon. 6). Selles trapetsis on teada ülemine alus, alumine alus ja kõrgus. Peate leidma selle külje, mis on antud kärbitud püramiidi apoteem. Joonistame MN-ga risti. Punktist langetame risti NQ. Leiame, et suurem alus on jagatud kolme sentimeetri pikkusteks segmentideks (). Mõelge täisnurksele kolmnurgale, selles olevad jalad on teada, see on Egiptuse kolmnurk, Pythagorase teoreemi abil määrame hüpotenuusi pikkuse: 5 cm.

Nüüd on kõik elemendid püramiidi külgpinna pindala määramiseks:

Püramiidi lõikab alusega paralleelne tasapind. Tõesta kolmnurkpüramiidi näitel, et selle tasandiga jagatakse püramiidi külgservad ja kõrgus võrdelisteks osadeks.

Tõestus. Illustreerime:

Riis. 7. 2. ülesande illustratsioon

RABC püramiid on antud. PO - püramiidi kõrgus. Püramiid lõigatakse tasapinnaga, saadakse kärbitud püramiid ja. Punkt – RO kõrguse ja kärbitud püramiidi aluse tasapinna lõikepunkt. On vaja tõestada:

Lahenduse võtmeks on paralleelsete tasandite omadus. Kaks paralleelset tasapinda lõikuvad mis tahes kolmanda tasapinna nii, et lõikejooned on paralleelsed. Siit: . Vastavate joonte paralleelsus eeldab nelja paari sarnase kolmnurga olemasolu:

Kolmnurkade sarnasusest tuleneb vastavate külgede proportsionaalsus. Oluline omadus on see, et nende kolmnurkade sarnasuskoefitsiendid on samad:

Q.E.D.

Aluse kõrguse ja küljega korrapärane kolmnurkne püramiid RABC tükeldatakse tasapinnaga, mis läbib kõrguse PH keskosa paralleelselt aluse ABC-ga. Leidke saadud kärbitud püramiidi külgpindala.

Lahendus. Illustreerime:

Riis. 8. 3. ülesande illustratsioon

ACB on korrapärane kolmnurk, H on selle kolmnurga keskpunkt (sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunkt). RM on antud püramiidi apoteem. - kärbitud püramiidi apoteem. Vastavalt paralleelsete tasandite omadusele (kaks paralleelset tasapinda lõikavad suvalise kolmanda tasapinna nii, et lõikejooned on paralleelsed) on meil mitu paari sarnaseid kolmnurki, millel on võrdne sarnasuskordaja. Eelkõige oleme huvitatud suhetest:

Leiame NM. See on alusesse kirjutatud ringi raadius; me teame vastavat valemit:

Nüüd leiame täisnurksest kolmnurgast PHM Pythagorase teoreemi kasutades RM - algse püramiidi apoteemi:

Algsest suhtest:

Nüüd teame kõiki elemente kärbitud püramiidi külgpinna pindala leidmiseks:

Niisiis tutvusime kärbitud püramiidi ja tavalise kärbitud püramiidi mõistetega, andsime põhidefinitsioonid, uurisime omadusi ja tõestasime teoreemi külgpinna pindala kohta. Järgmises tunnis keskendutakse probleemide lahendamisele.

Bibliograafia

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geomeetria. 10.-11. klass: õpik üldharidusasutuste õpilastele (põhi- ja erialatase) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. väljaanne, rev. ja täiendav - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill.
2. Sharygin I. F. Geomeetria. 10.-11. klass: Õpik üldharidusasutustele / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 lk.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geomeetria. 10. klass: matemaatika süva- ja erialaõppega õpik üldharidusasutustele /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. väljaanne, stereotüüp. - M.: Bustard, 2008. - 233 lk.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru ().

Kodutöö

on hulktahukas, mille moodustavad püramiidi alus ja sellega paralleelne lõik. Võime öelda, et kärbitud püramiid on püramiid, mille tipp on ära lõigatud. Sellel joonisel on palju ainulaadseid omadusi:

• Püramiidi külgmised pinnad on trapetsikujulised;
• Korrapärase kärbitud püramiidi külgmised servad on ühepikkused ja aluse suhtes sama nurga all kaldu;
• Alused on sarnased hulknurgad;
• Tavalises kärbitud püramiidis on tahud identsed võrdhaarsed trapetsid, mille pindala on võrdne. Samuti on need ühe nurga all aluse suhtes kaldu.

Kärbitud püramiidi külgpinna pindala valem on selle külgede pindalade summa:

Kuna kärbitud püramiidi küljed on trapetsikujulised, peate parameetrite arvutamiseks kasutama valemit trapetsikujuline ala. Tavalise kärbitud püramiidi puhul saate pindala arvutamiseks kasutada teistsugust valemit. Kuna selle kõik küljed, tahud ja nurgad aluses on võrdsed, on võimalik rakendada aluse ja apoteemi perimeetrit ning tuletada pindala ka aluse nurga kaudu.

Kui tavalises tüvipüramiidis on tingimuste kohaselt antud apoteem (külje kõrgus) ja aluse külgede pikkused, siis saab pindala arvutada ümbermõõtude summa poolkorrutise kaudu. alused ja apoteem:

Vaatame kärbitud püramiidi külgpinna arvutamise näidet.
Antud on korrapärane viisnurkne püramiid. Apoteem l= 5 cm, suure aluse serva pikkus on a= 6 cm ja serv on väiksemal alusel b= 4 cm. Arvutage kärbitud püramiidi pindala.

Esiteks leiame aluste perimeetrid. Kuna meile on antud viisnurkne püramiid, saame aru, et alused on viisnurgad. See tähendab, et alustel on viie identse küljega joonis. Leiame suurema aluse ümbermõõdu:

Samamoodi leiame väiksema aluse ümbermõõdu:

Nüüd saame arvutada tavalise kärbitud püramiidi pindala. Asendage andmed valemiga:

Seega arvutasime korrapärase kärbitud püramiidi pindala läbi perimeetrite ja apoteemi.

Teine võimalus tavalise püramiidi külgpinna arvutamiseks on valem läbi aluse nurkade ja just nende aluste pindala.

Vaatame arvutuse näidet. Peame meeles, et see valem kehtib ainult tavalise kärbitud püramiidi kohta.

Olgu antud korrapärane nelinurkne püramiid. Alumise aluse serv on a = 6 cm ja ülemise aluse serv b = 4 cm. Dihedraalnurk põhjas on β = 60°. Leidke tavalise kärbitud püramiidi külgpindala.

Esiteks arvutame välja aluste pindala. Kuna püramiid on korrapärane, on kõik aluste servad üksteisega võrdsed. Arvestades, et alus on nelinurk, saame aru, et see on vajalik arvutamiseks väljaku pindala. See on laiuse ja pikkuse korrutis, kuid ruudus on need väärtused samad. Leiame suurema aluse pindala:


Nüüd kasutame leitud väärtusi külgpinna arvutamiseks.

Teades mõnda lihtsat valemit, arvutasime erinevate väärtuste abil hõlpsalt välja kärbitud püramiidi külgmise trapetsi pindala.

See õppetund aitab teil saada aimu teemast "Püramiid. Regulaarne ja kärbitud püramiid." Selles õppetükis tutvume tavalise püramiidi mõistega ja anname sellele definitsiooni. Seejärel tõestame teoreemi korrapärase püramiidi külgpinna kohta ja teoreemi korrapärase tüvipüramiidi külgpinna kohta.

Teema: Püramiid

Õppetund: Regulaarsed ja kärbitud püramiidid

Definitsioon: Korrapärane n-nurkne püramiid on püramiid, mille põhjas on korrapärane n-nurk ja mille kõrgus on projitseeritud selle n-nurga keskmesse (joonis 1).

Riis. 1

Regulaarne kolmnurkne püramiid

Esiteks vaatleme ∆ABC (joonis 2), milles AB=BC=CA (st püramiidi põhjas asub korrapärane kolmnurk). Tavalises kolmnurgas langevad sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid kokku ja on kolmnurga enda keskpunkt. Sel juhul leitakse keskpunkt järgmiselt: leidke keskmine AB - C 1, joonestage lõik CC 1, mis on mediaan, poolitaja ja kõrgus; samamoodi leiame AC - B 1 keskkoha ja joonistame lõigu BB 1. BB 1 ja CC 1 ristumiskohaks saab punkt O, mis on ∆ABC keskpunkt.

Kui ühendada kolmnurga O keskpunkt püramiidi S tipuga, saame püramiidi kõrguse SO ⊥ ABC, SO = h.

Ühendades punkti S punktidega A, B ja C saame püramiidi külgservad.

Saime tavalise kolmnurkse SABC püramiidi (joonis 2).