في هذه المادة سوف ننظر إلى ما هي قوة الرقم. بالإضافة إلى التعريفات الأساسية، سنقوم بصياغة ما هي القوى ذات الأسس الطبيعية والصحيحة والعقلانية وغير العقلانية. كما هو الحال دائمًا، سيتم توضيح جميع المفاهيم بأمثلة للمسائل.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

أولا دعونا صياغة التعريف الأساسيدرجات مع الأس الطبيعي. للقيام بذلك، علينا أن نتذكر القواعد الأساسية للضرب. دعونا نوضح مقدمًا أنه في الوقت الحالي سنأخذ الرقم الحقيقي كقاعدة (يُشار إليه بالحرف أ)، والرقم الطبيعي كمؤشر (يُشار إليه بالحرف n).

التعريف 1

قوة الرقم a مع الأس الطبيعي n هي حاصل ضرب العدد n من العوامل، كل منها يساوي الرقم a. الدرجة تكتب هكذا : ن، وفي شكل صيغة يمكن تمثيل تكوينها على النحو التالي:

على سبيل المثال، إذا كان الأس هو 1 والقاعدة هي a، فسيتم كتابة القوة الأولى لـ a هكذا أ 1. بما أن a هي قيمة العامل و1 هو عدد العوامل، فيمكننا استنتاج ذلك أ 1 = أ.

بشكل عام، يمكننا القول أن الدرجة العلمية هي شكل مناسب للتسجيل كمية كبيرةعوامل متساوية. لذلك، سجل النموذج 8 8 8 8يمكن اختصارها إلى 8 4 . وبنفس الطريقة تقريبًا، يساعدنا المنتج على تجنب كتابة عدد كبير من المصطلحات (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4)؛ لقد ناقشنا هذا بالفعل في المقالة المخصصة لضرب الأعداد الطبيعية.

كيف تقرأ إدخال الدرجة بشكل صحيح؟ الخيار المقبول بشكل عام هو "أ إلى قوة ن". أو يمكنك أن تقول "القوة n لـ" أو "القوة anth". إذا، على سبيل المثال، في المثال واجهنا الإدخال 8 12 يمكننا قراءة "8 أس 12" أو "8 أس 12" أو "8 أس 12".

القوى الثانية والثالثة من الأرقام لها أسماءها الخاصة: المربع والمكعب. فإذا رأينا القوة الثانية مثلاً الرقم 7 (2 7)، فيمكننا أن نقول "7 تربيع" أو "مربع العدد 7". وكذلك الدرجة الثالثة تقرأ هكذا: 5 3 - هذا هو "مكعب الرقم 5" أو "5 مكعب". ومع ذلك، يمكنك أيضًا استخدام الصيغة القياسية "للقوة الثانية/الثالثة"؛ وهذا لن يكون خطأ.

مثال 1

دعونا نلقي نظرة على مثال لدرجة ذات أس طبيعي: for 5 7 خمسة سيكون الأساس، وسبعة سيكون الأس.

ليس من الضروري أن تكون القاعدة عددًا صحيحًا: للدرجة (4 , 32) 9 سيكون الأساس هو الكسر 4، 32، والأس سيكون تسعة. انتبه إلى الأقواس: يتم هذا الترميز لجميع القوى التي تختلف أسسها عن الأعداد الطبيعية.

على سبيل المثال: 1 2 3، (- 3) 12، - 2 3 5 2، 2، 4 35 5، 7 3.

ما هي الأقواس ل؟ أنها تساعد على تجنب الأخطاء في الحسابات. لنفترض أن لدينا مدخلين: (− 2) 3 و − 2 3 . الأول يعني عددًا سالبًا ناقص اثنين مرفوعًا إلى قوة أسها الطبيعي ثلاثة؛ والثاني هو الرقم المقابل للقيمة المقابلة للدرجة 2 3 .

في بعض الأحيان، يمكنك العثور في الكتب على تهجئة مختلفة قليلاً لقوة الرقم - أ ^ ن(حيث a هو الأساس و n هو الأس). أي أن 4^9 هو نفسه 4 9 . في حالة ن هو رقم متعدد الأرقام، يؤخذ بين قوسين. على سبيل المثال, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . لكننا سوف نستخدم الترميز نكما هو أكثر شيوعا.

من السهل تخمين كيفية حساب قيمة الأس باستخدام الأس الطبيعي من تعريفه: ما عليك سوى ضرب العدد n من المرات. لقد كتبنا المزيد عن هذا في مقال آخر.

مفهوم الدرجة هو عكس مفهوم رياضي آخر - جذر الرقم. إذا عرفنا قيمة القوة والأس، فيمكننا حساب قاعدتها. تحتوي الدرجة على بعض الخصائص المحددة المفيدة في حل المشكلات، والتي ناقشناها في مادة منفصلة.

يمكن أن تتضمن الأسس ليس فقط الأعداد الطبيعية، ولكن أيضًا أي قيم صحيحة بشكل عام، بما في ذلك الأعداد السالبة والأصفار، لأنها تنتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد الصحيحة.

التعريف 2

يمكن تمثيل قوة الرقم الذي يحتوي على عدد صحيح موجب كصيغة: .

في هذه الحالة، n هو أي عدد صحيح موجب.

دعونا نفهم مفهوم درجة الصفر. للقيام بذلك، نستخدم طريقة تأخذ في الاعتبار خاصية خارج القسمة للقوى ذات الأساس المتساوي. ويتم صياغتها على النحو التالي:

التعريف 3

المساواة أ م: أ ن = أ م – نسيكون صحيحا في ظل الشروط التالية: m و n عددان طبيعيان، m< n , a ≠ 0 .

الشرط الأخير مهم لأنه يتجنب القسمة على صفر. إذا كانت قيمتي m و n متساويتين نحصل على النتيجة التالية: أ ن: أ ن = أ ن − ن = أ 0

ولكن في نفس الوقت n: a n = 1 هو حاصل القسمة أعداد متساوية نو أ. وتبين أن القوة الصفرية لأي عدد غير الصفر تساوي واحدًا.

ومع ذلك، فإن مثل هذا الدليل لا ينطبق على الصفر أس صفر. للقيام بذلك، نحتاج إلى خاصية أخرى للقوى - خاصية منتجات القوى ذات القواعد المتساوية. تبدو هكذا: أ م · أ ن = أ م + ن .

إذا كان n يساوي 0، إذن أ م · أ 0 = أ م(وهذه المساواة تثبت لنا ذلك أيضًا أ 0 = 1). لكن إذا كان و يساوي صفرًا أيضًا، فإن المساواة تأخذ الصورة 0 م · 0 0 = 0 م، سيكون صحيحًا لأي قيمة طبيعية لـ n، ولا يهم بالضبط ما تساويه قيمة الدرجة 0 0 أي أنها يمكن أن تساوي أي رقم، وهذا لن يؤثر على دقة المساواة. ولذلك، تدوين النموذج 0 0 ليس لها معنى خاص بها، ولن ننسبها إليها.

إذا رغبت في ذلك، فمن السهل التحقق من ذلك أ 0 = 1يتقارب مع خاصية الدرجة (أ م) ن = أ م نبشرط ألا يكون أساس الدرجة صفراً. وبالتالي، فإن قوة أي عدد غير الصفر وأسه صفر هي واحد.

مثال 2

دعونا نلقي نظرة على مثال بأرقام محددة: إذن، 5 0 - وحدة، (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , والقيمة 0 0 غير معرف.

بعد الدرجة الصفرية، علينا فقط أن نعرف ما هي الدرجة السالبة. للقيام بذلك، نحتاج إلى نفس خاصية حاصل ضرب القوى ذات الأساس المتساوي التي استخدمناها أعلاه: a m · a n = a m + n.

دعونا نقدم الشرط: m = − n، إذًا يجب ألا يساوي a الصفر. إنه يتبع هذا أ − ن · أ ن = أ − ن + ن = أ 0 = 1. اتضح أن ن و أ−نلدينا أرقام متبادلة.

ونتيجة لذلك، بشكل عام درجة سلبيةليس أكثر من الكسر 1 a n .

تؤكد هذه الصيغة أنه للحصول على درجة تحتوي على عدد صحيح مؤشر سلبيجميع الخصائص نفسها التي تمتلكها الدرجة ذات الأس الطبيعي (شريطة أن الأساس لا يساوي الصفر) صالحة.

مثال 3

يمكن تمثيل القوة a مع عدد صحيح سالب n ككسر 1 a n . وهكذا، أ - ن = 1 ن يخضع ل أ ≠ 0و n هو أي عدد طبيعي.

دعونا نوضح فكرتنا بأمثلة محددة:

مثال 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

وسنحاول في الجزء الأخير من الفقرة تصوير كل ما قيل بوضوح في صيغة واحدة:

التعريف 4

قوة الرقم ذو الأس الطبيعي z هي: a z = a z، e مع l و z - عدد صحيح موجب 1، z = 0 و a ≠ 0، (بالنسبة لـ z = 0 و a = 0 تكون النتيجة 0 0، لم يتم تحديد قيم التعبير 0 0) 1 a z، إذا كان و z عددًا صحيحًا سالبًا و ≠ 0 (إذا كان z عددًا صحيحًا سالبًا و a = 0 تحصل على 0 z، فإن القيمة egoz غير محددة)

ما هي القوى ذات الأس العقلاني؟

قمنا بفحص الحالات التي يحتوي فيها الأس على عدد صحيح. ومع ذلك، يمكنك رفع رقم إلى قوة حتى عندما يحتوي أسه على رقم كسري. وهذا ما يسمى القوة ذات الأس العقلاني. وفي هذا القسم سنثبت أن لها نفس خصائص القوى الأخرى.

ماذا حدث أرقام نسبية؟ تتضمن مجموعتها أرقامًا كاملة وكسرية، ويمكن تمثيل الأرقام الكسرية ككسور عادية (سواء كانت إيجابية أو سلبية). دعونا نقوم بصياغة تعريف قوة الرقم أ مع الأس الكسري م / ن، حيث ن هو عدد طبيعي و م هو عدد صحيح.

لدينا درجة ما مع الأس الكسرى a m n . لكي تكون خاصية القدرة على السلطة صحيحة، يجب أن تكون المساواة a m n n = a m n · n = a m صحيحة.

بالنظر إلى تعريف الجذر n وأن a m n n = a m، يمكننا قبول الشرط a m n = a m n إذا كان a m n منطقيًا للقيم المعطاة لـ m و n و a.

الخصائص المذكورة أعلاه للدرجة ذات الأس الصحيح ستكون صحيحة تحت الشرط a m n = a m n .

الاستنتاج الرئيسي من تفكيرنا هو: قوة عدد معين أ مع الأس الكسري م / ن هو الجذر النوني للرقم أ أس م. وهذا صحيح إذا ظل التعبير a m n ذا معنى بالنسبة لقيم معينة مثل m وn وa.

1. يمكننا تحديد قيمة قاعدة الدرجة: لنأخذ a، والتي بالنسبة للقيم الإيجابية لـ m ستكون أكبر من أو تساوي 0، وللقيم السالبة - أقل تمامًا (لأن لـ m ≥ 0 نحن نحصل 0 مولكن لم يتم تحديد هذه الدرجة). في هذه الحالة، سيبدو تعريف الدرجة ذات الأس الكسرية كما يلي:

القوة ذات الأس الكسرى m/n لبعض الأرقام الموجبة a هي الجذر النوني للأس مرفوعًا. يمكن التعبير عن ذلك بصيغة:

بالنسبة للأس ذو الأساس الصفري، يكون هذا الحكم مناسبًا أيضًا، ولكن فقط إذا كان أسه رقمًا موجبًا.

يمكن التعبير عن قوة ذات قاعدة صفر وأس موجب كسري m/n

0 m n = 0 m n = 0 بشرط أن m عدد صحيح موجب و n عدد طبيعي.

في تصرف سلبيم ن< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

دعونا نلاحظ نقطة واحدة. وبما أننا قدمنا ​​الشرط الذي يكون a أكبر من أو يساوي الصفر، فقد انتهى بنا الأمر إلى تجاهل بعض الحالات.

التعبير a m n لا يزال منطقيًا في بعض الأحيان بالنسبة لبعض القيم السلبية لـ a وبعض m. وبالتالي، فإن الإدخالات الصحيحة هي (- 5) 2 3، (- 1، 2) 5 7، - 1 2 - 8 4، حيث يكون الأساس سالبًا.

2. الطريقة الثانية هي النظر بشكل منفصل إلى جذر a m n مع الأسس الزوجية والفردية. ثم سنحتاج إلى إدخال شرط آخر: الدرجة أ، التي يوجد في أسها كسر عادي قابل للاختزال، تعتبر هي الدرجة أ، التي يوجد في أسها الكسر المقابل غير القابل للاختزال. سنشرح لاحقًا سبب حاجتنا إلى هذا الشرط وسبب أهميته. وبالتالي، إذا كان لدينا الرمز a m · k n · k ، فيمكننا اختزاله إلى m n وتبسيط الحسابات.

إذا ن – عدد فردي، وقيمة m موجبة، a هو أي رقم غير سالب، إذن a m n منطقي. شرط أن يكون a غير سالب ضروري لأنه لا يمكن استخراج جذر الدرجة الزوجية من رقم سالب. إذا كانت قيمة m موجبة، فيمكن أن تكون a سالبة وصفرًا، لأن يمكن أخذ الجذر الفردي من أي عدد حقيقي.

دعونا نجمع كل التعريفات المذكورة أعلاه في إدخال واحد:

هنا m/n يعني كسرًا غير قابل للاختزال، وm هو أي عدد صحيح، وn هو أي عدد طبيعي.

التعريف 5

بالنسبة لأي جزء عادي قابل للاختزال m · k n · k يمكن استبدال الدرجة بـ a m n .

قوة الرقم أ مع الأس الكسري غير القابل للاختزال م / ن - يمكن التعبير عنها كـ م ن في الحالات التالية: - لأي قيم صحيحة حقيقية موجبة m وقيم طبيعية فردية n. مثال: 2 5 3 = 2 5 3، (- 5، 1) 2 7 = (- 5، 1) - 2 7، 0 5 19 = 0 5 19.

لأي حقيقي غير الصفر a، القيم الصحيحة السالبة لـ m والقيم الفردية لـ n، على سبيل المثال، 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

بالنسبة لأي عدد غير سالب a، عدد صحيح موجب m وحتى n، على سبيل المثال، 2 1 4 = 2 1 4، (5، 1) 3 2 = (5، 1) 3، 0 7 18 = 0 7 18.

لأي عدد موجب a، عدد صحيح سالب m وحتى n، على سبيل المثال، 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

وفي حالة القيم الأخرى، لا يتم تحديد الدرجة ذات الأس الكسرى. أمثلة على هذه الدرجات: - 2 11 6، - 2 1 2 3 2، 0 - 2 5.

الآن دعونا نشرح أهمية الشرط الذي تمت مناقشته أعلاه: لماذا نستبدل الكسر الذي له أس قابل للاختزال بكسر له أس غير قابل للاختزال. لو لم نفعل ذلك، لكان لدينا المواقف التالية، على سبيل المثال، 6/10 = 3/5. إذًا يجب أن يكون صحيحًا (- 1) 6 10 = - 1 3 5 ولكن - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 و (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

إن تعريف الدرجة ذات الأس الكسري، الذي قدمناه أولاً، أكثر ملاءمة للاستخدام العملي من التعريف الثاني، لذلك سنستمر في استخدامه.

التعريف 6

وبالتالي، يتم تعريف قوة الرقم الموجب a مع الأس الكسري m/n على أنها 0 m n = 0 m n = 0. في حالة السلبية أالإدخال a m n لا معنى له. قوة الصفر للأسس الكسرية الموجبة م / نيتم تعريفه على أنه 0 m n = 0 m n = 0، بالنسبة للأسس الكسرية السالبة، لا نحدد درجة الصفر.

وفي الاستنتاجات، نلاحظ أنه يمكن كتابة أي مؤشر كسري في النموذج رقم مختلط، وعلى شكل كسر عشري: 5 1، 7، 3 2 5 - 2 3 7.

عند الحساب، من الأفضل استبدال الأس بكسر عادي ثم استخدام تعريف الأس بالأس الكسري. بالنسبة للأمثلة أعلاه نحصل على:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

ما هي القوى ذات الأسس غير العقلانية والحقيقية؟

ما هي الأعداد الحقيقية؟ وتشمل العديد منهم كلا من العقلانية و أرقام غير منطقية. لذلك، لكي نفهم ما هي الدرجة ذات الأس الحقيقي، نحتاج إلى تعريف الدرجات ذات الأس العقلاني وغير العقلاني. لقد ذكرنا بالفعل تلك العقلانية أعلاه. دعونا نتعامل مع المؤشرات غير العقلانية خطوة بخطوة.

مثال 5

لنفترض أن لدينا رقمًا غير منطقي a وتسلسلًا لتقريباته العشرية a 0 , a 1 , a 2 , . . . . على سبيل المثال، لنأخذ القيمة a = 1.67175331. . . ، ثم

أ 0 = 1, 6, أ 1 = 1, 67, أ 2 = 1, 671, . . . ، أ 0 = 1.67، أ 1 = 1.6717، أ 2 = 1.671753، . . .

يمكننا ربط تسلسلات التقريبات بتسلسل من الدرجات a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . إذا تذكرنا ما قلناه سابقًا عن رفع الأعداد إلى القوى العقلانية، فيمكننا حساب قيم هذه القوى بأنفسنا.

لنأخذ على سبيل المثال أ = 3، ثم أ 0 = 3 1، 67، أ أ 1 = 3 1، 6717، أ أ 2 = 3 1، 671753، . . . إلخ.

يمكن اختزال تسلسل القوى إلى رقم، والذي سيكون قيمة الأس ذات الأساس a والأس غير العقلاني a. ونتيجة لذلك: درجة ذات أس غير عقلاني بالشكل 3 1، 67175331. . يمكن اختزالها إلى الرقم 6، 27.

التعريف 7

يتم كتابة قوة الرقم الموجب a مع الأس غير العقلاني a كـ a . قيمته هي نهاية التسلسل a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . ، حيث 0، أ 1، أ 2، . . . هي تقريبيات عشرية متتالية للرقم غير العقلاني أ. يمكن أيضًا تعريف الدرجة ذات الأساس الصفري للأسس غير المنطقية الموجبة، حيث 0 a = 0، لذا، 0 6 = 0، 0 21 3 3 = 0. ولكن من المستحيل القيام بذلك مع السلبية، لأنه، على سبيل المثال، لم يتم تعريف القيمة 0 - 5، 0 - 2 π. الوحدة المرفوعة إلى أي قوة غير منطقية تظل وحدة، على سبيل المثال، و1 2، 1 5 في 2 و1 - 5 ستكون مساوية لـ 1.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

يعد رفع القوة إلى قوة سلبية أحد العناصر الأساسية في الرياضيات وغالبًا ما يتم مواجهته في حل المشكلات الجبرية. وفيما يلي تعليمات مفصلة.

كيفية الارتقاء إلى القوة السلبية - نظرية

عندما نرفع رقمًا إلى قوة عادية، فإننا نضرب قيمته عدة مرات. على سبيل المثال، 3 3 = 3×3×3 = 27. مع الكسر السالب يكون العكس هو الصحيح. سيكون الشكل العام للصيغة العرض التالي: أ -ن = 1/أ ن . وبالتالي، لرفع رقم إلى قوة سالبة، تحتاج إلى قسمة الرقم على الرقم المحدد، ولكن إلى قوة موجبة.

كيفية رفع القوة إلى القوة السالبة - أمثلة على الأعداد العادية

مع مراعاة القاعدة المذكورة أعلاه، دعونا نحل بعض الأمثلة.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
الجواب: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
الإجابة -4 -2 = 1/16.

ولكن لماذا الإجابات في المثالين الأول والثاني هي نفسها؟ والحقيقة هي أنه عندما يتم رفع عدد سالب إلى قوة زوجية (2، 4، 6، وما إلى ذلك)، تصبح الإشارة موجبة. ولو كانت الدرجة زوجية، لبقي الناقص:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

كيفية رفع الأرقام من 0 إلى 1 إلى قوة سلبية

تذكر أنه عند رفع رقم بين 0 و1 إلى قوة موجبة، تنخفض القيمة مع زيادة القوة. على سبيل المثال، 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

مثال 3: احسب 0.5 -2
الحل: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
الجواب: 0.5 -2 = 4

التحليل (تسلسل الإجراءات):

• تحويل الكسر العشري 0.5 إلى الكسر الكسري 1/2. الأمر أسهل بهذه الطريقة.
  ارفع 1/2 إلى قوة سالبة. 1/(2) -2 . نقسم 1 على 1/(2) 2، نحصل على 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

مثال 4: احسب 0.5 -3
الحل: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

مثال 5: احسب -0.5 -3
الحل: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
الإجابة: -0.5 -3 = -8

بناءً على المثالين الرابع والخامس، يمكننا استخلاص عدة استنتاجات:

• بالنسبة لعدد موجب في النطاق من 0 إلى 1 (مثال 4)، مرفوع إلى قوة سالبة، سواء كانت القوة زوجية أو فردية ليست مهمة، فإن قيمة التعبير ستكون موجبة. علاوة على ذلك، كلما ارتفعت الدرجة، زادت القيمة.
• بالنسبة للرقم السالب في النطاق من 0 إلى 1 (مثال 5)، مرفوعًا إلى قوة سالبة، سواء كانت القوة زوجية أو فردية ليست مهمة، فإن قيمة التعبير ستكون سالبة. في هذه الحالة، كلما ارتفعت الدرجة، انخفضت القيمة.

كيفية الرفع إلى قوة سالبة - قوة على شكل رقم كسري

التعبيرات من هذا النوع لها الشكل التالي: a -m/n، حيث a هو رقم منتظم، m هو بسط الدرجة، n هو مقام الدرجة.

لنلقي نظرة على مثال:
احسب: 8 -1/3

الحل (تسلسل الإجراءات):

• دعونا نتذكر قاعدة رفع الرقم إلى قوة سالبة. نحصل على: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• لاحظ أن المقام هو الرقم 8 أس الكسر. الشكل العام لحساب القدرة الكسرية هو كما يلي: a m/n = n √8 m.
• وبالتالي، 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). نحصل على الجذر التكعيبي لثمانية، وهو ما يساوي 2. ومن هنا، 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• الجواب: 8 -1/3 = 2

عدد مرفوع للقوةيسمون رقمًا مضروبًا في نفسه عدة مرات.

قوة الرقم ذو القيمة السالبة (أ - ن) يمكن تحديدها بطريقة مشابهة لكيفية تحديد قوة نفس الرقم مع الأس الموجب (ن) . ومع ذلك، فإنه يتطلب أيضا تعريف إضافي. يتم تعريف الصيغة على النحو التالي:

أ-ن = (1/أ ن)

خصائص القوى السالبة للأعداد تشبه القوى ذات الأس الموجب. المعادلة المقدمة أ م/أ ن= م-ن قد يكون عادلا

« لا يسمح وضوح الاستنتاج ودقته في أي مكان، كما هو الحال في الرياضيات، للشخص بالتهرب من الإجابة من خلال التحدث حول السؤال».

أ.د ألكساندروف

في ن أكثر م ، ومع م أكثر ن . لنلقي نظرة على مثال: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

تحتاج أولاً إلى تحديد الرقم الذي يعمل بمثابة تعريف للدرجة. ب=أ(-ن) . في هذا المثال -ن هو الأس ب - القيمة العددية المطلوبة، أ - أساس الدرجة على شكل قيمة عددية طبيعية. ثم حدد الوحدة، أي القيمة المطلقة للرقم السالب، والتي تعمل كأسس. حساب درجة رقم معين بالنسبة إلى الرقم المطلق، كمؤشر. يتم العثور على قيمة الدرجة بقسمة واحد على الرقم الناتج.

أرز. 1

ضع في اعتبارك قوة الرقم الذي له أس كسري سالب. لنتخيل أن الرقم a هو أي رقم موجب، أرقام ن و م - الأعداد الصحيحة. حسب التعريف أ ، وهو مرفوع إلى السلطة - يساوي واحدًا مقسومًا على نفس الرقم بقوة موجبة (الشكل 1). عندما تكون قوة الرقم كسرًا، ففي مثل هذه الحالات يتم استخدام الأرقام ذات الأسس الموجبة فقط.

يستحق التذكرهذا الصفر لا يمكن أن يكون أسًا لرقم (قاعدة القسمة على صفر).

أصبح انتشار مفهوم العدد بمثابة تلاعبات مثل حسابات القياس، فضلاً عن تطور الرياضيات كعلم. كان إدخال القيم السالبة بسبب تطور الجبر الذي أعطى حلول عامةالمسائل الحسابية، بغض النظر عن معناها المحدد والبيانات الرقمية الأولية. في الهند، في القرنين السادس والحادي عشر، تم استخدام الأرقام السالبة بشكل منهجي عند حل المشكلات وتم تفسيرها بنفس الطريقة التي يتم بها اليوم. في العلوم الأوروبية، بدأ استخدام الأرقام السالبة على نطاق واسع بفضل R. Descartes، الذي أعطى تفسيرا هندسيا للأرقام السالبة باعتبارها اتجاهات القطاعات. وكان ديكارت هو من اقترح تسمية العدد المرفوع للأس ليتم عرضه كصيغة من طابقين ن .

يتم استخدام القوة لتبسيط عملية ضرب الرقم في نفسه. على سبيل المثال، بدلا من الكتابة، يمكنك الكتابة 4 5 (\displaystyle 4^(5))(يرد شرح لهذا التحول في القسم الأول من هذه المقالة). تسهل الدرجات كتابة تعبيرات أو معادلات طويلة أو معقدة؛ من السهل أيضًا جمع القوى وطرحها، مما ينتج عنه تعبير أو معادلة مبسطة (على سبيل المثال، 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

ملحوظة:إذا كنت بحاجة إلى أن تقرر المعادلة الأسية(في مثل هذه المعادلة المجهول في الأس)، اقرأ.

خطوات

حل المسائل البسيطة بالدرجات

اضرب أساس الأس في نفسه عدة مرات مساوية للأس.إذا كنت بحاجة إلى حل مسألة قوة يدويًا، فأعد كتابة القوة كعملية ضرب، حيث يتم ضرب أساس القوة في نفسه. على سبيل المثال، نظرا لدرجة 3 4 (\displaystyle 3^(4)). في هذه الحالة، يجب ضرب أساس القوة 3 في نفسه 4 مرات: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). فيما يلي أمثلة أخرى:

أولاً، اضرب الرقمين الأولين.على سبيل المثال، 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). لا تقلق - عملية الحساب ليست معقدة كما تبدو للوهلة الأولى. قم أولاً بضرب الأربعتين الأوليين ثم استبدلهما بالنتيجة. مثله:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. اضرب النتيجة (16 في مثالنا) بالرقم التالي.كل نتيجة لاحقة سوف تزيد بشكل متناسب. في مثالنا، اضرب 16 في 4. هكذا:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • استمر في ضرب نتيجة الرقمين الأولين في الرقم التالي حتى تحصل على الإجابة النهائية. للقيام بذلك، اضرب أول رقمين، ثم اضرب النتيجة الناتجة بالرقم التالي في التسلسل. هذه الطريقة صالحة لأي درجة. في مثالنا يجب أن تحصل على: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. حل المشاكل التالية.تحقق من إجابتك باستخدام الآلة الحاسبة.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. في الآلة الحاسبة، ابحث عن المفتاح المسمى "exp" أو " س ن (\displaystyle x^(n))"، أو"^".باستخدام هذا المفتاح سوف تقوم برفع رقم إلى قوة. يكاد يكون من المستحيل حساب الدرجة باستخدام مؤشر كبير يدويًا (على سبيل المثال، الدرجة 9 15 (\displaystyle 9^(15)))، ولكن الآلة الحاسبة يمكنها التعامل بسهولة مع هذه المهمة. في Windows 7، يمكن تحويل الآلة الحاسبة القياسية إلى الوضع الهندسي؛ للقيام بذلك، انقر فوق "عرض" -> "الهندسة". للتبديل إلى الوضع العاديانقر على "عرض" -> "عادي".

   • تحقق من إجابتك باستخدام محرك البحث(جوجل أو ياندكس). باستخدام المفتاح "^" الموجود على لوحة مفاتيح الكمبيوتر، أدخل التعبير في محرك البحث، والذي سيعرض الإجابة الصحيحة على الفور (وربما يقترح تعبيرات مشابهة لدراستها).

   الجمع والطرح وضرب القوى

   1. لا يمكنك إضافة وطرح الدرجات إلا إذا كانت لها نفس الأساسات.إذا كنت بحاجة إلى جمع قوى بنفس الأساس والأسس، فيمكنك استبدال عملية الجمع بعملية الضرب. على سبيل المثال، نظرا للتعبير 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). تذكر أن درجة 4 5 (\displaystyle 4^(5))يمكن تمثيلها في النموذج 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); هكذا، 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(حيث 1 +1 =2). أي أن تحسب عدد الدرجات المتشابهة، ثم تضرب تلك الدرجة في هذا العدد. في مثالنا، ارفع 4 إلى القوة الخامسة، ثم اضرب النتيجة الناتجة في 2. تذكر أنه يمكن استبدال عملية الجمع بعملية الضرب، على سبيل المثال، 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). فيما يلي أمثلة أخرى:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. عند ضرب القوى بنفس الأساس، يتم إضافة أسسها (لا يتغير الأساس).على سبيل المثال، نظرا للتعبير × 2 ∗ × 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). في هذه الحالة، تحتاج فقط إلى إضافة المؤشرات، مع ترك القاعدة دون تغيير. هكذا، x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). وفيما يلي شرح مرئي لهذه القاعدة:

      عند رفع قوة إلى قوة، يتم ضرب الأسس.على سبيل المثال، يتم إعطاء درجة. وبما أن الأسس مضروبة، إذن (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). الهدف من هذه القاعدة هو أنك تضرب بالقوى (x 2) (\displaystyle (x^(2)))على نفسه خمس مرات. مثله:

      • (× 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*س^(2)*س^(2))
      • وبما أن الأساس هو نفسه، فإن الأسس ببساطة تضيف ما يلي: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* س^(2)*س^(2)*س^(2)=س^(10))

   3. يجب تحويل القوة ذات الأس السالب إلى كسر (قوة عكسية).لا يهم إذا كنت لا تعرف ما هي الدرجة المتبادلة. إذا حصلت على درجة ذات أس سلبي، على سبيل المثال. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))، اكتب هذه الدرجة في مقام الكسر (ضع 1 في البسط)، واجعل الأس موجبًا. في مثالنا: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). فيما يلي أمثلة أخرى:

      عند قسمة الدرجات على نفس الأساس، يتم طرح أسسها (لا يتغير الأساس).عملية القسمة هي عكس عملية الضرب. على سبيل المثال، نظرا للتعبير 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). اطرح الأس في المقام من الأس في البسط (لا تغير الأساس). هكذا، 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • يمكن كتابة القوة في المقام على النحو التالي: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). تذكر أن الكسر هو رقم (قوة، تعبير) ذو أس سالب.

   4. فيما يلي بعض التعبيرات التي ستساعدك على تعلم كيفية حل المسائل المتعلقة بالأسس.تغطي التعبيرات الواردة المواد المعروضة في هذا القسم. لمعرفة الإجابة، ما عليك سوى تحديد المساحة الفارغة بعد علامة التساوي.

   حل المسائل مع الأسس الكسرية

   يتم تحويل القوة ذات الأس الكسرى (على سبيل المثال، ) إلى عملية جذر.في مثالنا: × 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). هنا لا يهم الرقم الموجود في مقام الأس الكسري. على سبيل المثال، × 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- هو الجذر الرابع لـ "x" أي × 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. إذا كان الأس كسرًا غير حقيقي، فيمكن تحليل الأس إلى قوتين لتبسيط حل المشكلة. لا يوجد شيء معقد في هذا الأمر، فقط تذكر قاعدة مضاعفة القوى. على سبيل المثال، يتم إعطاء درجة. قم بتحويل هذه القوة إلى جذر تساوي قوته مقام الأس الكسري، ثم ارفع هذا الجذر إلى قوة تساوي بسط الأس الكسري. للقيام بذلك، تذكر ذلك 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3))))*5). في مثالنا:

      • × 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x))))^(5))
   2. تحتوي بعض الآلات الحاسبة على زر لحساب الأسس (يجب عليك أولاً إدخال القاعدة، ثم الضغط على الزر، ثم إدخال الأسس). ويشار إليه بـ ^ أو x^y.
   3. تذكر أن أي رقم أس الأول يساوي نفسه، على سبيل المثال، 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)علاوة على ذلك، فإن أي عدد مضروبًا أو مقسومًا على واحد يساوي نفسه، على سبيل المثال: 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)و 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. اعلم أن القوة 0 0 غير موجودة (مثل هذه القوة ليس لها حل). إذا حاولت حل هذه الدرجة على الآلة الحاسبة أو على الكمبيوتر، فسوف تتلقى خطأ. لكن تذكر أن أي رقم أس صفر هو 1، على سبيل المثال، 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. في الرياضيات العليا التي تعمل بالأرقام التخيلية: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax)، أين i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e ثابت يساوي 2.7 تقريبًا؛ a هو ثابت تعسفي. يمكن العثور على دليل على هذه المساواة في أي كتاب مدرسي عن الرياضيات العليا.

   تحذيرات

   • ومع زيادة الأس، تزداد قيمته بشكل كبير. لذا، إذا بدت الإجابة خاطئة بالنسبة لك، فقد تكون صحيحة بالفعل. يمكنك التحقق من ذلك عن طريق رسم أي منها وظيفة الأسيةعلى سبيل المثال 2 × .

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. دليل شامل (2019)

لماذا هناك حاجة إلى درجات؟ أين ستحتاجهم؟ لماذا يجب أن تأخذ الوقت الكافي لدراستها؟

لتتعلم كل شيء عن الدرجات العلمية والغرض منها وكيفية استخدام معرفتك فيها الحياة اليوميةاقرأ هذه المقالة.

وبالطبع فإن معرفة الدرجات ستقربك من النجاح تمرير OGEأو امتحان الدولة الموحدة والقبول في جامعة أحلامك.

لنذهب لنذهب!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك، اضغط على CTRL+F5 (في نظام Windows) أو Cmd+R (في نظام Mac).

مستوى اول

الأس هو عملية رياضية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء باللغة البشرية بلغة شديدة أمثلة بسيطة. احرص. الأمثلة أولية، ولكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالإضافة.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: نحن ثمانية. كل شخص لديه زجاجتين من الكولا. كم الكولا هناك؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بشكل مختلف: . علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسالى. يلاحظون أولاً بعض الأنماط، ثم يكتشفون طريقة "لعدها" بشكل أسرع. وفي حالتنا، لاحظوا أن كل واحد من الأشخاص الثمانية نفس العددزجاجات الكولا وتوصلوا إلى تقنية تسمى الضرب. أوافق، فهو يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك، لحساب أسرع وأسهل وبدون أخطاء، عليك فقط أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأكثر صعوبة ومع وجود أخطاء! لكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وأخرى أجمل:

ما هي حيل العد الذكية الأخرى التي ابتكرها علماء الرياضيات الكسالى؟ يمين - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات، يقول علماء الرياضيات أنك بحاجة إلى رفع هذا الرقم إلى القوة الخامسة. على سبيل المثال، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس خمسة يساوي... وهم يحلون مثل هذه المشاكل في رؤوسهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

كل ما عليك فعله هو تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأرقام. صدقني، هذا سيجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة لماذا سميت بالدرجة الثانية؟ مربعالأرقام والثالثة مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ جداً سؤال جيد. الآن سيكون لديك المربعات والمكعبات.

مثال واقعي رقم 1

لنبدأ بالمربع أو القوة الثانية للرقم.

تخيل حوض سباحة مربعًا بقياس متر في متر واحد. حمام السباحة في داشا الخاص بك. الجو حار وأريد حقًا السباحة. لكن...البركة ليس لها قاع! تحتاج إلى تغطية الجزء السفلي من حوض السباحة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ من أجل تحديد ذلك، عليك أن تعرف المنطقة السفلية للمسبح.

يمكنك ببساطة أن تحسب من خلال الإشارة بإصبعك أن قاع حوض السباحة يتكون من مكعبات متر بمتر. إذا كان لديك بلاط بطول متر في متر واحد، فستحتاج إلى قطع. إنه أمر سهل... ولكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ من المرجح أن يكون حجم البلاط سمًا سمًا وبعد ذلك سيتم تعذيبك عن طريق "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتضاعف. لذلك، على جانب واحد من الجزء السفلي من حوض السباحة، سنضع البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا البلاط. اضرب في وستحصل على البلاط ().

هل لاحظت أنه لتحديد مساحة قاع حوض السباحة قمنا بضرب نفس العدد في نفسه؟ ماذا يعني ذلك؟ وبما أننا نضرب نفس العدد، فيمكننا استخدام تقنية "الضرب الأسي". (بالطبع، عندما يكون لديك رقمين فقط، فلا تزال بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهما، فإن رفعهما إلى قوة يكون أسهل بكثير كما أن هناك أخطاء أقل في العمليات الحسابية بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، هذا مهم جدًا).
إذن، ثلاثين مرفوعًا للقوة الثانية سيكون (). أو يمكننا القول أن ثلاثين تربيع سيكون كذلك. بمعنى آخر، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لأي رقم على شكل مربع. والعكس صحيح، إذا رأيت مربعًا، فهو دائمًا القوة الثانية لعدد ما. المربع هو صورة للقوة الثانية للرقم.

مثال واقعي رقم 2

إليك مهمة لك: احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية أو... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج عبارة عن مربع ذو جانب، فيمكنك تربيع ثمانية. سوف تحصل على الخلايا. () لذا؟

مثال واقعي رقم 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة للرقم. نفس المسبح. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا المسبح. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة، يتم قياس الأحجام والسوائل بالمتر المكعب. وهو أمر غير متوقع، أليس كذلك؟) ارسم حوض سباحة: حجم القاع متر وعمق متر، وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في متر. تتناسب مع حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة... اثنان وعشرون، ثلاثة وعشرون... كم عدد ما حصلت عليه؟ غير ضائع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم حمام السباحة، تحتاج إلى مضاعفة طوله وعرضه وارتفاعه ببعضها البعض. في حالتنا، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات... أسهل، أليس كذلك؟

تخيل الآن مدى كسل ومكر علماء الرياضيات إذا قاموا بتبسيط هذا الأمر أيضًا. لقد خفضنا كل شيء إلى إجراء واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساوون وأن نفس العدد مضروب في نفسه... ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك الاستفادة من الدرجة. لذا، فإن ما عددته بإصبعك ذات مرة، يقومون به في إجراء واحد: ثلاثة مكعبات يساوي. ويكتب هكذا : .

كل ما تبقى هو تذكر جدول الدرجات. ما لم تكن بالطبع كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت تحب العمل الجاد وارتكاب الأخطاء، فيمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا، لإقناعك أخيرًا أن الدرجات العلمية تم اختراعها من قبل المنهكين والأشخاص الماكرين لحل درجاتهم الخاصة مشاكل الحياة، وحتى لا تخلق مشاكل لك، إليك بعض الأمثلة الأخرى من الحياة.

مثال واقعي رقم 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تجنيه، تكسب مليونًا آخر. أي أن كل مليون منكم يتضاعف في بداية كل عام. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت تجلس الآن وتقوم "بالعد بإصبعك"، فأنت شخص مجتهد للغاية و... غبي. ولكن على الأرجح سوف تعطي إجابة في بضع ثوان، لأنك ذكي! إذًا، في السنة الأولى - اثنان مضروبًا في اثنين... وفي السنة الثانية - ماذا حدث باثنين آخرين، في السنة الثالثة... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرات. إذن اثنان أس خمسة يساوي مليونًا! الآن تخيل أن لديك منافسة والشخص الذي يستطيع العد بشكل أسرع سيحصل على هذه الملايين... من الجدير أن نتذكر قوى الأرقام، ألا تعتقد ذلك؟

مثال واقعي رقم 5

لديك مليون. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تجنيه، تكسب مليونين إضافيين. عظيم أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ دعونا نحسب. السنة الأولى - اضرب ب، ثم النتيجة بأخرى... إنه أمر ممل بالفعل، لأنك فهمت كل شيء بالفعل: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن، إلى القوة الرابعة يساوي مليونًا. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة أس أربعة هو أو.

الآن أنت تعلم أنه من خلال رفع الرقم إلى قوة ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعونا نلقي نظرة أخرى على ما يمكنك فعله بالدرجات العلمية وما تحتاج إلى معرفته عنها.

مصطلحات ومفاهيم... حتى لا نلتبس

لذلك، أولا، دعونا نحدد المفاهيم. ماذا تعتقد، ما هو الأس؟ الأمر بسيط جدًا - إنه الرقم الموجود "في أعلى" قوة الرقم. ليست علمية، ولكنها واضحة وسهلة التذكر.

حسنا، في نفس الوقت، ماذا مثل هذا الأساس درجة؟ والأبسط من ذلك هو الرقم الموجود أدناه في القاعدة.

هنا رسم لحسن التدبير.

كذلك في منظر عام، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل... الدرجة ذات الأساس "" والأس "" تقرأ على أنها "إلى الدرجة" وتكتب على النحو التالي:

قوة الرقم مع الأس الطبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي تستخدم في العد عند إدراج الأشياء: واحد، اثنان، ثلاثة... عندما نعد الأشياء، لا نقول: "ناقص خمسة"، "ناقص ستة"، "ناقص سبعة". كما أننا لا نقول: «الثلث»، أو «صفر نقطة خمسة». هذه ليست أرقاما طبيعية. ما هي هذه الأرقام في نظرك؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة"، و"ناقص ستة"، و"ناقص سبعة". الأعداد الكلية.بشكل عام، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية، والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية (أي، المأخوذة بعلامة الطرح)، والعدد. من السهل فهم الصفر - فهو يحدث عندما لا يكون هناك شيء. ماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للإشارة إلى الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أرقام عقلانية. كيف نشأت، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين، اكتشف أسلافنا أنهم يفتقرون إلى الأرقام الطبيعية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى ذلك أرقام نسبية... مثير للاهتمام، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أرقام غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار، لا نهاية لها عدد عشري. على سبيل المثال، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعونا نحدد مفهوم الدرجة التي أسها عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. تربيع الرقم يعني ضربه في نفسه:
3. تكعيب الرقم يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات:

تعريف.ارفع الرقم الى درجة طبيعية- يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجات

ومن أين أتت هذه العقارات؟ سأظهر لك الآن.

دعونا نرى: ما هو و ?

أ-بريوري:

كم عدد المضاعفات الموجودة في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا مضاعفات إلى العوامل، وكانت النتيجة مضاعفات.

لكن بحكم التعريف، هذه قوة عدد ذات أس، أي: وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال: تبسيط التعبير.

حل:

مثال:تبسيط التعبير.

حل:ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب!
ولذلك نجمع القوى مع القاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

2. هذا كل شيء القوة رقم

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة رقم 1 للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي:

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟

ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟

في صلاحيات مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟ مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا تضاعفنا، فإنه يعمل.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

وإليك الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى، أتمنى أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا، باستثناء عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

مثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة للممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى القوة صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.

هيا لنذهب. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي القوة السالبة، دعونا نفعل ما حدث في المرة السابقة: ضرب عدد عادي في نفس الرقم إلى قوة سالبة:

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

الرقم الذي له قوة سالبة هو مقلوب نفس الرقم الذي له قوة موجبة. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. رقم، لا يساوي الصفر، إلى درجة سالبة هو معكوس نفس الرقم إلى درجة موجبة: .

مهام الحل المستقل:

حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام نسبية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

وهذا يعني أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

لقد أتضح أن. من الواضح أن هذا حالة خاصةيمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أنه لا يمكن رفع هذه الأرقام إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. ولكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛

...درجة مع الأس الصحيح السلبي- يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن على يقين من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بقاعدة رفع قوة إلى قوة، وهو أمر معتاد بالنسبة لنا:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا يوجد شيء مميز، فلنستخدمه الخصائص العاديةدرجات:

مستوى متقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(بما أنه لا يمكنك القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

• - عدد طبيعي؛
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

أ-بريوري:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

ولكنها بحكم التعريف هي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع القوى مع القاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد ترتيب هذا العمل مثل هذا:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة رقم 1 للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر فِهرِسدرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا ضربنا في () نحصل على - .

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. يمكننا صياغة ما يلي قواعد بسيطة:

1. حتىالدرجة - العدد إيجابي.
2. تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - العدد سلبي.
3. الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
4. صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، باستثناء عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ فإذا تذكرنا ذلك اتضح ذلك، وبالتالي الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن ننظر إلى القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

حلول :

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!

نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة 3، ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية عمليه الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه بنفسه، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنه بالأحرى كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه!

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
2. نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
3. لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

• تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - العدد إيجابي.
• تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - العدد سلبي.
• الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!