من بين العدد الكبير من المجموعات المختلفة ، تعتبر المجموعات العددية مثيرة للاهتمام ومهمة بشكل خاص ، أي تلك المجموعات التي تكون عناصرها أرقامًا. من الواضح أنه من أجل العمل مع المجموعات العددية ، من الضروري أن تكون لديك مهارة في كتابتها ، وكذلك صورها على خط الإحداثيات.

كتابة مجموعات رقمية

الترميز المقبول عمومًا لأي مجموعة هو الأحرف الكبيرة للأبجدية اللاتينية. مجموعات الأرقام ليست استثناء. على سبيل المثال ، يمكننا التحدث عن مجموعات الأرقام B أو F أو S ، إلخ. ومع ذلك ، هناك أيضًا علامة مقبولة بشكل عام للمجموعات العددية اعتمادًا على العناصر المدرجة فيها:

N هي مجموعة الأعداد الطبيعية ؛ Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة ؛ Q هي مجموعة الأرقام المنطقية ؛ J هي مجموعة الأعداد غير المنطقية ؛ R هي مجموعة الأعداد الحقيقية ؛ C هي مجموعة الأعداد المركبة.

يتضح أن التعيين ، على سبيل المثال ، لمجموعة تتكون من رقمين: - 3 ، 8 بالحرف J يمكن أن يكون مضللاً ، لأن هذا الحرف يشير إلى مجموعة الأرقام غير المنطقية. لذلك ، للإشارة إلى المجموعة - 3 ، 8 ، سيكون من الأنسب استخدام نوع من الحرف المحايد: A أو B ، على سبيل المثال.

نتذكر أيضًا الترميز التالي:

• ∅ عبارة عن مجموعة فارغة أو مجموعة بدون عناصر مكونة ؛
• ∈ أو ∉ - علامة العضوية أو عدم العضوية في عنصر في مجموعة. على سبيل المثال ، الرمز 5 ∈ N يعني أن الرقم 5 جزء من مجموعة الأعداد الطبيعية. الإدخال - 7 ، 1 ∈ Z يعكس حقيقة أن الرقم - 7 ، 1 ليس عنصرًا من عناصر المجموعة Z ، لأن Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة ؛
• علامات الانتماء للمجموعة:
  ⊂ أو ⊃ - علامات "على" أو "تشمل" على التوالي. على سبيل المثال ، يعني الترميز A ⊂ Z أن جميع عناصر المجموعة A مدرجة في المجموعة Z ، أي المجموعة العددية A مدرجة في المجموعة Z. أو بالعكس ، سيوضح الرمز Z ⊃ A أن مجموعة جميع الأعداد الصحيحة Z تتضمن المجموعة A.
  ⊆ أو - علامات ما يسمى بالتضمين غير الصارم. يعني "مضمّن أو يطابق" و "يشتمل أو يطابق" ، على التوالي.

دعونا الآن نفكر في مخطط وصف المجموعات العددية من خلال مثال الحالات القياسية الرئيسية المستخدمة غالبًا في الممارسة.

دعونا نفكر أولاً في المجموعات العددية التي تحتوي على عدد محدود وصغير من العناصر. من الملائم وصف مثل هذه المجموعة ببساطة عن طريق سرد جميع عناصرها. تتم كتابة العناصر في شكل أرقام مفصولة بفاصلة ومحاطة بأقواس متعرجة (وهو ما يتوافق مع القواعد العامة لوصف المجموعات). على سبيل المثال ، ستتم كتابة مجموعة الأرقام 8 ، - 17 ، 0 ، 15 بالشكل (8 ، - 17 ، 0 ، 15).

يحدث أن عدد عناصر المجموعة كبير جدًا ، لكنهم جميعًا يتبعون نمطًا معينًا: ثم يتم استخدام علامة القطع في وصف المجموعة. على سبيل المثال ، يمكن كتابة مجموعة جميع الأعداد الزوجية من 2 إلى 88 على النحو التالي: (2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ... ، 88).

الآن دعنا نتحدث عن وصف المجموعات العددية التي يكون فيها عدد العناصر غير محدود. في بعض الأحيان يتم وصفهم باستخدام نفس علامة القطع. على سبيل المثال ، نكتب مجموعة الأعداد الطبيعية على النحو التالي: N = (1 ، 2 ، 3 ، ...).

من الممكن أيضًا كتابة مجموعة عددية بعدد لا حصر له من العناصر من خلال تحديد خصائص عناصرها. في هذه الحالة ، يتم استخدام الترميز (x | الخصائص). على سبيل المثال ، (n | 8 n + 3، n ∈ N) تحدد مجموعة الأعداد الطبيعية التي عند قسمة 8 ، يكون الباقي 3. يمكن كتابة نفس المجموعة على النحو التالي: (11 ، 19 ، 27 ، ...).

في حالات خاصة ، المجموعات العددية التي تحتوي على عدد لانهائي من العناصر هي المجموعات المعروفة N ، Z ، R ، إلخ ، أو الفواصل الرقمية. لكن المجموعات العددية هي في الأساس اتحاد الفترات العددية المكونة لها والمجموعات العددية مع عدد محدود من العناصر (تحدثنا عنها في بداية المقال).

لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أن مكونات مجموعة عددية معينة هي الأرقام - 15 ، - 8 ، - 7 ، 34 ، 0 ، بالإضافة إلى جميع أرقام المقطع [- 6 ، - 1 ، 2] وأرقام الحزمة الرقمية المفتوحة (6 ، +). وفقًا لتعريف اتحاد المجموعات ، نكتب المجموعة العددية المعطاة على النحو التالي: (- 15 ، - 8 ، - 7 ، 34) ∪ [- 6 ، - 1 ، 2] ∪ (0) ∪ (6 ، + ∞). مثل هذا السجل يعني في الواقع مجموعة تتضمن جميع عناصر المجموعات (- 15 ، - 8 ، - 7 ، 34 ، 0) ، [- 6 ، - 1 ، 2] و (6 ، +).

وبنفس الطريقة ، من خلال الجمع بين فترات عددية مختلفة ومجموعات من الأرقام الفردية ، من الممكن إعطاء وصف لأي مجموعة أرقام تتكون من أرقام حقيقية. بناءً على ما سبق ، يتضح سبب تقديم أنواع مختلفة من الفواصل الرقمية ، مثل الفاصل الزمني ، ونصف الفترة ، والجزء ، والشعاع العددي المفتوح ، والشعاع العددي. كل هذه الأنواع من الفجوات ، جنبًا إلى جنب مع تدوين مجموعات الأرقام الفردية ، تجعل من الممكن وصف أي رقم تم تعيينه من خلال اتحادهم.

من الضروري أيضًا الانتباه إلى حقيقة أن الأرقام الفردية والفجوات الرقمية عند كتابة مجموعة يمكن فرزها بترتيب تصاعدي. بشكل عام ، هذا ليس مطلبًا إلزاميًا ، ومع ذلك ، فإن مثل هذا الترتيب يجعل من الممكن تمثيل المجموعة العددية بشكل أكثر بساطة ، وكذلك عرضها بشكل صحيح على خط الإحداثيات. ومن الجدير أيضًا توضيح أن مثل هذه الإدخالات لا تستخدم فجوات رقمية مع عناصر مشتركة ، حيث يمكن استبدال هذه الإدخالات باتحاد الفجوات العددية ، باستثناء العناصر المشتركة. على سبيل المثال ، اتحاد المجموعات العددية مع العناصر المشتركة [- 15 ، 0] و (- 6 ، 4) سيكون نصف الفترة [- 15 ، 4). الأمر نفسه ينطبق على اتحاد الفواصل العددية بنفس أرقام الحدود. على سبيل المثال ، الاتحاد (4 ، 7] ∪ (7 ، 9] هو المجموعة (4 ، 9]. ستتم مناقشة هذه النقطة بالتفصيل في موضوع إيجاد التقاطع واتحاد المجموعات العددية.

في الأمثلة العملية ، من الملائم استخدام التفسير الهندسي للمجموعات العددية - تمثيلها على خط الإحداثيات. على سبيل المثال ، ستساعد هذه الطريقة في حل التفاوتات التي من الضروري فيها مراعاة ODZ - عندما تحتاج إلى عرض مجموعات عددية لتحديد اتحادها و / أو تقاطعها.

نعلم أن هناك تطابق واحد لواحد بين نقاط خط الإحداثيات والأرقام الحقيقية: خط الإحداثيات بأكمله هو نموذج هندسي لمجموعة جميع الأعداد الحقيقية R. لذلك ، لتصوير مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ، نرسم خطًا إحداثيًا ونطبق التظليل على طوله بالكامل:

غالبًا لا تشير إلى الأصل وقطاع واحد:

تأمل صورة المجموعات العددية التي تتكون من عدد محدود من الأرقام الفردية. على سبيل المثال ، دعنا نعرض مجموعة أرقام (- 2 ، - 0 ، 5 ، 1 ، 2). سيكون النموذج الهندسي للمجموعة المحددة ثلاث نقاط لخط الإحداثيات مع الإحداثيات المقابلة:

في معظم الحالات ، من الممكن عدم ملاحظة الدقة المطلقة للرسم: التمثيل التخطيطي كافٍ تمامًا دون ملاحظة المقياس ، ولكن مع الحفاظ على الموضع النسبي للنقاط بالنسبة لبعضها البعض ، أي أي نقطة ذات إحداثي أكبر يجب أن تكون على يمين نقطة ذات إحداثي أصغر. مع ذلك ، قد يبدو الرسم الحالي كما يلي:

بشكل منفصل ، من المجموعات العددية المحتملة ، يتم تمييز الفواصل الرقمية (فترات زمنية ، نصف فترات ، أشعة ، إلخ.)

الآن دعونا ننظر في مبدأ تمثيل المجموعات العددية ، وهي اتحاد عدة فواصل عددية ومجموعات تتكون من أرقامها الفردية. لا توجد صعوبة في هذا: وفقًا لتعريف الاتحاد ، على خط الإحداثيات ، من الضروري عرض جميع مكونات مجموعة مجموعة عددية معينة. على سبيل المثال ، لنقم بإنشاء رسم توضيحي لمجموعة أرقام (- ∞ ، - 15) ∪ (- 10) ∪ [- 3 ، 1) ∪ (سجل 2 5 ، 5) ∪ (17 ، +).

هناك أيضًا حالات شائعة جدًا عندما تتضمن المجموعة العددية المراد تصويرها المجموعة الكاملة من الأرقام الحقيقية باستثناء نقطة واحدة أو أكثر. غالبًا ما تُعطى هذه المجموعات بشروط مثل x ≠ 5 أو x ≠ - 1 ، إلخ. في مثل هذه الحالات ، تكون المجموعات في نموذجها الهندسي هي خط الإحداثيات بالكامل باستثناء النقاط المحددة. من المقبول عمومًا القول بأن هذه النقاط يجب "إخراجها" من خط الإحداثيات. يتم تصوير النقطة المثقوبة على شكل دائرة بمركز فارغ. لتعزيز ما قيل بمثال عملي ، دعنا نعرض على خط الإحداثيات مجموعة بشرط معين x ≠ - 2 و x ≠ 3:

تهدف المعلومات الواردة في هذه المقالة إلى مساعدتك في فهم مشاهدة التسجيل وعرض المجموعات العددية بسهولة كما يمكنك رؤية المساحات الرقمية الفردية. من الناحية المثالية ، يجب تمثيل المجموعة الرقمية المسجلة على الفور كصورة هندسية على خط الإحداثيات. والعكس صحيح: وفقًا للصورة ، يجب تشكيل المجموعة العددية المقابلة بسهولة من خلال اتحاد الفجوات العددية والمجموعات التي تكون أرقامًا منفصلة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

مجموعة منهي مجموعة من أي كائنات تسمى عناصر هذه المجموعة.

علي سبيل المثال: الكثير من تلاميذ المدارس ، والكثير من السيارات ، والكثير من الأرقام .

في الرياضيات ، تعتبر المجموعة على نطاق أوسع. لن نتعمق كثيرًا في هذا الموضوع ، لأنه ينتمي إلى الرياضيات العليا ويمكن أن يخلق صعوبات في التعلم في البداية. سننظر فقط في ذلك الجزء من الموضوع الذي تعاملنا معه بالفعل.

محتوى الدرس

الرموز

غالبًا ما يتم الإشارة إلى المجموعة بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية وعناصرها - أحرف صغيرة. العناصر محاطة بأقواس مجعدة.

على سبيل المثال ، إذا تم استدعاء أصدقائنا توم وجون وليو ، ثم يمكننا تحديد مجموعة من الأصدقاء ستكون عناصرهم توم وجون وليو.

قم بالإشارة إلى مجموعة أصدقائنا من خلال حرف لاتيني كبير F(اصحاب) ، ثم ضع علامة المساواة وقم بإدراج أصدقائنا بين قوسين معقوفين:

F = (توم ، جون ، ليو)

مثال 2. لنكتب مجموعة قواسم العدد 6.

دعونا نشير إلى هذه المجموعة بأي حرف لاتيني كبير ، على سبيل المثال ، بالحرف د

ثم نضع علامة التساوي وداخل الأقواس المتعرجة نسرد عناصر هذه المجموعة ، أي نقوم بإدراج قواسم الرقم 6

د = (1 ، 2 ، 3 ، 6)

إذا كان بعض العناصر ينتمي إلى مجموعة معينة ، فسيتم الإشارة إلى هذه العضوية باستخدام علامة العضوية ∈. على سبيل المثال ، ينتمي القاسم 2 إلى مجموعة قواسم الرقم 6 (المجموعة د). إنه مكتوب على هذا النحو:

يقرأ مثل: "2 تنتمي إلى مجموعة المقسومات على الرقم 6"

إذا كان بعض العناصر لا ينتمي إلى مجموعة معينة ، فسيتم الإشارة إلى عدم العضوية هذا باستخدام علامة العضوية المشطوبة ∉. على سبيل المثال ، لا ينتمي المقسوم عليه 5 إلى المجموعة د. إنه مكتوب على هذا النحو:

يقرأ مثل: "5 لا ينتميطقم قواسم 6 ″

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن كتابة المجموعة عن طريق التعداد المباشر للعناصر ، بدون أحرف كبيرة. يمكن أن يكون هذا مناسبًا إذا كانت المجموعة تتكون من عدد صغير من العناصر. على سبيل المثال ، دعنا نحدد مجموعة من عنصر واحد. اجعل هذا العنصر صديقنا مقدار:

( مقدار )

دعنا نحدد مجموعة تتكون من رقم واحد 2

{ 2 }

لنقم بتعيين مجموعة تتكون من رقمين: 2 و 5

{ 2, 5 }

مجموعة الأعداد الطبيعية

هذه هي المجموعة الأولى التي بدأنا العمل معها. الأعداد الطبيعية هي الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.

ظهرت الأعداد الطبيعية بسبب حاجة الناس إلى عد تلك الأشياء الأخرى. على سبيل المثال ، احسب عدد الدجاج والأبقار والخيول. تنشأ الأعداد الطبيعية بشكل طبيعي في العد.

في الدروس السابقة عندما استخدمنا الكلمة "رقم"، في أغلب الأحيان كان عددًا طبيعيًا.

في الرياضيات ، يُرمز إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بحرف لاتيني كبير ن.

على سبيل المثال ، لنفترض أن الرقم 1 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. للقيام بذلك ، نكتب الرقم 1 ، ثم باستخدام علامة العضوية ∈ ، نشير إلى أن الوحدة تنتمي إلى المجموعة ن

1 ∈ ن

يقرأ مثل: "واحد ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية"

مجموعة من الأعداد الصحيحة

تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة كل الموجب وكذلك الرقم 0.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بحرف لاتيني كبير ض .

دعنا نشير ، على سبيل المثال ، إلى أن الرقم −5 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة:

−5 ∈ ض

نشير إلى أن 10 تنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة:

10 ∈ ض

نشير إلى أن 0 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة:

في المستقبل ، سوف نسمي جميع الأرقام الموجبة والسالبة بعبارة واحدة - الأعداد الكلية.

تعيين الأرقام المنطقية

الأعداد النسبية هي نفس الكسور العادية التي ندرسها حتى يومنا هذا.

الرقم المنطقي هو رقم يمكن تمثيله في صورة كسر ، حيث أ- بسط الكسر ب- المقام - صفة مشتركة - حالة.

يمكن أن يكون دور البسط والمقام أي رقم ، بما في ذلك الأعداد الصحيحة (باستثناء الصفر ، حيث لا يمكنك القسمة على صفر).

على سبيل المثال ، افترض بدلاً من أيستحق الرقم 10 ، وبدلاً من ب- رقم 2

10 على 2 يساوي 5. نرى أنه يمكن تمثيل الرقم 5 في صورة كسر ، مما يعني أن الرقم 5 موجود في مجموعة الأعداد النسبية.

من السهل ملاحظة أن الرقم 5 ينطبق أيضًا على مجموعة الأعداد الصحيحة. لذلك ، يتم تضمين مجموعة الأعداد الصحيحة في مجموعة الأرقام المنطقية. هذا يعني أن مجموعة الأعداد المنطقية لا تتضمن فقط الكسور العادية ، بل تتضمن أيضًا أعدادًا صحيحة من الشكل −2 ، −1 ، 0 ، 1 ، 2.

الآن تخيل ذلك بدلا من أهو الرقم 12 ، وبدلاً من ب- رقم 5.

12 على 5 يساوي 2.4. نرى أنه يمكن تمثيل الكسر العشري 2.4 ككسر ، مما يعني أنه مضمّن في مجموعة الأعداد النسبية. من هذا نستنتج أن مجموعة الأعداد المنطقية لا تتضمن فقط الكسور العادية والأعداد الصحيحة ، ولكن أيضًا الكسور العشرية.

حسبنا الكسر وحصلنا على الناتج 2.4. لكن يمكننا تحديد الجزء الصحيح في هذا الكسر:

عندما تحدد الجزء الكامل في كسر ، تحصل على رقم كسري. نرى أنه يمكن أيضًا تمثيل العدد الكسري في صورة كسر. هذا يعني أن مجموعة الأعداد المنطقية تتضمن أيضًا أعدادًا كسرية.

نتيجة لذلك ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن مجموعة الأرقام المنطقية تحتوي على:

• الأعداد الكلية
• الكسور المشتركة
• الكسور العشرية
• أعداد مختلطة

يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام المنطقية بحرف لاتيني كبير س.

على سبيل المثال ، نشير إلى أن الكسر ينتمي إلى مجموعة الأرقام المنطقية. للقيام بذلك ، نكتب الكسر نفسه ، ثم باستخدام علامة العضوية ∈ ، نشير إلى أن الكسر ينتمي إلى مجموعة الأرقام المنطقية:

∈ س

نشير إلى أن الكسر العشري 4.5 ينتمي إلى مجموعة الأرقام المنطقية:

4,5 ∈ س

نشير إلى أن العدد الكسري ينتمي إلى مجموعة الأرقام المنطقية:

∈ س

اكتمل الآن الدرس التمهيدي حول المجموعات. في المستقبل ، سننظر إلى المجموعات بشكل أفضل ، ولكن في الوقت الحالي ، سيكون هذا البرنامج التعليمي كافياً.

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات بالدروس الجديدة

مؤسسة تعليمية حكومية

التعليم المهني الثانوي

منطقة تولا

"كلية ألكسينسكي الهندسية"

رقمي

مجموعات

مصمم

مدرس

الرياضيات

خريستوفوروفا م.

رقم - مبدأ اساسي يستعمل ل الخصائص والمقارنات وأجزائها. أحرف تعيين الأرقام ، إلى جانب رياضي .

نشأ مفهوم العدد في العصور القديمة من الاحتياجات العملية للناس وتطور في عملية التنمية البشرية. توسع مجال النشاط البشري ، وبالتالي زادت الحاجة إلى الوصف الكمي والبحث. في البداية ، تم تحديد مفهوم العدد من خلال احتياجات العد والقياس ، والتي نشأت في النشاط العملي للإنسان ، وأصبحت أكثر تعقيدًا. في وقت لاحق ، أصبح الرقم هو المفهوم الأساسي للرياضيات ، واحتياجات هذا العلم تحدد التطوير الإضافي لهذا المفهوم.

المجموعات التي تكون عناصرها أرقام تسمى أرقامًا.

أمثلة على المجموعات الرقمية هي:

N = (1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ ... ؛ ن ؛ ...) - مجموعة من الأعداد الطبيعية ؛

Zo = (0؛ 1؛ 2؛ ...؛ n؛ ...) - مجموعة من الأعداد الصحيحة غير السالبة ؛

Z = (0 ؛ ± 1 ؛ ± 2 ؛ ... ؛ ± ن ؛ ...) - مجموعة من الأعداد الصحيحة ؛

س = (م / ن: م ض ، ن N) هي مجموعة الأعداد المنطقية.

R- مجموعة الأعداد الحقيقية.

بين هذه المجموعات هناك علاقة

ن زو ض س تم العثور على R.

اكتب الأرقامالعدد = (1 ، 2 ، 3 ، ....) اتصلطبيعي >> صفة . ظهرت الأرقام الطبيعية فيما يتعلق بالحاجة إلى عد الأشياء.

أي ، أكبر من واحد ، يمكن تمثيله كمنتج لقوى الأعداد الأولية ، وبطريقة فريدة ، حتى ترتيب العوامل. على سبيل المثال ، 121968 = 2 4 3 2 7 11 2

اذا كانم ، ن ، ك - الأعداد الطبيعية ، إذنم - ن = ك ويقولون انم - مخفض ، ن - مطروح ، ك - فرق ؛ فيم: ن = ك ويقولون انم - المقسوم ، ن - القاسم ، ك - حاصل القسمة ، رقمم وتسمى أيضامضاعف أعدادن، والرقمن - القاسم أعدادم إذا كان الرقمم- مضاعفاتن، ثم هناك عدد طبيعيك، مثل ذلكم = كن.

من الأرقام بمساعدة علامات العمليات الحسابية والأقواس ،التعبيرات الرقمية. إذا قمت بتنفيذ الإجراءات المشار إليها في تعبير رقمي ، مع مراعاة الترتيب المقبول ، فستحصل على رقم يسمىقيمة التعبير .

ترتيب العمليات الحسابية: يتم تنفيذ الإجراءات بين قوسين أولاً ؛ داخل أي قوسين ، قم أولاً بالضرب والقسمة ، ثم الجمع والطرح.

إذا كان عددًا طبيعيًام لا يقبل القسمة على عدد طبيعين، هؤلاء. لايوجد مثيلالعدد الطبيعي ك ، ماذا او مام = كن ، ثم النظرقسمة مع الباقي: m = np + r ، أينم - المقسوم ، ن - القاسم (م> ن) ، ف - حاصل القسمة ، ص - بقية .

إذا كان للرقم قاسمان فقط (الرقم نفسه وواحد) ، فسيتم استدعاؤهبسيط : إذا كان الرقم يحتوي على أكثر من قسومتين ، فيتم تسميتهمركب.

يمكن أن يكون أي عدد طبيعي مركبحلل إلى عوامل ، وطريقة واحدة فقط. عند تحليل الأرقام إلى عوامل أولية ، استخدمعلامات القسمة .

أ وب يمكن ايجادهالقاسم المشترك الأكبر. يشار إليهربت). إذا كانت الأرقامأ وب هي من هذا القبيلد (أ ، ب) = 1 ، ثم الأرقامأ وب اتصلبشكل متبادل.

لأية أعداد طبيعية معينةأ وب يمكن ايجادهأقل مضاعف مشترك. يشار إليهك (أ ، ب). أي مضاعف مشترك للأرقامأ وب مقسومة علىك (أ ، ب).

إذا كانت الأرقامأ وب - الجريمة ، بمعنى آخر.د (أ ، ب) = 1 ، من ثمك (أ ، ب) = أب.

اكتب الأرقام:Z = (... -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ....) اتصل الأعداد الكلية , هؤلاء. الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية وأضداد الأعداد الطبيعية والرقم 0.

الأعداد الطبيعية 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 .... تسمى أيضًا الأعداد الصحيحة الموجبة. الأرقام -1 ، -2 ، -3 ، -4 ، -5 ، ... ، مقابل الأعداد الطبيعية ، تسمى الأعداد الصحيحة السالبة.

أعداد كبيرة تسمى الأرقام جميع أرقامها ، باستثناء الأصفار البادئة.

يتم استدعاء مجموعة من الأرقام المتكررة على التوالي بعد الفاصلة العشرية في التدوين العشري للرقمفترة، ويتم استدعاء كسر عشري لانهائي له مثل هذه الفترة في تدوينهدورية . إذا بدأت الفترة بعد الفاصلة العشرية مباشرة ، فسيتم استدعاء الكسرنقية دورية ؛ إذا كانت هناك منازل عشرية أخرى بين الفاصلة والنقطة ، فسيتم استدعاء الكسردورية مختلطة .

يتم استدعاء الأعداد التي ليست كاملة أو كسريةغير منطقي .

يتم تمثيل كل رقم غير نسبي على أنه كسر عشري لا نهائي غير دوري.

تسمى المجموعة المكونة من جميع الكسور العشرية المحدودة واللانهائيةكثير أرقام حقيقية : عقلاني وغير عقلاني.

مجموعة R من الأعداد الحقيقية لها الخصائص التالية.

1. مرتب: لأي رقمين مختلفين α و b ، أحدهما أ

2. المجموعة R كثيفة: بين أي رقمين مختلفين a و b توجد مجموعة لا نهائية من الأعداد الحقيقية x ، أي الأرقام التي تحقق المتباينة a<х

لذلك إذا كان أ

(أ 2 أ< أ+ بأ+ ب<2b  2 أ أ<(a+b)/2

يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية كنقاط على خط الأعداد. لتعيين خط الأرقام ، من الضروري تحديد نقطة على الخط المستقيم ، والتي تتوافق مع الرقم 0 - النقطة المرجعية ، ثم تحديد مقطع واحد والإشارة إلى الاتجاه الإيجابي.

تتوافق كل نقطة على خط الإحداثيات مع رقم يتم تعريفه على أنه طول المقطع من الأصل إلى النقطة المعنية ، بينما يتم أخذ مقطع واحد كوحدة قياس. هذا الرقم هو إحداثيات النقطة. إذا تم أخذ النقطة إلى يمين الأصل ، فسيكون إحداثيها موجبًا ، وإذا كانت إلى اليسار ، فإنها تكون سالبة. على سبيل المثال ، إحداثيات النقطتين O و A هي 0 و 2 ، على التوالي ، ويمكن كتابتها على النحو التالي: 0 (0) ، A (2).

الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي بدأ بها كل شيء من قبل. واليوم هذه هي الأرقام الأولى التي يلتقي بها الشخص في حياته عندما يتعلم في طفولته الاعتماد على أصابعه أو عد العصي.

تعريف: تسمى الأعداد الطبيعية بالأرقام التي تُستخدم لحساب عدد الكائنات (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ...) [الرقم 0 ليس طبيعيًا. كما أن لها تاريخها المنفصل في تاريخ الرياضيات وظهرت بعد الأعداد الطبيعية بكثير.]

يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ...) بالحرف N.

الأعداد الكلية

بعد أن تعلمنا العد ، فإن الشيء التالي الذي نقوم به هو تعلم إجراء العمليات الحسابية على الأرقام. عادة ، أولاً (في عد العصي) يتعلمون القيام بالجمع والطرح.

بالإضافة إلى ذلك ، كل شيء واضح: إضافة أي رقمين طبيعيين ، ونتيجة لذلك نحصل دائمًا على نفس العدد الطبيعي. لكن في عملية الطرح ، نجد أنه لا يمكننا طرح الأكبر من الأصغر بحيث تكون النتيجة عددًا طبيعيًا. (3 - 5 = ماذا؟) هنا تأتي فكرة الأعداد السالبة. (الأرقام السلبية لم تعد طبيعية)

في مرحلة حدوث الأعداد السالبة (وظهرت بعد كسور)وكان هناك أيضا خصومهم الذين اعتبروهم هراء. (يمكن عرض ثلاثة أشياء على الأصابع ، ويمكن إظهار عشرة ، ويمكن تمثيل ألف كائن بالقياس. وما هو "ناقص ثلاثة أكياس"؟ - في ذلك الوقت ، على الرغم من استخدام الأرقام بالفعل بمفردها ، بمعزل عن أشياء محددة ، العدد الذي يحددونه ، كانت لا تزال في أذهان الناس أقرب بكثير إلى هذه الموضوعات المحددة مما هو عليه اليوم.) ولكن ، مثل الاعتراضات ، فإن الحجة الرئيسية لصالح الأرقام السالبة جاءت من الممارسة: الأرقام السالبة جعلت ذلك ممكنًا لتتبع الديون بسهولة. 3 - 5 = -2 - كان لدي 3 عملات ، أنفقت 5. لذلك ، لم ينفد لدي من العملات المعدنية فحسب ، ولكني أيضًا مدين بعملة معدنية لشخص ما. إذا أعدت واحدًا ، سيتغير الدين إلى −2 + 1 = −1 ، ولكن يمكن أيضًا تمثيله كرقم سالب.

نتيجة لذلك ، ظهرت الأرقام السالبة في الرياضيات ، والآن لدينا عدد لا حصر له من الأعداد الطبيعية (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...) وهناك نفس العدد من أضدادها (1 ، −2 ، - 3 ، −4 ، ...). دعونا نضيف صفرًا آخر إليهم ، ومجموعة كل هذه الأعداد ستسمى أعدادًا صحيحة.

تعريف: تشكل الأعداد الطبيعية وأضدادها والصفر مجموعة الأعداد الصحيحة. يشار إليه بالحرف Z.

يمكن طرح أي عددين صحيحين من بعضهما البعض أو إضافته للحصول على عدد صحيح نتيجة لذلك.

تقترح فكرة إضافة عدد صحيح بالفعل إمكانية الضرب باعتباره مجرد طريقة أسرع لإجراء عملية الجمع. إذا كان لدينا 7 أكياس تزن كل منها 6 كيلوغرامات ، فيمكننا إضافة 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (أضف 6 إلى المجموع الحالي سبع مرات) ، أو يمكننا ببساطة أن نتذكر أن مثل هذه العملية ستؤدي دائمًا إلى 42. مثل إضافة ستة سبعة ، 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 ستعطي دائمًا 42.

نتائج عملية الإضافة المؤكدأرقام مع نفسها المؤكديتم كتابة عدد المرات لجميع أزواج الأعداد من 2 إلى 9 ويشكل جدول الضرب. لضرب الأعداد الصحيحة الأكبر من 9 ، يتم اختراع قاعدة الضرب في عمود. (وهذا ينطبق أيضًا على الكسور العشرية ، والتي سيتم تناولها في إحدى المقالات التالية.) أي عددين صحيحين مضروبين في بعضهما البعض سينتج عنه دائمًا عدد صحيح.

أرقام نسبية

الانقسام. بالقياس على أن الطرح هو معكوس الجمع ، توصلنا إلى فكرة القسمة على أنها معكوس الضرب.

عندما حصلنا على 7 أكياس من 6 كيلوغرامات ، باستخدام الضرب ، حسبنا بسهولة أن الوزن الإجمالي لمحتويات الأكياس هو 42 كيلوغرامًا. تخيل أننا سكبنا جميع محتويات الأكياس في كومة واحدة تزن 42 كجم. ثم غيروا رأيهم وأرادوا إعادة توزيع المحتويات على 7 أكياس. كم كيلوغراما سيقع في كيس واحد إذا وزعناها بالتساوي؟ - من الواضح 6.

وإذا أردنا توزيع 42 كيلو جرام على 6 أكياس؟ نحن هنا نفكر في ما يمكن أن يكون عليه نفس إجمالي 42 كيلوغرامًا إذا سكبنا 6 أكياس من 7 كيلوغرامات في كومة. وهذا يعني أنه عند تقسيم 42 كجم إلى 6 أكياس بالتساوي ، نحصل على 7 كجم في كيس واحد.

وإذا قسمت 42 كيلو جرام بالتساوي إلى 3 أكياس؟ وهنا أيضًا ، نبدأ في تحديد رقم ، عند ضربه في 3 ، سيعطي 42. بالنسبة لقيم "الجدول" ، كما في حالة 6 7 = 42 => 42: 6 = 7 ، نقوم بإجراء عملية القسمة ، ببساطة تذكر جدول الضرب. بالنسبة للحالات الأكثر تعقيدًا ، يتم استخدام التقسيم إلى عمود ، والذي سيتم مناقشته في إحدى المقالات التالية. في حالة 3 و 42 ، يمكن للمرء أن يتذكر من خلال "الاختيار" أن 3 · 14 = 42. ومن ثم ، 42: 3 = 14. كل كيس سوف يحتوي على 14 كيلو جرام.

لنحاول الآن تقسيم 42 كيلوجرامًا بالتساوي إلى 5 أكياس. 42: 5 =؟
نلاحظ أن 5 8 = 40 (صغير) ، و 5 9 = 45 (كثير). أي ، لا 8 كيلوغرامات في كيس ، ولا 9 كيلوغرامات ، من أصل 5 أكياس ، لن نحصل على 42 كيلوغراماً بأي شكل من الأشكال. في الوقت نفسه ، من الواضح أنه في الواقع لا شيء يمنعنا من تقسيم أي كمية (الحبوب ، على سبيل المثال) إلى 5 أجزاء متساوية.

لا ينتج عن عملية قسمة الأعداد الصحيحة على بعضها عددًا صحيحًا. لذلك توصلنا إلى مفهوم الكسر. 42: 5 \ u003d 42/5 \ u003d 8 كاملة 2/5 (إذا تم حسابها في كسور عادية) أو 42: 5 \ u003d 8.4 (إذا تم حسابها في الكسور العشرية).

الكسور المشتركة والعشرية

يمكننا القول أن أي كسر عادي م / ن (م هو أي عدد صحيح ، ن هو أي عدد طبيعي) هو مجرد شكل خاص من كتابة نتيجة قسمة العدد م على العدد ن. (يسمى m بسط الكسر ، n هو المقام) نتيجة القسمة ، على سبيل المثال ، الرقم 25 على الرقم 5 يمكن أيضًا كتابتها في صورة كسر عادي 25/5. لكن هذا ليس ضروريًا ، لأن نتيجة قسمة 25 على 5 يمكن كتابتها ببساطة على أنها العدد الصحيح 5. (و 25/5 = 5). لكن نتيجة قسمة الرقم 25 على الرقم 3 لم يعد من الممكن تمثيلها كرقم صحيح ، لذلك من الضروري هنا استخدام كسر ، 25: 3 = 25/3. (يمكنك تحديد الجزء الصحيح 25/3 = 8 كامل 1/3. ستتم مناقشة المزيد من التفاصيل حول الكسور العادية والعمليات مع الكسور العادية في المقالات التالية.)

تعتبر الكسور العادية جيدة لأنه من أجل تمثيل نتيجة قسمة أي عدد صحيحين مثل الكسر ، تحتاج فقط إلى كتابة المقسوم في بسط الكسر والمقسوم عليه في المقام. (123: 11 = 123/11 ، 67: 89 = 67/89 ، 127: 53 = 127/53 ، ...) ثم ، إن أمكن ، اختزل الكسر و / أو حدد الجزء الصحيح (هذه العمليات مع الكسور العادية ستكون نوقشت بالتفصيل في المقالات التالية). تكمن المشكلة في أن إجراء العمليات الحسابية (الجمع والطرح) باستخدام الكسور العادية لم يعد مناسبًا كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة.

لتسهيل التدوين (في سطر واحد) ولتيسير العمليات الحسابية (مع إمكانية إجراء حسابات في عمود ، كما هو الحال بالنسبة للأعداد الصحيحة العادية) ، بالإضافة إلى الكسور العادية ، تم اختراع الكسور العشرية أيضًا. الكسر العشري هو كسر عادي مكتوب بطريقة خاصة بمقامه 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. على سبيل المثال ، الكسر الشائع 7/10 هو نفس الكسر العشري 0.7. (8/100 = 0.08 ؛ عددان صحيحان 3/10 = 2.3 ؛ 7 أعداد صحيحة 1/1000 = 7.001). سيتم تخصيص مقال منفصل لتحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية والعكس صحيح. العمليات ذات الكسور العشرية - مقالات أخرى.

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر مشترك مقامه 1. (5 = 5/1 ؛ −765 = −765 / 1).

تعريف: تسمى جميع الأرقام التي يمكن تمثيلها في صورة كسر مشترك أرقامًا منطقية. يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام المنطقية بالحرف Q.

عند قسمة أي عددين صحيحين على بعضهما البعض (إلا عند القسمة على 0) ، نحصل دائمًا على رقم نسبي نتيجة لذلك. بالنسبة للكسور العادية ، توجد قواعد للجمع والطرح والضرب والقسمة ، والتي تسمح لك بإجراء العملية المقابلة بأي كسرين وأيضًا الحصول على رقم نسبي (كسر أو عدد صحيح) كنتيجة لذلك.

مجموعة الأرقام المنطقية هي أول المجموعات التي درسناها ، حيث يمكنك الجمع والطرح والضرب والقسمة (باستثناء القسمة على 0) ، ولا تتجاوز هذه المجموعة أبدًا (أي الحصول دائمًا على رقم منطقي مثل نتيجة).

يبدو أنه لا توجد أرقام أخرى ، كل الأرقام منطقية. لكن هذا ليس كذلك أيضًا.

الأعداد الحقيقية

هناك أرقام لا يمكن تمثيلها على أنها كسر م / ن (حيث م عدد صحيح ، ن عدد طبيعي).

ما هذه الأرقام؟ لم نفكر بعد في عملية الأُس. على سبيل المثال ، 4 2 \ u003d 4 4 \ u003d 16. 5 3 \ u003d 5 5 5 \ u003d 125. تمامًا كما أن الضرب هو شكل أكثر ملاءمة لتدوين الجمع وحسابه ، فإن الأس هو شكل من أشكال التدوين لضرب نفس الرقم في نفسه عددًا معينًا من المرات.

لكن الآن فكر في العملية ، عكس الصعود إلى السلطة - استخراج الجذر. الجذر التربيعي لـ 16 هو العدد الذي تربيعه هي 16 ، أي 4. الجذر التربيعي لـ 9 هو 3. لكن الجذر التربيعي لـ 5 أو 2 ، على سبيل المثال ، لا يمكن تمثيله برقم نسبي. (يمكن العثور على إثبات هذا البيان ، أمثلة أخرى للأرقام غير المنطقية وتاريخها ، على سبيل المثال ، في ويكيبيديا)

في GIA في الصف 9 ، هناك مهمة لتحديد ما إذا كان الرقم الذي يحتوي على جذر في مدخله منطقيًا أم غير منطقي. تتمثل المهمة في محاولة تحويل هذا الرقم إلى نموذج لا يحتوي على جذر (باستخدام خصائص الجذور). إذا كان لا يمكن حذف الجذر ، فإن الرقم غير منطقي.

مثال آخر على الرقم غير النسبي هو الرقم π ، المألوف للجميع من علم الهندسة وعلم المثلثات.

تعريف: تسمى الأرقام المنطقية وغير المنطقية معًا أرقامًا حقيقية (أو حقيقية). يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأرقام الحقيقية بالحرف R.

في الأعداد الحقيقية ، على عكس الأعداد النسبية ، يمكننا التعبير عن المسافة بين أي نقطتين على خط أو مستوى.
إذا قمت برسم خط مستقيم واخترت نقطتين تعسفيتين عليهما ، أو اخترت نقطتين تعسفيتين على مستوى ، فقد يتضح أن المسافة الدقيقة بين هذه النقاط لا يمكن التعبير عنها برقم منطقي. (مثال - وتر المثلث القائم الزاوية مع الساقين 1 و 1 ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، سيكون مساويًا لجذر اثنين - أي عدد غير نسبي. ويتضمن هذا أيضًا الطول الدقيق لقطر خلية رباعية (طول القطر لأي مربع مثالي بأضلاعه عدد صحيح).)
وفي مجموعة الأعداد الحقيقية ، يمكن التعبير عن أي مسافات على خط مستقيم أو في مستوى أو في الفضاء بالرقم الحقيقي المقابل.

مفهوم الرقم. أنواع الأعداد.

الرقم هو تجريد يستخدم لتقدير الأشياء. نشأت الأرقام في المجتمع البدائي فيما يتعلق بضرورة عد الناس للأشياء. بمرور الوقت ، مع تطور العلم ، أصبح الرقم أهم مفهوم رياضي.

لحل المشاكل وإثبات النظريات المختلفة ، تحتاج إلى فهم أنواع الأعداد. تشمل الأنواع الرئيسية للأرقام: الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والأرقام المنطقية ، والأرقام الحقيقية.

عدد صحيح- هذه هي الأرقام التي تم الحصول عليها من خلال العد الطبيعي للأشياء ، أو بالأحرى ، مع ترقيمها ("الأول" ، "الثاني" ، "الثالث" ...). يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني ن (يمكن تذكرها بناءً على الكلمة الإنجليزية طبيعية). يمكن قول ذلك ن ={1,2,3,....}

الأعداد الكليةهي أرقام من المجموعة (0 ، 1 ، -1 ، 2 ، -2 ، ....). تتكون هذه المجموعة من ثلاثة أجزاء - الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة السالبة (عكس الأعداد الطبيعية) والرقم 0 (صفر). يتم الإشارة إلى الأعداد الصحيحة بحرف لاتيني ض . يمكن قول ذلك ض ={1,2,3,....}.

أرقام نسبيةهي أرقام يمكن تمثيلها في صورة كسر ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. يستخدم الحرف اللاتيني للدلالة على الأرقام المنطقية س . جميع الأعداد الطبيعية والصحيحة منطقية.

أرقام حقيقية (حقيقية)هو رقم يستخدم لقياس الكميات المستمرة. يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بالحرف اللاتيني R. تتضمن الأعداد الحقيقية أرقامًا منطقية وأرقامًا غير منطقية. الأرقام غير النسبية هي الأرقام التي يتم الحصول عليها من خلال إجراء عمليات مختلفة على الأرقام المنطقية (على سبيل المثال ، استخراج جذر ، وحساب اللوغاريتمات) ، ولكنها ليست منطقية في نفس الوقت.

1. أنظمة الأرقام.

نظام الأرقام هو طريقة لتسمية الأرقام وكتابتها. اعتمادًا على طريقة تمثيل الأرقام ، يتم تقسيمها إلى موضعي - عشري وغير موضعي - روماني.

يستخدم الكمبيوتر أنظمة رقم 2 و 8 و 16.

الاختلافات: إدخال الرقم في نظام الأرقام السادس عشر أقصر بكثير مقارنة بالإدخال الآخر ، أي يتطلب عمق بت أقل.

في نظام الأرقام الموضعية ، يحتفظ كل رقم بقيمته الثابتة ، بغض النظر عن موقعه في الرقم. في نظام الأرقام الموضعية ، لا يحدد كل رقم قيمته فحسب ، بل يعتمد على الموضع الذي يشغله في الرقم. كل نظام رقمي يتميز بقاعدة. الأساس هو عدد الأرقام المختلفة التي يتم استخدامها لكتابة الأرقام في نظام رقمي معين. توضح القاعدة عدد المرات التي تتغير فيها قيمة نفس الرقم عند الانتقال إلى موضع مجاور. يستخدم الكمبيوتر نظام رقمين. يمكن أن تكون قاعدة النظام أي رقم. يتم إجراء العمليات الحسابية على الأرقام في أي موضع وفقًا لقواعد مماثلة لنظام الأرقام العاشر. بالنسبة لنظام الرقمين ، يتم استخدام الحساب الثنائي ، والذي يتم تنفيذه في الكمبيوتر لإجراء العمليات الحسابية.

إضافة ثنائية: 0 + 0 = 1 ؛ 0 + 1 = 1 ؛ 1 + 0 = 1 ؛ 1 + 1 = 10

اطرح: 0-0 = 0 ؛ 1-0 = 1 ؛ 1-1 = 0 ؛ 10-1 = 1

الضرب: 0 * 0 = 0 ؛ 0 * 1 = 0 ؛ 1 * 0 = 0 ؛ 1 * 1 = 1

يستخدم الكمبيوتر على نطاق واسع نظام الأرقام الثامن ونظام الأرقام السادس عشر. يتم استخدامها لتقصير الأرقام الثنائية.

2. مفهوم المجموعة.

مفهوم "المجموعة" هو مفهوم أساسي للرياضيات وليس له تعريف. تتنوع طبيعة جيل أي مجموعة ، ولا سيما الكائنات المحيطة والحياة البرية وما إلى ذلك.

التعريف 1: يتم استدعاء الكائنات التي تتكون منها المجموعة عناصر من هذه المجموعة. لتعيين مجموعة ، يتم استخدام الأحرف الكبيرة من الأبجدية اللاتينية: على سبيل المثال ، X ، Y ، Z ، وفي أقواس معقوفة ، مفصولة بفواصل ، تتم كتابة عناصرها بأحرف صغيرة ، على سبيل المثال: (x ، y ، z) .

مثال على تعيين مجموعة وعناصرها:

X = (x 1، x 2،…، x n) هي مجموعة تتكون من n من العناصر. إذا كان العنصر x ينتمي إلى المجموعة X ، فيجب على المرء أن يكتب: xX ، وإلا فإن العنصر x لا ينتمي إلى المجموعة X ، والتي تتم كتابتها: xПX. يمكن أن تكون عناصر مجموعة مجردة ، على سبيل المثال ، أرقام ووظائف وأحرف وأشكال وما إلى ذلك. في الرياضيات ، في أي قسم ، يتم استخدام مفهوم المجموعة. على وجه الخصوص ، يمكن إعطاء بعض المجموعات الملموسة من الأرقام الحقيقية. مجموعة الأعداد الحقيقية x التي تحقق المتباينات:

أ ≤ س ≤ ب يسمى قطعةويشار إليه بواسطة ؛

أ ≤ س< b или а < x ≤ b называется نصف قطعةويشار إليه: ؛

· أ< x < b называется فترةويشار إليها ب (أ ، ب).

التعريف 2: المجموعة التي تحتوي على عدد محدود من العناصر تسمى المنتهية. مثال. X \ u003d (× 1 ، × 2 ، × 3).

التعريف 3: المجموعة تسمى بلا نهايةإذا كان يحتوي على عدد لا حصر له من العناصر. على سبيل المثال ، مجموعة جميع الأعداد الحقيقية لانهائية. مثال على التسجيل. X \ u003d (× 1 ، × 2 ، ...).

التعريف 4: المجموعة التي لا يوجد فيها عنصر تسمى المجموعة الفارغة ويشار إليها بالرمز Æ.

سمة من سمات المجموعة هو مفهوم العلاقة الأساسية. القوة هي عدد عناصرها. المجموعة Y = (y 1، y 2، ...) لها نفس العلاقة الأساسية مثل المجموعة X = (x 1، x 2، ...) إذا كان هناك تطابق واحد لواحد y = f (x ) بين عناصر هذه المجموعات. هذه المجموعات لها نفس العلاقة الأساسية أو متكافئة في العلاقة الأساسية. المجموعة الفارغة لا تحتوي على عدد أصلي.

3. طرق تحديد المجموعات.

يعتبر أن المجموعة تحدد بعناصرها ، أي يتم إعطاء المجموعة ،إذا كان أي شيء يمكن أن يقال سواء كان ينتمي إلى هذه المجموعة أم لا. يمكنك تحديد مجموعة بالطرق التالية:

1) إذا كانت المجموعة محدودة ، فيمكن تحديدها من خلال سرد جميع عناصرها. لذلك ، إذا كانت المجموعة لكنيتكون من عناصر 2, 5, 7, 12 ، ثم يكتبون أ = (2 ، 5 ، 7 ، 12).عدد عناصر المجموعة لكنيساوي 4 ، اكتب ن (أ) = 4.

ولكن إذا كانت المجموعة لا نهائية ، فلا يمكن تعداد عناصرها. من الصعب تحديد مجموعة بالتعداد ومجموعة محدودة بعدد كبير من العناصر. في مثل هذه الحالات ، يتم استخدام طريقة مختلفة لتحديد المجموعة.

2) يمكن تحديد مجموعة من خلال تحديد خاصية مميزة لعناصرها. خاصية مميزة- هذه خاصية يمتلكها كل عنصر ينتمي إلى المجموعة ، ولا يمتلكها عنصر واحد لا ينتمي إليها. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، مجموعة X من أرقام مكونة من رقمين: الخاصية التي يمتلكها كل عنصر في هذه المجموعة هي "أن يكون رقمًا مكونًا من رقمين". تتيح هذه الخاصية المميزة إمكانية تحديد ما إذا كان كائن ما ينتمي إلى المجموعة X أم لا. على سبيل المثال ، الرقم 45 موجود في هذه المجموعة ، لأن إنه ذو قيمتين ، والرقم 4 لا ينتمي إلى المجموعة X ، لأن هو واحد لواحد وليس قيمتين. يحدث أنه يمكن تحديد نفس المجموعة من خلال تحديد الخصائص المميزة المختلفة لعناصرها. على سبيل المثال ، يمكن تعريف مجموعة المربعات على أنها مجموعة من المستطيلات ذات جوانب متساوية وكمجموعة من المعينات بزاوية قائمة.

في الحالات التي يمكن فيها تمثيل الخاصية المميزة لعناصر المجموعة في شكل رمزي ، يكون التدوين المقابل ممكنًا. إذا كانت المجموعة فييتكون من جميع الأعداد الطبيعية أقل من 10, يكتبون ب = (س ن | س<10}.

الطريقة الثانية هي أكثر عمومية وتسمح لك بتحديد كل من المجموعات المحدودة واللانهائية.

4. المجموعات العددية.

رقمية - مجموعة عناصرها أرقام. يتم إعطاء المجموعات العددية على محور العدد الحقيقي R. في هذا المحور ، اختر المقياس وحدد الأصل والاتجاه. مجموعات الأرقام الأكثر شيوعًا:

- مجموعة الأعداد الطبيعية ؛

- مجموعة من الأعداد الصحيحة.

- مجموعة من الأعداد المنطقية أو الكسرية ؛

· هي مجموعة الأعداد الحقيقية.

5. قوة المجموعة. أعط أمثلة لمجموعات محدودة ولانهائية.

تسمى المجموعات متكافئة ، إذا كان هناك تطابق واحد لواحد أو واحد لواحد بينهما ، أي ، مثل هذه المراسلات الزوجية. عندما يرتبط كل عنصر من مجموعة واحدة بعنصر واحد من مجموعة أخرى والعكس صحيح ، بينما ترتبط العناصر المختلفة لمجموعة واحدة بعناصر مختلفة لمجموعة أخرى.

على سبيل المثال ، لنأخذ مجموعة من الطلاب من ثلاثين شخصًا ونصدر تذاكر امتحان ، تذكرة واحدة لكل طالب من كومة تحتوي على ثلاثين تذكرة ، ستكون مثل هذه المراسلات المزدوجة المكونة من 30 طالبًا و 30 تذكرة فردية.

مجموعتان مكافئتان لنفس المجموعة الثالثة متكافئة. إذا كانت المجموعتان M و N متكافئتان ، فإن مجموعات كل المجموعات الفرعية لكل من هاتين المجموعتين M و N متكافئة أيضًا.

المجموعة الفرعية من مجموعة معينة هي مجموعة ، كل عنصر منها هو عنصر من مجموعة معينة. إذن ، ستكون مجموعة السيارات ومجموعة الشاحنات مجموعات فرعية من مجموعة السيارات.

تسمى قوة مجموعة الأعداد الحقيقية بقوة الاستمرارية ويُشار إليها بالحرف "أليف" א . أصغر منطقة لانهائية هي مجموعة الأعداد الطبيعية. عادةً ما يُرمز إلى قوة مجموعة جميع الأعداد الطبيعية (ألف-صفر).

غالبًا ما تسمى السلطات بالأرقام الأساسية. تم تقديم هذا المفهوم من قبل عالم الرياضيات الألماني ج.كانتور. إذا تم الإشارة إلى المجموعات بأحرف رمزية M ، N ، فسيتم الإشارة إلى الأرقام الأصلية بالرمز m ، n. أثبت G. Kantor أن مجموعة كل المجموعات الفرعية لمجموعة معينة M لها عدد أساسي أكبر من المجموعة M نفسها.

تسمى المجموعة التي تعادل مجموعة جميع الأعداد الطبيعية مجموعة قابلة للعد.

6. مجموعات فرعية من المجموعة المحددة.

إذا حددنا عدة عناصر من مجموعتنا وقمنا بتجميعها بشكل منفصل ، فستكون هذه مجموعة فرعية من مجموعتنا. هناك العديد من المجموعات التي يمكن من خلالها الحصول على مجموعة فرعية ، ويعتمد عدد المجموعات فقط على عدد العناصر في المجموعة الأصلية.

دعونا نحصل على مجموعتين A و B. إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة B هو عنصر من عناصر المجموعة A ، فإن المجموعة B تسمى مجموعة فرعية من A. يشار إليها: B ⊂ A. مثال.

كم عدد المجموعات الفرعية للمجموعة أ = 1 ؛ 2 ؛ 3.

قرار. تتكون المجموعات الفرعية من عناصر مجموعتنا. ثم لدينا 4 خيارات لعدد العناصر في المجموعة الفرعية:

قد تتكون المجموعة الفرعية من عنصر واحد و 2 و 3 عناصر وقد تكون فارغة. دعنا نكتب العناصر بالتسلسل.

مجموعة فرعية من عنصر واحد: 1،2،3

مجموعة فرعية من عنصرين: 1،2،1،3،2،3.

مجموعة فرعية من 3 عناصر: 1 ؛ 2 ؛ 3

دعونا لا ننسى أن المجموعة الفارغة هي أيضًا مجموعة فرعية من مجموعتنا. ثم حصلنا على 3 + 3 + 1 + 1 = 8 مجموعات فرعية.

7. العمليات في مجموعات.

يمكن إجراء عمليات معينة على مجموعات ، تشبه في بعض النواحي العمليات على الأعداد الحقيقية في الجبر. لذلك ، يمكننا التحدث عن جبر المجموعات.

منظمة(اتصال) من مجموعات لكنو فيتسمى مجموعة (يُشار إليها رمزياً بواسطة) ، وتتكون من كل تلك العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة على الأقل من المجموعات لكنأو في. في شكل Xيتم كتابة اتحاد المجموعات كـ

الإدخال نصه: "التوحيد لكنو في" أو " لكنمدموج مع في».

يتم تصوير العمليات في المجموعات بيانياً باستخدام دوائر أويلر (في بعض الأحيان يتم استخدام المصطلح "مخططات فين أويلر"). إذا كانت جميع عناصر المجموعة لكنسيتم توسيطها داخل الدائرة لكن، وعناصر المجموعة في- داخل دائرة في، ثم يمكن تمثيل عملية الاتحاد باستخدام دوائر أويلر بالشكل التالي

مثال 1. اتحاد المجموعة لكن= (0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8) أرقام زوجية وتعيين في= (1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9) الأرقام الفردية هي المجموعة = (0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9) لجميع الأرقام العشرية.

8. التمثيل البياني للمجموعات. مخططات أويلر فين.

مخططات أويلر-فين هي تمثيلات هندسية للمجموعات. يتكون بناء المخطط من صورة مستطيل كبير يمثل المجموعة الشاملة يو، وداخلها - دوائر (أو بعض الأشكال الأخرى المغلقة) التي تمثل المجموعات. يجب أن تتقاطع الأرقام في الحالة الأكثر عمومية المطلوبة في المشكلة ويجب أن يتم تصنيفها وفقًا لذلك. يمكن اعتبار النقاط الموجودة داخل مناطق مختلفة من الرسم البياني بمثابة عناصر للمجموعات المقابلة. من خلال إنشاء المخطط ، من الممكن تظليل مناطق معينة للإشارة إلى المجموعات المشكلة حديثًا.

تعتبر عمليات التعيين للحصول على مجموعات جديدة من المجموعات الموجودة.

تعريف. منظمةتسمى المجموعتان A و B بالمجموعة التي تتكون من كل تلك العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة على الأقل من المجموعتين A و B (الشكل 1):

تعريف. العبورالمجموعتان A و B عبارة عن مجموعة تتكون من كل تلك العناصر التي تنتمي في وقت واحد إلى كل من المجموعة A والمجموعة B (الشكل 2) وفقط تلك العناصر:

تعريف. فرقالمجموعتان A و B هي مجموعة كل تلك العناصر A غير الواردة في B (الشكل 3) وفقط تلك العناصر:

تعريف. فرق متماثلمجموعات A و B هي مجموعة عناصر هذه المجموعات التي تنتمي إما فقط إلى المجموعة A ، أو فقط إلى المجموعة B (الشكل 4):

منتج مجموعات ديكارتي (أو مباشر)أو بهذه المجموعة الناتجة من أزواج النموذج ( x,ذ) شيدت بطريقة تجعل العنصر الأول من المجموعة أ، والعنصر الثاني للزوج من المجموعة ب. تدوين مشترك:

أ× ب={(x,ذ)|x∈أ,ذ∈ب}

يمكن تصنيع منتجات ثلاث مجموعات أو أكثر على النحو التالي:

أ× ب× ج={(x,ذ,ض)|x∈أ,ذ∈ب,ض∈ج}

منتجات النموذج أ× أ,أ× أ× أ,أ× أ× أ× أإلخ. من المعتاد أن تكتب في شكل درجة: أ 2 ,أ 3 ,أ 4 (أساس الدرجة هو مضاعف ، المؤشر هو عدد المنتجات). قرأوا مدخلاً مثل "المربع الديكارتي" (مكعب ، إلخ). هناك خيارات قراءة أخرى للمجموعات الرئيسية. على سبيل المثال ، R نمن المعتاد أن تقرأ على أنها "er ennoe".

ملكيات

ضع في اعتبارك عدة خصائص للمنتج الديكارتي:

1. إذا أ,بهي مجموعات محدودة ، إذن أ× ب- نهائي. والعكس صحيح ، إذا كانت إحدى مجموعات المضاعفات لانهائية ، فإن نتيجة منتجها هي مجموعة لانهائية.

2. عدد العناصر في الناتج الديكارتي يساوي حاصل ضرب عدد عناصر مجموعات المضاعفات (إذا كانت محدودة بالطبع): | أ× ب|=|أ|⋅|ب| .

3. م ≠(ا ن) ص- في الحالة الأولى ، من المستحسن اعتبار نتيجة المنتج الديكارتي كمصفوفة ذات أبعاد 1 × np، في الثانية - كمصفوفة من الأحجام ن× ص .

4. لم يتم استيفاء القانون الاستبدالي ، لأن يتم ترتيب أزواج عناصر نتيجة المنتج الديكارتي: أ× ب≠ب× أ .

5. لم يتم استيفاء قانون الجمعيات: ( أ× ب)× ج≠أ×( ب× ج) .

6. هناك توزيع فيما يتعلق بالعمليات الأساسية على مجموعات: ( أ∗ب)× ج=(أ× ج)∗(ب× ج),∗∈{∩,∪,∖}

10. مفهوم الكلام. البيانات الأولية والمركبة.

بيانهي عبارة أو جملة تصريحية يمكن القول أنها صحيحة (T-1) أو خطأ (L-0) ، ولكن ليس كلاهما في نفس الوقت.

على سبيل المثال ، "إنها تمطر اليوم" ، "أكمل إيفانوف العمل المختبري رقم 2 في الفيزياء."

إذا كان لدينا العديد من البيانات الأولية ، ثم من بينها استخدام النقابات المنطقية أو حبيبات يمكننا تشكيل بيانات جديدة تعتمد قيمتها الحقيقة فقط على قيم الحقيقة للبيانات الأصلية وعلى الروابط والجسيمات المحددة التي تشارك في بناء البيان الجديد. الكلمات والتعبيرات "و" ، "أو" ، "لا" ، "إذا ... ثم" ، "لذلك" ، "إذا وفقط عندها" هي أمثلة على هذه الروابط. يتم استدعاء البيانات الأصلية بسيط ، وبيانات جديدة تم إنشاؤها منهم بمساعدة اتحادات منطقية معينة - المقوم، مكون، جزء من . بالطبع ، لا علاقة لكلمة "بسيط" بجوهر أو هيكل البيانات الأصلية ، والتي يمكن أن تكون بحد ذاتها معقدة للغاية. في هذا السياق ، كلمة "بسيط" مرادفة لكلمة "أصلي". الشيء المهم هو أن قيم الحقيقة للقضايا البسيطة من المفترض أن تكون معروفة أو معطاة ؛ على أي حال ، لم تتم مناقشتها بأي شكل من الأشكال.

على الرغم من أن عبارة مثل "اليوم ليس الخميس" لا تتكون من عبارتين بسيطتين مختلفتين ، إلا أنه بالنسبة لتوحيد البناء ، يتم التعامل معه أيضًا على أنه مركب واحد ، حيث يتم تحديد قيمة الحقيقة من خلال القيمة الحقيقية لبيان آخر "اليوم هو الخميس "

مثال 2يتم التعامل مع العبارات التالية على أنها عبارات مركبة:

قرأت موسكوفسكي كومسوموليتس وقرأت صحيفة كوميرسانت.

إذا قال ذلك ، فهذا صحيح.

الشمس ليست نجما.

إذا كان الجو مشمسًا وتجاوزت درجة الحرارة 25 درجة ، فسوف أصل بالقطار أو السيارة

يمكن أن تكون الكلمات البسيطة المتضمنة في الكلام المركب تعسفية تمامًا. على وجه الخصوص ، يمكن أن يكونوا هم أنفسهم مركبين. يتم تحديد الأنواع الأساسية من العبارات المركبة الموضحة أدناه بشكل مستقل عن العبارات البسيطة التي تشكلها.

11. العمليات على البيانات.

1. عملية النفي.

نفي البيان لكن (يقرأ "لا لكن"،" ليس ذلك صحيحًا لكن") ، وهذا صحيح عندما لكنخطأ وخطأ متى لكن- حقيقي.

تصريحات سلبية لكنو اتصل ضد.

2. عملية الاقتران.

اقتران او بالتزامن معصياغات لكنو فييسمى البيان أ ب(اقرأ " لكنو في”) ، يتم تحديد معانيها الحقيقية إذا وفقط إذا كانت كلا العبارتين لكنو فيحقيقي.

يُطلق على اقتران القضايا اسم المنتج المنطقي وغالبًا ما يتم الإشارة إليه AB.

دع البيان لكن- "مارس ، درجة حرارة الهواء من 0 درجة مئويةل + 7 ج»وقوله في- "إنها تمطر في فيتيبسك". ثم أ بسيكون على النحو التالي: "في مارس ، ودرجة حرارة الهواء من 0 درجة مئويةل + 7 جوهي تمطر في فيتيبسك ". سيكون هذا الاقتران صحيحًا إذا كانت هناك عبارات لكنو فيحقيقي. إذا اتضح أن درجة الحرارة كانت أقل 0 درجة مئويةأو لم يكن هناك مطر في فيتيبسك ، إذن أ بسيكون خطأ.

3 . عملية الانفصال.

انفصالصياغات لكنو فييسمى البيان أ ب (لكنأو في) ، والتي تكون صحيحة إذا وفقط إذا كان أحد العبارتين على الأقل صحيحًا وخطأ - عندما تكون كلتا العبارتين خاطئتين.

يسمى فصل القضايا أيضًا بالمجموع المنطقي أ + ب.

البيان " 4<5 أو 4=5 ' صحيح. منذ البيان " 4<5 "صحيح ، والبيان" 4=5 خطأ ، إذن أ بهو بيان صحيح 4 5 ».

4 . عملية ضمنية.

يتضمنصياغات لكنو فييسمى البيان أ ب("لو لكن، من ثم في"، "من عند لكنينبغي في”) ، الذي تكون قيمته خطأ إذا وفقط إذا لكنصحيح و فيخطأ شنيع.

في التضمين أ ببيان لكناتصل المؤسسة،أو إرسال ، والبيان في – عاقبة،أو خاتمة.

12. جداول حقيقة البيانات.

جدول الحقيقة هو جدول ينشئ تطابقًا بين جميع المجموعات الممكنة من المتغيرات المنطقية المضمنة في دالة منطقية وقيم الوظيفة.

تستخدم جداول الحقيقة من أجل:

حساب حقيقة البيانات المعقدة ؛

إثبات تكافؤ البيانات ؛

تعريفات الحشو.