ما هو الحدث الذي احتماله يساوي صفرًا؟ حل المشاكل مع عبارة "واحد على الأقل"

احتمالالحدث هو نسبة عدد النتائج الأولية المؤاتية لحدث معين إلى عدد جميع النتائج المحتملة المتساوية للتجربة التي قد يظهر فيها هذا الحدث. يُشار إلى احتمالية الحدث A بالرمز P(A) (هنا P هو الحرف الأول من الكلمة الفرنسية probabilite - الاحتمالية). حسب التعريف
(1.2.1)
أين هو عدد النتائج الأولية المواتية للحدث A؛ - عدد جميع النتائج الأولية المحتملة للتجربة والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث.
هذا التعريف للاحتمال يسمى كلاسيكي. نشأت على المرحلة الأوليةتطوير نظرية الاحتمالات.

احتمال وقوع حدث له الخصائص التالية:
1. احتمال وقوع حدث موثوق يساوي واحدًا. دعونا نشير إلى حدث موثوق به بالحرف . لحدث معين، لذلك
(1.2.2)
2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. دعونا نشير إلى حدث مستحيل بالحرف . لحدث مستحيل، لذلك
(1.2.3)
3. يتم التعبير عن احتمال وقوع حدث عشوائي برقم موجب أقل من واحد. نظرًا لأنه بالنسبة لحدث عشوائي، فإن عدم المساواة، أو، تكون راضية، إذن
(1.2.4)
4. احتمال وقوع أي حدث يفي بالمتباينات
(1.2.5)
وهذا يتبع من العلاقات (1.2.2) - (1.2.4).

مثال 1.تحتوي جرة على 10 كرات متساوية الحجم والوزن، 4 منها حمراء و6 زرقاء. يتم سحب كرة واحدة من الجرة. ما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة باللون الأزرق؟

حل. نشير إلى الحدث "تبين أن الكرة المسحوبة زرقاء" بالحرف A. يحتوي هذا الاختبار على 10 نتائج أولية محتملة بالتساوي، منها 6 لصالح الحدث A. ووفقًا للصيغة (1.2.1)، نحصل على

مثال 2.جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 30 تكتب على بطاقات متطابقة وتوضع في جرة. بعد خلط البطاقات جيدًا، تتم إزالة بطاقة واحدة من الجرة. ما احتمال أن يكون الرقم الموجود على البطاقة من مضاعفات العدد 5؟

حل.دعونا نشير بالحرف A إلى الحدث "الرقم الموجود على البطاقة المأخوذة هو من مضاعفات الرقم 5." في هذا الاختبار، هناك 30 نتيجة أولية محتملة بالتساوي، منها الحدث A مفضل بـ 6 نتائج (الأرقام 5، 10، 15، 20، 25، 30). لذلك،

مثال 3.يتم رمي حجري نرد ويتم حساب مجموع النقاط على الوجوه العلوية. أوجد احتمال وقوع الحدث B بحيث يكون مجموع الوجوه العلوية من حجر النرد ٩ نقاط.

حل.في هذا الاختبار هناك فقط 6 2 = 36 نتيجة أولية متساوية الإمكانية. الحدث B مفضل بأربع نتائج: (3;6)، (4;5)، (5;4)، (6;3)، وبالتالي

مثال 4. تم اختيارها عشوائيا عدد طبيعيلا يتجاوز 10. ما احتمال أن يكون هذا الرقم أوليًا؟

حل.دعونا نشير إلى حدث "الرقم المختار أولي" بالحرف C. في في هذه الحالةن = 10، م = 4 ( الأعداد الأولية 2، 3، 5، 7). وبالتالي الاحتمال المطلوب

مثال 5.تم رمي عملتين متماثلتين. ما هو احتمال وجود أرقام على الوجهين العلويين للعملتين؟

حل.دعونا نشير بالحرف D إلى الحدث "وجود رقم على الجانب العلوي من كل عملة". في هذا الاختبار هناك 4 نتائج أولية محتملة بالتساوي: (G، G)، (G، C)، (C، G)، (C، C). (الرمز (G، C) يعني أن العملة الأولى تحمل شعار النبالة، والثانية تحمل رقمًا). يتم تفضيل الحدث D بنتيجة أولية واحدة (C، C). وبما أن م = 1، ن = 4، إذن

مثال 6.ما احتمال أن يكون العدد المكون من رقمين الذي تم اختياره عشوائيًا له نفس الأرقام؟

حل.الأرقام المكونة من رقمين هي أرقام من 10 إلى 99؛ هناك 90 رقمًا من هذا القبيل في المجموع. نفس الأرقامبها 9 أرقام (هذه الأرقام هي 11، 22، 33، 44، 55، 66، 77، 88، 99). وبما أنه في هذه الحالة م = 9، ن = 90، إذن
,
حيث A هو حدث "الرقم ذو الأرقام المتطابقة".

مثال 7.من حروف الكلمة التفاضلييتم اختيار حرف واحد عشوائيا. ما احتمال أن يكون هذا الحرف: أ) حرفًا متحركًا، ب) حرفًا ساكنًا، ج) حرفًا ح?

حل. تتكون كلمة التفاضل من 12 حرفًا، منها 5 حروف متحركة و7 حروف ساكنة. رسائل حلا يوجد في هذه الكلمة. دعونا نشير إلى الأحداث: أ - "حرف العلة"، ب - "الحرف الساكن"، ج - "الحرف". ح". عدد النتائج الأولية المفضلة: - للحدث أ، - للحدث ب، - للحدث ج. بما أن n = 12، إذن
، و .

مثال 8.يتم رمي حجري نرد ويتم تسجيل عدد النقاط الموجودة أعلى كل حجر نرد. أوجد احتمال رمي كلا النردين نفس العددنقاط.

حل.دعنا نشير إلى هذا الحدث بالحرف A. يتم تفضيل الحدث A بواسطة 6 نتائج أولية: (1;])، (2;2)، (3;3)، (4;4)، (5;5)، (6) ؛6). العدد الإجمالي للنتائج الأولية المحتملة بالتساوي والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث، في هذه الحالة ن=6 2 =36. وهذا يعني أن الاحتمال المطلوب

مثال 9.الكتاب يقع في 300 صفحة. ما هو احتمال أن تكون هناك صفحة مفتوحة بشكل عشوائي رقم سري، مضاعفات 5؟

حل.يترتب على شروط المشكلة أن جميع النتائج الأولية الممكنة بشكل متساو والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث ستكون n = 300. ومن بين هذه النتائج، m = 60 تؤيد وقوع الحدث المحدد. في الواقع، الرقم الذي يكون من مضاعفات العدد 5 له الصيغة 5k، حيث k هو عدد طبيعي، ومن هنا . لذلك،
، حيث A - يحتوي حدث "الصفحة" على رقم تسلسلي من مضاعفات الرقم 5".

مثال 10. يتم رمي حجري نرد ويتم حساب مجموع النقاط على الوجوه العلوية. ما هو الأرجح - الحصول على إجمالي 7 أو 8؟

حل. دعونا نشير إلى الأحداث: أ - "تم رمي 7 نقاط"، ب - "تم رمي 8 نقاط". يتم تفضيل الحدث A من خلال 6 نتائج أولية: (1؛ 6)، (2؛ 5)، (3؛ 4)، (4؛ 3)، (5؛ 2)، (6؛ 1)، ويتم تفضيل الحدث B بخمس نتائج: (2؛ 6)، (3؛ 5)، (4؛ 4)، (5؛ 3)، (6؛ 2). جميع النتائج الأولية الممكنة بالتساوي هي n = 2 6 = 36. وبالتالي، و .

لذلك، P(A)>P(B)، أي أن الحصول على إجمالي 7 نقاط هو حدث أكثر احتمالًا من الحصول على إجمالي 8 نقاط.

المهام

1. تم اختيار عدد طبيعي لا يزيد عن 30 عشوائيا، ما احتمال أن يكون هذا العدد من مضاعفات العدد 3؟
2. في الجرة أالأحمر و بكرات زرقاء متطابقة في الحجم والوزن. ما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة عشوائيًا من هذه الجرة باللون الأزرق؟
3. يتم اختيار رقم لا يزيد عن 30 عشوائيا ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم مقسوما على 30؟
4. في الجرة أالأزرق و بكرات حمراء متطابقة في الحجم والوزن. تؤخذ كرة واحدة من هذه الجرة وتوضع جانباً. وتبين أن هذه الكرة حمراء. بعد ذلك، يتم سحب كرة أخرى من الجرة. أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا.
5. يتم اختيار رقم وطني لا يتجاوز 50 بشكل عشوائي ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم أوليا؟
6. يتم رمي ثلاثة أحجار نرد ويتم حساب مجموع النقاط الموجودة على الوجوه العلوية. ما هو الأرجح - للحصول على إجمالي 9 أو 10 نقاط؟
7. يتم رمي ثلاثة أحجار نرد ويتم حساب مجموع النقاط التي تم رميها. ما هو الأرجح - الحصول على إجمالي 11 (الحدث أ) أو 12 نقطة (الحدث ب)؟

الإجابات

1. 1/3. 2 . ب/(أ+ب). 3 . 0,2. 4 . (ب-1)/(أ+ب-1). 5 .0,3.6 . ع 1 = 25/216 - احتمال الحصول على 9 نقاط في المجموع؛ ع 2 = 27/216 - احتمال الحصول على 10 نقاط إجمالاً؛ ص2 > ص1 7 . ف(أ) = 27/216، ف(ب) = 25/216، ف(أ) > ف(ب).

أسئلة

1. ما هو اسم احتمال وقوع حدث؟
2. ما هو احتمال وقوع حدث موثوق؟
3. ما هو احتمال وقوع حدث مستحيل؟
4. ما هي حدود احتمال وقوع حدث عشوائي؟
5. ما هي حدود احتمالية أي حدث؟
6. ما هو تعريف الاحتمال الذي يسمى الكلاسيكي؟

نظرية الاحتمالية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس أنماط الظواهر العشوائية: أحداث عشوائيةالمتغيرات العشوائية وخصائصها والعمليات عليها.

لفترة طويلةلم يكن لنظرية الاحتمالات تعريف واضح. تم صياغته فقط في عام 1929. يعود ظهور نظرية الاحتمالات كعلم إلى العصور الوسطى والمحاولات الأولى للتحليل الرياضي للمقامرة (الرقاقة، النرد، الروليت). اكتشف علماء الرياضيات الفرنسيون في القرن السابع عشر، بليز باسكال وبيير فيرمات، أثناء دراستهم للتنبؤ بالمكاسب في المقامرة، الأنماط الاحتمالية الأولى التي تنشأ عند رمي النرد.

نشأت نظرية الاحتمالية كعلم من الاعتقاد بأن أنماطًا معينة تكمن وراء الأحداث العشوائية الجماعية. تدرس نظرية الاحتمالية هذه الأنماط.

تتعامل نظرية الاحتمالات مع دراسة الأحداث التي لا يُعرف حدوثها على وجه اليقين. يسمح لك بالحكم على درجة احتمالية حدوث بعض الأحداث مقارنة بأحداث أخرى.

على سبيل المثال: من المستحيل تحديد نتيجة "الصورة" أو "الكتابة" بشكل لا لبس فيه نتيجة رمي قطعة نقود، ولكن مع الرمي المتكرر يظهر نفس عدد "الصورة" و"الكتابة" تقريبًا، مما يعني أن احتمال سقوط "الرؤوس" أو "الذيول" يساوي 50٪.

امتحانفي هذه الحالة، يسمى تنفيذ مجموعة معينة من الشروط، أي في هذه الحالة، رمي العملة المعدنية. يمكن لعب التحدي لعدد غير محدود من المرات. وفي هذه الحالة، تتضمن مجموعة الشروط عوامل عشوائية.

نتيجة الاختبار هي حدث. يحدث الحدث:

1. موثوق (يحدث دائمًا نتيجة للاختبار).
2. مستحيل (لا يحدث أبدا).
3. عشوائي (قد يحدث أو لا يحدث نتيجة للاختبار).

على سبيل المثال، عند رمي عملة معدنية، حدث مستحيل - سقوط العملة على حافتها، حدث عشوائي - ظهور "الوجه" أو "الكتابة". يتم استدعاء نتيجة الاختبار المحددة الحدث الابتدائي. نتيجة للاختبار، تحدث الأحداث الأولية فقط. تسمى مجموعة جميع نتائج الاختبار الممكنة والمختلفة والمحددة مساحة الأحداث الأولية.

المفاهيم الأساسية للنظرية

احتمال- درجة احتمال وقوع حدث ما. عندما تكون أسباب وقوع حدث محتمل تفوق الأسباب المتعارضة، فإن هذا الحدث يسمى محتملًا، وإلا - غير محتمل أو غير محتمل.

متغير عشوائي- هذه هي الكمية التي، نتيجة للاختبار، يمكن أن تأخذ قيمة معينة، ولا يعرف مقدما أي منها. على سبيل المثال: العدد لكل محطة إطفاء في اليوم، عدد الضربات بـ 10 طلقات، إلخ.

يمكن تقسيم المتغيرات العشوائية إلى فئتين.

1. متغير عشوائي منفصلهي الكمية التي، نتيجة للاختبار، يمكن أن تأخذ قيمًا معينة مع احتمال معين، وتشكل مجموعة قابلة للعد (مجموعة يمكن ترقيم عناصرها). يمكن أن تكون هذه المجموعة محدودة أو غير محدودة. على سبيل المثال، عدد الطلقات قبل الضربة الأولى على الهدف هو متغير عشوائي منفصل، لأن يمكن أن تأخذ هذه الكمية عددًا لا نهائيًا من القيم، وإن كان قابلاً للعد.
2. متغير عشوائي مستمرهي الكمية التي يمكن أن تأخذ أي قيمة من فترة محدودة أو لا نهائية. من الواضح أن عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر لا نهائي.

مساحة الاحتمال- المفهوم الذي قدمه أ.ن. Kolmogorov في الثلاثينيات من القرن العشرين لإضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الاحتمالية، مما أدى إلى ظهور التطور السريعنظرية الاحتمالات باعتبارها نظام رياضي صارم.

مساحة الاحتمال هي ثلاثية (أحيانًا تكون محاطة بأقواس زاوية: ، حيث

هذه مجموعة عشوائية، تسمى عناصرها الأحداث الأولية أو النتائج أو النقاط؛
- جبر سيجما لمجموعات فرعية تسمى أحداث (عشوائية)؛
- قياس الاحتمالية أو الاحتمالية، أي سيجما المضافة قياس محدود من هذا القبيل.

نظرية دي موافر لابلاس- إحدى نظريات الحد في نظرية الاحتمالات، التي وضعها لابلاس في عام 1812. تنص على أن عدد النجاحات عند تكرار نفس التجربة العشوائية مرارًا وتكرارًا مع نتيجتين محتملتين يتم توزيعه بشكل طبيعي تقريبًا. انها تسمح لك للعثور على قيمة الاحتمال التقريبية.

إذا كان احتمال وقوع حدث عشوائي في كل تجربة من التجارب المستقلة يساوي () وهو عدد التجارب التي يحدث فيها الحدث بالفعل، فإن احتمال أن تكون المتراجحة صحيحة يكون قريبًا (بالنسبة للقيم الكبيرة) من قيمة تكامل لابلاس.

دالة التوزيع في نظرية الاحتمالات- دالة تميز توزيع متغير عشوائي أو ناقل عشوائي؛ احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من أو تساوي x، حيث x هو رقم حقيقي عشوائي. فإذا توافرت الشروط المعروفة فإنه يتم تحديد المتغير العشوائي بشكل كامل.

توقع- القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي (هذا هو التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي، الذي يتم أخذه بعين الاعتبار في نظرية الاحتمالات). في أدب اللغة الإنجليزية يشار إليه بالروسية - . في الإحصاء، غالبا ما يستخدم الترميز.

دع مساحة الاحتمال والمتغير العشوائي المحدد عليها تعطى. وهذا هو، بحكم التعريف، وظيفة قابلة للقياس. ومن ثم، إذا كان هناك تكامل لبيسج عبر الفضاء، فإنه يسمى التوقع الرياضي، أو القيمة المتوسطة، ويشار إليه بـ .

تباين متغير عشوائي- مقياس انتشار متغير عشوائي معين، أي انحرافه عن التوقع الرياضي. تم ذكره في الأدب الروسي والأجنبي. في الإحصائيات، غالبًا ما يتم استخدام التدوين أو. ويسمى الجذر التربيعي للتباين الانحراف المعياري، أو الانحراف المعياري، أو الانتشار المعياري.

Letbe متغير عشوائي محدد في بعض مساحة الاحتمال. ثم

حيث يدل الرمز على التوقع الرياضي.

في نظرية الاحتمالات، يتم استدعاء حدثين عشوائيين مستقلإذا كان وقوع أحدهما لا يغير من احتمال وقوع الآخر. وبالمثل، يتم استدعاء متغيرين عشوائيين متكلإذا كانت قيمة أحدهما تؤثر على احتمالية قيم الآخر.

أبسط أشكال القانون أعداد كبيرةهي نظرية برنولي، التي تنص على أنه إذا كان احتمال وقوع الحدث هو نفسه في جميع التجارب، فكلما زاد عدد المحاولات، يميل تكرار الحدث إلى احتمال الحدث ويتوقف عن أن يكون عشوائيًا.

ينص قانون الأعداد الكبيرة في نظرية الاحتمالات على أن المتوسط ​​الحسابي لعينة محدودة من توزيع ثابت قريب من المتوسط ​​النظري لذلك التوزيع. اعتمادًا على نوع التقارب، يتم التمييز بين القانون الضعيف للأعداد الكبيرة، عندما يحدث التقارب عن طريق الاحتمال، والقانون القوي للأعداد الكبيرة، عندما يكون التقارب شبه مؤكد.

المعنى العام لقانون الأعداد الكبيرة هو أن الفعل المشترك لعدد كبير من العوامل العشوائية المتطابقة والمستقلة يؤدي إلى نتيجة لا تعتمد في حدها على الصدفة.

تعتمد طرق تقدير الاحتمالية بناءً على تحليل العينات المحدودة على هذه الخاصية. مثال واضحهو توقع لنتائج الانتخابات بناء على استطلاع لعينة من الناخبين.

نظريات الحد المركزي- فئة من النظريات في نظرية الاحتمالات تنص على أن مجموع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية ضعيفة الاعتماد والتي لها نفس المقاييس تقريبًا (لا يهيمن أي من المصطلحات أو يقدم مساهمة محددة في المجموع) له توزيع قريب من الطبيعي.

وبما أن العديد من المتغيرات العشوائية في التطبيقات تتشكل تحت تأثير عدة عوامل عشوائية ضعيفة الاعتماد، فإن توزيعها يعتبر طبيعيا. وفي هذه الحالة، يجب استيفاء شرط عدم سيطرة أي من العوامل. تبرر نظريات الحد المركزي في هذه الحالات استخدام التوزيع الطبيعي.

هذه هي نسبة عدد تلك الملاحظات التي وقع فيها الحدث المعني العدد الإجماليالملاحظات. وهذا التفسير مقبول في حالة وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من الملاحظات أو التجارب. على سبيل المثال، إذا كان حوالي نصف الأشخاص الذين تقابلهم في الشارع هم من النساء، فيمكنك القول إن احتمال أن يكون الشخص الذي تقابله في الشارع امرأة هو 1/2. بمعنى آخر، يمكن أن يكون تقدير احتمالية حدث ما هو تكرار حدوثه في سلسلة طويلة من التكرارات المستقلة لتجربة عشوائية.

الاحتمال في الرياضيات

في النهج الرياضي الحديث، يتم إعطاء الاحتمال الكلاسيكي (أي ليس الكمي) من خلال بديهيات كولموغوروف. الاحتمال هو مقياس ص، والتي تم تعريفها على المجموعة Xويسمى الفضاء الاحتمالي. ويجب أن يتمتع هذا الإجراء بالخصائص التالية:

ويترتب على هذه الشروط قياس الاحتمال صلديها أيضا الممتلكات المضافة: إذا مجموعات أ 1 و أ 2 لا تتقاطع، ثم . لإثبات أنك بحاجة إلى وضع كل شيء أ 3 , أ 4، ... تساوي المجموعة الفارغة وتطبق خاصية الجمع المعدود.

قد لا يتم تعريف مقياس الاحتمالية لجميع المجموعات الفرعية للمجموعة X. يكفي تعريفه على جبر سيجما، الذي يتكون من بعض المجموعات الفرعية للمجموعة X. في هذه الحالة، يتم تعريف الأحداث العشوائية على أنها مجموعات فرعية قابلة للقياس من الفضاء X، أي كعناصر من جبر سيجما.

معنى الاحتمال

عندما نجد أن الأسباب التي أدت إلى حدوث حقيقة محتملة بالفعل تفوق الأسباب المعاكسة لها، فإننا نأخذ هذه الحقيقة بعين الاعتبار محتمل، خلاف ذلك - رائع. إن رجحان القواعد الإيجابية على القواعد السلبية، والعكس بالعكس، يمكن أن يمثل مجموعة غير محددة من الدرجات، ونتيجة لذلك احتمال(و عدم الاحتمالية) يحدث أكثرأو أقل .

لا تسمح الحقائق الفردية المعقدة بإجراء حساب دقيق لدرجات احتمالاتها، ولكن حتى هنا من المهم إنشاء بعض التقسيمات الفرعية الكبيرة. لذلك، على سبيل المثال، في المجال القانوني، عندما يتم إثبات حقيقة شخصية تخضع للمحاكمة على أساس الشهادة، فإنها تظل دائمًا، بالمعنى الدقيق للكلمة، محتملة فقط، ومن الضروري معرفة مدى أهمية هذا الاحتمال؛ في القانون الروماني تم اعتماد التقسيم الرباعي هنا: الاختبار المكتمل(حيث يتحول الاحتمال عمليا إلى مصداقية)، إضافي - الاختبار ناقص بلينا، ثم - الاختبار النصفي الرئيسيوأخيرا الاختبار شبه الطفيف .

بالإضافة إلى مسألة احتمالية القضية، قد ينشأ سؤال، سواء في مجال القانون أو في المجال الأخلاقي (مع وجهة نظر أخلاقية معينة)، حول مدى احتمال أن تشكل حقيقة معينة حقيقة معينة انتهاك القانون العام. هذا السؤال، الذي كان بمثابة الدافع الرئيسي في الفقه الديني للتلمود، أدى أيضًا إلى ظهور اللاهوت الأخلاقي الكاثوليكي الروماني (خاصة مع أواخر السادس عشرقرون) إنشاءات منهجية معقدة للغاية وأدب ضخم وعقائدي وجدالي (انظر الاحتمالية).

يسمح مفهوم الاحتمال بتعبير عددي معين عند تطبيقه فقط على تلك الحقائق التي تشكل جزءًا من المؤكد سلسلة متجانسة. لذلك (في أبسط مثال)، عندما يقوم شخص ما برمي عملة معدنية مائة مرة متتالية، نجد هنا سلسلة واحدة عامة أو كبيرة (مجموع كل سقوطات العملة)، تتكون من سلسلتين خاصتين أو أصغر، في هذه الحالة عدديًا متساوية، سلسلة (يسقط "رؤوس" ويسقط "ذيول")؛ احتمال أن في هذه المرةستهبط العملة على الوجه، أي أن هذا العضو الجديد في السلسلة العامة سينتمي إلى هذا من السلسلتين الأصغر، يساوي الكسر الذي يعبر عن العلاقة العددية بين هذه السلسلة الصغيرة والسلسلة الأكبر، وهي 1/2، أي أن نفس الاحتمال ينتمي إلى واحد أو آخر من الصفين الخاصين. في أقل أمثلة بسيطةولا يمكن استخلاص الاستنتاج مباشرة من بيانات المشكلة نفسها، بل يتطلب الاستقراء الأولي. لذلك، على سبيل المثال، يسأل المرء: ما هو الاحتمال الموجود؟ من هذا الوليديعيش ليكون 80؟ هنا يجب أن يكون هناك سلسلة عامة أو كبيرة من رقم معروفالأشخاص الذين ولدوا في ظروف مماثلة ويموتون فيها في مختلف الأعمار(يجب أن يكون هذا العدد كبيرًا بما يكفي للقضاء على الانحرافات العشوائية، وصغيرًا بما يكفي للحفاظ على تجانس السلسلة، لأنه بالنسبة لشخص ولد، على سبيل المثال، في سانت بطرسبرغ في عائلة ثقافية ثرية، فإن إجمالي عدد سكان المليون نسمة مدينة يتكون جزء كبير منها من مجموعات مختلفة قد تموت قبل الأوان - الجنود والصحفيون والعمال المهن الخطرة، - يمثل مجموعة غير متجانسة للغاية بحيث لا يمكن تحديد الاحتمالية الحقيقية)؛ دع هذا الصف العام يتكون من عشرة آلاف حياة البشر; وتتضمن سلسلة أصغر تمثل عدد الأشخاص الذين يعيشون في عمر معين؛ تمثل إحدى هذه السلاسل الأصغر عدد الأشخاص الذين يعيشون حتى سن 80 عامًا. ولكن من المستحيل تحديد عدد هذه السلسلة الأصغر (مثل كل الآخرين) بداهة; ويتم ذلك بشكل استقرائي بحت، من خلال الإحصائيات. دعنا نقول البحوث الإحصائيةوجدت أنه من بين 10.000 من سكان سانت بطرسبورغ من الطبقة المتوسطة، يعيش 45 منهم فقط حتى سن الثمانين؛ وبالتالي، فإن هذه السلسلة الأصغر ترتبط بالسلسلة الأكبر حيث أن 45 يساوي 10000، ويتم التعبير عن احتمال أن ينتمي شخص ما إلى هذه السلسلة الأصغر، أي أن يعيش حتى يبلغ 80 عامًا، ككسر من 0.0045. تشكل دراسة الاحتمال من وجهة نظر رياضية نظامًا خاصًا - نظرية الاحتمالات.

أنظر أيضا

ملحوظات

الأدب

• ألفريد ريني. رسائل على الاحتمال / العابرة. من المجرية د. ساس وأ. كروملي، محرران. بي في جينيدينكو. م: مير. 1970
• جيدينكو بي.في.دورة نظرية الاحتمالات. م.، 2007. 42 ص.
• كوبتسوف ف.الحتمية والاحتمالية. م، 1976. 256 ص.

مؤسسة ويكيميديا.

المرادفات:

المتضادات

انظر ما هو "الاحتمال" في القواميس الأخرى: علمية وفلسفية عامة. فئة تشير إلى الدرجة الكمية لاحتمال حدوث أحداث عشوائية جماعية في ظل ظروف مراقبة ثابتة، وتتميز باستقرار تردداتها النسبية. في المنطق، الدرجة الدلالية... ...

الموسوعة الفلسفية الاحتمال، رقم يقع في النطاق من صفر إلى واحد، ويمثل إمكانية وقوع حدث معين. يتم تعريف احتمالية وقوع حدث ما على أنها نسبة عدد فرص وقوع حدث ما إلى إجمالي عدد الاحتمالات الممكنة... ...

القاموس الموسوعي العلمي والتقني في جميع الاحتمالات.. قاموس المرادفات الروسية والتعبيرات المماثلة. تحت. إد. N. Abramova، M.: القواميس الروسية، 1999. الاحتمالية، الاحتمالية، الصدفة، الاحتمالية الموضوعية، مازا، المقبولية، المخاطرة. نملة. استحالة... ...

احتمال- مقياس لاحتمال وقوع حدث ما. ملاحظة: التعريف الرياضي للاحتمال هو: "رقم حقيقي بين 0 و1 مرتبط بحدث عشوائي." قد يعكس الرقم التكرار النسبي في سلسلة من الملاحظات ... ... دليل المترجم الفني

احتمال- "خاصية رياضية عددية لدرجة احتمال وقوع أي حدث في ظروف محددة معينة يمكن أن يتكرر لعدد غير محدود من المرات." على أساس هذا الكلاسيكية ... ... القاموس الاقتصادي الرياضي

- (الاحتمال) احتمال وقوع حدث أو نتيجة معينة. ويمكن تقديمه على شكل مقياس مقسم من 0 إلى 1. فإذا كان احتمال وقوع الحدث صفراً، فإن حدوثه مستحيل. مع احتمال يساوي 1، بداية ... قاموس المصطلحات التجارية

احتمال- رقم بين 0 و 1 يعكس احتمالات وقوع حدث عشوائي، حيث يكون 0 الغياب التاماحتمال وقوع حدث ما، والرقم 1 يعني أن الحدث المعني سيحدث بالتأكيد.

احتمال الحدث E هو رقم من إلى 1.
مجموع احتمالات الأحداث المتنافية يساوي 1.

الاحتمال التجريبي- الاحتمالية، والتي يتم حسابها على أنها التكرار النسبي لحدث ما في الماضي، ويتم استخلاصها من تحليل البيانات التاريخية.

لا يمكن حساب احتمالية الأحداث النادرة جدًا تجريبيًا.

احتمال شخصي- الاحتمالية بناءً على تقييم شخصي شخصي لحدث ما بغض النظر عن البيانات التاريخية. غالبًا ما يتصرف المستثمرون الذين يتخذون قرارات شراء وبيع الأسهم بناءً على اعتبارات الاحتمالية الذاتية.

احتمال سابق -

الفرصة هي 1 في... (احتمالات) أن يحدث حدث من خلال مفهوم الاحتمال. يتم التعبير عن فرصة وقوع حدث ما من خلال الاحتمالية على النحو التالي: P/(1-P).

على سبيل المثال، إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو 0.5، فإن احتمال وقوع الحدث هو 1 من 2 لأن 0.5/(1-0.5).

يتم حساب احتمال عدم وقوع حدث باستخدام الصيغة (1-P)/P

احتمال غير متناسق- على سبيل المثال، سعر أسهم الشركة (أ) يأخذ في الاعتبار الحدث المحتمل (هـ) بنسبة 85%، وسعر أسهم الشركة (ب) يأخذ في الاعتبار 50% فقط. وهذا ما يسمى الاحتمال غير المتسق. وفقا لنظرية الرهان الهولندية، فإن الاحتمالية غير المتسقة تخلق فرصا للربح.

احتمال غير مشروطهي إجابة السؤال "ما هو احتمال وقوع الحدث؟"

الاحتمال الشرطي- هذه هي إجابة السؤال: "ما هو احتمال وقوع الحدث أ إذا وقع الحدث ب". يُشار إلى الاحتمال الشرطي بالرمز P(A|B).

الاحتمال المشترك- احتمال وقوع الحدثين A و B في وقت واحد. يشار إليها باسم P (AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

ف(AB) = ف(أ|ب)*ف(ب)

قاعدة جمع الاحتمالات:

احتمال وقوع الحدث A أو الحدث B هو

ف (أ أو ب) = ف(أ) + ف(ب) - ف(AB) (2)

إذا كان الحدثان A وB متنافيان، فإن

ف (أ أو ب) = ف (أ) + ف (ب)

أحداث مستقلة- الحدثان A و B مستقلان إذا

ف(أ|ب) = ف(أ)، ف(ب|أ) = ف(ب)

أي أنها سلسلة من النتائج حيث تكون قيمة الاحتمال ثابتة من حدث إلى آخر.
تعتبر رمية العملة مثالاً على مثل هذا الحدث - فنتيجة كل رمية لاحقة لا تعتمد على نتيجة الرميات السابقة.

الأحداث التابعة- هي الأحداث التي يعتمد احتمال وقوع إحداها على احتمال وقوع أخرى.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
إذا كان الحدثان A وB مستقلين، إذن

ف(AB) = ف(أ) * ف(ب) (3)

قاعدة الاحتمالية الإجمالية:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S وS" حدثان متنافيان

القيمة المتوقعةالمتغير العشوائي هو متوسط ​​النتائج المحتملة للمتغير العشوائي. بالنسبة للحدث X، يُشار إلى التوقع بالرمز E(X).

لنفترض أن لدينا 5 قيم لأحداث متنافية مع احتمال معين (على سبيل المثال، كان دخل الشركة كذا وكذا المبلغ مع مثل هذا الاحتمال). القيمة المتوقعة هي مجموع جميع النتائج مضروبة في احتماليتها:

تشتت المتغير العشوائي هو توقع الانحرافات المربعة للمتغير العشوائي عن توقعه:

ق 2 = ه( 2 ) (6)

القيمة المشروطة المتوقعة هي القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي X، بشرط أن يكون الحدث S قد وقع بالفعل.

من غير المحتمل أن يفكر الكثير من الناس فيما إذا كان من الممكن حساب الأحداث العشوائية إلى حد ما. بكل بساطة بكلمات بسيطةهل من الممكن حقًا معرفة أي جانب من المكعب سيظهر في المرة القادمة؟ كان هذا هو السؤال الذي طرحه اثنان من العلماء العظماء على أنفسهم، والذين وضعوا الأساس لعلم مثل نظرية الاحتمال، حيث يتم دراسة احتمال وقوع حدث ما على نطاق واسع.

أصل

إذا حاولت تعريف مفهوم مثل نظرية الاحتمالات، فستحصل على ما يلي: هذا أحد فروع الرياضيات التي تدرس ثبات الأحداث العشوائية. وبطبيعة الحال، فإن هذا المفهوم لا يكشف حقا عن الجوهر كله، لذلك من الضروري النظر فيه بمزيد من التفصيل.

أود أن أبدأ مع مبدعي النظرية. كما ذكر أعلاه، كان هناك اثنان منهم، وكانوا من بين أول من حاول حساب نتيجة هذا الحدث أو ذاك باستخدام الصيغ والحسابات الرياضية. وبشكل عام فإن بدايات هذا العلم ظهرت في العصور الوسطى. في ذلك الوقت، حاول العديد من المفكرين والعلماء تحليلها القمار، مثل الروليت والنرد وما إلى ذلك، وبالتالي تحديد النمط والنسبة المئوية لعدد معين من الأرقام المتساقطة. تم وضع الأساس في القرن السابع عشر من قبل العلماء المذكورين أعلاه.

في البداية، لا يمكن اعتبار أعمالهم إنجازات عظيمة في هذا المجال، لأن كل ما فعلوه كان مجرد حقائق تجريبية، وتم إجراء التجارب بصريًا، دون استخدام الصيغ. مع مرور الوقت، كان من الممكن تحقيق نتائج رائعة، والتي ظهرت نتيجة مراقبة رمي النرد. كانت هذه الأداة هي التي ساعدت في استخلاص الصيغ الواضحة الأولى.

الناس مثل التفكير

من المستحيل عدم ذكر شخص مثل كريستيان هويجنز في عملية دراسة موضوع يسمى "نظرية الاحتمالية" (يتم تغطية احتمالية الحدث على وجه التحديد في هذا العلم). هذا الشخص مثير للاهتمام للغاية. لقد حاول، مثل العلماء المذكورين أعلاه، استخلاص نمط الأحداث العشوائية في شكل صيغ رياضية. واللافت أنه لم يفعل ذلك مع باسكال وفيرمات، أي أن كل أعماله لم تتقاطع مع هذه العقول. استنتج هيغنز

والحقيقة المثيرة للاهتمام هي أن عمله خرج قبل وقت طويل من ظهور نتائج أعمال المكتشفين، أو بالأحرى قبل عشرين عامًا. ومن بين المفاهيم التي تم تحديدها، أشهرها:

• مفهوم الاحتمالية كقيمة الصدفة؛
• التوقع الرياضي للحالات المنفصلة؛
• نظريات الضرب وجمع الاحتمالات.

ومن المستحيل أيضًا عدم تذكر من قدم أيضًا مساهمة كبيرة في دراسة المشكلة. ومن خلال إجراء اختباراته الخاصة، بشكل مستقل عن أي شخص، كان قادرًا على تقديم دليل على قانون الأعداد الكبيرة. وبدورهما، تمكن العالمان بواسون ولابلاس، اللذان عملا في بداية القرن التاسع عشر، من إثبات النظريات الأصلية. منذ هذه اللحظة بدأ استخدام نظرية الاحتمالات لتحليل الأخطاء في الملاحظات. تجاوز هذا العلمولم يتمكن العلماء الروس، أو بالأحرى ماركوف وتشيبيشيف وديابونوف، من ذلك أيضًا. واستنادا إلى العمل الذي قام به العباقرة العظماء، أسسوا هذا الموضوع كفرع من الرياضيات. لقد عملت هذه الأرقام بالفعل في نهاية القرن التاسع عشر، وبفضل مساهمتها تم إثبات الظواهر التالية:

• قانون الأعداد الكبيرة.
• نظرية سلسلة ماركوف.
• نظرية الحد المركزي.

لذلك، مع تاريخ ولادة العلم ومع الأشخاص الرئيسيين الذين أثروا عليه، كل شيء أكثر أو أقل وضوحا. والآن حان الوقت لتوضيح كل الحقائق.

المفاهيم الأساسية

قبل التطرق إلى القوانين والنظريات، يجدر دراسة المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. ويلعب الحدث دورًا رائدًا فيه. هذا الموضوع ضخم للغاية، ولكن بدونه لن يكون من الممكن فهم كل شيء آخر.

الحدث في نظرية الاحتمالات هو أي مجموعة من نتائج التجربة. المفاهيم هذه الظاهرةهناك عدد غير قليل. وهكذا قال العالم لوتمان العامل في هذا المجال أنه في هذه الحالة نحن نتحدث عنهعما "حدث، رغم أنه ربما لم يحدث".

أحداث عشوائية (نظرية الاحتمالية تركز عليها اهتمام خاص) هو مفهوم يتضمن على الإطلاق أي ظاهرة يمكن أن تحدث. أو على العكس من ذلك، قد لا يحدث هذا السيناريو إذا تم استيفاء العديد من الشروط. ومن الجدير أيضًا معرفة أن الأحداث العشوائية هي التي تلتقط الحجم الكامل للظواهر التي حدثت. تشير نظرية الاحتمال إلى أن جميع الشروط يمكن أن تتكرر باستمرار. إن سلوكهم هو ما يسمى "التجربة" أو "الاختبار".

الحدث الموثوق هو ظاهرة من المحتمل حدوثها بنسبة مائة بالمائة في اختبار معين. وبناء على ذلك، فإن الحدث المستحيل هو الذي لن يحدث.

إن الجمع بين إجراءين (الحالة أ والحالة ب) هو ظاهرة تحدث في وقت واحد. تم تصنيفهم على أنهم AB.

مجموع أزواج الأحداث A و B هو C، بمعنى آخر، إذا حدث واحد منهم على الأقل (A أو B)، فسيتم الحصول على C معادلة الظاهرة الموصوفة على النحو التالي: C = A + ب.

تشير الأحداث غير المتطابقة في نظرية الاحتمالات إلى أن الحالتين متنافيتان. ولا يمكن تحت أي ظرف من الظروف أن يحدثا في نفس الوقت. الأحداث المشتركة في نظرية الاحتمالات هي نقيضها. والمراد هنا أنه إذا حدث (أ) فلا يمنع (ب) من شيء.

من السهل فهم الأحداث المتضادة (تنظر إليها نظرية الاحتمالية بتفصيل كبير). أفضل طريقة لفهمها هي المقارنة. إنها تقريبًا نفس الأحداث غير المتوافقة في نظرية الاحتمالات. لكن الاختلاف بينهما يكمن في حقيقة أن إحدى الظواهر العديدة يجب أن تحدث في أي حال.

الأحداث المحتملة بنفس القدر هي تلك الإجراءات التي لها فرصة متساوية للتكرار. ولتوضيح الأمر أكثر، يمكنك أن تتخيل رمي قطعة نقود: ففقدان أحد جانبيها من المرجح أن يسقط الجانب الآخر.

من الأسهل النظر في حدث ميمون بمثال. لنفترض أن هناك حلقة "ب" وحلقة "أ". الأولى هي رمي النرد مع ظهور رقم فردي، والثانية هي ظهور الرقم خمسة على حجر النرد. ثم يتبين أن A يفضل B.

يتم إسقاط الأحداث المستقلة في نظرية الاحتمالات فقط على حالتين أو أكثر، وتعني استقلال أي إجراء عن الآخر. على سبيل المثال، A هو فقدان الرؤوس عند رمي عملة معدنية، و B هو سحب الرافعة من سطح السفينة. إنها أحداث مستقلة في نظرية الاحتمالات. في هذه المرحلة أصبح الأمر أكثر وضوحا.

الأحداث التابعة في نظرية الاحتمالات مسموحة أيضًا لمجموعة منها فقط. إنها تعني ضمناً اعتماد أحدهما على الآخر، أي أن الظاهرة B لا يمكن أن تحدث إلا إذا حدثت A بالفعل أو، على العكس من ذلك، لم تحدث، عندما يكون هذا هو الشرط الرئيسي لـ B.

نتيجة تجربة عشوائية مكونة من عنصر واحد هي أحداث أولية. وتوضح نظرية الاحتمال أن هذه ظاهرة حدثت مرة واحدة فقط.

الصيغ الأساسية

لذلك، تمت مناقشة مفهومي "الحدث" و"نظرية الاحتمالية" أعلاه؛ كما تم تقديم تعريف للمصطلحات الأساسية لهذا العلم. الآن حان الوقت للتعرف مباشرة عليه صيغ مهمة. تؤكد هذه التعبيرات رياضيًا جميع المفاهيم الأساسية في موضوع معقد مثل نظرية الاحتمالات. يلعب احتمال وقوع حدث ما دورًا كبيرًا هنا أيضًا.

من الأفضل أن تبدأ بالأساسيات، وقبل أن تبدأ بها، يجدر التفكير في ماهيتها.

التوافقيات هي في المقام الأول فرع من الرياضيات ويتعامل مع الدراسة كمية ضخمةالأعداد الصحيحة، بالإضافة إلى التباديل المختلفة لكل من الأرقام نفسها وعناصرها، والبيانات المختلفة، وما إلى ذلك، مما يؤدي إلى ظهور عدد من المجموعات. بالإضافة إلى نظرية الاحتمالات، يعد هذا الفرع مهمًا للإحصاء وعلوم الكمبيوتر والتشفير.

والآن يمكننا الانتقال إلى عرض الصيغ نفسها وتعريفها.

أولها سيكون التعبير عن عدد التباديل، ويبدو كالتالي:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

يتم تطبيق المعادلة فقط إذا كانت العناصر تختلف فقط في ترتيب ترتيبها.

الآن سيتم النظر في صيغة الموضع، وهي تبدو كما يلي:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (ن - م)!

لا ينطبق هذا التعبير على ترتيب وضع العنصر فحسب، بل ينطبق أيضًا على تكوينه.

المعادلة الثالثة من التوافقيات، وهي الأخيرة أيضًا، تسمى صيغة عدد التوافيق:

ج_ن^م = ن! : ((ن - م))! :م!

تشير المجموعة إلى التحديدات التي لم يتم ترتيبها وفقًا لذلك، وتنطبق عليها هذه القاعدة.

كان من السهل فهم الصيغ التوافقية؛ والآن يمكنك الانتقال إلى التعريف الكلاسيكي للاحتمالات. يبدو هذا التعبير كما يلي:

في هذه الصيغة، m هو عدد الظروف الملائمة للحدث A، و n هو عدد النتائج الأولية والممكنة بشكل متساوٍ.

موجود عدد كبيرالتعبيرات، لن يتناول المقال جميعها، ولكن سيتم التطرق إلى أهمها، مثل احتمال مجموع الأحداث على سبيل المثال:

P(A + B) = P(A) + P(B) - هذه النظرية مخصصة لإضافة الأحداث غير المتوافقة فقط؛

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - وهذا لإضافة العناصر المتوافقة فقط.

احتمالية وقوع الأحداث:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - هذه النظرية مخصصة للأحداث المستقلة؛

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - وهذا للمُعال.

سيتم استكمال قائمة الأحداث بصيغة الأحداث. تخبرنا نظرية الاحتمالية عن نظرية بايز، والتي تبدو كما يلي:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., ن

في هذه الصيغة، H 1، H 2، ...، H n هي مجموعة كاملةفرضيات.

أمثلة

إذا كنت تدرس بعناية أي قسم من أقسام الرياضيات، فلن يكتمل بدون تمارين وحلول العينات. وكذلك نظرية الاحتمال: فالأحداث والأمثلة هنا جزء لا يتجزأ من الحسابات العلمية.

صيغة لعدد التباديل

لنفترض أن هناك ثلاثين بطاقة في مجموعة أوراق اللعب، بدءًا بقيمة واحدة. السؤال التالي. ما عدد الطرق المتاحة لتكديس المجموعة بحيث لا تكون البطاقات ذات القيمة واحد واثنين بجوار بعضها البعض؟

تم تعيين المهمة، والآن دعونا ننتقل إلى حلها. تحتاج أولاً إلى تحديد عدد التباديل لثلاثين عنصرًا، ولهذا نأخذ الصيغة الموضحة أعلاه، فتصبح P_30 = 30!.

بناءً على هذه القاعدة، نكتشف عدد الخيارات المتاحة لطي المجموعة بطرق مختلفة، لكننا نحتاج إلى طرح تلك التي تكون فيها البطاقة الأولى والثانية بجانب بعضها البعض. للقيام بذلك، لنبدأ بالخيار عندما يكون الأول فوق الثاني. اتضح أن البطاقة الأولى يمكن أن تشغل تسعة وعشرين مكانًا - من الأول إلى التاسع والعشرين، والبطاقة الثانية من الثانية إلى الثلاثين، مما يجعل إجمالي تسعة وعشرين مكانًا لزوج من البطاقات. وفي المقابل، يمكن للباقي قبول ثمانية وعشرين مكانًا، بأي ترتيب. أي أنه لإعادة ترتيب ثمانية وعشرين بطاقة، هناك ثمانية وعشرون خيارًا P_28 = 28!

ونتيجة لذلك، يتبين أنه إذا نظرنا إلى الحل عندما تكون البطاقة الأولى فوق الثانية، فسيكون هناك 29 ⋅ 28 احتمالًا إضافيًا! = 29!

باستخدام نفس الطريقة، تحتاج إلى حساب عدد الخيارات الزائدة للحالة عندما تكون البطاقة الأولى تحت الثانية. وتبين أيضًا أنها 29 ⋅ 28! = 29!

ويترتب على ذلك أن هناك 2 ⋅ 29 خيارًا إضافيًا!، في حين أن الطرق اللازمة لتجميع المجموعة هي 30! - 2 ⋅ 29!. كل ما تبقى هو العد.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

الآن عليك أن تضرب كل الأرقام من واحد إلى تسعة وعشرين، ثم أخيرًا تضرب كل شيء في 28. الإجابة هي 2.4757335 ⋅〖10〗^32

الحل المثال. صيغة رقم الموضع

في هذه المسألة، عليك معرفة عدد الطرق المتاحة لوضع خمسة عشر مجلدًا على رف واحد، ولكن بشرط أن يكون هناك ثلاثون مجلدًا إجمالاً.

حل هذه المشكلة أبسط قليلاً من الحل السابق. باستخدام بالفعل صيغة معروفةفمن الضروري حساب العدد الإجمالي لترتيبات ثلاثين مجلدًا من خمسة عشر مجلدًا.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202843 204931727360000

وبالتالي فإن الجواب سيكون 202،843،204،931،727،360،000.

الآن دعونا نتولى مهمة أكثر صعوبة قليلاً. أنت بحاجة إلى معرفة عدد الطرق المتاحة لترتيب ثلاثين كتابًا على رفين للكتب، علمًا بأن الرف الواحد لا يتسع إلا لخمسة عشر مجلدًا.

قبل البدء بالحل أود أن أوضح أن بعض المشاكل يمكن حلها بعدة طرق، وهذه الطريقة لها طريقتان، لكن كلاهما يستخدم نفس الصيغة.

في هذه المسألة، يمكنك أن تأخذ الإجابة من السؤال السابق، لأننا هناك قمنا بحساب عدد المرات التي يمكنك فيها ملء الرف بخمسة عشر كتابًا بطرق مختلفة. اتضح A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

وسنقوم بحساب الرف الثاني باستخدام صيغة التقليب، لأنه يمكن أن يوضع فيه خمسة عشر كتابا، ويبقى خمسة عشر كتابا فقط. نستخدم الصيغة P_15 = 15!.

اتضح أن المجموع سيكون A_30^15 ⋅ P_15 طرقًا، ولكن بالإضافة إلى ذلك، يجب ضرب حاصل ضرب جميع الأرقام من ثلاثين إلى ستة عشر في حاصل ضرب الأرقام من واحد إلى خمسة عشر، في النهاية سيحصل على حاصل ضرب جميع الأعداد من واحد إلى ثلاثين، أي أن الإجابة تساوي 30!

ولكن يمكن حل هذه المشكلة بطريقة أخرى - أسهل. للقيام بذلك، يمكنك أن تتخيل أن هناك رفًا واحدًا يتسع لثلاثين كتابًا. يتم وضعها جميعًا على هذا المستوى، ولكن نظرًا لأن الشرط يتطلب وجود رفين، فقد رأينا رفًا واحدًا طويلًا إلى النصف، لذلك نحصل على اثنين وخمسة عشر لكل منهما. ومن هذا يتبين أنه يمكن أن يكون هناك P_30 = 30 خيارًا للترتيب!.

الحل المثال. صيغة للرقم المختلط

الآن سننظر في نسخة من المشكلة الثالثة من التوافقيات. من الضروري معرفة عدد الطرق المتاحة لترتيب خمسة عشر كتابًا، بشرط أن تحتاج إلى الاختيار من بين ثلاثين كتابًا متطابقًا تمامًا.

لحل المشكلة، سيتم بالطبع تطبيق صيغة عدد المجموعات. ومن الشرط يتبين أن ترتيب الكتب الخمسة عشر المتطابقة ليس مهما. لذلك، تحتاج في البداية إلى معرفة العدد الإجمالي لمجموعات ثلاثين كتابا من خمسة عشر.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155117520

هذا كل شيء. باستخدام هذه الصيغة، في أقصر وقتتمكنت من حل هذه المشكلة، وبالتالي فإن الجواب هو 155117520.

الحل المثال. التعريف الكلاسيكي للاحتمال

باستخدام الصيغة أعلاه، يمكنك العثور على الإجابة على مشكلة بسيطة. ولكن هذا سيساعد على رؤية وتتبع التقدم المحرز في الإجراءات بوضوح.

تنص المشكلة على وجود عشر كرات متطابقة تمامًا في الجرة. منها أربعة صفراء وستة زرقاء. يتم أخذ كرة واحدة من الجرة. أنت بحاجة إلى معرفة احتمال الحصول على اللون الأزرق.

لحل المشكلة، من الضروري تعيين الحصول على الكرة الزرقاء كحدث أ. يمكن أن يكون لهذه التجربة عشر نتائج، والتي بدورها أولية وممكنة بنفس القدر. في الوقت نفسه، من أصل عشرة، ستة مؤيدة للحدث أ. نحن نحل باستخدام الصيغة:

ف(أ) = 6: 10 = 0.6

وبتطبيق هذه الصيغة، تعلمنا أن احتمال الحصول على الكرة الزرقاء هو 0.6.

الحل المثال. احتمال مجموع الأحداث

سيتم الآن عرض خيار تم حله باستخدام صيغة احتمالية مجموع الأحداث. إذن، بشرط أن يكون هناك صندوقان، الأول يحتوي على واحدة رمادية وخمس كرات بيضاء، والثاني يحتوي على ثماني كرات رمادية وأربع كرات بيضاء. ونتيجة لذلك، أخذوا واحدًا منهم من الصندوقين الأول والثاني. عليك أن تعرف ما هو احتمال أن تكون الكرات التي تحصل عليها باللونين الرمادي والأبيض.

ولحل هذه المشكلة لا بد من التعرف على الأحداث.

• لذا، أ - أخذت كرة رمادية من الصندوق الأول: P(A) = 1/6.
• A' - أخذت كرة بيضاء أيضًا من الصندوق الأول: P(A") = 5/6.
• ب - تم إخراج كرة رمادية من الصندوق الثاني: P(B) = 2/3.
• B' - أخذت كرة رمادية من الصندوق الثاني: P(B") = 1/3.

ووفقاً لشروط المشكلة، لا بد من حدوث إحدى الظواهر: AB’ أو A’B. باستخدام الصيغة، نحصل على: P(AB") = 1/18، P(A"B) = 10/18.

الآن تم استخدام صيغة ضرب الاحتمال. بعد ذلك، لمعرفة الإجابة، عليك تطبيق معادلة جمعهما:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

هذه هي الطريقة التي يمكنك من خلالها حل المشكلات المشابهة باستخدام الصيغة.

خلاصة القول

قدمت المقالة معلومات حول موضوع "نظرية الاحتمالية" التي يلعب فيها احتمال وقوع حدث ما دور حيوي. بالطبع، لم يتم أخذ كل شيء في الاعتبار، ولكن بناءً على النص المقدم، يمكنك التعرف نظريًا على هذا القسم من الرياضيات. يمكن أن يكون العلم المعني مفيدًا ليس فقط في الشؤون المهنية، بل أيضًا في الحياة اليومية. بمساعدتها، يمكنك حساب أي احتمال لأي حدث.

كما تطرق النص أيضا تواريخ مهمةفي تاريخ تكوين نظرية الاحتمالية كعلم، وأسماء الأشخاص الذين استثمرت أعمالهم فيها. هذه هي الطريقة التي أدى بها فضول الإنسان إلى حقيقة أن الناس تعلموا حساب الأحداث العشوائية. ذات مرة، كانوا مهتمين فقط بهذا، واليوم يعرف الجميع بالفعل عن ذلك. ولن يقول أحد ما ينتظرنا في المستقبل، ما هي الاكتشافات الرائعة الأخرى المرتبطة بالنظرية قيد النظر. ولكن هناك شيء واحد مؤكد - البحث لا يقف ساكنا!