Negatiivse kraadiga näited. Astendamine, reeglid, näited

10.10.2019

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraade vaja? Kus te neid vajate? Miks peaksite nende uurimiseks aega võtma?

Et õppida kõike kraadi kohta, milleks need on mõeldud ja kuidas oma teadmisi kasutada Igapäevane elu lugege seda artiklit.

Ja loomulikult viivad teadmised kraadidest teid edule lähemale OGE läbimine või ühtne riigieksam ja vastuvõtt oma unistuste ülikooli.

Lähme... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul).

ESIMESE TASE

Astendamine on matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd ma seletan kõike inimkeeli väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, aga selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Igaühel on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat on? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näidet koolaga saab kirjutada erinevalt: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõik kaheksa inimest sama number pudeleid koolat ja tuli välja tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta loendada, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Milliseid nutikaid loendamisnippe on laisad matemaatikud veel välja mõelnud? Õige - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on... Ja nad lahendavad sellised probleemid oma peas – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Kõik, mida pead tegema, on pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks seda nimetatakse teiseks astmeks? ruut numbrid ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on üks meeter korda üks meeter. Bassein on teie suvilas. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga... basseinil pole põhja! Basseini põhi tuleb katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhjapinda.

Saate lihtsalt näpuga näidates välja arvutada, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teil on plaate üks meeter korda üks meeter, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa selliseid plaate näinud oled? Plaat on suure tõenäosusega cm kaupa ja siis piinatakse teid "näpuga loendades". Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutage ja saate plaadid ().

Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna me korrutame sama arvu, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui teil on neid palju, siis on nende tõstmine astmeni palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu Ühtse riigieksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine aste on (). Või võime öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide päriselust nr 2

Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades arvu ruutu... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu arvutamiseks tuleb kaheksa korrutada kaheksaga või... kui märkad, et malelaud on küljega ruut, siis saad kaheksa ruutu. Sa saad rakke. () Nii et?

Näide päriselust nr 3

Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Mahtusi ja vedelikke, muide, mõõdetakse kuupmeetrites. Ootamatu, eks?) Joonistage bassein: põhja on meeter suur ja meeter sügav ning proovige välja arvutada, mitu kuubikut mõõtudega meeter korda meeter mahub oma basseini.

Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm... Kui palju sa said? Pole kadunud? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke eeskuju matemaatikutelt. Nad on laisad ja märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad ka seda lihtsustaksid. Me taandasime kõik ühele tegevusele. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest... Mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi ära kasutada. Niisiis, see, mida sa kunagi oma sõrmega lugesid, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubikut on võrdne. See on kirjutatud nii: .

Alles jääb vaid mäleta kraaditabelit. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid jätkata näpuga lugemist.

Noh, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid suitsetamisest loobujad ja kavalad inimesed, et lahendada eluprobleemid, ja et mitte teile probleeme tekitada, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4

Teil on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga sinu miljon kahekordistub iga aasta alguses. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa praegu istud ja “näpuga loendad”, siis oled väga töökas inimene ja... loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Nii et esimesel aastal - kaks korrutati kahega... teisel aastal - mis juhtus, veel kahega, kolmandal aastal... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes suudab kõige kiiremini lugeda, saab need miljonid ... Tasub meeles pidada arvude jõude, kas te ei arva?

Näide päriselust nr 5

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni kohta kaks rohkem. Suurepärane, kas pole? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta - korrutage teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest olete juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Seega on see neljanda astme jaoks võrdne miljoniga. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et kui tõstate arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Terminid ja mõisted... et mitte segadusse sattuda

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, aga selge ja kergesti meeldejääv...

Noh, samal ajal, mida selline kraadi alus? Veelgi lihtsam - see on number, mis asub allpool, aluses.

Siin on hea mõõdupuu joonis.

Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta... Astet alusega “ ” ja astendajaga “ ” loetakse “kraadini” ja kirjutatakse järgmiselt:

Naturaalastendajaga arvu võimsus

Tõenäoliselt arvasite juba: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis see on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need arvud, mida kasutatakse loendamisel objektide loetlemisel: üks, kaks, kolm... Objekte loendades ei ütle me: “miinus viis”, “miinus kuus”, “miinus seitse”. Samuti ei ütle me: "üks kolmandik" või "null koma viis". Need ei ole naturaalarvud. Mis need numbrid teie arvates on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke arve (st miinusmärgiga võetud) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade näitamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalarvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puuduvad naturaalarvud pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud... Huvitav, kas pole?

Kas on veel irratsionaalsed arvud. Mis need numbrid on? Lühidalt öeldes on see lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalse arvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolmekordset korrutamist:

Definitsioon. Tõstke numbrit kuni loomulik kraad- tähendab arvu korrutamist iseendaga:
.

Kraadide omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan teile nüüd.

Vaatame: mis see on Ja ?

A-prioor:

Mitu kordajat on kokku?

See on väga lihtne: lisasime teguritele kordajad ja tulemuseks on kordajad.

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste astendajaga, see tähendab: , mida oli vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peavad olema samad põhjused!
Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

ainult jõudude korrutisele!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

2. ongi kõik arvu aste

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, see tähendab, et definitsiooni kohaselt on see arvu astmes:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?

Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Võimsus negatiivse alusega

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema aluseks?

Volitustel loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid numbreid me üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui me korrutame sellega, siis see töötab.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Kas said hakkama?

Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 näidet harjutamiseks

Lahenduse analüüs 6 näidet

Kui me ignoreerime kaheksandat võimsust, mida me siin näeme? Meenutagem 7. klassi kava. Niisiis, kas sa mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame hoolega nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Tingimuste järjekord on vale. Kui need ümber pöörata, võiks reegel kehtida.

Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.

Maagiliselt muutsid terminid kohti. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame hõlpsasti muuta.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Terve nimetame naturaalarvudeks, nende vastanditeks (see tähendab märgiga " ") ja arvuks.

positiivne täisarv, ja see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega:

Nagu alati, küsigem endalt: miks see nii on?

Mõelgem mingil määral alusega. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvu arvuga ja saime sama, mis see oli - . Millise arvuga tuleks korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Ühest küljest peab see olema võrdne mis tahes kraadiga - ükskõik kui palju sa nulli iseendaga korrutad, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga nullastmega arv, peab see olema võrdne. Niisiis, kui palju sellest on tõsi? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullvõimsusele tõstmast. See tähendab, et nüüd ei saa me mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta seda nullastmeni.

Liigume edasi. Täisarvud hõlmavad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivseid arve. Et mõista, mis on negatiivne võimsus, teeme nagu eelmisel korral: korrutage mõni normaalne arv sama arvuga negatiivse astmega:

Siit on lihtne väljendada, mida otsite:

Laiendame nüüd saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Negatiivse võimsusega arv on sama positiivse võimsusega arvu pöördväärtus. Aga samas Alus ei saa olla null:(sest te ei saa jagada).

Teeme kokkuvõtte:

I. Avaldis ei ole juhul määratletud. Kui siis.

II. Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega: .

III. Number, mitte võrdne nulliga, negatiivsel astmel on sama arvu pöördväärtus positiivsel astmel: .

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, nagu tavaliselt, näited sõltumatute lahenduste jaoks:

Probleemide analüüs iseseisvaks lahendamiseks:

Ma tean, ma tean, numbrid on hirmutavad, aga ühtsel riigieksamil tuleb kõigeks valmis olla! Lahendage neid näiteid või analüüsige nende lahendusi, kui te ei suutnud neid lahendada, ja õpite eksamil nendega hõlpsalt toime tulema!

Jätkame eksponendiks “sobivate” arvude vahemiku laiendamist.

Nüüd kaalume ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud ja.

Et mõista, mis see on "murdjärguline aste", kaaluge murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Tuletame nüüd meelde reeglit "kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on astme juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu () astme juur on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et th astme juur on astmeks tõstmise pöördtehing: .

Selgub, et. Ilmselgelt see erijuhtum saab laiendada: .

Nüüd lisame lugeja: mis see on? Vastust on lihtne saada võimsuse võimsuse reegli abil:

Kuid kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Meenutagem reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada isegi juuri!

See tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuni, st avaldisel pole mõtet.

Aga väljend?

Siin aga tekib probleem.

Arvu võib esitada näiteks muude, taandatavate murdudena või.

Ja selgub, et see on olemas, aga ei eksisteeri, aga need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.

Või teine näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kui aga indikaatorit erinevalt kirja panna, jääme jälle hätta: (ehk saime hoopis teistsuguse tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaalume ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.

Nii et kui:

- naturaalarv;
- täisarv;

Näited:

Ratsionaalastendajad on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 näidet harjutamiseks

5 näite analüüs koolituseks

Noh, nüüd tuleb kõige raskem osa. Nüüd mõtleme selle välja aste irratsionaalse astendajaga.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadi puhul, erandiga

Lõppude lõpuks on definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murruna, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega.

Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...arv nulli astmeni- see on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et nad pole seda veel korrutama hakanud, mis tähendab, et arv ise pole isegi veel ilmunud - seetõttu on tulemuseks ainult teatud "tühi arv" , nimelt number;

...aste täisarvuga negatiivne näitaja - justkui oleks toimunud mingi "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, loodusteadustes kasutatakse sageli keerulise astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

KUHU OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame tavalisest reeglist astme astmeks tõstmiseks:

Nüüd vaadake indikaatorit. Kas ta ei tuleta sulle midagi meelde? Tuletame meelde ruutude erinevuse lühendatud korrutamise valemit:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Taandame eksponentide murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, kasutame seda normaalsed omadused kraadid:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Kraadi määramine

Kraad on vormi: , kus:

— kraadi alus;
- eksponent.

Kraad loomuliku indikaatoriga (n = 1, 2, 3,...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Kraad täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)

Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:

Ehitus null kraadini:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see mis tahes määral see ja teisest küljest mis tahes arv kuni astmeni on see.

Kui eksponendiks on negatiivne täisarv number:

(sest te ei saa jagada).

Veelkord nullidest: avaldis ei ole käändes defineeritud. Kui siis.

Näited:

Võimsus ratsionaalse astendajaga

- naturaalarv;
- täisarv;

Näited:

Kraadide omadused

Probleemide lahendamise hõlbustamiseks proovime mõista: kust need omadused pärinevad? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

A-prioor:

Seega saame selle väljendi paremal küljel järgmise toote:

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peavad olema samad põhjused. Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste korrutis!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:

Korraldame selle töö ümber järgmiselt:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, see tähendab, et definitsiooni kohaselt on see arvu astmes:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku: !

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Võimsus negatiivse alusega.

Siiani oleme vaid arutanud, milline see peaks olema indeks kraadid. Aga mis peaks olema aluseks? Volitustel loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid numbreid me üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame - .

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutusega märk muutub. Saame sõnastada järgmise lihtsad reeglid:

isegi aste, - number positiivne.
Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - number negatiivne.
Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab selgeks see ja seega ka alus vähem kui null. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteisega, jagame paarideks ja saame:

Enne kui vaatame viimast reeglit, lahendame mõned näited.

Arvutage avaldised:

Lahendused :

Kui me ignoreerime kaheksandat võimsust, mida me siin näeme? Meenutagem 7. klassi kava. Niisiis, kas sa mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Vaatame hoolega nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Tingimuste järjekord on vale. Kui need oleksid vastupidised, võiks kehtida reegel 3, aga kuidas? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Nüüd selgub aga nii:

Maagiliselt muutsid terminid kohti. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame hõlpsasti muuta. Kuid on oluline meeles pidada: Kõik märgid muutuvad korraga! Te ei saa seda asendada, muutes ainult ühte puudust, mis meile ei meeldi!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame seda:

Noh, nüüd avame sulgud. Mitu tähte on kokku? korda kordajatega – mida see teile meelde tuletab? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: Seal olid ainult kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:

Näide:

Kraad irratsionaalse astendajaga

Lisaks teabele keskmise taseme kraadide kohta analüüsime kraadi irratsionaalse astendajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (st. , on irratsionaalarvud kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalarvud).

Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega. Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; arv nullastmeni on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et nad pole seda veel korrutama hakanud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemus ainult kindel "tühi number", nimelt number; aste täisarvulise negatiivse eksponendiga - justkui oleks toimunud mingi "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). See on pigem puhtmatemaatiline objekt, mille matemaatikud lõid, et laiendada astme mõistet kogu arvude ruumile.

Muide, loodusteadustes kasutatakse sageli keerulise astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

Vastused:

Meenutagem ruutude valemit. Vastus:.
Murrud taandame samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks: .
Ei midagi erilist, kasutame kraadide tavalisi omadusi:

OSA JA PÕHIVALEMITE KOKKUVÕTE

Kraad nimetatakse vormi väljendiks: , kus:

Kraad täisarvu astendajaga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Võimsus ratsionaalse astendajaga

aste, mille eksponendiks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

aste, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadide omadused

Kraadide omadused.

Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - number positiivne.
Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - number negatiivne.
Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
Null on võrdne mis tahes võimsusega.
Mis tahes arv nullastmega on võrdne.

NÜÜD ON SUL SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Kirjutage allpool kommentaaridesse, kas teile meeldis või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest kraadi atribuutide kasutamisel.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraade vaja? Kus te neid vajate? Miks peaksite nende uurimiseks aega võtma?

Sellest artiklist leiate kõike, mis puudutab kraadi, milleks neid vaja on ja kuidas oma teadmisi igapäevaelus kasutada.

Ja loomulikult viivad teadmised kraadidest lähemale ühtse riigieksami või ühtse riigieksami edukale sooritamisele ning unistuste ülikooli astumisele.

Lähme... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul).

ESIMESE TASE

Astendamine on matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd selgitan kõike inimkeeli kasutades väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, aga selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Igaühel on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat on? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näidet koolaga saab kirjutada erinevalt: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta loendada, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Milliseid nutikaid loendamisnippe on laisad matemaatikud veel välja mõelnud? Õige - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kõik, mida pead tegema, on pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks seda nimetatakse teiseks astmeks? ruut numbrid ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Näide päriselust nr 2

Näide päriselust nr 3

Alles jääb vaid mäleta kraaditabelit. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid jätkata näpuga lugemist.

Noh, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid loobujad ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte teile probleemide tekitamiseks, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4

Näide päriselust nr 5

Nüüd teate, et kui tõstate arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Terminid ja mõisted... et mitte segadusse sattuda

Noh, samal ajal, mida selline kraadi alus? Veelgi lihtsam - see on number, mis asub allpool, aluses.

Siin on hea mõõdupuu joonis.

Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta... Astet alusega “ ” ja astendajaga “ ” loetakse “kraadini” ja kirjutatakse järgmiselt:

Naturaalastendajaga arvu võimsus

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt öeldes on see lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalse arvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolmekordset korrutamist:

Definitsioon. Arvu suurendamine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga:
.

Kraadide omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan teile nüüd.

Vaatame: mis see on Ja ?

A-prioor:

Mitu kordajat on kokku?

See on väga lihtne: lisasime teguritele kordajad ja tulemuseks on kordajad.

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste astendajaga, see tähendab: , mida oli vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peavad olema samad põhjused!
Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

ainult jõudude korrutisele!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

2. ongi kõik arvu aste

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, see tähendab, et definitsiooni kohaselt on see arvu astmes:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?

Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Võimsus negatiivse alusega

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema aluseks?

Volitustel loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid numbreid me üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui me korrutame sellega, siis see töötab.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Kas said hakkama?

Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 näidet harjutamiseks

Lahenduse analüüs 6 näidet

Kui me ignoreerime kaheksandat võimsust, mida me siin näeme? Meenutagem 7. klassi kava. Niisiis, kas sa mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame hoolega nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Tingimuste järjekord on vale. Kui need ümber pöörata, võiks reegel kehtida.

Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.

Maagiliselt muutsid terminid kohti. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame hõlpsasti muuta.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Terve nimetame naturaalarvudeks, nende vastanditeks (see tähendab märgiga " ") ja arvuks.

positiivne täisarv, ja see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega:

Nagu alati, küsigem endalt: miks see nii on?

Mõelgem mingil määral alusega. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvu arvuga ja saime sama, mis see oli - . Millise arvuga tuleks korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Siit on lihtne väljendada, mida otsite:

Laiendame nüüd saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Negatiivse võimsusega arv on sama positiivse võimsusega arvu pöördväärtus. Aga samas Alus ei saa olla null:(sest te ei saa jagada).

Teeme kokkuvõtte:

I. Avaldis ei ole juhul määratletud. Kui siis.

II. Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega: .

III. Arv, mis ei ole võrdne nulliga negatiivse astme suhtes, on sama arvu pöördväärtus positiivse astme suhtes: .

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, nagu tavaliselt, näited sõltumatute lahenduste jaoks:

Probleemide analüüs iseseisvaks lahendamiseks:

Jätkame eksponendiks “sobivate” arvude vahemiku laiendamist.

Nüüd kaalume ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud ja.

Et mõista, mis see on "murdjärguline aste", kaaluge murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Tuletame nüüd meelde reeglit "kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on astme juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu () astme juur on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et th astme juur on astmeks tõstmise pöördtehing: .

Selgub, et. Ilmselgelt saab seda erijuhtumit laiendada: .

Nüüd lisame lugeja: mis see on? Vastust on lihtne saada võimsuse võimsuse reegli abil:

Kuid kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Meenutagem reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada isegi juuri!

See tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuni, st avaldisel pole mõtet.

Aga väljend?

Siin aga tekib probleem.

Arvu võib esitada näiteks muude, taandatavate murdudena või.

Ja selgub, et see on olemas, aga ei eksisteeri, aga need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.

Või teine näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kui aga indikaatorit erinevalt kirja panna, jääme jälle hätta: (ehk saime hoopis teistsuguse tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaalume ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.

Nii et kui:

- naturaalarv;
- täisarv;

Näited:

Ratsionaalastendajad on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 näidet harjutamiseks

5 näite analüüs koolituseks

Noh, nüüd tuleb kõige raskem osa. Nüüd mõtleme selle välja aste irratsionaalse astendajaga.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadi puhul, erandiga

Lõppude lõpuks on definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murruna, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega.

Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...negatiivse täisarvu aste- justkui oleks toimunud mingi "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, loodusteadustes kasutatakse sageli keerulise astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

KUHU OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame tavalisest reeglist astme astmeks tõstmiseks:

Nüüd vaadake indikaatorit. Kas ta ei tuleta sulle midagi meelde? Tuletame meelde ruutude erinevuse lühendatud korrutamise valemit:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Taandame eksponentide murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, kasutame kraadide tavalisi omadusi:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Kraadi määramine

Kraad on vormi: , kus:

— kraadi alus;
- eksponent.

Kraad loomuliku indikaatoriga (n = 1, 2, 3,...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Kraad täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)

Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:

Ehitus null kraadini:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see mis tahes määral see ja teisest küljest mis tahes arv kuni astmeni on see.

Kui eksponendiks on negatiivne täisarv number:

(sest te ei saa jagada).

Veelkord nullidest: avaldis ei ole käändes defineeritud. Kui siis.

Näited:

Võimsus ratsionaalse astendajaga

- naturaalarv;
- täisarv;

Näited:

Kraadide omadused

Probleemide lahendamise hõlbustamiseks proovime mõista: kust need omadused pärinevad? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

A-prioor:

Seega saame selle väljendi paremal küljel järgmise toote:

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peavad olema samad põhjused. Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste korrutis!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:

Korraldame selle töö ümber järgmiselt:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, see tähendab, et definitsiooni kohaselt on see arvu astmes:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku: !

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Võimsus negatiivse alusega.

Siiani oleme vaid arutanud, milline see peaks olema indeks kraadid. Aga mis peaks olema aluseks? Volitustel loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid numbreid me üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame - .

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutusega märk muutub. Võib sõnastada järgmised lihtsad reeglid:

isegi aste, - number positiivne.
Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - number negatiivne.
Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab see selgeks, mis tähendab, et baas on nullist väiksem. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteisega, jagame paarideks ja saame:

Enne kui vaatame viimast reeglit, lahendame mõned näited.

Arvutage avaldised:

Lahendused :

Kui me ignoreerime kaheksandat võimsust, mida me siin näeme? Meenutagem 7. klassi kava. Niisiis, kas sa mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Nüüd selgub aga nii:

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame seda:

Näide:

Kraad irratsionaalse astendajaga

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

Vastused:

Meenutagem ruutude valemit. Vastus:.
Murrud taandame samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks: .
Ei midagi erilist, kasutame kraadide tavalisi omadusi:

OSA JA PÕHIVALEMITE KOKKUVÕTE

Kraad nimetatakse vormi väljendiks: , kus:

Kraad täisarvu astendajaga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Võimsus ratsionaalse astendajaga

aste, mille eksponendiks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

aste, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadide omadused

Kraadide omadused.

Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - number positiivne.
Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - number negatiivne.
Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
Null on võrdne mis tahes võimsusega.
Mis tahes arv nullastmega on võrdne.

NÜÜD ON SUL SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Kirjutage allpool kommentaaridesse, kas teile meeldis või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest kraadi atribuutide kasutamisel.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

Ühes eelmises artiklis me juba mainisime arvu võimsust. Täna proovime navigeerida selle tähenduse leidmise protsessis. Teaduslikult öeldes mõtleme välja, kuidas võimsust õigesti tõsta. Me selgitame välja, kuidas see protsess läbi viiakse, ja samal ajal puudutame kõiki võimalikke eksponente: loomulik, irratsionaalne, ratsionaalne, täisarv.

Niisiis, vaatame lähemalt näidete lahendusi ja uurime, mida see tähendab:

Mõiste definitsioon.
Tõstmine negatiivse kunsti juurde.
Terve näitaja.
Arvu tõstmine irratsionaalseks astmeks.

Siin on määratlus, mis peegeldab täpselt tähendust: "Astendamine on arvu astme väärtuse määratlus."

Sellest lähtuvalt suurendatakse artiklis a numbrit a. r ja astme a väärtuse leidmine eksponendiga r on identsed mõisted. Näiteks kui ülesandeks on arvutada võimsuse väärtus (0,6)6″, siis saab seda lihtsustada avaldisega "Tõstke arv 0,6 astmeni 6".

Pärast seda saate jätkata otse ehituseeskirjadega.

Tõstmine negatiivsesse jõudu

Selguse huvides peaksite pöörama tähelepanu järgmisele väljendite ahelale:

110 = 0,1 = 1 * 10 miinus 1 spl.,

1100=0,01=1*10 miinus 2 kraadi juures,

11000=0,0001=1*10 miinus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 kuni miinus 4 kraadi.

Tänu nendele näidetele näete selgelt võimalust arvutada koheselt 10 mis tahes miinusvõimsusele. Selleks piisab kümnendkomponendi nihutamisest:

10 kuni -1 kraadi – enne ühte on 1 null;
in -3 - kolm nulli enne ühte;
-9-s on 9 nulli ja nii edasi.

Sellelt diagrammil on ka lihtne aru saada, kui palju on 10 miinus 5 spl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuidas tõsta arv loomuliku astmeni

Definitsiooni meeles pidades võtame arvesse, et naturaalarv a Art. n võrdub n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a. Näitame: (a*a*…a)n, kus n on korrutatud arvude arv. Sellest lähtuvalt on a tõstmiseks n-ks vaja arvutada järgmise kuju korrutis: a*a*…a jagatud n-ga.

Sellest selgub, et tõstmine looduslikule st. tugineb korrutamise võimele(seda materjali käsitletakse reaalarvude korrutamise peatükis). Vaatame probleemi:

Tõstke -2 4. silmuseni.

Meil on tegemist loomuliku näitajaga. Vastavalt sellele on otsuse käik järgmine: (-2) art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nüüd jääb üle vaid täisarvud korrutada: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Saame 16.

Vastus probleemile:

(-2) art. 4=16.

Näide:

Arvutage väärtus: kolm koma kaks seitsmendikku ruudus.

See näide võrdub järgmise korrutisega: kolm koma kaks seitsmendikku korrutatuna kolme koma kahe seitsmendikuga. Pidades meeles, kuidas korrutada seganumbrid, lõpetame ehituse:

3 koma 2 seitsmendikku korrutatuna iseendaga;
võrdub 23 seitsmendikuga, mis on korrutatud 23 seitsmendikuga;
võrdub 529 neljakümne üheksandikuga;
me vähendame ja saame 10 kolmkümmend üheksa nelikümmend üheksandikku.

Vastus: 10 39/49

Seoses irratsionaalsele eksponendile tõstmise küsimusega tuleb märkida, et arvutusi hakatakse tegema pärast astme aluse eelneva ümardamise lõpetamist mis tahes numbrini, mis võimaldaks saada väärtuse etteantud täpsusega. Näiteks peame panema arvu P (pi) ruutudesse.

Alustuseks ümardame P sajandikuteks ja saame:

P ruudus = (3,14)2 = 9,8596. Kui aga vähendada P kümne tuhandeni, saame P = 3,14159. Siis annab ruutudeks panemine hoopis teise numbri: 9.8695877281.

Siinkohal tuleb märkida, et paljudes probleemides ei ole vaja irratsionaalseid numbreid astmetesse tõsta. Reeglina sisestatakse vastus kas tegeliku astme kujul, näiteks 6 juur 3 astmeni, või kui avaldis lubab, viiakse läbi selle teisendus: juur 5 kuni 7 kraadi = 125 juur 5-st.

Kuidas tõsta arv täisarvuni

See algebraline manipuleerimine on asjakohane jaoks arvesse võtma järgmistel juhtudel:

täisarvude jaoks;
nullindikaatori jaoks;
positiivse täisarvu eksponendi jaoks.

Kuna peaaegu kõik positiivsed täisarvud langevad kokku naturaalarvude massiga, on positiivse täisarvu astme seadmine sama protsess, mis artiklis Art. loomulik. See protsess kirjeldasime eelmises lõigus.

Nüüd räägime st. null. Eespool saime juba teada, et arvu a nullvõimsuse saab määrata mis tahes nullist erineva a (reaalne) korral, samas kui a on Art. 0 võrdub 1-ga.

Sellest lähtuvalt, mis tahes reaalarvu tõstmine nullini. annab ühe.

Näiteks 10 st 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 ja 0 st. 0 ei saa määrata.

Täisarvulise astmeni tõstmise lõpuleviimiseks tuleb otsustada negatiivsete täisarvu väärtuste valikute üle. Mäletame, et Art. alates a täisarvu astendajaga -z defineeritakse murruna. Murru nimetaja on st. positiivse täisarvuga väärtusega, mille väärtust oleme juba õppinud leidma. Nüüd jääb üle vaid kaaluda ehituse näidet.

Näide:

Arvutage negatiivse täisarvu astendajaga kuubitud arvu 2 väärtus.

Lahenduse protsess:

Negatiivse astendajaga kraadi definitsiooni järgi tähistame: kaks miinus 3 kraadi. võrdub üks kuni kaks kolmanda astmega.

Nimetaja arvutatakse lihtsalt: kaks kuubikut;

3 = 2*2*2=8.

Vastus: kaks kuni miinus 3. st. = üks kaheksandik.

Ehitus sisse negatiivne aste– matemaatika üks põhielemente, millega sageli kokku puututakse algebraülesannete lahendamisel. Allpool on üksikasjalikud juhised.

Kuidas tõsta negatiivsesse jõudu – teooria

Kui tõstame arvu tavalise astmeni, korrutame selle väärtuse mitu korda. Näiteks 3 3 = 3×3×3 = 27. Negatiivse murruga on vastupidi. Üldine vorm vastavalt valemile on järgmine vaade: a -n = 1/a n . Seega, et tõsta arvu negatiivsesse astmesse, peate jagama ühe antud arvuga, kuid positiivse astmega.

Kuidas tõsta negatiivse astmeni - näited tavaarvude kohta

Ülaltoodud reeglit silmas pidades lahendame mõned näited.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Vastus: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Vastus -4 -2 = 1/16.

Aga miks on esimese ja teise näite vastused samad? Fakt on see, et kui negatiivne arv tõstetakse paarisastmeni (2, 4, 6 jne), muutub märk positiivseks. Kui kraad oleks ühtlane, jääks miinus:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kuidas tõsta numbreid 0-lt 1-le negatiivse astmeni

Tuletage meelde, et kui arv vahemikus 0 kuni 1 tõstetakse positiivse astmeni, väheneb väärtus võimsuse kasvades. Näiteks 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Näide 3: Arvutage 0,5 -2
Lahendus: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Vastus: 0,5 -2 = 4

Analüüs (toimingute jada):

Tõlgime kümnend 0,5 kuni murdosa 1/2. Nii on lihtsam.
Tõstke 1/2 negatiivse astmeni. 1/(2) -2 . Jagage 1 1/(2) 2-ga, saame 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Näide 4: Arvutage 0,5 -3
Lahendus: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Näide 5: Arvutage -0,5 -3
Lahendus: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Vastus: -0,5 -3 = -8

4. ja 5. näite põhjal saame teha mitmeid järeldusi:

Positiivse arvu puhul vahemikus 0 kuni 1 (näide 4), mis on tõstetud negatiivse astmeni, pole oluline, kas aste on paaris või paaritu, on avaldise väärtus positiivne. Veelgi enam, mida kõrgem on kraad, seda suurem on väärtus.
Negatiivse arvu puhul vahemikus 0 kuni 1 (näide 5), mis on tõstetud negatiivse astmeni, pole oluline, kas aste on paaris või paaritu, on avaldise väärtus negatiivne. Sel juhul, mida kõrgem on kraad, seda madalam on väärtus.

Kuidas tõsta negatiivse astmeni – aste murdarvu kujul

Seda tüüpi avaldised on järgmisel kujul: a -m/n, kus a on tavaline arv, m on astme lugeja, n on astme nimetaja.

Vaatame näidet:
Arvuta: 8 -1/3

Lahendus (toimingute jada):

Meenutagem reeglit arvu tõstmiseks negatiivsesse astmesse. Saame: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
Pange tähele, et nimetaja on murdarvu astme number 8. Murdvõimsuse arvutamise üldvorm on järgmine: a m/n = n √8 m.
Seega 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Saame kaheksa kuupjuure, mis on võrdne 2-ga. Siit 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Vastus: 8 -1/3 = 2

Selles artiklis selgitame välja, mis see on kraad. Siin anname arvude astme definitsioonid, samas käsitleme üksikasjalikult kõiki võimalikke eksponente, alustades loomulikust astendajast ja lõpetades irratsionaalsega. Materjalist leiate palju näiteid kraadide kohta, mis hõlmavad kõiki esilekerkivaid peensusi.

Leheküljel navigeerimine.

Naturaalastendajaga aste, arvu ruut, arvu kuup

Alustame . Tulevikku vaadates oletame, et arvu a astme definitsioon naturaalse astendajaga n on antud a jaoks, mida me nimetame kraadi alus, ja n, mida me nimetame eksponent. Samuti märgime, et naturaalse astendajaga aste määratakse korrutise kaudu, nii et alloleva materjali mõistmiseks peate mõistma arvude korrutamist.

Definitsioon.

Arvu aste naturaalastendajaga n on avaldis kujul a n, mille väärtus on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a-ga, see tähendab .
Eelkõige on arvu a astmeks astendaja 1 arv a ise, see tähendab, et a 1 =a.

Tasub kohe mainida kraadide lugemise reegleid. Universaalne viis tähiste a n lugemiseks on: “a n astmeni”. Mõnel juhul on vastuvõetavad ka järgmised valikud: „a n-nda astmeni” ja „a n-nda astmeni”. Näiteks võtame astme 8 12, see on "kaheksa kaheteistkümne astmeni" või "kaheksa kuni kaheteistkümnendik aste" või "kaheksateistkümnes aste".

Arvu teisel astmel ja ka arvu kolmandal astmel on oma nimed. Arvu teist astet nimetatakse ruudus number Näiteks 7 2 loetakse "seitsme ruuduna" või "arvu seitsme ruuduna". Arvu kolmandat astet nimetatakse kuubikujulised numbrid, näiteks 5 3 võib lugeda kui "viie kuubikut" või öelda "numbri 5 kuup".

On aeg tuua naturaalastendajatega kraadide näited. Alustame astmest 5 7, siin on 5 astme alus ja 7 on astendaja. Toome veel ühe näite: 4.32 on alus ja naturaalarv 9 on eksponent (4.32) 9 .

Pange tähele, et viimases näites on astme 4.32 alus kirjutatud sulgudesse: lahknevuste vältimiseks paneme sulgudesse kõik astme alused, mis erinevad naturaalarvudest. Näitena anname järgmised astmed naturaalastendajatega , nende alused ei ole naturaalarvud, seega kirjutatakse need sulgudesse. Noh, täieliku selguse huvides näitame siinkohal erinevust, mis sisalduvad vormide (−2) 3 ja −2 3 kirjetes. Avaldis (−2) 3 on astme −2 aste, mille naturaalne astendaja on 3 ja avaldis −2 3 (selle võib kirjutada kui −(2 3) ) vastab arvule, astme väärtusele 2 3 .

Pange tähele, et on olemas arvu a astme märge, mille astendaja n on kujul a^n. Veelgi enam, kui n on mitme väärtusega naturaalarv, võetakse eksponent sulgudes. Näiteks 4^9 on teine tähis 4 9 astme kohta. Ja siin on veel mõned näited kraadide kirjutamisest sümboliga “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Edaspidi kasutame eeskätt vormi a n kraaditähistust.

Üks probleeme, mis on vastupidine loomuliku astendajaga astmele tõstmisele, on astme aluse leidmise probleem teadaolev väärtus aste ja teadaolev näitaja. See ülesanne viib .

On teada, et paljud ratsionaalsed arvud koosneb täis- ja murdarvudest ning iga murdosa saab esitada positiivse või negatiivse hariliku murruna. Eelmises lõigus defineerisime astme täisarvulise astendajaga, seetõttu peame ratsionaalse astendajaga astme definitsiooni täiendamiseks andma tähenduse arvu a astmele murdosalise astendajaga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Teeme seda.

Vaatleme vormi murdosa astendajaga kraadi. Et võimu-võimu omadus jääks kehtima, peab kehtima võrdsus . Kui võtta arvesse saadud võrdsust ja seda, kuidas me määrasime , siis on loogiline sellega nõustuda eeldusel, et antud m, n ja a puhul on avaldis mõttekas.

Lihtne on kontrollida, et kõik täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad (seda tehti ratsionaalse astendajaga astme omaduste osas).

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist järeldus: kui antud m, n ja a avaldis on mõttekas, siis a astmet murdeksponentiga m/n nimetatakse a astme m n-ndaks juureks.

See väide viib meid murdosalise astendajaga kraadi määratluse lähedale. Jääb üle vaid kirjeldada, mille m, n ja a juures on avaldisel mõtet. Olenevalt m, n ja a seatud piirangutest on kaks peamist lähenemist.

Lihtsaim viis on kehtestada a-le piirang, võttes positiivse m puhul a≥0 ja negatiivse m puhul a>0 (kuna m≤0 korral ei ole m 0-astet määratletud). Siis saame järgmise astme definitsiooni murdosaastendajaga.

Definitsioon.

Positiivse arvu a võimsus murdeksponentiga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse arvu a n-ndaks juureks m astmeni, see tähendab .

Nulli murdosa määratakse ka ainsa hoiatusega, et indikaator peab olema positiivne.

Definitsioon.

Nulli võimsus murdosalise positiivse eksponendiga m/n, kus m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv, on defineeritud kui .
Kui astet ei määrata, see tähendab, et arvu nulli aste koos murdosalise negatiivse eksponendiga ei ole mõttekas.

Tuleb märkida, et selle murdeksponentiga astme määratluse puhul on üks hoiatus: mõne negatiivse a ning mõne m ja n puhul on avaldis mõttekas ning me jätsime need juhud kõrvale, lisades tingimuse a≥0. Näiteks on sissekanded mõttekad või , ja ülaltoodud definitsioon sunnib meid ütlema, et astmed vormi murdosalise astendajaga pole mõtet, kuna alus ei tohiks olla negatiivne.

Teine lähenemine astme määramiseks murdosa astendajaga m/n on juure paaris- ja paaritu eksponentide eraldi käsitlemine. See lähenemine nõuab lisatingimust: arvu a astmeks, mille eksponendiks on , loetakse arvu a astmeks, mille eksponendiks on vastav taandamatu murd (selle tingimuse tähtsust selgitame allpool ). See tähendab, et kui m/n on taandamatu murd, siis mis tahes naturaalarvu k korral asendatakse aste esmalt arvuga .

Paaris n ja positiivse m korral on avaldis mõttekas mis tahes mittenegatiivse a korral (negatiivse arvu paarisjuurel pole mõtet, peab arv a siiski nullist erinema (muidu toimub jagamine). nulliga). Ja paaritu n ja positiivse m korral võib arv a olla mis tahes (paaritu astme juur on defineeritud mis tahes reaalarvu jaoks) ja negatiivse m korral peab arv a olema nullist erinev (et ei oleks jagamist null).

Ülaltoodud arutluskäik juhatab meid selle murdosaastendajaga kraadi määratluse juurde.

Definitsioon.

Olgu m/n taandamatu murd, m täisarv ja n naturaalarv. Iga taandatava murru puhul asendatakse aste väärtusega . Taandamatu murdeksponentiga arvu võimsus m/n on jaoks

Selgitame, miks taandatava murdeksponendiga aste asendatakse esmalt taandamatu astendajaga astmega. Kui me lihtsalt defineeriksime astme kui , ja ei teeks reservatsiooni murru m/n taandatamatuse suhtes, siis seisaksime silmitsi järgmiste olukordadega: kuna 6/10 = 3/5, siis peab võrdus kehtima. , Aga , A.