Eelmisel korral õppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetundi “Murdude liitmine ja lahutamine”). Nende toimingute kõige keerulisem osa oli murdude ühise nimetajani viimine.
Nüüd on aeg tegeleda korrutamise ja jagamisega. Hea uudis on see, et need toimingud on veelgi lihtsamad kui liitmine ja lahutamine. Esmalt vaatleme lihtsaimat juhtumit, kui on kaks positiivset murdu ilma eraldatud täisarvuta.
Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine on nimetaja.
Kahe murru jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teise murruga.
Määramine:
Definitsioonist järeldub, et murdude jagamine taandub korrutamiseks. Murru ümberpööramiseks vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Seetõttu käsitleme kogu õppetunni jooksul peamiselt korrutamist.
Korrutamise tulemusena võib tekkida (ja sageli tekib) taandatav murd – seda tuleb loomulikult vähendada. Kui pärast kõiki vähendamisi osutub murdosa valeks, tuleks kogu osa esile tõsta. Mida aga korrutamisega kindlasti ei juhtu, on taandamine ühisele nimetajale: ei mingeid ristimeetodeid, suurimaid tegureid ja väikseimaid ühiseid kordusi.
Definitsiooni järgi on meil:
Murdude korrutamine täisosadega ja negatiivsete murdudega
Kui murrud sisaldavad täisarvu, tuleb need teisendada sobimatuteks osadeks ja alles seejärel korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.
Kui murdosa lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutisest välja võtta või üldse eemaldada vastavalt järgmistele reeglitele:
- Pluss miinusega annab miinuse;
- Kaks negatiivset teevad jaatava.
Seni on neid reegleid kohanud vaid negatiivsete murdude liitmisel ja lahutamisel, kui oli vaja tervest osast lahti saada. Teose puhul saab neid üldistada, et "põletada" mitu puudust korraga:
- Negatiivid kriipsutame paarikaupa maha, kuni need täielikult kaovad. Äärmuslikel juhtudel võib ellu jääda üks miinus - see, mille jaoks polnud kaaslast;
- Kui miinuseid ei jää, on toiming lõpetatud - võite hakata korrutama. Kui viimast miinust ei kriipsutata maha, sest selle jaoks polnud paari, võtame selle korrutamise piiridest välja. Tulemuseks on negatiivne murd.
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Teisendame kõik murrud valedeks ja seejärel võtame korrutamisest välja miinused. Korrutame järelejäänud tavapäraste reeglite järgi. Saame:
Tuletan teile veel kord meelde, et esiletõstetud täisosaga murru ette ilmuv miinus viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle tervele osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).
Pöörake tähelepanu ka negatiivsetele arvudele: korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.
Murdude vähendamine lennult
Korrutamine on väga töömahukas toiming. Siin olevad numbrid osutuvad üsna suurteks ja probleemi lihtsustamiseks võite proovida murdosa veelgi vähendada enne korrutamist. Tõepoolest, sisuliselt on murdude lugejad ja nimetajad tavalised tegurid ja seetõttu saab neid taandada, kasutades murdosa põhiomadust. Heitke pilk näidetele:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Definitsiooni järgi on meil:
Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist järele jääb.
Pange tähele: esimesel juhul vähendati kordajaid täielikult. Nende asemele jäävad üksused, mida üldiselt ei pea kirjutama. Teise näite puhul ei olnud võimalik saavutada täielikku vähendamist, kuid arvutuste kogusumma siiski vähenes.
Kuid ärge kunagi kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:
Sa ei saa seda teha!
Viga tekib seetõttu, et liitmisel annab murdosa lugeja summa, mitte arvude korrutise. Järelikult on võimatu rakendada murru põhiomadust, kuna see omadus käsitleb konkreetselt arvude korrutamist.
Murdude vähendamiseks pole lihtsalt muid põhjuseid, seega näeb eelmise probleemi õige lahendus välja järgmine:
Õige lahendus:
Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.
Teine tehe, mida saab teha tavaliste murdudega, on korrutamine. Püüame selgitada selle põhireegleid ülesannete lahendamisel, näidata, kuidas harilik murd korrutatakse naturaalarvuga ja kuidas õigesti korrutada kolm harilikku murru või rohkem.
Esmalt paneme kirja põhireegli:
Definitsioon 1
Kui korrutame ühe hariliku murru, siis on saadud murru lugeja võrdne algsete murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on võrdne nende nimetajate korrutisega. Sõnasõnalises vormis saab seda kahe murdosa a / b ja c / d korral väljendada kujul a b · c d = a · c b · d.
Vaatame näidet selle reegli õige rakendamise kohta. Oletame, et meil on ruut, mille külg on võrdne ühe arvühikuga. Siis on joonise pindala 1 ruut. üksus. Kui jagame ruudu võrdseteks ristkülikuteks, mille küljed on võrdsed 1 4 ja 1 8 arvühikuga, saame, et see koosneb nüüd 32 ristkülikust (sest 8 4 = 32). Sellest lähtuvalt on igaühe pindala võrdne 1 32-ga kogu joonise pindalast, s.o. 132 ruutmeetrit ühikut.
Meil on varjutatud fragment, mille küljed on võrdsed 5 8 arvühikuga ja 3 4 numbriühikuga. Sellest lähtuvalt peate selle pindala arvutamiseks korrutama esimese murdosa teisega. See võrdub 5 8 · 3 4 ruutmeetriga. ühikut. Kuid me võime lihtsalt kokku lugeda, mitu ristkülikut fragmendis on: neid on 15, mis tähendab, et kogupindala on 15 32 ruutühikut.
Kuna 5 3 = 15 ja 8 4 = 32, saame kirjutada järgmise võrdsuse:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
See kinnitab reeglit, mille me sõnastasime harilike murdude korrutamiseks, mis on väljendatud kujul a b · c d = a · c b · d. See toimib ühtmoodi nii õigete kui ka sobimatute murdude puhul; Seda saab kasutada nii erinevate kui ka identsete nimetajatega murdude korrutamiseks.
Vaatame lahendusi mitmele probleemile, mis on seotud harilike murdude korrutamisega.
Näide 1
Korrutage 7 11 9 8-ga.
Lahendus
Esiteks arvutame näidatud murdude lugejate korrutise, korrutades 7 9-ga. Meil on 63. Seejärel arvutame nimetajate korrutise ja saame: 11 · 8 = 88. Koostame kaks arvu ja vastus on: 63 88.
Kogu lahenduse saab kirjutada järgmiselt:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Vastus: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Kui saame oma vastuses taandatava murdosa, peame arvutuse lõpule viima ja selle redutseerima. Kui saame vale murdu, peame kogu osa sellest eraldama.
Näide 2
Arvutage murdarvude korrutis 4 15 ja 55 6 .
Lahendus
Eespool uuritud reegli kohaselt peame korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Lahenduse kirje näeb välja selline:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Saime taandatava murdosa, st. üks, mis jagub 10-ga.
Vähendame murdosa: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Selle tulemusena saime vale murru, millest valime kogu osa ja saame segaarvu: 22 9 = 2 4 9.
Vastus: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Arvutamise hõlbustamiseks saame enne korrutustehte sooritamist ka algseid murde vähendada, selleks peame murde taandada kujule a · c b · d. Jagame muutujate väärtused lihtsateks teguriteks ja vähendame samu.
Selgitame, kuidas see konkreetse ülesande andmeid kasutades välja näeb.
Näide 3
Arvutage korrutis 4 15 55 6.
Lahendus
Kirjutame üles arvutused korrutusreegli alusel. Me saame:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Kuna 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ja 6 = 2 3, siis 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Vastus: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Arvulisel avaldisel, milles harilikud murded korrutatakse, on kommutatiivne omadus, see tähendab, et vajadusel saame tegurite järjekorda muuta:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Kuidas korrutada murdosa naturaalarvuga
Paneme põhireegli kohe kirja ja proovime siis seda praktikas selgitada.
2. definitsioon
Hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga peate korrutama selle murru lugeja selle arvuga. Sel juhul on lõpliku murru nimetaja võrdne algse hariliku murru nimetajaga. Teatud murdosa a b korrutamise naturaalarvuga n saab kirjutada valemiga a b · n = a · n b.
Seda valemit on lihtne mõista, kui mäletate, et mis tahes naturaalarvu saab esitada tavalise murdena, mille nimetaja on võrdne ühega, see tähendab:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Selgitagem oma ideed konkreetsete näidetega.
Näide 4
Arvutage korrutis 2 27 korda 5.
Lahendus
Kui korrutada algmurru lugeja teise teguriga, saame 10. Ülalkirjeldatud reegli kohaselt saame tulemuseks 10 27. Kogu lahendus on toodud selles postituses:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Vastus: 2 27 5 = 10 27
Kui korrutame naturaalarvu murdosaga, peame sageli tulemust lühendama või esitama segaarvuna.
Näide 5
Tingimus: arvutage korrutis 8 korda 5 12.
Lahendus
Vastavalt ülaltoodud reeglile korrutame naturaalarvu lugejaga. Selle tulemusena saame, et 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Lõplikul murdosal on 2-ga jaguvuse märgid, seega peame seda vähendama:
LCM (40, 12) = 4, seega 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Nüüd jääb meil vaid kogu osa välja valida ja valmis vastus kirja panna: 10 3 = 3 1 3.
Selles kirjes näete kogu lahendust: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Samuti saaksime murdosa vähendada, arvutades lugeja ja nimetaja algteguriteks ja tulemus oleks täpselt sama.
Vastus: 5 12 8 = 3 1 3.
Arvulisel avaldisel, milles naturaalarv korrutatakse murdosaga, on samuti nihke omadus, see tähendab, et tegurite järjekord ei mõjuta tulemust:
a b · n = n · a b = a · n b
Kuidas korrutada kolm või enam harilikku murru
Harilike murdude korrutamise tegevusele saame laiendada samu omadusi, mis on iseloomulikud naturaalarvude korrutamisele. See tuleneb nende mõistete definitsioonist.
Tänu kombineerimis- ja kommutatiivsete omaduste tundmisele saate korrutada kolme või enama hariliku murru. Suurema mugavuse huvides on vastuvõetav tegurite ümberpaigutamine või sulgude paigutamine viisil, mis hõlbustab loendamist.
Näitame näitega, kuidas seda tehakse.
Näide 6
Korrutage neli tavalist murdu 1 20, 12 5, 3 7 ja 5 8.
Lahendus: Esmalt salvestame töö. Saame 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Peame kõik lugejad ja nimetajad kokku korrutama: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Enne kui hakkame korrutama, saame asju enda jaoks veidi lihtsamaks teha ja lisada mõned arvud edasise vähendamise algteguriteks. See on lihtsam kui juba valmis fraktsiooni vähendamine.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Vastus: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.
Näide 7
Korrutage 5 arvu 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Lahendus
Mugavuse huvides saame rühmitada murdarvu 7 8 numbriga 8 ja arvu 12 murdarvuga 5 36, kuna tulevased lühendid on meile ilmsed. Selle tulemusena saame:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3
Vastus: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Kümnendkohtade korrutamine toimub kolmes etapis.
Kümnendmurrud kirjutatakse veergu ja korrutatakse nagu tavalised numbrid.
Loendame esimese ja teise kümnendmurru komakohtade arvu. Liidame nende numbrid kokku.
Saadud tulemuses loendame paremalt vasakule sama arvu numbreid, nagu saime ülaltoodud lõigus, ja paneme koma.
Kuidas korrutada kümnendkohti
Kirjutame kümnendmurrud veergu ja korrutame need naturaalarvudena, ignoreerides komasid. See tähendab, et me käsitleme 3,11 kui 311 ja 0,01 kui 1.
Saime 311. Nüüd loeme mõlema murru koma järel olevate märkide (numbrite) arvu. Esimeses kümnendkohas on kaks numbrit ja teises kaks. Kümnendkohtade arv kokku:
Loendame saadud arvust paremalt vasakule 4 märki (numbrit). Saadud tulemus sisaldab vähem numbreid, kui on vaja komaga eraldada. Sel juhul vajate vasakule lisage puuduv arv nulle.
Meil on puudu üks number, seega lisame vasakule ühe nulli.
Mis tahes kümnendmurru korrutamisel kohta 10; 100; 1000 jne. Koma liigub paremale nii mitme koha võrra, kui ühe järel on nulle.
- 70,1 10 = 701
- 0,023 100 = 2,3
- 5,6 · 1000 = 5600
Kümnendkoha korrutamine 0,1-ga; 0,01; 0,001 jne, peate selle murru koma vasakule nihutama nii mitme koha võrra, kui ühe ees on nullid.
Loeme nulli täisarvu!
- 12 0,1 = 1,2
- 0,05 · 0,1 = 0,005
- 1,256 · 0,01 = 0,012 56
Murdude korrutamine
Vaatleme tavaliste murdude korrutamist mitmes võimalikus variandis.
Hariliku murru korrutamine murdosaga
See on kõige lihtsam juhtum, mille puhul peate kasutama järgmist murdude korrutamise reeglid.
To korrutada murdosa murdosaga, vajalik:
- korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja kirjutage nende korrutis uue murru lugejasse;
- korrutage esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga ja kirjutage nende korrutis uue murru nimetajasse;
Enne lugejate ja nimetajate korrutamist kontrollige, kas murde saab vähendada. Murdude vähendamine arvutustes muudab teie arvutused palju lihtsamaks.
Murru korrutamine naturaalarvuga
Et teha murdosa korrutada naturaalarvuga Peate korrutama murdosa lugeja selle arvuga ja jätma murdosa nimetaja muutmata.
Kui korrutamise tulemus on vale murd, ärge unustage muuta seda segaarvuks, st tõstke esile kogu osa.
Segaarvude korrutamine
Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt muutma valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.
Teine võimalus murdosa korrutamiseks naturaalarvuga
Mõnikord on arvutuste tegemisel mugavam kasutada mõnda muud meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.
Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja samaks.
Nagu näitest näha, on seda reegli versiooni mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagub naturaalarvuga ilma jäägita.
Kuidas korrutada murdosa täisarvu reegliga
I. Kümnendmurru korrutamiseks naturaalarvuga peate selle korrutama selle arvuga, ignoreerides koma, ja eraldama saadud korrutises komaga nii palju numbreid, kui palju oli pärast koma selles murrus.
Näited. Tehke korrutamine: 1) 1,25,7; 2) 0,345,8; 3) 2.391·14.
Lahendus.
II. Ühe kümnendmurru korrutamiseks teisega tuleb teha korrutamine, pööramata tähelepanu komadele, ja saadud tulemuses eraldada komaga nii palju numbreid, kui palju oli pärast koma mõlemas teguris kokku.
Näited. Tehke korrutamine: 1) 18, 2·0,09; 2) 3,2·0,065; 3) 0,54·12,3.
Lahendus.
III. Kümnendmurru korrutamiseks arvuga 10, 100, 1000 jne tuleb koma nihutada 1, 2, 3 jne numbri võrra paremale.
Näited. Tehke korrutamine: 1) 3,25·10; 2) 0,637·100; 3) 4,307·1000; 4) 2,04·1000; 5) 0,00031·10000.
Lahendus.
IV. Kümnendkoha korrutamine 0,1-ga; 0,01; 0,001 jne peate koma nihutama 1, 2, 3 jne numbri võrra vasakule.
Näited. Tehke korrutamine: 1) 28,3·0,1; 2) 324,7·0,01; 3) 6,85·0,01; 4) 6179,5·0,001; 5) 92,1 · 0,0001.
www.mathematics-repetition.com
Kümnendkohtade korrutamine, reeglid, näited, lahendused.
Liigume järgmise toimingu uurimise juurde kümnendmurdudega, nüüd vaatame kõike põhjalikult kümnendkohtade korrutamine. Kõigepealt käsitleme kümnendkohtade korrutamise üldpõhimõtteid. Pärast seda jätkame kümnendmurru korrutamist kümnendmurruga, näitame, kuidas korrutada kümnendmurrud veeruga, ja käsitleme näidete lahendusi. Järgmisena vaatleme kümnendmurdude korrutamist naturaalarvudega, eriti 10, 100 jne. Lõpuks räägime kümnendkohtade korrutamisest murdude ja segaarvudega.
Ütleme kohe, et selles artiklis räägime ainult positiivsete kümnendmurdude korrutamisest (vt positiivseid ja negatiivseid numbreid). Ülejäänud juhtumeid käsitletakse artiklites ratsionaalarvude korrutamine ja reaalarvude korrutamine.
Leheküljel navigeerimine.
Kümnendkohtade korrutamise üldpõhimõtted
Arutleme üldiste põhimõtete üle, mida kümnendkohtadega korrutamisel järgida.
Kuna lõplikud kümnendmurrud ja lõpmatud perioodilised murrud on harilike murdude kümnendmurrud, on selliste kümnendkohtade korrutamine sisuliselt harilike murdude korrutamine. Teisisõnu, lõplike kümnendkohtade korrutamine, lõplike ja perioodiliste kümnendmurdude korrutamine, ja perioodiliste kümnendkohtade korrutamine taandub tavaliste murdude korrutamisele pärast kümnendmurdude teisendamist tavalisteks murdudeks.
Vaatame näiteid kümnendmurdude korrutamise põhimõtte rakendamisest.
Korrutage kümnendkohad 1,5 ja 0,75.
Asendame korrutatavad kümnendmurrud vastavate tavaliste murdudega. Kuna 1,5=15/10 ja 0,75=75/100, siis. Saate murdu vähendada, seejärel eraldada kogu osa valest murrust ja on mugavam kirjutada saadud harilik murd 1 125/1 000 kümnendmurruna 1,125.
Tuleb märkida, et lõplike kümnendmurdude korrutamine veerus on mugav, sellest kümnendmurdude korrutamise meetodist räägime järgmises lõigus.
Vaatame perioodiliste kümnendmurdude korrutamise näidet.
Arvutage perioodiliste kümnendmurdude 0,(3) ja 2,(36) korrutis.
Teisendame perioodilised kümnendmurrud tavalisteks murdudeks:
Siis. Saadud hariliku murru saate teisendada kümnendmurruks: 
Kui korrutatud kümnendmurrude hulgas on lõpmatult mitteperioodilisi, siis tuleks kõik korrutatud murrud, sealhulgas lõplikud ja perioodilised, ümardada teatud numbrini (vt. numbrite ümardamine) ja seejärel korrutage pärast ümardamist saadud viimased kümnendmurrud.
Korrutage kümnendkohad 5,382... ja 0,2.
Esiteks ümardame lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru, ümardamise saab teha sajandikuteks, meil on 5,382...≈5,38. Lõplikku kümnendmurdu 0,2 ei pea ümardama lähima sajandikuni. Seega 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Jääb üle arvutada kümnendmurdude lõppkorrutis: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.
Kümnendmurdude korrutamine veeruga
Lõplike kümnendmurdude korrutamist saab teha veerus, sarnaselt naturaalarvude korrutamisega veerus.
Sõnastame kümnendmurdude veeruga korrutamise reegel. Kümnendmurdude veeruga korrutamiseks peate:
- komadele tähelepanu pööramata sooritage korrutamine kõigi naturaalarvude veeruga korrutamise reeglite järgi;
- saadud arvus eralda komaga paremalt nii palju numbreid, kui palju on mõlemas teguris koos komakohti ja kui korrutises pole piisavalt numbreid, siis tuleb vasakule lisada vajalik arv nulle.
Vaatame näiteid kümnendmurdude veergudega korrutamisest.
Korrutage kümnendkohad 63,37 ja 0,12.
Korrutame kümnendmurrud veerus. Esiteks korrutame arvud, ignoreerides komasid: 
Jääb üle vaid lisada saadud tootele koma. Ta peab eraldama 4 numbrit paremale, kuna teguritel on kokku neli kohta pärast koma (kaks murdarvus 3,37 ja kaks murdarvus 0,12). Seal on piisavalt numbreid, nii et te ei pea vasakule nulle lisama. Lõpetame salvestamise: 
Selle tulemusena on meil 3,37·0,12=7,6044.
Arvutage kümnendkohtade 3,2601 ja 0,0254 korrutis.
Kui olete veerus korrutanud ilma komasid arvesse võtmata, saame järgmise pildi: 
Nüüd peate tootes eraldama parempoolsed 8 numbrit komaga, kuna korrutatud murdude komakohtade arv on kaheksa. Kuid tootes on ainult 7 numbrit, seetõttu peate vasakule lisama nii palju nulle, et saaksite 8 numbrit komaga eraldada. Meie puhul peame määrama kaks nulli: 
See lõpetab kümnendmurdude korrutamise veeruga.
Kümnendkohtade korrutamine 0,1, 0,01 jne.
Üsna sageli tuleb kümnendmurrud korrutada 0,1, 0,01 jne. Seetõttu on soovitav sõnastada kümnendmurru nende arvudega korrutamise reegel, mis tuleneb eelpool käsitletud kümnendmurdude korrutamise põhimõtetest.
Niisiis, antud kümnendkoha korrutamine arvudega 0,1, 0,01, 0,001 ja nii edasi annab murru, mis saadakse algsest, kui selle tähistuses nihutatakse koma vastavalt 1, 2, 3 ja nii edasi numbrite võrra vasakule ning kui koma liigutamiseks pole piisavalt numbreid, siis tuleb lisage vasakule vajalik arv nulle.
Näiteks kümnendmurru 54,34 korrutamiseks 0,1-ga peate murru 54,34 koma nihutama 1 numbri võrra vasakule, mis annab teile murdarvu 5,434, see tähendab, et 54,34·0,1=5,434. Toome veel ühe näite. Korrutage kümnendmurd 9,3 0,0001-ga. Selleks peame korrutatud kümnendmurrus 9,3 nihutama koma 4 numbrit vasakule, kuid murdarvu 9,3 tähistus ei sisalda nii palju numbreid. Seetõttu peame murrust 9,3 vasakule määrama nii palju nulle, et saaksime koma hõlpsalt 4-kohaliseks nihutada, saame 9,3·0,0001=0,00093.
Pange tähele, et kümnendmurru 0,1, 0,01, ...-ga korrutamise reegel kehtib ka lõpmatute kümnendmurdude puhul. Näiteks 0.(18)·0,01=0,00(18) või 93,938…·0,1=9,3938… .
Kümnendarvu korrutamine naturaalarvuga
Selle keskmes kümnendkohtade korrutamine naturaalarvudega ei erine kümnendkoha kümnendkohaga korrutamisest.
Kõige mugavam on korrutada lõplik kümnendmurd veerus naturaalarvuga; sel juhul peaksite järgima veerus kümnendmurdude korrutamise reegleid, mida käsitleti ühes eelmises lõigus.
Arvutage korrutis 15·2,27.
Korrutame naturaalarvu veerus kümnendmurruga: 
Perioodilise kümnendmurru korrutamisel naturaalarvuga tuleks perioodiline murd asendada hariliku murruga.
Korrutage kümnendmurd 0.(42) naturaalarvuga 22.
Esiteks teisendame perioodilise kümnendmurru tavaliseks murruks:
Nüüd teeme korrutamise: . See tulemus kümnendkohana on 9,(3) .
Ja lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru korrutamisel naturaalarvuga peate esmalt ümardama.
Korruta 4·2,145….
Olles ümardanud algse lõpmatu kümnendmurru sajandikuteks, jõuame naturaalarvu ja viimase kümnendmurru korrutamiseni. Meil on 4·2,145…≈4·2,15=8,60.
Kümnendkoha korrutamine 10, 100, ...
Üsna sageli tuleb kümnendmurrud korrutada 10, 100, ... Seetõttu on soovitatav nendel juhtudel üksikasjalikumalt peatuda.
Anname oma hääle reegel kümnendmurru korrutamiseks 10, 100, 1000 jne. Kui korrutate kümnendmurdu arvuga 10, 100, ... selle tähistuses, peate nihutama koma paremale vastavalt 1, 2, 3, ... numbrile ja loobuma vasakul olevatest lisanullidest; kui korrutatava murru tähises pole koma liigutamiseks piisavalt numbreid, siis tuleb lisada vajalik arv nulle paremale.
Korrutage kümnendmurd 0,0783 100-ga.
Liigutame murdosa 0,0783 kaks numbrit paremale ja saame 007,83. Kahe nulli mahajätmine vasakule annab kümnendmurruks 7,38. Seega 0,0783·100=7,83.
Korrutage kümnendmurd 0,02 10 000-ga.
0,02 korrutamiseks 10 000-ga peame nihutama koma 4 numbrit paremale. Ilmselgelt pole murdosas 0,02 piisavalt numbreid, et koma 4 numbri võrra liigutada, seega lisame paremale paar nulli, et koma saaks liigutada. Meie näites piisab kolme nulli liitmisest, meil on 0,02000. Pärast koma liigutamist saame kirje 00200.0. Kui jätta kõrvale vasakul olevad nullid, saame arvu 200,0, mis on võrdne naturaalarvuga 200, mis saadakse kümnendmurru 0,02 korrutamisel 10 000-ga.
Väljatoodud reegel kehtib ka lõpmatute kümnendmurdude korrutamisel 10, 100, ... Perioodiliste kümnendmurdude korrutamisel tuleb olla ettevaatlik korrutamise tulemuseks oleva murru perioodiga.
Korrutage perioodiline kümnendmurd 5,32(672) 1000-ga.
Enne korrutamist kirjutame perioodiliseks kümnendmurruks 5,32672672672..., see võimaldab meil vigu vältida. Nüüd liigutage koma 3 koha võrra paremale, meil on 5 326.726726…. Seega saadakse pärast korrutamist perioodiline kümnendmurd 5 326, (726).
5,32(672)·1000=5326,(726) .
Lõpmatute mitteperioodiliste murdude korrutamisel 10, 100, ... tuleb esmalt ümardada lõpmatu murd teatud numbrini ja seejärel korrutada.
Kümnendarvu korrutamine murdosa või segaarvuga
Lõpliku kümnendmurru või lõpmatu perioodilise kümnendmurru korrutamiseks hariliku murru või segaarvuga peate kümnendmurru esitama hariliku murruna ja seejärel korrutama.
Korrutage kümnendmurd 0,4 segaarvuga.
Kuna 0,4=4/10=2/5 ja siis. Saadud arvu saab kirjutada perioodilise kümnendmurruna 1,5(3).
Lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru korrutamisel murru või segaarvuga asendage murd või segaarv kümnendmurruga, seejärel ümardage korrutatud murrud ja lõpetage arvutus.
Kuna 2/3=0,6666..., siis. Pärast korrutatud murdude ümardamist tuhandikuteks saame kahe viimase kümnendmurru 3,568 ja 0,667 korrutise. Teeme veergude korrutamise: 
Saadud tulemus tuleks ümardada lähima tuhandikuni, kuna korrutatud murrud võeti tuhandiku täpsusega, saame 2,379856≈2,380.
www.cleverstudents.ru
Harilike murdude korrutamine: reeglid, näited, lahendused.
Jätkame harilike murrudega tehte uurimist. Nüüd tähelepanu keskpunktis harilike murdude korrutamine. Selles artiklis anname reegli harilike murdude korrutamiseks ja kaalume selle reegli rakendamist näidete lahendamisel. Samuti keskendume hariliku murru korrutamisele naturaalarvuga. Kokkuvõtteks vaatame, kuidas korrutada kolm või enam murdosa.
Leheküljel navigeerimine.
Hariliku murru korrutamine hariliku murruga
Alustame sõnastusest harilike murdude korrutamise reeglid: Murru korrutamisel murdosaga saadakse murd, mille lugeja on võrdne korrutatavate murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on võrdne nimetajate korrutisega.
See tähendab, et valem vastab harilike murdude a/b ja c/d korrutusele.
Toome näite, mis illustreerib harilike murdude korrutamise reeglit. Vaatleme ruutu, mille külg on 1 ühik. , samas kui selle pindala on 1 ühik 2. Jagage see ruut võrdseteks ristkülikuteks, mille küljed on 1/4 ühikut. ja 1/8 ühikut. , samas kui algne ruut koosneb 4,8 = 32 ristkülikust, on iga ristküliku pindala 1/32 algse ruudu pindalast, see tähendab, et see võrdub 1/32 ühikuga 2 . Nüüd värvime osa algsest ruudust üle. Kõik meie tegevused on kajastatud alloleval joonisel.
Varjutatud ristküliku küljed on 5/8 ühikut. ja 3/4 ühikut. , mis tähendab, et selle pindala on võrdne murdude 5/8 ja 3/4 korrutisega, see tähendab ühikutega 2. Kuid varjutatud ristkülik koosneb 15 "väikesest" ristkülikust, mis tähendab, et selle pindala on 15/32 ühikut 2. Seega,. Kuna 5·3=15 ja 8·4=32, saab viimase võrdsuse ümber kirjutada järgmiselt 
, mis kinnitab vormi harilike murdude korrutamise valemit .
Pange tähele, et antud korrutamisreeglit kasutades saate korrutada nii õigeid kui ka ebaõigeid murde, samade nimetajatega murde ja erinevate nimetajatega murde.
Mõelgem näiteid harilike murdude korrutamisest.
Korrutage harilik murd 7/11 hariliku murruga 9/8.
Korrutatud murdude 7 ja 9 lugejate korrutis võrdub 63-ga ning nimetajate 11 ja 8 korrutis on 88. Seega harilike murdude 7/11 ja 9/8 korrutamisel saadakse murd 63/88.
Siin on lahenduse lühikokkuvõte: 
.
Me ei tohiks unustada saadud murdosa vähendamist, kui korrutamise tulemuseks on taandatav murd, ega kogu osa eraldamist valest murdest.
Korrutage murrud 4/15 ja 55/6.
Rakendame tavaliste murdude korrutamise reeglit: 
.
Ilmselgelt on saadud murd taandatav (10-ga jaguvuse test võimaldab väita, et murdarvu 220/90 lugejal ja nimetajal on ühine tegur 10). Vähendame murdosa 220/90: gcd(220, 90)=10 ja 
. Jääb üle kogu osa eraldada saadud valest murdosast: .
Pange tähele, et murdosa saab redutseerida enne lugejate ja korrutatud murdude nimetajate korrutiste arvutamist, st kui murdarvul on vorm . Selleks asendatakse arvud a, b, c ja d nende faktoriseerimisega algteguriteks, mille järel vähendatakse lugeja ja nimetaja samu tegureid.
Selguse huvides pöördume tagasi eelmise näite juurde.
Arvutage vormi murdude korrutis.
Tavaliste murdude korrutamise valemi järgi on meil 
.
Kuna 4=2·2, 55=5·11, 15=3,5 ja 6=2·3, siis 
. Nüüd vähendame tavalisi põhitegureid: 
.
Jääb vaid arvutada lugeja ja nimetaja korrutised ning seejärel eraldada kogu osa valest murdest: 
.
Tuleb märkida, et murdude korrutamist iseloomustab kommutatiivne omadus, see tähendab, et korrutatud murde saab vahetada: 
.
Hariliku murru korrutamine naturaalarvuga
Alustame sõnastusest reeglid hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga: Murru korrutamine naturaalarvuga annab murdosa, mille lugeja on võrdne naturaalarvuga korrutatud murdosa lugeja korrutisega ja nimetaja on võrdne korrutatava murru nimetajaga.
Tähtede kasutamisel on reegel murdosa a/b naturaalarvuga n korrutamiseks kujul .
Valem tuleneb vormi kahe hariliku murru korrutamise valemist . Tõepoolest, esitades naturaalarvu murdena, mille nimetaja on 1, saame 
.
Vaatame näiteid murdosa naturaalarvuga korrutamisest.
Korrutage murdosa 2/27 5-ga.
Lugeja 2 korrutamine arvuga 5 annab 10, seetõttu võrdub 2/27 korrutis 5-ga murdosa naturaalarvuga korrutamise reegli kohaselt murdarvuga 10/27.
Mugav on kirjutada kogu lahendus nii: 
.
Murru korrutamisel naturaalarvuga tuleb saadud murdosa sageli vähendada ja kui see on samuti vale, siis esitada segaarvuna.
Korrutage murdosa 5/12 arvuga 8.
Vastavalt valemile murdosa naturaalarvuga korrutamiseks on meil 
. Ilmselgelt on saadud murd taandatav (jaguvuse märk 2-ga näitab lugeja ja nimetaja ühisjagajat 2). Vähendame murdosa 40/12: kuna LCM(40, 12)=4, siis 
. Jääb esile tõsta kogu osa: .
Siin on kogu lahendus: 
.
Pange tähele, et redutseerimist saab läbi viia, asendades lugejas ja nimetajas olevad arvud nende lagunemisega algteguriteks. Sel juhul näeks lahendus välja järgmine: .
Selle punkti kokkuvõtteks märgime, et murdosa korrutamisel naturaalarvuga on kommutatiivne omadus, see tähendab, et murdosa korrutis naturaalarvuga võrdub selle naturaalarvu korrutisega murdosaga: 
.
Kolme või enama murru korrutamine
See, kuidas me defineerisime harilikke murde ja nendega korrutamist, võimaldab väita, et kõik naturaalarvude korrutamise omadused kehtivad ka murdude korrutamisel.
Korrutamise kommutatiivsed ja assotsiatiivsed omadused võimaldavad üheselt määrata kolme või enama murru ja naturaalarvu korrutamine. Sel juhul toimub kõik analoogselt kolme või enama naturaalarvu korrutamisega. Eelkõige saab korrutises olevaid murde ja naturaalarve arvutamise hõlbustamiseks ümber paigutada ning toimingute sooritamise järjekorda näitavate sulgude puudumisel saame sulud ise mis tahes vastuvõetaval viisil korraldada.
Vaatame näiteid mitme murdude ja naturaalarvude korrutamisest.
Korrutage kolm tavalist murru 1/20, 12/5, 3/7 ja 5/8.
Paneme kirja toote, mida peame arvutama 
. Murdude korrutamise reegli kohaselt on kirjutatud korrutis võrdne murdarvuga, mille lugeja on võrdne kõigi murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on võrdne nimetajate korrutisega: 
.
Enne lugejas ja nimetajas olevate korrutiste arvutamist on soovitatav asendada kõik tegurid nende lagunemistega lihtsateks teguriteks ja teha redutseerimine (saate muidugi pärast korrutamist murdosa vähendada, kuid paljudel juhtudel nõuab see palju arvutuslik pingutus): .
.
Korrutage viis arvu 
.
Selles tootes on mugav rühmitada murdosa 7/8 numbriga 8 ja number 12 murdarvuga 5/36, see lihtsustab arvutusi, kuna sellise rühmitamise korral on vähenemine ilmne. Meil on
.
.
www.cleverstudents.ru
Populaarne:
- Ringkonnakohtusse pöördumisel Lugupeetud saidi külastajad! Peterburi föderaalse riigikassa büroo (Venemaa föderaalse maksuteenistuse rajoonidevaheline inspektsioon nr 10 Peterburi jaoks) Maksuhalduri INN Saaja kontonumber LOODE […]
- Elatise suuruse vähendamise riigilõivu arvutamine Kohtud jäävad järgmisele seisukohale: Riigilõiv arvutatakse summalt, mille võrra alimentide summat vähendatakse (hagi hinnast). Näide riigilõivu suuruse arvutamisest kohtus, kui [...]
- Kümnendkohtade jagamine, reeglid, näited, lahendused. Kuna jätkame kümnendkohtadega tehte uurimist, on aeg rääkida kümnendkohtade jagamisest. Alustame kümnendkohtade jagamise üldistest põhimõtetest. Edasi […]
- Vene Föderatsiooni maksuseadustiku artikkel 333.19. Riigilõivu summad Vene Föderatsiooni ülemkohtu, üldjurisdiktsiooni kohtute, rahukohtunike poolt arutatavate juhtumite puhul Vene Föderatsiooni maksuseadustiku ST 333.19. 1. Riigikohtu poolt läbivaadatud asjades […]
- Sotsiaalkindlustuse komisjoni (volitatud) näidismäärus N 556a „Sotsiaalkindlustuse komisjoni (volitatud) näidismäärus” KINNITUD Vene Föderatsiooni Sotsiaalkindlustusfondi esimehe poolt […]
- Vene Föderatsiooni relvajõudude, aga ka Moskva vahekohtu ja Moskva rajooni arbitraažikohtu riigilõivu tasumise rekvisiidid on muutunud aastal on avaldatud uued pangarekvisiidid riigilõivu tasumiseks menetluses olevate asjade eest. Vene Föderatsiooni relvajõud, Moskva linna vahekohus ja […]
- Puurimisel olev reservuaar on suure poorsuse ja läbilaskvusega kivimoodustis, mis sisaldab taaskasutatavaid nafta- ja gaasikoguseid. Mahuti peamised klassifitseerimisomadused on filtreerimis- ja akumulatsioonitingimused […]
- Meie grupp VK-s Saa koolituselt allahindlust. Kiirusta, et saada allahindlust 1000 rubla! Registreerumine autokooli Täitke see vorm, me võtame teiega ühendust ja kutsume teid tundidesse. Tere tulemast! 1. Hoiatussildid Hoiatusmärgid […]
Täisarvu korrutamine murdosaga pole keeruline ülesanne. Kuid on peensusi, millest te ilmselt koolis aru saite, kuid mille olete vahepeal unustanud.
Kuidas korrutada täisarvu murdosaga - paar liiget
Kui mäletate, mis on lugeja ja nimetaja ning kuidas õige murd erineb valest murdest, jätke see lõik vahele. See on mõeldud neile, kes on teooria täielikult unustanud.
Lugeja on murdosa ülemine osa – see, mida me jagame. Nimetaja on väiksem. Sellega me jagame.
Õige murd on selline, mille lugeja on nimetajast väiksem. Vale murd on selline, mille lugeja on selle nimetajast suurem või sellega võrdne.
Kuidas korrutada täisarvu murdosaga
Täisarvu murdosaga korrutamise reegel on väga lihtne – korrutame lugeja täisarvuga, kuid nimetajat ei puuduta. Näiteks: kaks korrutatuna viiendikuga – saame kaks viiendikku. Neli korrutatuna kolme kuueteistkümnendikuga võrdub kaheteistkümne kuueteistkümnendikuga.
Vähendamine
Teises näites saab saadud fraktsiooni vähendada.
Mida see tähendab? Pange tähele, et nii selle murdosa lugeja kui ka nimetaja jaguvad neljaga. Mõlema arvu jagamist ühise jagajaga nimetatakse murdosa vähendamiseks. Saame kolm neljandikku.
Valed murrud
Kuid oletame, et korrutame neli kahe viiendikuga. Selgus, et kaheksa viiendikku. See on vale murd.
See tuleb kindlasti õigesse vormi viia. Selleks tuleb sealt valida terve osa.
Siin peate kasutama jäägiga jagamist. Jäägina saame ühe ja kolm.
Üks tervik ja kolm viiendikku on meie õige murd.
Kolmekümne viie kaheksandiku õigesse vormi viimine on veidi keerulisem. Lähim arv kolmekümne seitsmele, mis jagub kaheksaga, on kolmkümmend kaks. Jagades saame neli. Lahutage kolmekümne viiest kolmkümmend kaks ja saame kolm. Tulemus: neli tervet ja kolm kaheksandikku.
Lugeja ja nimetaja võrdsus. Ja siin on kõik väga lihtne ja ilus. Kui lugeja ja nimetaja on võrdsed, on tulemus lihtsalt üks.
) ja nimetaja nimetaja kaupa (saame korrutise nimetaja).
Murdude korrutamise valem:
Näiteks:
Enne lugejate ja nimetajate korrutamist peate kontrollima, kas murdosa saab vähendada. Kui saate murdosa vähendada, on teil lihtsam edasisi arvutusi teha.
Hariliku murru jagamine murruga.
Naturaalarvudega murdude jagamine.
See pole nii hirmutav, kui tundub. Nagu liitmise puhul, teisendame täisarvu murduks, mille nimetajas on üks. Näiteks:
Segamurdude korrutamine.
Murdude (segatud) korrutamise reeglid:
- teisendada segafraktsioonid valedeks fraktsioonideks;
- murdude lugejate ja nimetajate korrutamine;
- vähendada murdosa;
- Kui saate valemurru, teisendame valemurru segamurruks.
Märge! Segamurru korrutamiseks teise segamurruga peate need esmalt teisendama valede murdude kujule ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.
Teine viis murdosa korrutamiseks naturaalarvuga.
Võib-olla on mugavam kasutada teist meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.
Märge! Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja muutmata.
Ülaltoodud näitest on selge, et seda võimalust on mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagatakse ilma jäägita naturaalarvuga.
Mitmekorruselised murded.
Keskkoolis kohtab sageli kolmekorruselisi (või enamaid) murde. Näide:
Sellise murru tavapärasele kujule viimiseks kasutage jagamist kahe punktiga:
Märge! Murdude jagamisel on jagamise järjekord väga oluline. Olge ettevaatlik, siin on lihtne segadusse sattuda.
Märge, Näiteks:
Kui jagate ühe mis tahes murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult ümberpööratud:
Praktilised näpunäited murdude korrutamiseks ja jagamiseks:
1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus. Tehke kõik arvutused hoolikalt ja täpselt, kontsentreeritult ja selgelt. Parem on kirjutada oma mustandisse paar lisarida, kui eksida peastesse arvutustesse.
2. Erinevat tüüpi murrudega ülesannetes minge harilike murdude tüübi juurde.
3. Vähendame kõiki murde, kuni redutseerimine pole enam võimalik.
4. Teisendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi 2 punkti.
5. Jagage ühik oma peas murdosaga, keerates lihtsalt murdosa ümber.