Erinevate kogumite suurest hulgast on eriti huvitavad ja olulised numbrihulgad, s.t. need hulgad, mille elemendid on arvud. On ilmne, et arvhulkadega töötamiseks on vaja nende ja ka nende kujutiste koordinaatjoonele kirjutamise oskust.

Numbrikomplektide kirjutamine

Kõigi komplektide üldtunnustatud tähistus on ladina tähestiku suurtähed. Numbrikomplektid pole erand. Näiteks saame rääkida arvuhulkadest B , F või S jne. Siiski on ka numbriliste komplektide üldtunnustatud märgistus sõltuvalt selles sisalduvatest elementidest:

N on kõigi naturaalarvude hulk; Z on täisarvude hulk; Q on ratsionaalarvude hulk; J on irratsionaalarvude hulk; R on reaalarvude hulk; C on kompleksarvude hulk.

Selgeks saab, et näiteks kahest numbrist koosneva hulga: - 3 , 8 tähistamine tähega J võib olla eksitav, kuna see täht tähistab irratsionaalarvude hulka. Seetõttu oleks hulga tähistamiseks - 3, 8 õigem kasutada mingit neutraalset tähte: näiteks A või B.

Tuletame meelde ka järgmist märkust:

• ∅ on tühi hulk või hulk ilma koostisosadeta;
• ∈ või ∉ - märk elemendi hulka kuulumisest või mittekuuluvusest. Näiteks tähistus 5 ∈ N tähendab, et arv 5 on osa kõigi naturaalarvude hulgast. Kirje - 7 , 1 ∈ Z peegeldab tõsiasja , et arv - 7 , 1 ei ole hulga Z element , sest Z on täisarvude hulk;
• komplekti kuulumise tunnused:
  ⊂ või ⊃ - märgib vastavalt "sees" või "kaasab". Näiteks tähistus A ⊂ Z tähendab, et hulka Z kuuluvad kõik hulga A elemendid, s.t. arvuline hulk A sisaldub hulgas Z . Või vastupidi, märge Z ⊃ A selgitab, et kõigi täisarvude hulk Z sisaldab hulka A .
  ⊆ või ⊇ - nn mitterange kaasamise märgid. Tähendab vastavalt "kaasatud või sobib" ja "sisaldab või sobib".

Vaatleme nüüd numbriliste hulkade kirjeldamise skeemi praktikas kõige sagedamini kasutatavate peamiste standardjuhtude näitel.

Vaatleme esmalt arvulisi hulki, mis sisaldavad piiratud ja väikese arvu elemente. Sellist komplekti on mugav kirjeldada lihtsalt kõigi selle elementide loetlemisega. Numbrikujulised elemendid kirjutatakse komaga eraldatuna ja sulgudes (mis vastab hulkade kirjeldamise üldreeglitele). Näiteks arvude hulk 8 , - 17 , 0 , 15 kirjutatakse kujul ( 8 , - 17 , 0 , 15 ) .

Juhtub, et komplekti elementide arv on üsna suur, kuid nad kõik järgivad teatud mustrit: siis kasutatakse komplekti kirjelduses ellipsit. Näiteks võib kõigi paarisarvude hulga vahemikus 2 kuni 88 kirjutada järgmiselt: ( 2 , 4 , 6 , 8 , … , 88 ) .

Räägime nüüd arvuliste hulkade kirjeldusest, milles elementide arv on lõpmatu. Mõnikord kirjeldatakse neid sama ellipsi abil. Näiteks kirjutame kõigi naturaalarvude hulga järgmiselt: N = ( 1 , 2 , 3 , … ) .

Samuti on võimalik kirjutada lõputu arvu elementidega arvhulk, määrates selle elementide omadused. Sel juhul kasutatakse tähistust ( x | omadused ). Näiteks ( n | 8 n + 3 , n ∈ N ) defineerib naturaalarvude hulga, mille 8-ga jagamisel jääb jääk 3 . Sama hulga võib kirjutada järgmiselt: ( 11 , 19 , 27 , … ) .

Erijuhtudel on lõpmatu arvu elementidega arvulisteks hulkadeks üldtuntud hulgad N , Z , R jne ehk arvulised intervallid. Kuid põhimõtteliselt on arvulised hulgad nende koosseisu kuuluvate numbriliste intervallide ja arvuliste hulkade liit lõpliku arvu elementidega (neist rääkisime artikli alguses).

Vaatame näidet. Oletame , et teatud arvulise hulga komponendid on arvud -15 , - 8 , - 7 , 34 , 0 , samuti kõik lõigu [ - 6 , - 1 , 2 ] numbrid ja avatud numbrikiire numbrid . (6 , + ∞) . Vastavalt hulkade ühenduse definitsioonile kirjutame antud arvulise hulga järgmiselt: ( - 15 , - 8 , - 7 , 34 ) ∪ [ - 6 , - 1 , 2 ] ∪ ( 0 ) ∪ (6 , + ∞) . Selline kirje tähendab tegelikult hulka, mis sisaldab hulkade ( - 15 , - 8 , - 7 , 34 , 0 ), [ - 6 , - 1 , 2 ] ja (6 , + ∞) kõiki elemente.

Samamoodi on erinevaid arvulisi intervalle ja üksikute arvude hulki kombineerides võimalik anda kirjeldus suvalisele reaalarvudest koosnevale arvuhulgale. Eelneva põhjal saab selgeks, miks võetakse kasutusele erinevat tüüpi arvintervalle, nagu intervall, poolintervall, segment, avatud numbrikiir ja numbrikiir. Kõik seda tüüpi lüngad koos üksikute arvude hulkade tähistusega võimaldavad kirjeldada mis tahes arvude komplekti nende ühenduse kaudu.

Tähelepanu tuleb pöörata ka sellele, et komplekti kirjutades saab üksikuid numbreid ja arvulisi lünki järjestada kasvavas järjekorras. Üldjuhul pole see kohustuslik nõue, kuid selline järjestus võimaldab arvulist hulka lihtsamalt esitada ja ka koordinaatreal õigesti kuvada. Samuti tasub selgitada, et sellistes kirjetes ei kasutata ühiste elementidega arvulisi intervalle, kuna neid kirjeid saab asendada numbriliste intervallide ühendusega, jättes välja ühised elemendid. Näiteks ühiste elementidega [-15, 0] ja (-6, 4) arvuhulkade liit on poolintervall [-15, 4) . Sama kehtib samade piirarvudega arvuliste intervallide liidu kohta. Näiteks liit (4 , 7 ] ∪ (7 , 9 ] on hulk (4 , 9 ] . Seda punkti käsitletakse üksikasjalikult numbriliste hulkade lõikepunkti ja ühenduse leidmise teemas).

Praktilistes näidetes on mugav kasutada arvuliste hulkade geomeetrilist tõlgendamist - nende esitamist koordinaatjoonel. Näiteks aitab see meetod lahendada ebavõrdsusi, mille puhul on vaja arvestada ODZ-ga - kui on vaja kuvada numbrilisi komplekte, et määrata nende liit ja / või ristmik.

Teame, et koordinaatjoone punktide ja reaalarvude vahel on üks-ühele vastavus: kogu koordinaatjoon on kõigi reaalarvude hulga R geomeetriline mudel. Seetõttu joonistame kõigi reaalarvude hulga kujutamiseks koordinaatjoone ja viirutame kogu selle pikkuses:

Sageli ei näita nad päritolu ja ühte segmenti:

Vaatleme arvuliste hulkade kujutist, mis koosnevad lõplikust arvust üksikutest arvudest. Näiteks kuvame arvude komplekti ( - 2 , - 0 , 5 , 1 , 2 ). Antud hulga geomeetriline mudel on kolm koordinaatjoone punkti koos vastavate koordinaatidega:

Enamasti on võimalik joonise absoluutset täpsust mitte jälgida: täiesti piisab skemaatilisest esitusest ilma mõõtkava jälgimata, vaid punktide suhtelise asukohaga üksteise suhtes, s.t. iga suurema koordinaadiga punkt peab olema väiksema koordinaadiga punktist paremal. Seda arvestades võib olemasolev joonis välja näha selline:

Eraldi eristatakse võimalikest numbrihulkadest arvulisi intervalle (intervallid, poolintervallid, kiired jne)

Vaatleme nüüd arvuliste hulkade esitamise põhimõtet, mis on mitmete arvuliste intervallide ja nende individuaalsetest arvudest koosnevate hulgade liit. Selles pole raskusi: liidu definitsiooni kohaselt on koordinaatjoonel vaja kuvada kõik antud arvulise hulga hulga komponendid. Näiteks loome illustratsiooni numbrikomplektist (- ∞ , - 15) ∪ ( - 10 ) ∪ [ - 3 , 1) ∪ ( log 2 5 , 5 ) ∪ (17 , + ∞) .

Üsna levinud on ka juhud, kui kujutatav arvuline hulk sisaldab kogu reaalarvude komplekti, välja arvatud üks või mitu punkti. Sellised hulgad antakse sageli selliste tingimustega nagu x ≠ 5 või x ≠ - 1 jne. Sellistel juhtudel on nende geomeetrilise mudeli hulgad terve koordinaatjoon, välja arvatud antud punktid. On üldtunnustatud seisukoht, et need punktid tuleb koordinaatjoonelt "välja lüüa". Läbilöögipunkt on kujutatud tühja keskpunktiga ringina. Et öeldut praktilise näitega tugevdada, kuvame koordinaatreale hulga antud tingimusega x ≠ - 2 ja x ≠ 3:

Selles artiklis esitatud teave on mõeldud selleks, et aidata teil näha numbrikogumite salvestamist ja kuvamist sama lihtsalt, kui näete üksikuid numbriruume. Ideaalis tuleks salvestatud numbrite kogum koheselt esitada koordinaatjoonel geomeetrilise kujutisena. Ja vastupidi: vastavalt pildile peaks vastav arvuline hulk olema hõlpsasti moodustatav numbriliste lünkade ja eraldiseisvate arvude hulkade ühenduse kaudu.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Palju on kogum mis tahes objektidest, mida nimetatakse selle hulga elementideks.

Näiteks: palju koolilapsi, palju autosid, palju numbreid .

Matemaatikas käsitletakse kogumit palju laiemalt. Me ei hakka sellesse teemasse liiga süvitsi süvenema, kuna see kuulub kõrgema matemaatika alla ja võib alguses õppimisega raskusi tekitada. Vaatleme ainult seda osa teemast, mida oleme juba käsitlenud.

Tunni sisu

Märge

Komplekti tähistatakse kõige sagedamini ladina tähestiku suurtähtedega ja selle elemente - väiketähtedega. Elemendid on ümbritsetud lokkis traksidega.

Näiteks kui helistatakse meie sõpradele Tom, John ja Leo , siis saame määrata sõprade komplekti, kelle elemendid on Tom, John ja Leo.

Tähistage meie sõprade kogumit suure ladina tähega F(sõbrad), seejärel pange võrdusmärk ja loetlege meie sõbrad lokkis sulgudes:

F = (Tom, John, Leo)

Näide 2. Kirjutame üles arvu 6 jagajate hulga.

Tähistagem seda kogumit mis tahes suure ladina tähega, näiteks tähega D

siis paneme võrdusmärgi ja lokkis sulgudes loetleme selle hulga elemendid ehk loetleme arvu 6 jagajad

D = ( 1, 2, 3, 6 )

Kui mingi element kuulub antud hulka, siis näidatakse seda kuuluvust liikmelisuse märgiga ∈ . Näiteks jagaja 2 kuulub arvu 6 jagajate hulka (hulk D). See on kirjutatud nii:

Loeb nagu: "2 kuulub arvu 6 jagajate hulka"

Kui mõni element ei kuulu antud hulka, märgitakse see mittekuuluvus läbi kriipsutatud liikmelisuse märgiga ∉. Näiteks jagaja 5 ei kuulu hulka D. See on kirjutatud nii:

Loeb nagu: "5 ei kuulu 6-tolliste jagajate komplekt

Lisaks saab komplekti kirjutada elementide otsese loendamise teel, ilma suurtähtedeta. See võib olla mugav, kui komplekt koosneb vähesest arvust elementidest. Näiteks defineerime ühe elemendi komplekti. Olgu see element meie sõber Helitugevus:

( Köide )

Defineerime hulga, mis koosneb ühest arvust 2

{ 2 }

Määrame komplekti, mis koosneb kahest arvust: 2 ja 5

{ 2, 5 }

Naturaalarvude komplekt

See on esimene komplekt, millega alustasime. Naturaalarvud on arvud 1, 2, 3 jne.

Naturaalarvud ilmusid seetõttu, et inimestel oli vaja neid teisi objekte kokku lugeda. Näiteks loendage kanade, lehmade, hobuste arv. Naturaalarvud tekivad loendamisel loomulikult.

Eelmistes tundides, kui kasutasime seda sõna "number", enamasti oli see naturaalarv.

Matemaatikas tähistatakse naturaalarvude hulka suure ladina tähega N.

Näiteks oletame, et arv 1 kuulub naturaalarvude hulka. Selleks kirjutame numbri 1, seejärel märgime liikmemärgi ∈ abil, et ühik kuulub hulka N

1 ∈ N

Loeb nagu: "üks kuulub naturaalarvude hulka"

Täisarvude hulk

Täisarvude hulk sisaldab kõiki positiivseid ja , samuti arvu 0.

Täisarvude hulk on tähistatud suure ladina tähega Z .

Näitame näiteks, et arv −5 kuulub täisarvude hulka:

−5 ∈ Z

Näitame, et 10 kuulub täisarvude hulka:

10 ∈ Z

Näitame, et 0 kuulub täisarvude hulka:

Tulevikus kutsume kõiki positiivseid ja negatiivseid numbreid ühe fraasiga - täisarvud.

Ratsionaalarvude hulk

Ratsionaalarvud on samad harilikud murrud, mida me tänapäevani uurime.

Ratsionaalarv on arv, mida saab esitada murdena, kus a- murru lugeja b- nimetaja.

Lugeja ja nimetaja roll võib olla mis tahes arv, sealhulgas täisarvud (välja arvatud null, kuna nulliga ei saa jagada).

Näiteks oletame selle asemel a on väärt numbrit 10 ja selle asemel b- number 2

10 jagatud 2-ga võrdub 5. Näeme, et arvu 5 saab esitada murruna, mis tähendab, et arv 5 sisaldub ratsionaalarvude hulgas.

On lihtne näha, et arv 5 kehtib ka täisarvude hulga kohta. Seetõttu kuulub täisarvude hulk ratsionaalarvude hulka. See tähendab, et ratsionaalarvude hulk ei sisalda mitte ainult tavalisi murde, vaid ka täisarve kujul −2, −1, 0, 1, 2.

Kujutage nüüd selle asemel ette a on number 12 ja selle asemel b- number 5.

12 jagatud 5-ga võrdub 2,4. Näeme, et kümnendmurdu 2.4 saab esitada murruna, mis tähendab, et see sisaldub ratsionaalarvude komplektis. Sellest järeldame, et ratsionaalarvude hulk ei sisalda mitte ainult tavalisi murde ja täisarve, vaid ka kümnendmurde.

Arvutasime murdosa ja saime vastuseks 2.4. Kuid me võiksime välja tuua selle murdosa täisarvu:

Kui valite kogu osa murdosast, saate segaarvu. Näeme, et segaarvu saab esitada ka murruna. See tähendab, et ratsionaalarvude hulka kuuluvad ka segaarvud.

Selle tulemusena jõuame järeldusele, et ratsionaalarvude komplekt sisaldab:

• täisarvud
• harilikud murded
• kümnendkohad
• seganumbrid

Ratsionaalarvude kogum on tähistatud suure ladina tähega K.

Näiteks näitame, et murdosa kuulub ratsionaalarvude hulka. Selleks kirjutame murdosa ise, seejärel näitame liikmemärgi ∈ abil, et murd kuulub ratsionaalarvude hulka:

∈ K

Näitame, et kümnendmurd 4,5 kuulub ratsionaalarvude hulka:

4,5 ∈ K

Näitame, et segaarv kuulub ratsionaalsete arvude hulka:

∈ K

Sissejuhatav õppetund komplektide kohta on nüüd läbi. Tulevikus vaatame komplekte palju paremini, kuid praegu piisab sellest õpetusest.

Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue Vkontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta teateid saama

Riiklik õppeasutus

keskeriharidus

Tula piirkond

"Aleksini insenerikolledž"

Numbriline

komplektid

Disainitud

õpetaja

matemaatika

Khristoforova M.Yu.

Number - põhikontseptsioon kasutatud omadused, võrdlused, ja nende osad. Tähed numbrite tähistamiseks on , sama hästi kui matemaatilised .

Arvu mõiste tekkis iidsetel aegadel inimeste praktilistest vajadustest ja arenes välja inimkonna arengu käigus. Inimtegevuse valdkond laienes ja vastavalt suurenes vajadus kvantitatiivse kirjeldamise ja uurimistöö järele. Algul määrasid arvu mõiste inimese praktilises tegevuses esile kerkinud loendamise ja mõõtmise vajadused, muutudes üha keerulisemaks. Hiljem saab arvust matemaatika põhimõiste ja selle teaduse vajadused määravad selle mõiste edasise arengu.

Hulke, mille elemendid on arvud, nimetatakse arvudeks.

Numbrikomplektide näited on järgmised:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - naturaalarvude hulk;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - mittenegatiivsete täisarvude hulk;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - täisarvude hulk;

Q=(m/n: m Z,n N) on ratsionaalarvude hulk.

Reaalarvude R-hulk.

Nende komplektide vahel on seos

N Zo Z K R.

Sisestage numbridN = (1, 2, 3, ....) helistasloomulik . Naturaalarvud ilmnesid seoses objektide loendamise vajadusega.

Ükskõik milline , mis on suurem kui üks, saab esitada algarvude astmete korrutisena ja seda ainulaadsel viisil, kuni tegurite järjekorras. Näiteks 121968=2 4 3 2 7 11 2

Kui am, n, k - naturaalarvud siism - n = k nad ütlevad sedam - vähendatud, n - lahutatud, k - erinevus; juuresm:n=k nad ütlevad sedam - dividend, n - jagaja, k - jagatis, numberm nimetatud kamitmekordne numbridn, ja numbern - jagaja numbridm, Kui numberm- mitmekordnen, siis on naturaalarvk, selline, etm = kn.

Arvudest aritmeetiliste tehete märkide ja sulgude abil,numbrilised avaldised. Kui sooritate näidatud toimingud numbrilises avaldises, järgides aktsepteeritud järjekorda, saate numbri, mida nimetatakseväljendi väärtus .

Aritmeetiliste toimingute järjekord: esmalt sooritatakse sulgudes olevad toimingud; mis tahes sulgudes tehke esmalt korrutamine ja jagamine ning seejärel liitmine ja lahutamine.

Kui naturaalarvm ei jagu naturaalarvugan, need. sellist pole olemasnaturaalarv k, midam = kn, siis kaalugejagamine jäägiga: m = np + r, kusm - dividend, n - jagaja (m>n), p - jagatis, r - ülejäänud osa .

Kui arvul on ainult kaks jagajat (arv ise ja üks), siis seda nimetatakselihtne : kui arvul on rohkem kui kaks jagajat, siis seda kutsutaksekomposiit.

Suvaline liitnaturaalarv võib ollafaktoriseerima , ja ainult ühel viisil. Arvude algteguriteks jagamisel kasutagejagatavuse märke .

a jab võib leidasuurim ühine jagaja. See on tähistatudD(a,b). Kui numbrida jab on sellisedD(a, b) = 1, siis numbrida jab helistasvastastikku lihtne.

Mis tahes antud naturaalarvude jaoksa jab võib leidavähim ühiskordne. See on tähistatudK(a,b). Mis tahes arvude ühiskordnea jab jagatunaK(a,b).

Kui numbrida jab koprime , st.D(a, b) = 1, siisK(a,b) = ab .

Tüüpi numbrid:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) helistas täisarvud , need. Täisarvud on naturaalarvud, naturaalarvude vastandid ja arv 0.

Naturaalarve 1, 2, 3, 4, 5.... nimetatakse ka positiivseteks täisarvudeks. Naturaalarvudele vastanduvaid arve -1, -2, -3, -4, -5, ... nimetatakse negatiivseteks täisarvudeks.

Märkimisväärsed numbrid numbreid nimetatakse kõigiks selle numbriteks, välja arvatud eesmised nullid.

Järjestikust korduvat numbrirühma pärast kümnendkohta arvu kümnendmärgistuses nimetatakseperiood, ja nimetatakse lõpmatut kümnendmurdu, mille tähistuses on selline punktperioodiline . Kui punkt algab kohe pärast koma, kutsutakse murdosapuhas perioodilisus ; kui koma ja punkti vahel on muid kümnendkohti, siis kutsutakse murrusegatud perioodiline .

Nimetatakse numbreid, mis ei ole täis- või murdarvudirratsionaalne .

Iga irratsionaalne arv on esitatud mitteperioodilise lõpmatu kümnendmurruna.

Nimetatakse kõigi lõplike ja lõpmatute kümnendmurdude hulkapalju reaalarvud : ratsionaalne ja irratsionaalne.

Reaalarvude hulgal R on järgmised omadused.

1. See on järjestatud: kahe erineva arvu α ja b korral üks kahest seosest a

2. Hulk R on tihe: mis tahes kahe erineva arvu a ja b vahel on lõpmatu hulk reaalarvusid x, st arvud, mis rahuldavad ebavõrdsust a<х

Nii et kui a

(a 2a< a+ba+b<2b  2 a a<(a+b)/2

Reaalnumbreid saab esitada arvujoone punktidena. Arvjoone määramiseks on vaja märkida sirgele punkt, mis vastab numbrile 0 - võrdluspunkt, ja seejärel valida üks segment ja näidata positiivne suund.

Iga punkt koordinaatjoonel vastab numbrile, mis on määratletud kui lõigu pikkus lähtepunktist kuni kõnealuse punktini, samas kui mõõtühikuks on üks segment. See arv on punkti koordinaat. Kui punkt on võetud lähtepunktist paremale, on selle koordinaat positiivne ja kui see asub vasakul, siis negatiivne. Näiteks punktidel O ja A on koordinaadid vastavalt 0 ja 2, mida saab kirjutada järgmiselt: 0 (0), A (2).

Naturaalarvud on need arvud, millest kõik kunagi algas. Ja täna on need esimesed numbrid, mida inimene oma elus kohtab, kui ta õpib lapsepõlves sõrmedel või loenduspulkadel lugema.

Definitsioon: naturaalarve nimetatakse arvudeks, mida kasutatakse objektide loendamiseks (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Arv 0 ei ole loomulik. Sellel on ka omaette ajalugu matemaatika ajaloos ja see ilmus palju hiljem kui naturaalarvud.]

Kõigi naturaalarvude hulk (1, 2, 3, 4, 5, ...) on tähistatud tähega N.

Täisarvud

Olles õppinud loendama, õpime järgmisena sooritama arvudega aritmeetilisi tehteid. Tavaliselt õpivad nad kõigepealt (loenduspulgadel) liitma ja lahutama.

Liitmisega on kõik selge: liites suvalised kaks naturaalarvu, saame tulemuseks alati sama naturaalarvu. Kuid lahutamisel leiame, et me ei saa lahutada suuremat väiksemast, nii et tulemuseks on naturaalarv. (3 − 5 = mis?) Siin tuleb sisse negatiivsete arvude idee. (Negatiivsed arvud pole enam loomulikud)

Negatiivsete arvude esinemise etapis (ja need ilmusid hiljem kui murdosa) oli ka nende vastaseid, kes pidasid neid jaburaks. (Sõrmedel saab näidata kolme objekti, kümmet, analoogia abil saab kujutada tuhat eset. Ja mis on "miinus kolm kotti"? - Tol ajal, kuigi numbreid kasutati juba omaette, eraldiseisvalt konkreetsed objektid, mille arvu nad tähistavad, olid inimeste meelest nendele konkreetsetele teemadele palju lähemal kui tänapäeval.) Kuid nagu ka vastuväited, tuli peamine argument negatiivsete arvude kasuks praktikast: negatiivsed arvud tegid seda võimalikuks. võlgade mugavaks jälgimiseks. 3 - 5 = -2 - Mul oli 3 münti, kulutasin 5. Nii et mul ei saanud mitte ainult mündid otsa, vaid olen ka kellelegi 2 münti võlgu. Kui tagastan ühe, muutub võlg väärtuseks −2+1=−1, kuid seda saab esitada ka negatiivse arvuna.

Selle tulemusena tekkisid matemaatikas negatiivsed arvud ja nüüd on meil lõpmatu arv naturaalarve (1, 2, 3, 4, ...) ja nende vastandeid on sama palju (−1, −2, − 3, -4, ...). Lisame neile veel 0. Ja kõigi nende arvude kogumit nimetatakse täisarvudeks.

Definitsioon: Naturaalarvud, nende vastandid ja null moodustavad täisarvude hulga. Seda tähistatakse tähega Z.

Suvalised kaks täisarvu saab üksteisest lahutada või liita, et saada täisarv.

Täisarvude liitmise idee viitab juba korrutamise võimalusele kui lihtsalt kiiremale liitmise viisile. Kui meil on 7 kotti, igaüks 6 kilogrammi, võime lisada 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (lisada praegusele summale seitse korda 6) või lihtsalt meeles pidada, et sellise toimingu tulemuseks on alati 42. Nagu kuue seitsme liitmine, annab ka 7+7+7+7+7+7 alati 42.

Lisamisoperatsiooni tulemused teatud numbrid iseendaga teatud kõigi arvupaaride 2 kuni 9 kordade arv kirjutatakse välja ja moodustavad korrutustabeli. 9-st suuremate täisarvude korrutamiseks leiutatakse veerus korrutamisreegel. (See kehtib ka kümnendkohtade kohta ja mida käsitletakse ühes järgmistest artiklitest.) Iga kahe täisarvu korrutamisel saadakse alati täisarv.

Ratsionaalarvud

Nüüd jagamine. Analoogiliselt sellega, kuidas lahutamine on liitmise pöördväärtus, jõuame jagamise kui korrutamise pöördväärtuseni.

Kui meil oli 7 6-kilogrammist kotti, arvutasime korrutise abil hõlpsalt välja, et kottide sisu kogukaal on 42 kilogrammi. Kujutage ette, et valasime kõigi kottide kogu sisu ühte ühisesse 42 kilogrammi kaaluvasse hunnikusse. Ja siis mõtlesid nad ümber ja tahtsid sisu 7 kotti tagasi laiali jagada. Mitu kilogrammi kukub ühte kotti, kui jaotame võrdselt? - Ilmselgelt 6.

Ja kui tahame jagada 42 kilogrammi 6 kotti? Siinkohal mõtleme, milline võiks olla sama 42 kilogrammi kokku, kui valaksime 6 7-kilost kotti hunnikusse. Ja see tähendab, et jagades 42 kilogrammi võrdselt 6 kotti, saame ühte kotti 7 kilogrammi.

Ja kui jagada 42 kilogrammi võrdselt 3 koti peale? Ja ka siin hakkame valima arvu, mis korrutades 3-ga annaks 42. "Tabeli" väärtuste puhul, nagu 6 7=42 => 42:6=7 puhul, teostame jagamistehte , jättes lihtsalt korrutustabeli meelde. Keerulisemate juhtumite puhul kasutatakse veergudeks jagamist, mida käsitletakse ühes järgmistest artiklitest. 3 ja 42 puhul võib "valikuga" meenutada, et 3 · 14 = 42. Seega 42:3=14. Iga kott sisaldab 14 kilogrammi.

Nüüd proovime jagada 42 kilogrammi võrdselt 5 koti peale. 42:5=?
Märkame, et 5 8 = 40 (väike) ja 5 9 = 45 (palju). See tähendab, et ei 8 kilogrammi kotis ega 9 kilogrammi, 5 kotist ei saa me kuidagi 42 kilogrammi. Samas on selge, et tegelikkuses ei takista miski meil mingit kogust (näiteks teravilja) 5 võrdseks osaks jagamast.

Täisarvude üksteisega jagamise tehte tulemuseks ei pruugi olla täisarv. Nii jõudsimegi murdosa mõisteni. 42:5 \u003d 42/5 \u003d 8 terve 2/5 (kui loetakse tavalistes murdudes) või 42:5 \u003d 8,4 (kui arvestada kümnendmurdudes).

Harilikud ja kümnendmurrud

Võime öelda, et mis tahes tavaline murd m / n (m on mis tahes täisarv, n on suvaline loomulik) on lihtsalt arvu m jagamise arvuga n tulemuse kirjutamise erivorm. (m nimetatakse murru lugejaks, n on nimetaja) Näiteks arvu 25 jagamisel arvuga 5 saab tulemuse kirjutada ka tavalise murruna 25/5. Kuid see pole vajalik, kuna 25 5-ga jagamise tulemuse saab kirjutada lihtsalt täisarvuks 5. (Ja 25/5 = 5). Kuid arvu 25 jagamise tulemust arvuga 3 ei saa enam esitada täisarvuna, seega on siin vaja kasutada murdosa, 25:3=25/3. (Saad valida täisarvulise osa 25/3= 8 tervet 1/3. Täpsemalt tuleb harilikest murdudest ja tehtetest harilike murrudega juttu järgmistes artiklites.)

Tavalised murrud on head, sest kahe täisarvu jagamise tulemuse esitamiseks murdudeks tuleb lihtsalt murdu lugejasse kirjutada dividend ja nimetajasse jagaja. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Seejärel vähenda võimalusel murdu ja/või tõsta esile täisarvuline osa (need toimingud tavaliste murdudega on üksikasjalikult arutatakse järgmistes artiklites). Probleem on selles, et aritmeetiliste toimingute (liitmine, lahutamine) tegemine tavaliste murdudega ei ole enam nii mugav kui täisarvudega.

Kirjutamise (ühes reas) ja arvutuste hõlbustamiseks (arvutamise võimalusega veerus, nagu tavaliste täisarvude puhul) leiutati lisaks tavalistele murdudele ka kümnendmurrud. Kümnendmurd on erilisel viisil kirjutatud tavaline murd, mille nimetaja on 10, 100, 1000 jne. Näiteks harilik murd 7/10 on sama, mis kümnendmurd 0,7. (8/100 = 0,08; 2 täisarvu 3/10 = 2,3; 7 täisarvu 1/1000 = 7,001). Eraldi artikkel on pühendatud tavaliste murdude teisendamiseks kümnendkohtadeks ja vastupidi. Tehted kümnendmurdudega – muud artiklid.

Iga täisarvu saab esitada hariliku murruna nimetajaga 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Definitsioon: Kõiki arve, mida saab esitada hariliku murruna, nimetatakse ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarvude komplekti tähistatakse tähega Q.

Kahe täisarvu üksteisega jagamisel (välja arvatud 0-ga jagamisel) saame tulemuseks alati ratsionaalarvu. Tavaliste murdude jaoks on liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise reeglid, mis võimaldavad sooritada vastava tehte suvalise kahe murruga ja saada selle tulemusena ka ratsionaalarvu (murru või täisarvu).

Ratsionaalarvude hulk on esimene meie poolt vaadeldud hulk, milles saate liita, lahutada, korrutada ja jagada (välja arvatud 0-ga jagamine), ilma et sellest komplektist kunagi kaugemale läheks (st et saaksite alati ratsionaalarvu kui tulemus).

Näib, et muid numbreid pole, kõik arvud on ratsionaalsed. Kuid ka see pole nii.

Reaalarvud

On numbreid, mida ei saa esitada murdarvuna m / n (kus m on täisarv, n on naturaalarv).

Mis need numbrid on? Me ei ole veel kaalunud astendamise operatsiooni. Näiteks 4 2 \u003d 4 4 \u003d 16, 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. Nii nagu korrutamine on mugavam tähistus ja liitmise arvutamine, on astendamine märkimisvorm sama arvu endaga teatud arvu korrutamiseks.

Kuid nüüd mõelge operatsioonile, astmele tõstmise pöördväärtusele – juure eraldamisele. Ruutjuur 16-st on arv, mille ruudus on 16, mis on 4. Ruutjuur 9-st on 3. Kuid näiteks 5 või 2 ruutjuurt ei saa esitada ratsionaalarvuga. (Selle väite tõestust, teisi näiteid irratsionaalsetest arvudest ja nende ajaloost leiate näiteks Vikipeediast)

9. klassi GIA-s on ülesanne kindlaks teha, kas arv, mis sisaldab juurt, on ratsionaalne või irratsionaalne. Ülesanne on püüda see arv teisendada kujule, mis ei sisalda juurt (kasutades juurte omadusi). Kui juurt ei saa kõrvaldada, on arv irratsionaalne.

Teine näide irratsionaalarvust on arv π, mis on kõigile tuttav geomeetriast ja trigonomeetriast.

Definitsioon: Ratsionaal- ja irratsionaalarve koos nimetatakse reaalarvudeks (või reaalarvudeks). Kõikide reaalarvude hulk on tähistatud tähega R.

Reaalarvudes, erinevalt ratsionaalarvudest, saame väljendada kaugust joone või tasapinna mis tahes kahe punkti vahel.
Kui tõmbate sirge ja valite sellel kaks suvalist punkti või valite tasapinnal kaks suvalist punkti, siis võib selguda, et nende punktide täpset kaugust ei saa väljendada ratsionaalarvuga. (Näide – Pythagorase teoreemi kohaselt võrdub täisnurkse kolmnurga hüpotenuus jalgadega 1 ja 1 kahe juurega – see tähendab irratsionaalarvuga. See hõlmab ka tetraadi raku diagonaali täpset pikkust (mis tahes ideaalse täisarvuliste külgedega ruudu diagonaali pikkus).)
Ja reaalarvude hulgas saab mis tahes kaugusi sirgjoonel, tasapinnal või ruumis väljendada vastava reaalarvuga.

Arvu mõiste. Numbrite tüübid.

Arv on abstraktsioon, mida kasutatakse objektide kvantifitseerimiseks. Arvud tekkisid primitiivses ühiskonnas seoses inimeste vajadusega objekte lugeda. Aja jooksul, koos teaduse arenguga, on arvust saanud kõige olulisem matemaatiline mõiste.

Ülesannete lahendamiseks ja erinevate teoreemide tõestamiseks peate mõistma, mis tüüpi arvud on. Peamised arvude tüübid on: naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, reaalarvud.

Täisarvud- need on numbrid, mis saadakse objektide loomuliku loendamisega või õigemini nende nummerdamisega ("esimene", "teine", "kolmas" ...). Naturaalarvude kogumit tähistatakse ladina tähega N (võib meelde jätta ingliskeelse sõna natural põhjal). Võib öelda, et N ={1,2,3,....}

Täisarvud on arvud komplektist (0, 1, -1, 2, -2, ....). See komplekt koosneb kolmest osast – naturaalarvudest, negatiivsetest täisarvudest (naturaalarvude vastand) ja arvust 0 (null). Täisarvud on tähistatud ladina tähega Z . Võib öelda, et Z ={1,2,3,....}.

Ratsionaalarvud on arvud, mida saab esitada murdarvuna, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Ratsionaalarvude tähistamiseks kasutatakse ladina tähte K . Kõik naturaal- ja täisarvud on ratsionaalsed.

Päris (päris) numbrid on arv, mida kasutatakse pidevate suuruste mõõtmiseks. Reaalarvude hulk on tähistatud ladina tähega R. Reaalarvude hulka kuuluvad ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud. Irratsionaalarvud on arvud, mis saadakse ratsionaalarvudega erinevate toimingute tegemisel (näiteks juure eraldamine, logaritmide arvutamine), kuid mis ei ole samal ajal ratsionaalsed.

1. Numbrisüsteemid.

Numbrisüsteem on arvude nimetamise ja kirjutamise viis. Sõltuvalt arvude esitamise meetodist jagatakse see positsiooniliseks-kümnendsüsteemiks ja mittepositsiooniliseks-roomakeelseks.

Arvuti kasutab 2, 8 ja 16 numbrisüsteeme.

Erinevused: 16. numbrisüsteemi numbrikirje on palju lühem võrreldes teise kirjega, s.t. nõuab vähem biti sügavust.

Positsioonilises numbrisüsteemis säilitab iga number oma konstantse väärtuse, olenemata selle asukohast numbris. Positsioonilises numbrisüsteemis ei määra iga number mitte ainult selle väärtust, vaid sõltub positsioonist, mille see numbris hõivab. Iga numbrisüsteemi iseloomustab alus. Alus on erinevate numbrite arv, mida kasutatakse numbrite kirjutamiseks antud numbrisüsteemis. Alus näitab, mitu korda sama numbri väärtus muutub naaberasendisse liikumisel. Arvuti kasutab 2-numbrilist süsteemi. Süsteemi aluseks võib olla mis tahes arv. Aritmeetilised toimingud mis tahes asendis olevate numbritega tehakse 10. numbrisüsteemiga sarnaste reeglite järgi. 2 numbrisüsteemi jaoks kasutatakse binaararitmeetikat, mis on arvutis realiseeritud aritmeetiliste arvutuste tegemiseks.

Binaarne liitmine: 0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

Lahutamine:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

Korrutamine:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

Arvuti kasutab laialdaselt 8. numbrisüsteemi ja 16. numbrisüsteemi. Neid kasutatakse kahendarvude lühendamiseks.

2. Hulga mõiste.

Mõiste "hulk" on matemaatika põhimõiste ja sellel puudub definitsioon. Mis tahes komplekti genereerimise olemus on mitmekesine, eriti ümbritsevad objektid, elusloodus jne.

Definitsioon 1: nimetatakse objekte, millest hulk moodustatakse selle komplekti elemendid. Komplekti tähistamiseks kasutatakse ladina tähestiku suurtähti: näiteks X, Y, Z ja lokkis sulgudes, eraldatuna komadega, kirjutatakse selle elemendid väiketähtedega, näiteks: (x, y, z) .

Näide komplekti ja selle elementide määramisest:

X = (x 1 , x 2 ,…, x n ) on hulk, mis koosneb n elemendist. Kui element x kuulub hulka X, siis tuleks kirjutada: xОX, vastasel juhul ei kuulu element x hulka X, mis on kirjutatud: xПX. Abstraktse hulga elementideks võivad olla näiteks numbrid, funktsioonid, tähed, kujundid jne. Matemaatikas kasutatakse mis tahes jaotises hulga mõistet. Eelkõige võib anda mõned konkreetsed reaalarvude komplektid. Reaalarvude x hulk, mis rahuldab ebavõrdsust:

kutsutakse a ≤ x ≤ b segment ja seda tähistatakse ;

a ≤ x< b или а < x ≤ b называется poolsegment ja on tähistatud: ;

· a< x < b называется intervall ja tähistatakse (a,b).

2. definitsioon: komplekti, millel on lõplik arv elemente, nimetatakse lõplikuks. Näide. X \u003d (x 1, x 2, x 3).

3. definitsioon: komplekti kutsutakse lõputu kui sellel on lõpmatu arv elemente. Näiteks kõigi reaalarvude hulk on lõpmatu. Salvestusnäide. X \u003d (x 1, x 2, ...).

4. definitsioon: Hulka, milles elementi pole, nimetatakse tühjaks hulgaks ja seda tähistatakse sümboliga Æ.

Kogumile on iseloomulik kardinaalsuse mõiste. Võimsus on selle elementide arv. Hulgal Y=(y 1 , y 2 ,...) on sama kardinaalsus kui hulgal X=(x 1 , x 2 ,...), kui on üks-ühele vastavus y= f(x ) nende komplektide elementide vahel. Sellistel komplektidel on sama kardinaalsus või need on samaväärsed. Tühjal komplektil on null kardinaalsust.

3. Hulkade määramise meetodid.

Arvatakse, et hulk on määratletud selle elementide, s.o. komplekt on antud, kui mõne objekti kohta saab öelda, kas see kuulub sellesse hulka või mitte. Saate määrata komplekti järgmistel viisidel.

1) Kui hulk on lõplik, saab seda täpsustada, loetledes kõik selle elemendid. Seega, kui komplekt AGA koosneb elementidest 2, 5, 7, 12 , siis nad kirjutavad A = (2, 5, 7, 12). Komplekti elementide arv AGA võrdub 4 , kirjutage n(A) = 4.

Aga kui hulk on lõpmatu, siis ei saa selle elemente loendada. Raske on defineerida loendamisega hulka ja suure hulga elementidega lõplikku hulka. Sellistel juhtudel kasutatakse komplekti täpsustamiseks teistsugust viisi.

2) Hulka saab defineerida, määrates selle elementide iseloomuliku omaduse. iseloomulik omadus- see on omadus, mis on igal hulka kuuluval elemendil ja mitte ühelgi elemendil, mis sinna ei kuulu. Mõelge näiteks kahekohaliste arvude hulgale X: selle hulga iga elemendi omadus on "olla kahekohaline arv". See iseloomulik omadus võimaldab otsustada, kas objekt kuulub hulka X või mitte. Näiteks number 45 sisaldub selles komplektis, sest see on kahe väärtusega ja arv 4 ei kuulu hulka X, sest see on üks-ühele ja mitte kaheväärtuslik. Juhtub, et ühte ja sama komplekti saab täpsustada, määrates selle elementide erinevad iseloomulikud omadused. Näiteks ruutude kogumit saab defineerida kui võrdsete külgedega ristkülikute kogumit ja täisnurgaga rombide kogumit.

Juhtudel, kui hulga elementide iseloomulikku omadust saab esitada sümboolsel kujul, on võimalik vastav märge. Kui komplekt AT koosneb kõikidest naturaalarvudest, mis on väiksemad kui 10, nad kirjutavad B = (x N| x<10}.

Teine meetod on üldisem ja võimaldab määrata nii lõplikke kui ka lõpmatuid hulki.

4. Numbrilised komplektid.

Numbriline - hulk, mille elementideks on numbrid. Numbrilised hulgad on antud reaalarvu teljel R. Sellel teljel vali skaala ning märgi algus ja suund. Kõige tavalisemad numbrikomplektid:

- naturaalarvude hulk;

- täisarvude hulk;

- ratsionaal- või murdarvude kogum;

· on reaalarvude hulk.

5. Komplekti võimsus. Too näiteid lõplike ja lõpmatute hulkade kohta.

Hulke nimetatakse ekvipotentseteks, ekvivalentseteks, kui nende vahel on üks-ühele või üks-ühele vastavus ehk selline paariline vastavus. kui ühe hulga iga element on seotud teise hulga ühe elemendiga ja vastupidi, samas kui ühe hulga erinevad elemendid on seotud teise hulga erinevate elementidega.

Näiteks võtame kolmekümneliikmelise õpilaste rühma ja väljastame eksamipiletid, igale õpilasele üks pilet kolmekümne piletit sisaldavast virnast, selline 30 õpilase ja 30 pileti paariline kirjavahetus on üks-ühele.

Kaks komplekti, mis on samaväärsed sama kolmanda komplektiga, on samaväärsed. Kui hulgad M ja N on samaväärsed, siis on samaväärsed ka nende hulga M ja N kõigi alamhulkade hulgad.

Antud hulga alamhulk on hulk, mille iga element on antud hulga element. Nii et autode komplekt ja veoautode komplekt on autode komplekti alamhulgad.

Reaalarvude hulga võimsust nimetatakse kontiinumi astmeks ja seda tähistatakse tähega "aleph" א . Väikseim lõpmatu piirkond on naturaalarvude hulga kardinaalsus. Tavaliselt tähistatakse kõigi naturaalarvude hulga võimsust (aleph-null).

Astmeid nimetatakse sageli kardinaalarvudeks. Selle kontseptsiooni võttis kasutusele saksa matemaatik G. Kantor. Kui hulgad on tähistatud sümboolsete tähtedega M, N, siis kardinaalarvud tähistatakse m, n-ga. G. Kantor tõestas, et antud hulga M kõigi alamhulkade hulga kardinaalsus on suurem kui hulgal M ise.

Hulka, mis on samaväärne kõigi naturaalarvude hulgaga, nimetatakse loendatavaks hulgaks.

6. Määratud hulga alamhulgad.

Kui valime oma komplektist mitu elementi ja rühmitame need eraldi, on see meie komplekti alamhulk. Kombinatsioone, millest saab alamhulga, on palju, kombinatsioonide arv sõltub ainult algse komplekti elementide arvust.

Olgu meil kaks hulka A ja B. Kui hulga B iga element on hulga A element, siis hulka B nimetatakse A alamhulgaks. Tähistatakse: B ⊂ A. Näide.

Mitu hulga alamhulka A=1;2;3.

Lahendus. Alamhulgad, mis koosnevad meie hulga elementidest. Siis on meil alamhulga elementide arvu jaoks 4 võimalust:

Alamhulk võib koosneda 1 elemendist, 2, 3 elemendist ja võib olla tühi. Kirjutame oma elemendid järjest üles.

1 elemendi alamhulk: 1,2,3

Kahest elemendist koosnev alamhulk: 1,2,1,3,2,3.

3 elemendi alamhulk:1;2;3

Ärgem unustagem, et tühi hulk on ka meie hulga alamhulk. Siis saame, et meil on 3+3+1+1=8 alamhulka.

7. Operatsioonid komplektidel.

Teatud tehteid saab sooritada hulkadega, mis on mõnes mõttes sarnased algebra reaalarvudega tehtavatele tehtele. Seetõttu saame rääkida hulkade algebrast.

Ühing komplektide (ühendamine). AGA ja AT nimetatakse hulgaks (sümboolselt tähistatakse tähisega ), mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad vähemalt ühte hulka AGA või AT. Kujul X hulkade liit kirjutatakse kui

Kirje on järgmine: „Ühendamine AGA ja AT" või " AGA koos AT».

Operatsioonid komplektidega on graafiliselt kujutatud Euleri ringide abil (mõnikord kasutatakse terminit "Venn-Euleri diagrammid"). Kui kõik komplekti elemendid AGA tsentreeritakse ringi sees AGA ja komplekti elemendid AT- ringi sees AT, siis saab Euleri ringide abil ühendamise operatsiooni esitada järgmisel kujul

Näide 1. Komplekti liit AGA= (0, 2, 4, 6, 8) paariskohad ja hulk AT= (1, 3, 5, 7, 9) paaritu arv on = = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) kõigist kümnendkohtadest.

8. Hulkade graafiline kujutamine. Euleri-Venni diagrammid.

Euleri-Venni diagrammid on hulkade geomeetrilised esitused. Diagrammi konstruktsioon koosneb suurest ristkülikust, mis kujutab universaalset komplekti U, ja selle sees - ringid (või mõned muud suletud kujundid), mis tähistavad komplekte. Figuurid peavad ristuma ülesandes nõutud kõige üldisemal juhul ja olema vastavalt märgistatud. Diagrammi eri alade sees asuvaid punkte võib pidada vastavate hulga elementideks. Koostatud diagrammi abil on võimalik teatud alasid varjutada, et näidata äsja moodustatud komplekte.

Hulkoperatsioone peetakse olemasolevate hulgast uute hulkade saamiseks.

Definitsioon. Ühing hulka A ja B nimetatakse hulgaks, mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad vähemalt ühte hulka A, B (joonis 1):

Definitsioon. ristumine hulka A ja B nimetatakse hulgaks, mis koosneb kõigist neist ja ainult nendest elementidest, mis kuuluvad samaaegselt nii hulka A kui ka hulka B (joonis 2):

Definitsioon. erinevus komplektid A ja B on kõigi nende ja ainult nende A elementide hulk, mida B ei sisalda (joonis 3):

Definitsioon. Sümmeetriline erinevus komplektid A ja B on nende hulkade elementide hulk, mis kuuluvad kas ainult hulka A või ainult hulka B (joonis 4):

Descartes'i (või otsene) hulkade korrutisA ja B selline tulemuseks vormipaaride komplekt ( x,y) konstrueeritud nii, et komplekti esimene element A, ja paari teine ​​element pärineb hulgast B. Ühine märge:

A× B={(x,y)|x∈A,y∈B}

Kolme või enama komplekti tooteid saab koostada järgmiselt:

A× B× C={(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}

Vormi tooted A× A,A× A× A,A× A× A× A jne. Kraadi vormis on tavaks kirjutada: A 2 ,A 3 ,A 4 (kraadi alus on kordaja, näitaja on toodete arv). Nad lugesid sellist kirjet nagu “Cartesiuse ruut” (kuubik jne). Põhikomplektide jaoks on ka teisi lugemisvõimalusi. Näiteks R n on kombeks lugeda "er ennoe".

Omadused

Mõelge Cartesiuse toote mitmele omadusele:

1. Kui A,B on siis lõplikud hulgad A× B- lõplik. Ja vastupidi, kui üks kordajate hulk on lõpmatu, siis on nende korrutise tulemus lõpmatu hulk.

2. Descartes'i korrutise elementide arv on võrdne kordajahulkade elementide arvu korrutisega (muidugi, kui need on lõplikud): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. A np ≠(A n) lk- esimesel juhul on soovitatav käsitleda Descartes'i korrutise tulemust maatriksina mõõtmetega 1× np, teises - suuruste maatriksina n× lk .

4. Kommutatiivseadus ei ole täidetud, sest Descartes'i korrutise tulemuse elementide paarid järjestatakse: A× B≠B× A .

5. Ühistuseadus ei ole täidetud: ( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Hulkade põhitoimingute osas on jaotus: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

10. Lause mõiste. Elementaar- ja liitväited.

avaldus on väide või deklaratiivne lause, mille kohta võib öelda, et see on tõene (T-1) või väär (L-0), kuid mitte mõlemat korraga.

Näiteks "Täna sajab", "Ivanov lõpetas füüsika laboritöö nr 2."

Kui meil on mitu alglauset, siis nendest kasutades loogilised ühendused või osakesed saame moodustada uusi väiteid, mille tõeväärtus sõltub ainult esialgsete väidete tõeväärtustest ning konkreetsetest sidesõnadest ja osakestest, mis osalevad uue väite koostamisel. Sõnad ja väljendid "ja", "või", "mitte", "kui ... siis", "seepärast", "kui ja ainult siis" on selliste sidesõnade näited. Algseid väiteid nimetatakse lihtne ja nendest teatud loogiliste ühenduste abil konstrueeritud uued väited - koostisosa . Muidugi pole sõnal "lihtne" midagi pistmist algsete väidete olemuse ega struktuuriga, mis võivad iseenesest olla üsna keerulised. Selles kontekstis on sõna "lihtne" sünonüüm sõnaga "originaal". Oluline on see, et lihtsate väidete tõeväärtused peaksid olema teada või antud; igatahes neist ei räägita kuidagi.

Kuigi väide nagu "Täna pole neljapäev" ei koosne kahest erinevast lihtsast väitest, loetakse seda konstruktsiooni ühtsuse huvides ka liitlauseks, kuna selle tõeväärtuse määrab teise väite "Täna on neljapäev" tõeväärtus. "

Näide 2 Järgmisi väiteid käsitletakse liitlausetena:

Lugesin Moskovski Komsomoletsi ja lugesin Kommersanti.

Kui ta seda ütles, siis on see tõsi.

Päike ei ole täht.

Kui on päikesepaisteline ilm ja temperatuur ületab 25 0 , tulen kohale rongi või autoga

Liitlausete hulka kuuluvad lihtlaused võivad ise olla täiesti meelevaldsed. Eelkõige võivad need ise olla komposiitmaterjalid. Allpool kirjeldatud liitlausete põhitüübid on määratletud neid moodustavatest lihtlausetest sõltumatult.

11. Toimingud avaldustega.

1. eitamise operatsioon.

Väite eitus AGA ( loeb "mitte AGA"," see pole tõsi AGA"), mis on tõsi, kui AGA vale ja vale millal AGA- tõsi.

Negatiivsed väited AGA ja helistas vastupidine.

2. sideoperatsioon.

sidesõna avaldused AGA ja AT nimetatakse väiteks A B(loe" AGA ja AT”), mille tegelikud tähendused määratakse siis ja ainult siis, kui mõlemad väited AGA ja AT tõsi.

Propositsioonide konjunktsiooni nimetatakse loogikaproduktiks ja seda sageli tähistatakse AB.

Las avaldus AGA– “märtsis õhutemperatuur alates 0 С kuni + 7 C» ja öeldes AT- "Vitebskis sajab vihma." Siis A B saab olema järgmine: “märtsis õhutemperatuur alates 0 С kuni + 7 C ja Vitebskis sajab vihma." See side on tõene, kui on väiteid AGA ja AT tõsi. Kui selgub, et temperatuur oli madalam 0 С või siis Vitebskis vihma ei sadanud A B saab olema vale.

3 . disjunktsiooni operatsioon.

disjunktsioon avaldused AGA ja AT nimetatakse väiteks A B (AGA või AT), mis on tõene siis ja ainult siis, kui vähemalt üks väidetest on tõene ja väär – kui mõlemad väited on valed.

Propositsioonide disjunktsiooni nimetatakse ka loogiliseks summaks A+B.

avaldus " 4<5 või 4=5 ' on tõsi. Alates avaldusest " 4<5 "on tõsi ja väide" 4=5 ' on siis vale A B on tõene väide 4 5 ».

4 . implikatsioonioperatsioon.

implikatsioon avaldused AGA ja AT nimetatakse väiteks A B("kui AGA, siis AT", "alates AGA peaks AT”), mille väärtus on vale siis ja ainult siis AGA tõsi ja AT vale.

Järelduses A B avaldus AGA helistas sihtasutus, või saatmine ja väljavõte AT – tagajärg, või järeldus.

12. Väidete tõesuse tabelid.

Tõetabel on tabel, mis loob vastavuse kõigi loogilises funktsioonis sisalduvate võimalike loogiliste muutujate kogumite ja funktsiooni väärtuste vahel.

Tõe tabeleid kasutatakse:

Keeruliste väidete tõesuse arvutamine;

Väidete samaväärsuse tuvastamine;

Tautoloogiate määratlused.