نظرية الاحتمالات. احتمالية حدث ما، أحداث عشوائية (نظرية الاحتمالية)

ثم يقولون أن المتغير العشوائي ξ لقد دالة الكثافة الاحتمالية f(x).

تعريف.يترك . لوظيفة التوزيع المستمر F كمية ألفا النظريةيسمى حل المعادلة

وقد لا يكون هذا الحل هو الحل الوحيد.

المستوى الكمي ½ تسمى النظرية الوسيط ، المستويات الكمية ¼ و ¾ -الربعين السفلي والعلوي على التوالى.

في التطبيقات الاكتوارية، يلعب دورا هاما عدم المساواة تشيبيشيف:

في أي

رمز التوقع الرياضي.

يقرأ مثل هذا:احتمال أن يكون المعامل أكبر من أو يساوي التوقع الرياضي للمعامل مقسومًا على .

العمر كمتغير عشوائي

يعد عدم اليقين بشأن لحظة الوفاة أحد عوامل الخطر الرئيسية في التأمين على الحياة.

لا يمكن قول أي شيء محدد عن لحظة وفاة الفرد. ومع ذلك، إذا كنا نتعامل مع مجموعة كبيرة متجانسة من الناس ولا نهتم بمصير أفراد من هذه المجموعة، فإننا ندخل في إطار نظرية الاحتمالات كعلم الظواهر العشوائية الجماعية التي لها خاصية استقرار التردد .

على التوالى، يمكننا الحديث عن متوسط ​​العمر المتوقع كمتغير عشوائي T.

وظيفة البقاء على قيد الحياة

تصف نظرية الاحتمالية الطبيعة العشوائية لأي متغير عشوائي توظيفة التوزيع و(خ)،والذي يعرف بأنه احتمال المتغير العشوائي تأقل من العدد س:

.

في الرياضيات الاكتوارية، من الجيد العمل ليس مع وظيفة التوزيع، ولكن مع وظيفة التوزيع الإضافية . من حيث طول العمر، هذا هو احتمال أن يعيش الشخص حتى العمر سسنين.

مُسَمًّى وظيفة البقاء(وظيفة البقاء):

تتميز وظيفة البقاء بالخصائص التالية:

تفترض جداول الحياة عادة وجود بعض منها الحد العمري (الحد من العمر) (عادة سنوات)، وبالتالي، في س>.

عند وصف الوفيات بالقوانين التحليلية، يُفترض عادةً أن مدة الحياة غير محدودة، ولكن يتم اختيار نوع ومعايير القوانين بحيث يكون احتمال الحياة بعد عمر معين ضئيلًا.

وظيفة البقاء لها معنى إحصائي بسيط.

لنفترض أننا نراقب مجموعة من الأطفال حديثي الولادة (عادة)، الذين نلاحظهم ونستطيع تسجيل لحظات وفاتهم.

دعونا نشير إلى عدد الممثلين الأحياء لهذه المجموعة في العمر بواسطة . ثم:

.

رمز ههنا وأدناه تستخدم للدلالة على التوقع الرياضي.

لذا، فإن دالة البقاء تساوي متوسط ​​نسبة أولئك الذين بقوا على قيد الحياة حتى سنهم من مجموعة ثابتة من الأطفال حديثي الولادة.

في الرياضيات الاكتوارية، لا يعمل المرء غالبًا مع وظيفة البقاء، ولكن مع القيمة التي تم تقديمها للتو (تحديد حجم المجموعة الأولي).

يمكن إعادة بناء وظيفة البقاء من الكثافة:

خصائص العمر

من الناحية العملية، تعتبر الخصائص التالية مهمة:

1 . متوسطحياة

,
2 . تشتتحياة

,
أين
,

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوبة هنا:
2. قبل البدء في قراءة المقال، انتبه إلى متصفحنا للحصول على الموارد الأكثر فائدة

ما هو الاحتمال؟

في المرة الأولى التي واجهت فيها هذا المصطلح، لم أكن لأفهم ما هو. لذلك، سأحاول أن أشرح بوضوح.

الاحتمال هو احتمال وقوع الحدث الذي نريده.

على سبيل المثال، قررت الذهاب إلى منزل أحد الأصدقاء، وتتذكر المدخل وحتى الأرضية التي يعيش عليها. لكني نسيت رقم الشقة وموقعها. والآن أنت واقف على الدرج، وأمامك أبواب يمكنك الاختيار من بينها.

ما هو احتمال (احتمال) أنك إذا قمت بقرع جرس الباب الأول، فإن صديقك سيجيب على الباب نيابة عنك؟ لا يوجد سوى شقق، وصديق يعيش خلف واحدة منها فقط. مع فرصة متساوية يمكننا اختيار أي باب.

ولكن ما هي هذه الفرصة؟

الباب، الباب الأيمن. احتمالية التخمين من خلال قرع جرس الباب الأول: . أي أنك ستخمن بدقة مرة واحدة من كل ثلاثة.

نريد أن نعرف، بعد أن اتصلنا مرة واحدة، كم مرة سنخمن الباب؟ دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات:

1. أنت إتصلت الأولباب
2. أنت إتصلت الثانيباب
3. أنت إتصلت الثالثباب

الآن دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات التي يمكن أن يكون فيها الصديق:

أ. خلف الأولالباب
ب. خلف الثانيالباب
الخامس. خلف الثالثالباب

دعونا نقارن جميع الخيارات في شكل جدول. تشير علامة الاختيار إلى الخيارات عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديق، وعلامة تقاطع - عندما لا يتطابق.

كيف ترى كل شيء ربما خياراتموقع صديقك واختيارك للباب الذي تريد الاتصال به.

أ نتائج إيجابية للجميع . أي أنك ستخمن مرة واحدة من خلال قرع جرس الباب مرة واحدة، أي. .

هذا هو الاحتمال - نسبة النتيجة الإيجابية (عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديقك) إلى عدد الأحداث المحتملة.

التعريف هو الصيغة. يُشار إلى الاحتمال عادةً بالرمز p، وبالتالي:

ليس من المناسب جدًا كتابة مثل هذه الصيغة، لذلك سنحسب - عدد النتائج الإيجابية، و - العدد الإجمالي للنتائج.

يمكن كتابة الاحتمال كنسبة مئوية، وللقيام بذلك، عليك ضرب النتيجة الناتجة في:

ربما لفتت انتباهك كلمة "النتائج". نظرًا لأن علماء الرياضيات يطلقون على الإجراءات المختلفة (في حالتنا، مثل هذا الإجراء هو جرس الباب) تجارب، فإن نتيجة هذه التجارب تسمى عادة النتيجة.

حسنًا، هناك نتائج إيجابية وأخرى سلبية.

دعنا نعود إلى مثالنا. لنفترض أننا قرعنا أحد الأبواب، لكن شخصًا غريبًا فتحه لنا. لم نخمن بشكل صحيح. ما احتمال أن يفتح لنا صديقنا أحد الأبواب المتبقية إذا قرعنا؟

إذا كنت تعتقد ذلك، فهذا خطأ. دعونا معرفة ذلك.

لدينا بابان متبقيان. لذلك لدينا الخطوات الممكنة:

1) اتصل الأولباب
2) اتصل الثانيباب

الصديق، رغم كل هذا، هو بالتأكيد وراء أحدهم (بعد كل شيء، لم يكن وراء من اتصلنا به):

أ) صديق ل الأولالباب
ب) صديق ل الثانيالباب

لنرسم الجدول مرة أخرى:

كما ترون، هناك خيارات فقط، منها مواتية. أي أن الاحتمال متساوي.

ولم لا؟

الوضع الذي نظرنا فيه هو مثال على الأحداث التابعةالحدث الأول هو جرس الباب الأول، والحدث الثاني هو جرس الباب الثاني.

وسميت تابعة لأنها تؤثر على الأفعال التالية. بعد كل شيء، إذا رد أحد الأصدقاء على جرس الباب بعد الرنة الأولى، فما هو احتمال أن يكون خلف أحد الصديقين الآخرين؟ يمين، .

ولكن إذا كانت هناك أحداث تابعة، فلا بد أن تكون هناك أيضًا مستقل؟ هذا صحيح، يحدث ذلك.

مثال الكتاب المدرسي هو رمي عملة معدنية.

1. إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس، على سبيل المثال؟ هذا صحيح - لأن هناك كل الخيارات (إما الصورة أو الكتابة، سنهمل احتمالية هبوط العملة على حافتها)، لكنه يناسبنا فقط.
2. لكنها جاءت رؤساء. حسنا، دعونا رميها مرة أخرى. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس الآن؟ لم يتغير شيء، كل شيء هو نفسه. كم عدد الخيارات؟ اثنين. كم نحن سعداء؟ واحد.

ودعها تأتي على الأقل ألف مرة على التوالي. احتمال الحصول على الرؤوس مرة واحدة سيكون هو نفسه. هناك دائما خيارات، وأخرى مواتية.

من السهل التمييز بين الأحداث التابعة والأحداث المستقلة:

1. إذا تم تنفيذ التجربة مرة واحدة (رمي عملة معدنية مرة واحدة، قرع جرس الباب مرة واحدة، وما إلى ذلك)، فإن الأحداث تكون دائمًا مستقلة.
2. إذا تم إجراء تجربة عدة مرات (رمي عملة معدنية مرة واحدة، وقرع جرس الباب عدة مرات)، فإن الحدث الأول يكون دائمًا مستقلاً. وبعد ذلك، إذا تغير عدد النتائج المواتية أو عدد جميع النتائج، فإن الأحداث مستقلة، وإذا لم تكن كذلك، فهي مستقلة.

دعونا نتدرب على تحديد الاحتمالية قليلًا.

مثال 1.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال الحصول على الرأس مرتين على التوالي؟

حل:

دعونا نفكر في جميع الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر
2. رؤساء ذيول
3. ذيول رؤساء
4. ذيول ذيول

كما ترون، هناك خيارات فقط. ومن هؤلاء لا نرضى إلا. أي أن الاحتمال:

إذا كان الشرط يطلب منك ببساطة إيجاد الاحتمال، فيجب أن تكون الإجابة في شكل كسر عشري. ولو تم تحديد أن الإجابة يجب أن تعطى كنسبة مئوية، لضربنا في.

إجابة:

مثال 2.

في علبة الشوكولاتة، يتم تعبئة جميع الشوكولاتة في نفس الغلاف. ومع ذلك، من الحلويات - مع المكسرات، مع براندي، مع الكرز، مع الكراميل والنوجا.

ما هو احتمال أن تأخذ حلوى واحدة وتحصل على حلوى بالمكسرات؟ أعط إجابتك كنسبة مئوية.

حل:

كم عدد النتائج المحتملة هناك؟ .

أي أنك إذا أخذت حلوى واحدة، فستكون واحدة من تلك المتوفرة في الصندوق.

كم عدد النتائج الإيجابية؟

لأن العلبة تحتوي فقط على الشوكولاتة بالمكسرات.

إجابة:

مثال 3.

في علبة بالونات. منها الأبيض والأسود.

1. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء؟
2. أضفنا المزيد من الكرات السوداء إلى الصندوق. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء الآن؟

حل:

أ) لا يوجد سوى كرات في الصندوق. منهم الأبيض.

الاحتمال هو:

ب) يوجد الآن المزيد من الكرات في الصندوق. وهناك عدد مماثل من البيض المتبقين - .

إجابة:

الاحتمال الإجمالي

لنفترض أن هناك كرات حمراء وخضراء في صندوق. ما هو احتمال سحب كرة حمراء؟ الكرة الخضراء؟ الكرة الحمراء أم الخضراء؟

احتمال سحب كرة حمراء

الكرة الخضراء:

الكرة الحمراء أو الخضراء:

كما ترون، فإن مجموع كل الأحداث المحتملة يساوي (). إن فهم هذه النقطة سيساعدك على حل العديد من المشاكل.

مثال 4.

توجد علامات في الصندوق: الأخضر، الأحمر، الأزرق، الأصفر، الأسود.

ما هو احتمال عدم رسم علامة حمراء؟

حل:

دعونا نحسب الرقم نتائج مواتية.

ليست علامة حمراء، وهذا يعني الأخضر أو ​​الأزرق أو الأصفر أو الأسود.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

أنت تعرف بالفعل ما هي الأحداث المستقلة.

ماذا لو كنت بحاجة إلى إيجاد احتمال وقوع حدثين مستقلين (أو أكثر) على التوالي؟

لنفترض أننا نريد أن نعرف ما هو احتمال أننا إذا رمينا عملة معدنية مرة واحدة، سنرى الصورة مرتين؟

لقد نظرنا بالفعل - .

ماذا لو ألقينا قطعة نقود مرة واحدة؟ ما هو احتمال رؤية النسر مرتين على التوالي؟

إجمالي الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لا أعرف عنك، لكنني ارتكبت أخطاء عدة مرات عند تجميع هذه القائمة. رائع! والخيار الوحيد (الأول) يناسبنا.

بالنسبة لخمس رميات، يمكنك عمل قائمة بالنتائج المحتملة بنفسك. لكن علماء الرياضيات ليسوا مجتهدين مثلك.

لذلك، لاحظوا أولاً ثم أثبتوا أن احتمالية حدوث تسلسل معين من الأحداث المستقلة في كل مرة تقل بمقدار احتمالية حدث واحد.

بعبارة أخرى،

دعونا نلقي نظرة على مثال نفس العملة المشؤومة.

احتمال الحصول على رؤوس في التحدي؟ . الآن نقوم بقلب العملة مرة واحدة.

ما هو احتمال الحصول على رؤوس متتالية؟

لا تعمل هذه القاعدة فقط إذا طُلب منا إيجاد احتمال حدوث نفس الحدث عدة مرات متتالية.

إذا أردنا إيجاد تسلسل الذيل-الرأس-الذيل للرميات المتتالية، فسنفعل الشيء نفسه.

احتمال سقوط الرؤوس هو - , رؤوس - .

احتمال الحصول على تسلسل TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

يمكنك التحقق من ذلك بنفسك عن طريق عمل جدول.

قاعدة إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة.

حتى يوقفوا! تعريف جديد.

دعونا معرفة ذلك. دعونا نأخذ عملتنا المعدنية البالية ونرميها مرة واحدة.
الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لذا، فإن الأحداث غير المتوافقة هي تسلسل معين للأحداث. - هذه أحداث غير متوافقة.

إذا أردنا تحديد احتمال وقوع حدثين (أو أكثر) غير متوافقين، فإننا نضيف احتمالات هذه الأحداث.

عليك أن تفهم أن الرؤوس أو الذيول هما حدثان مستقلان.

إذا أردنا تحديد احتمال حدوث تسلسل (أو أي تسلسل آخر)، فإننا نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات.
ما هو احتمال الحصول على رأس في الرمية الأولى وكتابة في الرمية الثانية والثالثة؟

ولكن إذا أردنا أن نعرف ما هو احتمال الحصول على واحدة من عدة تسلسلات، على سبيل المثال، عندما تظهر الرؤوس مرة واحدة بالضبط، أي. الخيارات، ثم يجب علينا جمع احتمالات هذه التسلسلات.

مجموع الخيارات تناسبنا.

يمكننا الحصول على نفس الشيء عن طريق جمع احتمالات حدوث كل تسلسل:

وبالتالي، فإننا نضيف الاحتمالات عندما نريد تحديد احتمالية حدوث تسلسلات معينة وغير متسقة من الأحداث.

هناك قاعدة رائعة تساعدك على تجنب الخلط بين متى تضرب ومتى تضيف:

دعونا نعود إلى المثال الذي قمنا فيه بإلقاء عملة معدنية مرة واحدة وأردنا معرفة احتمال رؤية الصورة مرة واحدة.
ما الذي سيحدث؟

يجب أن تسقط:
(رؤوس وذيول وذيول) أو (ذيول ورؤوس وذيول) أو (ذيول وذيول ورؤوس).
هكذا اتضح:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 5.

هناك أقلام رصاص في الصندوق. الأحمر والأخضر والبرتقالي والأصفر والأسود. ما هو احتمال رسم أقلام الرصاص الحمراء أو الخضراء؟

حل:

مثال 6.

إذا ألقي حجر النرد مرتين، فما احتمال الحصول على العدد الإجمالي 8؟

حل.

كيف يمكننا الحصول على النقاط؟

(و) أو (و) أو (و) أو (و) أو (و).

احتمال الحصول على وجه واحد (أي) هو .

نحسب الاحتمال:

تمرين.

أعتقد أنك الآن تفهم متى تحتاج إلى حساب الاحتمالات، ومتى تضيفها، ومتى تضربها. أليس كذلك؟ دعونا نتدرب قليلا.

مهام:

لنأخذ مجموعة بطاقات تحتوي على بطاقات تتضمن البستوني والقلوب و13 مضربًا و13 ماسة. من إلى الآس من كل دعوى.

1. ما هو احتمال سحب الأندية على التوالي (نضع البطاقة الأولى التي تم سحبها مرة أخرى في المجموعة ونقوم بخلطها)؟
2. ما هو احتمال سحب البطاقة السوداء (البستوني أو الهراوات)؟
3. ما هو احتمال رسم صورة (جاك، الملكة، الملك أو الآس)؟
4. ما هو احتمال رسم صورتين متتاليتين (نزيل البطاقة الأولى المسحوبة من المجموعة)؟
5. ما هو احتمال، عند أخذ ورقتين، لجمع مجموعة - (جاك، الملكة أو الملك) والآس؟التسلسل الذي يتم سحب البطاقات به لا يهم.

الإجابات:

إذا تمكنت من حل جميع المشاكل بنفسك، فأنت عظيم! الآن سوف تتمكن من حل مسائل نظرية الاحتمالات في امتحان الدولة الموحدة مثل المكسرات!

نظرية الاحتمالات. مستوى متوسط

لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أننا رمينا حجر النرد. أي نوع من العظام هذا، هل تعلم؟ وهذا ما يسمونه المكعب الذي به أرقام على وجوهه. كم عدد الوجوه، العديد من الأرقام: من إلى كم؟ قبل.

لذلك نحن نرمي النرد ونريد أن يأتي أو. ونحن نحصل عليه.

في نظرية الاحتمالات يقولون ما حدث الحدث الميمون(يجب عدم الخلط بينه وبين الازدهار).

إذا حدث ذلك، فإن الحدث سيكون مناسبا أيضا. في المجمل، يمكن أن يحدث حدثان إيجابيان فقط.

كم منهم غير مواتية؟ نظرًا لوجود إجمالي الأحداث المحتملة، فهذا يعني أن الأحداث غير المواتية هي أحداث (هذا إذا أو سقط).

تعريف:

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة. وهذا يعني أن الاحتمال يوضح نسبة جميع الأحداث الممكنة التي تكون مواتية.

إنها تشير إلى الاحتمال بحرف لاتيني (على ما يبدو من الكلمة الإنجليزية احتمال - احتمال).

من المعتاد قياس الاحتمال كنسبة مئوية (انظر الموضوع). للقيام بذلك، يجب ضرب قيمة الاحتمال. في مثال النرد، الاحتمال.

وبالنسبة : .

أمثلة (قرر بنفسك):

1. ما هو احتمال ظهور الصورة عند رمي قطعة نقود؟ ما هو احتمال هبوط الرؤوس؟
2. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي حجر النرد؟ أيهما غريب؟
3. في علبة أقلام رصاص بسيطة باللونين الأزرق والأحمر. نرسم قلم رصاص واحد بشكل عشوائي. ما هو احتمال الحصول على واحدة بسيطة؟

حلول:

1. كم عدد الخيارات الموجودة؟ الرؤوس والذيول - اثنان فقط. كم منهم مواتية؟ واحد فقط هو النسر. لذلك الاحتمال

   إنه نفس الشيء مع ذيول: .

2. إجمالي الخيارات: (كم عدد جوانب المكعب، والعديد من الخيارات المختلفة). المفضلة: (هذه كلها أرقام زوجية:).
   احتمالا. وبطبيعة الحال، نفس الشيء مع الأرقام الفردية.
3. المجموع: . ملائم: . احتمالا: .

الاحتمال الإجمالي

جميع أقلام الرصاص الموجودة في الصندوق باللون الأخضر. ما هو احتمال رسم قلم رصاص أحمر؟ لا توجد فرص: احتمال (بعد كل شيء، أحداث مواتية -).

مثل هذا الحدث يسمى مستحيل.

ما هو احتمال رسم قلم رصاص أخضر؟ يوجد بالضبط نفس عدد الأحداث المواتية مثل إجمالي الأحداث (جميع الأحداث مواتية). وبالتالي فإن الاحتمال يساوي أو.

مثل هذا الحدث يسمى موثوق.

إذا كان الصندوق يحتوي على أقلام رصاص باللونين الأخضر والأحمر، فما احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟ مرة أخرى. لنلاحظ ما يلي: احتمال سحب اللون الأخضر متساوٍ، والأحمر متساوٍ.

باختصار، هذه الاحتمالات متساوية تمامًا. إنه، مجموع احتمالات كل الأحداث الممكنة يساوي أو.

مثال:

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال عدم الرسم باللون الأخضر؟

حل:

نتذكر أن كل الاحتمالات تضيف ما يصل. واحتمال الحصول على اللون الأخضر متساوي. وهذا يعني أن احتمال عدم رسم اللون الأخضر متساوي.

تذكر هذه الخدعة:احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

الأحداث المستقلة وقاعدة الضرب

تقلب عملة معدنية مرة واحدة وتريد أن تظهر لك الصورة في المرتين. ما هو احتمال هذا؟

دعنا نستعرض جميع الخيارات الممكنة ونحدد عددها:

رؤوس - رؤوس، رؤوس - ذيول، رؤوس - ذيول، ذيول - ذيول. ماذا بعد؟

إجمالي الخيارات. من بين هؤلاء، واحد فقط يناسبنا: النسر النسر. في المجمل، الاحتمال متساوي.

بخير. الآن دعونا نقلب عملة معدنية مرة واحدة. قم بالحسابات بنفسك. حدث؟ (إجابة).

ربما لاحظت أنه مع إضافة كل رمية لاحقة، ينخفض ​​الاحتمال بمقدار النصف. القاعدة العامة تسمى قاعدة الضرب:

تتغير احتمالات الأحداث المستقلة.

ما هي الأحداث المستقلة؟ كل شيء منطقي: هؤلاء هم الذين لا يعتمدون على بعضهم البعض. على سبيل المثال، عندما نرمي عملة معدنية عدة مرات، في كل مرة يتم إجراء رمية جديدة، لا تعتمد نتيجتها على جميع الرميات السابقة. يمكننا بسهولة رمي عملتين مختلفتين في نفس الوقت.

مزيد من الأمثلة:

1. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول عليه في المرتين؟
2. يتم رمي العملة مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الصورة على الوجه في المرة الأولى ثم الكتابة على الوجه مرتين؟
3. يرمي اللاعب قطعتين من النرد. ما هو احتمال أن يكون مجموع الأرقام الموجودة عليها متساويا؟

الإجابات:

1. الأحداث مستقلة، مما يعني أن قاعدة الضرب تعمل: .
2. احتمال الرؤوس متساوي. احتمال ذيول هو نفسه. تتضاعف:
3. لا يمكن الحصول على 12 إلا إذا تم دحرجة اثنين -ki: .

الأحداث غير المتوافقة وقاعدة الإضافة

الأحداث التي تكمل بعضها البعض إلى حد الاحتمال الكامل تسمى غير متوافقة. وكما يوحي الاسم، لا يمكن أن يحدثا في وقت واحد. على سبيل المثال، إذا قمنا بقلب عملة معدنية، فمن الممكن أن تظهر الصورة أو الكتابة.

مثال.

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟

حل .

احتمال الرسم بقلم رصاص أخضر متساوي. أحمر - .

الأحداث المواتية للجميع: أخضر + أحمر. وهذا يعني أن احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر متساوي.

يمكن تمثيل نفس الاحتمال في هذا النموذج: .

هذه هي قاعدة الإضافة:احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

مشاكل من النوع المختلط

مثال.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال أن تكون نتائج اللفات مختلفة؟

حل .

وهذا يعني أنه إذا كانت النتيجة الأولى هي الرؤوس، فيجب أن تكون النتيجة الثانية الذيل، والعكس صحيح. اتضح أن هناك زوجين من الأحداث المستقلة، وهذه الأزواج غير متوافقة مع بعضها البعض. كيف لا تحتار بشأن مكان الضرب ومكان الإضافة.

هناك قاعدة بسيطة لمثل هذه المواقف. حاول وصف ما سيحدث باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR". على سبيل المثال، في هذه الحالة:

يجب أن يأتي (الرؤوس والذيول) أو (الذيول والرؤوس).

حيثما يوجد حرف العطف "و" يكون الضرب، وحيثما يكون "أو" يكون الجمع:

جربها بنفسك:

1. ما هو احتمال أنه إذا ألقيت قطعة نقد مرتين، فإن العملة ستستقر على نفس الجانب في المرتين؟
2. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول على مجموع النقاط؟

حلول:

مثال آخر:

إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة على الأقل؟

حل:

نظرية الاحتمالات. باختصار عن الأشياء الرئيسية

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة.

أحداث مستقلة

يكون الحدثان مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يغير من احتمال وقوع الآخر.

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

احتمال تسلسل معين من الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث

أحداث غير متوافقة

الأحداث غير المتوافقة هي تلك التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد نتيجة للتجربة. يشكل عدد من الأحداث غير المتوافقة مجموعة كاملة من الأحداث.

احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

بعد وصف ما يجب أن يحدث، باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR"، بدلاً من "AND" نضع علامة الضرب، وبدلاً من "OR" نضع علامة الجمع.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

احتمالا- رقم بين 0 و 1 يعكس احتمالات وقوع حدث عشوائي، حيث 0 هو الغياب التام لاحتمال وقوع الحدث، و 1 يعني أن الحدث المعني سيحدث بالتأكيد.

احتمال الحدث E هو رقم من إلى 1.
مجموع احتمالات الأحداث المتنافية يساوي 1.

الاحتمال التجريبي- الاحتمالية، والتي يتم حسابها على أنها التكرار النسبي لحدث ما في الماضي، ويتم استخلاصها من تحليل البيانات التاريخية.

لا يمكن حساب احتمالية الأحداث النادرة جدًا تجريبيًا.

احتمال شخصي- الاحتمالية بناءً على تقييم شخصي شخصي لحدث ما بغض النظر عن البيانات التاريخية. غالبًا ما يتصرف المستثمرون الذين يتخذون قرارات شراء وبيع الأسهم بناءً على اعتبارات الاحتمالية الذاتية.

احتمال مسبق -

الفرصة هي 1 في... (احتمالات) أن يحدث حدث من خلال مفهوم الاحتمال. يتم التعبير عن فرصة وقوع حدث ما من خلال الاحتمالية على النحو التالي: P/(1-P).

على سبيل المثال، إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو 0.5، فإن احتمال وقوع الحدث هو 1 من 2 لأن 0.5/(1-0.5).

يتم حساب احتمال عدم وقوع حدث باستخدام الصيغة (1-P)/P

احتمال غير متناسق- على سبيل المثال، سعر أسهم الشركة (أ) يأخذ في الاعتبار الحدث المحتمل (هـ) بنسبة 85%، وسعر أسهم الشركة (ب) يأخذ في الاعتبار 50% فقط. وهذا ما يسمى الاحتمال غير المتسق. وفقا لنظرية الرهان الهولندية، فإن الاحتمالية غير المتسقة تخلق فرصا للربح.

احتمال غير مشروطهي إجابة السؤال "ما هو احتمال وقوع الحدث؟"

احتمال مشروط- هذا هو الجواب على السؤال: "ما هو احتمال وقوع الحدث أ إذا وقع الحدث ب". يُشار إلى الاحتمال الشرطي بالرمز P(A|B).

الاحتمال المشترك- احتمال وقوع الحدثين A و B في وقت واحد. يشار إليها باسم P (AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

ف(AB) = ف(أ|ب)*ف(ب)

قاعدة جمع الاحتمالات:

احتمال وقوع الحدث A أو الحدث B هو

ف (أ أو ب) = ف(أ) + ف(ب) - ف(AB) (2)

إذا كان الحدثان A وB متنافيان، فإن

ف (أ أو ب) = ف (أ) + ف (ب)

أحداث مستقلة- الحدثان A و B مستقلان إذا

ف(أ|ب) = ف(أ)، ف(ب|أ) = ف(ب)

أي أنها سلسلة من النتائج حيث تكون قيمة الاحتمال ثابتة من حدث إلى آخر.
تعتبر رمية العملة المعدنية مثالاً على مثل هذا الحدث - فنتيجة كل رمية لاحقة لا تعتمد على نتيجة الرميات السابقة.

الأحداث التابعة- هي الأحداث التي يعتمد احتمال وقوع إحداها على احتمال وقوع أخرى.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
إذا كان الحدثان A وB مستقلين، إذن

ف(AB) = ف(أ) * ف(ب) (3)

قاعدة الاحتمالية الإجمالية:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S وS" حدثان متنافيان

القيمة المتوقعةالمتغير العشوائي هو متوسط ​​النتائج المحتملة للمتغير العشوائي. بالنسبة للحدث X، يُشار إلى التوقع بالرمز E(X).

لنفترض أن لدينا 5 قيم لأحداث متنافية مع احتمال معين (على سبيل المثال، كان دخل الشركة كذا وكذا المبلغ مع مثل هذا الاحتمال). القيمة المتوقعة هي مجموع جميع النتائج مضروبة في احتماليتها:

تشتت المتغير العشوائي هو توقع الانحرافات المربعة للمتغير العشوائي عن توقعه:

ق 2 = ه( 2 ) (6)

القيمة المتوقعة المشروطة هي القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي X، بشرط أن يكون الحدث S قد وقع بالفعل.

في الاقتصاد، كما هو الحال في مجالات أخرى من النشاط البشري أو في الطبيعة، يتعين علينا دائمًا التعامل مع الأحداث التي لا يمكن التنبؤ بها بدقة. وبالتالي، يعتمد حجم مبيعات المنتج على الطلب، والذي يمكن أن يختلف بشكل كبير، وعلى عدد من العوامل الأخرى التي يكاد يكون من المستحيل أخذها بعين الاعتبار. لذلك، عند تنظيم الإنتاج وتنفيذ المبيعات، عليك التنبؤ بنتائج هذه الأنشطة على أساس تجربتك السابقة، أو تجربة مماثلة لأشخاص آخرين، أو الحدس، الذي يعتمد أيضًا إلى حد كبير على البيانات التجريبية.

من أجل تقييم الحدث المعني بطريقة أو بأخرى، من الضروري مراعاة الظروف التي يتم تسجيل هذا الحدث فيها أو تنظيمها بشكل خاص.

يسمى تنفيذ شروط أو إجراءات معينة لتحديد الحدث المعني خبرةأو تجربة.

الحدث يسمى عشوائي، إذا كان نتيجة للتجربة قد يحدث أو لا يحدث.

الحدث يسمى موثوق، إذا ظهر بالضرورة نتيجة لتجربة معينة، و مستحيل، إذا لم يتمكن من الظهور في هذه التجربة.

على سبيل المثال، يعد تساقط الثلوج في موسكو يوم 30 نوفمبر حدثًا عشوائيًا. يمكن اعتبار شروق الشمس اليومي حدثًا موثوقًا به. يمكن اعتبار تساقط الثلوج عند خط الاستواء حدثا مستحيلا.

إحدى المهام الرئيسية في نظرية الاحتمالات هي مهمة تحديد مقياس كمي لاحتمال وقوع حدث ما.

جبر الأحداث

تسمى الأحداث غير متوافقة إذا لم يكن من الممكن ملاحظتها معًا في نفس التجربة. وبالتالي فإن وجود سيارتين وثلاث سيارات في متجر واحد للبيع في نفس الوقت يعد حدثين غير متوافقين.

كميةالأحداث هي حدث يتكون من وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث

مثال على مجموع الأحداث هو وجود منتج واحد على الأقل من منتجين في المتجر.

العملالأحداث هي حدث يتكون من حدوث كل هذه الأحداث في وقت واحد

الحدث الذي يتكون من ظهور سلعتين في المتجر في نفس الوقت هو نتاج أحداث: - ظهور منتج واحد، - ظهور منتج آخر.

تشكل الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث إذا كان من المؤكد حدوث واحد منها على الأقل في التجربة.

مثال.يحتوي الميناء على رصيفين لاستقبال السفن. يمكن اعتبار ثلاثة أحداث: - غياب السفن على الأرصفة، - وجود سفينة واحدة على أحد الأرصفة، - وجود سفينتين على الرصيفين. تشكل هذه الأحداث الثلاثة مجموعة كاملة من الأحداث.

عكسيتم استدعاء حدثين محتملين فريدين يشكلان مجموعة كاملة.

إذا كان أحد الأحداث المعاكسة يُشار إليه بالرمز، فعادةً ما يُشار إلى الحدث المعاكس بالرمز .

التعريفات الكلاسيكية والإحصائية لاحتمال الحدث

تسمى كل نتيجة من نتائج الاختبارات (التجارب) المحتملة بالتساوي بالنتيجة الأولية. وعادة ما يتم تحديدها بالحروف. على سبيل المثال، تم رمي حجر النرد. يمكن أن يكون هناك إجمالي ستة نتائج أولية بناءً على عدد النقاط الموجودة على الجانبين.

من النتائج الأولية، يمكنك إنشاء حدث أكثر تعقيدا. وبالتالي، فإن حدث عدد زوجي من النقاط يتحدد بثلاث نتائج: 2، 4، 6.

المقياس الكمي لاحتمال وقوع الحدث المعني هو الاحتمال.

التعريفات الأكثر استخدامًا لاحتمال وقوع حدث هي: كلاسيكيو إحصائية.

يرتبط التعريف الكلاسيكي للاحتمال بمفهوم النتيجة الإيجابية.

تسمى النتيجة ملائملحدث معين إذا كان وقوعه يستلزم وقوع هذا الحدث.

في المثال أعلاه، الحدث المعني - عدد زوجي من النقاط على الجانب المتدحرج - له ثلاث نتائج إيجابية. في هذه الحالة الجنرال
عدد النتائج المحتملة وهذا يعني أنه يمكن هنا استخدام التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث ما.

التعريف الكلاسيكييساوي نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة

حيث احتمال الحدث، هو عدد النتائج المفضلة للحدث، هو العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

في المثال المعتبر

يرتبط التعريف الإحصائي للاحتمال بمفهوم التكرار النسبي لحدوث حدث ما في التجارب.

يتم حساب التكرار النسبي لحدوث حدث ما باستخدام الصيغة

أين هو عدد مرات حدوث حدث ما في سلسلة من التجارب (الاختبارات).

التعريف الإحصائي. احتمال وقوع حدث ما هو الرقم الذي يستقر حوله التردد النسبي (مجموعات) مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب.

في المسائل العملية، يعتبر احتمال وقوع حدث ما هو التكرار النسبي لعدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب.

من هذه التعريفات لاحتمال وقوع حدث ما، من الواضح أن عدم المساواة يتم تلبيتها دائمًا

لتحديد احتمالية حدث ما بناءً على الصيغة (1.1)، غالبًا ما يتم استخدام الصيغ التوافقية، والتي تُستخدم للعثور على عدد النتائج المفضلة والعدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

ومن الواضح أن كل حدث لديه درجة متفاوتة من احتمال حدوثه (تنفيذه). ومن أجل المقارنة الكمية بين الأحداث مع بعضها البعض حسب درجة احتماليتها، فمن الواضح أنه من الضروري ربط عدد معين بكل حدث، وكلما كان الحدث أكبر كلما كان الحدث أكثر احتمالا. ويسمى هذا الرقم احتمال وقوع حدث.

احتمالية وقوع الحدث– هو مقياس عددي لدرجة الاحتمال الموضوعي لحدوث هذا الحدث.

خذ بعين الاعتبار تجربة عشوائية وحدثًا عشوائيًا (أ) تمت ملاحظته في هذه التجربة. دعونا نكرر هذه التجربة n مرات ونجعل m(A) هو عدد التجارب التي وقع فيها الحدث A.

العلاقة (1.1)

مُسَمًّى التردد النسبيالأحداث A في سلسلة التجارب التي تم إجراؤها.

من السهل التحقق من صحة الخصائص:

إذا كان A وB غير متناسقين (AB=)، إذن ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

يتم تحديد التكرار النسبي فقط بعد سلسلة من التجارب، وبشكل عام، يمكن أن يختلف من سلسلة إلى أخرى. ومع ذلك، تظهر التجربة أنه في كثير من الحالات، مع زيادة عدد التجارب، يقترب التكرار النسبي من عدد معين. لقد تم التحقق من حقيقة استقرار التردد النسبي هذه مرارًا وتكرارًا ويمكن اعتبارها مثبتة تجريبياً.

مثال 1.19.. إذا رميت عملة معدنية واحدة، فلن يتمكن أحد من توقع الجانب الذي ستستقر فيه العملة في الأعلى. ولكن إذا قمت برمي طنين من العملات المعدنية، فسيقول الجميع أن حوالي طن واحد سوف يسقط مع شعار النبالة، أي أن التردد النسبي لسقوط شعار النبالة يبلغ حوالي 0.5.

إذا، مع زيادة عدد التجارب، إذا كان التكرار النسبي للحدث ν(A) يميل إلى عدد ثابت معين، فيقال: الحدث A مستقر إحصائيا، ويسمى هذا الرقم احتمال الحدث أ.

احتمالية وقوع الحدث أيتم استدعاء بعض الأرقام الثابتة P(A)، والتي يميل التردد النسبي ν(A) لهذا الحدث مع زيادة عدد التجارب، أي،

ويسمى هذا التعريف التحديد الإحصائي للاحتمال .

دعونا نفكر في تجربة عشوائية معينة ونجعل مساحة أحداثها الأولية تتكون من مجموعة محدودة أو لا نهائية (ولكن قابلة للعد) من الأحداث الأولية ω 1، ω 2، …، ω i، …. لنفترض أن كل حدث أولي ω i يتم تعيين رقم معين له - ω i، يصف درجة احتمال حدوث حدث أولي معين ويلبي الخصائص التالية:

هذا الرقم p i يسمى احتمال وقوع حدث ابتدائيωi.

لنفترض الآن أن A حدث عشوائي تمت ملاحظته في هذه التجربة، ولنجعله يتوافق مع مجموعة معينة

في هذا الإعداد احتمال وقوع حدث أ اذكر مجموع احتمالات الأحداث الأولية لصالح A(المدرجة في المجموعة المقابلة أ):

(1.4)

الاحتمال المقدم بهذه الطريقة له نفس خصائص التكرار النسبي، وهي:

وإذا كان AB = (A وB غير متوافقين)،

ثم P(A+B) = P(A) + P(B)

وبالفعل حسب (1.4)

في العلاقة الأخيرة استفدنا من حقيقة أنه لا يوجد حدث أولي واحد يمكنه تفضيل حدثين غير متوافقين في نفس الوقت.

ونلاحظ بشكل خاص أن نظرية الاحتمالات لا تشير إلى طرق لتحديد p i؛ بل يجب البحث عنها لأسباب عملية أو الحصول عليها من تجربة إحصائية مقابلة.

على سبيل المثال، النظر في المخطط الكلاسيكي لنظرية الاحتمالات. للقيام بذلك، فكر في تجربة عشوائية، يتكون فضاء الأحداث الأولية فيها من عدد محدود (n) من العناصر. لنفترض بالإضافة إلى ذلك أن كل هذه الأحداث الأولية ممكنة بالتساوي، أي أن احتمالات الأحداث الأولية تساوي p(ω i)=p i =p. إنه يتبع هذا

مثال 1.20. عند رمي عملة معدنية متناظرة، يكون الحصول على الصورة والكتابة ممكنًا بنفس القدر، واحتمالاتهما تساوي 0.5.

مثال 1.21. عند رمي حجر نرد متماثل، تكون جميع الوجوه ممكنة بالتساوي، واحتمالاتها تساوي 1/6.

الآن دع الحدث A يتم تفضيله بواسطة الأحداث الأولية، وعادة ما يتم استدعاؤها النتائج مواتية للحدث أ. ثم

يملك التعريف الكلاسيكي للاحتمال: احتمال P(A) للحدث A يساوي نسبة عدد النتائج المفضلة للحدث A إلى إجمالي عدد النتائج

مثال 1.22. تحتوي الجرة على كرات m بيضاء و n كرات سوداء. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء؟

حل. العدد الإجمالي للأحداث الأولية هو m+n. وكلها محتملة على قدم المساواة. الحدث المواتي أ منها م. لذلك، .

الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمال:

الخاصية 1. احتمال وقوع حدث موثوق يساوي واحدًا.

في الواقع، إذا كان الحدث موثوقًا به، فإن كل نتيجة أولية للاختبار تفضل الحدث. في هذه الحالة ر = ع،لذلك،

ف(أ)=م/ن=ن/ن=1.(1.6)

الملكية 2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

في الواقع، إذا كان حدث ما مستحيلًا، فلن تكون أي من النتائج الأولية للاختبار لصالح الحدث. في هذه الحالة ت= 0، وبالتالي، ف(أ)=م/ن=0/ن=0. (1.7)

الملكية 3.احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب يقع بين صفر وواحد.

في الواقع، جزء فقط من العدد الإجمالي للنتائج الأولية للاختبار يتم تفضيله بواسطة حدث عشوائي. أي أن 0≤m≤n والتي تعني 0≤m/n≥1، وبالتالي فإن احتمال أي حدث يحقق المتراجحة المزدوجة 0≥ ف (أ) ≤1. (1.8)

وبمقارنة تعريفي الاحتمال (1.5) والتكرار النسبي (1.1) نستنتج: تعريف الاحتمال لا يتطلب إجراء الاختبارفي الحقيقة؛ تعريف التردد النسبي يفترض ذلك تم إجراء الاختبارات بالفعل. بعبارة أخرى، يتم حساب الاحتمال قبل التجربة، والتكرار النسبي - بعد التجربة.

ومع ذلك، فإن حساب الاحتمال يتطلب معلومات أولية حول عدد أو احتمالات النتائج الأولية المفضلة لحدث معين. في حالة عدم وجود مثل هذه المعلومات الأولية، يتم استخدام البيانات التجريبية لتحديد الاحتمالية، أي يتم تحديد التكرار النسبي للحدث بناءً على نتائج تجربة عشوائية.

مثال 1.23. قسم الرقابة الفنية اكتشف 3أجزاء غير قياسية في مجموعة مكونة من 80 جزءًا تم اختيارها عشوائيًا. التكرار النسبي لحدوث الأجزاء غير القياسية ص (أ)= 3/80.

مثال 1.24. وفقا للغرض 24 إطلاق نار، وتسجيل 19 إصابة. معدل إصابة الهدف النسبي. ص (أ)=19/24.

أظهرت الملاحظات طويلة المدى أنه إذا تم إجراء التجارب في ظل ظروف متطابقة، حيث يكون عدد الاختبارات كبيرًا بما فيه الكفاية، فإن التكرار النسبي يُظهر خاصية الاستقرار. هذه الخاصية أنه في تجارب مختلفة يتغير التكرار النسبي قليلاً (كلما قل ذلك، زاد عدد الاختبارات التي يتم إجراؤها)، ويتقلب حول رقم ثابت معين.اتضح أن هذا الرقم الثابت يمكن اعتباره قيمة تقريبية للاحتمال.

سيتم وصف العلاقة بين التكرار النسبي والاحتمالية بمزيد من التفصيل وبشكل أكثر دقة أدناه. والآن دعونا نوضح خاصية الثبات بالأمثلة.

مثال 1.25. وفقاً للإحصائيات السويدية، فإن التكرار النسبي لولادات الفتيات لعام 1935 حسب الشهر يتميز بالأرقام التالية (الأرقام مرتبة حسب الأشهر، بدءاً من يناير): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

ويتراوح التكرار النسبي حول الرقم 0.481، والذي يمكن اعتباره قيمة تقريبية لاحتمال إنجاب البنات.

لاحظ أن البيانات الإحصائية من بلدان مختلفة تعطي تقريبًا نفس قيمة التكرار النسبي.

مثال 1.26.تم إجراء تجارب رمي العملة عدة مرات، حيث تم حساب عدد مرات ظهور "شعار النبالة". يتم عرض نتائج العديد من التجارب في الجدول.