Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate mõistma, mis tüüpi see on.
Üldine teooria
Prisma on iga hulktahukas, mille külgedel on rööpküliku kuju. Veelgi enam, selle alus võib olla mis tahes hulktahukas - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati üksteisega võrdsed. Külgpindade kohta ei kehti see, et nende suurus võib oluliselt erineda.
Probleemide lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. See võib nõuda teadmisi külgpinnast, st kõigist tahkudest, mis ei ole alused. Kogu pind on kõigi prisma moodustavate tahkude liit.
Mõnikord on probleemid seotud kõrgusega. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.
Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluspind ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemisel ja alumisel küljel on samad arvud, on nende alad võrdsed.
Kolmnurkne prisma
Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. Nagu teate, võib see olla erinev. Kui jah, siis piisab, kui meeles pidada, et selle pindala määrab pool jalgade tootest.
Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.
Baasi pindala väljaselgitamiseks üldine vaade, on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge on võetud selle külge tõmmatud kõrgusele.
Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). See märge sisaldab poolperimeetrit (p), see tähendab kolme külje summa jagatud kahega.
Teiseks: S = ½ n a * a.
Kui soovite välja selgitada kolmnurkse prisma aluse pindala, mis on korrapärane, osutub kolmnurk võrdkülgseks. Selle jaoks on valem: S = ¼ a 2 * √3.
Nelinurkne prisma
Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.
Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = ab, kus a, b on ristküliku küljed.
Millal me räägime nelinurkse prisma kohta, siis arvutatakse tavalise prisma aluse pindala ruudu valemi abil. Sest see on tema, kes asub vundamendil. S = a 2.
Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S = a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendavat valemit: n a = b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus n on selle nurga vastas.
Kui prisma põhjas on romb, siis selle pindala määramiseks vajate sama valemit nagu rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.
Regulaarne viisnurkne prisma
See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille pindalasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujunditel võib olla erinev arv tippe.
Kuna prisma põhi on korrapärane viisnurk, saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.
Regulaarne kuusnurkne prisma
Kasutades viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtet, on võimalik aluse kuusnurk jagada 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluspinna valem on sarnane eelmisele. Ainult see tuleks korrutada kuuega.
Valem näeb välja selline: S = 3/2 a 2 * √3.
Ülesanded
Nr 1. Arvestades korrapärast sirget, on selle diagonaal 22 cm, hulktahuka kõrgus on 14 cm. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala.
Lahendus. Prisma põhi on ruut, kuid selle külg on teadmata. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (h). x 2 = d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment “x” hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, et x 2 = a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd saate lihtsalt teada aluse pindala: 12 * 12 = 144 cm 2.
Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna ja neljakordistama külgpinna. Viimast saab hõlpsasti leida, kasutades ristküliku valemit: korrutage hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindalaks osutub 960 cm2.
Vastus. Prisma aluse pindala on 144 cm2. Kogu pind on 960 cm2.
Nr 2. Antud Alusel on kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm Arvutage pindalad: alus ja külgpind.
Lahendus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu osutub selle pindala võrdseks 6 ruuduga, korrutatuna ¼-ga ja ruutjuurega 3. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.
Kõik külgpinnad on ühesugused ja on ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindala arvutamiseks lihtsalt korrutage need arvud. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Siis osutub haava külgpinna pindalaks 180 cm 2.
Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Tavalise kolmnurkse prisma ABCA_1B_1C_1 korral on aluse küljed 4 ja külgmised servad 10. Leidke prisma ristlõikepindala tasapinnaga, mis läbib servade AB, AC, A_1B_1 ja A_1C_1 keskpunkte.
Näita lahendustLahendus
Mõelge järgmisele joonisele.
Lõik MN on seega kolmnurga A_1B_1C_1 keskjoon MN = \frac12 B_1C_1=2. Samamoodi KL=\frac12BC=2. Lisaks MK = NL = 10. Sellest järeldub, et nelinurk MNLK on rööpkülik. Kuna MK\paralleel AA_1, siis MK\perp ABC ja MK\perp KL. Seetõttu on nelinurk MNLK ristkülik. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.
Vastus
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Tavalise nelinurkse prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 ruumala on 24 . Punkt K on serva CC_1 keskpunkt. Leidke püramiidi KBCD ruumala.
Lahendus
Tingimuse järgi on KC püramiidi KBCD kõrgus. CC_1 on prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 kõrgus.
Kuna K on CC_1 keskpunkt, siis KC=\frac12CC_1. Olgu siis CC_1=H KC=\frac12H. Pange tähele ka seda S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Siis V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Seega V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.
Vastus
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Leidke korrapärase kuusnurkse prisma külgpindala, mille põhikülg on 6 ja kõrgus on 8.
.png)
Lahendus
Prisma külgpinna pindala leitakse valemiga S pool. = P põhiline · h = 6a\cdot h, kus P põhiline. ja h on vastavalt aluse ümbermõõt ja prisma kõrgus, mis on võrdne 8-ga ning a on korrapärase kuusnurga külg, mis on võrdne 6-ga. Seega S pool. = 6\cpunkt 6\cpunkt 8 = 288.
Vastus
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Vesi valati tavalise kolmnurkse prisma kujuga anumasse. Veetase ulatub 40 cm.Millisel kõrgusel on veetase, kui see valatakse teise sama kujuga anumasse, mille aluse külg on esimesest kaks korda suurem? Väljendage oma vastust sentimeetrites.
Lahendus
Olgu a esimese anuma aluse külg, siis 2 a on teise anuma aluse külg. Tingimuse järgi on vedeliku V maht esimeses ja teises anumas sama. Tähistame H-ga taseme, milleni vedelik on teises anumas tõusnud. Siis V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, ja V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Siit \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4H, H = 10.
Vastus
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Tavalise kuusnurkse prisma ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 kõik servad on võrdsed 2-ga. Leidke punktide A ja E_1 vaheline kaugus.
Näita lahendustLahendus
Kolmnurk AEE_1 on ristkülikukujuline, kuna serv EE_1 on prisma aluse tasapinnaga risti, on nurk AEE_1 täisnurk.
.png)
Seejärel Pythagorase teoreemi järgi AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Leiame koosinusteoreemi abil kolmnurga AFE AE. Iga sisemine nurk korrapärase kuusnurga suurus on 120^(\circ). Siis AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).
Seega AE^2=4+4+4=12,
AE_1^2=12+4=16,
AE_1=4.
Vastus
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Leidke sirge prisma külgpindala, mille põhjas asub romb, mille diagonaalid on võrdsed 4\sqrt5 ja 8 ning külgserv 5.
Lahendus
Sirge prisma külgpinna pindala leitakse valemiga S pool. = P põhiline · h = 4a\cdot h, kus P põhiline. ja h vastavalt aluse ümbermõõt ja prisma kõrgus, mis on võrdne 5-ga ning a on rombi külg. Leiame rombi külje, kasutades seda, et rombi ABCD diagonaalid on üksteisega risti ja poolitavad lõikepunktiga.
Oletame, et peame leidma täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala, mille põhipind on võrdne S-ga ja kõrgus on võrdne h= AA’ = BB’ = CC’ (joonis 306).Joonestame eraldi prisma aluse ehk kolmnurga ABC (joon. 307, a) ja ehitame üles ristkülikuks, mille jaoks tõmbame läbi tipu B sirge KM || AC ning punktidest A ja C langetame perpendikulaarid AF ja CE sellele sirgele. Saame ristküliku ACEF. Joonistades kolmnurga ABC kõrguse ВD, näeme, et ristkülik ACEF on jagatud 4 täisnurkseks kolmnurgaks. Veelgi enam, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD ja \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. See tähendab, et ristküliku ACEF pindala on kaks korda suurem kui kolmnurga ABC pindala, st võrdne 2S-ga.
Sellele ABC-aluse prismale kinnitame prismad alustega ALL ja BAF ning kõrgusega h(joonis 307, b). Saame ristkülikukujulise rööptahuka, millel on ACEF alus.
Kui lahkame seda rööptahukat tasapinnaga, mis läbib sirgeid BD ja BB’, siis näeme, et ristkülikukujuline rööptahukas koosneb 4 prismast, mille alused on BCD, ALL, BAD ja BAF.
BCD ja BC alustega prismasid saab kombineerida, kuna nende alused on võrdsed (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) ja võrdsed on ka nende külgservad, mis on risti sama tasapinnaga. See tähendab, et nende prismade mahud on võrdsed. Samuti on võrdsed prismade mahud alustega BAD ja BAF.
Seega selgub, et antud kolmnurkse prisma ruumala, millel on alus ABC, on pool mahust ristkülikukujuline rööptahukas ACEF alusega.
Teame, et ristkülikukujulise rööptahuka ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega, s.o. sel juhul võrdne 2S-ga h. Seega on selle täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala võrdne S-ga h.
Täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega.
2. Õige hulknurkse prisma ruumala.
Rea helitugevuse leidmiseks hulknurkne prisma, näiteks viisnurkne, aluspinna S ja kõrgusega h, jagame selle kolmnurkseteks prismadeks (joonis 308).
Tähistades kolmnurksete prismade aluspinda S 1, S 2 ja S 3 ning antud hulknurkse prisma ruumala V-ga, saame:
V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, või
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.
Ja lõpuks: V = S h.
Samamoodi tuletatakse valem täisnurkse prisma ruumala kohta, mille põhjas on mis tahes hulknurk.
Tähendab, Mis tahes parempoolse prisma ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega.
Prisma maht
Teoreem. Prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.
Esmalt tõestame selle teoreemi kolmnurkse prisma ja seejärel hulknurkse prisma jaoks.
1) Joonestame (joonis 95) läbi kolmnurkprisma ABCA 1 B 1 C 1 serva AA 1 tasapinnaga BB 1 C 1 C paralleelse tasapinna ja läbi serva CC 1 tasapinnaga AA 1 B 1 B paralleelne tasapind. ; siis jätkame prisma mõlema aluse tasapinda, kuni need lõikuvad joonestatud tasanditega.
Siis saame rööptahuka BD 1, mis on jagatud diagonaaltasandiga AA 1 C 1 C kaheks kolmnurkseks prismaks (millest üks on see). Tõestame, et need prismad on võrdse suurusega. Selleks joonistame risti lõigu abcd. Ristlõige annab rööpküliku, mille diagonaal ac jagub kahega võrdne kolmnurk. Selle prisma suurus on võrdne sirge prismaga, mille alus on \(\Delta\) abc ja kõrgus on serv AA 1. Teine kolmnurkne prisma on pindalalt võrdne sirgjoonega, mille alus on \(\Delta\) adc ja kõrgus on serv AA 1. Kuid kaks sirget võrdse põhja ja võrdse kõrgusega prismat on võrdsed (sest sisestamisel on need ühendatud), mis tähendab, et prismad ABCA 1 B 1 C 1 ja ADCA 1 D 1 C 1 on võrdse suurusega. Sellest järeldub, et selle prisma ruumala on pool rööptahuka BD 1 mahust; seetõttu, tähistades prisma kõrgust H-ga, saame:
$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$
2) Joonistame läbi hulknurkse prisma serva AA 1 diagonaaltasandid AA 1 C 1 C ja AA 1 D 1 D (joonis 96).
Seejärel lõigatakse see prisma mitmeks kolmnurkseks prismaks. Nende prismade mahtude summa moodustab vajaliku mahu. Kui tähistame nende aluste pindalasid b 1 , b 2 , b 3 ja kogukõrgus läbi H, saame:
hulknurkse prisma maht = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =
= (piirkond ABCDE) H.
Tagajärg. Kui V, B ja H on arvud, mis väljendavad vastavates ühikutes prisma mahtu, aluspinda ja kõrgust, siis vastavalt tõestatule võime kirjutada:
Muud materjalidVideokursus “Get an A” sisaldab kõiki edu saavutamiseks vajalikke teemasid ühtse riigieksami sooritamine matemaatikas 60-65 punkti. Täiesti kõik probleemid 1-13 Profiili ühtne riigieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.
Kogu vajalik teooria. Kiired viisid lahendusi, lõkse ja ühtse riigieksami saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. teooria, võrdlusmaterjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Visuaalne selgitus keerulised mõisted. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Ühtse riigieksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.