Ilmselt võiks kirjutada terve raamatu teemal “Kolmnurk”. Aga terve raamatu läbilugemine võtab liiga kaua aega, eks? Seetõttu käsitleme siin ainult fakte, mis on seotud mis tahes kolmnurgaga üldiselt, ja igasuguseid eriteemasid, nagu jne. eraldatud eraldi teemadeks – lugege raamatut tükkidena. Noh, nagu iga kolmnurga puhul.
1. Kolmnurga nurkade summa. Väline nurk.
Pidage kindlalt meeles ja ärge unustage. Me ei tõesta seda (vt järgmisi teooriatasemeid).
Ainus asi, mis võib teid meie sõnastuses segadusse ajada, on sõna "sisemine".
Miks see siin on? Aga just selleks, et rõhutada, et me räägime nurkadest, mis on kolmnurga sees. Kas tõesti on väljas veel mingeid nurki? Kujutage vaid ette, need juhtuvad. Kolmnurgal on ikka välisnurgad. Ja kõige olulisem tagajärg asjaolule, et summa sisemised nurgad kolmnurk on võrdne, puudutab ainult välimist kolmnurka. Nii et uurime välja, mis on see kolmnurga välimine nurk.
Vaadake pilti: võtke kolmnurk ja (oletame) jätkake ühel küljel.
Muidugi võiksime kõrvalt lahkuda ja pool jätkata. Nagu nii:
Kuid nurga kohta ei saa seda mingil juhul öelda. see on keelatud!
Seega ei ole õigust nimetada välisnurgaks mitte iga kolmnurgast väljaspool asuvat nurka, vaid ainult seda, mis on moodustatud üks pool ja teise poole jätk.
Mida peaksime siis välisnurkade kohta teadma?
Vaata, meie pildil tähendab see seda.
Kuidas on see seotud kolmnurga nurkade summaga?
Selgitame välja. Sisenurkade summa on
kuid - kuna ja - on kõrvuti.
Noh, siit see tuleb: .
Kas näete, kui lihtne see on?! Aga väga tähtis. Nii et pidage meeles:
Kolmnurga sisenurkade summa on võrdne ja kolmnurga välisnurk on võrdne kahe sellega mitte külgneva sisenurga summaga.
2. Kolmnurga ebavõrdsus
Järgmine fakt ei puuduta kolmnurga nurki, vaid külgi.
See tähendab et
Kas olete juba arvanud, miks seda fakti nimetatakse kolmnurga ebavõrdsuseks?
Noh, kus saab sellest kolmnurga ebavõrdsusest kasu olla?
Kujutage ette, et teil on kolm sõpra: Kolja, Petja ja Sergei. Ja nii ütleb Kolja: "Minu majast Petya juurde sirgjooneliselt." Ja Petja: "Minu majast Sergei majani, meetrid sirgjooneliselt." Ja Sergei: "See on teile hea, aga minu majast Kolinojeni on see sirge joon." Noh, siin peate ütlema: "Stopp, peatus! Mõned teist valetavad!"
Miks? Jah, sest kui Koljast Petjani on m ja Petjast Sergeini m, siis Koljast Sergeini peab kindlasti vähem () meetreid olema - vastasel juhul rikutakse sama kolmnurga ebavõrdsust. Noh, tervet mõistust on loomulikult loomulikult rikutud: ju kõik teavad lapsepõlvest, et tee sirgjooneni () peaks olema lühem kui tee punktini. (). Seega peegeldab kolmnurga ebavõrdsus lihtsalt seda tuntud tõsiasja. Noh, nüüd teate, kuidas vastata näiteks küsimusele:
Kas kolmnurgal on külgi?
Peate kontrollima, kas vastab tõele, et mis tahes kaks neist kolmest numbrist annavad kokku rohkem kui kolmas. Kontrollime: see tähendab, et külgedega kolmnurka pole olemas! Kuid külgedega - see juhtub, sest
3. Kolmnurkade võrdsus
Noh, mis siis, kui kolmnurki pole mitte üks, vaid kaks või enam. Kuidas kontrollida, kas need on võrdsed? Tegelikult definitsiooni järgi:
Aga... see on kohutavalt ebamugav määratlus! Kuidas, palun öelge, saab kattuda kaks kolmnurka isegi vihikus?! Aga meie õnneks on kolmnurkade võrdsuse märgid, mis võimaldavad teil tegutseda oma mõistusega, ilma oma märkmikke ohtu seadmata.
Ja pealegi, kergemeelsete naljade kõrvale heites annan teile saladuse: matemaatiku jaoks ei tähenda sõna "kolmnurkade katmine" üldse nende välja lõikamist ja peale panemist, vaid paljude, paljude, paljude sõnade ütlemist, mis tõestavad, et kaks kolmnurka langevad üksteise peale. Nii et mitte mingil juhul ei tohiks te oma töösse kirjutada "Ma kontrollisin - kolmnurgad langevad rakendamisel kokku" - nad ei arvesta seda teie jaoks ja neil on õigus, sest keegi ei garanteeri, et te kandideerimisel viga ei teinud, ütleme veerand millimeetrit.
Nii et mõned matemaatikud ütlesid hunniku sõnu, me ei korda neid sõnu pärast neid (välja arvatud võib-olla teooria viimasel tasemel), kuid kasutame aktiivselt kolm kolmnurkade võrdsuse märki.
Igapäevases (matemaatikas) kasutuses on sellised lühendatud sõnastused aktsepteeritud – neid on lihtsam meelde jätta ja rakendada.
- Esimene märk on kahel küljel ja nendevaheline nurk;
- Teine märk on kahes nurgas ja külgneval küljel;
- Kolmas märk on kolmel küljel.
KOLMNURK. LÜHIDALT PEAMISEST
Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest segmendist, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu samal sirgel.
Põhimõisted.
Põhiomadused:
- Iga kolmnurga sisenurkade summa on võrdne, s.t.
- Kolmnurga välisnurk on võrdne kahe sellega mitte külgneva sisenurga summaga, s.t.
või - Kolmnurga mis tahes kahe külje pikkuste summa on suurem kui selle kolmanda külje pikkus, s.o.
- Kolmnurgas asetseb suurem külg suurema nurga vastas ja suurem nurk suurema külje vastas, s.o.
kui, siis ja vastupidi,
kui siis.
Kolmnurkade võrdsuse märgid.
1. Esimene märk- kahel küljel ja nendevahelisel nurgal.
2. Teine märk- kahes nurgas ja külgneval küljel.
3. Kolmas märk- kolmest küljest.
Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.
Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!
Nüüd kõige tähtsam.
Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.
Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...
Milleks?
Ühtse riigieksami eduka sooritamise, eelarvega kõrgkooli astumise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.
Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...
Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.
Kuid see pole peamine.
Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...
Aga mõelge ise...
Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?
SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.
Eksami ajal teooriat ei küsita.
Sa vajad lahendada probleeme ajaga.
Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.
See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.
Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!
Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.
Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.
Kuidas? On kaks võimalust.
- Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
- Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR
Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.
Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.
Kokkuvõtteks...
Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.
“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.
Leia probleemid ja lahenda need!
Üldiselt peetakse kahte kolmnurka sarnaseks, kui neil on sama kuju, isegi kui need on erineva suurusega, pööratud või isegi tagurpidi.
Joonisel kujutatud kahe sarnase kolmnurga A 1 B 1 C 1 ja A 2 B 2 C 2 matemaatiline esitus on kirjutatud järgmiselt:
ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2
Kaks kolmnurka on sarnased, kui:
1. Ühe kolmnurga iga nurk on võrdne teise kolmnurga vastava nurgaga:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2 Ja ∠C 1 = ∠C 2
2. Ühe kolmnurga külgede ja teise kolmnurga külgede suhted on omavahel võrdsed:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. Suhted kaks külgeüks kolmnurk teise kolmnurga vastavatele külgedele on üksteisega võrdsed ja samal ajal
nurgad nende külgede vahel on võrdsed:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ja $\angle A_1 = \angle A_2$
või
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ja $\angle B_1 = \angle B_2$
või
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ja $\angle C_1 = \angle C_2$
Ärge ajage sarnaseid kolmnurki segamini võrdsete kolmnurkadega. Võrdsetel kolmnurkadel on võrdsed vastavad küljepikkused. Seega, ühtsete kolmnurkade puhul:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
Sellest järeldub, et kõik võrdsed kolmnurgad on sarnased. Kuid mitte kõik sarnased kolmnurgad pole võrdsed.
Kuigi ülaltoodud märge näitab, et selleks, et teada saada, kas kaks kolmnurka on sarnased või mitte, peame teadma iga kolmnurga kolme nurga väärtust või kolme külje pikkust, piisab sarnaste kolmnurkade probleemide lahendamiseks teadmisest. mis tahes kolm ülalmainitud väärtust iga kolmnurga jaoks. Need kogused võivad olla erinevates kombinatsioonides:
1) iga kolmnurga kolm nurka (te ei pea teadma kolmnurga külgede pikkust).
Või vähemalt ühe kolmnurga 2 nurka peavad võrduma teise kolmnurga 2 nurgaga.
Kuna kui 2 nurka on võrdsed, siis on ka kolmas nurk võrdne (kolmanda nurga väärtus on 180 - nurk1 - nurk2)
2) iga kolmnurga külgede pikkused (nurki ei pea teadma);
3) kahe külje pikkused ja nendevaheline nurk.
Järgmisena vaatleme mõne ülesande lahendamist sarnaste kolmnurkadega. Esmalt vaatleme probleeme, mida saab ülaltoodud reeglite abil otse lahendada, ja seejärel arutleme mõne praktilise probleemi üle, mida saab lahendada sarnase kolmnurga meetodiga.
Harjutage ülesandeid sarnaste kolmnurkadega
Näide nr 1:
Näidake, et alloleval joonisel on kaks kolmnurka sarnased. 
Lahendus:
Kuna mõlema kolmnurga külgede pikkused on teada, saab siin rakendada teist reeglit:
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
Näide nr 2:
Näidake, et kaks antud kolmnurka on sarnased, ja määrake külgede pikkused PQ Ja PR.
Lahendus:
∠A = ∠P Ja ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(kuna ∠C = 180 – ∠A – ∠B ja ∠R = 180 – ∠P – ∠Q)
Sellest järeldub, et kolmnurgad ΔABC ja ΔPQR on sarnased. Seega:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Paremnool PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ ja
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Paremnool PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dollarit
Näide nr 3:
Määrake pikkus AB selles kolmnurgas. 
Lahendus:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ja ∠Aüldine => kolmnurgad ΔABC Ja ΔADE on sarnased.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Paremnool 2\ korda AB = AB + 4 \Paremnool AB = 4 $
Näide nr 4:
Määrake pikkus AD(x) geomeetriline kujund pildil. 
Kolmnurgad ΔABC ja ΔCDE on sarnased, kuna AB || DE ja neil on ühine ülemine nurk C.
Näeme, et üks kolmnurk on teise skaleeritud versioon. Siiski peame seda matemaatiliselt tõestama.
AB || DE, CD || AC ja BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC ja ∠ABC = ∠DEC
Lähtudes ülaltoodust ja võttes arvesse ühise nurga olemasolu C, võime väita, et kolmnurgad ΔABC ja ΔCDE on sarnased.
Seega:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Paremnool CA = \frac(15 \ korda 11) (7 ) = 23,57 $
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57
Praktilised näited
Näide nr 5:
Tehases kasutatakse toodete transportimiseks 1. tasemest 2. tasemeni kaldkonveierilinti, mis on 3 meetrit kõrgem kui 1. tase, nagu on näidatud joonisel. Kaldkonveieri hooldamine toimub ühest otsast 1. tasemeni ja teisest otsast töökohani, mis asub 1. taseme tööpunktist 8 meetri kaugusel. 
Tehas soovib uuendada konveierit, et pääseda uuele tasemele, mis on 9 meetrit üle 1. taseme, säilitades samal ajal konveieri kaldenurga.
Määrake vahemaa, mille kaugusele tuleb uus tööjaam paigaldada, et konveier töötaks oma uues otsas tasemel 2. Arvutage ka täiendav vahemaa, mille toode läbib uuele tasemele liikumisel.
Lahendus:
Esmalt märgime iga ristumispunkti konkreetse tähega, nagu on näidatud joonisel.
Eelnevates näidetes toodud põhjenduste põhjal võime järeldada, et kolmnurgad ΔABC ja ΔADE on sarnased. Seega
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Paremnool AB = \frac(8 \ korda 9)(3 ) = 24 miljonit dollarit
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m
Seega tuleb uus punkt paigaldada olemasolevast punktist 16 meetri kaugusele.
Ja kuna struktuur koosneb täisnurksetest kolmnurkadest, saame toote liikumiskauguse arvutada järgmiselt:
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$
Samamoodi $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
mis on vahemaa, mille toode praegu läbib, kui see saavutab olemasoleva taseme.
y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
see on lisakaugus, mille toode peab uuele tasemele jõudmiseks läbima.
Näide nr 6:
Steve soovib külastada oma sõpra, kes kolis hiljuti uude majja. Teekaart Steve'i ja tema sõbra majani koos Steve'ile teadaolevate vahemaadega on näidatud joonisel. Aidake Stevel jõuda tema sõbra majja võimalikult lühikesel teel. 
Lahendus:
Teekaarti saab geomeetriliselt esitada järgmisel kujul, nagu on näidatud joonisel. 
Näeme, et kolmnurgad ΔABC ja ΔCDE on sarnased, seega:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
Probleemi avalduses öeldakse, et:
AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ja DE = 5 km
Seda teavet kasutades saame arvutada järgmised vahemaad:
$BC = \frac(AB \ korda CD) (DE) = \frac(15 \ korda 4,41) (5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \ korda CD) (BC) = \frac(13,13 \ korda 4,41) (13,23) = 4,38 km$
Steve pääseb oma sõbra majja järgmistel marsruutidel:
A -> B -> C -> E -> G, kogupikkus on 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km
F -> B -> C -> D -> G, kogupikkus on 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km
F -> A -> C -> E -> G, kogupikkus on 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km
F -> A -> C -> D -> G, kogupikkus on 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km
Seetõttu on marsruut nr 3 kõige lühem ja seda saab Steve'ile pakkuda.
Näide 7:
Trisha tahab mõõta maja kõrgust, kuid tal pole õigeid tööriistu. Ta märkas, et maja ees kasvab puu, ning otsustas kasutada oma leidlikkust ja koolis omandatud geomeetriateadmisi hoone kõrguse määramisel. Ta mõõtis kauguse puust majani, tulemuseks oli 30 m. Seejärel seisis ta puu ees ja hakkas tagasi liikuma, kuni puu ladva kohal hakkas nähtavale tulema hoone ülemine serv. Trisha märkis selle koha ja mõõtis kaugust sellest puuni. See vahemaa oli 5 m.
Puu kõrgus on 2,8 m ja Trisha silmade kõrgus on 1,6 m Aidake Trishal määrata hoone kõrgust. 
Lahendus:
Ülesande geomeetriline esitus on näidatud joonisel. 
Kõigepealt kasutame kolmnurkade ΔABC ja ΔADE sarnasust.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Paremnool 2,8 \ korda AC = 1,6 \ korda (5) + AC) = 8 + 1,6 \ korda AC $
$(2,8–1,6) \ korda AC = 8 \Paremnool AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $
Seejärel saame kasutada kolmnurkade ΔACB ja ΔAFG või ΔADE ja ΔAFG sarnasust. Valime esimese variandi.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \paremnool H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$
Geomeetriateadus ütleb meile, mis on kolmnurk, ruut ja kuup. Kaasaegses maailmas õpivad kõik eranditult seda koolides. Samuti teadus, mis uurib otseselt, mis on kolmnurk ja millised omadused sellel on, on trigonomeetria. Ta uurib üksikasjalikult kõiki andmetega seotud nähtusi. Räägime sellest, mis on kolmnurk täna meie artiklis. Nende tüüpe kirjeldatakse allpool ja ka mõningaid nendega seotud teoreeme.
Mis on kolmnurk? Definitsioon
See on tasane hulknurk. Sellel on kolm nurka, nagu selle nimest selgub. Sellel on ka kolm külge ja kolm tippu, millest esimene on segmendid, teine punktid. Teades, millega kaks nurka on võrdsed, saate kolmanda leida, lahutades arvust 180 kahe esimese nurga summa.
Mis tüüpi kolmnurgad on olemas?
Neid saab klassifitseerida erinevate kriteeriumide järgi.
Esiteks jagunevad need teravnurkseteks, nürinurkseteks ja ristkülikukujulisteks. Esimestel on teravnurgad, st need, mis on väiksemad kui 90 kraadi. Nürinurkade korral on üks nurkadest nüri, see tähendab, et see on suurem kui 90 kraadi, ülejäänud kaks on teravad. Teravkolmnurkade hulka kuuluvad ka võrdkülgsed kolmnurgad. Selliste kolmnurkade kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Need kõik on võrdsed 60 kraadiga, seda saab hõlpsasti arvutada, jagades kõigi nurkade summa (180) kolmega.
Täisnurkne kolmnurk
On võimatu mitte rääkida sellest, mis on täisnurkne kolmnurk.
Sellise kujundi üks nurk on 90 kraadi (sirge), see tähendab, et selle kaks külge on risti. Ülejäänud kaks nurka on teravad. Need võivad olla võrdsed, siis on see võrdhaarne. Pythagorase teoreem on seotud täisnurkse kolmnurgaga. Seda kasutades leiate kolmanda poole, teades kahte esimest. Selle teoreemi järgi, kui liita ühe jala ruut teise ruuduga, saate hüpotenuusi ruudu. Jala ruudu saab arvutada, lahutades hüpotenuusi ruudust teadaoleva jala ruudu. Rääkides sellest, mis on kolmnurk, võime meenutada ka võrdhaarset kolmnurka. See on selline, mille kaks külge on võrdsed ja kaks nurka on samuti võrdsed.
Mis on jalg ja hüpotenuus?
Jalg on kolmnurga üks külgedest, mis moodustab 90-kraadise nurga. Hüpotenuus on ülejäänud külg, mis on täisnurga vastas. Sellest saab risti jalale langetada. Külgneva külje ja hüpotenuusi suhet nimetatakse koosinusteks ja vastaskülje suhet siinusteks.
- millised on selle omadused?
See on ristkülikukujuline. Tema jalad on kolm ja neli ning hüpotenuus viis. Kui näete, et antud kolmnurga jalad on kolm ja neli, võite olla kindel, et hüpotenuus võrdub viiega. Samuti saate seda põhimõtet kasutades hõlpsasti kindlaks teha, et jalg on võrdne kolmega, kui teine on võrdne neljaga ja hüpotenuus on võrdne viiega. Selle väite tõestamiseks võite rakendada Pythagorase teoreemi. Kui kaks jalga on võrdsed 3 ja 4, siis 9 + 16 = 25, 25 juur on 5, see tähendab hüpotenuus on 5. Egiptuse kolmnurk on ka täisnurkne kolmnurk, mille küljed on 6, 8 ja 10; 9, 12 ja 15 ning muud arvud suhtega 3:4:5.
Mis võiks kolmnurk veel olla?
Kolmnurgad võivad olla ka sisse kirjutatud või piiritletud. Figuuri, mille ümber ringjoont kirjeldatakse, nimetatakse sissekirjutatuks, kõik selle tipud on ringil asuvad punktid. Piiratud kolmnurk on selline, millesse ringjoon on kirjutatud. Kõik selle küljed puutuvad sellega teatud punktides kokku.
Kuidas see asub?
Mis tahes kujundi pindala mõõdetakse ruutühikutes (ruutmeetrites, ruutmillimeetrites, ruutsentimeetrites, ruutdetsimeetrites jne). Seda väärtust saab arvutada mitmel viisil, olenevalt kolmnurga tüübist. Mis tahes nurkadega kujundi pindala saab leida, korrutades selle külje vastasnurgast sellele langenud ristiga ja jagades selle kujundi kahega. Selle väärtuse leiate ka kahe külje korrutamisega. Seejärel korrutage see arv nende külgede vahelise nurga siinusega ja jagage saadud tulemus kahega. Teades kolmnurga kõiki külgi, kuid teadmata selle nurki, saate ala leida muul viisil. Selleks peate leidma pool perimeetrit. Seejärel lahutage sellest arvust vaheldumisi erinevad küljed ja korrutage saadud neli väärtust. Järgmiseks leidke välja tulnud numbri järgi. Sissekirjutatud kolmnurga pindala saab leida, korrutades kõik küljed ja jagades saadud arvu ümberpiiratud arvuga, korrutades neljaga.
Piiratud kolmnurga pindala leitakse sel viisil: korrutame pool perimeetrit sellesse kirjutatud ringi raadiusega. Kui siis selle pindala saab leida järgmiselt: külg ruudus, saadud arv korrutada kolme juurega, seejärel jagada see arv neljaga. Sarnasel viisil saate arvutada kolmnurga kõrguse, mille kõik küljed on võrdsed, selleks peate korrutama ühe neist kolme juurega ja jagama selle arvu kahega.
Kolmnurgaga seotud teoreemid
Peamised selle joonisega seotud teoreemid on ülalkirjeldatud Pythagorase teoreem ja koosinused. Teine (siinustest) seisneb selles, et kui jagate mis tahes külje selle vastas oleva nurga siinusega, saate selle ümber kirjeldatud ringi raadiuse korrutatuna kahega. Kolmas (koosinused) seisneb selles, et kui kahe külje ruutude summast lahutada nende korrutis kahega ja nendevahelise nurga koosinus, siis saame kolmanda külje ruudu.
Dali kolmnurk - mis see on?
Paljud arvavad selle kontseptsiooniga silmitsi seistes alguses, et see on mingi geomeetria määratlus, kuid see pole sugugi nii. Dali kolmnurk on üldnimetus kolmele paigale, mis on kuulsa kunstniku eluga tihedalt seotud. Selle "tipud" on maja, kus Salvador Dali elas, loss, mille ta kinkis oma naisele, samuti sürrealistlike maalide muuseum. Nendes paikades ringkäigul saate teada palju huvitavaid fakte selle ainulaadse loomingulise kunstniku kohta, kes on tuntud kogu maailmas.
228. Selles peatükis mõistame segmentide AB, AC jne tähistuste all peamiselt neid väljendavaid numbreid.
Teame (punkt 226), et kui kaks lõiku a ja b on antud geomeetriliselt, siis saame konstrueerida nende vahel proportsionaalse keskmise. Olgu nüüd lõigud antud mitte geomeetriliselt, vaid numbritega, st a ja b all mõeldakse 2 etteantud lõiku väljendavaid numbreid. Seejärel taandatakse keskmise proportsionaalse lõigu leidmine arvu x leidmiseks proportsioonist a/x = x/b, kus a, b ja x on arvud. Sellest proportsioonist saame:
x 2 = ab
x = √ab
229. Olgu meil täisnurkne kolmnurk ABC (joonis 224).
Kukkugem risti BD selle täisnurga tipust (∠B sirge) hüpotenuusile AC. Seejärel teame lõikest 225:
1) AC/AB = AB/AD ja 2) AC/BC = BC/DC.
Siit saame:
AB 2 = AC AD ja BC 2 = AC DC.
Lisades saadud võrrandid tükkhaaval, saame:
AB 2 + BC 2 = AC AD + AC DC = AC(AD + DC).
st. hüpotenuusi väljendava arvu ruut võrdub täisnurkse kolmnurga jalgu väljendavate arvude ruutude summaga.
Lühidalt öeldes ütlevad nad: Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.
Kui anname saadud valemile geomeetrilise tõlgenduse, saame meile juba tuntud Pythagorase teoreemi (punkt 161):
täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruut võrdub jalgadele ehitatud ruutude summaga.
Võrrandist AB 2 + BC 2 = AC 2 tuleb mõnikord leida täisnurkse kolmnurga jalg, kasutades selleks hüpotenuusi ja teist jalga. Saame näiteks:
AB 2 = AC 2 – BC 2 ja nii edasi
230. Leitud arvuline seos täisnurkse kolmnurga külgede vahel võimaldab lahendada palju arvutusülesandeid. Lahendame mõned neist:
1. Arvutage võrdkülgse kolmnurga pindala selle külje järgi.
Olgu ∆ABC (joonis 225) võrdkülgne ja kumbki külg on väljendatud arvuga a (AB = BC = AC = a). Selle kolmnurga pindala arvutamiseks peate kõigepealt välja selgitama selle kõrguse BD, mida me nimetame h-ks. Teame, et võrdkülgse kolmnurga puhul poolitab kõrgus BD aluse AC, st AD = DC = a/2. Seetõttu saame täisnurksest kolmnurgast DBC:
BD 2 = BC 2 – DC 2,
h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (teostage lahutamine).
Siit on meil:
(juure alt võtame kordaja välja).
Seega, helistades numbrile, mis väljendab meie kolmnurga pindala Q-ga ja teades, et pindala ∆ABC = (AC BD)/2, leiame:
Seda valemit võime vaadelda kui üht võrdkülgse kolmnurga pindala mõõtmise viisidest: peame mõõtma selle külge lineaarsetes ühikutes, ruudustama leitud arvu, korrutama saadud arvu √3-ga ja jagama 4-ga - me saada ala avaldis ruudu (vastavates) ühikutes.
2. Kolmnurga küljed on 10, 17 ja 21 joont. üksus Arvutage selle pindala.
Alandame oma kolmnurga kõrgust h (joonis 226) suuremale küljele - see läheb kindlasti kolmnurga sisse, kuna kolmnurgas saab nürinurk asuda ainult suurema külje vastas. Seejärel jagatakse suurem külg, = 21, 2 segmendiks, millest ühte tähistame x-ga (vt joonist) - siis teine = 21 – x. Saame kaks täisnurkset kolmnurka, millest saame:
h 2 = 10 2 – x 2 ja h 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Kuna nende võrrandite vasakpoolsed küljed on samad, siis
10 2 – x 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Teostades toiminguid, mille saame:
10 2 – x 2 = 289 – 441 + 42x – x 2
Seda võrrandit lihtsustades leiame:
Siis võrrandist h 2 = 10 2 – x 2 saame:
h 2 = 10 2 – 6 2 = 64
ning seetõttu
Siis leitakse vajalik ala:
Q = (21 8) / 2 ruutmeetrit üksus = 84 ruutmeetrit üksus
3. Saate lahendada üldise probleemi:
Kuidas arvutada kolmnurga pindala selle külgede põhjal?
Olgu kolmnurga ABC küljed väljendatud arvudega BC = a, AC = b ja AB = c (joonis 227). Oletame, et AC on suurem külg; siis kõrgus BD läheb ∆ABC sisse. Nimetagem: BD = h, DC = x ja siis AD = b – x.
∆BDC-st saame: h 2 = a 2 – x 2 .
∆ABD põhjal saame: h 2 = c 2 – (b – x) 2,
kust a 2 – x 2 = c 2 – (b – x) 2.
Selle võrrandi lahendamisel saame järjekindlalt:
2bx = a 2 + b 2 – c 2 ja x = (a 2 + b 2 – c 2)/2b.
(Viimane on kirja pandud selle põhjal, et lugejat 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2) 2 võib käsitleda ruutude võrdsusena, mille lagundame summa ja vahe korrutiseks).
See valem teisendatakse, sisestades kolmnurga perimeetri, mida tähistame 2p-ga, st.
Lahutades võrdsuse mõlemast küljest 2c, saame:
a + b + c – 2c = 2p – 2c või a + b – c = 2 (p – c):
Samuti leiame:
c + a – b = 2(p – b) ja c – a + b = 2(p – a).
Siis saame:
(p väljendab kolmnurga poolperimeetrit).
Seda valemit saab kasutada kolmnurga pindala arvutamiseks selle kolme külje põhjal.
231. Harjutused.
232. Lõikes 229 leidsime seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Sarnase seose leiate kaldkolmnurga külgede kohta (koos teise segmendi lisamisega).
Olgu esmalt ∆ABC (joonis 228), et ∠A on terav. Proovime leida avaldise selle teravnurga vastas asuva külje BC ruudule (sarnaselt sellele, kuidas punktis 229 leidsime hüpotenuusi ruudu avaldise).
Konstrueerides BD ⊥ AC, saame täisnurksest kolmnurgast BDC:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Asendame BD2, defineerides selle ABD-st, millest meil on:
BD 2 = AB 2 – AD 2,
ja asendada segment DC läbi AC – AD (ilmselgelt DC = AC – AD). Siis saame:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC – AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 – 2AC AD + AD 2
Olles vähendanud sarnaseid termineid, leiame:
BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC AD.
See valem kõlab järgmiselt: kolmnurga teravnurga vastaskülje ruut võrdub selle kahe teise külje ruutude summaga, millest lahutatakse ühe külje kahekordne korrutis selle lõiguga teravnurga tipust kõrguseni.
233. Olgu nüüd ∠A ja ∆ABC (joonis 229) nüri. Leiame avaldise nürinurga vastas oleva külje BC ruudu jaoks.
Olles konstrueerinud kõrguse BD, asub see nüüd veidi teisiti: punktis 228, kus ∠A on terav, asuvad punktid D ja C ühel pool A ning siin, kus ∠A on nüri, asuvad punktid D ja C. A vastaskülgedel. Siis ristkülikukujulisest ∆BDC-st saame:
BC 2 = BD 2 + DC 2
BD2 saame asendada, defineerides selle ristkülikukujulisest ∆BDA-st:
BD 2 = AB 2 – AD 2,
ja segment DC = AC + AD, mis on ilmne. Asendades saame:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
Sarnaste terminite vähendamisel leiame:
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,
st. kolmnurga nürinurga vastaskülje ruut on võrdne selle kahe teise külje ruutude summaga, millele on lisatud ühe külje korrutis selle lõiguga nürinurga tipust kõrguseni.
See valem, nagu ka lõike 232 valem, lubavad geomeetrilist tõlgendust, mida on lihtne leida.
234. Lõikude omaduste kasutamine. 229, 232, 233, saame kolmnurga küljed arvudes välja selgitada, kas kolmnurgal on täisnurk või nürinurk.
Täis- või nürinurk kolmnurgas võib asuda ainult suurema külje vastas, milline on vastasnurk, seda on lihtne välja selgitada: see nurk on terav, täisnurk või nürinurk, olenevalt sellest, kas suurema külje ruut on väiksem kui; , võrdne või suurem kui kahe teise külje ruutude summa.
Uurige, kas järgmistel kolmnurkadel, mis on määratletud nende külgede järgi, on täis- või nürinurk:
1) 15 dm, 13 dm. ja 14 tolli; 2) 20, 29 ja 21; 3) 11, 8 ja 13; 4) 7, 11 ja 15.
235. Olgu meil rööpkülik ABCD (joonis 230); Konstrueerime selle diagonaalid AC ja BD ning kõrgused BK ⊥ AD ja CL ⊥ AD.
Siis, kui ∠A (∠BAD) on terav, siis ∠D (∠ADC) on kindlasti nüri (kuna nende summa = 2d). Alates ∆ABD, kus ∠A peetakse ägedaks, saame:
BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AD AK,
ja ∆ACD-st, kus ∠D on nüri, saame:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
Viimases valemis asendame lõigu AD sellega võrdse lõiguga BC ja DL sellega võrdse lõiguga AK (DL = AK, sest ∆ABK = ∆DCL, mida on lihtne näha). Siis saame:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.
Lisades BD2 avaldise AC 2 viimase avaldisega, leiame:
BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
kuna terminid –2AD · AK ja +2AD · AK tühistavad üksteist. Saame lugeda saadud võrdsust:
Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgede ruutude summaga.
236. Kolmnurga mediaani ja poolitaja arvutamine selle külgedest. Olgu mediaan BM konstrueeritud kolmnurgas ABC (joonis 231) (st AM = MC). Teades külgi ∆ABC: BC = a, AC = b ja AB = c, arvutage mediaan BM.
Jätkame BM ja jätame kõrvale lõigu MD = BM. Ühendades D A-ga ja D-ga C, saame rööpküliku ABCD (seda on lihtne välja selgitada, kuna ∆AMD = ∆BMC ja ∆AMB = ∆DMC).
Nimetades mediaani BM-i m-ga, saame BD = 2m ja siis, kasutades eelmist lõiku, saame:
237. Ringjoone kolmnurga ümberpiiratud raadiuse arvutamine. Kirjeldame ringi O ümber ∆ABC (joonis 233). Konstrueerime ringi BD läbimõõdu, kõõlu AD ja kolmnurga BH kõrguse.
Siis ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - nurk A on täisnurk, kuna see on sisse kirjutatud, lähtudes läbimõõdust BD ja ∠D = ∠C, nagu kirjutatud, ühe kaare AB alusel). Seetõttu on meil:
või nimetades raadiust OB väärtusega R, kõrgust BH väärtusega h ning külgi AB ja BC, nagu varem, vastavalt c ja a:
kuid pindala ∆ABC = Q = bh/2, kust h = 2Q/b.
Seetõttu R = (abc) / (4Q).
Me saame (ülesande 3 punkt 230) arvutada kolmnurga Q pindala selle külgede põhjal. Siit saame arvutada R kolmnurga kolmest küljest.
238. Kolmnurga sisse kirjutatud ringjoone raadiuse arvutamine. Kirjutame ∆ABC-s, mille küljed on antud (joonis 234), ringi O. Ühendades selle keskpunkti O kolmnurga tippudega ning ringi külgede puutujapunktidega D, E ja F, saame leida, et ringjoone OD, OE ja OF raadiused on kolmnurkade BOC, COA ja AOB kõrgused.
Kutsudes sisse kirjutatud ringi raadiuse läbi r, saame:
