Mis on prisma ruumala ja kuidas seda leida
Prisma ruumala on selle aluse pindala ja kõrguse korrutis.
Küll aga teame, et prisma põhjas võib olla kolmnurk, ruut või mõni muu hulktahukas.
Seetõttu peate prisma ruumala leidmiseks lihtsalt arvutama prisma aluse pindala ja korrutama selle pindala selle kõrgusega.
See tähendab, et kui prisma põhjas on kolmnurk, peate kõigepealt leidma kolmnurga pindala. Kui prisma alus on ruut või muu hulknurk, peate kõigepealt otsima ruudu või muu hulknurga pindala.
Tuleb meeles pidada, et prisma kõrgus on prisma aluste suhtes tõmmatud risti.
Mis on prisma
Nüüd meenutagem prisma määratlust.
Prisma on hulknurk, mille kaks tahku (alust) on paralleelsetes tasandites ja kõik servad, mis asuvad väljaspool neid tahke, on paralleelsed.
Lihtsamalt öeldes:
Prisma on mis tahes geomeetriline kujund, millel on kaks võrdset alust ja lamedat tahku.
Prisma nimi sõltub selle aluse kujust. Kui prisma alus on kolmnurk, siis nimetatakse sellist prismat kolmnurkseks. Mitmetahuline prisma on geomeetriline kujund, mille alus on hulktahukas. Samuti on prisma teatud tüüpi silindrid.
Mis tüüpi prismasid on olemas?
Kui vaatame ülaltoodud pilti, näeme, et prismad on sirged, korrapärased ja kaldu.
Harjutus
1. Millist prismat nimetatakse õigeks?
2. Miks seda nii nimetatakse?
3. Kuidas nimetatakse prismat, mille alused on korrapärased hulknurgad?
4. Mis on selle kuju kõrgus?
5. Kuidas nimetatakse prismat, mille servad ei ole risti?
6. Defineeri kolmnurkne prisma.
7. Kas prisma võib olla rööptahukas?
8. Millist geomeetrilist kujundit nimetatakse poolregulaarseks hulknurgaks?
Millistest elementidest koosneb prisma?
Prisma koosneb sellistest elementidest nagu alumine ja ülemine alus, külgpinnad, servad ja tipud.
Prisma mõlemad alused asuvad tasapinnal ja on üksteisega paralleelsed.
Püramiidi külgpinnad on rööpkülikukujulised.
Püramiidi külgpind on selle külgpindade summa.
Külgpindade ühised küljed pole midagi muud kui antud joonise külgmised servad.
Püramiidi kõrgus on segment, mis ühendab aluste tasapindu ja on nendega risti.
Prisma omadused
Geomeetrilisel kujundil, nagu prismal, on mitmeid omadusi. Vaatame neid omadusi lähemalt:
Esiteks on prisma alused võrdsed hulknurgad;
Teiseks esitatakse prisma külgpinnad rööpküliku kujul;
Kolmandaks, see geomeetriline kujund servad on paralleelsed ja võrdsed;
Neljandaks on prisma kogupindala:
Nüüd vaatame teoreemi, mis annab külgpinna ja tõestuse arvutamiseks kasutatava valemi.
Kas olete selle peale kunagi mõelnud huvitav fakt et prisma ei saa olla ainult geomeetriline keha, vaid ka teised meid ümbritsevad objektid. Isegi tavaline lumehelves, olenevalt temperatuuri režiim võib muutuda jääprismaks, võttes kuusnurkse kuju.
Kuid kaltsiidikristallidel on selline ainulaadne nähtus nagu purunemine kildudeks ja rööptahuka kuju võtmine. Ja mis on kõige hämmastavam, on see, et hoolimata sellest, kui väikeseks kaltsiidikristallid purustatakse, on tulemus alati sama: need muutuvad väikesteks rööptahukateks.
Selgub, et prisma on populaarsust kogunud mitte ainult matemaatikas, demonstreerides oma geomeetrilist keha, vaid ka kunstivaldkonnas, kuna see on selliste suurte kunstnike nagu P. Picasso, Braque, Grissi jt maalide aluseks.
IN kooli õppekava Stereomeetria kursusel alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).
Kuidas prisma välja näeb?
Tavaline nelinurkne prisma on kuusnurk, mille alused on 2 ruutu ja külgpinnad on kujutatud ristkülikutega. Selle geomeetrilise kujundi teine nimi on sirge rööptahukas.
Allpool on näidatud nelinurkse prisma joonis.
Pildil ka näha olulised elemendid, millest geomeetriline keha koosneb. Need sisaldavad:
Mõnikord võib geomeetriaülesannetes kohata lõigu mõistet. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik lõiketasandisse kuuluvad mahulise keha punktid. Lõige võib olla risti (lõikub joonise servadega 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne konstrueeritavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.
Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.
Redutseeritud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid seoseid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria kursusest (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meenutada ruudu pindala valemit).
Pindala ja maht
Prisma ruumala määramiseks valemi abil peate teadma selle aluse pindala ja kõrgust:
V = Sbas h
Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada täpsemal kujul:
V = a²·h
Kui me räägime kuubist - tavalisest võrdse pikkuse, laiuse ja kõrgusega prismast, arvutatakse maht järgmiselt:
Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle arengut.
Jooniselt on selge, et külgpind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:
Sside = Posn h
Võttes arvesse, et ruudu ümbermõõt on võrdne P = 4a, valem on järgmisel kujul:
Sside = 4a h
Kuubiku jaoks:
Sside = 4a²
Prisma kogupinna arvutamiseks peate külgpinnale lisama 2 aluspinda:
Täis = Sside + 2Smain
Nelinurkse korrapärase prisma suhtes näeb valem välja järgmine:
Kokku = 4a h + 2a²
Kuubi pindala jaoks:
Täis = 6a²
Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.
Prisma elementide leidmine
Sageli on probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab valemeid tuletada:
- põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
- kõrgus või külgribi pikkus: h = külg / 4a = V / a²;
- baaspindala: Sbas = V/h;
- külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.
Et määrata, kui suur pindala on diagonaalil, peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Seetõttu:
Sdiag = ah√2
Prisma diagonaali arvutamiseks kasutage valemit:
dprize = √(2a² + h²)
Et mõista, kuidas antud seoseid rakendada, saab harjutada ja lahendada mitmeid lihtsaid ülesandeid.
Näited probleemidest koos lahendustega
Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamite ülesanded.
1. harjutus.
Liiv valatakse tavalise nelinurkse prisma kujuga kasti. Selle nivoo kõrgus on 10 cm Milliseks kujuneb liivatase, kui viia see sama kujuga, kuid kaks korda pikema põhjaga anumasse?
Seda tuleks põhjendada järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Aluse pikkust saab tähistada tähisega a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:
V₁ = ha² = 10a²
Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Kuna V1 = V2, saame võrdsustada väljendeid:
10a² = 4ha²
Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:
Selle tulemusena saab uus liivatase h = 10/4 = 2,5 cm.
2. ülesanne.
ABCDA₁B₁C₁D₁ on õige prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.
Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.
Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võime järeldada, et põhjas on ruut diagonaaliga 6√2. Külgkülje diagonaal on sama suur, seetõttu on ka külgpind alusega võrdne ruudu kuju. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.
Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Kogupindala leitakse kuubi valemi abil:
Täis = 6a² = 6 6² = 216
3. ülesanne.
Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on madalaim hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?
Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised ehk korrapärased nelinurgad ning selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, siis võib järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.
Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.
Ala kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².
Selle ruumi tapeedi madalaim hind on 50·30 = 1500 rubla
Seega piisab ristkülikukujulise prismaga seotud ülesannete lahendamiseks ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõdu arvutamise oskusest, samuti ruumala ja pindala leidmise valemite tundmisest.
Kuidas leida kuubi pindala
OTSEPRISM. OTSEPRISMA PIND JA ruumala.
§ 68. OTSEPRISMA MAHT.
1. Otsene helitugevus kolmnurkne prisma.
Oletame, et peame leidma täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala, mille põhipind on võrdne S-ga ja kõrgus on võrdne h= AA" = = BB" = SS" (joonis 306).
Joonestame eraldi prisma aluse ehk kolmnurga ABC (joon. 307, a) ja ehitame üles ristkülikuks, mille jaoks tõmbame läbi tipu B sirge KM || AC ning punktidest A ja C langetame perpendikulaarid AF ja CE sellele sirgele. Saame ristküliku ACEF. Joonistades kolmnurga ABC kõrguse ВD, näeme, et ristkülik ACEF on jagatud 4 täisnurkseks kolmnurgaks. enamgi veel /\ KÕIK = /\ BCD ja /\ VAF = /\ VAD. See tähendab, et ristküliku ACEF pindala on kaks korda suurem kui kolmnurga ABC pindala, st võrdne 2S-ga.
Sellele ABC-aluse prismale kinnitame prismad alustega ALL ja BAF ning kõrgusega h(Joonis 307, b). Saame alusega ristkülikukujulise rööptahuka
ACEF.
Kui lahkame seda rööptahukat tasapinnaga, mis läbib sirgeid BD ja BB", näeme, et ristkülikukujuline rööptahukas koosneb neljast alusega prismast
BCD, ALL, BAD ja BAF.
BCD ja VSE alustega prismasid saab kombineerida, kuna nende alused on võrdsed ( /\ ВСD = /\ BSE) ja nende külgservad on samuti võrdsed, mis on risti sama tasapinnaga. See tähendab, et nende prismade mahud on võrdsed. Samuti on võrdsed prismade mahud alustega BAD ja BAF.
Seega selgub, et antud kolmnurkse prisma ruumala koos alusega
ABC on pool mahust ristkülikukujuline rööptahukas ACEF alusega.
Teame, et ristkülikukujulise rööptahuka ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega, s.o. sel juhul võrdne 2S-ga h. Seega on selle täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala võrdne S-ga h.
Täisnurkse kolmnurkse prisma ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega.
2. Õige hulknurkse prisma ruumala.
Õige hulknurkse, näiteks viisnurkse prisma ruumala leidmiseks aluspinnaga S ja kõrgusega h, jagame selle kolmnurkseteks prismadeks (joonis 308).
Tähistades kolmnurksete prismade aluspinda S 1, S 2 ja S 3 ning antud hulknurkse prisma ruumala V-ga, saame:
V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, või
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.
Ja lõpuks: V = S h.
Samamoodi tuletatakse valem täisnurkse prisma ruumala kohta, mille põhjas on mis tahes hulknurk.
Tähendab, Mis tahes parempoolse prisma ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kõrguse korrutisega.
Harjutused.
1. Arvutage sirge prisma ruumala, mille aluses on rööpkülik, kasutades järgmisi andmeid:
2. Arvutage sirge prisma ruumala, mille põhjas on kolmnurk, kasutades järgmisi andmeid:
3. Arvutage sirge prisma ruumala, mille põhjas on võrdkülgne kolmnurk, mille külg on 12 cm (32 cm, 40 cm). Prisma kõrgus 60 cm.
4. Arvuta sirge alusega prisma ruumala täisnurkne kolmnurk jalgadega 12 cm ja 8 cm (16 cm ja 7 cm; 9 m ja 6 m). Prisma kõrgus on 0,3 m.
5. Arvutage sirge prisma ruumala, mille põhjas on trapets, mille paralleelsed küljed on 18 cm ja 14 cm ning kõrgus 7,5 cm. Prisma kõrgus on 40 cm.
6. Arvuta oma klassiruumi (kehalise kasvatuse saal, oma ruum) maht.
7. Kuubi üldpind on 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Arvutage selle kuubi maht.
8. Ehitustellise pikkus on 25,0 cm, laius 12,0 cm, paksus 6,5 cm a) Arvutage selle maht, b) Määrake selle kaal, kui 1 kuupsentimeetrine telliskivi kaalub 1,6 g.
9. Mitu tükki ehitustellistest on vaja tahke materjali ehitamiseks telliskivisein, millel on ristkülikukujuline rööptahukas, pikkusega 12 m, laiusega 0,6 m ja kõrgusega 10 m? (Telli mõõtmed harjutusest 8.)
10. Puhtalt lõigatud laua pikkus on 4,5 m, laius - 35 cm, paksus - 6 cm a) Arvutage maht b) Määrake selle kaal, kui plaadi kuupdetsimeeter kaalub 0,6 kg.
11. Mitu tonni heina saab kuhjata viilkatusega kaetud heinalauda (joonis 309), kui heinapuu pikkus on 12 m, laius 8 m, kõrgus 3,5 m ja kõrgus 3,5 m. katusehari on 1,5 m? (Võtke heina erikaaluks 0,2.)
12. Nõutav on kaevata 0,8 km pikkune kraav; lõikes peaks kraav olema trapetsikujuline, mille alused on 0,9 m ja 0,4 m ning kraavi sügavus 0,5 m (joonis 310). Mitu kuupmeetrit maad tuleb eemaldada?
Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate mõistma, mis tüüpi see on.
Üldine teooria
Prisma on iga hulktahukas, mille külgedel on rööpküliku kuju. Veelgi enam, selle alus võib olla mis tahes hulktahukas - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati üksteisega võrdsed. Külgpindade kohta ei kehti see, et nende suurus võib oluliselt erineda.
Probleemide lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. See võib nõuda teadmisi külgpinnast, st kõigist tahkudest, mis ei ole alused. Kogu pind on kõigi prisma moodustavate tahkude liit.
Mõnikord on probleemid seotud kõrgusega. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.
Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluspind ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemisel ja alumisel küljel on samad arvud, on nende alad võrdsed.
Kolmnurkne prisma
Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. Nagu teate, võib see olla erinev. Kui jah, siis piisab, kui meeles pidada, et selle pindala määrab pool jalgade tootest.
Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.
Baasi pindala väljaselgitamiseks üldine vaade, on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge on võetud selle külge tõmmatud kõrgusele.
Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). See märge sisaldab poolperimeetrit (p), see tähendab kolme külje summa jagatud kahega.
Teiseks: S = ½ n a * a.
Kui soovite välja selgitada kolmnurkse prisma aluse pindala, mis on korrapärane, osutub kolmnurk võrdkülgseks. Selle jaoks on valem: S = ¼ a 2 * √3.
Nelinurkne prisma
Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.
Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = ab, kus a, b on ristküliku küljed.
Millal me räägime nelinurkse prisma kohta, siis arvutatakse tavalise prisma aluse pindala ruudu valemi abil. Sest see on tema, kes asub vundamendil. S = a 2.
Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S = a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendavat valemit: n a = b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus n on selle nurga vastas.
Kui prisma põhjas on romb, siis selle pindala määramiseks vajate sama valemit nagu rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.
Regulaarne viisnurkne prisma
See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille pindalasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujunditel võib olla erinev arv tippe.
Kuna prisma põhi on korrapärane viisnurk, saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.
Regulaarne kuusnurkne prisma
Kasutades viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtet, on võimalik aluse kuusnurk jagada 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluspinna valem on sarnane eelmisele. Ainult see tuleks korrutada kuuega.
Valem näeb välja selline: S = 3/2 a 2 * √3.
Ülesanded
Nr 1. Arvestades korrapärast sirget, on selle diagonaal 22 cm, hulktahuka kõrgus on 14 cm. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala.
Lahendus. Prisma põhi on ruut, kuid selle külg on teadmata. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (h). x 2 = d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment “x” hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, et x 2 = a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd saate lihtsalt teada aluse pindala: 12 * 12 = 144 cm 2.
Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna ja neljakordistama külgpinna. Viimast saab hõlpsasti leida, kasutades ristküliku valemit: korrutage hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindalaks osutub 960 cm2.
Vastus. Prisma aluse pindala on 144 cm2. Kogu pind on 960 cm2.
Nr 2. Antud Alusel on kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm Arvutage pindalad: alus ja külgpind.
Lahendus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu osutub selle pindala võrdseks 6 ruuduga, korrutatuna ¼-ga ja ruutjuurega 3. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.
Kõik külgpinnad on ühesugused ja on ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindala arvutamiseks lihtsalt korrutage need arvud. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Siis osutub haava külgpinna pindalaks 180 cm 2.
Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Tavalise kolmnurkse prisma ABCA_1B_1C_1 korral on aluse küljed 4 ja külgmised servad 10. Leidke prisma ristlõikepindala tasapinnaga, mis läbib servade AB, AC, A_1B_1 ja A_1C_1 keskpunkte.
Näita lahendustLahendus
Mõelge järgmisele joonisele.
Lõik MN on seega kolmnurga A_1B_1C_1 keskjoon MN = \frac12 B_1C_1=2. Samamoodi KL=\frac12BC=2. Lisaks MK = NL = 10. Sellest järeldub, et nelinurk MNLK on rööpkülik. Kuna MK\paralleel AA_1, siis MK\perp ABC ja MK\perp KL. Seetõttu on nelinurk MNLK ristkülik. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.
Vastus
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Tavalise nelinurkse prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 ruumala on 24 . Punkt K on serva CC_1 keskpunkt. Leidke püramiidi KBCD ruumala.
Lahendus
Tingimuse järgi on KC püramiidi KBCD kõrgus. CC_1 on prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 kõrgus.
Kuna K on CC_1 keskpunkt, siis KC=\frac12CC_1. Olgu siis CC_1=H KC=\frac12H. Pange tähele ka seda S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Siis V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Seega V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.
Vastus
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase" Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Leidke korrapärase kuusnurkse prisma külgpindala, mille põhikülg on 6 ja kõrgus on 8.
.png)
Lahendus
Prisma külgpinna pindala leitakse valemiga S pool. = P põhiline · h = 6a\cdot h, kus P põhiline. ja h on vastavalt aluse ümbermõõt ja prisma kõrgus, mis on võrdne 8-ga ning a on korrapärase kuusnurga külg, mis on võrdne 6-ga. Seetõttu S pool. = 6\cpunkt 6\cpunkt 8 = 288.
Vastus
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Vesi valati tavalise kolmnurkse prisma kujuga anumasse. Veetase ulatub 40 cm.Millisel kõrgusel on veetase, kui see valatakse teise sama kujuga anumasse, mille aluse külg on esimesest kaks korda suurem? Väljendage oma vastust sentimeetrites.
Lahendus
Olgu a esimese anuma aluse külg, siis 2 a on teise anuma aluse külg. Tingimuse järgi on vedeliku V maht esimeses ja teises anumas sama. Tähistame H-ga taseme, milleni vedelik on teises anumas tõusnud. Siis V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, ja V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Siit \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4H, H = 10.
Vastus
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Tavalise kuusnurkse prisma ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 kõik servad on võrdsed 2-ga. Leidke punktide A ja E_1 vaheline kaugus.
Näita lahendustLahendus
Kolmnurk AEE_1 on ristkülikukujuline, kuna serv EE_1 on prisma aluse tasapinnaga risti, on nurk AEE_1 täisnurk.
.png)
Seejärel Pythagorase teoreemi järgi AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Leiame koosinusteoreemi abil kolmnurga AFE AE. Iga sisemine nurk korrapärase kuusnurga suurus on 120^(\circ). Siis AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).
Seega AE^2=4+4+4=12,
AE_1^2=12+4=16,
AE_1=4.
Vastus
Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.
Töö tüüp: 8
Teema: Prisma
Seisund
Leidke sirge prisma külgpindala, mille põhjas asub romb, mille diagonaalid on võrdsed 4\sqrt5 ja 8 ning külgserv 5.
Lahendus
Sirge prisma külgpinna pindala leitakse valemiga S pool. = P põhiline · h = 4a\cdot h, kus P põhiline. ja h vastavalt aluse ümbermõõt ja prisma kõrgus, mis on võrdne 5-ga ning a on rombi külg. Leiame rombi külje, kasutades seda, et rombi ABCD diagonaalid on üksteisega risti ja poolitavad lõikepunktiga.