Vedrupendel on võnkesüsteem, mis koosneb materiaalne punkt mass t ja vedrud. Mõelge horisontaalsele vedru pendel(Joonis 1, a). See koosneb keskele puuritud massiivsest korpusest, mis on asetatud horisontaalsele vardale, mida mööda saab hõõrdumiseta libiseda (ideaalne võnkesüsteem). Varras on fikseeritud kahe vertikaalse toe vahele.
Korpuse ühes otsas on kinnitatud kaaluta vedru. Selle teine ots on kinnitatud toele, mis kõige lihtsamal juhul on paigal inertsiaalse võrdlusraami suhtes, milles pendel võngub. Alguses vedru ei deformeeru ja keha on tasakaaluasendis C. Kui vedru venitamisel või kokkusurumisel viiakse keha tasakaaluasendist välja, siis hakkab sellele alates mõjuma elastsusjõud. deformeerunud vedru külg, mis on alati suunatud tasakaaluasendi poole.
Surume vedru kokku, liigutades keha asendisse A, ja vabastame selle. Elastsusjõu mõjul liigub see kiiremini. Sel juhul mõjub kehale asendis A maksimaalne elastsusjõud, kuna siin on vedru absoluutne pikenemine x m suurim. Seetõttu on selles asendis kiirendus maksimaalne. Kui keha liigub tasakaaluasendi poole, väheneb vedru absoluutne pikenemine ja sellest tulenevalt väheneb ka elastsusjõu poolt antav kiirendus. Aga kuna antud liikumisel toimuv kiirendus on koos kiirusega suunatud, siis pendli kiirus suureneb ja tasakaaluasendis on see maksimaalne.
Jõudnud tasakaaluasendisse C, keha ei peatu (kuigi selles asendis vedru ei deformeeru ja elastsusjõud on null), kuid omades kiirust, liigub see vedru venitades inertsi abil edasi. Tekkiv elastsusjõud on nüüd suunatud keha liikumise vastu ja aeglustab seda. Punktis D on keha kiirus võrdne nulliga, ja kiirendus on maksimaalne, keha peatub hetkeks, misjärel hakkab elastsusjõu mõjul sisse liikuma. tagakülg, tasakaaluasendisse. Olles selle inertsist uuesti läbinud, jõuab keha vedru kokku surudes ja liikumist aeglustades punkti A (kuna hõõrdumine puudub), s.t. lõpetab täieliku hoo. Pärast seda korratakse keha liikumist kirjeldatud järjestuses. Niisiis on vedrupendli vabade võnkumiste põhjused vedru deformeerumisel tekkiva elastsusjõu mõju ja keha inerts.
Hooke'i seaduse järgi F x = -kx. Newtoni teise seaduse järgi F x = ma x. Seetõttu ma x = -kx. Siit
Vedrupendli liikumise dünaamiline võrrand.
Näeme, et kiirendus on otseselt proportsionaalne segunemisega ja on suunatud sellele vastupidiselt. Saadud võrrandi võrdlemine harmooniliste võngete võrrandiga 
, näeme, et vedrupendel teostab harmoonilisi võnkumisi tsüklilise sagedusega
Vedrupendel on materiaalne punkt, mille mass on kinnitatud absoluutselt elastse ja jäikusega kaalutu vedru külge 
. On kaks lihtsaimat juhtumit: horisontaalne (joonis 15, A) ja vertikaalne (joonis 15, b) pendlid.
A)
Horisontaalne pendel(Joonis 15,a). Kui koorem liigub 
tasakaaluasendist 
summa järgi 
mõjub sellele horisontaalsuunas elastse jõu taastamine
(Hooke'i seadus).
Eeldatakse, et horisontaalne tugi, mida mööda koorem libiseb 
vibratsiooni ajal on see täiesti sile (ilma hõõrdumiseta).
b) Vertikaalne pendel(Joonis 15, b). Sel juhul iseloomustab tasakaaluasendit tingimus:
Kus 
- koormusele mõjuva elastsusjõu suurus 
kui vedru on staatiliselt venitatud 
koormuse raskusjõu mõjul 
.
|
A |
|
Joonis 15. Vedrupendel: A– horisontaalne ja b- vertikaalne
Kui venitate vedru ja vabastate koormuse, hakkab see vertikaalselt võnkuma. Kui nihe mingil ajahetkel on 
,
siis kirjutatakse elastsusjõud nüüd kujul 
.
Mõlemal vaadeldaval juhul teostab vedrupendel harmoonilisi võnkumisi perioodiga
(27)
ja tsükliline sagedus
.
(28)
Vedrupendli näitel võime järeldada, et harmoonilised võnkumised on liikumine, mille põhjustab jõud, mis suureneb võrdeliselt nihkega 
. Seega kui taastav jõud sarnaneb Hooke'i seadusega
(ta sai nimekvaasielastne jõud
), siis peab süsteem teostama harmoonilisi võnkumisi. Tasakaaluasendi läbimise hetkel ei mõju kehale taastav jõud, keha aga inertsi mõjul läbib tasakaaluasendi ja taastav jõud muudab suunda vastupidiseks.
Matemaatika pendel
Joonis 16. Matemaatika pendel
, mis teeb gravitatsiooni mõjul väikseid võnkumisi (joon. 16).
Sellise pendli võnkumised väikeste läbipaindenurkade korral 
(mitte üle 5º) võib pidada harmooniliseks ja matemaatilise pendli tsüklilist sagedust:
,
(29)
ja periood:
.
(30)
2.3. Keha energia harmooniliste võnkumiste ajal
Algtõuke ajal võnkesüsteemile antav energia muundub perioodiliselt: deformeerunud vedru potentsiaalne energia muundub liikuva koormuse ja tagasi liikumise kineetiliseks energiaks.
Laske vedrupendlil algfaasiga harmoonilisi võnkeid sooritada 
, st. 
(joonis 17).
Joonis 17. Looduskaitseseadus mehaaniline energia
kui vedrupendel võngub
Koormuse maksimaalsel kõrvalekaldel tasakaaluasendist pendli mehaaniline koguenergia (jäikusega deformeerunud vedru energia 
) on võrdne 
. Tasakaaluasendi läbimisel ( 
)
potentsiaalne energia vedru muutub võrdseks nulliga ja võnkesüsteemi kogu mehaaniline energia määratakse kui 
.
Joonisel 18 on kujutatud kineetilise, potentsiaalse ja koguenergia sõltuvuste graafikuid juhtudel, kui harmoonilisi vibratsioone kirjeldatakse siinuse (katkendjoon) või koosinuse (pidev joon) trigonomeetriliste funktsioonidega.
Joonis 18. Kineetilise aja sõltuvuse graafikud
ja potentsiaalne energia juures harmoonilised vibratsioonid
Graafikutelt (joonis 18) järeldub, et kineetilise ja potentsiaalse energia muutumise sagedus on kaks korda suurem harmooniliste võnkumiste omasagedusest.
Vaba vibratsioon viiakse läbi süsteemi sisejõudude mõjul pärast seda, kui süsteem on tasakaaluasendist eemaldatud.
Selleks, et vabavõnked tekivad harmoonilise seaduse järgi, siis on vajalik, et keha tasakaaluasendisse tagasi viima kippuv jõud oleks võrdeline keha nihkega tasakaaluasendist ja oleks suunatud nihkele vastupidises suunas (vt §2.1 ):
Nimetatakse mis tahes muu füüsilise iseloomuga jõude, mis seda tingimust rahuldavad kvaasielastne .
Seega mingi massiga koormus m, kinnitatud jäikusvedru külge k, mille teine ots on fikseeritud (joonis 2.2.1), moodustavad süsteemi, mis on võimeline teostama vabu harmoonilisi võnkumisi ka hõõrdumise puudumisel. Vedru koormust nimetatakse lineaarne harmooniline ostsillaator.
Vedru koormuse vabade võnkumiste ringsagedus ω 0 leitakse Newtoni teisest seadusest:
Kui vedrukoormussüsteem paikneb horisontaalselt, kompenseeritakse koormusele mõjuv raskusjõud tugireaktsioonijõuga. Kui koorem riputatakse vedrule, siis on raskusjõud suunatud piki koorma liikumisjoont. Tasakaalusendis on vedru teatud määral venitatud x 0 võrdne
Seetõttu võib Newtoni teise vedru koormuse seaduse kirjutada järgmiselt
Nimetatakse võrrandit (*). vabade vibratsioonide võrrand . Tuleb märkida, et füüsikalised omadused võnkesüsteem määrata ainult võnkumiste omasagedus ω 0 või periood T . Võnkumisprotsessi parameetrid, näiteks amplituud x m ja algfaas φ 0 on määratud viisiga, kuidas süsteem algsel ajahetkel tasakaalust välja viidi.
Kui näiteks koormus nihutati tasakaaluasendist kauguse Δ võrra l ja siis teatud ajahetkel t= 0 vabastati ilma algkiiruseta, siis x m = Δ l, φ 0 = 0.
Kui tasakaaluasendis olnud koormusele anti järsu tõuke abil algkiirus ± υ 0, siis
Seega amplituud x m vabavõnkumised ja selle algfaas φ 0 määratakse esialgsed tingimused .
Elastseid deformatsioonijõude kasutavaid mehaanilisi võnkesüsteeme on mitut tüüpi. Joonisel fig. Joonisel 2.2.2 on kujutatud lineaarse harmoonilise ostsillaatori nurkanaloog. Horisontaalselt asetsev ketas ripub selle massikeskme külge kinnitatud elastse niidi küljes. Kui ketast pöörata läbi nurga θ, tekib jõumoment M elastse väändedeformatsiooni juhtimine:
Kus I = I C on ketta inertsimoment telje suhtes, läbides massikeskpunkti, ε on nurkkiirendus.
Analoogiliselt vedru koormusega saate:
Vaba vibratsioon. Matemaatika pendel
Matemaatiline pendel nimetatakse väikeseks õhukesel venimatul niidil rippuvaks kehaks, mille mass on keha massiga võrreldes tühine. Kui pendel ripub tasakaaluasendis, tasakaalustab gravitatsioonijõud niidi pingutusjõuga. Kui pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale teatud nurga φ võrra, ilmneb gravitatsiooni tangentsiaalne komponent F τ = - mg sin φ (joonis 2.3.1). Miinusmärk selles valemis tähendab, et tangentsiaalne komponent on suunatud pendli läbipainde vastassuunas.
Kui me tähistame x pendli lineaarne nihe tasakaaluasendist piki raadiusega ringikaare l, siis on selle nurknihe võrdne φ = x / l. Newtoni teine seadus, mis on kirjutatud kiirenduse ja jõuvektorite projektsioonide kohta puutuja suunas, annab:
 |
See seos näitab, et matemaatiline pendel on kompleks mittelineaarne süsteem, kuna jõud, mis kipub pendlit tasakaaluasendisse viima, ei ole proportsionaalne nihkega x, A
Ainult juhul väikesed kõikumised, kui ligikaudu saab asendada matemaatilise pendliga on harmooniline ostsillaator, st süsteem, mis on võimeline teostama harmoonilisi võnkumisi. Praktikas kehtib see lähendus nurkade puhul suurusjärgus 15-20°; sel juhul erineb väärtus mitte rohkem kui 2%. Pendli võnkumised suurel amplituudil ei ole harmoonilised.
Matemaatilise pendli väikeste võnkumiste korral kirjutatakse Newtoni teine seadus kujul
See valem väljendab matemaatilise pendli väikeste võnkumiste omasagedus .
Seega
|
Iga horisontaalsele pöörlemisteljele paigaldatud keha on võimeline gravitatsiooniväljas vabalt võnkuma ja on seetõttu ka pendel. Sellist pendlit nimetatakse tavaliselt füüsiline (joonis 2.3.2). See erineb matemaatilisest ainult masside jaotuse poolest. Stabiilses tasakaaluasendis massikese C füüsiline pendel asub telge läbival vertikaalil pöördetelje O all. Kui pendlit nihutatakse nurga φ võrra, tekib gravitatsioonimoment, mis kaldub pendlit tagasi tasakaaluasendisse:
ja Newtoni teine seadus füüsilise pendli jaoks võtab kuju (vt §1.23)
Siin ω 0 - füüsilise pendli väikeste võnkumiste omasagedus .
Seega
Seetõttu saab Newtoni teist seadust füüsilise pendli jaoks väljendava võrrandi kirjutada kujul
Lõpuks saadakse füüsikalise pendli vabade võnkumiste ringsageduse ω 0 jaoks järgmine avaldis:
|
Energia muundamine vabade mehaaniliste vibratsioonide ajal
Vabade mehaaniliste vibratsioonide ajal muutuvad kineetilised ja potentsiaalsed energiad perioodiliselt. Keha maksimaalsel kõrvalekaldel tasakaaluasendist kaob selle kiirus ja seega ka kineetiline energia. Selles asendis saavutab võnkuva keha potentsiaalne energia maksimaalse väärtuse. Vedrule mõjuva koormuse korral on potentsiaalne energia vedru elastse deformatsiooni energia. Matemaatilise pendli jaoks on see energia Maa gravitatsiooniväljas.
Kui liikuv keha läbib tasakaaluasendi, on selle kiirus maksimaalne. Keha ületab tasakaaluasendi vastavalt inertsiseadusele. Sel hetkel on sellel maksimaalne kineetiline ja minimaalne potentsiaalne energia. Kineetilise energia suurenemine toimub potentsiaalse energia vähenemise tõttu. Edasise liikumisega hakkab potentsiaalne energia suurenema kineetilise energia vms vähenemise tõttu.
Seega toimub harmooniliste võnkumiste ajal kineetilise energia perioodiline muundumine potentsiaalseks energiaks ja vastupidi.
Kui võnkesüsteemis puudub hõõrdumine, siis vabavõnkumiste ajal kogu mehaaniline energia jääb muutumatuks.
Kevadkoormuse jaoks(vt §2.2):
Reaalsetes tingimustes on igasugune võnkesüsteem hõõrdejõudude (takistuse) mõju all. Sel juhul muudetakse osa mehaanilisest energiast aatomite ja molekulide soojusliikumise siseenergiaks ning vibratsioonid muutuvad hääbuv (joonis 2.4.2).
Vibratsiooni vaibumise kiirus sõltub hõõrdejõudude suurusest. Ajavahemik τ, mille jooksul võnkumiste amplituud väheneb e≈ 2,7 korda, kutsuti lagunemise aeg .
Vabavõnkumiste sagedus sõltub võnkumiste vaibumise kiirusest. Hõõrdejõudude suurenedes omasagedus väheneb. Omasageduse muutus on aga märgatav alles siis, kui see on piisav suured jõud hõõrdumine, kui loomulik vibratsioon kiiresti vaibub.
Vaba summutatud võnkumisi teostava võnkesüsteemi oluline tunnus on kvaliteeditegur K. See parameeter on määratletud arvuna N süsteemi poolt summutusaja τ jooksul sooritatud võnkumiste kogusumma, korrutatuna π-ga:
Seega iseloomustab kvaliteeditegur suhtelist energiakadu võnkesüsteemis, mis on tingitud hõõrdumise olemasolust ajavahemiku jooksul, mis on võrdne ühe võnkeperioodiga.
Sunnitud vibratsioonid. Resonants. Isevõnkumised
Välise perioodilise jõu mõjul toimuvaid võnkumisi nimetatakse sunnitud.
Väline jõud teeb positiivset tööd ja tagab võnkesüsteemi energiavoo. See ei lase vibratsioonil hääbuda, hoolimata hõõrdejõudude mõjust.
Perioodiline välisjõud võib aja jooksul muutuda vastavalt erinevaid seadusi. Eriti huvitav on juhtum, kui väline jõud, mis varieerub vastavalt harmoonilisele seadusele sagedusega ω, mõjub võnkesüsteemile, mis on võimeline sooritama oma võnkumisi teatud sagedusel ω 0.
Kui vabad võnkumised toimuvad sagedusel ω 0, mis on määratud süsteemi parameetritega, siis püsivad sundvõnkumised toimuvad alati sagedus ω välisjõud.
Pärast seda, kui välisjõud hakkab võnkesüsteemile mõjuma, tekib mõnda aega Δ t sundvõnkumiste tekitamiseks. Kehtestamise aeg on suurusjärgus võrdne võnkesüsteemi vabade võnkumiste summutusajaga τ.
Algmomendil ergastuvad võnkesüsteemis mõlemad protsessid - sundvõnkumised sagedusel ω ja vabavõnked omasagedusel ω 0. Kuid vabad vibratsioonid sumbuvad hõõrdejõudude vältimatu olemasolu tõttu. Seetõttu jäävad teatud aja möödudes võnkesüsteemi alles vaid statsionaarsed võnked välise liikumapaneva jõu sagedusel ω.
Vaatleme näiteks keha sundvõnkumisi vedrul (joonis 2.5.1). Vedru vabale otsale rakendatakse välist jõudu. See sunnib vedru vaba (joonisel 2.5.1 vasakul) otsa liikuma vastavalt seadusele
Kui vedru vasak ots on vahemaa võrra nihutatud y, ja õige - kaugusesse x algsest asendist, kui vedru oli deformeerimata, siis vedru pikenemine Δ l võrdub:
Selles võrrandis on kehale mõjuv jõud kujutatud kahe liikmena. Esimene termin paremal pool on elastsusjõud, mis kipub keha tasakaaluasendisse tagasi viima ( x= 0). Teine termin on väline perioodiline mõju kehale. Seda terminit nimetatakse sundjõud.
Võrrandile, mis väljendab Newtoni teist seadust vedrul oleva keha kohta välise perioodilise mõju olemasolul, saab anda range matemaatilise kuju, kui võtta arvesse keha kiirenduse ja selle koordinaadi seost: kirjutatakse vormile
Võrrand (**) ei võta hõõrdejõudude mõju arvesse. Erinevalt vabade vibratsioonide võrrandid(*) (vt § 2.2) sundvõnkumise võrrand(**) sisaldab kahte sagedust - vabade võnkumiste sagedust ω 0 ja liikumapaneva jõu sagedust ω.
Püsiseisundis vedru koormuse sundvõnkumised toimuvad teatud sagedusega välismõju seaduses
|
Sundvõnkumiste amplituud x m ja algfaas θ sõltuvad sageduste ω 0 ja ω suhtest ning amplituudist y m välisjõud.
Väga madalatel sagedustel, kui ω<< ω 0 , движение тела массой m, kinnitatud vedru parema otsa külge, kordab vedru vasaku otsa liikumist. Kus x(t) = y(t) ja vedru jääb praktiliselt deformeerimata. Vedru vasakule otsale rakendatav välisjõud ei tööta, kuna selle jõu moodul ω juures<< ω 0 стремится к нулю.
Kui välisjõu sagedus ω läheneb omasagedusele ω 0, toimub sundvõnkumiste amplituudi järsk tõus. Seda nähtust nimetatakse resonants . Amplituudisõltuvus x nimetatakse m sundvõnkumisi liikumapaneva jõu sagedusest ω resonantstunnus või resonantskõver(joonis 2.5.2).
Resonantsi korral amplituud x koormuse m võnkumised võivad olla amplituudist mitu korda suuremad y m välismõjust põhjustatud vedru vaba (vasakpoolse) otsa vibratsioonid. Hõõrdumise puudumisel peaks sundvõnkumiste amplituud resonantsi ajal suurenema piiramatult. Reaalsetes tingimustes määrab püsiseisundi sundvõnkumiste amplituudi tingimus: välisjõu töö võnkeperioodil peab olema võrdne mehaanilise energia kaoga samal ajal hõõrdumise tõttu. Mida väiksem on hõõrdumine (st seda kõrgem on kvaliteeditegur K võnkesüsteem), seda suurem on sundvõnkumiste amplituud resonantsil.
Mitte väga kõrge kvaliteediteguriga võnkesüsteemides (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Resonantsi nähtus võib põhjustada sildade, hoonete ja muude konstruktsioonide hävimist, kui nende võnkumiste omasagedused langevad kokku perioodiliselt mõjuva jõu sagedusega, mis tekib näiteks tasakaalustamata mootori pöörlemise tõttu.
Sunniviisiline vibratsioon on summutamata kõikumised. Hõõrdumisest tingitud vältimatud energiakadud kompenseeritakse perioodiliselt mõjuva jõu välisest allikast saadava energiaga. On süsteeme, milles summutamata võnkumised tekivad mitte perioodiliste välismõjude tõttu, vaid selliste süsteemide võime tõttu reguleerida energiavarustust konstantsest allikast. Selliseid süsteeme nimetatakse isevõnkuv, ja summutamata võnkumiste protsess sellistes süsteemides on isevõnkumised . Isevõnkuvas süsteemis saab eristada kolme iseloomulikku elementi - võnkesüsteemi, energiaallikat ja tagasisideseadet võnkesüsteemi ja allika vahel. Võnkesüsteemina võib kasutada mis tahes mehaanilist süsteemi, mis on võimeline sooritama oma summutatud võnkumisi (näiteks seinakella pendel).
Energiaallikaks võib olla vedru deformatsioonienergia või koormuse potentsiaalne energia gravitatsiooniväljas. Tagasisideseade on mehhanism, mille abil isevõnkuv süsteem reguleerib energiavoogu allikast. Joonisel fig. 2.5.3 on kujutatud isevõnkuva süsteemi erinevate elementide vastasmõju diagrammi.
Mehaanilise isevõnkuva süsteemi näide on kellamehhanism, millel on ankur edenemine (joonis 2.5.4). Viltuste hammastega jooksuratas on jäigalt kinnitatud hammastrumli külge, millest visatakse läbi raskusega kett. Pendel on fikseeritud ülemises otsas ankur(ankur) kahe tahkest materjalist plaadiga, mis on painutatud ringikujuliselt pendli telje keskpunktiga. Käsikellades asendab raskust vedru ja pendlit tasakaalustaja - spiraalvedruga ühendatud käsiratas. Tasakaalustaja teostab ümber oma telje väändvibratsiooni. Kella võnkesüsteem on pendel või tasakaalustaja.
Energiaallikaks on tõstetud raskus või keritud vedru. Tagasiside andmiseks kasutatav seade on ankur, mis võimaldab jooksurattal ühe pooltsükli jooksul pöörata ühte hammast. Tagasiside annab ankru koostoime jooksurattaga. Iga pendli võnkega surub jooksva ratta hammas ankruhargi pendli liikumissuunas, kandes sellele üle teatud osa energiast, mis kompenseerib hõõrdumisest tingitud energiakadusid. Seega kantakse raskuse (või keerdvedru) potentsiaalne energia järk-järgult, eraldi portsjonitena pendlile.
Mehaanilised isevõnkuvad süsteemid on meid ümbritsevas elus ja tehnikas laialt levinud. Isevõnkumised tekivad aurumasinatel, sisepõlemismootoritel, elektrikelladel, poognatega muusikariistade keeltel, puhkpillide torudes olevas õhusambas, rääkimisel või laulmisel häälepaeltel jne.
 |
| Joonis 2.5.4. Pendliga kellamehhanism. |
Kui koolis toimuvad võnked, illustreeritakse neid kahe lihtsaima näitega: raskus vedrul ja matemaatiline pendel (ehk punktraskus venimatul niidil) gravitatsiooniväljas. Mõlemal juhul täheldatakse võnkumistes olulist seaduspärasust: nende periood ei sõltu amplituudist - vähemalt seni, kuni see amplituud jääb väikeseks -, vaid selle määravad ainult süsteemi mehaanilised omadused.
Nüüd ühendame need kaks näidet ja vaatleme gravitatsiooniväljas venitatavale vedrule riputatud raskuse võnkumisi (joonis 1).
Lihtsuse huvides jätame kolmanda mõõtme tähelepanuta ja eeldame, et see vedrupendel võngub rangelt joonise tasapinnas. Sel juhul võib raskus (mida peetakse ka punktraskuseks) liikuda vertikaaltasapinnas igas suunas, mitte ainult üles-alla või vasakult-paremale, nagu on näidatud joonisel 1. 2. Aga kui taas piirduda vaid väikeste kõrvalekalletega tasakaaluasendist, siis horisontaalsed ja vertikaalsed võnkumised toimuvad peaaegu sõltumatult, oma perioodidega Tx Ja T y.
Näib, et kuna need võnkumised on määratud täiesti erinevate jõudude ja süsteemi omadustega, siis võivad nende perioodid olla täiesti suvalised, mitte kuidagi üksteisega seotud. Tuleb välja – ei!
Ülesanne
Tõesta et sellises pendlis on horisontaalvõnkumiste periood alati suurem kui vertikaalsete võnkumiste periood: T x > T y.
Vihje
Probleem võib teid alguses üllatada, kuna tundub, et midagi ei anta, kuid midagi on vaja tõestada. Aga selles pole midagi halba. Kui probleem on sellisel viisil sõnastatud, tähendab see, et saate enda jaoks kasutusele võtta mõned vajalikud tähised, arvutada nendega, mida vajate, ja seejärel jõuda järeldusele, mis on juba ei sõltu nendest väärtustest. Tehke seda selle ülesande jaoks. Võtke võnkeperioodide valemid, mõelge, milliseid suurusi need sisaldavad, ja võrrelge neid kahte perioodi üksteisega jagades.
Lahendus
Massi bobi võnkeperiood m jäigastuval vedrul k ja pikkus L 0 on
.
See valem ei muutu isegi siis, kui raskus riputatakse vaba langemise kiirendusega gravitatsiooniväljas g. Loomulikult nihkub raskuse tasakaaluasend kõrguse Δ võrra allapoole L = mg/k- just sellise vedru pikenemisega kompenseerib elastsusjõud raskusjõu. Kuid vertikaalsete võnkumiste periood selle uue tasakaaluasendi suhtes venitatud vedruga jääb samaks.
Venitatud pendli horisontaalvõnkumiste perioodi väljendatakse raskuskiirendusena g ja tema täis pikkus L = L 0+Δ L:
.
Tänu täiendavale venitamisele gravitatsiooniväljas saame selle teada
See on lahendus.
Järelsõna
Vaatamata näilisele lihtsusele on vedru pendel üsna nähtusterikas süsteem. See on üks lihtsamaid näiteid toredast nähtusest – Fermi resonantsist. See taandub järgmisele: Üldiselt võib öelda, et kui raskust kuidagi tagasi tõmmata ja lahti lasta, siis see võngub nii vertikaalselt kui ka horisontaalselt. Need kahte tüüpi vibratsioonid lihtsalt kattuvad ega sega üksteist. Aga kui vertikaalsete ja horisontaalsete võnkumiste perioodid on omavahel seotud Tx = 2T y, siis hakkavad horisontaalsed ja vertikaalsed vibratsioonid, justkui vastu tahtmist, järk-järgult üksteiseks muutuma, nagu parempoolses animatsioonis. Vibratsioonienergia pumbatakse vertikaalsetelt vibratsioonidelt horisontaalsetele ja vastupidi.
See näeb välja selline: tõmbate raskuse alla ja vabastate selle. Algul võngub ainult üles-alla, siis hakkab iseenesest külgsuunas õõtsuma, hetkeks muutub võnkumine peaaegu täielikult horisontaalseks ja naaseb siis uuesti vertikaali. Üllataval kombel osutub rangelt vertikaalne võnkumine ebastabiilseks.
Selle tähelepanuväärse efekti ja maagilise suhte selgitus Tx:T y= 2:1, see on kõik. Tähistagem poolt x Ja y raskuse kõrvalekalle tasakaaluasendist (telg yülespoole suunatud). Sellise kõrvalekalde korral suureneb potentsiaalne energia summa võrra
See on täpne valem, see sobib igasuguste kõrvalekallete jaoks, olgu need suured või väikesed. Aga kui x Ja y väike, oluliselt vähem L, siis on avaldis ligikaudu võrdne
pluss muud terminid, mis sisaldavad veelgi suuremaid kõrvalekaldeid. Kogused U y Ja Ux- need on tavalised potentsiaalsed energiad, millest saadakse vertikaalsed ja horisontaalsed vibratsioonid. Ja siin on sinisega esile tõstetud väärtus U xy on spetsiaalne lisand, mis tekitab interaktsiooni nende kõikumiste vahel. Tänu sellele väikesele interaktsioonile mõjutavad vertikaalsed vibratsioonid horisontaalseid vibratsioone ja vastupidi. See muutub täiesti läbipaistvaks, kui teete arvutusi edasi ja kirjutate vibratsiooni võrrandi horisontaalselt ja vertikaalselt:
kus tähistus on sisse viidud
Ilma sinise lisandita oleks meil tavalised sõltumatud vertikaalsed ja horisontaalsed võnkumised koos sagedustega ωy Ja ω x. See lisand mängib rolli sundjõud, raputades lisaks vibratsiooni. Kui sagedused ωy Ja ω x on meelevaldsed, siis see väike jõud ei too kaasa olulist mõju. Aga kui suhe kehtib ωy = 2ω x, tekib resonants: mõlemat tüüpi võnkumiste liikumapanev jõud sisaldab komponenti sama sagedusega kui võnkumine ise. Selle tulemusena kõigutab see jõud aeglaselt, kuid kindlalt üht tüüpi vibratsiooni ja surub teise maha. Nii voolavad horisontaalsed ja vertikaalsed vibratsioonid üksteise sisse.
Täiendavad ilud tekivad, kui me ausalt võtame selle näite puhul arvesse kolmandat mõõdet. Eeldame, et raskus suudab vedru vertikaalselt kokku suruda ja lahti suruda ning pendeldada kahes horisontaalses suunas. Seejärel, kui resonantstingimus on täidetud, kirjutab kaal ülalt vaadates välja tähekujulise trajektoori, nagu näiteks joonisel fig. 3. See juhtub seetõttu, et võnketasand ei jää paigale, vaid pöörleb – aga mitte sujuvalt, vaid justkui hüpetega. Kui võnkumine toimub küljelt küljele, siis see tasand enam-vähem püsib ja pöörlemine toimub selle lühikese aja jooksul, mil võnkumine on peaaegu vertikaalne. Kutsume lugejaid ise mõtlema, mis on sellise käitumise põhjused ja mis määrab tasapinna pöördenurga. Ja need, kes soovivad sellesse üsna sügavasse probleemi ülepeakaela sukelduda, võivad vaadata läbi artikli Resonantsi õõtsuva vedru astmeline eelnemine, mis mitte ainult ei anna probleemi üksikasjalikku analüüsi, vaid räägib ka selle ajaloost ja selle probleemi seostest teistega. füüsika harud, eriti aatomifüüsika.
Iga perioodiliselt korduvat liikumist nimetatakse võnkuvaks. Seetõttu kirjeldatakse keha koordinaatide ja kiiruse sõltuvusi ajast võnkumisel aja perioodiliste funktsioonidega. Koolifüüsika kursusel käsitletakse vibratsioone, milles keha sõltuvused ja kiirused on trigonomeetrilised funktsioonid 
, 
või nende kombinatsioon, kus on teatud arv. Selliseid võnkumisi nimetatakse harmoonilisteks (funktsioonid 
Ja 
mida sageli nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks). Füüsika ühtse riigieksami programmi kuuluvate võnkumiste probleemide lahendamiseks peate teadma võnkeliikumise põhiomaduste määratlusi: amplituud, periood, sagedus, ringsagedus (või tsükliline) sagedus ja võnkumiste faas. Anname need definitsioonid ja ühendame loetletud suurused keha koordinaatide ajast sõltuvuse parameetritega, mida harmooniliste võnkumiste korral saab alati esitada kujul
kus , ja on mõned numbrid.
Võnkumiste amplituud on võnkuva keha maksimaalne kõrvalekalle tasakaaluasendist. Kuna koosinuse maksimaalne ja minimaalne väärtus punktis (11.1) on ±1, on keha võnkumise amplituud (11.1) võrdne . Võnkeperiood on minimaalne aeg, mille järel keha liikumist korratakse. Sõltuvusele (11.1) saab perioodi määrata järgmistest kaalutlustest lähtudes. Koosinus on perioodiline funktsioon koos perioodiga. Seetõttu korratakse liikumist täielikult sellise väärtuse kaudu, et . Siit saame
Ringikujuline (või tsükliline) võnkumiste sagedus on ajaühikus sooritatud võnkumiste arv. Valemist (11.3) järeldame, et ringsagedus on suurus valemist (11.1).
Võnkefaas on trigonomeetrilise funktsiooni argument, mis kirjeldab koordinaadi sõltuvust ajast. Valemist (11.1) näeme, et keha võnkumiste faas, mille liikumist kirjeldab sõltuvus (11.1), on võrdne 
. Võnkefaasi väärtust ajahetkel = 0 nimetatakse algfaasiks. Sõltuvuse (11.1) puhul on võnkumiste algfaas võrdne . Ilmselgelt sõltub võnkumiste algfaas aja võrdluspunkti (moment = 0) valikust, mis on alati tingimuslik. Aja alguspunkti muutes saab võnkumiste algfaasi alati nulliga “teha” ja siinuse valemis (11.1) “muuta” koosinusteks või vastupidi.
Ühtse riigieksami programmi kuuluvad ka vedrude ja matemaatiliste pendlite võnkesageduse valemite tundmine. Vedrupendliks nimetatakse tavaliselt keha, mis suudab vedru toimel võnkuda tasasel horisontaalsel pinnal, mille teine ots on fikseeritud (vasakul joonisel). Matemaatiline pendel on massiivne keha, mille mõõtmed võib tähelepanuta jätta, võnkuma pikal kaaluta ja venimatul niidil (joonis parempoolne). Selle süsteemi nimi "matemaatiline pendel" tuleneb asjaolust, et see esindab abstraktset matemaatilised päris mudel ( füüsiline) pendel. Tuleb meeles pidada vedrude ja matemaatiliste pendlite võnkeperioodi (või sageduse) valemeid. Vedrupendli jaoks
kus on niidi pikkus, on raskuskiirendus. Vaatleme nende definitsioonide ja seaduste rakendamist probleemide lahendamise näitel.
Leida koormuse võnkumiste tsükliline sagedus sisse ülesanne 11.1.1 Leiame esmalt võnkeperioodi ja seejärel kasutame valemit (11.2). Kuna 10 m 28 s on 628 s ja selle aja jooksul võngub koormus 100 korda, siis on koormuse võnkeperiood 6,28 s. Seetõttu on võnkumiste tsükliline sagedus 1 s -1 (vastus 2 ). IN probleem 11.1.2 koormus tegi 600 s jooksul 60 võnkumist, seega võnkesagedus on 0,1 s -1 (vastus 1 ).
Et mõista, kui kaua koorem läbib 2,5 perioodi ( probleem 11.1.3), jälgime tema liikumist. Mõne aja pärast naaseb koormus tagasi maksimaalse läbipainde punktini, viies lõpule täieliku võnkumise. Seetõttu liigub koormus selle aja jooksul nelja amplituudiga võrdse vahemaa: tasakaaluasendisse - üks amplituud, tasakaaluasendist maksimaalse kõrvalekalde punktini teises suunas - teises, tagasi tasakaaluasendisse - kolmandaks, tasakaaluasendist lähtepunkti - neljas. Teisel perioodil läbib koormus taas nelja amplituudi ja ülejäänud poole perioodi jooksul - kaks amplituudi. Seetõttu on läbitud vahemaa võrdne kümne amplituudiga (vastus 4 ).
Keha liikumise maht on kaugus alguspunktist lõpp-punktini. Üle 2,5 perioodi sisse ülesanne 11.1.4 kehal jääb aega sooritada kaks täis- ja pool täisvõnkumist, s.t. on maksimaalse hälbe juures, kuid teisel pool tasakaaluasendit. Seetõttu on nihke suurus võrdne kahe amplituudiga (vastus 3 ).
Definitsiooni järgi on võnkefaas trigonomeetrilise funktsiooni argument, mis kirjeldab võnkuva keha koordinaatide sõltuvust ajast. Seetõttu on õige vastus probleem 11.1.5 - 3 .
Periood on täieliku võnkumise aeg. See tähendab, et keha tagasipöördumine samasse punkti, kust keha hakkas liikuma, ei tähenda, et periood on möödas: keha peab samasse punkti tagasi pöörduma sama kiirusega. Näiteks tasakaaluasendist võnkumist alustanud kehal on aega ühes suunas maksimaalselt kõrvale kalduda, tagasi pöörduda, teises suunas maksimumi võrra kõrvale kalduda ja uuesti tagasi pöörduda. Seetõttu on kehal perioodi jooksul aega maksimaalselt tasakaaluasendist kaks korda kõrvale kalduda ja tagasi pöörduda. Järelikult üleminek tasakaaluasendist maksimaalse kõrvalekalde punktini ( probleem 11.1.6) keha veedab veerandi perioodist (vastus 3 ).
Harmoonilised võnked on sellised, mille puhul võnkuva keha koordinaatide sõltuvust ajast kirjeldatakse aja trigonomeetrilise (siinus- või koosinus)funktsiooniga. IN ülesanne 11.1.7 need on funktsioonid ja hoolimata asjaolust, et neis sisalduvad parameetrid on tähistatud kui 2 ja 2 . Funktsioon on aja ruudu trigonomeetriline funktsioon. Seetõttu on ainult suuruste ja vibratsioonid harmoonilised (vastus 4 ).
Harmooniliste vibratsioonide ajal muutub keha kiirus vastavalt seadusele 
, kus on kiiruse võnkumiste amplituud (aja võrdluspunkt on valitud nii, et võnkumiste algfaas on võrdne nulliga). Siit leiame keha kineetilise energia sõltuvuse ajast 
(probleem 11.1.8). Kasutades edasi tuntud trigonomeetrilist valemit, saame
Sellest valemist järeldub, et keha kineetiline energia muutub harmooniliste võnkumiste ajal ka harmoonilise seaduse järgi, kuid kahekordse sagedusega (vastus 2 ).
Koormuse kineetilise energia ja vedru potentsiaalse energia vahelise seose taga ( probleem 11.1.9) on järgmistest kaalutlustest lihtne järgida. Kui keha on tasakaaluasendist maksimaalselt kõrvale kaldunud, on keha kiirus null ja seetõttu on vedru potentsiaalne energia suurem kui koormuse kineetiline energia. Vastupidi, kui keha läbib tasakaaluasendi, on vedru potentsiaalne energia null ja seetõttu on kineetiline energia suurem kui potentsiaalne energia. Seetõttu võrreldakse tasakaaluasendi läbimise ja maksimaalse läbipainde vahel kineetilist ja potentsiaalset energiat üks kord. Ja kuna perioodi jooksul liigub keha tasakaaluasendist kuni maksimaalse läbipainde või tagasi neli korda, siis perioodi jooksul võrreldakse koormuse kineetilist energiat ja vedru potentsiaalset energiat neli korda (vastus 2 ).
Kiiruse kõikumiste amplituud ( ülesanne 11.1.10) on kõige lihtsam leida kasutades energia jäävuse seadust. Maksimaalse läbipainde punktis on võnkesüsteemi energia võrdne vedru potentsiaalse energiaga 
, kus on vedru jäikuse koefitsient, on vibratsiooni amplituud. Tasakaaluasendi läbimisel võrdub keha energia kineetilise energiaga 
, kus on keha mass, on keha kiirus tasakaaluasendi läbimisel, mis on keha maksimaalne kiirus võnkeprotsessi ajal ja seega tähistab kiirusvõnkumiste amplituudi. Võrdsustades need energiad, leiame
(vastus 4 ).
Valemist (11.5) järeldame ( probleem 11.2.2), et selle periood ei sõltu matemaatilise pendli massist ja pikkuse suurenemisega 4 korda suureneb võnkeperiood 2 korda (vastus 1 ).
Kell on võnkuv protsess, mida kasutatakse ajavahemike mõõtmiseks ( probleem 11.2.3). Sõnad "kellal on kiire" tähendab, et selle protsessi periood on lühem, kui see peaks olema. Seetõttu on nende kellade edenemise selgitamiseks vaja protsessi perioodi pikendada. Valemi (11.5) kohaselt on matemaatilise pendli võnkeperioodi suurendamiseks vaja suurendada selle pikkust (vastus 3 ).
Et leida võnkumiste amplituudi sisse probleem 11.2.4, on vaja keha koordinaatide sõltuvust ajast esitada ühe trigonomeetrilise funktsiooni kujul. Tingimuses antud funktsiooni puhul saab seda teha lisanurga sisseviimisega. Selle funktsiooni korrutamine ja jagamine arvuga 
ja kasutades trigonomeetriliste funktsioonide lisamise valemit, saame
|
kus on selline nurk, et 
. Sellest valemist järeldub, et keha võnkumiste amplituud on 
(vastus 4
).