1. Kui kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed:
Kui a||c Ja b||c, See a||b.
2. Kui kaks sirget on risti kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed:
Kui a⊥c Ja b⊥c, See a||b.
Ülejäänud joonte paralleelsuse tunnused põhinevad kahe sirge ristamisel kolmandaga tekkivatel nurkadel.
3. Kui sisemiste ühepoolsete nurkade summa on 180°, siis on sirged paralleelsed:
Kui ∠1 + ∠2 = 180°, siis a||b.
4. Kui vastavad nurgad on võrdsed, on sirged paralleelsed:
Kui ∠2 = ∠4, siis a||b.
5. Kui sisemised ristnurgad on võrdsed, on sirged paralleelsed:
Kui ∠1 = ∠3, siis a||b.
Paralleelsete joonte omadused
Paralleelsete sirgete omadustele vastupidised väited on nende omadused. Need põhinevad nurkade omadustel, mis on moodustatud kahe paralleelse sirge ja kolmanda sirge ristumiskohas.
1. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende poolt moodustatud sisemiste ühekülgsete nurkade summa 180°:
Kui a||b, siis ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende poolt moodustatud vastavad nurgad võrdsed:
Kui a||b, siis ∠2 = ∠4.
3. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende moodustatud ristnurgad võrdsed:
Kui a||b, siis ∠1 = ∠3.
Järgmine omadus on iga eelneva puhul erijuhtum:
4. Kui tasapinna sirge on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on ta risti ka teisega:
Kui a||b Ja c⊥a, See c⊥b.
Viies omadus on paralleelsete sirgete aksioom:
5. Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata ainult ühe sirge paralleelselt antud sirgega.
See artikkel käsitleb paralleelseid sirgeid ja paralleelseid sirgeid. Esmalt esitatakse paralleelsete joonte definitsioon tasapinnal ja ruumis, tutvustatakse tähistusi, tuuakse paralleeljoonte näiteid ja graafilisi illustratsioone. Järgmisena käsitletakse sirgete paralleelsuse märke ja tingimusi. Kokkuvõttes on toodud sirgete paralleelsuse tõestamise tüüpiliste ülesannete lahendused, mis on antud mõne sirge võrrandiga. ristkülikukujuline süsteem koordinaadid lennukis ja sisse kolmemõõtmeline ruum.
Leheküljel navigeerimine.
Rööpjooned – põhiteave.
Definitsioon.
Nimetatakse kahte tasapinna sirget paralleelselt, kui neil pole ühiseid punkte.
Definitsioon.
Nimetatakse kahte joont kolmemõõtmelises ruumis paralleelselt, kui need asuvad samal tasapinnal ja neil pole ühiseid punkte.
Pange tähele, et klausel "kui need asuvad samal tasapinnal" ruumi paralleelsete joonte määratluses on väga oluline. Selgitame seda punkti: kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis, millel ei ole ühiseid punkte ja mis ei asu samal tasapinnal, ei ole paralleelsed, vaid lõikuvad.
Siin on mõned paralleelsete joonte näited. Märkmiku lehe vastasservad asuvad paralleelsetel joontel. Sirged jooned, mida mööda maja seina tasapind lõikub lae ja põranda tasapindadega, on paralleelsed. Paralleelsete joontena võib käsitleda ka raudteerööpaid tasasel maal.
Paralleelsete joonte tähistamiseks kasutage sümbolit "". See tähendab, et kui sirged a ja b on paralleelsed, saame lühidalt kirjutada a b.
Pange tähele: kui sirged a ja b on paralleelsed, siis võime öelda, et sirge a on paralleelne sirgega b ja ka sirge b paralleelne sirgega a.
Ütleme välja avalduse, mis mängib oluline roll paralleelsete sirgete uurimisel tasapinnal: punktist, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda väidet aktsepteeritakse faktina (seda ei saa tõestada teadaolevate planimeetria aksioomide põhjal) ja seda nimetatakse paralleelsete sirgete aksioomiks.
Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi on lihtne tõestada ülaltoodud paralleelsete sirgete aksioomi abil (selle tõestuse leiate 10.–11. klasside geomeetriaõpikust, mis on loetletud artikli lõpus kirjanduse loetelus).
Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi saab hõlpsasti tõestada ülaltoodud paralleelse joone aksioomi abil.
Sirgede paralleelsus - paralleelsuse märgid ja tingimused.
Märk sirgete paralleelsusest on joonte paralleelsuse piisav tingimus, st tingimus, mille täitmine tagab sirgete paralleelsuse. Teisisõnu, selle tingimuse täitmine on piisav joonte paralleelsuse tuvastamiseks.
Samuti on olemas vajalikud ja piisavad tingimused sirgete paralleelsusele tasapinnal ja ruumilises ruumis.
Selgitagem fraasi "vajalik ja piisav tingimus paralleelsete joonte jaoks" tähendust.
Paralleelsete joonte piisava tingimusega oleme juba tegelenud. Ja mis on" vajalik tingimus sirgete paralleelsus"? Nimetusest “vajalik” selgub, et paralleeljoonte puhul on selle tingimuse täitmine vajalik. Ehk kui joonte paralleelsuse vajalik tingimus ei ole täidetud, siis pole sirged paralleelsed. Seega paralleelsete joonte jaoks vajalik ja piisav tingimus on tingimus, mille täitmine on paralleelsete sirgete jaoks nii vajalik kui ka piisav. See tähendab, et ühest küljest on see joonte paralleelsuse märk ja teisest küljest on see omadus, mis paralleelsetel sirgel on.
Enne joonte paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamist on soovitav meelde tuletada mitmeid abidefinitsioone.
Sekantne joon on sirge, mis lõikab kahte etteantud mittekattuvat sirget.
Kui kaks sirget ristuvad põikisuunaga, moodustub kaheksa väljakujunemata. Sirgede paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamisel kasutatakse nn risti lamades, vastav Ja ühepoolsed nurgad. Näitame neid joonisel.
Teoreem.
Kui tasapinna kahte sirget lõikub põiki, siis nende paralleelsuse jaoks on vajalik ja piisav, et lõikuvad nurgad on võrdsed või vastavad nurgad on võrdsed või ühepoolsete nurkade summa on võrdne 180 kraadid.
Näitame selle tasapinna sirgete paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse graafilise illustratsiooni.
Tõestused nende sirgete paralleelsuse tingimuste kohta leiate 7.-9.klassi geomeetriaõpikutest.
Pange tähele, et neid tingimusi saab kasutada ka kolmemõõtmelises ruumis – peaasi, et kaks sirget ja sekant asetseksid samal tasapinnal.
Siin on veel mõned teoreemid, mida sageli kasutatakse sirgete paralleelsuse tõestamiseks.
Teoreem.
Kui tasapinna kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestus tuleneb paralleelsete sirgete aksioomist.
Sarnane tingimus on paralleelsete joonte jaoks kolmemõõtmelises ruumis.
Teoreem.
Kui kaks sirget ruumis on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestusest räägitakse 10. klassi geomeetriatundides.
Illustreerime esitatud teoreeme.
Esitame veel ühe teoreemi, mis võimaldab tõestada sirgete paralleelsust tasapinnal.
Teoreem.
Kui tasapinna kaks sirget on risti kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed.
Sarnane teoreem on ka ruumijoonte kohta.
Teoreem.
Kui kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis on sama tasapinnaga risti, siis on nad paralleelsed.
Joonistame nendele teoreemidele vastavad pildid.
Kõik eelpool sõnastatud teoreemid, kriteeriumid ning vajalikud ja piisavad tingimused sobivad suurepäraselt sirgete paralleelsuse tõestamiseks geomeetria meetoditega. See tähendab, et kahe antud sirge paralleelsuse tõestamiseks peate näitama, et need on paralleelsed kolmanda sirgega, või näitama risti asetsevate nurkade võrdsust jne. Geomeetriatundides lahendatakse palju sarnaseid probleeme Keskkool. Samas tuleb tähele panna, et paljudel juhtudel on mugav kasutada koordinaatmeetodit sirgete paralleelsuse tõestamiseks tasapinnal või ruumilises ruumis. Sõnastame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratud sirgete paralleelsuse vajalikud ja piisavad tingimused.
Sirgete paralleelsus ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.
Artikli selles lõigus sõnastame paralleelsete joonte jaoks vajalikud ja piisavad tingimused ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, olenevalt neid sirgeid määratlevate võrrandite tüübist ning pakume ka üksikasjalikke lahendusi iseloomulikele probleemidele.
Alustame kahe sirge paralleelsuse tingimusega tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy. Tema tõestus põhineb sirge suunavektori definitsioonil ja tasapinnal oleva sirge normaalvektori definitsioonil.
Teoreem.
Selleks, et kaks mittekattuvat sirget oleksid tasapinnas paralleelsed, on vajalik ja piisav, et nende sirgete suunavektorid on kollineaarsed või nende sirgete normaalvektorid on kollineaarsed või ühe sirge suunavektor on normaalsega risti teise rea vektor.
Ilmselt taandatakse tasapinna kahe sirge paralleelsuse tingimuseks (joonte suunavektorid või sirgete normaalvektorid) või (ühe sirge suunavektor ja teise sirge normaalvektor). Seega, kui ja on sirgete a ja b suunavektorid ja 
Ja 
on vastavalt sirgete a ja b normaalvektorid, siis kirjutatakse sirgete a ja b paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus 
, või 
, või , kus t on mõni reaalarv. Sirgete a ja b juhikute ja (või) normaalvektorite koordinaadid omakorda leitakse teadaolevate joonte võrrandite abil.
Eelkõige siis, kui tasapinnal olev sirge a ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy määratleb üldise sirgjoone võrrandi kujul 
ja sirgjoon b - 
, siis on nende sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus kirjutatakse kujul .
Kui sirgele a vastab kuju nurkkoefitsiendiga sirge võrrand ja sirgele b-, siis nende sirgete normaalvektoritel on koordinaadid ja ning nende sirgete paralleelsuse tingimus on kujul 
. Järelikult, kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevad sirged on paralleelsed ja neid saab määrata nurkkoefitsientidega sirgete võrranditega, siis on sirgete nurkkoefitsiendid võrdsed. Ja vastupidi: kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevaid mittekattuvad sirged saab määrata võrdsete nurkkoefitsientidega sirge võrranditega, siis on sellised sirged paralleelsed.
Kui sirge a ja sirge b ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratud vormi tasapinnal oleva sirge kanooniliste võrranditega 
Ja 
, või sirge parameetrilised võrrandid vormi tasapinnal 
Ja 
vastavalt on nende sirgete suunavektoritel koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus on kirjutatud kujul .
Vaatame mitme näite lahendusi.
Näide.
Kas jooned on paralleelsed? 
Ja ?
Lahendus.
Kirjutame sirge võrrandi lõikude kaupa ümber sirge üldvõrrandi kujul: 
. Nüüd näeme, et see on joone normaalne vektor , a on sirge normaalvektor. Need vektorid ei ole kollineaarsed, kuna pole olemas reaalarvu t, mille jaoks võrdus ( 
). Järelikult ei ole täidetud tasapinna sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, mistõttu antud sirged ei ole paralleelsed.
Vastus:
Ei, jooned ei ole paralleelsed.
Näide.
Kas sirged ja paralleelsed?
Lahendus.
Taandagem sirge kanooniline võrrand nurkkoefitsiendiga sirge võrrandiks: . Ilmselgelt ei ole sirgete ja võrrandid samad (sel juhul oleksid antud sirged samad) ja sirgete nurkkoefitsiendid on võrdsed, seega on algsed sirged paralleelsed.
Kahe sirge paralleelsuse märgid
Teoreem 1. Kui kaks sirget lõikuvad sekantiga:
ristatud nurgad on võrdsed või
vastavad nurgad on võrdsed või
ühepoolsete nurkade summa on 180°, siis
jooned on paralleelsed(Joonis 1).
Tõestus. Piirdume juhtumi 1 tõestamisega.
Olgu ristuvad sirged a ja b risti ning nurgad AB võrdsed. Näiteks ∠ 4 = ∠ 6. Tõestame, et a || b.
Oletame, et sirged a ja b ei ole paralleelsed. Seejärel lõikuvad nad mingis punktis M ja seetõttu on üks nurkadest 4 või 6 kolmnurga ABM välisnurk. Määratluse huvides olgu ∠ 4 kolmnurga ABM välisnurk ja ∠ 6 sisenurk. Kolmnurga välisnurga teoreemist järeldub, et ∠ 4 on suurem kui ∠ 6 ja see on vastuolus tingimusega, mis tähendab, et sirged a ja 6 ei saa ristuda, seega on nad paralleelsed.
Järeldus 1. Kaks erinevat sirget sama sirgega risti asetseval tasapinnal on paralleelsed(joonis 2).
Kommenteeri. Seda, kuidas me just tõestasime teoreemi 1 juhtumit 1, nimetatakse tõestusmeetodiks vastuolu või absurdsusele taandamisega. See meetod sai oma eesnime, kuna argumendi alguses tehakse eeldus, mis on vastupidine (vastupidine) tõestatavale. Seda nimetatakse absurdi viimiseks seetõttu, et tehtud oletuse põhjal arutledes jõuame absurdse järelduseni (absurdini). Sellise järelduse saamine sunnib meid tagasi lükkama alguses tehtud oletuse ja leppima sellega, mis vajas tõestamist.
Ülesanne 1. Ehitage sirge, mis läbib antud punkti M ja on paralleelne antud sirgega a, mis ei läbi punkti M.
Lahendus. Joonistame sirge p läbi punkti M risti sirgjoonega a (joonis 3).
Seejärel joonestame sirge b läbi punkti M risti sirgega p. Sirg b on paralleelne joonega a vastavalt teoreemi 1 järeldusele.
Vaadeldavast probleemist järeldub oluline järeldus:
läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, on alati võimalik tõmmata antud sirgega paralleelne sirge.
Paralleelsete joonte peamine omadus on järgmine.
Paralleelsete sirgete aksioom. Läbi antud punkti, mis ei asu antud sirgel, läbib antud punktiga paralleelselt ainult üks sirge.
Vaatleme mõningaid sellest aksioomist tulenevaid paralleelsirgete omadusi.
1) Kui sirge lõikub ühega kahest paralleelsest sirgest, siis ta lõikub ka teisega (joonis 4).
2) Kui kaks erinevat sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed (joonis 5).
Õige on ka järgmine teoreem.
Teoreem 2. Kui kaks paralleelset sirget lõikub ristiga, siis:
ristnurgad on võrdsed;
vastavad nurgad on võrdsed;
ühepoolsete nurkade summa on 180°.
Järeldus 2. Kui sirge on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on see risti ka teisega(vt joonis 2).
Kommenteeri. Teoreemi 2 nimetatakse 1. teoreemi pöördväärtuseks. 1. teoreemi järeldus on teoreemi 2 tingimus. 1. teoreemi tingimus on teoreemi 2 järeldus. Igal teoreemil ei ole pöördväärtust, st kui antud teoreem on tõene, siis võib pöördteoreem olla väär.
Selgitame seda vertikaalnurkade teoreemi näitel. Selle teoreemi saab sõnastada järgmiselt: kui kaks nurka on vertikaalsed, siis on need võrdsed. Vastupidine teoreem oleks: kui kaks nurka on võrdsed, siis on nad vertikaalsed. Ja see pole muidugi tõsi. Kaks võrdsed nurgad ei pea olema üldse vertikaalne.
Näide 1. Kaks paralleelset joont ristuvad kolmandikuga. Teatavasti on kahe sisemise ühepoolse nurga erinevus 30°. Leidke need nurgad.
Lahendus. Laske joonisel 6 täita tingimus.
Need ei ristu, olenemata sellest, kui kaua neid jätkatakse. Sirgete paralleelsust kirjas tähistatakse järgmiselt: AB|| KOOSE
Selliste sirgete olemasolu võimalikkust tõestab teoreem.
Teoreem.
Läbi mis tahes punkti, mis on võetud väljaspool antud sirget, saab tõmmata selle sirgega paralleelse punkti.
Lase AB see sirgjoon ja KOOS mingi punkt sellest väljapoole võetud. Seda tuleb läbi tõestada KOOS saate tõmmata sirge joone paralleelseltAB. Laseme selle alla AB punktist KOOS ristiKOOSD ja siis me dirigeerime KOOSE^ KOOSD, mis on võimalik. Otse C.E. paralleelselt AB.
Selle tõestamiseks oletagem vastupidist, st seda C.E. ristub AB mingil hetkel M. Siis punktist M sirgjoonele KOOSD meil oleks kaks erinevat risti MD Ja PRL, mis on võimatu. Tähendab, C.E. ei saa ületada AB, st. KOOSE paralleelselt AB.
Tagajärg.
Kaks risti (CEJaD.B.) ühele sirgele (CD) on paralleelsed.
Paralleelsete sirgete aksioom.
Sama punkti kaudu on võimatu tõmmata kahte erinevat joont paralleelselt sama joonega.
Seega, kui otse KOOSD, tõmmatud läbi punkti KOOS joonega paralleelne AB, siis igal teisel real KOOSE, tõmmatud läbi sama punkti KOOS, ei saa olla paralleelne AB, st. ta jätkab ristuvad Koos AB.
Selle mitte täiesti ilmse tõe tõestamine osutub võimatuks. Seda aktsepteeritakse ilma tõestuseta, kui vajalik eeldus (postulatum).
Tagajärjed.
1. Kui sirge(KOOSE) lõikub ühega paralleelselt(NE), siis lõikub teisega ( AB), sest muidu läbi sama punkti KOOS paralleelselt läbiks kaks erinevat sirget AB, mis on võimatu.
2. Kui kumbki kahest otsene (AJaB) on paralleelsed sama kolmanda reaga ( KOOS) , siis nad paralleelselt omavahel.
Tõepoolest, kui me seda eeldame A Ja B ristuvad mingil hetkel M, siis läbiksid selle punktiga paralleelsed kaks erinevat sirget KOOS, mis on võimatu.
Teoreem.
Kui joon on ristiühele paralleelsetest sirgest, siis on see teisega risti paralleelselt.
Lase AB || KOOSD Ja E.F. ^ AB.Seda nõutakse tõestama E.F. ^ KOOSD.
PerpendikulaarneEF, ristuvad AB, kindlasti ületab ja KOOSD. Olgu ristumispunkt H.
Oletame nüüd seda KOOSD mitte risti E.H.. Siis mingi muu sirge näiteks H.K., on sellega risti E.H. ja seega läbi sama punkti H tuleb kaks sirge paralleel AB: üks KOOSD, tingimuse ja muu H.K. nagu varem tõestatud. Kuna see on võimatu, ei saa seda eeldada NE ei olnud sellega risti E.H..
Selles artiklis räägime paralleelsetest sirgetest, anname definitsioonid ja visandame paralleelsuse tunnused ja tingimused. Teoreetilise materjali selgemaks muutmiseks kasutame illustratsioone ja tüüpnäidete lahendusi.
Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon
Paralleelsed sirged tasapinnal– kaks sirget tasapinnal, millel pole ühiseid punkte.
2. definitsioon
Paralleelsed jooned kolmemõõtmelises ruumis– kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis, mis asuvad samas tasapinnas ja millel pole ühiseid punkte.
Tuleb märkida, et paralleelsete joonte määramiseks ruumis on äärmiselt oluline selgitus "asub samal tasapinnal": kaks joont kolmemõõtmelises ruumis, millel pole ühiseid punkte ja mis ei asu samal tasapinnal, ei ole paralleelsed. , kuid ristuvad.
Paralleelsete joonte tähistamiseks kasutatakse tavaliselt sümbolit ∥. See tähendab, et kui antud sirged a ja b on paralleelsed, tuleks see tingimus lühidalt kirjutada järgmiselt: a ‖ b. Sõnaliselt tähistatakse sirgete paralleelsust järgmiselt: sirged a ja b on paralleelsed või sirge a on paralleelne sirgega b või sirge b paralleelne sirgega a.
Sõnastagem väide, mis mängib uuritavas teemas olulist rolli.
Aksioom
Läbi punkti, mis ei kuulu antud sirgele, läbib ainus sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda väidet ei saa tõestada teadaolevate planimeetria aksioomide põhjal.
Juhul kui me räägime ruumi kohta on teoreem tõene:
1. teoreem
Läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei kuulu antud sirgele, kulgeb antud sirgega paralleelne sirge.
Seda teoreemi on lihtne tõestada ülaltoodud aksioomi (geomeetriaprogramm 10. - 11. klassile) alusel.
Paralleelsuse kriteerium on piisav tingimus, mille täitmine tagab sirgete paralleelsuse. Teisisõnu, selle tingimuse täitmine on paralleelsuse fakti kinnitamiseks piisav.
Eelkõige on olemas vajalikud ja piisavad tingimused sirgete paralleelsusele tasapinnal ja ruumis. Selgitagem: vajalik tähendab tingimust, mille täitmine on paralleelsete sirgete jaoks vajalik; kui see ei ole täidetud, ei ole jooned paralleelsed.
Kokkuvõtteks võib öelda, et sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus on tingimus, mille järgimine on vajalik ja piisav, et sirged oleksid üksteisega paralleelsed. Ühelt poolt on see paralleelsuse märk, teisest küljest on see paralleeljoontele omane omadus.
Enne vajaliku ja piisava tingimuse täpse sõnastuse andmist tuletagem meelde paar täiendavat mõistet.
3. määratlus
Sekantne joon– sirge, mis lõikab kahte etteantud mittekattuvat sirget.
Kaht sirget lõikuvat põikjoont moodustab kaheksa väljakujunemata nurka. Vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamiseks kasutame selliseid nurki nagu rist, vastav ja ühepoolne. Näitame neid illustratsioonil:
2. teoreem
Kui tasapinna kahte sirget lõikab põik, siis selleks, et antud sirged oleksid paralleelsed, on vajalik ja piisav, et ristumisnurgad on võrdsed või vastavad nurgad on võrdsed või ühepoolsete nurkade summa on võrdne 180 kraadi.
Illustreerime graafiliselt tasapinna sirgete paralleelsuse vajalikku ja piisavat tingimust:
Nende tingimuste tõend on olemas 7.–9. klasside geomeetriaprogrammis.
Üldjuhul kehtivad need tingimused ka kolmemõõtmelise ruumi puhul, eeldusel, et kaks joont ja sekant kuuluvad samale tasapinnale.
Toome välja veel mõned teoreemid, mida sageli kasutatakse sirgete paralleelsuse tõestamiseks.
3. teoreem
Tasapinnal on kaks kolmandaga paralleelset sirget paralleelsed. See omadus on tõestatud ülaltoodud paralleelsuse aksioomi alusel.
4. teoreem
Kolmemõõtmelises ruumis on kaks kolmandaga paralleelset sirget paralleelsed.
Märgi tõestamist õpitakse 10. klassi geomeetria õppekavas.
Toome nende teoreemide näite:
Nimetagem veel üks paar teoreemi, mis tõestavad sirgete paralleelsust.
5. teoreem
Tasapinnal on kaks sirget, mis on risti kolmandaga, üksteisega paralleelsed.
Sõnastame sarnase asja kolmemõõtmelise ruumi jaoks.
6. teoreem
Kolmemõõtmelises ruumis on kaks joont, mis on risti kolmandaga, üksteisega paralleelsed.
Illustreerime:
Kõik ülaltoodud teoreemid, märgid ja tingimused võimaldavad sirgete paralleelsust mugavalt tõestada geomeetria meetoditega. See tähendab, et sirgete paralleelsuse tõestamiseks võib näidata, et vastavad nurgad on võrdsed, või näidata, et kaks antud sirget on risti kolmandaga jne. Kuid pange tähele, et sageli on mugavam kasutada koordinaatide meetodit sirgete paralleelsuse tõestamiseks tasapinnal või kolmemõõtmelises ruumis.
Sirgete paralleelsus ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis
Antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratakse sirge sirgjoone võrrandiga ühe võimalikud tüübid. Samamoodi vastab ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kolmemõõtmelises ruumis määratletud sirge mõnele ruumilise sirge võrrandile.
Paneme kirja ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirgete paralleelsuse vajalikud ja piisavad tingimused olenevalt antud sirgeid kirjeldava võrrandi tüübist.
Alustame tasapinna sirgete paralleelsuse tingimusega. See põhineb sirge suundvektori ja tasapinnal oleva sirge normaalvektori definitsioonidel.
7. teoreem
Selleks, et kaks mittekattuvat sirget oleks tasapinnal paralleelsed, on vajalik ja piisav, et antud sirgete suunavektorid on kollineaarsed või antud sirgete normaalvektorid on kollineaarsed või ühe sirge suunavektor on joonega risti. teise sirge normaalvektor.
Selgub, et tasapinna sirgete paralleelsuse tingimus põhineb vektorite kollineaarsuse tingimusel või kahe vektori perpendikulaarsuse tingimusel. See tähendab, et kui a → = (a x, a y) ja b → = (b x, b y) on sirgete a ja b suunavektorid;
ja n b → = (n b x , n b y) on sirgete a ja b normaalvektorid, siis kirjutame ülaltoodud vajaliku ja piisava tingimuse järgmiselt: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y või n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y või a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kus t on mingi reaalarv. Juhikute ehk sirgevektorite koordinaadid määratakse sirgjoonte etteantud võrranditega. Vaatame peamisi näiteid.
- Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis olev sirge a määratakse sirge üldvõrrandiga: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; sirgjoon b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Siis on antud sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid (A 1, B 1) ja (A 2, B 2). Kirjutame paralleelsuse tingimuse järgmiselt:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Sirget a kirjeldab sirge võrrand, mille kaldenurk on kujul y = k 1 x + b 1 . Sirge b - y = k 2 x + b 2. Siis on antud sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid (k 1, - 1) ja (k 2, - 1) ning paralleelsuse tingimuse kirjutame järgmiselt:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Seega, kui paralleelsed sirged tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud nurkkoefitsientidega võrranditega, siis on antud sirgete nurkkoefitsiendid võrdsed. Ja tõsi on vastupidine väide: kui ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi tasapinnal olevad mittekattuvad sirged on määratud identsete nurkkoefitsientidega sirge võrranditega, siis on need antud sirged paralleelsed.
- Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis olevad sirged a ja b määratakse tasapinna sirge kanooniliste võrranditega: x - x 1 a x = y - y 1 a y ja x - x 2 b x = y - y 2 b y või parameetriliste võrranditega sirge tasapinnal: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y ja x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Siis on antud sirgete suunavektorid: vastavalt a x, a y ja b x, b y ning paralleelsuse tingimuse kirjutame järgmiselt:
a x = t b x a y = t b y
Vaatame näiteid.
Näide 1
Antud on kaks rida: 2 x - 3 y + 1 = 0 ja x 1 2 + y 5 = 1. On vaja kindlaks teha, kas need on paralleelsed.
Lahendus
Kirjutame sirgjoone võrrandi segmentides üldvõrrandi kujul:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Näeme, et n a → = (2, - 3) on sirge 2 x - 3 y + 1 = 0 normaalvektor ja n b → = 2, 1 5 on sirge x 1 2 + y 5 normaalvektor = 1.
Saadud vektorid ei ole kollineaarsed, sest ei ole sellist tat väärtust, mille võrdsus oleks tõene:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Seega ei ole täidetud tasapinna sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, mis tähendab, et antud sirged ei ole paralleelsed.
Vastus: antud sirged ei ole paralleelsed.
Näide 2
Antud on sirged y = 2 x + 1 ja x 1 = y - 4 2. Kas need on paralleelsed?
Lahendus
Teisendame sirge x 1 = y - 4 2 kanoonilise võrrandi kaldega sirge võrrandiks:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Näeme, et sirgete y = 2 x + 1 ja y = 2 x + 4 võrrandid ei ole samad (kui see oleks teisiti, langeksid sirged kokku) ja sirgete nurkkoefitsiendid on võrdsed, mis tähendab antud sirged on paralleelsed.
Proovime probleemi teisiti lahendada. Kõigepealt kontrollime, kas antud read langevad kokku. Kasutame mis tahes punkti sirgel y = 2 x + 1, näiteks (0, 1), selle punkti koordinaadid ei vasta joone võrrandile x 1 = y - 4 2, mis tähendab, et sirged teevad seda. ei lange kokku.
Järgmise sammuna tuleb kindlaks teha, kas antud sirgete paralleelsuse tingimus on täidetud.
Sirge y = 2 x + 1 normaalvektor on vektor n a → = (2 , - 1) , teise etteantud sirge suunavektor on b → = (1 , 2) . Nende vektorite skalaarkorrutis on võrdne nulliga:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Seega on vektorid risti: see näitab meile esialgsete sirgete paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse täitmist. Need. antud sirged on paralleelsed.
Vastus: need jooned on paralleelsed.
Kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirgete paralleelsuse tõestamiseks kasutatakse järgmist vajalikku ja piisavat tingimust.
8. teoreem
Et kaks mittekattuvat sirget kolmemõõtmelises ruumis oleksid paralleelsed, on vajalik ja piisav, et nende sirgete suunavektorid oleksid kollineaarsed.
Need. arvestades joonte võrrandeid kolmemõõtmelises ruumis, leitakse vastus küsimusele: kas nad on paralleelsed või mitte, määrates antud sirgete suunavektorite koordinaadid, samuti kontrollides nende kollineaarsuse tingimust. Teisisõnu, kui sirgete a ja b suunavektoriteks on vastavalt a → = (a x, a y, a z) ja b → = (b x, b y, b z), siis selleks, et need oleksid paralleelsed, on olemas sellise reaalarvu t on vajalik, et võrdus kehtiks:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Näide 3
Antud on sirged x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ja x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Nende sirgete paralleelsust on vaja tõestada.
Lahendus
Ülesande tingimused on antud ruumis ühe sirge kanooniliste võrrandite ja ruumis teise sirge parameetriliste võrranditega. Juhtvektorid a → ja b → antud joontel on koordinaadid: (1, 0, - 3) ja (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, siis a → = 1 2 · b → .
Järelikult on joonte ruumis paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus täidetud.
Vastus: antud sirgete paralleelsus on tõestatud.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter