Tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi moodustavad kaks üksteisega risti asetsevat koordinaattelge X’X ja Y’Y. Koordinaatide teljed lõikuvad punktis O, mida nimetatakse alguspunktiks, valitakse igal teljel positiivne suund Telgede positiivne suund (parempoolses koordinaatsüsteemis) valitakse nii, et X'X telje pööramisel vastupäeva 90° võrra, selle positiivne suund langeb kokku Y'Y telje positiivse suunaga. Neli nurka (I, II, III, IV), mille moodustavad koordinaatteljed X'X ja Y'Y, nimetatakse koordinaatnurkadeks (vt joonis 1).
Punkti A asukoht tasapinnal määratakse kahe koordinaadiga x ja y. X-koordinaat võrdub lõigu OB pikkusega, y-koordinaat on võrdne lõigu OC pikkusega valitud mõõtühikutes. Lõigud OB ja OC on määratletud joontega, mis on tõmmatud punktist A paralleelselt telgedega Y'Y ja X'X. X-koordinaati nimetatakse punkti A abstsissiks, y-koordinaati punkti A ordinaadiks. See on kirjutatud järgmiselt: A(x, y).
Kui punkt A asub koordinaatnurgas I, siis punktil A on positiivne abstsiss ja ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas II, siis punktil A on negatiivne abstsiss ja positiivne ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas III, siis punktil A on negatiivne abstsiss ja ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas IV, siis punktil A on positiivne abstsiss ja negatiivne ordinaat.
Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ruumis on moodustatud kolmest üksteisega risti asetsevast koordinaatteljest OX, OY ja OZ. Koordinaatide teljed lõikuvad punktis O, mida nimetatakse alguspunktiks, igal teljel valitakse positiivne suund, mida tähistatakse nooltega ja telgedel olevate segmentide mõõtühik. Mõõtühikud on kõikidel telgedel samad. OX - abstsisstelg, OY - ordinaattelg, OZ - rakendustelg. Telgede positiivne suund valitakse nii, et OX-telje pööramisel vastupäeva 90°, langeb selle positiivne suund kokku OY-telje positiivse suunaga, kui seda pöörlemist vaadeldakse OZ-telje positiivsest suunast. Sellist koordinaatsüsteemi nimetatakse paremakäeliseks. Kui võtta X-suunaks parema käe pöial, Y-suunaks nimetissõrm ja Z-suunaks keskmine sõrm, siis moodustub parema käe koordinaatsüsteem. Vasaku käe sarnased sõrmed moodustavad vasaku koordinaatsüsteemi. Parem- ja vasakpoolset koordinaatsüsteemi ei ole võimalik kombineerida nii, et vastavad teljed langeksid kokku (vt joonis 2).
Punkti A asukoht ruumis määratakse kolme koordinaadiga x, y ja z. X koordinaat on võrdne lõigu OB pikkusega, y koordinaat on lõigu OC pikkus, z koordinaat on lõigu OD pikkus valitud mõõtühikutes. Lõigud OB, OC ja OD on määratletud tasapindadega, mis on tõmmatud punktist A paralleelselt tasanditega YOZ, XOZ ja XOY. Koordinaadi x nimetatakse punkti A abstsissiks, y-koordinaati punkti A ordinaadiks, z-koordinaati nimetatakse punkti A aplikaadiks. See on kirjutatud järgmiselt: A(a, b, c).
Orty
Ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi (mis tahes mõõtmega) kirjeldab ka koordinaattelgedega joondatud ühikvektorite komplekt. Ühikvektorite arv on võrdne koordinaatsüsteemi mõõtmetega ja need on kõik üksteisega risti.
Kolmemõõtmelisel juhul tähistatakse tavaliselt selliseid ühikvektoreid i j k või e x e y e z. Sel juhul kehtivad parempoolse koordinaatsüsteemi puhul järgmised valemid vektorite vektorkorrutisega:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Lugu
Ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi tutvustas esmakordselt Rene Descartes oma töös "Meetodi arutelu" 1637. aastal. Seetõttu nimetatakse ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi ka - Descartes'i koordinaatsüsteem. Geomeetriliste objektide kirjeldamise koordinaatmeetod tähistas analüütilise geomeetria algust. Koordinaatide meetodi väljatöötamisel aitas kaasa ka Pierre Fermat, kuid tema teosed avaldati esmakordselt pärast tema surma. Descartes ja Fermat kasutasid koordinaatide meetodit ainult lennukis.
Kolmemõõtmelise ruumi koordinaatmeetodit kasutas Leonhard Euler esmakordselt juba 18. sajandil.
Vaata ka
Lingid
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "Cartesiuse koordinaatsüsteem" teistes sõnaraamatutes:
CARTESIAN KOORDINAATSÜSTEEM, sirgjooneline koordinaatsüsteem tasapinnal või ruumis (tavaliselt üksteisega risti olevate telgede ja võrdsete mõõtkavadega piki telgesid). Nimetatud R. Descartes’i järgi (vt DESCARTES Rene). Descartes tutvustas esmakordselt... entsüklopeediline sõnaraamat
KARTESIAANI KOORDINAATSÜSTEEM- ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal või ruumis, mille telgede mastaabid on ühesugused ja koordinaatteljed on üksteisega risti. D. s. K. tähistatakse tähtedega x:, y tasandi punkti jaoks või x, y, z ruumipunkti jaoks. (Cm……
KARTESIAANI KOORDINAATSÜSTEEM, Rene DESCARTESi juurutatud süsteem, milles punkti asukoha määrab kaugus sellest vastastikku lõikuvate sirgete (telgede) vahel. Süsteemi kõige lihtsamas versioonis on teljed (tähistatud x ja y) risti.... ... Teaduslik ja tehniline entsüklopeediline sõnastik
Descartes'i koordinaatsüsteem
Sirgjooneline koordinaatsüsteem (vt Koordinaadid) tasapinnal või ruumis (tavaliselt võrdsete mõõtkavadega piki telge). R. Descartes ise kasutas “Geomeetrias” (1637) vaid tasapinnal (üldiselt kaldus) koordinaatide süsteemi. Sageli…… Suur Nõukogude entsüklopeedia
Definitsioonide komplekt, mis rakendab koordinaatide meetodit, st viisi punkti või keha asukoha määramiseks numbrite või muude sümbolite abil. Arvude kogumit, mis määrab konkreetse punkti asukoha, nimetatakse selle punkti koordinaatideks. ... ... Vikipeedias
Descartes'i süsteem- Dekarto koordinačių sistemos statusas T ala fizika vastavusmenys: engl. Descartes'i süsteem; Descartes'i koordinaatide süsteem vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Descartes'i süsteem, f; Descartes'i süsteem... ... Fizikos terminų žodynas
KOORDINAATSÜSTEEM- tingimuste kogum, mis määrab punkti asukoha sirgel, tasapinnal, ruumis. Sfäärilisi kujundeid on erinevaid: Descartes'i, kaldu, silindriline, kerakujuline, kõverjooneline jne Lineaarsed ja nurksuurused, mis määravad asendi... ... Suur polütehniline entsüklopeedia
Ortonormaalne sirgjooneline koordinaatsüsteem eukleidilises ruumis. D.p.s. tasapinnal on määratud kahe vastastikku risti asetseva sirge koordinaatteljega, millest igaühel on valitud positiivne suund ja ühiku segment ... Matemaatiline entsüklopeedia
Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on sirgjooneline koordinaatsüsteem, mille teljed on tasapinnal või ruumis üksteisega risti. Lihtsaim ja seetõttu enimkasutatav koordinaatsüsteem. Väga lihtsalt ja otse kokkuvõtlikult... ... Wikipedia jaoks
Raamatud
- Arvutusvedeliku dünaamika. Teoreetiline alus. Õpik, Pavlovski Valeri Aleksejevitš, Nikuštšenko Dmitri Vladimirovitš. Raamat on pühendatud vedelike ja gaaside voogude matemaatilise modelleerimise probleemide püstitamise teoreetiliste aluste süstemaatilisele tutvustamisele. Erilist tähelepanu pööratakse ehituse küsimustele...
Nimetatakse järjestatud süsteemi kahest või kolmest ristuvast teljest, mis on üksteisega risti ja millel on ühine alguspunkt (koordinaatide alguspunkt) ja ühine pikkusühik. ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem .
Üldine Descartes'i koordinaatsüsteem (afiinne koordinaatsüsteem) ei pruugi tingimata sisaldada risti asetsevaid telgi. Prantsuse matemaatiku Rene Descartes'i (1596-1662) auks on nimetatud just selline koordinaatsüsteem, kus kõigil telgedel mõõdetakse ühtne pikkusühik ja teljed on sirged.
Ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem tasapinnal on kaks telge ja ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem ruumis - kolm telge. Iga punkt tasapinnal või ruumis on määratletud järjestatud koordinaatide komplektiga – arvud, mis vastavad koordinaatsüsteemi pikkusühikule.
Pange tähele, et nagu definitsioonist järeldub, on sirgel, st ühes dimensioonis, Descartes'i koordinaatsüsteem. Descartes'i koordinaatide kasutuselevõtt sirgel on üks viise, kuidas sirge mis tahes punkti seostatakse täpselt määratletud reaalarvuga, see tähendab koordinaadiga.
Rene Descartes’i töödes esile kerkinud koordinaatmeetod tähistas kogu matemaatika revolutsioonilist ümberstruktureerimist. Tekkis võimalus tõlgendada algebralisi võrrandeid (või võrratusi) geomeetriliste kujutiste (graafikute) kujul ja vastupidi, otsida lahendusi geomeetrilistele ülesannetele analüütiliste valemite ja võrrandisüsteemide abil. Jah, ebavõrdsus z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ja asub sellest tasapinnast 3 ühiku võrra kõrgemal.
Descartes'i koordinaatsüsteemi kasutades vastab punkti kuuluvus antud kõveral sellele, et arvud x Ja y täitma mõnda võrrandit. Seega ringjoone punkti koordinaadid, mille keskpunkt on antud punktis ( a; b) täidavad võrrandit (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem tasapinnal
Tasapinnal moodustuvad kaks risti asetsevat telge, millel on ühine algus ja sama mõõtkava Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal . Ühte neist telgedest nimetatakse teljeks Ox, või x-telg , teine - telg Oy, või y-telg . Neid telgi nimetatakse ka koordinaattelgedeks. Tähistame tähisega Mx Ja My vastavalt suvalise punkti projektsioon M teljel Ox Ja Oy. Kuidas saada prognoose? Lähme asja läbi M Ox. See sirgjoon lõikub teljega Ox punktis Mx. Lähme asja läbi M teljega risti asetsev sirgjoon Oy. See sirgjoon lõikub teljega Oy punktis My. See on näidatud alloleval pildil.
x Ja y punktid M me kutsume vastavalt suunatud segmentide väärtusi OMx Ja OMy. Nende suunatud segmentide väärtused arvutatakse vastavalt järgmiselt x = x0 - 0 Ja y = y0 - 0 . Descartes'i koordinaadid x Ja y punktid M abstsiss Ja ordinaat . Asjaolu, et punkt M on koordinaadid x Ja y, on tähistatud järgmiselt: M(x, y) .
Koordinaatide teljed jagavad tasapinna neljaks kvadrand , mille numeratsioon on näidatud alloleval joonisel. See näitab ka punktide koordinaatide märkide paigutust sõltuvalt nende asukohast konkreetses kvadrandis.
Lisaks ristkülikukujulistele koordinaatidele tasapinnal arvestatakse sageli ka polaarkoordinaatide süsteemi. Ühest koordinaatsüsteemist teise ülemineku meetodi kohta - õppetunnis polaarkoordinaatide süsteem .
Ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem ruumis
Descartes'i koordinaadid ruumis tuuakse sisse täielikus analoogias tasandi ristkoordinaatidega.
Kolm ruumis üksteisega risti olevat telge (koordinaattelge), millel on ühine algus O ja sama skaalaühikuga nad moodustavad Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ruumis .
Ühte neist telgedest nimetatakse teljeks Ox, või x-telg , teine - telg Oy, või y-telg , kolmas - telg Oz, või telg kohaldada . Lase Mx, My Mz- suvalise punkti projektsioonid M ruumi teljel Ox , Oy Ja Oz vastavalt.
Teeme asja läbi M OxOx punktis Mx. Lähme asja läbi M teljega risti olev tasapind Oy. See tasapind lõikub teljega Oy punktis My. Lähme asja läbi M teljega risti olev tasapind Oz. See tasapind lõikub teljega Oz punktis Mz.
Descartes'i ristkülikukujulised koordinaadid x , y Ja z punktid M me kutsume vastavalt suunatud segmentide väärtusi OMx, OMy Ja OMz. Nende suunatud segmentide väärtused arvutatakse vastavalt järgmiselt x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Ja z = z0 - 0 .
Descartes'i koordinaadid x , y Ja z punktid M kutsutakse vastavalt abstsiss , ordinaat Ja kohaldada .
Paarides võetud koordinaatide teljed asuvad koordinaattasanditel xOy , yOz Ja zOx .
Ülesanded Descartes'i koordinaatsüsteemi punktide kohta
Näide 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Leidke nende punktide projektsioonide koordinaadid abstsissteljele.
Lahendus. Nagu selle õppetunni teoreetilisest osast tuleneb, asub punkti projektsioon abstsissteljele abstsissteljel endal, see tähendab teljel Ox, ja seetõttu on selle abstsiss võrdne punkti enda abstsissiga ja ordinaat (koordinaat teljel Oy, mille x-telg lõikub punktis 0), mis on võrdne nulliga. Seega saame nende x-telje punktide järgmised koordinaadid:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Näide 2. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Leidke nende punktide projektsioonide koordinaadid ordinaatteljel.
Lahendus. Nagu selle õppetunni teoreetilisest osast tuleneb, asub punkti projektsioon ordinaatteljele ordinaatteljel endal, see tähendab teljel. Oy, ja seetõttu on selle ordinaat võrdne punkti enda ordinaatiga ja abstsiss (koordinaat teljel Ox, mille ordinaattelg lõikub punktis 0), mis on võrdne nulliga. Seega saame nende punktide koordinaadid ordinaatteljel järgmised:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Näide 3. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Ox .
Ox Ox Ox, on antud punktiga sama abstsiss ja ordinaat, mis on absoluutväärtuselt võrdne antud punkti ordinaadiga ja märgilt vastupidine. Seega saame nende punktide suhtes sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid telje suhtes Ox :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Lahendage ülesanded ise Descartes'i koordinaatsüsteemi abil ja seejärel vaadake lahendusi
Näide 4. Määrake, millistes kvadrantides (veerandid, kvadrantidega joonistamine - lõigu "Ristkülikukujuline ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal" lõpus) võib punkt paikneda M(x; y) , Kui
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Näide 5. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Leidke nende punktidega sümmeetriliste punktide koordinaadid telje suhtes Oy .
Jätkame koos probleemide lahendamist
Näide 6. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Leidke nende punktidega sümmeetriliste punktide koordinaadid telje suhtes Oy .
Lahendus. Pöörake 180 kraadi ümber telje Oy suundsegment teljest Oy kuni selle punktini. Joonisel, kus on näidatud tasapinna kvadrandid, näeme, et antud punkt on telje suhtes sümmeetriline Oy, on antud punktiga sama ordinaat ja abstsiss, mis on absoluutväärtuses võrdne antud punkti abstsissiga ja vastandmärgiga. Seega saame nende punktide suhtes sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid telje suhtes Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Näide 7. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Leia nende punktidega sümmeetriliste punktide koordinaadid lähtepunkti suhtes.
Lahendus. Suunatud segmenti pöörame lähtepunktist antud punkti 180 kraadi ümber alguspunkti. Joonisel, kus on näidatud tasandi kvadrandid, näeme, et punkti, mis on koordinaatide alguspunkti suhtes sümmeetriline antud punktiga, on abstsiss ja ordinaat, mis on absoluutväärtuses võrdne antud punkti abstsissi ja ordinaadiga, kuid märgiga vastand. Seega saame nende punktide suhtes sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid lähtepunkti suhtes:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Näide 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Leidke nende punktide projektsioonide koordinaadid:
1) lennukis Oxy ;
2) lennukis Oxz ;
3) lennukisse Oyz ;
4) abstsissteljel;
5) ordinaatteljel;
6) rakendusteljel.
1) Punkti projekteerimine tasapinnale Oxy asub sellel tasapinnal ja seetõttu on selle abstsiss ja ordinaat võrdne antud punkti abstsissi ja ordinaatiga ning rakendus võrdub nulliga. Nii saame nende punktide projektsioonide järgmised koordinaadid Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Punkti projekteerimine tasapinnale Oxz asub sellel tasapinnal ja seetõttu on selle abstsiss ja aplikaat võrdne antud punkti abstsissi ja aplikatsiooniga ning ordinaat on võrdne nulliga. Nii saame nende punktide projektsioonide järgmised koordinaadid Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Punkti projekteerimine tasapinnale Oyz asub sellel tasapinnal ja seetõttu on selle ordinaat ja aplikaat võrdne antud punkti ordinaat ja aplikaat ning abstsiss võrdne nulliga. Nii saame nende punktide projektsioonide järgmised koordinaadid Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Nagu selle õppetunni teoreetilisest osast tuleneb, asub punkti projektsioon abstsissteljele abstsissteljel endal, st teljel Ox, ja seetõttu on selle abstsiss võrdne punkti enda abstsissiga ning projektsiooni ordinaat ja aplikaat on võrdsed nulliga (kuna ordinaat- ja rakendustelg lõikuvad abstsissiga punktis 0). Nende punktide projektsioonide abstsissteljele saame järgmised koordinaadid:
Ax(4;0;0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Punkti projektsioon ordinaatteljel asub ordinaatteljel endal ehk teljel Oy, ja seetõttu on selle ordinaat võrdne punkti enda ordinaatiga ning projektsiooni abstsiss ja aplikaat on võrdsed nulliga (kuna abstsiss- ja rakendustelg lõikuvad ordinaatteljega punktis 0). Saame nende punktide projektsioonide koordinaadid ordinaatteljel järgmised:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Punkti projektsioon rakendusteljele asub rakendusteljel endal, see tähendab teljel Oz, ja seetõttu on selle rakendus võrdne punkti enda aplikatsiooniga ning projektsiooni abstsiss ja ordinaat on võrdsed nulliga (kuna abstsiss- ja ordinaatteljed lõikuvad rakendusteljega punktis 0). Saame nende punktide projektsioonide koordinaadid rakendusteljele:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Näide 9. Descartes'i koordinaatsüsteemis on punktid antud ruumis
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Leidke nende punktide suhtes sümmeetriliste punktide koordinaadid:
1) lennuk Oxy ;
2) lennukid Oxz ;
3) lennukid Oyz ;
4) abstsissteljed;
5) ordinaatteljed;
6) rakendada teljed;
7) koordinaatide päritolu.
1) "Teisaldage" punkt teisel pool telge Oxy Oxy, millel on abstsiss ja ordinaat, mis on võrdne antud punkti abstsissi ja ordinaatiga, ning rakendus, mis on suuruselt võrdne antud punkti aplikaadiga, kuid vastandmärgiga. Seega saame tasandi suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) “Liigutage” punkt teisel pool telge Oxz samale kaugusele. Koordinaadiruumi kujutaval joonisel näeme, et punkt on telje suhtes sümmeetriline antud punktiga Oxz, millel on abstsiss ja aplikatsioon, mis on võrdne antud punkti abstsissli ja aplikatsiooniga, ning ordinaat, mis on suuruselt võrdne antud punkti ordinaadiga, kuid vastandmärgiga. Seega saame tasandi suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Liigutage" punkt teisel pool telge Oyz samale kaugusele. Koordinaadiruumi kujutaval joonisel näeme, et punkt on telje suhtes sümmeetriline antud punktiga Oyz, on ordinaat ja aplikaat, mis on võrdsed antud punkti ordinaat ja aplikaat, ning abstsiss, mis on väärtuselt võrdne antud punkti abstsissiga, kuid vastandmärgiga. Seega saame tasandi suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analoogiliselt tasapinna sümmeetriliste punktide ja tasandite suhtes andmete suhtes sümmeetriliste ruumipunktidega märgime, et sümmeetria korral Descartes'i koordinaatsüsteemi mõne telje suhtes ruumis on koordinaat teljel tasandite suhtes. mille sümmeetria on antud, säilitab oma märgi ja ülejäänud kahe telje koordinaadid on absoluutväärtuses samad kui antud punkti koordinaadid, kuid märgilt vastupidised.
4) Abstsiss säilitab oma märgi, kuid ordinaat ja aplikaat muudavad märke. Seega saame abstsisstelje suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinaat säilitab oma märgi, kuid abstsiss ja aplikaat muudavad märke. Seega saame järgmised koordinaadid, mis on ordinaattelje suhtes andmetega sümmeetrilised:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikatsioon säilitab oma märgi, kuid abstsiss ja ordinaat muudavad märke. Seega saame rakenduse telje suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analoogiliselt sümmeetriaga tasapinna punktide korral on koordinaatide alguspunkti suhtes sümmeetria korral kõik antud punktiga sümmeetrilise punkti koordinaadid absoluutväärtuses võrdsed antud punkti koordinaatidega, kuid nende vastandmärgis. Seega saame lähtepunkti suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid.
Punkti asukoha määramine ruumis
Seega saab punkti asukohta ruumis määrata ainult mõne teise punkti suhtes. Nimetatakse punkti, mille suhtes teiste punktide asukohta vaadeldakse võrdluspunkt . Kasutame võrdluspunkti jaoks ka teist nime - vaatluspunkt . Tavaliselt on võrdluspunkt (või vaatluspunkt) seotud mõnega koordinaatsüsteem , mida nimetatakse võrdlussüsteem. Valitud tugisüsteemis määratakse IGA punkti asukoht KOLME koordinaadiga.
Parempoolne Descartes'i (või ristkülikukujuline) koordinaatsüsteem
See koordinaatsüsteem koosneb kolmest üksteisega risti asetsevast suunatud sirgest, mida nimetatakse ka koordinaatteljed , ristuvad ühes punktis (lähtekoht). Lähtepunkti tähistatakse tavaliselt tähega O.
Koordinaatide teljed on nimetatud:
1. Abstsisstelg – tähistatud kui OX;
2. Y-telg – tähistatud kui OY;
3. Rakendustelg – tähistatud kui OZ
Nüüd selgitame, miks seda koordinaatsüsteemi nimetatakse paremakäeliseks. Vaatame XOY tasapinda OZ-telje positiivsest suunast, näiteks punktist A, nagu on näidatud joonisel.
Oletame, et hakkame pöörama OX-telge ümber punkti O. Seega - parempoolsel koordinaatsüsteemil on selline omadus, et kui vaadata XOY tasapinda mis tahes punktist positiivsel poolteljel OZ (meie jaoks on see punkt A) , siis OX-telge 90 võrra vastupäeva pöörates langeb selle positiivne suund kokku OY-telje positiivse suunaga.
See otsus tehti teadusmaailmas, kuid me saame seda aktsepteerida ainult sellisena, nagu see on.
Niisiis, pärast seda, kui oleme otsustanud võrdlussüsteemi (meie puhul parempoolse Descartes'i koordinaatsüsteemi) kasuks, kirjeldatakse mis tahes punkti asukohta selle koordinaatide väärtuste või teisisõnu väärtuste kaudu. selle punkti projektsioonidest koordinaattelgedel.
See on kirjutatud nii: A(x, y, z), kus x, y, z on punkti A koordinaadid.
Ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi võib käsitleda kui kolme üksteisega risti asetseva tasandi lõikejooni.
Tuleb tähele panna, et ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi saab ruumis orienteeruda nii, nagu sulle meeldib, ning täidetud peab olema ainult üks tingimus – koordinaatide alguspunkt peab ühtima võrdluskeskmega (või vaatluspunktiga).
Sfääriline koordinaatsüsteem
Punkti asukohta ruumis saab kirjeldada ka teisiti. Oletame, et oleme valinud ruumipiirkonna, milles asub võrdluspunkt O (ehk vaatluspunkt) ning teame ka kaugust võrdluspunktist teatud punktini A. Ühendame need kaks punkti sirgjoonega OA . Seda rida nimetatakse raadiuse vektor ja on tähistatud kui r. Kõik punktid, millel on sama raadiuse vektori väärtus, asuvad sfääril, mille keskpunkt on võrdluspunktis (või vaatluspunktis) ja selle sfääri raadius on vastavalt võrdne raadiusvektoriga.
Seega saab meile selgeks, et raadiusvektori väärtuse teadmine ei anna meile üheselt mõistetavat vastust huvipakkuva punkti asukoha kohta. Vaja on veel KAKS koordinaati, sest punkti asukoha üheselt määramiseks peab koordinaatide arv olema KOLM.
Järgmisena toimime järgmiselt - konstrueerime kaks vastastikku risti asetsevat tasapinda, mis loomulikult annavad ristumisjoone ja see sirge on lõpmatu, kuna tasapindu ise ei piira miski. Määrame sellele sirgele punkti ja määrame selle näiteks punktiks O1. Nüüd ühendame selle punkti O1 sfääri keskpunktiga – punktiga O ja vaatame, mis juhtub?
Ja selgub väga huvitav pilt:
· Nii üks kui ka teine lennuk saab olema keskne lennukid.
· Nende tasandite lõikekoht sfääri pinnaga on tähistatud tähisega suur ringid
· Üks neist ringidest - suvaliselt, me helistame EKVAATOR, siis kutsutakse teine ring PÕHIMERIDIAAN.
· Kahe tasapinna lõikejoon määrab üheselt suuna PÕHIMERIDIAANI JOOND.
Põhimeridiaani ja kera pinna lõikepunktid tähistame kui M1 ja M2
Läbi sfääri keskpunkti, põhimeridiaani tasandi punkti O, tõmbame põhimeridiaani joonega risti oleva sirge. Seda sirget nimetatakse POLAARTELG .
Polaartelg lõikab sfääri pinda kahes punktis, mida nimetatakse Sfääri poolused. Nimetagem need punktid P1 ja P2.
Ruumipunkti koordinaatide määramine
Nüüd käsitleme ruumipunkti koordinaatide määramise protsessi ja anname neile koordinaatidele ka nimed. Pildi täiendamiseks märgime punkti asukoha määramisel peamised suunad, millest koordinaate loetakse, samuti positiivse suuna loendamisel.
1. Määrake võrdluspunkti (või vaatluspunkti) asukoht ruumis. Tähistame seda punkti tähega O.
2. Koostage kera, mille raadius on võrdne punkti A raadiusvektori pikkusega. (Punkti A raadiusvektor on punktide O ja A vaheline kaugus). Kera keskpunkt asub võrdluspunktis O.
3. Määrame EKVAATORi tasandi asukoha ruumis ja vastavalt PÕHIMERIDIAANI tasandi. Tuleb meeles pidada, et need tasapinnad on üksteisega risti ja asuvad kesksel kohal.
4. Nende tasandite ristumiskoht kera pinnaga määrab meie jaoks ekvaatori ringi asukoha, põhimeridiaani ringi, samuti põhimeridiaani ja polaartelje joone suuna.
5. Määrake polaartelje pooluste ja põhimeridiaani pooluste asukoht. (Poolaartelje poolused on polaartelje ja kera pinna lõikepunktid. Põhimeridiaani sirge poolused on põhimeridiaani sirge ja kera pinna lõikepunktid. ).
6. Punkti A ja polaartelje kaudu konstrueerime tasapinna, mida nimetame punkti A meridiaani tasapinnaks. Kui see tasapind lõikub kera pinnaga, saadakse suur ring, mida me nimetame Punkti A MERIDIAAN.
7. Punkti A meridiaan lõikub mingis punktis EKVATORI ringiga, mille tähistame kui E1
8. Punkti E1 asukoht ekvatoriaalringil määratakse punktide M1 ja E1 vahele jääva kaare pikkuse järgi. Pöördloendus toimub PASTUPÄRA. Punktide M1 ja E1 vahele jäävat ekvatoriaalringi kaare nimetatakse punkti A PIKKUKARDIKS. Pikkuskraad tähistatakse tähega .
Võtame vahetulemused kokku. Hetkel teame KOLMEST koordinaati KAKS, mis kirjeldavad punkti A asukohta ruumis – see on raadiuse vektor (r) ja pikkuskraad (). Nüüd määrame kolmanda koordinaadi. Selle koordinaadi määrab punkti A asukoht selle meridiaanil. Kuid lähtepunkti asukoht, millest loendamine toimub, pole selgelt määratletud: loendamist saame alustada nii kera poolusest (punkt P1) kui ka punktist E1 ehk meridiaanijoonte lõikepunktist. punktist A ja ekvaatorist (või teisisõnu - ekvaatori joonest).
Esimesel juhul nimetatakse punkti A asukohta meridiaanil POLAR DISTANCE (tähistatud kui R) ja selle määrab punkti P1 (või sfääri pooluspunkti) ja punkti A vahele jääva kaare pikkus. Loendamine toimub piki meridiaani joont punktist P1 punkti A.
Teisel juhul, kui loendus toimub ekvaatori joonelt, nimetatakse punkti A asukohta meridiaanijoonel LATITUDE (tähistatud kui ja selle määrab punktide E1 ja punkti A vahele jääva kaare pikkus.
Nüüd saame lõpuks öelda, et punkti A asukoha sfäärilises koordinaatsüsteemis määrab:
· sfääri raadiuse pikkus (r),
pikkuskaare pikkus (),
polaarkauguse kaare pikkus (p)
Sel juhul kirjutatakse punkti A koordinaadid järgmiselt: A(r, , p)
Kui kasutame teistsugust võrdlussüsteemi, määratakse punkti A asukoht sfäärilises koordinaatsüsteemis järgmiselt:
· sfääri raadiuse pikkus (r),
pikkuskaare pikkus (),
· laiuskraadi kaare pikkus ()
Sel juhul kirjutatakse punkti A koordinaadid järgmiselt: A(r, , )
Kaarte mõõtmise meetodid
Tekib küsimus – kuidas me neid kaarte mõõdame? Lihtsaim ja loomulikum viis on mõõta painduva joonlauaga otse kaare pikkusi ja see on võimalik juhul, kui kera suurus on võrreldav inimese suurusega. Aga mida teha, kui see tingimus ei ole täidetud?
Sel juhul võtame kasutusele SUHTELISE kaare pikkuse mõõtmise. Võtame ümbermõõdu standardiks, osa mis on kaar, mis meid huvitab. Kuidas ma seda teha saan?
Kui võtame kasutusele koordinaatsüsteemi tasapinnal või ruumilises ruumis, siis suudame võrrandite ja võrratuste abil kirjeldada geomeetrilisi kujundeid ja nende omadusi, st kasutada algebralisi meetodeid. Seetõttu on koordinaatsüsteemi mõiste väga oluline.
Selles artiklis näitame, kuidas defineeritakse ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatide süsteem tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis ning uurime, kuidas määratakse punktide koordinaadid. Selguse huvides pakume graafilisi illustratsioone.
Leheküljel navigeerimine.
Ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem tasapinnal.
Tutvustame tasapinnal ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi.
Selleks tõmmake tasapinnale kaks vastastikku risti olevat joont ja valige neist igaüks positiivne suund, märkides seda noolega, ja valige igaühel neist kaal(pikkusühik). Tähistame nende sirgete lõikepunkti tähega O ja vaatleme seda alguspunkt. Nii et saime ristkülikukujuline koordinaatsüsteem pinnal.
Kutsutakse iga sirget valitud lähtepunktiga O, suuna ja mõõtkavaga koordinaatjoon või koordinaatide telg.
Tasapinnal olevat ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi tähistatakse tavaliselt Oxy-ga, kus Ox ja Oy on selle koordinaatteljed. Härja telge nimetatakse x-telg ja Oy telg – y-telg.
Nüüd lepime kokku ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kujutise tasapinnal.
Tavaliselt valitakse Ox ja Oy telgede pikkuse mõõtühik sama ja joonistatakse alguspunktist igale koordinaatteljele positiivses suunas (koordinaattelgedel on märgitud kriips ja ühik kirjutatakse it), abstsisstelg on suunatud paremale ja ordinaattelg on suunatud ülespoole. Kõik muud koordinaatide telgede suuna valikud taandatakse heliliseks (Ox telg - paremale, Oy telg - üles), pöörates koordinaatsüsteemi alguspunkti suhtes teatud nurga all ja vaadates seda teiselt poolt. lennukist (vajadusel).
Ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi nimetatakse sageli Descartes'iks, kuna selle tutvustas lennukis esmakordselt Rene Descartes. Veelgi sagedamini nimetatakse ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi ristkülikukujuliseks Descartes'i koordinaatsüsteemiks, pannes selle kõik kokku.
Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kolmemõõtmelises ruumis.
Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz seatakse sarnaselt kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis, ainult et võetakse mitte kaks, vaid kolm üksteisega risti asetsevat joont. Ehk siis koordinaattelgedele Ox ja Oy liidetakse koordinaattelg Oz, mis on nn. telg kohaldada.
Sõltuvalt koordinaattelgede suunast eristatakse parem- ja vasakpoolseid ristkülikukujulisi koordinaatsüsteeme kolmemõõtmelises ruumis.
Kui Oz-telje positiivsest suunast vaadatuna toimub lühim pöörlemine Ox-telje positiivsest suunast Oy-telje positiivsesse suunda vastupäeva, siis koordinaatsüsteemi nn. õige.
Kui Oz-telje positiivsest suunast vaadatuna toimub lühim pöörlemine Ox-telje positiivsest suunast Oy-telje positiivsesse suunda päripäeva, siis koordinaatsüsteemi nn. vasakule.
Tasapinna Descartes'i koordinaatsüsteemi punkti koordinaadid.
Esmalt võta arvesse koordinaatjoont Ox ja võta sellel mingi punkt M.
Iga reaalarv vastab ühele punktile M sellel koordinaatjoonel. Näiteks punkt, mis asub koordinaatjoonel, mis asub eemal lähtepunktist positiivses suunas, vastab arvule , ja arv -3 vastab punktile, mis asub 3 kaugusel lähtepunktist negatiivses suunas. Arv 0 vastab lähtepunktile.
Teisest küljest vastab iga punkt M koordinaatjoonel Ox reaalarvule. See reaalarv on null, kui punkt M ühtib lähtepunktiga (punkt O). See reaalarv on positiivne ja võrdne lõigu OM pikkusega antud skaalal, kui punkt M eemaldatakse lähtepunktist positiivses suunas. See reaalarv on negatiivne ja võrdne miinusmärgiga lõigu OM pikkusega, kui punkt M eemaldatakse lähtepunktist negatiivses suunas.
Numbrile helistatakse koordineerida punkti M koordinaatjoonel.
Nüüd vaatleme tasandit, mille ristkülikukujuline ristkülikukujuline koordinaatsüsteem. Märgime sellele tasapinnale suvalise punkti M.
Olgu punkti M projektsioon sirgele Ox ja punkti M projektsioon koordinaatjoonele Oy (vajadusel vt artiklit). See tähendab, et kui läbi punkti M tõmmata sirged, mis on risti koordinaattelgedega Ox ja Oy, siis nende sirgete lõikepunktideks sirgetega Ox ja Oy on vastavalt punktid ja.
Vastagu arv punktile Ox koordinaatide teljel ja arv punktile Oy teljel.
Iga tasandi punkt M antud ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis vastab kordumatule järjestatud reaalarvude paarile, nn. punkti M koordinaadid pinnal. Koordinaadi kutsutakse Punkti M abstsiss, A - punkti M ordinaat.
Tõene on ka vastupidine väide: igale järjestatud reaalarvude paarile vastab antud koordinaatsüsteemis tasapinna punkt M.
Punkti koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kolmemõõtmelises ruumis.
Näitame, kuidas määratakse punkti M koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis määratletud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.
Olgu ja on punkti M projektsioonid vastavalt koordinaattelgedele Ox, Oy ja Oz. Olgu need punktid koordinaattelgedel Ox, Oy ja Oz vastavad reaalarvudele ja.