Funktsiooni tg x graafik. Trigonomeetrilised funktsioonid

10.10.2019

Kaliningradi oblasti Sovetski linna munitsipaalõppeasutuse lütseum nr 10

matemaatika õpetaja

Razygraeva Tatjana Nikolaevna.

10. klassi algebra tunni kokkuvõte teemal:

"Funktsioonid y = tgx, y = ctgx, nende omadused ja graafikud."

Eesmärgid: 1. Uurige funktsioonide y = tgx, y = ctgx omadusi; arendada õpilastes nende funktsioonide diagrammide koostamise ja graafikute lugemise oskust. Arendada tugevaid oskusi graafiliste võrrandite lahendamiseks ja graafikute teisendamiseks.

Org moment. Teatage tunni teemat, eesmärke ja eesmärke. Kutse koostööle.

Teadmiste värskendamine. Suuline töö.

1. Arvutage:

2.Tõesta, et arv  on funktsiooni periood.

3.Tõesta, et funktsioon on paaritu. Tõestus: .

4.Lugege funktsioon graafikult.

D(f) = [-2; 5]. Funktsioon pole paaris ega paaritu. Funktsioon suureneb intervallidega [ -2; -1], , väheneb intervallil [-1; 2]. Funktsioon on piiratud alt ja ülalt. Funktsioon on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses. E(f) = [-4; 5].

Omadus 2. Funktsioon on perioodiline perioodiga , sest

Omadus 3. Funktsioon on paaritu, sest . Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

Koostame põhiväärtuste tabeli:

x	0	 /6	 /4	 /3
tgx	0		1

Joonistame funktsiooni esimeses kvartalis:

Funktsiooni omadusi kasutades koostame funktsiooni y = tgx tervikliku graafiku.

Atribuut 4. Funktsioon suureneb kogu vormi intervalli ulatuses:

Kutsutakse funktsiooni y = tgx graafik tangentoid, ja nimetatakse intervalli haru põhiharu.

Omadus 7. Funktsioon y = tanx on pidev vormi mis tahes intervallil

Vaatame näidet: lahendage võrrand. Lahendame selle võrrandi graafiliselt. Koostame funktsioonide ja ühes koordinaatsüsteemis graafikud.

Näide 2. Funktsiooni graafik

Koostame ehitusplaani: 1) Ehitame põhipuutuja.

2) Kuvame selle haru sümmeetriliselt x-telje suhtes. 3) Nihutage saadud haru /2 võrra vasakule. 4) teades ühte haru, konstrueerime kogu graafiku.

Sest , siis joonistatakse funktsiooni graafik

Kasutades saadud funktsiooni graafikut, kirjelda selle omadusi. Kuidas seda kiiresti teha? (Suurem osa funktsioonide y = tgx omadustest langeb kokku).

Omadus 1. D (f) – kõik reaalarvud, välja arvatud numbrid kujul x = k.

Omadus 2. Funktsioon on perioodiline perioodiga .

Omadus 3. Funktsioon on paaritu.

Omadus 4. Funktsioon väheneb kogu vormi intervalli ulatuses:

Omadus 5. Funktsioon ei ole alla ega ülevalt piiratud.

Omadus 6. Funktsioonil ei ole ei suurimat ega madalaimad väärtused.

Omadus 7. Funktsioon y = tanx on pidev vormi mis tahes intervallil:

Omadus 8. E(f) = (-  ; +  ).

Funktsiooni graafikut nimetatakse ka tangentoid.

Õpitud materjali koondamine. nr 254 255 257 258 – suuliselt. nr 261v, 262v – kirjalikult.

Tunni kokkuvõte.

- Milliseid funktsioone me täna tundma õppisime?

- Mida saate nende kohta öelda?

- Millised sarnased omadused neil on? Mis vahe on?

- Kuidas nimetatakse nende funktsioonide graafikuid?

Kodutöö. §15 nr 256(a), 259(a), 261(a), 262(a).

Vaadake esitluse sisu
"Tangensi ja kotangensi funktsioonid, nende omadused ja graafikud."

Funktsioonid y = tg x, y = ctg x,

nende omadused ja graafikud.

Sovetski linna MAOU Lütseum nr 10

Kaliningradi piirkond

matemaatika õpetaja

Razygraeva Tatjana Nikolaevna

Töötage suuliselt:

Arvutama:

Tõesta, et number  on funktsiooni y = sin2x periood.

sin2(x -  ) = sin2x = sin2(x +  )

Tõesta, et funktsioon on paaritu:

f(x) = x⁵ ∙ cos3x

Lugege funktsiooni graafikult:

Vihje!

Tabeli lugemise plaan:

1) D(f) – funktsiooni määratluspiirkond .

2) paaris või paaritu funktsioon .

3) Kasvamise, kahanemise intervallid

funktsioonid .

4) Piiratud funktsioon .

5) Suurimad, väikseimad väärtused

funktsioonid .

6) Funktsiooni järjepidevus.

7) E(f) – funktsiooni väärtuste vahemik.

Vara 1.

Funktsiooni y = tan x definitsioonipiirkond on hulk

kõik reaalarvud peale numbrite

kujul x =  /2 +  k.

Vara 2.

y = tan x – perioodiline funktsioon koos

periood  .

tan(x -  ) = tg x = tg(x +  )

Vara 3.

y = tan x – paaritu funktsioon.

tg(- x) = - tg x

(Funktsiooni graafik on sümmeetriline

päritolu).

tg x

Vara 4.

y = punakaspruun x

Funktsioon suureneb vormi mis tahes intervalli korral:

Funktsiooni y = tan x graafik

helistas tangentoid .

Vara 5.

Funktsioon y = tan x ei ole piiratud ei allpool ega üleval.

Vara 6.

Funktsioonil y = tan x ei ole ei maksimumi ega

madalaimad väärtused.

Vara 7.

Funktsioon y = tan x on pidev mis tahes intervallil

lahke

Vara 8.

Näide 1.

Lahendage võrrand tg x =  3

y =  3

Vastus:

Näide 2.

Joonistage funktsioon y = - tan (x +  /2).

y = ctg x

Sest - tg(x+  /2) = ctg x, siis joonistatakse funktsiooni graafik

y = cotg x.

Kirjeldage funktsiooni y = ctgx omadusi.

D(f): kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud arvud

kujul x =  k.

2) Perioodiline perioodiga  .

3) paaritu funktsioon.

4) Funktsioon väheneb mis tahes vormi intervallil (  k;  +  k).

5) Funktsioon ei ole piiratud ei allpool ega üleval.

6) Funktsioonil pole ei maksimumi ega miinimumi

väärtused.

7) Funktsioon on pidev vormi (  k;  +  k).

8) E(f) = (-  ; +  ).

1). Näide nr 3 õpikust

võtke see ise lahti.

2). Nr 254, 255, 257, 258 – suuliselt.

3). Nr 261 (c), 262 (c) – kirjalikult.

4). Kodutöö:

№ 256(a), 259(a), 261(a), 262(a).

Funktsioonid (enamus neist omadustest on meile tegelikult teada §-st 5). Kui selline idee tekib, hakkame graafikut, nagu tavaliselt, punkt-punktilt koostama.

Vara 1. Funktsiooni y = tan x määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud kujul olevad arvud

See omadus tähendab seda graafikul funktsioonid joonel pole punkti, joonel pole punkti, joonel pole punkti jne. Need jooned on joonistatud punktiirjoontega joonisel fig. 60.

Saadud graafiku esimene idee: see koosneb lõpmatust arvust harudest (ribal
Vara 2. y = tan x on perioodiline funktsioon põhiperioodiga n.
See tuleneb §-s 5 saadud topeltvõrdsusest.
See tähendab, et kui ehitame ribale graafiku haru alates siis peate nihutama konstrueeritud haru piki x-telge paremale ja vasakule p, 2p, zp jne võrra. See annab meile graafikast teise ettekujutuse.

Vara 3. y =tg x on paaritu funktsioon. See tuleneb §-s 5 tõestatud seosest. Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline. See tähendab, et saame toimida nii: konstrueerida graafiku osa intervallis punktide kaupa ja seejärel kasutada näidatud sümmeetriat.

Alustame graafiku koostamist poolintervalli alusel. Valime kontrollpunktid:

Märgime need punktid koordinaattasandile ja joonistame nende kaudu sujuva kõvera (joon. 61). Lisame konstrueeritud kõverale sümmeetrilise joone alguspunkti suhtes (joonis 62). Perioodilisust ära kasutades täidame graafiku lõpuni (joonis 63).

Funktsiooni y = tan x graafikut nimetatakse tangentoidiks. See osa sellest, mis on näidatud joonisel fig. 62, nimetatakse tavaliselt tangentoidi põhiharuks.

Pange tähele, et tangentoidi põhiharu väljub algpunktist 45° nurga all. Miks see nii on, saate teada 4. peatükist.

Vara 4. Funktsioon suureneb intervallil B rohkem kui üldine vaade- funktsioon suureneb igal vormi intervallil
Vara 5. Funktsioon y = tan x ei ole piiratud ei ülalt ega all.

Vara 6. Funktsioonil y = tan x ei ole ei suurimat ega väikseimat väärtust.
Vara 7. Funktsioon y = tan x on intervallil pidev. Üldisemal kujul on funktsioon pidev igal vormi intervallil
Väärtuste korral läbib funktsioon katkestuse. Iga vormi rida toimib funktsiooni graafiku vertikaalse asümptoodina.

Vara 8.

Kommenteeri. Graafikult loetud omadusi 4-8 saab tõestada vastavate matemaatiliste väidete põhjal, mis pole teile ja mulle veel teada (seetõttu piirdumegi visuaalsete ja intuitiivsete mõistetega). Ühe omaduse saame aga nüüd tõestada.
Tõestame, et funktsioon y=tg x kasvab poolintervallil. Võtame sellest intervallist kaks argumendi väärtust x 1 ja x 2: x 1< х 2 . Тогда в силу возрастания функции х на выбранном полуинтервале, будем иметь sin х 1 < sin х 2 . В силу убывания функции у- соs х на выбранном полуинтервале будем иметь соs х 1 >cos x 2. Tähendab,

Seega tähendab see funktsiooni y=tg x suurenemist valitud intervalli jooksul.
Näide 1. Lahendage võrrand tg x =
Lahendus. Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide y =tg x - tangentoid ja y = - graafikud, mis on paralleelsed x-teljega. Neil on lõpmatult palju ristumispunkte (joonis 64) ja nende punktide abstsissid erinevad üksteisest tk. Põhiharul on vastava punkti abstsiss võrdne (kasutasime üldtuntud arvulist võrdsust - see on võrrandi üks juur ja kõiki lahendeid kirjeldatakse valemiga
Vastus:

Näide 2. Joonistage funktsiooni graafik
Lahendus. Kõigepealt vaatame tangentoidi põhiharu.
1) Liigume edasi abikoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis näidatud joonisel fig. 65 punktiirjoon).
2) "Seo" funktsioon y = tg xk uus süsteem koordinaadid - see on funktsiooni graafik või õigemini soovitud graafiku põhiharu (joonis 65 - tahke kõver).
3) Funktsiooni graafiku saamiseks piisab, kui kuvada konstrueeritud haru sümmeetriliselt x-telje ümber (joonis 66).
4) Teades ühte haru, saate koostada kogu graafiku (joonis 67).

Tegelikult on joonisel fig. 67 joonistas funktsiooni y=сtgх graafiku. Miks? Kuna on olemas identiteet (taandamise valem)
Funktsiooni y = сtg x graafikut, nagu ka funktsiooni y = tg x graafikut, nimetatakse tangentoidiks. Funktsiooni y = сtg x graafiku põhiharuks nimetatakse tavaliselt haru, mis sisaldub ribas vahemikus x = 0 kuni x = k.
Näide 3. Lahendage võrrand сtg x = -1.

Lahendus. Koostame ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide y = сtg x - tangentoid ja y = -1 - teljega x paralleelse sirge graafikud. Neil on lõpmatult palju ristumispunkte (joonis 68) ja nende punktide abstsissid erinevad jaapani keeles üksteisest. Põhiharul on vastava punkti abstsiss võrdne (kasutasime üldtuntud seost: ja antud võrrandi kõiki lahendeid saab katta valemiga
Vastus:

A.G. Mordkovitši algebra 10. klass

Tunni sisu tunnimärkmed toetavad raamtunni esitluskiirendusmeetodid interaktiivseid tehnoloogiaid Harjuta ülesanded ja harjutused enesetesti töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, diagrammid, huumor, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid nipid uudishimulikele hällid õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku fragmendi uuendamine, innovatsioonielemendid tunnis, vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid aasta kalenderplaan juhised aruteluprogrammid Integreeritud õppetunnid

Funktsiooni y=tg x omadused. y x 1 -1 y=tg x Funktsiooni nullid: tg x = 0 at x = πn, nєZ y>0 at xє (0; π/2) ja nihkega πn võrra, nєZ. y 0 juures xє (0; π/2) ja nihkega πn,nєZ võrra. y 0 juures xє (0; π/2) ja nihkega πn,nєZ võrra. y 0 juures xє (0; π/2) ja nihkega πn,nєZ võrra. y 0 juures xє (0; π/2) ja nihkega πn,nєZ võrra. juures

0 koos xє ja nihkega 8 võrra. y 0 võrra xє ja nihkega 8 võrra. y 10 Kirjuta üles kõik funktsiooni y = tan x omadused. 1. Määratluspiirkond: 2. Funktsiooni väärtuste hulk: 3. Perioodiline, T = 4. Paaritu funktsioon 5. Suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. 6. Funktsiooni y = 0 nullpunktid x = 7. y > 0 xє ja nihke 8. y 0 xє ja 8. y 0 nihke xє ja 8. y 0 nihke korral. xє jaoks ja nihutamiseks 8 võrra. y 0 koos xє ja nihkega 8 võrra. y title=" Kirjutage üles kõik funktsiooni y = tan x omadused. 1. Valdkond: 2. Funktsioonide hulk väärtused: 3. Perioodiline, T = 4. Paaritu funktsioon 5. Kasvamine kogu definitsioonipiirkonna ulatuses 6. Funktsiooni y = 0 nullpunktid x = 7. y > 0 punktis xє ja nihutamisel 8. y võrra

Y x y = tgx y = tgx + a y = tgx – b

Y x y = tgx y = tg(x – a)

Y x y = tgx y = ItgxI

Funktsioon y = ctg x 1. Selle funktsiooni domeeniks on kõik reaalarvud, välja arvatud arvud x = πk, k Z. 2. Funktsiooni domeeniks on kõik reaalarvud. 3. Funktsioon kahaneb intervallidega 4. Funktsioon on paaritu, selle graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline. 5. Funktsioon on perioodiline, selle väikseim positiivne periood on π. - 1 y x π0-π-π - y=ctg x

Võrdlusandmed puutuja (tg x) ja kotangensi (ctg x) kohta. Geomeetriline definitsioon, omadused, graafikud, valemid. Puutujate ja kotangentide tabel, tuletised, integraalid, jada laiendused. Avaldised keeruliste muutujate kaudu. Seos hüperboolsete funktsioonidega.

Geomeetriline määratlus

|BD| - ringi kaare pikkus, mille keskpunkt on punktis A.
α on radiaanides väljendatud nurk.

Tangent ( tan α) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub hüpotenuusi ja jala vahelisest nurgast α täisnurkne kolmnurk, võrdub vastaskülje pikkuse suhtega |BC| külgneva jala pikkusele |AB| .

Kotangent ( ctg α) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| vastasjala pikkuseni |BC| .

Tangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses on puutuja tähistatud järgmiselt:
.
;
;
.

Puutujafunktsiooni graafik, y = tan x

Kotangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses tähistatakse kotangenti järgmiselt:
.
Aktsepteeritakse ka järgmisi märke:
;
;
.

Kootangensfunktsiooni graafik, y = ctg x

Tangensi ja kotangensi omadused

Perioodilisus

Funktsioonid y = tg x ja y = ctg x on perioodilised perioodiga π.

Pariteet

Tangens- ja kotangensfunktsioonid on paaritud.

Määratlus- ja väärtusvaldkonnad suurenevad, vähenevad

Tangens- ja kotangensfunktsioonid on oma definitsioonipiirkonnas pidevad (vt pidevuse tõestust). Tangensi ja kotangensi peamised omadused on toodud tabelis ( n- terve).

	y = tg x	y = ctg x
Ulatus ja järjepidevus
Väärtuste vahemik	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Kasvav		-
Langevad	-
Äärmused	-	-
Nullid, y = 0
Lõikepunktid ordinaatteljega, x = 0	y = 0	-

Valemid

Avaldised siinuse ja koosinuse abil

; ;
; ;
;

Summa ja vahe puutuja ja kotangensi valemid

Ülejäänud valemeid on näiteks lihtne hankida

Puutujate korrutis

Puutujate summa ja erinevuse valem

See tabel esitab argumendi teatud väärtuste puutujate ja kotangentide väärtused.

Kompleksarve kasutavad avaldised

Avaldised hüperboolsete funktsioonide kaudu

;
;

Tuletised

; .

.
Funktsiooni muutuja x n-ndat järku tuletis:
.
Tangensi > > > tuletusvalemid ; kotangensi jaoks >>>

Integraalid

Sarja laiendused

Puutuja laienduse saamiseks x astmetes tuleb funktsioonide astmereas võtta mitu laienduse liiget sin x Ja cos x ja jagage need polünoomid üksteisega, . See annab järgmised valemid.

Kell .

aadressil .
Kus Bn- Bernoulli numbrid. Need määratakse kas kordumise seose põhjal:
;
;
Kus.
Või vastavalt Laplace'i valemile:

Pöördfunktsioonid

Tangensi ja kotangensi pöördfunktsioonid on vastavalt arktangens ja arkotangens.

Arktangent, arctg

, Kus n- terve.

Arccotangent, arcctg