1. إذا كان المستقيمان موازيين لخط ثالث فإنهما متوازيان:
لو أ||جو ب||ج، الذي - التي أ||ب.
2. إذا كان المستقيمان متعامدين على الخط الثالث فإنهما متوازيان:
لو أ⊥جو ب⊥ج، الذي - التي أ||ب.
وتعتمد بقية علامات توازي الخطوط على الزوايا المتكونة عند تقاطع خطين مستقيمين مع خط ثالث.
3. إذا كان مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب 180 درجة، فإن المستقيمين متوازيان:
إذا كانت ∠1 + ∠2 = 180°، إذن أ||ب.
4. إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية، فإن المستقيمين متوازيان:
إذا كان ∠2 = ∠4، إذن أ||ب.
5. إذا كانت الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية، فإن المستقيمين متوازيان:
إذا كان ∠1 = ∠3، إذن أ||ب.
خصائص الخطوط المتوازية
العبارات العكسية لخصائص الخطوط المتوازية هي خصائصها. وهي تعتمد على خصائص الزوايا التي تتكون من تقاطع خطين متوازيين مع خط ثالث.
1. عندما يتقاطع خطان متوازيان مع خط ثالث فإن مجموع الزوايا الداخلية التي يتكونان منها يساوي 180 درجة:
لو أ||ب، ثم ∠1 + ∠2 = 180°.
2. عندما يتقاطع خطان متوازيان مع خط ثالث تكون الزوايا المتناظرة بينهما متساوية:
لو أ||ب، ثم ∠2 = ∠4.
3. عندما يتقاطع خطان متوازيان مع خط ثالث تكون الزوايا المتقاطعة بينهما متساوية:
لو أ||ب، ثم ∠1 = ∠3.
الخاصية التالية هي حالة خاصة لكل خاصية سابقة:
4. إذا كان المستقيم في المستوى عمودياً على أحد المستقيمين المتوازيين فإنه يكون عمودياً على الآخر أيضاً:
لو أ||بو ج⊥أ، الذي - التي ج⊥ب.
الخاصية الخامسة هي بديهية الخطوط المتوازية:
5. من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكن رسم خط واحد فقط موازياً للخط المعطى.
هذه المقالة هي عن الخطوط المتوازية والخطوط المتوازية. أولاً، يتم تقديم تعريف الخطوط المتوازية على المستوى وفي الفضاء، ويتم تقديم الرموز، ويتم تقديم الأمثلة والرسوم التوضيحية للخطوط المتوازية. بعد ذلك، تتم مناقشة علامات وشروط توازي الخطوط. وفي الختام، تم عرض حلول المسائل النموذجية لإثبات توازي الخطوط، والتي تعطى من خلال بعض المعادلات الخطية نظام مستطيلالإحداثيات على الطائرة وفي مساحة ثلاثية الأبعاد.
التنقل في الصفحة.
الخطوط المتوازية - معلومات أساسية.
تعريف.
يتم استدعاء خطين في الطائرة موازي، إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.
تعريف.
يتم استدعاء خطين في الفضاء ثلاثي الأبعاد موازي، إذا كانوا يقعون في نفس المستوى وليس لديهم نقاط مشتركة.
يرجى ملاحظة أن عبارة "إذا كانا يقعان في مستوى واحد" في تعريف المستقيمات المتوازية في الفضاء مهمة جدًا. دعونا نوضح هذه النقطة: الخطان الموجودان في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وليس لهما نقاط مشتركة ولا يقعان في نفس المستوى، ليسا متوازيين، بل متقاطعين.
فيما يلي بعض الأمثلة على الخطوط المتوازية. تقع الحواف المقابلة لورقة دفتر الملاحظات على خطوط متوازية. الخطوط المستقيمة التي يتقاطع بها مستوى جدار المنزل مع مستويات السقف والأرضية متوازية. يمكن أيضًا اعتبار قضبان السكك الحديدية الموجودة على أرض مستوية بمثابة خطوط متوازية.
للإشارة إلى الخطوط المتوازية، استخدم الرمز "". أي أنه إذا كان الخطان a وb متوازيين، فيمكننا كتابة a b باختصار.
يرجى ملاحظة: إذا كان المستقيمان a وb متوازيين، فيمكننا القول أن المستقيم a موازي للخط b، وأيضًا أن الخط b موازي للخط a.
دعونا صوت البيان الذي يلعب دور مهمعند دراسة الخطوط المتوازية على المستوى: من نقطة لا تقع على مستقيم معين، يمر خط مستقيم واحد موازي للخط المعطى. يتم قبول هذا البيان كحقيقة (لا يمكن إثباته على أساس البديهيات المعروفة لقياس التخطيط)، ويسمى بديهية الخطوط المتوازية.
بالنسبة للحالة في الفضاء، فإن النظرية صحيحة: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين، يمر خط مستقيم واحد موازٍ للخط المعطى. يمكن إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام البديهية المذكورة أعلاه للخطوط المتوازية (يمكنك العثور على دليل عليها في كتاب الهندسة المدرسي للصفوف 10-11، والمدرج في نهاية المقالة في قائمة المراجع).
بالنسبة للحالة في الفضاء، فإن النظرية صحيحة: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين، يمر خط مستقيم واحد موازٍ للخط المعطى. يمكن إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام بديهية الخط الموازي أعلاه.
توازي الخطوط - علامات وشروط التوازي.
علامة على توازي الخطوطهو شرط كاف لتكون المستقيمات متوازية، أي الشرط الذي يحققه يضمن أن تكون المستقيمات متوازية. وبعبارة أخرى فإن تحقق هذا الشرط يكفي لإثبات توازي المستقيمين.
هناك أيضًا شروط ضرورية وكافية لتوازي الخطوط على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.
دعونا نوضح معنى عبارة "الشرط الضروري والكافي للمستقيمين المتوازيين".
لقد تعاملنا بالفعل مع الشرط الكافي للخطوط المتوازية. و ماهو " شرط ضروريتوازي الخطوط"؟ ومن اسم "ضروري" يتضح أن استيفاء هذا الشرط ضروري للخطوط المتوازية. بمعنى آخر، إذا لم يتحقق الشرط اللازم ليكون المستقيمان متوازيين، فإن المستقيمين غير متوازيين. هكذا، شرط ضروري وكاف للخطوط المتوازيةهو شرط يكون تحقيقه ضروريًا وكافيًا للمستقيمين المتوازيين. وهذا هو، من ناحية، هذه علامة على توازي الخطوط، ومن ناحية أخرى، هذه خاصية تمتلكها الخطوط المتوازية.
قبل صياغة الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط، من المستحسن أن نتذكر عدة تعريفات مساعدة.
خط قاطعهو الخط الذي يتقاطع مع كل من الخطين غير المتطابقين.
عندما يتقاطع خطان مستقيمان مع قاطع تتشكل ثمانية خطوط غير مكتملة. في صياغة الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط ما يسمى الكذب بالعرض، المقابلةو زوايا أحادية الجانب. دعونا نظهر لهم في الرسم.
نظرية.
إذا تقاطع خطان مستقيمان في المستوى بقاطع، فإنه لكي يكونا متوازيين لا بد ويكفي أن تكون الزوايا المتقاطعة متساوية، أو أن تكون الزوايا المتناظرة متساوية، أو أن يكون مجموع الزوايا من جانب واحد يساوي 180 درجات.
دعونا نعرض رسمًا توضيحيًا لهذا الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى.
يمكنك العثور على أدلة على هذه الشروط لتوازي الخطوط في كتب الهندسة المدرسية للصفوف 7-9.
لاحظ أنه يمكن أيضًا استخدام هذه الشروط في الفضاء ثلاثي الأبعاد - الشيء الرئيسي هو أن الخطين والقاطع يقعان في نفس المستوى.
فيما يلي بعض النظريات الأخرى التي تُستخدم غالبًا لإثبات توازي الخطوط.
نظرية.
إذا كان مستقيمان في المستوى موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان. والدليل على هذا المعيار يأتي من بديهية الخطوط المتوازية.
هناك حالة مماثلة للخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
نظرية.
إذا كان مستقيمان في الفضاء موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان. تمت مناقشة إثبات هذا المعيار في دروس الهندسة في الصف العاشر.
دعونا توضيح النظريات المذكورة.
دعونا نقدم نظرية أخرى تسمح لنا بإثبات توازي الخطوط على المستوى.
نظرية.
إذا كان مستقيمان في المستوى متعامدين مع مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان.
هناك نظرية مماثلة للخطوط في الفضاء.
نظرية.
إذا كان مستقيمان في الفضاء ثلاثي الأبعاد متعامدين على نفس المستوى، فإنهما متوازيان.
دعونا نرسم الصور المقابلة لهذه النظريات.
جميع النظريات والمعايير والشروط الضرورية والكافية المذكورة أعلاه ممتازة لإثبات توازي الخطوط باستخدام طرق الهندسة. وهذا يعني أنه لإثبات التوازي بين خطين محددين، عليك إظهار أنهما متوازيان لخط ثالث، أو إظهار تساوي الزوايا المتقاطعة، وما إلى ذلك. يتم حل العديد من المشكلات المماثلة في دروس الهندسة في المدرسة الثانوية. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في كثير من الحالات يكون من المناسب استخدام طريقة الإحداثيات لإثبات توازي الخطوط على المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. دعونا نقوم بصياغة الشروط الضرورية والكافية لتوازي الخطوط المحددة في نظام الإحداثيات المستطيل.
توازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل.
في هذه الفقرة من المقال سنقوم بصياغة الشروط الضرورية والكافية للخطوط المتوازيةفي نظام إحداثي مستطيل، اعتمادًا على نوع المعادلات التي تحدد هذه الخطوط، وسنقدم أيضًا حلولًا تفصيلية للمسائل المميزة.
لنبدأ بحالة التوازي بين خطين مستقيمين على مستوى في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي. يعتمد برهانه على تعريف متجه الاتجاه للخط وتعريف المتجه الطبيعي للخط على المستوى.
نظرية.
لكي يكون خطان غير متطابقين متوازيين في مستوى، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه لهذه الخطوط على خط واحد، أو أن تكون المتجهات العمودية لهذه الخطوط على خط واحد، أو أن يكون متجه الاتجاه لخط واحد متعامدًا على العمودي ناقلات السطر الثاني.
ومن الواضح أن حالة التوازي بين خطين على المستوى تختزل إلى (متجهات الاتجاه للخطوط أو المتجهات العادية للخطوط) أو إلى (متجه الاتجاه لخط واحد ومتجه عادي للخط الثاني). وبالتالي، إذا كانت متجهات الاتجاه للخطوط a و b، و 
و 
هي ناقلات عادية للخطين a و b، على التوالي، فسيتم كتابة الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطين a و b على النحو التالي 
، أو 
أو حيث t هو عدد حقيقي. في المقابل، يتم العثور على إحداثيات الأدلة و (أو) المتجهات العادية للخطوط a و b باستخدام معادلات الخطوط المعروفة.
على وجه الخصوص، إذا كان الخط المستقيم a في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي على المستوى يحدد معادلة خط مستقيم عامة من النموذج 
، والخط المستقيم ب - 
، فإن المتجهات العادية لهذه الخطوط لها إحداثيات، وعلى التوالي، وسيتم كتابة شرط التوازي للخطين a و b كـ .
إذا كان الخط a يتوافق مع معادلة خط ذو معامل زاوي للشكل، والخط b - فإن المتجهات العادية لهذه الخطوط لها إحداثيات و، وشرط توازي هذه الخطوط يأخذ الشكل 
. وبالتالي، إذا كانت الخطوط الموجودة على المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل متوازية ويمكن تحديدها بمعادلات الخطوط ذات المعاملات الزاوية، فإن المعاملات الزاوية للخطوط ستكون متساوية. وعلى العكس من ذلك: إذا كان من الممكن تحديد الخطوط غير المتطابقة على المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل بمعادلات خط ذي معاملات زاوية متساوية، فإن هذه الخطوط متوازية.
إذا تم تحديد الخط أ والخط ب في نظام إحداثي مستطيل بواسطة المعادلات الأساسية لخط على مستوى النموذج 
و 
أو المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى النموذج 
و 
وفقًا لذلك، فإن متجهات الاتجاه لهذه الخطوط لها إحداثيات و، ويتم كتابة شرط توازي الخطوط a و b كـ .
دعونا نلقي نظرة على حلول لعدة أمثلة.
مثال.
هل الخطوط متوازية؟ 
و ؟
حل.
دعونا نعيد كتابة معادلة الخط المقسم إلى شرائح على شكل معادلة عامة للخط: 
. والآن يمكننا أن نرى أن هذا هو المتجه العمودي للخط المستقيم ، a هو المتجه الطبيعي للخط. هذه المتجهات ليست على خط مستقيم، لأنه لا يوجد عدد حقيقي t الذي تكون المساواة فيه ( 
). وبالتالي، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازي المستقيمات على المستوى غير متوافر، وبالتالي فإن المستقيمات المعطاة ليست متوازية.
إجابة:
لا، الخطوط ليست متوازية.
مثال.
هل الخطوط مستقيمة ومتوازية؟
حل.
دعونا نختصر المعادلة القانونية للخط المستقيم إلى معادلة الخط المستقيم بمعامل زاوي: . من الواضح أن معادلات الخطوط و ليست هي نفسها (في هذه الحالة، الخطوط المعطاة ستكون هي نفسها) والمعاملات الزاوية للخطوط متساوية، وبالتالي فإن الخطوط الأصلية متوازية.
علامات التوازي بين خطين
النظرية 1. إذا، عندما يتقاطع خطان مع قاطع:
الزوايا المتقاطعة متساوية، أو
الزوايا المتناظرة متساوية، أو
إذن مجموع الزوايا أحادية الجانب هو 180 درجة
الخطوط متوازية(رسم بياني 1).
دليل. نحن نقتصر على إثبات الحالة 1.
اجعل الخطين المتقاطعين a و b متقابلين والزوايا AB متساوية. على سبيل المثال، ∠ 4 = ∠ 6. دعونا نثبت أن || ب.
لنفترض أن الخطين a وb ليسا متوازيين. ثم يتقاطعان عند نقطة ما M، وبالتالي فإن إحدى الزوايا 4 أو 6 ستكون الزاوية الخارجية للمثلث ABM. من أجل التحديد، اجعل ∠ 4 هي الزاوية الخارجية للمثلث ABM، و∠ 6 هي الزاوية الداخلية. من نظرية الزاوية الخارجية للمثلث يستنتج أن ∠ 4 أكبر من ∠ 6، وهذا يتعارض مع الشرط، مما يعني أن الخطين a و 6 لا يمكن أن يتقاطعا، لذا فهما متوازيان.
النتيجة الطبيعية 1. خطان مختلفان في المستوى المتعامد على نفس الخط متوازيان(الصورة 2).
تعليق. الطريقة التي أثبتنا بها الحالة 1 من النظرية 1 تسمى طريقة الإثبات بالتناقض أو الاختزال إلى السخافة. حصلت هذه الطريقة على اسمها الأول لأنه في بداية الحجة يتم افتراض مخالف (معاكس) لما يحتاج إلى إثباته. يطلق عليه ما يؤدي إلى العبثية لأنه من خلال التفكير على أساس الافتراض الذي تم التوصل إليه، نصل إلى نتيجة سخيفة (إلى العبثية). إن تلقي مثل هذا الاستنتاج يجبرنا على رفض الافتراض الذي تم تقديمه في البداية وقبول الافتراض الذي يحتاج إلى إثبات.
مهمة 1.أنشئ خطًا يمر بالنقطة المعطاة M وموازيًا للمستقيم المعطى a، ولا يمر بالنقطة M.
حل. نرسم خطًا مستقيمًا p عبر النقطة M عموديًا على الخط المستقيم a (الشكل 3).
ثم نرسم خطًا b عبر النقطة M عموديًا على الخط p. الخط b موازي للخط a وفقًا للنتيجة الطبيعية للنظرية 1.
استنتاج مهم يتبع من المشكلة قيد النظر:
من خلال نقطة لا تقع على خط معين، من الممكن دائمًا رسم خط موازي للخط المعطى.
الخاصية الرئيسية للخطوط المتوازية هي كما يلي.
بديهية الخطوط المتوازية. من نقطة معينة لا تقع على مستقيم معين يمر فقط خط واحد موازي للخط المعطى.
دعونا نفكر في بعض خصائص الخطوط المتوازية التي تنبع من هذه البديهية.
1) إذا قطع مستقيم أحد خطين متوازيين فإنه يتقاطع مع الآخر أيضاً (شكل 4).
2) إذا كان مستقيمان مختلفان موازيين لخط ثالث فإنهما متوازيان (شكل 5).
النظرية التالية صحيحة أيضًا.
النظرية 2. إذا تقاطع خطان متوازيان بقاطع، فإن:
الزوايا المتقاطعة متساوية؛
الزوايا المتناظرة متساوية؛
مجموع الزوايا من جانب واحد هو 180 درجة.
النتيجة الطبيعية 2. إذا كان المستقيم عموديًا على أحد الخطين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر(انظر الشكل 2).
تعليق. تسمى النظرية 2 معكوس النظرية 1. نتيجة النظرية 1 هي شرط النظرية 2. وشرط النظرية 1 هو نتيجة النظرية 2. ليس كل نظرية لها معكوس، أي إذا كانت نظرية معينة صحيح، فإن النظرية العكسية قد تكون خاطئة.
دعونا نشرح ذلك باستخدام مثال نظرية الزوايا الرأسية. يمكن صياغة هذه النظرية على النحو التالي: إذا كانت الزاويتان عموديتين، فإنهما متساويتان. النظرية العكسية هي: إذا كانت الزاويتان متساويتان، فإنهما عموديتان. وهذا بالطبع ليس صحيحا. اثنين زوايا متساويةلا يجب أن تكون عموديًا على الإطلاق.
مثال 1.خطان متوازيان يتقاطع معهما الثلث. ومن المعروف أن الفرق بين زاويتين داخليتين من جانب واحد هو 30 درجة. أوجد هذه الزوايا.
حل. دع الشكل 6 يستوفي الشرط.
فهي لا تتقاطع مهما طال أمدها. ويشار إلى توازي الخطوط المستقيمة في الكتابة على النحو التالي: أ.ب|| معه
تم إثبات إمكانية وجود مثل هذه الخطوط من خلال النظرية.
نظرية.
من خلال أي نقطة خارج الخط المعطى يمكن رسم نقطة موازية لهذا الخط.
يترك أ.بهذا الخط المستقيم و معنقطة ما اتخذت خارجها. ويشترط إثبات ذلك من خلال معيمكنك رسم خط مستقيم موازيأ.ب. دعونا خفضه إلى أ.بمن النقطة مع عموديمعدوبعد ذلك سوف نجري معه^ معد، ما هو ممكن. مستقيم م.موازي أ.ب.
ولإثبات ذلك، لنفترض العكس، أي: ذلك م.يتقاطع أ.بفي مرحلة ما م. ثم من النقطة مإلى خط مستقيم معدسيكون لدينا خطين متعامدين مختلفين مدو آنسةوهو أمر مستحيل. وسائل، م.لا يمكن أن تعبر مع أ.ب، أي. معهموازي أ.ب.
عاقبة.
عموديان (Cهودي.بي.) إلى خط مستقيم واحد (Cد) متوازيان.
بديهية الخطوط المتوازية.
من المستحيل من خلال نفس النقطة رسم خطين مختلفين موازيين لنفس الخط.
لذلك، إذا كان على التوالي معد، مرسومة من خلال النقطة معبالتوازي مع الخط أ.ب، ثم كل سطر آخر معه، مرسومة من خلال نفس النقطة مع، لا يمكن أن يكون متوازيا أ.ب، أي. انها على الاستمرار سوف تتقاطعمع أ.ب.
تبين أن إثبات هذه الحقيقة غير الواضحة تمامًا أمر مستحيل. يتم قبوله بدون دليل، كافتراض ضروري (postulatum).
عواقب.
1. إذا مستقيم(معه) يتقاطع مع واحد من موازي(شمال شرق) ثم يتقاطع مع آخر ( أ.ب)، لأنه بخلاف ذلك من خلال نفس النقطة معسيكون هناك خطين مختلفين يمران بالتوازي أ.بوهو أمر مستحيل.
2. إذا كان كل منهما مباشر (أوب) موازية لنفس السطر الثالث ( مع) ، بعد ذلك موازيبين أنفسهم.
في الواقع، إذا افترضنا ذلك أو بتتقاطع في مرحلة ما م، فإن خطين مستقيمين مختلفين سيمران بهذه النقطة، متوازيين معوهو أمر مستحيل.
نظرية.
لو الخط عموديعلى أحد المستقيمين المتوازيين فإنه يكون عموديا على الآخر موازي.
يترك أ.ب || معدو إي إف ^ أ.ب.ويشترط إثبات ذلك إي إف ^ معد.
عموديهF، متقاطعة مع أ.ب، سوف تعبر بالتأكيد و معد. دع نقطة التقاطع تكون ح.
ولنفترض الآن ذلك معدلا عمودي على إ.ه.. ثم بعض الخطوط المستقيمة الأخرى، على سبيل المثال هونج كونج.، سيكون عموديًا على إ.ه.وبالتالي من خلال نفس النقطة حسيكون هناك اثنان بالتوازي على التوالي أ.ب: واحد معد، بالشرط، والآخر هونج كونج.كما ثبت سابقا. وبما أن هذا مستحيل، فلا يمكن افتراض ذلك شمال شرقلم يكن عموديا على إ.ه..
سنتحدث في هذا المقال عن الخطوط المتوازية ونقدم تعريفاتها ونحدد علامات وشروط التوازي. ولجعل المادة النظرية أكثر وضوحًا، سنستخدم الرسوم التوضيحية والحلول للأمثلة النموذجية.
تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1
خطوط متوازية على متن الطائرة- خطان مستقيمان على المستوى ليس بينهما نقاط مشتركة.
التعريف 2
الخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد- خطان مستقيمان في فضاء ثلاثي الأبعاد يقعان في نفس المستوى ولا توجد نقاط مشتركة بينهما.
من الضروري ملاحظة أنه لتحديد الخطوط المتوازية في الفضاء، فإن توضيح "الكذب في نفس المستوى" مهم للغاية: خطان في مساحة ثلاثية الأبعاد ليس لهما نقاط مشتركة ولا يقعان في نفس المستوى ليسا متوازيين ، ولكن متقاطعة.
للإشارة إلى الخطوط المتوازية، من الشائع استخدام الرمز ∥. أي أنه إذا كان الخطان a وb متوازيان، فيجب كتابة هذا الشرط بإيجاز على النحو التالي: أ ‖ ب. لفظيًا، يُشار إلى توازي الخطوط على النحو التالي: الخطان a وb متوازيان، أو الخط a موازي للخط b، أو الخط b موازي للخط a.
دعونا نصيغ بيانًا يلعب دورًا مهمًا في الموضوع قيد الدراسة.
اكسيوم
من نقطة لا تنتمي إلى خط معين يمر الخط المستقيم الوحيد الموازي للخط المعطى. لا يمكن إثبات هذا البيان على أساس البديهيات المعروفة لقياس التخطيط.
في حال نحن نتحدث عنوفيما يتعلق بالفضاء، فإن النظرية التالية صحيحة:
النظرية 1
من خلال أي نقطة في الفضاء لا تنتمي إلى خط معين، سيكون هناك خط مستقيم واحد موازي للخط المعطى.
من السهل إثبات هذه النظرية على أساس البديهية المذكورة أعلاه (برنامج الهندسة للصفوف 10 - 11).
إن معيار التوازي هو شرط كافٍ يضمن تحقيقه توازي الخطوط. وبعبارة أخرى فإن تحقيق هذا الشرط كافٍ لتأكيد حقيقة التوازي.
وعلى وجه الخصوص، هناك شروط ضرورية وكافية لتوازي الخطوط على المستوى وفي الفضاء. دعونا نوضح: الضرورة تعني الشرط الذي يكون تحقيقه ضروريًا للخطوط المتوازية؛ وإذا لم يتحقق، فإن الخطوط ليست متوازية.
وخلاصة القول إن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط هو الشرط الذي تكون مراعاته ضرورية وكافيّة لكي تكون الخطوط متوازية مع بعضها البعض. من ناحية، هذه علامة على التوازي، من ناحية أخرى، إنها خاصية متأصلة في الخطوط المتوازية.
قبل إعطاء الصيغة الدقيقة للشرط الضروري والكافي، دعونا نتذكر بعض المفاهيم الإضافية.
التعريف 3
خط قاطع- خط مستقيم يتقاطع كل من خطين مستقيمين غير متطابقين.
عند تقاطع خطين مستقيمين، يشكل القاطع ثماني زوايا غير متطورة. لصياغة شرط ضروري وكاف، سنستخدم أنواعًا من الزوايا مثل المتقاطعة والمتناظرة وأحادية الجانب. دعونا نوضح لهم في الرسم التوضيحي:
النظرية 2
إذا تقاطع خطان في المستوى بمستعرض، فإنه لكي تكون الخطوط المعطاة متوازية، من الضروري ويكفي أن تكون الزوايا المتقاطعة متساوية، أو أن تكون الزوايا المتناظرة متساوية، أو أن يكون مجموع الزوايا من جانب واحد يساوي 180 درجة.
دعونا نوضح بيانياً الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى:
والدليل على هذه الشروط موجود في برنامج الهندسة للصفوف 7 - 9.
بشكل عام، تنطبق هذه الشروط أيضًا على الفضاء ثلاثي الأبعاد، على الرغم من أن الخطين والقاطع ينتميان إلى نفس المستوى.
دعونا نشير إلى بعض النظريات الأخرى التي تُستخدم غالبًا لإثبات حقيقة أن الخطوط متوازية.
النظرية 3
على المستوى، خطان متوازيان لخط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض. تم إثبات هذه الميزة على أساس بديهية التوازي المذكورة أعلاه.
النظرية 4
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، خطان متوازيان لخط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض.
يتم دراسة إثبات الإشارة في منهج الهندسة للصف العاشر.
دعونا نعطي توضيحا لهذه النظريات:
دعونا نشير إلى زوج آخر من النظريات التي تثبت توازي الخطوط.
النظرية 5
على المستوى، خطان متعامدان مع خط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض.
دعونا نصوغ شيئًا مشابهًا للفضاء ثلاثي الأبعاد.
النظرية 6
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يكون الخطان المتعامدان مع الثلث متوازيين مع بعضهما البعض.
دعونا نوضح:
جميع النظريات والعلامات والشروط المذكورة أعلاه تجعل من الممكن إثبات توازي الخطوط بسهولة باستخدام طرق الهندسة. أي أنه لإثبات توازي الخطوط، يمكن إثبات أن الزوايا المتناظرة متساوية، أو إثبات حقيقة أن خطين معلومين متعامدين مع الخط الثالث، وما إلى ذلك. لكن لاحظ أنه غالبًا ما يكون من الأنسب استخدام طريقة الإحداثيات لإثبات توازي الخطوط على المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
توازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل
في نظام إحداثي مستطيل معين، يتم تحديد الخط المستقيم من خلال معادلة خط مستقيم على مستوى أحدهما الأنواع الممكنة. وبالمثل، فإن الخط المستقيم المحدد في نظام إحداثيات مستطيل في الفضاء ثلاثي الأبعاد يتوافق مع بعض المعادلات الخاصة بالخط المستقيم في الفضاء.
دعونا نكتب الشروط الضرورية والكافية لتوازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل اعتمادًا على نوع المعادلة التي تصف الخطوط المحددة.
لنبدأ بحالة توازي الخطوط على المستوى. يعتمد على تعريفات متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للخط على المستوى.
النظرية 7
لكي يكون خطان غير متطابقين متوازيين على مستوى، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة على خط واحد، أو أن تكون المتجهات العادية للخطوط المعطاة على خط واحد، أو أن يكون متجه الاتجاه لخط واحد متعامدًا على المتجه الطبيعي للخط الآخر.
يصبح من الواضح أن شرط توازي الخطوط على المستوى يعتمد على شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات أو شرط التعامد بين متجهين. أي أنه إذا كانت a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) متجهات اتجاه للخطين a و b ؛
و n b → = (n b x , n b y) هي متجهات عادية للخطين a و b، ثم نكتب الشرط الضروري والكافي أعلاه كما يلي: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y أو n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y أو a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 ، حيث t هو عدد حقيقي. يتم تحديد إحداثيات الأدلة أو المتجهات المستقيمة بواسطة المعادلات المعطاة للخطوط المستقيمة. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة الرئيسية.
- يتم تحديد الخط a في نظام الإحداثيات المستطيل بواسطة المعادلة العامة للخط: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; الخط المستقيم ب - أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0. ثم سيكون للمتجهات العادية للخطوط المعطاة إحداثيات (A 1، B 1) و (A 2، B 2)، على التوالي. نكتب شرط التوازي كما يلي:
أ 1 = ر أ 2 ب 1 = ر ب 2
- يوصف الخط a بمعادلة الخط ذو الميل بالصيغة y = k 1 x + b 1 . الخط المستقيم ب - ص = ك 2 س + ب 2. عندها سيكون للمتجهات العادية للخطوط المعطاة إحداثيات (k 1, - 1) و (k 2, - 1) على التوالي، وسنكتب شرط التوازي كما يلي:
ك 1 = ر ك 2 - 1 = ر (- 1) ⇔ ك 1 = ر ك 2 ر = 1 ⇔ ك 1 = ك 2
وبالتالي، إذا تم إعطاء خطوط متوازية على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل من خلال معادلات ذات معاملات زاوية، فإن المعاملات الزاوية للخطوط المعطاة ستكون متساوية. والبيان المعاكس صحيح: إذا تم تحديد الخطوط غير المتطابقة على المستوى في نظام إحداثيات مستطيل بمعادلات خط له معاملات زاوية متطابقة، فإن هذه الخطوط المعطاة متوازية.
- يتم تحديد الخطوط a و b في نظام الإحداثيات المستطيل بواسطة المعادلات الأساسية لخط على المستوى: x - x 1 a x = y - y 1 a y و x - x 2 b x = y - y 2 b y أو بواسطة المعادلات البارامترية لـ خط على المستوى: x = x 1 + lect · a x y = y 1 + lect · a y و x = x 2 + lect · b x y = y 2 + lect · b y .
إذن فإن متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة ستكون: a x، a y و b x، b y، على التوالي، وسنكتب شرط التوازي كما يلي:
أ س = ر ب س أ ص = ر ب ص
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.
مثال 1
تم إعطاء سطرين: 2 x - 3 y + 1 = 0 و x 1 2 + y 5 = 1. من الضروري تحديد ما إذا كانت متوازية.
حل
دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم المقطع على شكل معادلة عامة:
س 1 2 + ص 5 = 1 ⇔ 2 س + 1 5 ص - 1 = 0
نرى أن n a → = (2, - 3) هو المتجه الطبيعي للخط 2 x - 3 y + 1 = 0، و n b → = 2, 1 5 هو المتجه العادي للخط x 1 2 + y 5 = 1.
المتجهات الناتجة ليست على خط مستقيم، لأن لا توجد قيمة للتبادل تكون فيها المساواة صحيحة:
2 = ر 2 - 3 = ر 1 5 ⇔ ر = 1 - 3 = ر 1 5 ⇔ ر = 1 - 3 = 1 5
وبالتالي، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى غير محقق، مما يعني أن الخطوط المعطاة ليست متوازية.
إجابة:الخطوط المعطاة ليست متوازية.
مثال 2
الخطوط y = 2 x + 1 و x 1 = y - 4 2 مذكورة. هل هما متوازيان؟
حل
لنحول المعادلة الأساسية للخط المستقيم x 1 = y - 4 2 إلى معادلة الخط المستقيم مع الميل:
س 1 = ص - 4 2 ⇔ 1 · (ص - 4) = 2 س ⇔ ص = 2 س + 4
نرى أن معادلات الخطين y = 2 x + 1 و y = 2 x + 4 ليستا متماثلتين (لو كان الأمر خلاف ذلك لكان المستقيمان متطابقين) وأن المعاملات الزاوية للخطين متساوية، مما يعني الخطوط المعطاة متوازية.
دعونا نحاول حل المشكلة بشكل مختلف. أولاً، دعونا نتحقق مما إذا كانت الخطوط المحددة متطابقة. نستخدم أي نقطة على الخط y = 2 x + 1 مثلاً (0, 1)، إحداثيات هذه النقطة لا تتوافق مع معادلة الخط x 1 = y - 4 2، مما يعني أن الخطوط تفعل لا تتزامن.
والخطوة التالية هي تحديد ما إذا كان شرط التوازي للخطوط المحددة قد تم استيفاءه.
المتجه العادي للخط y = 2 x + 1 هو المتجه n a → = (2 , - 1) ، ومتجه الاتجاه للخط الثاني المحدد هو b → = (1 , 2) . المنتج العددي لهذه المتجهات هو صفر:
ن أ → , ب → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
وبالتالي فإن المتجهات متعامدة: وهذا يوضح لنا توفر الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط الأصلية. أولئك. الخطوط المعطاة متوازية.
إجابة:هذه الخطوط متوازية.
لإثبات توازي الخطوط في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد، يتم استخدام الشرط الضروري والكافي التالي.
النظرية 8
لكي يكون خطان غير متطابقين في فضاء ثلاثي الأبعاد متوازيين، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه لهذه الخطوط على خط واحد.
أولئك. بالنظر إلى معادلات الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن العثور على إجابة السؤال: هل هي متوازية أم لا، من خلال تحديد إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة، وكذلك التحقق من حالة خطيتها الخطية المتداخلة. بمعنى آخر، إذا كانت a → = (a x, a y, a z) وb → = (b x, b y, b z) هي متجهات الاتجاه للخطين a وb، على التوالي، لكي يكونا متوازيين، يكون الوجود من هذا العدد الحقيقي t ضروري، بحيث تكون المساواة:
أ → = ر ب → ⇔ أ س = ر ب × أ ص = ر ب ي أ ض = ر ب ض
مثال 3
الخطوط x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 و x = 2 + 2 lect y = 1 z = - 3 - 6 lect مذكورة. من الضروري إثبات التوازي بين هذه الخطوط.
حل
يتم إعطاء شروط المشكلة من خلال المعادلات القانونية لخط واحد في الفضاء والمعادلات البارامترية لخط آخر في الفضاء. توجيه المتجهات أ → و ب → للخطوط المعطاة إحداثيات: (1، 0، - 3) و (2، 0، - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , ثم a → = 1 2 · b → .
وبالتالي، يتم استيفاء الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط في الفضاء.
إجابة:تم إثبات التوازي بين الخطوط المعطاة.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter