Tunni eesmärgid:

• Tutvustage paralleelsete tasandite mõistet.
• Vaatleme ja tõestame tasandite paralleelsuse märki ja paralleelsete tasandite omadusi väljendavaid teoreeme.
• Järgige nende teoreemide rakendamist ülesannete lahendamisel.

Tunniplaan (kirjutage tahvlile):

I. Ettevalmistav suuline töö.

II. Uue materjali õppimine:

1. Kahe tasandi vastastikune paigutus ruumis.
2. Paralleeltasandite definitsioon.
3. Paralleeltasandite märk.
4. Paralleelsete tasandite omadus.

III. Õppetunni kokkuvõte.

IV. Kodutöö.

TUNNIDE AJAL

I. Suuline töö

Tahaksin õppetundi alustada tsitaadiga Tšaadajevi filosoofilisest kirjast:

“Kust tuleb see imeline analüüsivõime matemaatikas? Fakt on see, et mõistus tegutseb siin täielikult sellele reeglile kuulekalt.

Seda alluvust reeglile käsitleme järgmises ülesandes. Uue materjali omastamiseks on vaja mõnda küsimust korrata. Selleks peate koostama nendest väidetest tuleneva väite ja põhjendama oma vastust:

II. Uue materjali õppimine

1. Kuidas saab ruumis paikneda kaks tasapinda? Mis on mõlemale tasapinnale kuuluvate punktide hulk?

Vastus:

a) langevad kokku (siis tegeleme ühe tasapinnaga, pole rahul);
b) ristuvad, ;
c) ei lõiku (ühispunkte pole üldse).

2. Definitsioon: Kui kaks tasapinda ei ristu, nimetatakse neid paralleelseks.

3. Määramine:

4. Too näiteid keskkonnast paralleelsete tasandite kohta

5. Kuidas teada saada, kas kaks tasandit ruumis on paralleelsed?

Vastus:

Võite kasutada määratlust, kuid see pole praktiline, sest tasapindade ristumiskohta ei ole alati võimalik kindlaks teha. Seetõttu on vaja arvestada tingimusega, mis on piisav tasapindade paralleelsuse kinnitamiseks.

6. Mõelge olukordadele:

b) kui ?

c) kui ?

Miks punktides a ja b on vastus: "mitte alati", aga punktis c "jah"? (Lõikuvad jooned määratlevad tasapinna ainulaadsel viisil, mis tähendab, et need on unikaalselt määratletud!)

Olukord 3 on kahe tasandi paralleelsuse märk.

7. Teoreem: Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.

Arvestades:

Tõesta:

Tõestus:

(Märgistusi joonisel rakendavad õpilased).

1. Märkus: . Sarnaselt:
2. Laske: .
3. Meil ​​on: Sarnaselt:
4. Saame: M läbib vastuolu planimeetria aksioomiga.
5. Seega: vale, siis h. jne.

8. Lahendus nr 51 (Õpilased panevad joonisele tähistused).

Arvestades:

Tõesta:

Tõestus:

1 viis

1. Ehitame

2 moodi

Sisenege kaudu .

9. Mõelge paralleelsete tasandite kahele omadusele:

Teoreem: Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas, siis on nende lõikejooned paralleelsed.

(Õpilased ise täidavad ja märgivad joonise ära).

Arvestades:

See artikkel uurib tasapindade paralleelsuse küsimusi. Anname definitsiooni tasapindadele, mis on üksteisega paralleelsed; tähistame paralleelsuse märke ja piisavaid tingimusi; Vaatame teooriat illustratsioonide ja praktiliste näidete kaudu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon

Paralleelsed tasapinnad on tasapinnad, millel pole ühiseid punkte.

Paralleelsuse tähistamiseks kasutatakse järgmist sümbolit: ∥. Kui on antud kaks tasapinda: α ja β , mis on paralleelsed, näeb selle kohta lühike kirje välja selline: α ‖ β .

Joonisel kuvatakse reeglina üksteisega paralleelsed tasapinnad kahe võrdse rööpkülikuna, mis on üksteisest nihkes.

Kõnes võib paralleelsust tähistada järgmiselt: tasapinnad α ja β on paralleelsed ning ka - tasapind α on paralleelne tasapinnaga β või tasand β on paralleelne tasapinnaga α.

Tasapindade paralleelsus: paralleelsuse märk ja tingimused

Geomeetriliste ülesannete lahendamise käigus tekib sageli küsimus: kas antud tasandid on üksteisega paralleelsed? Sellele küsimusele vastamiseks kasutatakse paralleelsuse märki, mis on ka tasandite paralleelsuse piisav tingimus. Paneme selle teoreemina kirja.

1. teoreem

Tasapinnad on paralleelsed, kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe lõikuva sirgega.

Selle teoreemi tõestus on antud geomeetriaprogrammis 10. - 11. klassile.

Praktikas kasutatakse paralleelsuse tõestamiseks muuhulgas kahte järgmist teoreemi.

2. teoreem

Kui üks paralleelsetest tasapindadest on paralleelne kolmanda tasapinnaga, siis on ka teine ​​tasapind kas paralleelne selle tasapinnaga või langeb sellega kokku.

3. teoreem

Kui kaks mittekattuvat tasandit on mingi sirgega risti, siis on nad paralleelsed.

Nende teoreemide ja paralleelsuse märgi enda põhjal tõestatakse mis tahes kahe tasandi paralleelsuse fakt.

Vaatleme üksikasjalikumalt tasandite α ja β paralleelsuse vajalikku ja piisavat tingimust, mis on antud ruumilise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Oletame, et mingis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud tasand α, mis vastab üldvõrrandile A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ning samuti on antud tasand β, mis on defineeritud üldvõrrand kujul A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

4. teoreem

Et antud tasandid α ja β oleksid paralleelsed, on vajalik ja piisav, et lineaarvõrrandisüsteem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ei sisalda lahendust (ühildumatu).

Tõestus

Oletame, et võrranditega A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 määratletud tasandid on paralleelsed ja seetõttu puuduvad neil ühised punktid. Seega pole kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ainsatki punkti, mille koordinaadid vastaksid üheaegselt tasandite mõlema võrrandi tingimustele, s.t. süsteemil A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ei ole lahendust. Kui antud süsteemil pole lahendeid, siis pole kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ühtegi punkti, mille koordinaadid vastaksid üheaegselt süsteemi mõlema võrrandi tingimustele. Seetõttu ei ole võrranditega A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 antud tasapindadel ühtki ühispunkti, s.t. need on paralleelsed.

Analüüsime tasandite paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse kasutamist.

Näide 1

Antud kaks tasapinda: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 ja 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Peate kindlaks tegema, kas need on paralleelsed.

Otsus

Kirjutame võrrandisüsteemi antud tingimustest üles:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Kontrollime, kas saadud lineaarvõrrandisüsteemi on võimalik lahendada.

Maatriksi 2 3 1 2 3 1 1 3 järk on võrdne ühega, kuna teist järku minoorsed on nulliga. Maatriksi aste 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 on võrdne kahega, kuna 2 1 2 3 - 4 moll on nullist erinev. Seega on võrrandisüsteemi põhimaatriksi aste väiksem kui süsteemi laiendatud maatriksi auaste.

Koos sellega tuleneb Kroneckeri-Capelli teoreemist: võrrandisüsteemil 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 pole lahendeid. See fakt tõestab, et tasapinnad 2 x + 3 y + z - 1 = 0 ja 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 on paralleelsed.

Pange tähele, et kui kasutaksime lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks Gaussi meetodit, annaks see sama tulemuse.

Vastus: antud tasandid on paralleelsed.

Tasapindade paralleelsuse vajalikku ja piisavat tingimust saab kirjeldada ka teisiti.

5. teoreem

Selleks, et kaks mittekattuvat tasandit α ja β oleksid üksteisega paralleelsed, on vajalik ja piisav, et tasandite α ja β normaalvektorid on kollineaarsed.

Sõnastatud tingimuse tõestus põhineb tasandi normaalvektori definitsioonil.

Oletame, et n 1 → = (A 1, B 1, C 1) ja n 2 → = (A 2, B 2, C 2) on vastavalt tasandite α ja β normaalvektorid. Kirjutame nende vektorite kollineaarsuse tingimuse:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2, kus t on mingi reaalarv.

Seega, et ülaltoodud normaalvektoritega mittekattuvad tasapinnad α ja β oleksid paralleelsed, on vajalik ja piisav, et toimuks reaalarv t, mille võrdsus on tõene:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2

Näide 2

Tasapinnad α ja β on antud kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Tasapind α läbib punkte: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Tasapinda β kirjeldab võrrand x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 On vaja tõestada etteantud tasandite paralleelsus.

Otsus

Vaatame, et antud lennukid ei langeks kokku. Tõepoolest on, kuna punkti A koordinaadid ei vasta tasapinna β võrrandile.

Järgmise sammuna määratakse tasapindadele α ja β vastavate normaalvektorite n 1 → ja n 2 → koordinaadid. Samuti kontrollime nende vektorite kollineaarsuse tingimust.

Vektorit n 1 → saab täpsustada, võttes vektorite ristkorrutise A B → ja A C → . Nende koordinaadid on vastavalt: (- 3 , 0 , 1) ja (- 2 , 2 , - 2) . Seejärel:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

Tasapinna x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 normaalvektori koordinaatide saamiseks taandame selle võrrandi tasandi üldvõrrandiks:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Seega: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Kontrollime, kas vektorite n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) ja n 2 → = 1 12, 2 3, 1 4 kollinaarsuse tingimus

Kuna - 1 \u003d t 1 12 - 8 \u003d t 2 3 - 3 \u003d t 1 4 ⇔ t \u003d - 12, siis vektorid n 1 → ja n 2 → on seotud võrrandiga n 2 → = - - 1 1 → n 2 → , st. on kollineaarsed.

Vastus: tasapinnad α ja β ei lange kokku; nende normaalvektorid on kollineaarsed. Seega on tasapinnad α ja β paralleelsed.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

e vara pa paralleelsed jooned, mida nimetatakse transitiivseteksparalleelsus:

• Kui kaks sirget a ja b on paralleelsed kolmanda sirgega c, siis on nad paralleelsed. meid üksteisele.

Kuid stereomeetria abil on seda omadust keerulisem tõestada. Tasapinnal peavad mitteparalleelsed sirged lõikuma ja seetõttu ei saa olla samaaegselt paralleelsed kolmandaga (muidu rikutakse paralleelsete sirgete aksioomi). Proruumi, on mitteparalleelseid jamittelõikuvate joonte mahtkui need asuvad erinevatel tasapindadel. Sellised jooned väidetavalt ristuvad.

Joonisel fig. 4 on kujutatud kuubikut; sirged AB ja BC lõikuvad, AB ja CDparalleelsed ning AB ja B Koos ristuvad. Edaspidi kasutame illustreerimiseks sageli kuubi abiproovige stereomeetria mõisteid ja fakte. Meie kuubik on liimitud kuuest ruudukujulisest tahust. Selle põhjal tuletame selle muud omadused. Näiteks võib öelda, et sirge AB on paralleelne C-gaD,sest need on mõlemad paralleelsed CD ühise küljeganeid hoidvad ruudud.

Stereomeetrias arvestatakse paralleelsuse seost ka tasapindade puhul: kaks tasapindaSirg või sirge ja tasapind on paralleelsed, kui neil pole ühiseid punkte. Mugav on lugeda sirget ja tasapinda paralleelseks isegi siis, kui see asub tasapinnas. Tasapindade ja sirgete puhul kehtivad transitiivsuse teoreemid:

• Kui kaks tasapinda on paralleelsed kolmanda tasapinnaga, siis on nad üksteisega paralleelsed.
• Kui sirge ja tasapind on paralleelsed mõne sirgega (või tasapinnaga), siis on nad paralleelsed.

Teise teoreemi kõige olulisem erijuhtum on sirge ja tasandi paralleelsuse märk:

• Sirg on paralleelne tasapinnaga, kui see on paralleelne selle tasapinna mõne sirgega.

Ja siin on paralleelsete tasandite märk:

• Kui kaks lõikuvat sirget ühes tasapinnas on paralleelsed teise tasandi kahe lõikuva sirgega, siis on tasapinnad paralleelsed.

Sageli kasutatakse järgmist lihtsat teoreemi:

• Sirged, mida mööda kaks paralleelset tasapinda ristuvad kolmandaga, on üksteisega paralleelsed.

Vaatame uuesti kuubikut (joonis 4). Sirge ja tasandi paralleelsuse märgist järeldub näiteks, et sirge A AT on paralleelne tasapinnaga ABCD (kuna see on paralleelne selle tasapinna joonega AB) ja kuubi vastasküljed, eriti A AT Koos D ja ABCD on paralleelsed vastavalt tasandite paralleelsusele: sirged A B ja B Koos ühel küljel on vastavalt paralleelsed teise külje sirgjoontega AB ja BC. Ja veidi vähem lihtne näide. Tasand, mis sisaldab paralleelseid sirgeid AA ja SS, lõikuvad paralleelsed tasapinnad ABCD ja A B C D mööda sirgeid AC ja A Koos, seega on need sirged paralleelsed: samamoodi paralleelsed sirged B C ja A D. Seetõttu paralleelselt tasapinnaga AB C ja A DC, mis lõikab kuupi kolmnurkades.

III. Ruumikujude kujutis.

On selline aforism Geomeetriasee on oskusstvo argumenteerige õigesti vale joonise peale. Tõepoolest, kui me tagasi pöördumeülaltoodud arutluskäigust selgub:

Ainus kasu, mille oleme kaasasolevast kuubijoonisest saanud, on see, et see on säästnud meile selgitamisel ruumimärge. Sama eduga õnnestus seda kujutada kehana joonisel fig. 4, mina, kuigi ilmselgelt ei ole sellel kujutatud mitte ainult kuup, vaid ka mitte hulktahukas. Ja ometi peitub ülaltoodud aforismis vaid osa tõest. Tõepoolest, enne arutamistvalmis tõestuse väljaütlemiseks on vajamõtle. Ja selleks peate selgelt ette kujutama antud figuuri, selle elementide vahelist suhet. Hea joonistus aitab sellist ideed arendada. Veelgi enam, nagu näeme, tahke geomeetrias saab edukas joonistadavõib saada mitte ainult illustratsiooniks, vaid ka probleemi lahendamise aluseks.

Kunstnik (õigemini realistlik kunstnik) edasijoonistab meie kuubi sellisena, nagu me seda näeme (joonis 5, b), st perspektiivis või keskelnoa projektsioon. Keskprojektsiooniga punktist O (projektsioonikeskus) tasapinnale a prosuvaline punkt X on kujutatud punktiga X, kus a lõikub sirgega OX (joonis 6). Keskprojektsioon hoiab otsepunktide lineaarne paigutus, kuid reeglina tõlgib paralleelsed sirged lõikepunktideksmuutuv, rääkimata sellest, et see muudab vahemaid ja nurki. Selle omaduste uurimine kltõi kaasa olulise geomeetria haru tekkimise (vt artiklit Projektiivne geomeetria).

Kuid geomeetrilistel joonistel kasutatakse teistsugust projektsiooni. Võib öelda, et see saadakse keskpunktist, kui keskpunkt O eemaldatakse lõpmatuseni ja jooned OX muutuvad pa-ksparalleelselt.

Valime tasapinna a ja sellega lõikuva sirge l. Joonistame sirge läbi punkti X, paparalleelne l. Punkt X, kus see sirge kohtub a-ga, on X paralleelprojektsioon tasapinnale a piki sirget l (joonis 7). ProJoonise osa koosneb kõigi selle punktide projektsioonidest. Geomeetrias mõistetakse kujundi kujutist selle paralleelprojektsioonina.

Eelkõige sirgjoone kujutiskas see on sirgjoon või (erandjuhultee, kui joon on paralleelne projektsiooni suunaga) punkt. Pildil paralleelselt

( mahästi)

Matemaatikaõpetaja PU №3

Tuaeva Z.S.

2015. aasta

Tunni teema “Tasapindade paralleelsus”

Tunni tüüp: õppetund uue materjali õppimisel.

Esmane eesmärk:

Tutvustage paralleelsete tasandite mõistet.

Tõesta kahe tasandi paralleelsuse kriteerium.

Mõelge paralleelsete tasandite omadustele.

Ülesanded:

Hariduslik :

Kujundada kahe tasandi paralleelsuse märgi ja paralleeltasandite uuritud omaduste rakendamise oskust ülesannete lahendamisel.

Hariduslik :

Õpilaste ruumilise kujutlusvõime arendamine,

Õpilaste vaimse aktiivsuse arendamine.

Õpilaste loogilise, ratsionaalse, kriitilise, loova mõtlemise ja kognitiivsete võimete arendamine.

Hariduslik :

Täpsuse, graafilise kirjaoskuse harimine.

Uute haridustehnoloogiate kasutamine: probleemõppe tehnoloogia kasutamine.

Tunniplaan

II. Uue materjali õppimine mudeliga interaktiivsel tahvlil:

Paralleeltasandite definitsioon.

Kahe tasandi paralleelsuse märk.

Paralleeltasandite omadused.

Vestlus õpilastega teemadel, milles õpetaja, luues süstemaatiliselt probleemsituatsioone ja korraldades õpilaste tegevusi haridusprobleemide lahendamiseks, tagab nende iseseisva otsingutegevuse optimaalse kombinatsiooni teaduse valmis järelduste assimilatsiooniga.

III. Oskuste ja vilumuste kujunemine

Ülesannete lahendamine õpilastele kasutamisekskahe tasandi paralleelsuse märk ja paralleelsete tasandite omadused. Iseseisev töö omandatud materjali kontrollimiseks ja esmase konsolideerimise läbiviimiseks

IV. Kodutöö

Õpetaja kommenteerib kodutöid

Tundide ajal:

1. Tunni teema ja eesmärgi sõnum. Tunniplaani sõnum.

2. Teadmiste uuendamise etapp.

Küsimused õpilastele:

1. Milliseid sirgeid ruumis nimetatakse paralleelseteks?

(Kahte ruumijoont nimetatakse paralleelseks, kui need asuvad samal tasapinnal ja neil pole ühiseid punkte)

2. Sõnasta sirge ja tasandi paralleelsuse definitsioon?

(Sirget ja tasandit nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte)

3. Sõnasta stereomeetria kolmas aksioom?

(Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine joon, millel asuvad nende tasandite kõik ühised punktid)

4. Kuidas saab ruumis paikneda kaks tasapinda?

(Kaks tasapinda kas lõikuvad sirgjooneliselt (joonis 1, a) või ei lõiku (joonis 1, b))

Joon.1, a Joon.1, b

3. Uue materjali õppimine.

1. Õppimisprobleem : Määratlege paralleelsed tasapinnad.

Õppimise olukord :

Küsimused õpilastele:

1. Mitu ühispunkti on kahel mittelõikuval tasapinnal?

(Pole ühtki ühist punkti)

2. Kuidas nimetatakse tasapindu, millel pole ühte ühist punkti?

(Paralleeltasandid)

3. Sõnasta paralleelsete tasandite definitsioon, arvestades nende ühispunktide arvu?

Kaht tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte.

4. Täpsustage paralleelsete tasandite mudelid klassiruumi objektidel?

(Kapi põrand ja lagi, kaks vastasseina, lauapind ja põrandatasand)

2. Õppimisprobleem : sõnastada ja tõestada kahe tasandi paralleelsuse märk.

Õppimise olukord :

Õpilastele antakse rööptahuka mudel.

Küsimused õpilastele:

1. Mis on tasapindade suhteline asend ja ?

(lennuk ja paralleelselt)

2. Nimetage kaks ristuvat sirget

(sirge AB, sirge BC)

3. Nimeta sirged tasapinnad , paralleelsed sirgjoontegaAB ja päike ?

(
║
║

4. Mis on sirge suhteline asendAB ja lennuk ? Põhjenda vastust.

(AB║ sirge ja tasandi paralleelsuse alusel: kui sirge, mis ei asu antud tasapinnal (
), on paralleelne sellel tasapinnal asuva sirgjoonega (
║

Kui õpilastel on vastust raske põhjendada, siis juhi tähelepanu sirge ja tasandi paralleelsuse märgile.

5. Mis on joone suhteline asukohtpäike ja lennuk ? Põhjenda vastust.

(Pühapäev║ sirge ja tasandi paralleelsuse alusel: kui sirge, mis ei asu antud tasapinnal (
), on paralleelne sellel tasapinnal asuva sirgjoonega (
║
), siis on see tasapinnaga paralleelne)

6. Oletame tasapinnad ja ei ole paralleelsed. Kuidas nad siis paiknevad?

(tasapinnad lõikuvad mööda mingit sirget c)

7. Kuidas jooned sel juhul paiknevadAB jakoos ?

(koos ║AB vastavalt varale
) paralleelselt teise tasapinnaga (AB║
║AB))

8. Kuidas jooned sel juhul paiknevadpäike jakoos ?

(koos ║ eKr, vastavalt varale : kui lennuk läbib antud joont (
) paralleelselt teise tasapinnaga (BC║ ) ja lõikub selle tasapinnaga (
), siis on tasandite lõikejoon paralleelne antud sirgega (koos ║VS))

9. Mitu sirget on paralleelsed sirgegakoos , läbib punktiAT ?

(Kaks rida: rida AB, rida BC)

10. Kas see on võimalik?

(See pole võimalik, sest paralleelsete sirgete teoreemi järgi: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib antud sirgega paralleelne sirge ja pealegi ainult üks)

11. Millise järelduse saab teha? Kas meie oletus on õige?

(Meie oletus ei ole õige, tuleb seda tunnistada ║)

12. Mitu sirget on tasapinnas vaja lennukisse ja olid paralleelsed?

(kaks sirget joont)

13. Millised peaksid need read omavahel olema?

(ristub)

14. Mitu sirget peavad olema tasapinnaga paralleelsed ?

(kaks)

15. Sõnasta kahe tasandi paralleelsuse märk, võttes arvesse ühe tasandi sirgete arvu, mis on paralleelsed teise tasandi sirgetega?

Õpilaste järelduse tulemus:

Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.

3. Õppimisprobleem : sõnastada ja tõestada paralleelsete tasandite omadusi.

Õppimise olukord :

Küsimused õpilastele:

ja ?

(tasandid on paralleelsed)

lennukite suhtes ja ?

(lennuk ületab lennuki ja )

3. Mida saab öelda tasandite lõikejoonte kohta?

(tasapindade lõikejooned on üksteisega paralleelsed)

4. Põhjendage oma vastust paralleelsete joonte definitsiooniga ruumis.

(jooned a ja b asuvad samal tasapinnal) ja ei lõiku, sest kui sirged lõikuvad, siis tasapinnad ja neil oleks ühine punkt, mis on võimatu, kuna need tasapinnad on paralleelsed)

5. Sõnasta paralleelsete tasandite esimene omadus, võttes arvesse lõikejoonte suhtelist asukohtaa ja sisse ?

Õpilaste järelduse tulemus:

Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas, siis on nende lõikejooned paralleelsed.

Õppimise olukord :

Õpilastele antakse mudel paralleeltasanditest, mida lõikab kolmas tasapind.

Küsimused õpilastele:

1. Mis on tasapindade suhteline asend ja ?

(tasandid on paralleelsed)

2. Kuidas lennuk asub lennukite suhtes ja ?

(lennuk ületab lennuki ja )

3. Mida saab öelda segmentide kohtaAB ja Koos D ?

(segmendid AB ja Koos D üksteisega paralleelselt)

4. Mida saab öelda segmentide kohtaAC ja AT D ?

(segmendid AU ja AT D omadused 1 on üksteisega paralleelsed )

5. Kuidas nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed?

(paralleelogramm)

6. Milliseid rööpküliku omadusi sa tead?

rööpküliku vastasküljed ja nurgad on võrdsed

Rööpküliku diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga

7. Mida saab öelda segmentide kohtaAB ja Koos D kasutades rööpküliku esimest omadust?

(segmendid AB ja Koos D üksteisega võrdsed)

8. Sõnasta paralleelsete tasandite teine ​​omadus, kasutades lõikude võrdsustAB ja Koos D ?

Õpilaste järelduse tulemus:

Paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleeljoonte lõigud on võrdsed.

4. Oskuste ja vilumuste kujunemine.

Probleemi lahendamine

Ülesanne number 1. (Nr 54) (Kahe tasandi paralleelsuse märgi väljatöötamiseks)

Antud :

Tõesta :

║

Leidma :

Tõestus:

1.
- keskmine joon
MN ║ AC .

2. NP - keskmine joon
NP ║ CD .

MN ║ AC
( MNP )║( ADC ) paralleelsuse alusel 2 pl.

NP ║ CD

4.
sarnased
kolmnurkade kolmanda sarnasuse märgi järgi (kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdelised teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad sarnased)
(kuna kahe sarnase kolmnurga pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga)

Vastus :
.

Ülesanne number 2. (Nr. 63 (a)) (Paralleeltasandite 1 omaduse väljatöötamiseks)

Arvestades:

║

Leidma:

Otsus:

1. Tõestame seda
║
.

Nagu

║(tingimuse järgi)

║
.(paralleeltasandite 1 omaduse järgi)

2. Tõestame seda
sarnased
.

, vastavalt aadressil
║
.ja sekant

, vastavalt aadressil
║
.ja sekant

Tähendab,
sarnased
2 nurgas.

3. Leia
.

Tingimuste järgi

4. Leia
.

Teeme proportsiooni:

Vastus :

Ülesanne number 3. (Nr 65) (Rööptasandite 2 omaduse harjutamiseks)

Antud :

║

║
║

Määratlege :

omamoodi nelinurgad

Tõesta:

Otsus:

1. Vaatleme nelinurka
.

║
(tingimuse järgi)

=

nelinurkne

2. Vaatleme nelinurka
.

║
(tingimuse järgi)

=
(paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleeljoonte lõikudena, omadus 2)
nelinurkne
on rööpkülik

3. Vaatleme nelinurka
.

║
(tingimuse järgi)

=
(paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleeljoonte lõikudena, omadus 2)
nelinurkne
lõikab ära antud kolmnurga sarnase kolmnurga. : ║ Kodutöö.

§ 10 (lk 10-11) lk (20-21)

nr 53, nr 63(b).

Õpik: L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, L. S. Kiseleva, E. G. Poznyak. Geomeetria 10, 11. Moskva“ Haridus ” , 2002.

6. Tunni tulemus.

Täna tunnis tutvustasime paralleeltasandite mõistet, tõestasime iseseisvalt kahe tasandi paralleelsuse märki, käsitlesime paralleelsete tasandite omadusi. Õppisime lahendama ülesandeid tõestamiseks kahe tasandi paralleelsuse märgi abil, rakendama paralleeltasandite uuritud omadusi ülesannete lahendamisel.