Standardmärgid
Kolmnurk tippudega A, B Ja C tähistatud kui (vt joonis). Kolmnurgal on kolm külge:
Kolmnurga külgede pikkused on tähistatud väikeste ladina tähtedega (a, b, c):
Kolmnurgal on järgmised nurgad:
Nurki vastavates tippudes tähistatakse traditsiooniliselt kreeka tähtedega (α, β, γ).
Kolmnurkade võrdsuse märgid
Eukleidilise tasapinna kolmnurka saab üheselt (kuni kongruentsuseni) defineerida järgmiste põhielementide kolmikutega:
- a, b, γ (kahe külje võrdsus ja nendevaheline nurk);
- a, β, γ (külg- ja kahe külgneva nurga võrdsus);
- a, b, c (kolme külje võrdsus).
Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:
- mööda jalga ja hüpotenuusi;
- kahel jalal;
- piki jalga ja teravnurka;
- hüpotenuus ja teravnurk.
Mõned kolmnurga punktid on "paaritud". Näiteks on kaks punkti, millest kõik küljed on nähtavad kas 60° või 120° nurga all. Neid kutsutakse täpid Torricelli. Samuti on kaks punkti, mille külgede projektsioonid asuvad korrapärase kolmnurga tippudes. see - Apolloniuse punktid. Punkte ja selliseid kutsutakse Brocardi punktid.
Otsene
Igas kolmnurgas asuvad raskuskese, ortotsenter ja piiritletud ringi keskpunkt samal sirgel, nn. Euleri joon.
Nimetatakse sirget, mis läbib piiritletud ringi keskpunkti ja Lemoine'i punkti Brokari telg. Apolloniuse punktid asuvad sellel. Torricelli punktid ja Lemoine'i punkt asuvad samuti samal sirgel. Kolmnurga nurkade välimiste poolitajate alused asuvad samal sirgel, nn. välispoolitajate telg. Samal sirgel asuvad ka ristkolmnurga külgi sisaldavate sirgete ja kolmnurga külgi sisaldavate sirgete lõikepunktid. Seda rida nimetatakse ortotsentriline telg, on see Euleri joonega risti.
Kui võtta punkt kolmnurga piiritletud ringil, siis selle projektsioonid kolmnurga külgedel asuvad ühel sirgel, nn. Simsoni sirgjoon antud punkt. Diameetriliselt vastandlike punktide Simsoni sirged on risti.
kolmnurgad
- Nimetatakse kolmnurka, mille tipud on läbi antud punkti tõmmatud tsevianide alustel ceviani kolmnurk see punkt.
- Nimetatakse kolmnurka, mille tipud on antud punkti projektsioonides külgedele naha alla või pedaali kolmnurk see punkt.
- Nimetatakse kolmnurka, mille tipud on läbi tippude ja antud punkti tõmmatud joonte teistes lõikepunktides piiritletud ringiga. ceviani kolmnurk. Cevia kolmnurk sarnaneb nahaaluse kolmnurgaga.
ringid
- Sisse kirjutatud ring on kolmnurga kõigi kolme külje puutuja. Ta on ainus. Nimetatud ringi keskpunkti nimetatakse tsenter.
- Piiratud ring- ringjoon, mis läbib kolmnurga kõiki kolme tippu. Ka piiritletud ring on ainulaadne.
- Tee ring- kolmnurga ühe külje puutuja ja kahe ülejäänud külje pikendus. Kolmnurgas on kolm sellist ringi. Nende radikaalne keskpunkt on keskmise kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt, nn Spiekeri mõte.
Kolmnurga kolme külje keskpunktid, selle kolme kõrguse alused ja kolme sirge lõigu keskpunktid, mis ühendavad selle tippe ortotsentriga, asuvad ühel ringil, mida nimetatakse üheksa punkti ring või Euleri ring. Üheksapunktilise ringi keskpunkt asub Euleri joonel. Üheksast punktist koosnev ring puudutab sissekirjutatud ringjoont ja kolme välisringi. Nimetatakse sisse kirjutatud ringi ja üheksast punktist koosneva ringi kokkupuutepunkti Feuerbachi punkt. Kui paigutame igast tipust sirgetele kolmnurgad, mis sisaldavad külgi, ortoosid, mille pikkus on võrdne vastaskülgedega, siis asuvad saadud kuus punkti ühel ringil - Conway ringid. Igasse kolmnurka saab kirjutada kolm ringi nii, et igaüks neist puudutab kolmnurga kahte külge ja kahte teist ringi. Selliseid ringe nimetatakse Malfatti ringid. Kuue kolmnurga, milleks kolmnurk on mediaanidega jagatud, piiritletud ringide keskpunktid asuvad ühel ringil, mida nimetatakse Lamun ring.
Kolmnurgal on kolm ringi, mis puudutavad kolmnurga ja piiritletud ringi kahte külge. Selliseid ringe nimetatakse pooleldi sisse kirjutatud või Verrieri ringid. Segmendid, mis ühendavad Verrier' ringide kokkupuutepunkte piiritletud ringiga, lõikuvad ühes punktis, nn. Verrier punkt. See toimib homoteedi keskpunktina, mis viib piiritletud ringi siseringi. Verrier' ringide puutepunktid külgedega asuvad sirgel, mis läbib sisse kirjutatud ringi keskpunkti.
Sissekirjutatud ringi puutujapunkte tippudega ühendavad sirglõigud lõikuvad ühes punktis, nn. Gergonne punkt, ja lõigud, mis ühendavad tippe välisringide kokkupuutepunktidega - sisse Nageli punkt.
Ellipsid, paraboolid ja hüperboolid
Sissekirjutatud koonus (ellips) ja selle perspektiiv
Kolmnurka saab kirjutada lõpmatu arvu koonuseid (ellipsi, parabooli või hüperbooli). Kui kirjutada kolmnurka suvaline koonus ja ühendada puutepunktid vastastippudega, siis saadud sirged lõikuvad ühes punktis, nn. perspektiivi koonused. Tasapinna mis tahes punkti jaoks, mis ei asu ühel küljel või selle laiendil, on selles punktis perspektiiviga sisse kirjutatud koonus.
Steineri ellips on piiritletud ja selle koldeid läbivad tsevivid
Kolmnurka, mis puudutab külgi keskpunktides, saab kirjutada ellipsi. Sellist ellipsit nimetatakse Steineri kirjutatud ellips(selle perspektiiv on kolmnurga tsentroid). Nimetatakse kirjeldatud ellipsi, mis puutub külgedega paralleelseid tippe läbivaid sirgeid mida piirab Steineri ellips. Kui afiinne teisendus ("kaldus") teisendab kolmnurga korrapäraseks, läheb selle sisse kirjutatud ja piiritletud Steineri ellips sissekirjutatud ja piiritletud ringiks. Läbi kirjeldatud Steineri ellipsi fookuste (Skutini punktid) tõmmatud tsevianid on võrdsed (Skutini teoreem). Kõigist piiritletud ellipsidest on Steineri piiritletud ellipsil kõige väiksem pindala ja kõigist kirjutatud ellipsidest on Steineri ellipsi pindala suurim.
Brocardi ellips ja selle uurija - Lemoine'i punkt
Nimetatakse ellipsi, mille fookused on Brokari punktides Brocardi ellips. Selle perspektiiv on Lemoine'i punkt.
Sissekirjutatud parabooli omadused
Kieperti parabool
Sissekirjutatud paraboolide perspektiivid asuvad piiritletud Steineri ellipsil. Sissekirjutatud parabooli fookus asub piiritletud ringil ja suund läbib ortotsentrit. Nimetatakse parabooli, mis on kirjutatud kolmnurka, mille suund on Euleri joon Kieperti parabool. Selle perspektiiv on piiratud ringi ja piiratud Steineri ellipsi neljas lõikepunkt, nn. Steineri punkt.
Cyperti hüperbool
Kui kirjeldatud hüperbool läbib kõrguste ristumispunkti, siis on see võrdkülgne (st selle asümptoodid on risti). Võrdkülgse hüperbooli asümptootide lõikepunkt asub üheksast punktist koosneval ringil.
Transformatsioonid
Kui tippe ja mõnda külgedel mitte asuvat punkti läbivad sirged ja nende pikendused peegelduvad vastavate poolitajate suhtes, siis ristuvad ka nende kujutised ühes punktis, mida nimetatakse nn. isogonaalselt konjugeeritud algne (kui punkt asus piiritletud ringil, siis on saadud jooned paralleelsed). Paljud tähelepanuväärsete punktide paarid on isogonaalselt konjugeeritud: piiritletud ringi keskpunkt ja ortotsenter, tsentroid ja Lemoine'i punkt, Brocardi punktid. Apolloniuse punktid on isogonaalselt konjugeeritud Torricelli punktidega ja siseringi keskpunkt on isogonaalselt konjugeeritud iseendaga. Isogonaalse konjugatsiooni toimel lähevad sirged koonusteks ja piiritletud koonused sirgeks. Seega on Kieperti hüperbool ja Brocardi telg, Enzhabeki hüperbool ja Euleri joon, Feuerbachi hüperbool ja sissekirjutatud ringi keskpunktide joon isogonaalselt konjugeeritud. Isogonaalselt konjugeeritud punktide subdermaalsete kolmnurkade piiritletud ringid langevad kokku. Sissekirjutatud ellipsi fookused on isogonaalselt konjugeeritud.
Kui sümmeetrilise tseviaani asemel võtame tseviaani, mille põhi on külje keskelt sama kaugel kui algse alus, siis ka sellised tsevianid ristuvad ühes punktis. Saadud teisendust nimetatakse isotoomne konjugatsioon. Samuti kaardistab see jooned piiratud koonusteks. Gergonne'i ja Nageli punktid on isotoomiliselt konjugeeritud. Afiinsete teisenduste korral lähevad isotoomiliselt konjugeeritud punktid isotoomiliselt konjugeeritud punktideks. Isotoomilise konjugatsiooni korral läheb kirjeldatud Steineri ellips lõpmatuses sirgjoonele.
Kui kolmnurga külgede poolt piiritletud ringist ära lõigatud segmentidesse on kirjutatud ringid, mis puudutavad teatud punkti kaudu tõmmatud tsevianide aluste külgi, ja siis ühendatakse nende ringide kokkupuutepunktid vastastippudega piiritletud ring, siis sellised sirged lõikuvad ühes punktis. Nimetatakse tasandi teisendust, mis sobitab algpunkti saadud punktiga isotirkulaarne transformatsioon. Isogonaalsete ja isotoomiliste konjugatsioonide koosseis on isotirkulaarse teisenduse koosseis iseendaga. See kompositsioon on projektiivne teisendus, mis jätab kolmnurga küljed paigale ja tõlgib välimiste poolitajate telje lõpmatuses sirgeks.
Kui jätkata mõne punkti ceviani kolmnurga külgi ja võtta nende lõikepunktid vastavate külgedega, siis asuvad saadud lõikepunktid ühel sirgel, nn. trilineaarne polaarne alguspunkt. Ortotsentriline telg - ortotsentri trilineaarne polaar; sissekirjutatud ringi keskpunkti kolmjooneline polaar on välimiste poolitajate telg. Piiratud koonusel asuvate punktide kolmjoonelised polaarsused lõikuvad ühes punktis (piiratud ringi puhul on see Lemoine'i punkt, piiritletud Steineri ellipsi puhul tsentroid). Isogonaalse (või isotoomilise) konjugatsiooni ja trilineaarse polaarsuse koosseis on duaalsusteisendus (kui punktiga konjugeeritud punkt isogonaalselt (isotoomiliselt) asub punkti trilineaarpolaarsusel, siis punkti trilineaarne polaar on isogonaalselt (isotoomiliselt) konjugaat punktiga asub punkti kolmjoonelisel polaarsel ).
Kuubikud
Suhted kolmnurgas
Märge: selles osas on , , kolmnurga kolme külje pikkused ja , , on nurgad, mis asuvad vastavalt nende kolme külje vastas (vastasnurgad).
kolmnurga ebavõrdsus
Mittemandunud kolmnurgas on selle kahe külje pikkuste summa suurem kui kolmanda külje pikkus, degenereerunud kolmnurgas on see võrdne. Teisisõnu on kolmnurga külgede pikkused seotud järgmiste ebavõrdsustega:
Kolmnurga ebavõrdsus on üks meetrika aksioomidest.
Kolmnurga nurkade summa teoreem
Siinuse teoreem
,kus R on ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadius. Teoreemist järeldub, et kui a< b < c, то α < β < γ.
Koosinusteoreem
Tangensiteoreem
Muud suhted
Kolmnurga meetrilised suhted on antud:
Kolmnurkade lahendamine
Kolmnurga tundmatute külgede ja nurkade arvutamist teadaolevate põhjal on ajalooliselt nimetatud "kolmnurga lahendusteks". Sel juhul kasutatakse ülaltoodud üldisi trigonomeetrilisi teoreeme.
Kolmnurga pindala
Erijuhud TähistusPiirkonna kohta kehtivad järgmised ebavõrdsused:
Kolmnurga pindala arvutamine ruumis vektorite abil
Olgu kolmnurga tipud punktides , , .
Tutvustame pindalavektorit . Selle vektori pikkus on võrdne kolmnurga pindalaga ja see on suunatud piki kolmnurga tasapinna normaalset:
Laskma , Kus , , on kolmnurga projektsioonid koordinaattasanditele. Kus
ja samamoodi
Kolmnurga pindala on.
Alternatiiviks on arvutada külgede pikkused (kasutades Pythagorase teoreemi) ja seejärel kasutada Heroni valemit.
Kolmnurga teoreemid
Desarguesi teoreem: kui kaks kolmnurka on perspektiivsed (kolmnurkade vastavaid tippe läbivad sirged lõikuvad ühes punktis), siis nende vastavad küljed lõikuvad ühel sirgel.
Sondi teoreem: kui kaks kolmnurka on perspektiivsed ja ortoloogsed (ühe kolmnurga tippudest langevad ristid kolmnurga vastavate tippude vastaskülgedele ja vastupidi), siis mõlemad ortoloogiakeskmed (nende ristnurkade lõikepunktid) ja perspektiivi keskpunkt asetsevad ühel sirgel, mis on perspektiivi teljega risti (sirge Desarguesi teoreemist).
Kaht kolmnurka peetakse kongruentseks, kui neid saab kattuda. Joonisel 1 on kujutatud võrdsed kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1. Kõiki neid kolmnurki saab asetada teise peale, nii et need on täielikult ühilduvad, see tähendab, et nende tipud ja küljed on omavahel seotud. On selge, et sel juhul ühendatakse nende kolmnurkade nurgad paarikaupa.
Seega, kui kaks kolmnurka on võrdsed, on ühe kolmnurga elemendid (st küljed ja nurgad) vastavalt võrdsed teise kolmnurga elementidega. Pange tähele, et võrdsetes kolmnurkades vastavalt võrdsetele külgedele(st kattuvad peale asetamisel) asetsevad võrdsete nurkade all ja tagasi: vastavate võrdsete nurkade vastas asuvad võrdsed küljed.
Näiteks joonisel 1 kujutatud võrdsetes kolmnurkades ABC ja A 1 B 1 C 1 asetsevad võrdsed nurgad C ja C 1 vastavalt võrdsetele külgedele AB ja A 1 B 1. Kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 võrdsust tähistatakse järgmiselt: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Selgub, et kahe kolmnurga võrdsuse saab kindlaks teha nende mõningaid elemente võrreldes.
1. teoreem. Kolmnurkade võrdsuse esimene märk. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe küljega ja nendevaheline nurk, siis on sellised kolmnurgad võrdsed (joonis 2).
Tõestus. Vaatleme kolmnurki ABC ja A 1 B 1 C 1, milles AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (vt joonis 2). Tõestame, et Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
Kuna ∠ A \u003d ∠ A 1, siis saab kolmnurga ABC asetada kolmnurga A 1 B 1 C 1 peale nii, et tipp A on joondatud tipuga A 1 ning küljed AB ja AC kattuvad vastavalt kiired A 1 B 1 ja A 1 C 1 . Kuna AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, kombineeritakse külg AB küljega A 1 B 1 ja külg AC - küljega A 1 C 1; eelkõige langevad punktid B ja B 1 , C ja C 1 kokku. Seetõttu on küljed BC ja B 1 C 1 joondatud. Seega on kolmnurgad ABC ja A 1 B 1 C 1 täiesti ühilduvad, mis tähendab, et need on võrdsed.
Teoreem 2 on sarnaselt tõestatud superpositsioonimeetodiga.
2. teoreem. Kolmnurkade võrdsuse teine märk. Kui ühe kolmnurga külg ja kaks sellega külgnevat nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga küljega ja kaks sellega külgnevat nurka, siis on sellised kolmnurgad võrdsed (joonis 34).
Kommenteeri. 2. teoreemi alusel kehtestatakse teoreem 3.
Teoreem 3. Kolmnurga mis tahes kahe sisenurga summa on väiksem kui 180°.
4. teoreem tuleneb viimasest teoreemist.
Teoreem 4. Kolmnurga välisnurk on suurem kui mis tahes sisenurk, mis ei külgne sellega.
5. teoreem. Kolmnurkade võrdsuse kolmas märk. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad võrdsed ().
Näide 1 Kolmnurkades ABC ja DEF (joonis 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Võrdle kolmnurki ABC ja DEF. Milline nurk kolmnurgas DEF võrdub nurgaga B?
Lahendus. Need kolmnurgad on esimeses märgis võrdsed. Kolmnurga DEF nurk F on võrdne kolmnurga ABC nurgaga B, kuna need nurgad asetsevad vastavate võrdsete külgede DE ja AC vastas.
Näide 2 Lõigud AB ja CD (joonis 5) lõikuvad punktis O, mis on nende mõlema keskpunkt. Millega võrdub lõik BD, kui lõik AC on 6 m?
Lahendus.
Kolmnurgad AOC ja BOD on võrdsed (esimese kriteeriumi järgi): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikaalne), AO = OB, CO = OD (tingimuse järgi).
Nende kolmnurkade võrdsusest tuleneb nende külgede võrdsus, st AC = BD. Aga kuna tingimuse järgi AC = 6 m, siis BD = 6 m.
228. Selles peatükis mõistame peamiselt lõikude AB, AC jne tähistusega neid väljendavaid numbreid.
Teame (n. 226), et kui kaks lõiku a ja b on antud geomeetriliselt, siis saame konstrueerida nende vahel proportsionaalse keskmise. Olgu nüüd lõigud antud mitte geomeetriliselt, vaid numbritega, st a ja b abil saame aru 2 antud lõiku väljendavatest arvudest. Seejärel taandatakse keskmise proportsionaalse lõigu leidmine arvu x leidmiseks proportsioonist a/x = x/b, kus a, b ja x on arvud. Sellest proportsioonist saame:
x 2 = ab
x = √ab
229. Olgem täisnurkne kolmnurk ABC (joonis 224).
Kukkugem risti BD selle täisnurga tipust (∠B täisnurk) hüpotenuusile AC. Siis punktist 225 teame:
1) AC/AB = AB/AD ja 2) AC/BC = BC/DC.
Siit saame:
AB 2 = AC AD ja BC 2 = AC DC.
Lisades saadud võrrandid osadena, saame:
AB 2 + BC 2 \u003d AC AD + AC DC \u003d AC (AD + DC).
st. hüpotenuusi väljendava arvu ruut on võrdne täisnurkse kolmnurga jalgu väljendavate arvude ruutude summaga.
Lühidalt öeldes ütlevad nad: Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.
Kui anname saadud valemile geomeetrilise tõlgenduse, saame meile juba tuntud Pythagorase teoreemi (punkt 161):
täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruut võrdub jalgadele ehitatud ruutude summaga.
Võrrandist AB 2 + BC 2 \u003d AC 2 peate mõnikord leidma täisnurkse kolmnurga jala, piki hüpotenuusi ja teist jalga. Saame näiteks:
AB 2 \u003d AC 2 - BC 2 ja sellest tulenevalt
230. Leitud arvsuhe täisnurkse kolmnurga külgede vahel võimaldab lahendada paljusid arvutusülesandeid. Lahendame mõned neist:
1. Arvutage võrdkülgse kolmnurga pindala selle külje järgi.
Olgu ∆ABC (Ch. 225) võrdkülgne ja selle iga külg on väljendatud arvuga a (AB = BC = AC = a). Selle kolmnurga pindala arvutamiseks peate esmalt välja selgitama selle kõrguse BD, mida kutsume läbi h. Teame, et võrdkülgse kolmnurga puhul poolitab kõrgus BD aluse AC, st AD = DC = a/2. Seetõttu saame täisnurksest kolmnurgast DBC:
BD 2 \u003d BC 2 – DC 2,
h 2 \u003d a 2 - a 2 / 4 \u003d 3a 2 / 4 (teostame lahutamise).
Seega on meil:
(juure alt võtame kordaja välja).
Seega, helistades numbrile, mis väljendab meie kolmnurga pindala läbi Q ja teades, et pindala on ∆ABC = (AC BD)/2, leiame:
Seda valemit võime vaadelda kui üht võrdkülgse kolmnurga pindala mõõtmise viisidest: peame mõõtma selle külge lineaarsetes ühikutes, ruudustama leitud arvu, korrutama saadud arvu √3-ga ja jagama 4-ga - me saada ala avaldis ruudu (vastavates) ühikutes.
2. Kolmnurga küljed on 10, 17 ja 21 joont. vallaline Arvutage selle pindala.
Alandame oma kolmnurga kõrgust h (Ch. 226) suuremale küljele - see läheb kindlasti kolmnurga sisse, kuna kolmnurgas saab nürinurk asuda ainult suurema külje vastas. Seejärel jagatakse suurem külg, = 21, 2 segmendiks, millest üks on tähistatud x-ga (vt joonist) - siis teine = 21 - x. Saame kaks täisnurkset kolmnurka, millest meil on:
h 2 \u003d 10 2 - x 2 ja h 2 = 17 2 - (21 - x) 2
Kuna nende võrrandite vasakpoolsed küljed on samad, siis
10 2 - x 2 \u003d 17 2 - (21 - x) 2
Tehes järgmist, saame:
10 2 - x 2 \u003d 289 - 441 + 42x - x 2
Seda võrrandit lihtsustades leiame:
Seejärel saame võrrandist h 2 \u003d 10 2 - x 2:
h 2 \u003d 10 2 - 6 2 \u003d 64
ja seega
Seejärel leitakse vajalik ala:
Q = (21 8)/2 nelik. vallaline = 84 ruutmeetrit vallaline
3. Saate üldise probleemi lahendada:
Kuidas arvutada kolmnurga pindala, arvestades selle külgi?
Olgu kolmnurga ABC küljed väljendatud arvudega BC = a, AC = b ja AB = c (diagramm 227). Oletame, et AC on suur pool; siis kõrgus BD läheb ∆ABC sisse. Nimetagem: BD = h, DC = x ja siis AD = b - x.
∆BDC-st saame: h 2 = a 2 – x 2 .
∆ABD põhjal saame: h 2 = c 2 - (b - x) 2,
kust a 2 - x 2 \u003d c 2 - (b - x) 2.
Selle võrrandi lahendamisel saame järjestikku:
2bx \u003d a 2 + b 2 - c 2 ja x \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / 2b.
(Viimast kirjutatakse selle põhjal, et lugejat 4a 2 b 2 - (a 2 + b 2 - c 2) 2 võib käsitleda ruutude võrdsusena, mille lagundame summa ja vahe korrutiseks).
See valem teisendatakse, sisestades kolmnurga perimeetri, mida tähistame 2p-ga, st.
Lahutades võrrandi mõlemast küljest 2c, saame:
a + b + c - 2c = 2p - 2c või a + b - c = 2 (p - c):
Samuti leiame:
c + a - b = 2 (p - b) ja c - a + b = 2 (p - a).
Siis saame:
(p väljendab kolmnurga poolperimeetrit).
Selle valemi abil saab arvutada kolmnurga pindala, arvestades selle kolme külge.
231. Harjutused.
232. Paragrahvis 229 leidsime täisnurkse kolmnurga külgede vahelise seose. Sarnase sõltuvuse leiate kaldkolmnurga külgede kohta (koos teise segmendi lisamisega).
Olgu meil esmalt ∆ABC (Ch. 228) selline, et ∠A on terav. Proovime leida avaldise selle teravnurga vastas asuva külje BC ruudule (sarnaselt sellele, kuidas leidsime hüpotenuusi ruudu avaldise §-s 229).
Konstrueerides BD ⊥ AC, saame täisnurksest kolmnurgast BDC:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Asendame BD2, defineerides selle ABD-st, kust meil on:
BD 2 \u003d AB 2 – AD 2,
ja segment DC asendatakse AC - AD-ga (ilmselgelt DC = AC - AD). Siis saame:
BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC - AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 - 2AC AD + AD 2
Pärast sarnaste terminite vähendamist leiame:
BC 2 \u003d AB 2 + AC 2 - 2AC AD.
See valem kõlab järgmiselt: kolmnurga teravnurga vastaskülje ruut on võrdne selle kahe teise külje ruutude summaga, millest on lahutatud ühe külje ja selle lõigu kahekordne korrutis teravnurga tipust kõrguseni.
233. Olgu nüüd ∠A ja ∆ABC (Ch. 229) nürid. Leiame avaldise nürinurga vastas oleva külje BC ruudu jaoks.
Olles ehitanud kõrguse BD, asub see nüüd mõnevõrra teisiti: punktis 228, kus ∠A on terav, asuvad punktid D ja C samal pool A-t ning siin, kus ∠A on nüri, on punktid D ja C. asub A vastaskülgedel. Siis ristkülikukujulisest ∆BDC-st saame:
BC 2 = BD 2 + DC 2
BD2 saame asendada, defineerides selle ristkülikukujulisest ∆BDA-st:
BD 2 \u003d AB 2 – AD 2,
ja segment DC = AC + AD, mis on ilmne. Asendades saame:
BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
Sarnaste terminite taandamisel leiame:
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,
st. kolmnurga nürinurga vastaskülje ruut on võrdne selle kahe teise külje ruutude summaga, millele lisandub kahekordne nendest ühe ja selle lõigu korrutis nürinurga tipust kõrguseni.
See valem, nagu ka punkti 232 valem, lubab geomeetrilist tõlgendust, mida on lihtne leida.
234. Lõikude omaduste kasutamine. 229, 232, 233, kui meile on antud kolmnurga küljed arvudes, saame teada, kas sellel kolmnurgal on täis- või nürinurk.
Täis- või nürinurk kolmnurgas saab asuda ainult suurema külje vastas, milline on selle vastasnurk, seda on lihtne teada saada: see nurk on terav, täis- või nürinurk, olenevalt sellest, kas suurema külje ruut on väiksem, võrdne või suurem kui kahe teise külje ruutude summa .
Uurige, kas järgmistes kolmnurkades, mis on määratletud nende külgedega, on täisnurk või nürinurk:
1) 15 dm, 13 dm. ja 14 dm; 2) 20, 29 ja 21; 3) 11, 8 ja 13; 4) 7, 11 ja 15.
235. Olgu rööpkülik ABCD (joonis 230); konstrueerida selle diagonaalid AC ja BD ning kõrgused BK ⊥ AD ja CL ⊥ AD.
Siis kui ∠A (∠BAD) on äge, siis ∠D (∠ADC) on tingimata nüri (kuna nende summa = 2d). Alates ∆ABD, kus ∠A peetakse teravaks, saame:
BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2AD AK,
ja ∆ACD-st, kus ∠D on nüri, saame:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
Asendame viimases valemis oleva lõigu AD lõiguga BC, mis on sellega võrdne ja DL, mis on võrdne sellega AK (DL = AK, kuna ∆ABK = ∆DCL, mida on lihtne näha). Siis saame:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD AK.
Lisades BD2 avaldise AC 2 viimase avaldisega, leiame:
BD 2 + AC 2 \u003d AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
kuna terminid –2AD AK ja +2AD AK tühistavad teineteise. Saadud võrdsust saab lugeda:
Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgede ruutude summaga.
236. Kolmnurga mediaani ja poolitaja arvutamine piki selle külgi. Olgu mediaan BM (st AM = MC) konstrueeritud kolmnurgas ABC (peatükk 231). Teades külgi ∆ABC: BC = a, AC = b ja AB = c, arvutage mediaan BM.
Jätkame BM ja lükkame lõigu MD = BM edasi. Ühendades D A-ga ja D-ga C, saame rööpküliku ABCD (seda on lihtne välja selgitada, kuna ∆AMD = ∆BMC ja ∆AMB = ∆DMC).
Kutsudes mediaani BM läbi m, saame BD = 2m ja siis, kasutades eelmist lõiku, saame:
237. Ringjoone kolmnurga ümberpiiratud raadiuse arvutamine. Olgu ∆ABC (Ch. 233) lähedal ringjoon O. Konstrueerime ringi BD läbimõõdu, kõõlu AD ja kolmnurga BH kõrguse.
Siis ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - nurk A on õige, sest see on sisse kirjutatud, lähtudes läbimõõdust BD ja ∠D = ∠C, nagu kirjutatud, ühe kaare AB alusel). Seetõttu on meil:
või nimetades raadiust OB väärtusega R, kõrgust BH väärtusega h ning külgi AB ja BC, nagu varem, vastavalt c ja a:
kuid pindala on ∆ABC = Q = bh/2, kust h = 2Q/b.
Seetõttu R = (abc) / (4Q).
Me saame (punkt 230, ülesanne 3) arvutada kolmnurga Q selle külgede pindala. Siit saame arvutada R kolmnurga kolme külje jaoks.
238. Kolmnurga sisse kirjutatud ringjoone raadiuse arvutamine. Kirjutame ∆ABC-sse, mille küljed on antud (peatükk 234), ringi O. Ühendame selle keskpunkti O kolmnurga tippude ja külgede puutepunktidega D, E ja F ringiga , leiame, et ringjoone OD, OE ja OF raadiused on kolmnurkade BOC, COA ja AOB kõrgused.
Kutsudes sisse kirjutatud ringi raadiuse läbi r, saame:
Reeglina peetakse kahte kolmnurka sarnaseks, kui neil on sama kuju, isegi kui need on erineva suurusega, pööratud või isegi tagurpidi.
Joonisel kujutatud kahe sarnase kolmnurga A 1 B 1 C 1 ja A 2 B 2 C 2 matemaatiline esitus on kirjutatud järgmiselt:
∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2
Kaks kolmnurka on sarnased, kui:
1. Ühe kolmnurga iga nurk on võrdne teise kolmnurga vastava nurgaga:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2 Ja ∠C1 = ∠C2
2. Ühe kolmnurga külgede ja teise kolmnurga külgede suhted on omavahel võrdsed:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. Suhted kaks külgeühe kolmnurga ja teise kolmnurga vastavad küljed on üksteisega võrdsed ja samal ajal
nurgad nende külgede vahel on võrdsed:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ja $\angle A_1 = \angle A_2$
või
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ja $\angle B_1 = \angle B_2$
või
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ja $\angle C_1 = \angle C_2$
Sarnaseid kolmnurki ei tohiks segi ajada võrdsete kolmnurkadega. Kongruentsetel kolmnurkadel on vastavad küljepikkused. Nii et võrdsete kolmnurkade jaoks:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
Sellest järeldub, et kõik võrdsed kolmnurgad on sarnased. Kuid mitte kõik sarnased kolmnurgad pole võrdsed.
Kuigi ülaltoodud tähistus näitab, et selleks, et teada saada, kas kaks kolmnurka on sarnased või mitte, peame teadma iga kolmnurga kolme nurga väärtusi või kolme külje pikkusi, et lahendada sarnaste kolmnurkadega seotud ülesandeid. Piisab, et teada saada iga kolmnurga kolm ülaltoodud väärtust. Need väärtused võivad olla erinevates kombinatsioonides:
1) iga kolmnurga kolm nurka (kolmnurkade külgede pikkusi ei pea teadma).
Või vähemalt ühe kolmnurga 2 nurka peavad võrduma teise kolmnurga 2 nurgaga.
Kuna kui 2 nurka on võrdsed, siis on ka kolmas nurk võrdne. (Kolmanda nurga väärtus on 180 - nurk1 - nurk2)
2) iga kolmnurga külgede pikkused (nurki pole vaja teada);
3) kahe külje pikkused ja nendevaheline nurk.
Järgmisena käsitleme mõne ülesande lahendust sarnaste kolmnurkadega. Esmalt vaatleme probleeme, mida saab lahendada ülaltoodud reegleid kasutades, ja seejärel arutleme mõningate praktiliste probleemide üle, mida saab lahendada sarnaste kolmnurkade meetodil.
Sarnaste kolmnurkade praktilised probleemid
Näide nr 1:
Näidake, et alloleval joonisel on kaks kolmnurka sarnased. 
Lahendus:
Kuna mõlema kolmnurga külgede pikkused on teada, saab siin rakendada teist reeglit:
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
Näide nr 2:
Näidake, et kaks antud kolmnurka on sarnased ja leidke külgede pikkused PQ Ja PR.
Lahendus:
∠A = ∠P Ja ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(kuna ∠C = 180 – ∠A – ∠B ja ∠R = 180 – ∠P – ∠Q)
Sellest järeldub, et kolmnurgad ∆ABC ja ∆PQR on sarnased. Seega:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Paremnool PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ ja
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Paremnool PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dollarit
Näide nr 3:
Määrake pikkus AB selles kolmnurgas. 
Lahendus:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ja ∠Aühised => kolmnurgad ΔABC Ja ΔADE on sarnased.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Paremnool 2\ korda AB = AB + 4 \Paremnool AB = 4 $
Näide nr 4:
Määrake pikkus AD(x) geomeetriline kujund joonisel. 
Kolmnurgad ∆ABC ja ∆CDE on sarnased, kuna AB || DE ja neil on ühine ülemine nurk C.
Näeme, et üks kolmnurk on teise skaleeritud versioon. Siiski peame seda matemaatiliselt tõestama.
AB || DE, CD || AC ja BC || EL
∠BAC = ∠EDC ja ∠ABC = ∠DEC
Lähtudes eelnevast ja võttes arvesse ühise nurga olemasolu C, võime väita, et kolmnurgad ∆ABC ja ∆CDE on sarnased.
Seega:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Paremnool CA = \frac(15 \ korda 11) (7 ) = 23,57 dollarit
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57
Praktilised näited
Näide nr 5:
Tehas kasutab kaldkonveierilinti toodete transportimiseks tasemelt 1 kuni 2. tasemeni, mis on 3 meetrit üle 1. taseme, nagu on näidatud joonisel. Kaldkonveierit teenindatakse ühest otsast 1. tasemeni ja teisest otsast tööjaama, mis asub 1. taseme tööpunktist 8 meetri kaugusel. 
Tehas soovib uuendada konveierit, et pääseda uuele tasemele, mis on 9 meetrit üle 1. taseme, säilitades samal ajal konveieri nurga.
Määrake vahemaa, mille kaugusel peate seadistama uue töökoha, et konveier saaks töötada oma uues otsas tasemel 2. Arvutage välja ka lisakaugus, mille toode uuele tasemele liikudes läbib.
Lahendus:
Esmalt märgime iga ristumispunkti konkreetse tähega, nagu on näidatud joonisel.
Eelnevates näidetes toodud põhjenduste põhjal võime järeldada, et kolmnurgad ∆ABC ja ∆ADE on sarnased. Seega
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Paremnool AB = \frac(8 \ korda 9)(3 ) = 24 miljonit dollarit
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m
Seega tuleb uus punkt paigaldada olemasolevast punktist 16 meetri kaugusele.
Ja kuna struktuur koosneb täisnurksetest kolmnurkadest, saame toote läbisõidukauguse arvutada järgmiselt:
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$
Samamoodi $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
mis on vahemaa, mille toode läbib hetkel, kui see saavutab olemasoleva taseme.
y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
See on lisakaugus, mille toode peab uuele tasemele jõudmiseks läbima.
Näide nr 6:
Steve soovib külastada oma sõpra, kes kolis hiljuti uude majja. Teekaart Steve'i ja tema sõbra majja jõudmiseks koos Stevele teadaolevate vahemaadega on näidatud joonisel. Aidake Steve'il kõige lühemat teed pidi oma sõbra majja jõuda. 
Lahendus:
Teekaarti saab geomeetriliselt esitada järgmisel kujul, nagu on näidatud joonisel. 
Näeme, et kolmnurgad ∆ABC ja ∆CDE on sarnased, seega:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
Ülesande avalduses öeldakse, et:
AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ja DE = 5 km
Seda teavet kasutades saame arvutada järgmised vahemaad:
$BC = \frac(AB \ korda CD) (DE) = \frac(15 \ korda 4,41) (5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \ korda CD) (BC) = \frac(13,13 \ korda 4,41) (13,23) = 4,38 km$
Steve pääseb oma sõbra majja järgmistel marsruutidel:
A -> B -> C -> E -> G, kogupikkus 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km
F -> B -> C -> D -> G, kogupikkus 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km
F -> A -> C -> E -> G, kogupikkus 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km
F -> A -> C -> D -> G, kogupikkus 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km
Seetõttu on marsruut nr 3 lühim ja seda saab Steve'ile pakkuda.
Näide 7:
Trisha tahab mõõta maja kõrgust, kuid tal pole õigeid tööriistu. Ta märkas, et maja ees kasvab puu ja otsustas kasutada oma leidlikkust ja koolis saadud geomeetriateadmisi hoone kõrguse määramiseks. Ta mõõtis kauguse puust majani, tulemuseks oli 30 m. Seejärel seisis ta puu ees ja hakkas taganema, kuni puu otsast paistis hoone ülemine serv. Trisha märkis koha ja mõõtis kaugust sellest puuni. See vahemaa oli 5 m.
Puu kõrgus on 2,8 m ja Trisha silmade kõrgus 1,6 m. Aidake Trishal määrata hoone kõrgust. 
Lahendus:
Ülesande geomeetriline esitus on näidatud joonisel. 
Esmalt kasutame kolmnurkade ∆ABC ja ∆ADE sarnasust.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Paremnool 2,8 \ korda AC = 1,6 \ korda (5) + AC) = 8 + 1,6 \ korda AC $
$(2,8–1,6) \ korda AC = 8 \Paremnool AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $
Seejärel saame kasutada kolmnurkade ∆ACB ja ∆AFG või ∆ADE ja ∆AFG sarnasust. Valime esimese variandi.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \paremnool H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$