Kolmnurk, ruut, kuusnurk - need kujundid on peaaegu kõigile teada. Kuid mitte kõik ei tea, mis on tavaline hulknurk. Kuid see kõik on sama Regulaarset hulknurka nimetatakse selliseks, millel on võrdsed nurgad ja küljed. Selliseid kujundeid on palju, kuid neil kõigil on samad omadused ja neile kehtivad samad valemid.
Regulaarsete hulknurkade omadused
Iga korrapärase hulknurga, olgu see ruut või kaheksanurk, saab kirjutada ringi. Seda põhiomadust kasutatakse sageli figuuri koostamisel. Lisaks saab hulknurga sisse kirjutada ka ringi. Sel juhul on puutepunktide arv võrdne selle külgede arvuga. On oluline, et korrapärasesse hulknurka kirjutatud ringil oleks sellega ühine keskpunkt. Nendele geomeetrilistele kujunditele kehtivad samad teoreemid. Korrapärase n-nurga mis tahes külg on seotud seda ümbritseva ringjoone raadiusega R. Seetõttu saab selle arvutada järgmise valemi abil: a = 2R ∙ sin180°. Läbi leiate mitte ainult hulknurga küljed, vaid ka perimeetri.
Kuidas leida tavalise hulknurga külgede arvu
Igaüks neist koosneb teatud arvust üksteisega võrdsetest segmentidest, mis ühendamisel moodustavad suletud joone. Sel juhul on moodustatud figuuri kõik nurgad sama väärtusega. Hulknurgad jagunevad lihtsateks ja keerukateks. Esimesse rühma kuuluvad kolmnurk ja ruut. Komplekssetel hulknurkadel on rohkem külgi. Nende hulka kuuluvad ka tähekujulised kujundid. Keeruliste korrapäraste hulknurkade puhul leitakse küljed, kirjutades need ringikujuliseks. Anname tõestuse. Joonistage korrapärane hulknurk suvalise arvu külgedega n. Kirjeldage selle ümber olevat ringi. Määrake raadius R. Kujutage nüüd ette, et antud on mingi n-nurk. Kui selle nurkade punktid asuvad ringjoonel ja on üksteisega võrdsed, saab küljed leida valemiga: a = 2R ∙ sinα: 2.
Sissekirjutatud täisnurkse kolmnurga külgede arvu leidmine
Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis ruudu ja n-nurga puhul. Kolmnurka peetakse õigeks, kui selle küljed on sama pikkusega. Sel juhul on nurgad 60⁰. Koostage kolmnurk antud külje pikkusega a. Teades selle mediaani ja kõrgust, saate leida selle külgede väärtuse. Selleks kasutame valemi a \u003d x: cosα leidmise meetodit, kus x on mediaan või kõrgus. Kuna kolmnurga kõik küljed on võrdsed, saame a = b = c. Siis on tõene järgmine väide: a = b = c = x: cosα. Samamoodi leiate võrdhaarse kolmnurga külgede väärtused, kuid x on antud kõrgus. Samal ajal tuleks see projitseerida rangelt figuuri alusele. Seega, teades kõrgust x, leiame võrdhaarse kolmnurga külje a, kasutades valemit a \u003d b \u003d x: cosα. Pärast a väärtuse leidmist saate arvutada aluse c pikkuse. Rakendame Pythagorase teoreemi. Otsime poole aluse c väärtust: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Siis c = 2xtanα. Nii lihtsal viisil saate leida mis tahes sisse kirjutatud hulknurga külgede arvu.
Ringi sisse kirjutatud ruudu külgede arvutamine
Nagu igal teisel tavalisel hulknurgal, on ka ruudul võrdsed küljed ja nurgad. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis kolmnurga puhul. Diagonaali väärtuse abil saate arvutada ruudu küljed. Vaatleme seda meetodit üksikasjalikumalt. On teada, et diagonaal poolitab nurga. Algselt oli selle väärtus 90 kraadi. Seega pärast jagamist moodustuvad kaks, mille nurgad aluses on 45 kraadi. Sellest lähtuvalt on ruudu mõlemad küljed võrdsed, see tähendab: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kus e on ruudu diagonaal või ruudu alus pärast jagamist tekkinud täisnurkne kolmnurk. See pole ainus viis ruudu külgede leidmiseks. Kirjutame selle kujundi ringi. Teades selle ringi R raadiust, leiame ruudu külje. Arvutame selle järgmiselt a4 = R√2. Regulaarsete hulknurkade raadiused arvutatakse valemiga R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kus a on külje pikkus.
Kuidas arvutada n-nurga ümbermõõt
N-nurga ümbermõõt on selle kõigi külgede summa. Seda on lihtne arvutada. Selleks peate teadma kõigi külgede väärtusi. Teatud tüüpi hulknurkade jaoks on olemas spetsiaalsed valemid. Need võimaldavad teil perimeetrit palju kiiremini leida. On teada, et igal korrapärasel hulknurgal on võrdsed küljed. Seetõttu piisab selle perimeetri arvutamiseks vähemalt ühe neist teadmisest. Valem sõltub joonise külgede arvust. Üldiselt näeb see välja järgmine: P \u003d an, kus a on külje väärtus ja n on nurkade arv. Näiteks tavalise kaheksanurga ümbermõõdu leidmiseks, mille külg on 3 cm, peate selle korrutama 8-ga, see tähendab, et P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Kuusnurga puhul, mille külg on 5 cm, arvutame järgmiselt: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Ja nii iga hulknurga puhul.
Rööpküliku, ruudu ja rombi ümbermõõdu leidmine
Sõltuvalt sellest, mitu külge on tavalisel hulknurgal, arvutatakse selle ümbermõõt. See muudab ülesande palju lihtsamaks. Tõepoolest, erinevalt teistest kujunditest ei ole sel juhul vaja otsida selle kõiki külgi, piisab ühest. Samal põhimõttel leiame nelinurkade ümbermõõdu ehk ruudu ja rombi. Hoolimata asjaolust, et tegemist on erinevate arvudega, on nende valem sama P = 4a, kus a on külg. Võtame näite. Kui rombi või ruudu külg on 6 cm, siis leiame perimeetri järgmiselt: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rööpkülikul on ainult vastasküljed. Seetõttu leitakse selle ümbermõõt erineva meetodi abil. Seega peame teadma joonise pikkust a ja laiust b. Seejärel rakendame valemit P \u003d (a + c) ∙ 2. Rööpkülikut, mille kõik küljed ja nendevahelised nurgad on võrdsed, nimetatakse rombiks.
Võrdkülgse ja täisnurkse kolmnurga ümbermõõdu leidmine
Õige perimeetri saab leida valemiga P \u003d 3a, kus a on külje pikkus. Kui see pole teada, saab selle leida mediaani kaudu. Täisnurksel kolmnurgal on ainult kaks külge võrdsed. Aluse saab leida Pythagorase teoreemi kaudu. Pärast kõigi kolme külje väärtuste selgumist arvutame perimeetri. Selle saab leida, rakendades valemit P \u003d a + b + c, kus a ja b on võrdsed küljed ning c on alus. Tuletame meelde, et võrdhaarses kolmnurgas a \u003d b \u003d a, seega a + b \u003d 2a, siis P \u003d 2a + c. Näiteks võrdhaarse kolmnurga külg on 4 cm, leidke selle alus ja ümbermõõt. Hüpotenuusi väärtuse arvutame Pythagorase teoreemi järgi c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Nüüd arvutame ümbermõõdu P \u003d \u003d 4 \u0030. u003d 13,65 cm.
Kuidas leida tavalise hulknurga nurki
Korrapärane hulknurk esineb meie elus iga päev, näiteks tavaline ruut, kolmnurk, kaheksanurk. Näib, et pole midagi lihtsamat kui selle kuju ise üles ehitada. Kuid see on ainult esmapilgul. Mis tahes n-nurga konstrueerimiseks peate teadma selle nurkade väärtust. Aga kuidas neid leida? Isegi antiikaja teadlased püüdsid ehitada korrapäraseid hulknurki. Nad arvasid, et mahuvad need ringidesse. Ja siis märgiti sellele vajalikud punktid, mis olid ühendatud sirgjoontega. Lihtsate kujundite puhul on ehitusprobleem lahendatud. Valemid ja teoreemid on saadud. Näiteks tegeles Euclid oma kuulsas teoses "Algus" 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-goni ülesannete lahendamisega. Ta leidis viise nende konstrueerimiseks ja nurkade leidmiseks. Vaatame, kuidas seda 15-gonilise jaoks teha. Kõigepealt peate arvutama selle sisenurkade summa. On vaja kasutada valemit S = 180⁰(n-2). Seega antakse meile 15-nurkne, mis tähendab, et arv n on 15. Asendame meile teadaolevad andmed valemiga ja saame S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Oleme leidnud 15-goonilise sisenurkade summa. Nüüd peame saama neist igaühe väärtuse. Nurki on kokku 15. Arvutame 2340⁰: 15 = 156⁰. See tähendab, et iga sisenurk on 156⁰, nüüd saate joonlaua ja sirkli abil ehitada tavalise 15-gonilise. Aga kuidas on lood keerukamate n-nurkadega? Teadlased on sajandeid võidelnud selle probleemi lahendamise nimel. Carl Friedrich Gauss leidis selle alles 18. sajandil. Ta suutis ehitada 65537-goni. Sellest ajast alates on probleem ametlikult peetud täielikult lahendatuks.
N-nurga nurkade arvutamine radiaanides
Muidugi on hulknurkade leidmiseks mitu võimalust. Enamasti arvutatakse need kraadides. Kuid võite neid väljendada ka radiaanides. Kuidas seda teha? On vaja toimida järgmiselt. Esiteks selgitame välja tavalise hulknurga külgede arvu, seejärel lahutame sellest 2. Seega saame väärtuse: n - 2. Korrutage leitud erinevus arvuga n (“pi” \u003d 3,14). Nüüd jääb üle vaid saadud korrutis jagada n-nurga nurkade arvuga. Mõelge nendele arvutustele sama viieteistkümne külje näitel. Seega on arv n 15. Rakendame valemit S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. See pole muidugi ainus viis radiaanides nurga arvutamiseks. Nurga suuruse kraadides saate lihtsalt jagada arvuga 57,3. Lõppude lõpuks võrdub see mitu kraadi ühe radiaaniga.
Nurkade väärtuse arvutamine kraadides
Lisaks kraadidele ja radiaanidele võib proovida leida ka tavalise hulknurga nurkade väärtust gradides. Seda tehakse järgmisel viisil. Lahutage nurkade koguarvust 2, jagage saadud vahe tavalise hulknurga külgede arvuga. Leitud tulemuse korrutame 200-ga. Muide, sellist nurkade mõõtühikut kraadidena praktiliselt ei kasutata.
N-nurkade välisnurkade arvutamine
Iga tavalise hulknurga jaoks saate lisaks sisemisele arvutada ka välisnurga. Selle väärtus leitakse samamoodi nagu teiste arvude puhul. Nii et tavalise hulknurga välimise nurga leidmiseks peate teadma sisemise nurga väärtust. Lisaks teame, et nende kahe nurga summa on alati 180 kraadi. Seetõttu teeme arvutused järgmiselt: 180⁰ miinus sisenurga väärtus. Leiame erinevuse. See võrdub sellega külgneva nurga väärtusega. Näiteks ruudu sisenurk on 90 kraadi, nii et välisnurk on 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Nagu näeme, pole seda raske leida. Välisnurk võib olla vahemikus +180⁰ kuni -180⁰.
Mis on hulknurk? Hulknurkade tüübid. POLÜGON, lame geomeetriline kujund, mille kolm või enam külge ristuvad kolmes või enamas punktis (tipudes). Definitsioon. Hulknurk on geomeetriline kujund, mis on igast küljest piiratud katkendjoonega ja mis koosneb kolmest või enamast segmendist (lingist). Kolmnurk on kindlasti hulknurk. Hulknurk on kujund, millel on viis või enam nurka.
Definitsioon. Nelinurk on tasane geomeetriline kujund, mis koosneb neljast punktist (nelinurga tipud) ja neljast neid järjestikku ühendavast segmendist (nelinurga küljed).
Ristkülik on nelinurk, millel on kõik täisnurgad. Neid nimetatakse külgede või tippude arvu järgi: KOLMNURK (kolmepoolne); NELINURKNE (neljapoolne); PENTAGON (viiepoolne) jne. Elementaargeomeetrias on M. kujund, mis on piiratud sirgjoontega, mida nimetatakse külgedeks. Punkte, kus küljed ristuvad, nimetatakse tippudeks. Hulknurgal on rohkem kui kolm nurka. Nii et aktsepteeritud või nõus.
Kolmnurk on kolmnurk. Ja nelinurk pole ka hulknurk ja seda ei nimetata ka nelinurgaks - see on kas ruut või romb või trapets. Asjaolu, et kolme külje ja kolme nurgaga hulknurgal on oma nimi "kolmnurk", ei võta seda hulknurga staatusest.
Vaadake, mis on "POLYGON" teistes sõnaraamatutes:
Saame teada, et seda kujundit piirab suletud katkendjoon, mis omakorda võib olla lihtne, suletud. Räägime sellest, et hulknurgad on tasased, korrapärased, kumerad. Kes poleks kuulnud salapärasest Bermuda kolmnurgast, kus laevad ja lennukid jäljetult kaovad? Kuid meile lapsepõlvest tuttav kolmnurk on täis palju huvitavat ja salapärast.
Kuigi loomulikult võib hulknurgaks lugeda ka kolmest nurgast koosnevat kujundit
Kuid sellest ei piisa figuuri iseloomustamiseks. Katkendjoon A1A2…An on kujund, mis koosneb punktidest A1,A2,…An ja neid ühendavatest lõikudest A1A2, A2A3,…. Lihtsat suletud katkendjoont nimetatakse hulknurgaks, kui selle külgnevad lülid ei asu samal sirgel (joonis 5). Asenda sõna “hulknurk” osa “paljude” asemel konkreetne arv, näiteks 3. Saad kolmnurga. Pange tähele, et nurki on sama palju kui külgi, seega võiks neid kujundeid nimetada mitmekülgseteks.
Olgu А1А2…А n etteantud kumer hulknurk ja n>3. Joonistage sellesse (ühest tipust) diagonaalid
Iga kolmnurga nurkade summa on 1800 ja nende kolmnurkade arv on n - 2. Seetõttu on kumera n - nurga A1A2 ... A n nurkade summa 1800 * (n - 2). Teoreem on tõestatud. Kumera hulknurga välisnurk antud tipus on nurk, mis külgneb selles tipus oleva hulknurga sisenurgaga.
Tõmmake nelinurka joon nii, et see jagaks selle kolmeks kolmnurgaks
Nelinurgal ei ole kunagi samal sirgel kolme tippu. Sõna "polügoon" näitab, et selle perekonna kõikidel kujudel on "palju nurki". Katkendjoont nimetatakse lihtsaks, kui sellel ei ole iselõikusi (joon. 2,3).
Katkendjoone pikkus on selle lülide pikkuste summa (joonis 4). Juhul n=3 on teoreem tõene. Seega võib ruutu nimetada erinevalt – tavaliseks nelinurgaks. Sellised kujundid on hooneid kaunistanud meistritele juba ammu huvi pakkunud.
Tipude arv võrdub külgede arvuga. Katkendjoont nimetatakse suletuks, kui selle otsad langevad kokku. Ilusaid mustreid tegid nad näiteks parketile. Meie viieharuline täht on tavaline viisnurkne täht.
Kuid kõiki tavalisi hulknurki ei saanud parketi moodustamiseks kasutada. Vaatame lähemalt kahte tüüpi hulknurki: kolmnurka ja nelinurka. Hulknurka, mille kõik sisenurgad on võrdsed, nimetatakse tavaliseks hulknurgaks. Hulknurki nimetatakse nende külgede või tippude arvu järgi.
Geomeetria käigus uurime geo-met-ri-che-sky kujundite omadusi ja oleme juba vaadanud neist lihtsamaid: kolmnurkne-ni-ki ja ümbrus. Samal ajal arutleme nende kujundite konkreetsete juhtumite üle, näiteks ristkülikukujuline, võrdne-polü- ja täisnurkne kolmnurk-ei-ki. Nüüd on aeg rääkida üldisemast ja keerulisemast fi-gu-rah-st - palju-süsi-ei-kah.
Erajuhtumiga palju-söe-ni-kov me juba teame - see on kolmnurk (vt joonis 1).
Riis. 1. Kolmnurk-nick
Nimes endas on see juba all-cher-ki-va-et-sya, et see on fi-gu-ra, kellelgi on kolm nurka. Järgmine-va-tel-aga, sisse palju kivisütt neid võib olla palju, st. rohkem kui kolm. Näiteks viiesöe-nicki kujutis (vt. joon. 2), s.o. fi-gu-ru viie nurgaga-la-mi.
Riis. 2. Viissöe-nik. Sa-kaugel-ly-mitme-söe-hüüdnimi
Definitsioon.Hulknurk- fi-gu-ra, mis koosneb mitmest punktist (rohkem kui kahest) ja vastab vastusele th kov, keegi-rukis neid pärast-to-va-tel-kuid kombineerida-ed-nya-yut. Need punktid on on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi palju kivisütt-ei-ka, aga raie- sada-ro-on-mi. Samal ajal ei asu kaks kõrvutiasetsevat külge samal sirgjoonel ja ükski teine teine külg, mis ei lähe uuesti se-ka-yut-sya .
Definitsioon.Parempoolne multi-coal-hüüdnimi- see on kumer polü-coal-nic, kellegi-ro-go jaoks on kõik küljed ja nurgad võrdsed.
Ükskõik milline hulknurk de-la-et lennuk kaheks piirkonnaks: sisemine ja välimine. Inner-ren-ny ala on ka from-but-syat to palju kivisütt.
Ehk siis näiteks viie-söe-ni-kest rääkides mõeldakse nii kogu selle siseregiooni kui ka piiri-tsu-d. Ja piirkonna sise-ren-it-no-syat-sya ja kõik punktid, mõned-rukis asuvad sees palju-of-söe-no-ka, st. punkt on samuti from-but-sit-Xia kuni viis-söe-no-ku (vt joon. 2).
Palju söe-ei-ki nimetatakse mõnikord n-coal-no-ka-mi-ks, et rõhutada, et see on tavaline juhtum, et tee on-millegi-tundmatu-asja kohta. -nurkade arv (n tükki).
Definitsioon. Pe-ri-meeter palju-süsi-no-ka- multi-coal-no-ka külgede pikkuste summa.
Nüüd on vaja know-to-know vaadetega many-coal-no-kov. Nad de-lyat-xia sisse sa-mahukas Ja mittemahukad. Näiteks polü-söe-nick, mis on kujutatud joonisel fig. 2, is-la-et-sya you-bump-ly ja joonisel fig. 3 mitte-kimp-lym.
Riis. 3. Mittekumer polü-söe-nick
2. Kumerad ja mittekumerad hulknurgad
Les 1 määratlemine. Hulknurk na-zy-va-et-sya sa peeru, kui pro-ve-de-nii on otse läbi mõne selle külje, tervik hulknurk asub sellest sirgest vaid saja ro-kaevu kaugusel. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya kõik ülejäänud palju kivisütt.
Lihtne on ette kujutada, et joonisel fig. 2 ta on kõik ok-zhet-sya sada-ro-kaev sellest sirgest kaevandusest, st. ta on punnis. Aga kui pro-ve-de-nii on otse läbi neli-you-rech-coal-no-ke joonisel fig. 3, näeme juba, et ta jagab selle kaheks osaks, st. ta ei ole mahukas.
Aga on veel üks def-de-le-nie you-pump-lo-sti a lot-of-coal-no-ka.
Opré-de-le-nie 2. Hulknurk na-zy-va-et-sya sa peeru, kui kui valite selle kaks sisemist punkti ja ühendate need lõikest, on kõik lõike punktid ka sisemised -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.
Selle de-le-tioni määratluse kasutamise demonstratsiooni saab näha sisselõigetest ehitamise näites joonisel fig. 2 ja 3.
Definitsioon. Dia-go-na-lew many-coal-no-ka-za-va-et-sya mis tahes from-re-zok, mis ühendab kahte, mitte ei ühenda selle tippe.
3. Kumera n-nurga sisenurkade summa teoreem
Hulknurkade omaduste kirjeldamiseks on nende nurkade kohta kaks olulist teooriat: theo-re-ma umbes you-bunch-lo-go-many-coal-no-ka sisenurkade summa Ja teo-re-ma välisnurkade summa kohta. Vaatame neid.
Teoreem. Sinu-beam-lo-go-many-coal-no-ka sisenurkade summal (n-süsi-no-ka).
Kus on selle nurkade (külgede) arv.
Do-for-tel-stvo 1. Pilt-ra-talv joonisel fig. 4 kumer n-nurga hüüdnimi.
Riis. 4. You-bump-ly n-nurk-nick
Ülalt me toetame kõiki võimalikke dia-go-on-kas. Nad jagavad n-nurga hüüdnime kolmnurga-no-ka-ks, sest kõik küljed on multi-coal-no-ka-ra-zu-et kolmnurga-nick, välja arvatud rehvi ülaosaga külgnevad küljed. Jooniselt on hästi näha, et kõigi nende kolmnurkade nurkade summa on täpselt võrdne n-nurga-no-ka sisenurkade summaga. Kuna mis tahes kolmnurga-no-ka - nurkade summa, siis n-nurga-no-ka sisenurkade summa:
Do-ka-for-tel-stvo 2. On võimalik ja teine do-ka-for-tel-stvo selle theo-re-we. Analoogse n-nurga kujutis joonisel fig. 5 ja ühenda selle mis tahes sisemine punkt kõigi tippudega.
We-be-chi-kas raz-bi-e-ne n-nurk-no-ka n kolmnurga-ni-kov (mitu külge, nii palju kolmnurki-ni-kov ). Kõigi nende nurkade summa on võrdne multi-coal-none sisenurkade summaga ja sisemise punkti nurkade summaga ja see on nurk. Meil on:
Q.E.D.
Enne-eest-aga.
Do-ka-zan-noy theo-re-me järgi on selge, et nurkade summa n-coal-no-ka sõltub selle külgede arvust (n-st). Näiteks kolmnurgas-ne-ke ja nurkade summa. In four-you-reh-coal-ni-ke ja nurkade summa - jne.
4. Kumera n-nurga välisnurkade summa teoreem
Teoreem. Umbes sinu-beam-lo-go-many-coal-no-ka välisnurkade summa (n-süsi-no-ka).
Kus on selle nurkade (külgede) arv ja, ..., on välisnurgad.
Tõestus. Pilt-ra-zim kumer n-nurga-nick joonisel fig. 6 ja tähistavad selle sise- ja välisnurki.
Riis. 6. Olete kumer n-söe-nick tähisega välised-ni-nurgad-la-mi
Sest välisnurk on ühendatud sisenurgaga külgnevana, siis on see analoogne ülejäänud välisnurkadega. Seejärel:
Eel-ob-ra-zo-va-niy käigus kasutasime-zo-va-lied juba to-ka-zan-my theo-re-mine sisenurkade summa kohta n-angle-no- ka .
Enne-eest-aga.
Eel-ka-zan-noy theo-re- järgime in-te-res-ny tõsiasja, et kumera-lo-nda n-nurga-no-ka välisnurkade summa on võrdne ko-st. -li-che-selle nurgad (küljed). Muide, sõltuvalt sisenurkade summast.
Edasi töötame fraktsioneerivamalt konkreetse juhtumiga, kus on palju kivisütt-no-kov - che-you-rekh-coal-no-ka-mi. Järgmises õppetükis õpime tundma sellist fi-gu-sülmi nagu par-ral-le-lo-gram ja arutame selle omadusi.
ALLIKAS
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Teema: "Polügoonid. Hulknurkade tüübid"
9. klass
SL nr 20
Õpetaja: Kharitonovich T.I. Tunni eesmärk: hulknurkade tüüpide uurimine.
Õppeülesanne: ajakohastada, laiendada ja üldistada õpilaste teadmisi hulknurkade kohta; kujundada ettekujutus hulknurga "komponentidest"; viia läbi korrapäraste hulknurkade (kolmnurgast n-nurgani) moodustavate elementide arvu uuringut;
Arendusülesanne: arendada analüüsi-, võrdlemis-, järelduste tegemise oskust, arvutusoskust, suulist ja kirjalikku matemaatilist kõnet, mälu, samuti iseseisvust mõtlemises ja õppetegevuses, paaris- ja rühmatöö oskust; arendada teadus- ja õppetegevust;
Hariduslik ülesanne: kasvatada iseseisvust, aktiivsust, vastutust antud ülesande eest, sihikindlust eesmärgi saavutamisel.
Varustus: interaktiivne tahvel (esitlus)
Tundide ajal
Näita esitlust: "Polügonid"
"Loodus räägib matemaatika keelt, selle keele tähti ... matemaatilisi kujundeid." G. Gallilei
Tunni alguses jagatakse klass töörühmadeks (meie puhul jagatakse 3 rühma)
1. Kõne etapp-
a) õpilaste teadmiste täiendamine teemal;
b) huvi äratamine uuritava teema vastu, iga õpilase motivatsioon õppetegevuseks.
Vastuvõtt: mäng "Kas sa usud, et ...", tekstiga töö korraldamine.
Töövormid: frontaalne, rühm.
"Kas sa usud seda..."
1. ... sõna "hulknurk" viitab sellele, et selle perekonna kõigil kujudel on "palju nurki"?
2. … kas kolmnurk kuulub suurde hulknurkade perekonda, mis eristuvad tasapinnal olevate geomeetriliste kujundite hulgast?
3. …kas ruut on tavaline kaheksanurk (neli külge + neli nurka)?
Tänases tunnis räägime hulknurkadest. Saame teada, et seda kujundit piirab suletud katkendjoon, mis omakorda võib olla lihtne, suletud. Räägime sellest, et hulknurgad on tasased, korrapärased, kumerad. Üks tasapinnaline hulknurk on teile juba ammu tuttav kolmnurk (saate näidata õpilastele polügoone, katkendjoont kujutavaid plakateid, näidata nende erinevaid tüüpe, kasutada saab ka TCO-d).
2. Arusaamise staadium
Eesmärk: uue teabe hankimine, selle mõistmine, valik.
Vastuvõtt: siksakiline.
Töövormid: individuaalne->paar->rühm.
Igale rühmale antakse tunniteemaline tekst ja tekst on kujundatud nii, et see sisaldab nii õpilastele juba teadaolevat kui ka täiesti uut teavet. Koos tekstiga saavad õpilased küsimused, millele vastused tuleb leida sellest tekstist.
Hulknurgad. Hulknurkade tüübid.
Kes poleks kuulnud salapärasest Bermuda kolmnurgast, kus laevad ja lennukid jäljetult kaovad? Kuid meile lapsepõlvest tuttav kolmnurk on täis palju huvitavat ja salapärast.
Lisaks meile juba tuntud kolmnurkade tüüpidele, mis on jagatud külgede (mõõtkava, võrdhaarne, võrdkülgne) ja nurkadega (terasnurkne, nürinurkne, täisnurkne), kuulub kolmnurk suurde hulknurkade perekonda, mis eristuvad paljudest. erinevad geomeetrilised kujundid tasapinnal.
Sõna "polügoon" näitab, et selle perekonna kõikidel kujudel on "palju nurki". Kuid sellest ei piisa figuuri iseloomustamiseks.
Katkendjoon A1A2…An on kujund, mis koosneb punktidest A1,A2,…An ja neid ühendavatest lõikudest A1A2, A2A3,…. Punkte nimetatakse polüliini tippudeks ja segmente nimetatakse polüliini lülideks. (JOON 1)
Katkendjoont nimetatakse lihtsaks, kui sellel ei ole iselõikusi (joon. 2,3).
Katkendjoont nimetatakse suletuks, kui selle otsad langevad kokku. Katkendjoone pikkus on selle lülide pikkuste summa (joonis 4)
Lihtsat suletud katkendjoont nimetatakse hulknurgaks, kui selle külgnevad lülid ei asu samal sirgel (joonis 5).
Asenda sõna “hulknurk” osa “paljude” asemel konkreetne arv, näiteks 3. Saad kolmnurga. Või 5. Siis - viisnurk. Pange tähele, et nurki on sama palju kui külgi, seega võiks neid kujundeid nimetada mitmekülgseteks.
Polüliini tippe nimetatakse hulknurga tippudeks ja polüliini linke nimetatakse hulknurga külgedeks.
Hulknurk jagab tasapinna kaheks piirkonnaks: sisemine ja välimine (joonis 6).
Tasapinnaline hulknurk ehk hulknurkne piirkond on hulknurgaga piiratud tasapinna lõplik osa.
Hulknurga kahte tippu, mis on sama külje otsad, nimetatakse naabriteks. Tipud, mis ei ole ühe külje otsad, ei külgne.
Hulknurka, millel on n tippu ja seega n külge, nimetatakse n-nurgaks.
Kuigi hulknurga väikseim külgede arv on 3. Kolmnurgad aga võivad üksteisega ühenduses moodustada teisi kujundeid, mis omakorda on samuti hulknurgad.
Lõike, mis ühendavad hulknurga mitte-naabertippe, nimetatakse diagonaalideks.
Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see asub selle külge sisaldava sirge suhtes ühel pooltasandil. Sel juhul loetakse joon ise POOLTASANDI kuuluvaks
Kumera hulknurga nurk antud tipu juures on nurk, mille moodustavad selle tipus koonduvad küljed.
Tõestame teoreemi (kumera n-nurga nurkade summa kohta): Kumera n-nurga nurkade summa võrdub 1800*(n - 2).
Tõestus. Juhul n=3 on teoreem tõene. Olgu А1А2…А n etteantud kumer hulknurk ja n>3. Joonistame sellesse (ühest tipust) diagonaalid. Kuna hulknurk on kumer, jagavad need diagonaalid selle n - 2 kolmnurgaks. Hulknurga nurkade summa on sama, mis kõigi nende kolmnurkade nurkade summa. Iga kolmnurga nurkade summa on 1800 ja nende kolmnurkade arv on n - 2. Seetõttu on kumera n - nurga A1A2 ... A n nurkade summa 1800 * (n - 2). Teoreem on tõestatud.
Kumera hulknurga välisnurk antud tipus on nurk, mis külgneb selles tipus oleva hulknurga sisenurgaga.
Kumerat hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on võrdsed.
Seega võib ruutu nimetada erinevalt – tavaliseks nelinurgaks. Ka võrdkülgsed kolmnurgad on korrapärased. Sellised kujundid on hooneid kaunistanud meistritele juba ammu huvi pakkunud. Ilusaid mustreid tegid nad näiteks parketile. Kuid kõiki tavalisi hulknurki ei saanud parketi moodustamiseks kasutada. Parketti ei saa vormida tavalistest kaheksanurkadest. Fakt on see, et nende iga nurk on 1350. Ja kui mõni punkt on kahe sellise kaheksanurga tipp, siis on neil 2700 ja kolmas kaheksanurk ei mahu kuhugi: 3600 - 2700 \u003d 900. ruudu jaoks piisab. Seetõttu on parkett võimalik voltida tavalistest kaheksakandilistest ja ruutudest.
Tähed on õiged. Meie viieharuline täht on tavaline viisnurkne täht. Ja kui pöörate ruutu ümber keskpunkti 450 võrra, saate tavalise kaheksanurkse tähe.
Mis on katkendlik joon? Selgitage, mis on polüliini tipud ja lingid.
Millist katkendlikku joont nimetatakse lihtsaks?
Millist katkendlikku joont nimetatakse suletud?
Mis on hulknurk? Kuidas nimetatakse hulknurga tippe? Mis on hulknurga küljed?
Mis on tasane hulknurk? Too näiteid hulknurkade kohta.
Mis on n-gon?
Selgitage, millised hulknurga tipud on kõrvuti ja millised mitte.
Mis on hulknurga diagonaal?
Mis on kumer hulknurk?
Selgitage, millised hulknurga nurgad on välised ja millised sisemised?
Mis on tavaline hulknurk? Too näiteid regulaarsete hulknurkade kohta.
Kui suur on kumera n-nurga nurkade summa? Tõesta seda.
Õpilased töötavad tekstiga, otsivad vastuseid püstitatud küsimustele, mille järel moodustatakse ekspertrühmad, milles töötatakse samade küsimustega: õpilased tõstavad esile põhilise, koostavad toetava abstrakti, esitavad teavet ühes graafilised vormid. Töö lõppedes naasevad õpilased oma töörühmadesse.
3. Peegelduse staadium –
a) oma teadmiste hindamine, väljakutse teadmiste järgmisele astmele;
b) saadud teabe mõistmine ja omastamine.
Vastuvõtt: uurimistöö.
Töövormid: individuaalne->paar->rühm.
Töörühmad on eksperdid, kes vastavad igale esitatud küsimuste jaotisele.
Naastes töörühma juurde, tutvustab ekspert teistele rühmaliikmetele vastuseid nende küsimustele. Grupis toimub kõigi töörühma liikmete infovahetus. Seega kujuneb igas töörühmas tänu ekspertide tööle üldine ettekujutus uuritavast teemast.
Õpilaste uurimistööd- tabeli täitmine.
Regulaarsed hulknurgad Joonis Külgede arv Tipude arv Kõikide sisenurkade summa Sisenurkade aste. nurk Välisnurga kraadimõõt Diagonaalide arv
A) kolmnurk
B) nelinurk
B) viie auguga
D) kuusnurk
E) n-gon
Huvitavate ülesannete lahendamine tunni teemal.
1) Mitu külge on tavalisel hulknurgal, mille iga sisenurk on võrdne 1350?
2) Teatud hulknurgas on kõik sisenurgad üksteisega võrdsed. Kas selle hulknurga sisenurkade summa võib olla: 3600, 3800?
3) Kas on võimalik ehitada viisnurka, mille nurgad on 100,103,110,110,116 kraadi?
Õppetunni kokkuvõte.
Kodutöö salvestamine: STR66-72 nr 15,17 JA ÜLESANNE: NELINURGUS JOONISTAGE OTSE, NII TA JAGAB SELLE KOLMEKS KOLMNURGAKS.
Peegeldus testide vormis (interaktiivsel tahvlil)
Hulknurkade tüübid:
Nelinurgad
Nelinurgad, koosnevad vastavalt 4 küljelt ja nurgast.
Neid külgi ja nurki, mis on üksteise vastas, nimetatakse vastupidine.
Diagonaalid jagavad kumerad nelinurgad kolmnurkadeks (vt joonist).
Kumera nelinurga nurkade summa on 360° (kasutades valemit: (4-2)*180°).
rööpkülikuid
Parallelogramm on kumer nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed (joonisel numbriga 1).
Rööpküliku vastasküljed ja nurgad on alati võrdsed.
Ja ristumiskohas olevad diagonaalid jagatakse pooleks.
Trapets
Trapets on ka nelinurk ja trapets paralleelsed on ainult kaks külge, mida nimetatakse põhjustel. Teised pooled on küljed.
Joonisel kujutatud trapets on numbritega 2 ja 7.
Nagu kolmnurgas:
Kui küljed on võrdsed, siis on trapets võrdhaarne;
Kui üks nurkadest on õige, siis trapets on õige ristkülikukujuline.
Trapetsi keskjoon on pool aluste summast ja nendega paralleelne.
Romb
Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.
Lisaks rööpküliku omadustele on rombidel oma eriline omadus - rombi diagonaalid on ristiüksteist ja poolitada rombi nurgad.
Joonisel on romb numbriga 5.
Ristkülikud
Ristkülik- see on rööpkülik, mille iga nurk on õige (vt joonist number 8).
Lisaks rööpküliku omadustele on ristkülikutel oma eriline omadus - ristküliku diagonaalid on võrdsed.
ruudud
Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed (#4).
Sellel on ristküliku ja rombi omadused (kuna kõik küljed on võrdsed).