Kuid see pole veel kõik, mida kuldlõikega teha saab. Kui jagame ühe 0,618-ga, saame 1,618; kui paneme selle ruutu, saame 2,618; kui jagame selle kuubikuga, saame 4,236. Need on Fibonacci paisumissuhted. Ainus puuduv arv siin on 3236, mille pakkus välja John Murphy.
Mida arvavad eksperdid järjepidevusest?
Mõni võib öelda, et need numbrid on juba tuttavad, kuna neid kasutatakse tehnilise analüüsi programmides paranduste ja laienduste ulatuse määramiseks. Lisaks on neil samadel sarjadel oluline roll Elioti laineteoorias. Need on selle numbriline alus.
Meie ekspert Nikolay on end tõestanud investeerimisfirma Vostok portfellihaldur.
- — Nikolay, kas arvate, et Fibonacci numbrite ja nende tuletiste ilmumine erinevate instrumentide edetabelitesse on juhuslik? Ja kas on võimalik öelda: "Fibonacci seeria praktiline rakendus" toimub?
- — Suhtun müstikasse halvasti. Ja veel enam börsigraafikutel. Igal asjal on oma põhjused. raamatus “Fibonacci Levels” kirjeldas ta ilusti, kus kuldne läbilõige paistab, et ta ei imestanud, et see börsi noteeringute graafikutele ilmus. Aga asjata! Paljudes tema toodud näidetes esineb arv Pi sageli. Aga millegipärast pole see hinnasuhetes sees.
- — Nii et te ei usu Elioti laineprintsiibi tõhususse?
- - Ei, see pole asja mõte. Laine põhimõte on üks asi. Numbriline suhe on erinev. Ja nende hinnatabelitesse ilmumise põhjused on kolmandad
- — Mis on teie hinnangul põhjused kuldse lõike börsigraafikutele ilmumisel?
- — Õige vastus sellele küsimusele võib teenida Nobeli majandusauhinna. Praegu võime oletada tõelisi põhjuseid. Ilmselgelt pole need loodusega kooskõlas. Börsihindade kujundamise mudeleid on palju. Need ei selgita määratud nähtust. Kuid nähtuse olemuse mittemõistmine ei tohiks eitada nähtust kui sellist.
- — Ja kui see seadus kunagi avatakse, kas see suudab vahetusprotsessi hävitada?
- — Nagu näitab seesama laineteooria, on aktsiahindade muutumise seadus puhas psühholoogia. Mulle tundub, et selle seaduse tundmine ei muuda midagi ega suuda börsi hävitada.
Materjali pakub veebimeister Maximi ajaveeb.
Matemaatika aluspõhimõtete kokkulangevus erinevates teooriates tundub uskumatu. Võib-olla on see fantaasia või kohandatud lõpptulemuse jaoks. Oota ja vaata. Suur osa sellest, mida varem peeti ebatavaliseks või polnud võimalik: näiteks kosmoseuuringud on muutunud igapäevaseks ega üllata kedagi. Samuti muutub laineteooria, mis võib olla arusaamatu, aja jooksul kättesaadavamaks ja arusaadavamaks. See, mis oli varem ebavajalik, saab kogenud analüütiku käes võimsaks vahendiks tulevase käitumise ennustamiseks.
Fibonacci numbrid looduses.
Vaata
Nüüd räägime sellest, kuidas saate ümber lükata tõsiasja, et Fibonacci digitaalseeria on seotud mis tahes looduse mustritega.
Võtame mis tahes muud kaks arvu ja koostame Fibonacci arvudega sama loogikaga jada. See tähendab, et jada järgmine liige on võrdne kahe eelmise summaga. Näiteks võtame kaks arvu: 6 ja 51. Nüüd koostame jada, mille lõpetame kahe numbriga 1860 ja 3009. Pange tähele, et nende arvude jagamisel saame kuldsele lõikele lähedase arvu.
Samas kahanesid teiste paaride jagamisel saadud arvud esimesest viimaseni, mis lubab väita, et kui see seeria jätkub lõputult, siis saame kuldlõikega võrdse arvu.
Seega ei paista Fibonacci numbrid kuidagi silma. On ka teisi arvujadasid, millest on lõpmatu arv, mis annavad samade toimingute tulemusena kuldse arvu phi.
Fibonacci ei olnud esoteerik. Ta ei tahtnud numbritesse müstikat lisada, ta lihtsalt lahendas tavalist jänestega seotud ülesannet. Ja ta kirjutas numbrite jada, mis tulenes tema probleemist, esimesel, teisel ja teistel kuudel, kui palju küülikuid pärast aretamist on. Aasta jooksul sai ta sama jada. Ja ma ei loonud suhet. Kuldsest proportsioonist või jumalikust suhtest polnud juttugi. Kõik see leiutati pärast teda renessansiajal.
Võrreldes matemaatikaga on Fibonacci eelised tohutud. Ta võttis araablastelt üle numbrisüsteemi ja tõestas selle paikapidavust. See oli raske ja pikk võitlus. Rooma numbrisüsteemist: raske ja loendamiseks ebamugav. See kadus pärast Prantsuse revolutsiooni. Fibonaccil pole kuldse lõikega midagi pistmist.
Spiraale on lõpmatu arv, kõige populaarsemad on: loomuliku logaritmi spiraal, Archimedese spiraal ja hüperboolne spiraal.
Nüüd heidame pilgu Fibonacci spiraalile. See osade kaupa komposiitüksus koosneb mitmest veerandringist. Ja see ei ole spiraal kui selline.
Järeldus
Ükskõik kui kaua me Fibonacci seeria rakendatavusele börsil kinnitust või ümberlükkamist ei otsiks, selline praktika on olemas.
Tohutud inimmassid tegutsevad Fibonacci joone järgi, mida leidub paljudes kasutajaterminalides. Seega, meeldib see meile või mitte: Fibonacci numbrid mõjutavad ja me saame seda mõju ära kasutada.
Lugege kindlasti artiklit -.
Fibonacci arvud on arvujada elemendid.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, milles iga järgnev arv on võrdne kahe eelmise arvu summaga. Nimi on saanud keskaegse matemaatiku Leonardo Pisa (või Fibonacci) järgi, kes elas ja töötas kaupmehe ja matemaatikuna Itaalia linnas Pisas. Ta on üks oma aja kuulsamaid Euroopa teadlasi. Tema suurimate saavutuste hulka kuulus araabia numbrite kasutuselevõtt, mis asendasid rooma numbrid. Fn =Fn-1 +Fn-2
Asümptootiliselt (st üha aeglasemalt lähenev) matemaatiline jada kaldub konstantsele suhtele. Selline suhtumine on aga irratsionaalne; sellel on lõputu, ettearvamatu kümnendväärtuste jada selle järel. Seda ei saa kunagi täpselt väljendada. Kui iga seeriasse kuuluv arv jagatakse selle eelkäijaga (näiteks 13-^8 või 21 -IZ), väljendatakse toimingu tulemust suhtena, mis kõigub irratsionaalarvu 1,61803398875 ümber, veidi rohkem või veidi vähem kui seeria naabersuhtarvud. Suhe ei ole kunagi lõputult täpne kuni viimase numbrini (isegi meie ajal loodud kõige võimsamate arvutite kasutamisel). Lühiduse huvides kasutame Fibonacci suhtena 1,618 ja palume lugejatel sellest veast teadlik olla.
Fibonacci arvud on olulised ka eukleidilise algoritmi analüüsimisel, et määrata kahe arvu suurim ühisjagaja. Fibonacci arvud pärinevad Pascali kolmnurga diagonaali valemist (binoomkoefitsiendid).
Fibonacci numbrid osutusid seotud "kuldse suhtega".
Kuldlõiget tunti juba Vana-Egiptuses ja Babülonis, Indias ja Hiinas. Mis on "kuldne suhe"? Vastus on siiani teadmata. Fibonacci numbrid on meie aja praktikateooria jaoks väga olulised. Tähtsuse tõus toimus 20. sajandil ja jätkub tänapäevani. Fibonacci numbrite kasutamine majanduses ja arvutiteaduses meelitas nende uurimistöösse massiliselt inimesi.
Minu uurimistöö metoodika seisnes erialakirjanduse uurimises ja saadud info kokkuvõtete tegemises, samuti enda uurimistöös ning arvude omaduste ja kasutusala väljaselgitamises.
Teadusliku uurimistöö käigus defineeris ta Fibonacci arvude mõisted ja nende omadused. Samuti sain teada huvitavaid mustreid eluslooduses, otse päevalilleseemnete struktuuris.
Päevalillel on seemned paigutatud spiraalidesse ja teises suunas liikuvate spiraalide arv on erinev - need on järjestikused Fibonacci numbrid.
Sellel päevalillel on 34 ja 55.
Sama on täheldatud ananassi viljadel, kus spiraale on 8 ja 14. Maisilehti seostatakse Fibonacci numbrite ainulaadse omadusega.
Vormi a/b fraktsioonid, mis vastavad taimevarre jalgade lehtede spiraalsele paigutusele, on sageli järjestikuste Fibonacci arvude suhted. Sarapuu puhul on see suhe 2/3, tammel 3/5, paplil 5/8, pajul 8/13 jne.
Vaadates lehtede paigutust taime varrel, võite märgata, et iga lehepaari (A ja C) vahel asub kolmas kuldlõike (B) kohas.
Veel üks huvitav Fibonacci arvu omadus on see, et kahe erineva Fibonacci arvu korrutis ja jagatis peale ühe ei ole kunagi Fibonacci arv.
Uurimistöö tulemusena jõudsin järgmistele järeldustele: Fibonacci arvud on ainulaadne aritmeetiline progressioon, mis tekkis 13. sajandil pKr. See areng ei kaota oma tähtsust, mis leidis kinnitust ka minu uurimistöö käigus. Fibonacci numbreid leidub ka programmeerimises ja majandusprognoosides, maalikunstis, arhitektuuris ja muusikas. Selliste kuulsate kunstnike nagu Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael ja Botticelli maalid peidavad endas kuldse lõike maagiat. Isegi I. I. Shishkin kasutas oma maalis “Männisalu” kuldset lõiget.
Raske uskuda, kuid kuldlõiget leidub ka selliste suurte heliloojate nagu Mozart, Beethoven, Chopin jt muusikateostes.
Fibonacci numbreid leidub ka arhitektuuris. Kuldlõiget kasutati näiteks Parthenoni ja Notre Dame’i katedraali ehitamisel
Avastasin, et Fibonacci numbreid kasutatakse ka meie piirkonnas. Näiteks maja kaunistused, frontoonid.
Elu ökoloogia. Kognitiivne: loodus (sealhulgas inimene) areneb vastavalt seadustele, mis on selles numbrilises jadas sisalduvad...
Fibonacci numbrid on arvuline jada, kus seeria iga järgnev liige on võrdne kahe eelneva summaga, st: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , 233, 377, 610, 987 , 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759208 3478759208 5920 . 980000,.. 42229701564 9625,.. 19581068021641812000,.. Fibonacci seerianumbrite keerulisi ja hämmastavaid omadusi uurisid paljud professionaalsed teadlased ja matemaatikahuvilised.
1997. aastal kirjeldas sarja mitmeid kummalisi jooni teadlane Vladimir Mihhailov, kes oli veendunud, et Loodus (sealhulgas inimene) areneb vastavalt seadustele, mis on sellesse numbrijadasse põimitud.
Fibonacci arvuseeria tähelepanuväärne omadus on see, et seeria numbrite kasvades läheneb selle seeria kahe naaberliikme suhe asümptootiliselt kuldse suhte (1:1,618) täpsele osakaalule – see on ilu ja harmoonia alus. meid ümbritsev loodus, sealhulgas inimsuhetes.
Pange tähele, et Fibonacci ise avas oma kuulsa sarja, mõeldes ühe aasta jooksul ühest paarist sündivate küülikute arvu probleemile. Selgus, et igal järgneval kuul pärast teist järgib jänesepaaride arv täpselt nüüd tema nime kandvat digisarja. Seetõttu pole juhus, et inimene ise on üles ehitatud Fibonacci seeria järgi. Iga orel on paigutatud vastavalt sisemisele või välisele duaalsusele.
Fibonacci numbrid köitsid matemaatikuid oma võimega ilmuda kõige ootamatumates kohtades. Näiteks on märgatud, et Fibonacci arvude suhtarvud, võetuna läbi ühe, vastavad taimevarrel külgnevate lehtede vahelisele nurgale, täpsemalt öeldakse, milline on pöörde murdosa see nurk: 1/2 - for jalakas ja pärn, 1/3 - pöögile, 2/5 - tammele ja õunapuule, 3/8 - paplile ja roosidele, 5/13 - pajule ja mandlile jne. Samad numbrid leiate ka seemned päevalille spiraalides, kahelt peeglist peegelduvate kiirte arvus, mesilase ühest rakust teise roomamise marsruutide arvus, paljudes matemaatilistes mängudes ja trikkides.
Mis vahe on kuldlõike spiraalidel ja Fibonacci spiraalil? Kuldse lõike spiraal on ideaalne. See vastab harmoonia esmasele allikale. Sellel spiraalil pole ei algust ega lõppu. See on lõputu. Fibonacci spiraalil on algus, millest see hakkab "lahti kerima". See on väga oluline omadus. See võimaldab loodusel pärast järgmist suletud tsüklit ehitada nullist uue spiraali.
Olgu öeldud, et Fibonacci spiraal võib olla kahekordne. Nende topeltheeliksi kohta on palju näiteid kogu maailmast. Seega on päevalillespiraalid alati korrelatsioonis Fibonacci seeriaga. Isegi tavalises männikäbis näete seda Fibonacci topeltspiraali. Esimene spiraal läheb ühes suunas, teine teises suunas. Kui loendate ühes suunas pöörlevas spiraalis olevate skaalade arvu ja teises spiraalis olevate skaalade arvu, näete, et need on alati kaks järjestikust Fibonacci seeria numbrit. Nende spiraalide arv on 8 ja 13. Päevalilledes on spiraalide paarid: 13 ja 21, 21 ja 34, 34 ja 55, 55 ja 89. Ja nendest paaridest pole kõrvalekaldeid!..
Inimestel on somaatilise raku kromosoomide komplektis (neid on 23 paari) pärilike haiguste allikaks 8, 13 ja 21 paari kromosoome...
Miks aga mängib just see sari Looduses määravat rolli? Sellele küsimusele saab ammendavalt vastata kolmainsuse mõistega, mis määrab selle enesesäilitamise tingimused. Kui triaadi “huvide tasakaalu” rikub üks tema “partneritest”, tuleb kahe ülejäänud “partneri” “arvamusi” korrigeerida. Kolmsuse mõiste on eriti ilmne füüsikas, kus “peaaegu” kõik elementaarosakesed on ehitatud kvarkidest. Kui meenutada, et kvargiosakeste murdlaengute suhted moodustavad rea ja need on Fibonacci seeria esimesed liikmed, mis on vajalikud teiste elementaarosakeste tekkeks.
Võimalik, et Fibonacci spiraalil võib olla otsustav roll piiratud ja suletud hierarhiliste ruumide mustri kujunemisel. Tõepoolest, kujutame ette, et Fibonacci spiraal saavutas mingil evolutsiooni etapil täiuslikkuse (muutus kuldse lõike spiraalist eristamatuks) ja sel põhjusel tuleks osake ümber kujundada järgmisse "kategooriasse".
Need faktid kinnitavad veel kord, et duaalsuse seadus ei anna mitte ainult kvalitatiivseid, vaid ka kvantitatiivseid tulemusi. Need panevad meid mõtlema, et meid ümbritsev makromaailm ja mikromaailm arenevad samade seaduste – hierarhiaseaduste – järgi ning et need seadused kehtivad nii elava kui ka elutu aine puhul.
Kõik see viitab sellele Fibonacci arvurida esindab teatud krüpteeritud loodusseadust.
Tsivilisatsiooni arengu digitaalset koodi saab määrata numeroloogia erinevate meetoditega. Näiteks taandada kompleksarvud ühekohalisteks (näiteks 15 on 1+5=6 jne). Viies läbi sarnase liitmisprotseduuri kõigi Fibonacci seeria kompleksarvudega, sai Mihhailov nende arvude järgmise jada: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, siis kõik kordub 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8 ,.. ja kordub ikka ja jälle... Sellel seerial on ka Fibonacci seeria omadused, iga lõpmatult järgnev liige on võrdne eelmiste summaga. Näiteks 13. ja 14. liikme summa on 15, s.o. 8 ja 8=16, 16=1+6=7. Selgub, et see seeria on perioodiline, perioodiga 24 terminit, mille järel korratakse kogu numbrite järjekorda. Pärast selle perioodi saamist esitas Mihhailov huvitava oletuse - Kas 24 numbrist koosnev komplekt pole tsivilisatsiooni arengu omamoodi digitaalne kood? avaldatud
TELLI MEIE YouTube'i kanal Ekonet.ru, mis võimaldab teil vaadata Internetis, laadida YouTube'ist alla tasuta videoid inimeste tervise ja noorendamise kohta. Armastus teiste ja iseenda vastu,kuidas kõrgete vibratsioonide tunne on tervenemisel oluline tegur - veebileht
Muidugi on teile tuttav idee, et matemaatika on kõigist teadustest kõige olulisem. Kuid paljud võivad sellega mitte nõustuda, sest... vahel tundub, et matemaatika on lihtsalt ülesanded, näited jms igav värk. Matemaatika võib meile aga kergesti näidata tuttavaid asju täiesti võõrast küljest. Lisaks suudab ta paljastada isegi universumi saladused. Kuidas? Vaatame Fibonacci numbreid.
Mis on Fibonacci numbrid?
Fibonacci numbrid on arvulise jada elemendid, kus iga järgnev on kahe eelneva summeerimisel, näiteks: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Reeglina kirjutatakse selline jada valemiga: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.
Fibonacci numbrid võivad alata negatiivsete väärtustega "n", kuid sel juhul on jada kahesuunaline - see hõlmab nii positiivseid kui ka negatiivseid arve, kaldudes mõlemas suunas lõpmatuseni. Sellise jada näide oleks: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34 ja valem on järgmine: F n = F n+1 - F n+2 või F -n = (-1) n+1 Fn.
Fibonacci arvude looja on keskajal üks esimesi Euroopa matemaatikuid nimega Leonardo Pisa, keda tegelikult tuntakse Fibonacci nime all – ta sai selle hüüdnime palju aastaid pärast oma surma.
Pisa Leonardole meeldisid oma eluajal väga matemaatilised turniirid, mistõttu tema töödes ("Liber abaci" / "Abacuse raamat", 1202; "Practica geometriae" / "Geomeetria praktika", 1220, "Flos") / “Flower”, 1225) - uurimus kuupvõrranditest ja "Liber quadratorum" / "Ruudude raamat", 1225 - ülesanded määramata ruutvõrrandite kohta) analüüsisid väga sageli igasuguseid matemaatilisi probleeme.
Fibonacci enda eluteest teatakse väga vähe. Kuid kindel on see, et tema probleemid nautisid järgnevatel sajanditel matemaatikaringkondades tohutut populaarsust. Vaatleme üht neist edasi.
Fibonacci probleem küülikutega
Ülesande täitmiseks seadis autor järgmised tingimused: on vastsündinud küülikupaar (emane ja isane), mida eristab huvitav omadus – alates teisest elukuust toodavad nad uue küülikupaari – ka emase ja isaslooma. meessoost. Küülikuid peetakse kinnistes ruumides ja nad paljunevad pidevalt. Ja mitte üks jänes ei sure.
Ülesanne: määrake küülikute arv aastas.
Lahendus:
Meil on:
- Esimese kuu alguses üks paar küülikuid, kes paarituvad kuu lõpus
- Kaks paari küülikuid teisel kuul (esimene paar ja järglased)
- Kolm paari küülikuid kolmandal kuul (esimene paar, eelmise kuu esimese paari järglased ja uued järglased)
- Viis paari küülikuid neljandal kuul (esimene paar, esimese paari esimene ja teine järglane, esimese paari kolmas järglane ja teise paari esimene järglane)
Küülikute arv kuus “n” = küülikute arv eelmisel kuul + uute jänesepaaride arv, teisisõnu ülaltoodud valem: F n = F n-1 + F n-2. Selle tulemuseks on korduv numbrijada (rekursioonist räägime hiljem), kus iga uus arv vastab kahe eelmise numbri summale:
1 kuu: 1 + 1 = 2
2 kuud: 2 + 1 = 3
3 kuud: 3 + 2 = 5
4 kuud: 5 + 3 = 8
5 kuud: 8 + 5 = 13
6 kuud: 13 + 8 = 21
7. kuu: 21 + 13 = 34
8. kuu: 34 + 21 = 55
9 kuud: 55 + 34 = 89
10. kuu: 89 + 55 = 144
11. kuu: 144 + 89 = 233
12 kuud: 233+ 144 = 377
Ja see jada võib jätkuda lõputult, kuid arvestades, et ülesandeks on aasta pärast välja selgitada küülikute arv, on tulemuseks 377 paari.
Siinkohal on oluline ka märkida, et Fibonacci arvude üheks omaduseks on see, et kui võrrelda kahte järjestikust paari ja seejärel jagada suurem väiksemaga, siis liigub tulemus kuldse lõike suunas, millest ka allpool räägime. .
Vahepeal pakume teile veel kahte Fibonacci numbrite probleemi:
- Määrake ruutarv, mille kohta teame ainult seda, et kui lahutate sellest 5 või liidate sellele 5, saate jälle ruutarvu.
- Määrake arv, mis jagub 7-ga, kuid tingimusel, et selle jagamisel 2, 3, 4, 5 või 6-ga jääb jääk 1.
Sellised ülesanded pole mitte ainult suurepärane viis vaimu arendamiseks, vaid ka meelelahutuslik ajaviide. Samuti saate Internetist teavet otsides teada, kuidas need probleemid lahendatakse. Me ei keskendu neile, vaid jätkame oma lugu.
Mis on rekursioon ja kuldne suhe?
Rekursioon
Rekursioon on mis tahes objekti või protsessi kirjeldus, määratlus või kujutis, mis sisaldab antud objekti või protsessi ennast. Teisisõnu võib objekti või protsessi nimetada osaks iseendast.
Rekursiooni kasutatakse laialdaselt mitte ainult matemaatikas, vaid ka arvutiteaduses, populaarkultuuris ja kunstis. Fibonacci arvude puhul võime öelda, et kui arv on “n>2”, siis “n” = (n-1)+(n-2).
Kuldne suhe
Kuldlõige on terviku jagamine osadeks, mis on omavahel seotud põhimõttel: suurem seostub väiksemaga samamoodi nagu koguväärtus suurema osaga.
Kuldlõiget mainis esmakordselt Eukleides (traktaat “Elements”, ca 300 eKr), rääkides korrapärase ristküliku ehitamisest. Ent tuttavama kontseptsiooni võttis kasutusele saksa matemaatik Martin Ohm.
Ligikaudu võib kuldlõike kujutada proportsionaalse jaotusena kaheks erinevaks osaks, näiteks 38% ja 68%. Kuldse lõike numbriline avaldis on ligikaudu 1,6180339887.
Praktikas kasutatakse kuldlõiget arhitektuuris, kujutavas kunstis (vaadake teoseid), kinos ja muudes valdkondades. Pikka aega, nagu praegu, peeti kuldset lõiku esteetiliseks proportsiooniks, kuigi enamik inimesi tajub seda ebaproportsionaalsena - piklikuna.
Võite proovida kuldset suhet ise hinnata, juhindudes järgmistest proportsioonidest:
- Lõigu a = 0,618 pikkus
- Lõigu pikkus b= 0,382
- Lõigu pikkus c = 1
- c ja a suhe = 1,618
- c ja b suhe = 2,618
Nüüd rakendame Fibonacci arvudele kuldset suhet: võtame selle jada kaks kõrvuti asetsevat liiget ja jagame suurema väiksemaga. Saame ligikaudu 1,618. Kui võtame sama suurema arvu ja jagame selle järgmise suurema arvuga, saame ligikaudu 0,618. Proovige ise: "mängige" numbritega 21 ja 34 või mõne muuga. Kui teeme selle katse Fibonacci jada esimeste numbritega, siis sellist tulemust enam ei eksisteeri, sest kuldlõige "ei tööta" jada alguses. Muide, kõigi Fibonacci numbrite määramiseks peate teadma ainult kolme esimest järjestikust arvu.
Ja lõpetuseks veel veidi mõtlemisainet.
Kuldne ristkülik ja Fibonacci spiraal
"Kuldne ristkülik" on veel üks seos kuldse lõike ja Fibonacci numbrite vahel, sest ... selle kuvasuhe on 1,618:1 (pidage meeles numbrit 1,618!).
Siin on näide: võtame Fibonacci jadast kaks arvu, näiteks 8 ja 13 ning joonistame ristküliku laiusega 8 cm ja pikkusega 13 cm Järgmiseks jagame põhiristküliku väikesteks, kuid nende pikkus ja laius peaksid vastama Fibonacci numbritele – suure ristküliku ühe serva pikkus peab võrduma väiksema serva kahe pikkusega.
Pärast seda ühendame kõigi meil olevate ristkülikute nurgad sujuva joonega ja saame logaritmilise spiraali erijuhtumi - Fibonacci spiraali. Selle peamised omadused on piiride puudumine ja kujumuutused. Sellist spiraali võib looduses sageli kohata: silmatorkavamad näited on molluskite kestad, satelliidipiltidel olevad tsüklonid ja isegi mitmed galaktikad. Kuid veelgi huvitavam on see, et ka elusorganismide DNA järgib sama reeglit, sest kas mäletate, et sellel on spiraalne kuju?
Need ja paljud teised "juhuslikud" kokkusattumused erutavad ka tänapäeval teadlaste teadvust ja viitavad sellele, et kõik universumis allub ühele algoritmile, pealegi matemaatilisele. Ja see teadus peidab endas tohutul hulgal täiesti igavaid saladusi ja saladusi.
Kui vaatate taimi ja puid meie ümber, näete, kui palju lehti on igal neist. Eemalt vaadates tundub, et taimedel asuvad oksad ja lehed juhuslikult, mitte mingis kindlas järjekorras. Küll aga kõikidel taimedel imekombel, matemaatiliselt täpselt, milline oks kust kasvab, kuidas oksad ja lehed varre või tüve läheduses asetsevad. Alates ilmumise esimesest päevast järgib taim oma arengus täpselt neid seadusi, see tähendab, et juhuslikult ei ilmu ühtegi lehte ega lille. Juba enne ilmumist on taim juba täpselt programmeeritud. Kui palju oksi on tulevasel puul, kus oksad kasvavad, mitu lehte on igal oksal ning kuidas ja millises järjekorras lehed asetsevad. Botaanikute ja matemaatikute ühistöö on valgustanud neid hämmastavaid loodusnähtusi. Selgus, et Fibonacci seeria avaldub lehtede paigutuses oksal (phylotaksis), pöörete arvus varrel, lehtede arvus tsüklis ja seetõttu avaldub ka kuldlõike seadus. ise.
Kui asute eluslooduses arvulisi mustreid otsima, märkate, et neid numbreid leidub sageli mitmesugustes spiraalsetes vormides, mis on taimemaailmas nii rikkad. Näiteks lehepistikud külgnevad varrega spiraalis, mis läbib kahe külgneva lehe vahel: täispööre - sarapuul, - tammel, - paplil ja pirnil, - pajul.
Päevalille, Echinacea purpurea ja paljude teiste taimede seemned on paigutatud spiraalidesse ning spiraalide arv igas suunas on Fibonacci arv.
Päevalill, 21 ja 34 spiraalid. Echinacea, 34 ja 55 spiraalid.
Lillede selge sümmeetrilise kuju suhtes kehtib ka range seadus.
Paljude lillede puhul vastab kroonlehtede arv täpselt Fibonacci seeria numbritele. Näiteks:
iiris, 3p. võikas, 5 lep. kuldne lill, 8 lep. delphinium,
sigur, 21lep. aster, 34 lep. karikakrad, 55 lep.
Fibonacci seeria iseloomustab paljude elussüsteemide struktuurset korraldust.
Oleme juba öelnud, et naaberarvude suhe Fibonacci seerias on arv φ = 1,618. Selgub, et inimene ise on lihtsalt phi-numbrite ladu.
Meie keha erinevate osade proportsioonid on kuldsele lõikele väga lähedal. Kui need proportsioonid langevad kokku kuldse lõike valemiga, peetakse inimese välimust või keha ideaalselt proportsionaalseks. Inimkeha kullamõõdu arvutamise põhimõtet saab kujutada diagrammi kujul.
M/m = 1,618
Esimene näide kuldse lõike kohta inimkeha struktuuris:
Kui võtta inimkeha keskpunktiks nabapunkt ja mõõtühikuks inimese jalalaba ja nabapunkti vaheline kaugus, siis on inimese pikkus võrdne arvuga 1,618.
Inimese käsi
Piisab, kui tuua peopesa endale lähemale ja vaadata tähelepanelikult nimetissõrme ning leiad sellest koheselt kuldse lõike valemi. Meie käe iga sõrm koosneb kolmest falangist.
Sõrme kahe esimese falangi summa kogu sõrme pikkuse suhtes annab kuldlõike arvu (välja arvatud pöial).
Lisaks on keskmise ja väikese sõrme suhe võrdne ka kuldse lõikega.
Inimesel on 2 kätt, kummagi käe sõrmed koosnevad 3 falangist (välja arvatud pöial). Kummalgi käel on 5 sõrme, see tähendab kokku 10, kuid kui välja arvata kaks kahe falanksiga pöidla, luuakse kuldlõike põhimõttel vaid 8 sõrme. Kõik need numbrid 2, 3, 5 ja 8 on Fibonacci jada numbrid.
Kuldne suhe inimese kopsude ehituses
Ameerika füüsik B.D. West ja dr A.L. Goldberger tegi füüsikaliste ja anatoomiliste uuringute käigus kindlaks, et inimese kopsude struktuuris 
on ka kuldlõige.
Inimese kopse moodustavate bronhide eripära seisneb nende asümmeetrias. Bronhid koosnevad kahest peamisest hingamisteedest, millest üks (vasakpoolne) on pikem ja teine (parempoolne) lühem.
Leiti, et see asümmeetria jätkub bronhide harudes, kõigis väiksemates hingamisteedes. Veelgi enam, lühikeste ja pikkade bronhide pikkuste suhe on ka kuldne suhe ja võrdub 1:1,618.
Kunstnikud, teadlased, moeloojad, disainerid teevad oma arvutusi, jooniseid või eskiise lähtudes kuldlõike vahekorrast. Nad kasutavad inimkehast võetud mõõtmisi, mis loodi samuti kuldse lõike põhimõttel. Enne oma meistriteoste loomist võtsid Leonardo Da Vinci ja Le Corbusier kasutusele inimkeha parameetrid, mis loodi vastavalt kuldse proportsiooni seadusele.
On veel üks, proosalisem inimkeha proportsioonide rakendus. Näiteks kasutavad kuritegevuse analüütikud ja arheoloogid neid suhteid kasutades inimkeha osade fragmente terviku välimuse rekonstrueerimiseks.