Kahe juurega võrrandite lahendamine. Valikkursus “Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid

Vastus: x = 3.

8 meetod. Tuletise rakendamine irratsionaalvõrrandite lahendamisel

Kõige tavalisem meetod võrrandite lahendamiseks tuletismeetodi abil on hinnangumeetod.

NÄIDE 15:

Lahendage võrrand: (1)

Lahendus: alates https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> või (2). Mõelge funktsioonile ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> üldse ja seetõttu suureneb. Seetõttu võrrand on samaväärne võrrandiga, mille juur on algse võrrandi juur.

Vastus:

NÄIDE 16:

Lahendage irratsionaalne võrrand:

Funktsiooni domeeniks on segment. Leiame segmendis selle funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused. Selleks leiame funktsiooni tuletise f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Leiame funktsiooni väärtused f(x) segmendi otstes ja punktis: Nii, Aga ja seega võrdsus on võimalik ainult siis, kui https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. Kontrollimine näitab, et arv 3 on selle võrrandi juur.

Vastus: x = 3.

9 meetod. Funktsionaalne

Eksamitel palutakse teil mõnikord lahendada võrrandeid, mille saab kirjutada kujul , kus on funktsioon.

Näiteks mõned võrrandid: 1) 2) . Tõepoolest, esimesel juhul , teisel juhul . Seetõttu lahendage irratsionaalvõrrandid järgmise väitega: kui funktsioon on hulgal rangelt kasvav X ja mis tahes , siis võrrandid jne on hulgal samaväärsed X .

Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> suureneb komplektis rangelt R, ja https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > millel on üks juur.Seetõttu on ka sellega ekvivalentsel võrrandil (1) üks juur

Vastus: x = 3.

NÄIDE 18:

Lahendage irratsionaalne võrrand: (1)

Ruutjuure definitsiooni põhjal saame, et kui võrrandil (1) on juured, siis kuuluvad need hulka https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" height="47" >.(2)

Võtke arvesse, et funktsioon https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> suureneb selles komplektis rangelt mis tahes ..gif" width="100" korral kõrgus ="41">, millel on üks juur Seetõttu ja selle ekvivalent komplektis X võrrandil (1) on üks juur

Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Lahendus: see võrrand on samaväärne segasüsteemiga

Pärast seda, kui oleme uurinud võrduste mõistet, nimelt ühte nende tüüpidest – arvulisi võrdusi, saame liikuda edasi teise olulise tüübi – võrrandite – juurde. Selle materjali raames selgitame, mis on võrrand ja selle juur, sõnastame põhidefinitsioonid ning toome erinevaid näiteid võrranditest ja nende juurte leidmisest.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Võrrandi mõiste

Tavaliselt õpetatakse võrrandi mõistet kooli algebra kursuse alguses. Siis määratletakse see järgmiselt:

Definitsioon 1

Võrrand nimetatakse võrduseks tundmatu arvuga, mis tuleb leida.

Tundmatuid on tavaks tähistada väikeste ladina tähtedega, näiteks t, r, m jne, kuid kõige sagedamini kasutatakse x, y, z. Teisisõnu, võrrandi määrab selle salvestuse vorm, see tähendab, et võrdsus on võrrand ainult siis, kui see taandatakse teatud kujule - see peab sisaldama tähte, väärtust, mis tuleb leida.

Toome mõned näited kõige lihtsamatest võrranditest. Need võivad olla võrdsused kujul x = 5, y = 6 jne, aga ka need, mis sisaldavad aritmeetilisi tehteid, näiteks x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Pärast sulgude mõiste õppimist ilmub sulgudega võrrandite mõiste. Nende hulka kuuluvad 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 jne. Otsimist vajav täht võib esineda mitu korda, kuid mitu korda, näiteks , näiteks võrrandis x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Samuti võivad tundmatud paikneda mitte ainult vasakul, vaid ka paremal või mõlemas osas korraga, näiteks x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 või 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Peale selle, kui õpilased on tutvunud täisarvude, reaalarvude, ratsionaalarvude, naturaalarvude, aga ka logaritmide, juurte ja astmetega, ilmuvad uued võrrandid, mis hõlmavad kõiki neid objekte. Oleme selliste väljendite näidetele pühendanud eraldi artikli.

7. klassi õppekavas esineb muutujate mõiste esmakordselt. Need on tähed, mis võivad omandada erineva tähenduse (vt täpsemalt artiklist numbri-, täht- ja muutujaväljendite kohta). Selle kontseptsiooni põhjal saame võrrandi uuesti määratleda:

2. definitsioon

Võrrand on võrdus, mis hõlmab muutujat, mille väärtus tuleb välja arvutada.

See tähendab, et näiteks avaldis x + 3 = 6 x + 7 on võrrand muutujaga x ja 3 y − 1 + y = 0 on võrrand muutujaga y.

Ühel võrrandil võib olla rohkem kui üks muutuja, kuid kaks või enam. Neid nimetatakse vastavalt kahe-, kolme muutujaga võrranditeks jne. Kirjutame definitsiooni:

3. definitsioon

Kahe (kolme, nelja või enama) muutujaga võrrandid on võrrandid, mis sisaldavad vastavat arvu tundmatuid.

Näiteks võrrand kujul 3, 7 · x + 0, 6 = 1 on võrrand ühe muutujaga x ja x − z = 5 on võrrand kahe muutujaga x ja z. Kolme muutujaga võrrandi näide oleks x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Võrrandi juur

Kui me räägime võrrandist, siis tekib kohe vajadus määratleda selle juure mõiste. Proovime selgitada, mida see tähendab.

Näide 1

Meile antakse teatud võrrand, mis sisaldab ühte muutujat. Kui asendame tundmatu tähe numbriga, saab võrrandist numbriline võrdus - kas tõene või väär. Seega, kui võrrandis a + 1 = 5 asendame tähe numbriga 2, muutub võrdsus vääraks ja kui 4, siis on õige võrdus 4 + 1 = 5.

Meid huvitavad rohkem just need väärtused, millega muutuja muutub tõeliseks võrdsuseks. Neid nimetatakse juurteks või lahendusteks. Paneme definitsiooni kirja.

4. määratlus

Võrrandi juur Nad nimetavad muutuja väärtust, mis muudab antud võrrandi tõeliseks võrduseks.

Juure võib nimetada ka lahenduseks või vastupidi – mõlemad need mõisted tähendavad sama asja.

Näide 2

Selle määratluse selgitamiseks võtame näite. Ülalpool andsime võrrandi a + 1 = 5. Definitsiooni järgi on juureks sel juhul 4, kuna tähe asemel asendades annab see õige numbrilise võrdsuse ja kaks ei ole lahendus, kuna see vastab valele võrrandile 2 + 1 = 5.

Mitu juurt võib ühel võrrandil olla? Kas igal võrrandil on juur? Vastame neile küsimustele.

Samuti on olemas võrrandid, millel pole üht juurt. Näide oleks 0 x = 5. Me võime sellesse asendada lõpmatu arvu erinevaid arve, kuid ükski neist ei muuda seda tõeliseks võrduseks, kuna 0-ga korrutamine annab alati 0.

On ka võrrandeid, millel on mitu juurt. Need võivad olla kas piiratud või lõpmatud suur hulk juured.

Näide 3

Niisiis, võrrandis x − 2 = 4 on ainult üks juur - kuus, x 2 = 9 puhul kaks juurt - kolm ja miinus kolm, x · (x − 1) · (x − 2) = 0 kolm juurt - null, üks ja kaks, võrrandis x=x on lõpmatult palju juuri.

Nüüd selgitame, kuidas võrrandi juuri õigesti kirjutada. Kui neid pole, kirjutame: "võrrandil pole juuri." Sel juhul saab märkida ka tühja hulga märgi ∅. Kui juured on olemas, siis kirjutame need komadega eraldatuna või märgime hulga elementidena, sulgedes need lokkis sulgudesse. Seega, kui mis tahes võrrandil on kolm juurt - 2, 1 ja 5, siis kirjutame - 2, 1, 5 või (- 2, 1, 5).

Lubatud on kirjutada juured lihtsate võrduste kujul. Seega, kui võrrandis on tundmatu tähistatud tähega y ja juured on 2 ja 7, siis kirjutame y = 2 ja y = 7. Mõnikord lisatakse tähtedele alaindeksid, näiteks x 1 = 3, x 2 = 5. Sel viisil osutame juurte numbritele. Kui võrrandil on lõpmatu arv lahendeid, siis kirjutame vastuse numbrilise intervallina või kasutame üldtunnustatud tähistust: naturaalarvude hulk on tähistatud N, täisarvud - Z, reaalarvud - R. Oletame, et kui meil on vaja kirjutada, et võrrandi lahend on suvaline täisarv, siis kirjutame, et x ∈ Z ja kui suvaline reaalarv ühest üheksani, siis y ∈ 1, 9.

Kui võrrandil on kaks, kolm juurt või rohkem, siis reeglina ei räägita juurtest, vaid võrrandi lahenditest. Sõnastame mitme muutujaga võrrandi lahendi definitsiooni.

Definitsioon 5

Kahe, kolme või enama muutujaga võrrandi lahenduseks on muutujate kaks, kolm või enam väärtust, mis muudavad antud võrrandi õigeks arvuliseks võrduseks.

Selgitame definitsiooni näidetega.

Näide 4

Oletame, et meil on avaldis x + y = 7, mis on kahe muutujaga võrrand. Asendame esimese asemel ühe ja teise asemel kaks. Saame vale võrdsuse, mis tähendab, et see väärtuspaar ei ole selle võrrandi lahendus. Kui võtta paar 3 ja 4, siis võrdsus saab tõeseks, mis tähendab, et oleme leidnud lahenduse.

Sellistel võrranditel ei pruugi olla juuri või neid võib olla lõpmatu arv. Kui meil on vaja üles kirjutada kaks, kolm, neli või enam väärtust, siis eraldame need sulgudes komadega. See tähendab, et ülaltoodud näites näeb vastus välja selline (3, 4).

Praktikas tuleb kõige sagedamini tegeleda ühte muutujat sisaldavate võrranditega. Nende lahendamise algoritmi käsitleme üksikasjalikult võrrandite lahendamisele pühendatud artiklis.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Tunni kokkuvõte

"Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid"

11. klassi füüsika ja matemaatika profiil.

Tatarstani Vabariigi Zelenodolski munitsipaalrajoon"

Valieva S.Z.

Tunni teema: Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid

Tunni eesmärk: 1.Uurige erinevaid irratsionaalsete võrrandite lahendamise viise.

1. 
   Arendada oskust üldistada ja õigesti valida irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodeid.
2. 
   Arendada iseseisvust, parandada kõneoskust

Tunni tüüp: seminar.
Tunniplaan:

1. 
   Aja organiseerimine
2. 
   Uue materjali õppimine
3. 
   Konsolideerimine
4. 
   Kodutöö
5. 
   Tunni kokkuvõte

Tundide ajal
I. Korraldamise aeg: tunni teema sõnum, tunni eesmärk.

Eelmises tunnis vaatlesime ruutjuure sisaldavate irratsionaalsete võrrandite lahendamist nende ruudustamisel. Sel juhul saame järelvõrrandi, mis mõnikord viib kõrvaliste juurte ilmnemiseni. Ja siis on võrrandi lahendamise kohustuslik osa juurte kontrollimine. Vaatasime ka võrrandite lahendamist ruutjuure definitsiooni abil. Sel juhul ei pruugita kontrolli läbi viia. Võrrandite lahendamisel ei tasu aga alati kohe “pimesi” võrrandi lahendamise algoritme rakendama hakata. Ühtse riigieksami ülesannetes on päris palju võrrandeid, mille lahendamisel tuleb valida lahendusviis, mis võimaldab võrrandeid lihtsamalt ja kiiremini lahendada. Seetõttu on vaja teada teisi irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodeid, millega täna tutvume. Varem oli klass jaotatud 8 loomingulisse rühma ja neile toodi konkreetseid näiteid, et paljastada konkreetse meetodi olemus. Anname neile sõna.

Igast rühmast selgitab 1 õpilane lastele, kuidas lahendada irratsionaalseid võrrandeid. Kogu klass kuulab ja teeb nende jutu kohta märkmeid.

1 viis. Uue muutuja sissejuhatus.

Lahendage võrrand: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 – 2x – 6 = t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 – 2x – 15 =0

x 2 – 2x – 6 =9;

Vastus: -3; 5.

2. meetod. DL-uuringud.

Lahenda võrrand

ODZ:


x = 2. Kontrollides oleme veendunud, et x = 2 on võrrandi juur.

3 viis. Võrrandi mõlema poole korrutamine konjugaatteguriga.

+
(korrutage mõlemad küljed arvuga -
)

x + 3 – x – 8 = 5 (-)

2=4, seega x=1. Kontrollides oleme veendunud, et x = 1 on selle võrrandi juur.

Lahenda võrrand

Olgu = u,
=v.

Saame süsteemi:

Lahendame asendusmeetodil. Saame u = 2, v = 2. See tähendab

saame x = 1.

Vastus: x = 1.

5 viis. Tervikliku ruudu valimine.

Lahenda võrrand

Laiendame mooduleid. Sest -1≤сos0,5x≤1, siis -4≤сos0,5x-3≤-2, mis tähendab . Samamoodi

Siis saame võrrandi

x = 4πn, nZ.

Vastus: 4πn, nZ.

6 viis. Hindamismeetod

Lahenda võrrand

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, definitsiooni järgi on parem külg -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

saame
need. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Lahendades võrrandi faktoringuga, saame x = 2, x = -2

7. meetod: funktsioonide monotoonsuse omaduste kasutamine.

Lahenda võrrand. Funktsioonid täienevad rangelt. Kasvavate funktsioonide summa suureneb ja sellel võrrandil on maksimaalselt üks juur. Valikuga leiame x = 1.

8 viis. Vektorite kasutamine.

Lahenda võrrand. ODZ: -1≤х≤3.

Laske vektoril
. Vektorite skalaarkorrutis on vasak pool. Leiame nende pikkuste korrutise. See on parem pool. Sain
, st. vektorid a ja b on kollineaarsed. Siit
. Teeme mõlemad pooled ruudu. Võrrandi lahendades saame x = 1 ja x =
.

1. 
   Konsolideerimine.(igale õpilasele antakse töölehed)

Leia idee võrrandite (1-10) lahendamiseks

1.
(ODZ – )

2.
x = 2

3. x 2 – 3x +
(asendamine)

4. (tervikliku ruudu valimine)

5.
(Võrrandi taandamine süsteemiks muutuja sisseviimisega.)

6.
(korrutades konjugaadi avaldisega)

7.
sest
. Siis sellel võrrandil pole juuri.

8. Sest Iga liige on mittenegatiivne, võrdsustame need nulliga ja lahendame süsteemi.

9. 3

10. Leidke võrrandi juur (või juurte korrutis, kui neid on mitu).

Kirjalik iseseisev töö, millele järgneb testimine

lahendage võrrandid numbritega 11,13,17,19

12. (x + 6) 2 -

14.

1. 
   Milliseid neist meetoditest kasutatakse teist tüüpi võrrandite lahendamiseks?
2. 
   Milline neist meetoditest teile kõige rohkem meeldis ja miks?

1. 
   Kodutöö: lahendage ülejäänud võrrandid.

1. 
   Algebra ja matemaatilise analüüsi algus: õpik. 11. klassi jaoks Üldharidus institutsioonid / S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V.Shevkin. M: Prsveshchenie, 2009

1. 
   Didaktilised materjalid algebrast ja analüüsi algusest 11. klassile / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – M.: Haridus, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algebra ja analüüsi algus. 10 – 11 klass: Üldhariduse probleemiraamat. institutsioonid. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A. P., Goloborodko V. V. Iseseisev ja kontrolltöö algebrast ja analüüsi algusest 10. – 11. klassile. – M.: Ilexa, 2004
4. 
   KIM ühtne riigieksam 2002–2010

Kuigi ruutjuure sümboli hirmutav välimus võib matemaatikas kehva inimese võpatama panna, pole ruutjuure ülesanded nii keerulised, kui esmapilgul võib tunduda. Lihtsaid ruutjuureülesandeid saab sageli lahendada sama lihtsalt kui tavalisi korrutamis- või jagamisülesandeid. Teisest küljest võivad keerulisemad ülesanded nõuda mõningast pingutust, kuid õige lähenemise korral ei valmista needki teile raskusi. Alustage probleemide lahendamist nende juurtest juba täna, et õppida seda radikaalset uut matemaatikaoskust!

Sammud

1. osa

1. Korrutage arv ruuduga, korrutades selle endaga. Ruutjuurte mõistmiseks on kõige parem alustada arvude ruutudest. Arvude ruudud on üsna lihtsad: arvu ruutudeks panemine tähendab selle korrutamist iseendaga. Näiteks 3 ruudus on sama, mis 3 × 3 = 9 ja 9 ruudus on sama, mis 9 × 9 = 81. Ruudude märgistamiseks kirjutatakse ruutude arvu kohale paremale väike "2". Näide: 3 2, 9 2, 100 2 ja nii edasi.

   • Kontseptsiooni proovimiseks proovige ise veel mõned numbrid ruutudeks tõmmata. Pidage meeles, et arvu ruutudeks panemine tähendab selle arvu korrutamist iseendaga. Seda saab teha isegi negatiivsete arvude korral. Sel juhul on tulemus alati positiivne. Näiteks: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. Kui tegemist on ruutjuurtega, on protsess ruudukujundamisele vastupidine. Juuresümbol (√, mida nimetatakse ka radikaaliks) tähendab sisuliselt sümboli 2 vastandit. Kui näete radikaali, peate endalt küsima: "Millist arvu saab korrutada iseendaga, et saada juure all olev arv?" Näiteks kui näete √(9), siis peate leidma arvu, mis ruudustamisel annab arvu üheksa. Meie puhul on see arv kolm, sest 3 2 = 9.

   • Vaatame teist näidet ja leiame 25 juure (√(25)). See tähendab, et peame leidma arvu, mis ruudus annab meile 25. Kuna 5 2 = 5 × 5 = 25, võime öelda, et √(25) = 5.
   • Võite seda mõelda ka kui ruutude "tagasivõtmist". Näiteks kui meil on vaja leida √(64), ruutjuur 64-st, siis arvame, et see arv on 8 2 . Kuna juursümbol "tühistab" ruudustamise, võime öelda, et √(64) = √(8 2) = 8.

3. Tea, mis vahe on ideaalsel ja mitteideaalsel ruudukujundamisel. Siiani on meie juurprobleemide vastused olnud head ja ümmargused numbrid, kuid see pole alati nii. Ruutjuure ülesannete vastused võivad olla väga pikad ja ebamugavad kümnendarvud. Arve, mille juured on täisarvud (teisisõnu arve, mis ei ole murdarvud), nimetatakse täiuslikeks ruutudeks. Kõik ülaltoodud näited (9, 25 ja 64) on täiuslikud ruudud, kuna nende juur on täisarv (3,5 ja 8).

   • Teisest küljest nimetatakse mittetäielikeks ruutudeks numbreid, mis juurtesse viides ei anna täisarvu. Kui paned ühe neist arvudest juure alla, saad kümnendmurruga arvu. Mõnikord võib see arv olla üsna pikk. Näiteks √(13) = 3,605551275464...

4. Jäta meelde esimesed 1-12 täisruutu. Nagu olete ilmselt märganud, on täiusliku ruudu juure leidmine üsna lihtne! Kuna need ülesanded on nii lihtsad, tasub meeles pidada esimese tosina täisruudu juuri. Neid numbreid kohtate rohkem kui üks kord, nii et võtke veidi aega, et need varakult pähe õppida ja tulevikus aega säästa.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. Lihtsustage juuri, eemaldades võimaluse korral täielikud ruudud. Osalise ruudu juure leidmine võib mõnikord osutuda keeruliseks, eriti kui te ei kasuta kalkulaatorit (vt allpool olevast jaotisest mõningaid nippe selle protsessi hõlbustamiseks). Sageli saate aga juure all olevat numbrit lihtsustada, et sellega oleks lihtsam töötada. Selleks peate lihtsalt jagama juure all oleva arvu teguriteks ja seejärel leidma teguri juur, mis on täiuslik ruut, ja kirjutage see juurest väljapoole. See on lihtsam kui tundub. Lisateabe saamiseks lugege edasi.

   • Oletame, et peame leidma 900 ruutjuure. Esmapilgul tundub see üsna raske ülesanne! Siiski pole see nii raske, kui jagame arvu 900 teguriteks. Tegurid on arvud, mis korrutatakse üksteisega uue arvu saamiseks. Näiteks saab arvu 6 saada, korrutades 1 × 6 ja 2 × 3, selle tegurid on arvud 1, 2, 3 ja 6.
   • Selle asemel, et leida 900 juur, mis on veidi keeruline, kirjutagem 900 kui 9 x 100. Nüüd, kui 9, mis on täiuslik ruut, on eraldatud 100-st, leiame selle juure. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Teisisõnu, √(900) = 3√(100).
   • Võime isegi minna kaugemale, jagades 100 kaheks teguriks, 25 ja 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Seega võime öelda, et √(900) = 3(10) = 30

6. Kasutage imaginaarseid numbreid negatiivse arvu juure leidmiseks. Küsige endalt, milline arv annab iseendaga korrutamisel -16? See ei ole 4 ega -4, sest nende numbrite ruudustamisel saame positiivseks arvuks 16. Kas olete alla andnud? Tavalistesse numbritesse ei saa tegelikult kuidagi kirjutada -16 juurt või mõnda muud negatiivset arvu. Sel juhul peame negatiivse arvu juure asendamiseks asendama kujuteldavad numbrid (tavaliselt tähtede või sümbolite kujul). Näiteks muutujat "i" kasutatakse tavaliselt -1 juure võtmiseks. Negatiivse arvu juur on reeglina alati kujuteldav arv (või sellesse kaasatud).

   • Tea, et kuigi imaginaarseid arve ei saa esitada tavaarvudega, saab neid siiski sellistena käsitleda. Näiteks saab negatiivse arvu ruutjuure ruudustada, et anda neile negatiivsetele arvudele nagu igale teisele ruutjuur. Näiteks i 2 = -1

   2. osa

   Jagamisalgoritmi kasutamine

   1. Kirjuta juurülesanne pika jagamise ülesandena. Kuigi see võib olla üsna aeganõudev, saate sel viisil lahendada osalise ruutjuure probleemi ilma kalkulaatorit kasutamata. Selleks kasutame lahendusmeetodit (või algoritmi), mis on sarnane (kuid mitte täpselt sama) tavalisele pikajagamisele.

      • Esmalt kirjutage probleem juurega samal kujul nagu pika jagamise korral. Oletame, et tahame leida ruutjuure 6,45, mis ei ole kindlasti täiuslik ruut. Kõigepealt kirjutame tavalise ruudu sümboli ja seejärel kirjutame selle alla numbri. Järgmisena tõmbame numbri kohale joone, nii et see satuks väikesesse kasti, nagu veeruga jagades. Pärast seda on meil pika sabaga juur ja selle all number 6.45.
      • Kirjutame numbrid juure kohale, seega jätke sinna kindlasti ruumi.

   2. Rühmitage numbrid paaridesse.Ülesande lahendamise alustamiseks peate rühmitama radikaali all oleva arvu numbrid paaridesse, alustades kümnendmurru punktist. Kui soovite, võite segaduse vältimiseks paaride vahele teha väikesed märgid (nt punktid, kaldkriipsud, komad jne).

      • Meie näites peame jagama arvu 6.45 paarideks järgmiselt: 6-.45-00. Pange tähele, et vasakul on "jäänud" number - see on normaalne.

   3. Leia suurim arv, mille ruut on väiksem või võrdne esimese "rühmaga". Alustage esimesest numbrist või paarist vasakul. Valige suurim arv, mille ruut on väiksem või võrdne ülejäänud "rühmaga". Näiteks kui rühmas oli 37, siis valite numbri 6, sest 6 2 = 36< 37, а 7 2 = 49 >37. Kirjuta see number esimese rühma kohale. See on teie vastuse esimene number.

      • Meie näites on 6-,45-00 esimene rühm arv 6. Suurim arv, mis on väiksem kui 6 ruudus või sellega võrdne, on 2 2 = 4. Kirjutage arv 2 arvu 6 kohale, mis on juure all.

   4. Kahekordistage just kirjutatud arv, seejärel langetage see juureni ja lahutage see. Võtke oma vastuse esimene number (number, mille just leidsite) ja kahekordistage see. Kirjutage tulemus oma esimese rühma alla ja lahutage erinevuse leidmiseks. Asetage oma vastuse kõrvale järgmine numbripaar. Lõpuks kirjutage vasakule vastuse esimese kahekordse kahekordse viimane number ja jätke selle kõrvale tühik.

      • Meie näites alustame arvu 2 kahekordistamisega, mis on meie vastuse esimene number. 2 × 2 = 4. Seejärel lahutame 6-st 4 (meie esimene "rühm"), jättes lõppu väikese tühiku, näiteks: 4_

   5. Täida lünk. Seejärel peate lisama numbri vasakul oleva kirjutatud numbri paremale küljele. Valige arv, mis teie uue arvuga korrutatuna annaks teile suurima võimaliku tulemuse, mis oleks "välja jäetud" arvust väiksem või sellega võrdne. Näiteks kui teie "välja jäetud" number on 1700 ja vasakpoolne number on 40_, peate sisestama tühikusse numbri 4, kuna 404 × 4 = 1616< 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • Meie näites peame leidma arvu ja kirjutama selle tühikutesse 4_ × _, et vastus oleks võimalikult suur, kuid siiski väiksem või võrdne 245-ga. Meie puhul on see arv 5. 45 × 5 = 225, samas kui 46 × 6 = 276

   6. Jätkake vastuse leidmiseks "tühjade" numbrite kasutamist. Jätkake selle muudetud pika jaotuse lahendamist, kuni hakkate "välja jäetud" arvu lahutamisel saama nulle või kuni saavutate vastuse soovitud täpsuse. Kui olete lõpetanud, moodustavad teie vastuse numbri numbrid, mida kasutasite igas etapis lünkade täitmiseks (pluss kõige esimene number).

      • Jätkates meie näitega, lahutame 245-st 225, et saada 20. Seejärel jätame järgmise numbripaari 00, et saada 2000. Kahekordistame juuremärgi kohal olevat arvu. Saame 25 × 2 = 50. Lahendades näite tühikutega, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. Liigutage koma algsest "dividendi" numbrist ettepoole. Vastuse lõpetamiseks peate panema koma õigesse kohta. Õnneks on seda üsna lihtne teha. Kõik, mida pead tegema, on joondada see algse numbripunktiga. Näiteks kui arv 49,8 on juure all, peate kahe numbri vahele üheksa ja kaheksa kohal asetama punkti.

      • Meie näites on radikaali all olev arv 6,45, nii et me lihtsalt liigutame punkti ja asetame selle vastuses numbrite 2 ja 5 vahele, saades vastuseks 2,539.

   3. osa

   Loendage kiiresti osalised ruudud

   1. Leidke mittetäielikud ruudud neid loendades. Kui olete täiuslikud ruudud meelde jätnud, muutub ebatäiuslike ruutude juure leidmine palju lihtsamaks. Kuna teate juba tosinat täiuslikku ruutu, saate leida iga arvu, mis jääb nende kahe täiusliku ruudu vahele, vähendades kõik nende väärtuste vahelise ligikaudse arvuni. Alustuseks leidke kaks täiuslikku ruutu, mille vahel teie arv on. Seejärel määrake, millisele neist numbritest teie number on lähemal.

      • Oletame näiteks, et peame leidma arvu 40 ruutjuure. Kuna oleme jätnud täiuslikud ruudud meelde, võime öelda, et arv 40 on vahemikus 6 2 ja 7 2 või arvud 36 ja 49. Kuna 40 on suurem kui 6 2, on selle juur suurem kui 6 ja kuna see on väiksem kui 7 2 , on selle juur ka väiksem kui 7. 40 on veidi lähemal 36-le kui 49, seega on vastus tõenäoliselt veidi lähemal 6-le Kitsendame oma vastust järgmiste sammude jooksul.
      Järgmine asi, mida peaksite tegema, on ligikaudne arv ruudus. Tõenäoliselt pole teil õnne ja te ei saa algset numbrit. See on kas veidi suurem või veidi väiksem. Kui teie tulemus on liiga kõrge, proovige uuesti, kuid veidi väiksema palliplatsi numbriga (ja vastupidi, kui tulemus on liiga madal).
      • Korrutage 6,4 iseendaga ja saate 6,4 x 6,4 = 40,96, mis on natuke rohkem kui algne arv.
      • Kuna meie vastus oli suurem, peame arvu ligikaudseks korrutama kümnendiku võrra vähem ja saama järgmise: 6,3 × 6,3 = 39,69. See on veidi väiksem kui algne arv. See tähendab, et 40 ruutjuur on vahemikus 6,3–6,4. Jällegi, kuna 39,69 on lähemal 40-le kui 40,96, teame, et ruutjuur on lähemal 6,3-le kui 6,4-le.

   2. Jätkake arvutamist. Siinkohal, kui olete oma vastusega rahul, võite lihtsalt teha esimese arvatava oletuse. Kui aga soovite täpsemat vastust, peate vaid valima ligikaudse väärtuse kahe kümnendkohaga, mis asetab selle ligikaudse väärtuse kahe esimese numbri vahele. Kui jätkate seda arvutust, saate vastuseks kolm, neli või enam kohta pärast koma. Kõik sõltub sellest, kui kaugele soovite minna.

      • Meie näite puhul valime kahe kümnendkoha täpsusega ligikaudseks väärtuseks 6,33. Korrutage 6,33 iseendaga, et saada 6,33 x 6,33 = 40,0689. kuna see on meie arvust veidi suurem, siis võtame väiksema arvu, näiteks 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. See vastus on veidi väiksem kui meie arv, seega teame, et täpne ruutjuur on vahemikus 6,32–6,33. Kui tahaksime jätkata, kasutaksime sama lähenemisviisi, et saada vastus, mis muutuks üha täpsemaks.
   • Kiire lahenduse leidmiseks kasutage kalkulaatorit. Enamik kaasaegseid kalkulaatoreid leiavad koheselt numbri ruutjuure. Kõik, mida pead tegema, on sisestada oma number ja seejärel klõpsata juurmärgi nuppu. Näiteks 841 juure leidmiseks vajutage 8, 4, 1 ja (√). Selle tulemusena saate vastuse 39.

Irratsionaalsete võrrandite lahendamine.

Selles artiklis räägime lahendustest lihtsaimad irratsionaalvõrrandid.

Irratsionaalne võrrand on võrrand, mis sisaldab juurmärgi all tundmatut.

Vaatame kahte tüüpi irratsionaalsed võrrandid, mis on esmapilgul väga sarnased, kuid sisuliselt on üksteisest väga erinevad.

(1)

(2)

Esimeses võrrandis näeme, et tundmatu on kolmanda astme juure märgi all. Saame võtta negatiivse arvu paaritu juure, seega pole selles võrrandis piiranguid ei juurmärgi all olevale ega võrrandi paremal küljel olevale avaldisele. Võime tõsta võrrandi mõlemad pooled kolmanda astmeni, et vabaneda juurest. Saame samaväärse võrrandi:

Tõstates võrrandi parema ja vasaku külje paaritu astmeni, ei saa me karta kõrvaliste juurte saamist.

Näide 1. Lahendame võrrandi

Tõstame võrrandi mõlemad pooled kolmanda astmeni. Saame samaväärse võrrandi:

Liigutame kõik terminid ühele poole ja paneme x sulgudest välja:

Võrdstades iga teguri nulliga, saame:

Vastus: (0;1;2)

Vaatame lähemalt teist võrrandit: . Võrrandi vasakul küljel on ruutjuur, mis võtab ainult mittenegatiivsed väärtused. Seega, et võrrandil oleks lahendid, peab ka parem pool olema mittenegatiivne. Seetõttu on võrrandi paremal küljel kehtestatud tingimus:

Title="g(x)>=0"> - это !} juurte olemasolu tingimus.

Seda tüüpi võrrandi lahendamiseks peate võrrandi mõlemad pooled ruutu tegema:

(3)

Ruudukujundamine võib põhjustada kõrvaliste juurte ilmumist, seega vajame võrrandeid:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

Tingimusest (3) tuleneb aga ebavõrdsus (4): kui võrdsuse parem pool sisaldab mõne avaldise ruutu ja mis tahes avaldise ruut võib võtta ainult mittenegatiivseid väärtusi, siis peab ka vasak pool olema mittenegatiivsed. negatiivne. Seetõttu tuleneb tingimus (4) automaatselt tingimusest (3) ja meie võrrand on samaväärne süsteemiga:

Title="delim(lbrace)(maatriks(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Näide 2. Lahendame võrrandi:

.

Liigume edasi samaväärse süsteemi juurde:

Title="delim(lbrace)(maatriks(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Lahendame süsteemi esimese võrrandi ja kontrollime, millised juured rahuldavad ebavõrdsust.

Ebavõrdsus title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Vastus: x=1

Tähelepanu! Kui lahendamise käigus paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu, siis peame meeles pidama, et võivad ilmneda kõrvalised juured. Seetõttu peate kas liikuma edasi samaväärse süsteemi juurde või lahenduse lõpus TEHA KONTROLL: leidke juured ja asendage need algse võrrandiga.

Näide 3. Lahendame võrrandi:

Selle võrrandi lahendamiseks peame ka mõlemad pooled ruutu tegema. Ärme tegeleme ODZ ja juurte olemasolu tingimusega selles võrrandis, vaid teeme lahenduse lõpus lihtsalt kontrolli.

Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:

Liigutame juurt sisaldava termini vasakule ja kõik muud terminid paremale:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled uuesti ruutu:

Vieta teemal:

Teeme kontrolli. Selleks asendame leitud juured algsesse võrrandisse. Ilmselgelt on algse võrrandi parempoolne pool negatiivne ja vasakpoolne positiivne.

Saavutame õige võrdsuse.