Kuidas korrutada algarvu hariliku murruga. Võrrandisüsteemi koostamine

20.10.2019

Teine tehe, mida saab teha tavaliste murdudega, on korrutamine. Püüame selgitada selle põhireegleid ülesannete lahendamisel, näidata, kuidas harilik murd korrutatakse naturaalarvuga ja kuidas õigesti korrutada kolm harilikku murru või rohkem.

Esmalt paneme kirja põhireegli:

Definitsioon 1

Kui korrutame ühe hariliku murru, siis on saadud murru lugeja võrdne algsete murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on võrdne nende nimetajate korrutisega. Sõnasõnalises vormis saab seda kahe murdosa a / b ja c / d korral väljendada kujul a b · c d = a · c b · d.

Vaatame näidet selle reegli õige rakendamise kohta. Oletame, et meil on ruut, mille külg on võrdne ühe arvühikuga. Siis on joonise pindala 1 ruut. üksus. Kui jagame ruudu võrdseteks ristkülikuteks, mille küljed on võrdsed 1 4 ja 1 8 arvühikuga, saame, et see koosneb nüüd 32 ristkülikust (sest 8 4 = 32). Sellest lähtuvalt on igaühe pindala võrdne 1 32-ga kogu joonise pindalast, s.o. 132 ruutmeetrit ühikut.

Meil on varjutatud fragment, mille küljed on võrdsed 5 8 arvühikuga ja 3 4 numbriühikuga. Sellest lähtuvalt peate selle pindala arvutamiseks korrutama esimese murdosa teisega. See võrdub 5 8 · 3 4 ruutmeetriga. ühikut. Kuid me võime lihtsalt kokku lugeda, mitu ristkülikut fragmendis on: neid on 15, mis tähendab, et kogupindala on 15 32 ruutühikut.

Kuna 5 3 = 15 ja 8 4 = 32, saame kirjutada järgmise võrdsuse:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

See kinnitab reeglit, mille me sõnastasime harilike murdude korrutamiseks, mis on väljendatud kujul a b · c d = a · c b · d. See toimib ühtmoodi nii õigete kui ka sobimatute murdude puhul; Seda saab kasutada nii erinevate kui ka identsete nimetajatega murdude korrutamiseks.

Vaatame lahendusi mitmele probleemile, mis on seotud harilike murdude korrutamisega.

Näide 1

Korrutage 7 11 9 8-ga.

Lahendus

Esiteks arvutame näidatud murdude lugejate korrutise, korrutades 7 9-ga. Meil on 63. Seejärel arvutame nimetajate korrutise ja saame: 11 · 8 = 88. Koostame kaks arvu ja vastus on: 63 88.

Kogu lahenduse saab kirjutada järgmiselt:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Vastus: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Kui saame oma vastuses taandatava murdosa, peame arvutuse lõpule viima ja selle redutseerima. Kui saame vale murdu, peame kogu osa sellest eraldama.

Näide 2

Arvutage murdarvude korrutis 4 15 ja 55 6 .

Lahendus

Eespool uuritud reegli kohaselt peame korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Lahenduse kirje näeb välja selline:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Saime taandatava murdosa, st. üks, mis jagub 10-ga.

Vähendame murdosa: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Selle tulemusena saame vale murru, millest valime kogu osa ja saame segaarvu: 22 9 = 2 4 9.

Vastus: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Arvutamise hõlbustamiseks saame enne korrutustehte sooritamist ka algseid murde vähendada, selleks peame murde taandada kujule a · c b · d. Jagame muutujate väärtused lihtsateks teguriteks ja vähendame samu.

Selgitame, kuidas see konkreetse ülesande andmeid kasutades välja näeb.

Näide 3

Arvutage korrutis 4 15 55 6.

Lahendus

Kirjutame üles arvutused korrutusreegli alusel. Me saame:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Kuna 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ja 6 = 2 3, siis 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Vastus: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Arvulisel avaldisel, milles harilikud murded korrutatakse, on kommutatiivne omadus, see tähendab, et vajadusel saame tegurite järjekorda muuta:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kuidas korrutada murdosa naturaalarvuga

Paneme põhireegli kohe kirja ja proovime siis seda praktikas selgitada.

2. definitsioon

Hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga peate korrutama selle murru lugeja selle arvuga. Sel juhul on lõpliku murru nimetaja võrdne algse hariliku murru nimetajaga. Teatud murdosa a b korrutamise naturaalarvuga n saab kirjutada valemiga a b · n = a · n b.

Seda valemit on lihtne mõista, kui mäletate, et mis tahes naturaalarvu saab esitada tavalise murdena, mille nimetaja on võrdne ühega, see tähendab:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Selgitagem oma ideed konkreetsete näidetega.

Näide 4

Arvutage korrutis 2 27 korda 5.

Lahendus

Kui korrutada algmurru lugeja teise teguriga, saame 10. Ülalkirjeldatud reegli kohaselt saame tulemuseks 10 27. Kogu lahendus on toodud selles postituses:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Vastus: 2 27 5 = 10 27

Kui korrutame naturaalarvu murdosaga, peame sageli tulemust lühendama või esitama segaarvuna.

Näide 5

Tingimus: arvutage korrutis 8 korda 5 12.

Lahendus

Vastavalt ülaltoodud reeglile korrutame naturaalarvu lugejaga. Selle tulemusena saame, et 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Lõplikul murdosal on 2-ga jaguvuse märgid, seega peame seda vähendama:

LCM (40, 12) = 4, seega 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Nüüd jääb meil vaid kogu osa välja valida ja valmis vastus kirja panna: 10 3 = 3 1 3.

Selles kirjes näete kogu lahendust: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Samuti saaksime murdosa vähendada, arvutades lugeja ja nimetaja algteguriteks ja tulemus oleks täpselt sama.

Vastus: 5 12 8 = 3 1 3.

Arvulisel avaldisel, milles naturaalarv korrutatakse murdosaga, on samuti nihke omadus, see tähendab, et tegurite järjekord ei mõjuta tulemust:

a b · n = n · a b = a · n b

Kuidas korrutada kolm või enam harilikku murru

Harilike murdude korrutamise tegevusele saame laiendada samu omadusi, mis on iseloomulikud naturaalarvude korrutamisele. See tuleneb nende mõistete definitsioonist.

Tänu kombineerimis- ja kommutatiivsete omaduste tundmisele saate korrutada kolme või enama hariliku murru. Suurema mugavuse huvides on vastuvõetav tegurite ümberpaigutamine või sulgude paigutamine viisil, mis hõlbustab loendamist.

Näitame näitega, kuidas seda tehakse.

Näide 6

Korrutage neli tavalist murdu 1 20, 12 5, 3 7 ja 5 8.

Lahendus: Esmalt salvestame töö. Saame 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Peame kõik lugejad ja nimetajad kokku korrutama: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Enne kui hakkame korrutama, saame asju enda jaoks veidi lihtsamaks teha ja lisada mõned arvud edasise vähendamise algteguriteks. See on lihtsam kui juba valmis fraktsiooni vähendamine.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Vastus: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.

Näide 7

Korrutage 5 arvu 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Lahendus

Mugavuse huvides saame rühmitada murdarvu 7 8 numbriga 8 ja arvu 12 murdarvuga 5 36, kuna tulevased lühendid on meile ilmsed. Selle tulemusena saame:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3

Vastus: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Tunni sisu

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine

Murdude liitmist on kahte tüüpi:

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Esiteks õpime sarnase nimetajaga murdude liitmist. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta. Näiteks liidame murrud ja . Lisage lugejad ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2. Lisage fraktsioonid ja .

Vastuseks osutus vale murd. Kui ülesande lõpp saabub, on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima kogu selle osa. Meie puhul on kogu osa kergesti eraldatav - kaks jagatud kahega võrdub ühega:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Jällegi liidame lugejad kokku ja jätame nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate pizza:

Näide 4. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude liitmises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

Sama nimetajaga murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta;

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas lisada erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa kohe lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna vaatleme neist ainult ühte, kuna teised meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et esmalt otsitakse mõlema murru nimetajate LCM-i. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga, et saada esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine lisategur.

Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.

Näide 1. Liidame kokku murrud ja

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd pöördume tagasi murdude ja . Esiteks jagage LCM esimese murru nimetajaga ja hankige esimene lisategur. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisakordaja. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks tehke murru kohale väike kaldus joon ja kirjutage üles selle kohal leitud lisategur:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine lisakordaja. Kirjutame selle teise murruni. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame üles selle kohal leitud lisateguri:

Nüüd on meil kõik lisamiseks valmis. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Vaadake hoolikalt, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Toome selle näite lõpuni:

See lõpetab näite. Selgub, et lisada.

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsa, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Vähendades murde ja ühise nimetaja, saime murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsatükid. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).

Esimene joonis kujutab murdosa (neli tükki kuuest) ja teine joonis kujutab murdosa (kolm tükki kuuest). Lisades need tükid saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu tõstsime esile kogu selle osa. Tulemuseks saime (ühe terve pitsa ja teise kuuenda pitsa).

Pange tähele, et oleme seda näidet liiga üksikasjalikult kirjeldanud. Haridusasutustes pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama leitud lisategurid lugejate ja nimetajatega. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:

Kuid mündil on ka teine külg. Kui te matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tee, hakkavad ilmnema omalaadsed küsimused. “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

Leia murdude nimetajate LCM;
Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur;
Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
Kui vastus osutub valeks murruks, valige selle kogu osa;

Näide 2. Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud juhiseid.

Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saame teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saame kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Etapp 3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

4. samm. Lisage samade nimetajatega murded

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Jääb vaid need murded lisada. Lisage see:

Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, liigutatakse see järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse on vaja panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.

5. samm. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, siis valige kogu selle osa

Meie vastus osutus valeks murdarvuks. Peame esile tõstma terve osa sellest. Toome esile:

Saime vastuse

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine

Murdude lahutamist on kahte tüüpi:

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Esiteks õpime, kuidas lahutada murde sarnaste nimetajatega. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja, kuid jätma nimetaja samaks.

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast tuleb lahutada ülejäänud murdude lugejad:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata;
Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks võite murdosast lahutada murdosa, kuna murdudel on samad nimetajad. Kuid te ei saa murdosast murda lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Ühine nimetaja leitakse samal põhimõttel, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse esimese murru kohale. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine lisategur, mis kirjutatakse teise murru kohale.

Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusena teisendatakse erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.

Näide 1. Leidke väljendi tähendus:

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need taandama samale (ühise) nimetajale.

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd pöördume tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutage esimese murru kohale neli:

Teeme sama teise murdosaga. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolm:

Nüüd oleme lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Toome selle näite lõpuni:

Saime vastuse

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsa, saad pizza

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Murdude taandamist ühisele nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Nende murdude taandamisel ühiseks nimetajaks saime murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale):

Esimesel pildil on murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Lõikates kaheksast tükist kolm tükki, saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, nii et kõigepealt peate need taandama samale (ühisnimetajale).

Leiame nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagage LCM iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastuseks osutus tavaline murd ja kõik tundub meile sobivat, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda murdosa lühendada.

Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (GCD) arvudest 20 ja 30.

Niisiis, leiame numbrite 20 ja 30 gcd:

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murru lugeja ja nimetaja leitud gcd-ga, see tähendab 10-ga

Saime vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murdosa lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Salvestusest võib aru saada, et võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtad pizza üks kord, saad pizza

Korrutamise seadustest teame, et kui korrutis ja tegur vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:

Seda tähistust võib mõista nii, et see võtab poole ühest. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtad 4 pitsat, saad kaks tervet pitsat

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja, saame avaldise . See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Näide 1. Leidke avaldise väärtus.

Saime vastuse. Soovitav on seda osa vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Teeme pitsat. Pidage meeles, kuidas pitsa kolmeks osaks jagatuna välja näeb:

Üks tükk sellest pitsast ja kahel meie võetud tükil on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime sama suurusega pitsast. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastuseks osutus tavaline murd, aga hea oleks, kui seda lühendaks. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murru lugeja ja nimetaja arvude 105 ja 450 suurima ühisjagajaga (GCD).

Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 gcd:

Nüüd jagame oma vastuse lugeja ja nimetaja nüüd leitud gcd-ga, see tähendab 15-ga

Täisarvu esitamine murruna

Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . See ei muuda viie tähendust, kuna väljend tähendab "arvu viis jagatud ühega" ja see, nagu me teame, võrdub viiega:

Vastastikused numbrid

Nüüd tutvume väga huvitava matemaatika teemaga. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühe.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühe.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et see on võimalik. Kujutagem ette viit murdosana:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult tagurpidi:

Mis selle tulemusena saab? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv , sest kui korrutate 5-ga, saate ühe.

Arvu pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu kohta.

Samuti saate leida mis tahes muu murru pöördarvu. Selleks keerake see lihtsalt ümber.

Murru jagamine arvuga

Oletame, et meil on pool pitsat:

Jagame selle kahe vahel võrdselt. Kui palju pizzat iga inimene saab?

Näha on, et peale poole pitsa jagamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.

Murdude jagamine toimub pöördarvude abil. Vastastikused numbrid võimaldavad asendada jagamise korrutamisega.

Murru jagamiseks arvuga tuleb murdosa korrutada jagaja pöördväärtusega.

Seda reeglit kasutades paneme kirja meie poole pitsa jagamise kaheks osaks.

Seega peate murdosa jagama arvuga 2. Siin on dividend murdosa ja jagaja on arv 2.

Murru jagamiseks arvuga 2 peate selle murdosa korrutama jagaja 2 pöördarvuga. Jagaja 2 pöördarvuks on murd. Nii et peate korrutama

Vaatleme tavaliste murdude korrutamist mitmes võimalikus variandis.

Hariliku murru korrutamine murdosaga

See on kõige lihtsam juhtum, mille puhul peate kasutama järgmist murdude korrutamise reeglid.

To korrutada murdosa murdosaga, vajalik:

korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja kirjutage nende korrutis uue murru lugejasse;
korrutage esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga ja kirjutage nende korrutis uue murru nimetajasse;

Enne lugejate ja nimetajate korrutamist kontrollige, kas murde saab vähendada. Murdude vähendamine arvutustes muudab teie arvutused palju lihtsamaks.

Murru korrutamine naturaalarvuga

Et teha murdosa korrutada naturaalarvuga Peate korrutama murdosa lugeja selle arvuga ja jätma murdosa nimetaja muutmata.

Kui korrutamise tulemus on vale murd, ärge unustage muuta seda segaarvuks, st tõstke esile kogu osa.

Segaarvude korrutamine

Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt muutma valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.

Teine võimalus murdosa korrutamiseks naturaalarvuga

Mõnikord on arvutuste tegemisel mugavam kasutada mõnda muud meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.

Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja samaks.

Nagu näitest näha, on seda reegli versiooni mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagub naturaalarvuga ilma jäägita.

Tehted murdudega

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine

Murdude liitmist on kahte tüüpi:

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2. Lisage fraktsioonid ja .

Jällegi liidame lugejad kokku ja jätame nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate pizza:

Näide 4. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude liitmises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

Sama nimetajaga murdude liitmiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja samaks;
Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas lisada erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa kohe lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna vaatleme neist ainult ühte, kuna teised meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et esmalt otsime mõlema murdosa nimetajate vähim ühiskorda (LCM). Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga, et saada esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine lisategur.

Näide 1. Liidame kokku murrud ja

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need taandama samale (ühise) nimetajale.

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd pöördume tagasi murdude ja . Esiteks jagage LCM esimese murru nimetajaga ja hankige esimene lisategur. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisakordaja. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks tehke murru kohale väike kaldus joon ja kirjutage üles selle kohal leitud lisategur:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine lisakordaja. Kirjutame selle teise murruni. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame üles selle kohal leitud lisateguri:

Nüüd on meil kõik lisamiseks valmis. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

See lõpetab näite. Selgub, et lisada.

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsa, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

Leia murdude nimetajate LCM;
Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur;
Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
Kui vastus osutub valeks murruks, valige selle kogu osa;

Näide 2. Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud diagrammi.

1. samm. Leidke murdude nimetajate jaoks LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4. Peate leidma nende arvude LCM-i:

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saame teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saame kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Etapp 3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

4. samm. Lisage samade nimetajatega murded

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Jääb vaid need murded lisada. Lisage see:

5. samm. Kui vastus osutub valeks murdeks, siis tõstke esile kogu selle osa

Meie vastus osutus valeks murdarvuks. Peame esile tõstma terve osa sellest. Toome esile:

Saime vastuse

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine

Murdude lahutamist on kahte tüüpi:

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja samaks:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast tuleb lahutada ülejäänud murdude lugejad:

Vastus oli vale murd. Kui näide on lõpetatud, on tavaks valest murdest lahti saada. Vabaneme vastuses valemurdust. Selleks valime selle kogu osa:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks;

Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näide 1. Leidke väljendi tähendus:

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd pöördume tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutage esimese murru kohale neli:

Teeme sama teise murdosaga. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolm:

Nüüd oleme lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Toome selle näite lõpuni:

Saime vastuse

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsa, saad pizza

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, nii et kõigepealt peate need taandama samale (ühisnimetajale).

Leiame nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagage LCM iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastuseks osutus tavaline murd ja kõik tundub meile sobivat, kuid see on liiga tülikas ja kole. Seda oleks vaja lihtsamaks ja esteetilisemaks muuta. Mida saaks teha? Saate seda murdosa lühendada. Tuletame meelde, et murdosa vähendamine on lugeja ja nimetaja jagamine lugeja ja nimetaja suurima ühise jagajaga.

Murru õigeks vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja arvude 20 ja 30 suurima ühisjagajaga (GCD).

GCD-d ei tohiks segi ajada NOC-ga. Paljude algajate levinuim viga. GCD on suurim ühine jagaja. Leiame, et see vähendab murdosa.

Ja LCM on vähim ühine kordne. Leiame selle selleks, et tuua murded samale (ühisele) nimetajale.

Nüüd leiame arvude 20 ja 30 suurima ühisjagaja (GCD).

Niisiis, leiame GCD numbrite 20 ja 30 jaoks:

GCD (20 ja 30) = 10

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murdosa lugeja ja nimetaja 10-ga:

Saime ilusa vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murdosa lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Salvestusest võib aru saada, et võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtad pizza üks kord, saad pizza

Seda tähistust võib mõista nii, et see võtab poole ühest. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtad 4 pitsat, saad kaks tervet pitsat

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja, saame avaldise . See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Näide 1. Leidke avaldise väärtus.

Saime vastuse. Soovitav on seda osa vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Teeme pitsat. Pidage meeles, kuidas pitsa kolmeks osaks jagatuna välja näeb:

Üks tükk sellest pitsast ja kahel meie võetud tükil on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime sama suurusega pitsast. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

Vastuseks osutus tavaline murd, aga hea oleks, kui seda lühendaks. Selle murdosa vähendamiseks tuleb see jagada lugeja ja nimetaja gcd-ga. Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 gcd:

GCD (105 ja 150) on 15

Nüüd jagame oma vastuse lugeja ja nimetaja gcd-ga:

Täisarvu esitamine murruna

Vastastikused numbrid

Nüüd tutvume väga huvitava matemaatika teemaga. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrile a on arv, mis korrutatuna a annab ühe.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühe.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et see on võimalik. Kujutagem ette viit murdosana:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutage murdosa iseendaga, ainult tagurpidi:

Mis selle tulemusena saab? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv , sest kui korrutate 5-ga, saate ühe.

Arvu pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu kohta.

3 pöördväärtus on murd
4 pöördväärtus on murd

Samuti saate leida mis tahes muu murru pöördarvu. Selleks keerake see lihtsalt ümber.

Murru murdosa või murdosa arvuga korrektseks korrutamiseks peate teadma lihtsaid reegleid. Nüüd analüüsime neid reegleid üksikasjalikult.

Hariliku murru korrutamine murdosaga.

Murru korrutamiseks murdosaga peate arvutama nende murdude lugejate ja nimetajate korrutise.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Vaatame näidet:
Korrutame esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja korrutame ka esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ korda 3) (7 \ korda 3) = \frac(4) (7)\\\)

Murd \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) vähendati 3 võrra.

Murru korrutamine arvuga.

Kõigepealt tuletagem meelde reeglit, mis tahes arvu saab esitada murdena \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Kasutame seda reeglit korrutamisel.

\(5 \ korda \ frac (4) (7) = \ frac (5) (1) \ korda \ frac (4) (7) = \ frac (5 \ korda 4) (1 \ korda 7) = \ frac (20) (7) = 2\frac(6) (7)\\\)

Vale murd \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) teisendatuna segamurruks.

Teisisõnu, Arvu korrutamisel murdosaga korrutame arvu lugejaga ja nimetaja jätame muutmata. Näide:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Segamurdude korrutamine.

Segamurdude korrutamiseks peate esmalt esitama iga segamurru valemurruna ja seejärel kasutama korrutamisreeglit. Korrutame lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga.

Näide:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ korda 6) = \frac(3 \ korda \värv(punane) (3) \ korda 23) (4 \ korda 2 \ korda \värv(punane) (3)) = \frac(69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Vastastikuste murdude ja arvude korrutamine.

Murd \(\bf \frac(a)(b)\) on murdosa \(\bf \frac(b)(a)\ pöördväärtus, tingimusel et a≠0,b≠0.
Murrud \(\bf \frac(a)(b)\) ja \(\bf \frac(b)(a)\) nimetatakse vastastikusteks murdudeks. Vastastikuste murdude korrutis on 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Näide:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Seotud küsimused:
Kuidas korrutada murdosa murdosaga?
Vastus: Harilike murdude korrutis on lugeja korrutamine lugejaga, nimetaja nimetajaga. Segafraktsioonide korrutise saamiseks peate need teisendama valeks fraktsiooniks ja korrutama vastavalt reeglitele.

Kuidas korrutada erinevate nimetajatega murde?
Vastus: pole vahet, kas murdudel on samad või erinevad nimetajad, korrutamine toimub vastavalt reeglile, mille kohaselt leitakse lugeja lugejaga, nimetaja ja nimetaja korrutis.

Kuidas segatud murde korrutada?
Vastus: kõigepealt peate segamurru teisendama valeks murruks ja seejärel leidma korrutise korrutamisreeglite järgi.

Kuidas korrutada arvu murdosaga?
Vastus: korrutame arvu lugejaga, kuid nimetaja jätame samaks.

Näide nr 1:
Arvutage korrutis: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7) (11)\) b) \(\frac(2) (15) \times \frac(10) (13) \ )

Lahendus:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \ korda 2 \ korda \värv( punane) (5)) (3 \ korda \värv (punane) (5) \ korda 13) = \frac(4) (39)\)

Näide nr 2:
Arvutage arvu ja murru korrutised: a) \(3 \times \frac(17) (23)\) b) \(\frac(2) (3) \times 11\)

Lahendus:
a) \(3 \ korda \ frac (17) (23) = \ frac (3) (1) \ korda \ frac (17) (23) = \ frac (3 \ korda 17) (1 \ korda 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11) (3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Näide nr 3:
Kirjutage murru \(\frac(1)(3)\) pöördväärtus?
Vastus: \(\frac(3)(1) = 3\)

Näide nr 4:
Arvutage kahe vastastikku pöördmurru korrutis: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Lahendus:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Näide nr 5:
Kas pöördmurrud võivad olla:
a) samaaegselt õigete murdudega;
b) samaaegselt valemurrud;
c) samaaegselt naturaalarvud?

Lahendus:
a) esimesele küsimusele vastamiseks toome näite. Murd \(\frac(2)(3)\) on õige, selle pöördmurd on võrdne \(\frac(3)(2)\) - vale murd. Vastus: ei.

b) peaaegu kõigis murdude loendustes ei ole see tingimus täidetud, kuid on mõned arvud, mis täidavad tingimuse olla samaaegselt vale murd. Näiteks vale murd on \(\frac(3)(3)\), selle pöördmurd on võrdne \(\frac(3)(3)\). Saame kaks vale murdu. Vastus: mitte alati teatud tingimustel, kui lugeja ja nimetaja on võrdsed.

c) naturaalarvud on arvud, mida kasutame loendamisel, näiteks 1, 2, 3, …. Kui võtame arvu \(3 = \frac(3)(1)\), siis on selle pöördmurruks \(\frac(1)(3)\). Murd \(\frac(1)(3)\) ei ole naturaalarv. Kui me käime läbi kõik arvud, on arvu pöördarvuks alati murd, välja arvatud 1. Kui võtame arvu 1, siis selle pöördmurd on \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Number 1 on naturaalarv. Vastus: need võivad korraga olla naturaalarvud ainult ühel juhul, kui see on arv 1.

Näide nr 6:
Tehke segamurdude korrutis: a) \(4 korda 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \ korda 3\frac(2) (7)\ )

Lahendus:
a) \(4 korda 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \ korda \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Näide nr 7:
Kas kaks pöördarvu võib olla samaaegselt segatud arv?

Vaatame näidet. Võtame segamurru \(1\frac(1)(2)\, leiame selle pöördmurru, selleks teisendame selle valeks murruks \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Selle pöördmurd on võrdne \(\frac(2)(3)\) . Murd \(\frac(2)(3)\) on õige murd. Vastus: Kahte vastastikku pöördvõrdelist murdu ei saa korraga segada.

) ja nimetaja nimetaja kaupa (saame korrutise nimetaja).

Murdude korrutamise valem:

Näiteks:

Enne lugejate ja nimetajate korrutamist peate kontrollima, kas murdosa saab vähendada. Kui saate murdosa vähendada, on teil lihtsam edasisi arvutusi teha.

Hariliku murru jagamine murruga.

Naturaalarvudega murdude jagamine.

See pole nii hirmutav, kui tundub. Nagu liitmise puhul, teisendame täisarvu murduks, mille nimetajas on üks. Näiteks:

Segamurdude korrutamine.

Murdude (segatud) korrutamise reeglid:

teisendada segafraktsioonid valedeks fraktsioonideks;
murdude lugejate ja nimetajate korrutamine;
vähendada murdosa;
Kui saate valemurru, teisendame valemurru segamurruks.

Märge! Segamurru korrutamiseks teise segamurruga peate need esmalt teisendama valede murdude kujule ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.

Teine viis murdosa korrutamiseks naturaalarvuga.

Võib-olla on mugavam kasutada teist meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.

Märge! Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja muutmata.

Ülaltoodud näitest on selge, et seda võimalust on mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagatakse ilma jäägita naturaalarvuga.

Mitmekorruselised murded.

Keskkoolis kohtab sageli kolmekorruselisi (või enamaid) murde. Näide:

Sellise murru tavapärasele kujule viimiseks kasutage jagamist kahe punktiga:

Märge! Murdude jagamisel on jagamise järjekord väga oluline. Olge ettevaatlik, siin on lihtne segadusse sattuda.

Märge, Näiteks:

Kui jagate ühe mis tahes murdosaga, on tulemuseks sama murd, mis on ainult ümberpööratud:

Praktilised näpunäited murdude korrutamiseks ja jagamiseks:

1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus. Tehke kõik arvutused hoolikalt ja täpselt, kontsentreeritult ja selgelt. Parem on kirjutada oma mustandisse paar lisarida, kui eksida peastesse arvutustesse.

2. Erinevat tüüpi murrudega ülesannetes minge harilike murdude tüübi juurde.

3. Vähendame kõiki murde, kuni redutseerimine pole enam võimalik.

4. Teisendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi 2 punkti.

5. Jagage ühik oma peas murdosaga, keerates lihtsalt murdosa ümber.