Kuidas korrutada murde sarnaste nimetajatega. Murdude arvudega korrutamise reeglid

20.10.2019

Vaatleme tavaliste murdude korrutamist mitmes võimalikus variandis.

Hariliku murru korrutamine murdosaga

See on kõige lihtsam juhtum, mille puhul peate kasutama järgmist murdude korrutamise reeglid.

To korrutada murdosa murdosaga, vajalik:

korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja kirjutage nende korrutis uue murru lugejasse;
korrutage esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga ja kirjutage nende korrutis uue murru nimetajasse;

Enne lugejate ja nimetajate korrutamist kontrollige, kas murde saab vähendada. Murdude vähendamine arvutustes muudab teie arvutused palju lihtsamaks.

Murru korrutamine naturaalarvuga

Et teha murdosa korrutada naturaalarvuga Peate korrutama murdosa lugeja selle arvuga ja jätma murdosa nimetaja muutmata.

Kui korrutamise tulemus on vale murd, ärge unustage muuta seda segaarvuks, st tõstke esile kogu osa.

Segaarvude korrutamine

Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt muutma valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.

Teine võimalus murdosa korrutamiseks naturaalarvuga

Mõnikord on arvutuste tegemisel mugavam kasutada mõnda muud meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.

Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja samaks.

Nagu näitest näha, on seda reegli versiooni mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagub naturaalarvuga ilma jäägita.

Tehted murdudega

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine

Murdude liitmist on kahte tüüpi:

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Esiteks õpime sarnase nimetajaga murdude liitmist. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta. Näiteks liidame murrud ja . Lisage lugejad ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2. Lisage fraktsioonid ja .

Jällegi liidame lugejad kokku ja jätame nimetaja muutmata:

Vastuseks osutus vale murd. Kui ülesande lõpp saabub, on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima kogu selle osa. Meie puhul on kogu osa kergesti eraldatav - kaks jagatud kahega võrdub ühega:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate pizza:

Näide 4. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude liitmises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

Sama nimetajaga murdude liitmiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja samaks;
Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas lisada erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa kohe lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna vaatleme neist ainult ühte, kuna teised meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et esmalt otsime mõlema murdosa nimetajate vähim ühiskorda (LCM). Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga, et saada esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine lisategur.

Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.

Näide 1. Liidame kokku murrud ja

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need taandama samale (ühise) nimetajale.

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd pöördume tagasi murdude ja . Esiteks jagage LCM esimese murru nimetajaga ja hankige esimene lisategur. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisakordaja. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks tehke murru kohale väike kaldus joon ja kirjutage üles selle kohal leitud lisategur:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine lisakordaja. Kirjutame selle teise murruni. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame üles selle kohal leitud lisateguri:

Nüüd on meil kõik lisamiseks valmis. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Vaadake hoolikalt, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Toome selle näite lõpuni:

See lõpetab näite. Selgub, et lisada.

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsa, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Vähendades murde ja ühise nimetaja, saime murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsatükid. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).

Esimene joonis kujutab murdosa (neli tükki kuuest) ja teine joonis kujutab murdosa (kolm tükki kuuest). Lisades need tükid saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu tõstsime esile kogu selle osa. Tulemuseks saime (ühe terve pitsa ja teise kuuenda pitsa).

Pange tähele, et oleme seda näidet liiga üksikasjalikult kirjeldanud. Haridusasutustes pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama leitud lisategurid lugejate ja nimetajatega. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:

Kuid mündil on ka teine külg. Kui te matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tee, hakkavad ilmnema omalaadsed küsimused. “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

Leia murdude nimetajate LCM;
Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur;
Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
Kui vastus osutub valeks murruks, valige selle kogu osa;

Näide 2. Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud diagrammi.

1. samm. Leidke murdude nimetajate jaoks LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4. Peate leidma nende arvude LCM-i:

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saame teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saame kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Etapp 3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Samm 4. Lisage samade nimetajatega murrud

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Jääb vaid need murded lisada. Lisage see:

Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, liigutatakse see järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse on vaja panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.

5. samm. Kui vastus osutub valeks murdeks, siis tõstke esile kogu selle osa

Meie vastus osutus valeks murdarvuks. Peame esile tõstma terve osa sellest. Toome esile:

Saime vastuse

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine

Murdude lahutamist on kahte tüüpi:

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Esiteks õpime, kuidas lahutada murde sarnaste nimetajatega. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja, kuid jätma nimetaja samaks.

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja samaks:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast tuleb lahutada ülejäänud murdude lugejad:

Vastus oli vale murd. Kui näide on lõpetatud, on tavaks valest murdest lahti saada. Vabaneme vastuses valemurdust. Selleks valime selle kogu osa:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks;

Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks võite murdosast lahutada murdosa, kuna murdudel on samad nimetajad. Kuid te ei saa murdosast murda lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Ühine nimetaja leitakse samal põhimõttel, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse esimese murru kohale. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine lisategur, mis kirjutatakse teise murru kohale.

Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusena teisendatakse erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.

Näide 1. Leidke väljendi tähendus:

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd pöördume tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutage esimese murru kohale neli:

Teeme sama teise murdosaga. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolm:

Nüüd oleme lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Toome selle näite lõpuni:

Saime vastuse

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsa, saad pizza

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Murdude taandamist ühisele nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Nende murdude taandamisel ühiseks nimetajaks saime murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale):

Esimesel pildil on murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Lõikates kaheksast tükist kolm tükki, saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, nii et kõigepealt peate need taandama samale (ühisnimetajale).

Leiame nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagage LCM iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastuseks osutus tavaline murd ja kõik tundub meile sobivat, kuid see on liiga tülikas ja kole. Seda oleks vaja lihtsamaks ja esteetilisemaks muuta. Mida saaks teha? Saate seda murdosa lühendada. Tuletame meelde, et murdosa vähendamine on lugeja ja nimetaja jagamine lugeja ja nimetaja suurima ühise jagajaga.

Murru õigeks vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja arvude 20 ja 30 suurima ühisjagajaga (GCD).

GCD-d ei tohiks segi ajada NOC-ga. Paljude algajate levinuim viga. GCD on suurim ühine jagaja. Leiame, et see vähendab murdosa.

Ja LCM on vähim ühine kordne. Leiame selle selleks, et tuua murded samale (ühisele) nimetajale.

Nüüd leiame arvude 20 ja 30 suurima ühisjagaja (GCD).

Niisiis, leiame GCD numbrite 20 ja 30 jaoks:

GCD (20 ja 30) = 10

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murdosa lugeja ja nimetaja 10-ga:

Saime ilusa vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murdosa lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Salvestusest võib aru saada, et võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtad pizza üks kord, saad pizza

Korrutamise seadustest teame, et kui korrutis ja tegur vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:

Seda tähistust võib mõista nii, et see võtab poole ühest. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtad 4 pitsat, saad kaks tervet pitsat

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja, saame avaldise . See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Näide 1. Leidke avaldise väärtus.

Saime vastuse. Soovitav on seda osa vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Teeme pitsat. Pidage meeles, kuidas pitsa kolmeks osaks jagatuna välja näeb:

Üks tükk sellest pitsast ja kahel meie võetud tükil on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime sama suurusega pitsast. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

Vastuseks osutus tavaline murd, aga hea oleks, kui seda lühendaks. Selle murdosa vähendamiseks tuleb see jagada lugeja ja nimetaja gcd-ga. Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 gcd:

GCD (105 ja 150) on 15

Nüüd jagame oma vastuse lugeja ja nimetaja gcd-ga:

Täisarvu esitamine murruna

Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . See ei muuda viie tähendust, kuna väljend tähendab "arvu viis jagatud ühega" ja see, nagu me teame, võrdub viiega:

Vastastikused numbrid

Nüüd tutvume väga huvitava matemaatika teemaga. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrile a on arv, mis korrutatuna a annab ühe.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühe.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et see on võimalik. Kujutagem ette viit murdosana:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutage murdosa iseendaga, ainult tagurpidi:

Mis selle tulemusena saab? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv , sest kui korrutate 5-ga, saate ühe.

Arvu pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu kohta.

3 pöördväärtus on murd
4 pöördväärtus on murd

Samuti saate leida mis tahes muu murru pöördarvu. Selleks keerake see lihtsalt ümber.

SAAGE JUBA NEIST REHAIDEST ÜLE! 🙂

Murdude korrutamine ja jagamine.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga “mitte väga. »
Ja neile, kes “väga. ")

See toiming on palju meeldivam kui liitmine ja lahutamine! Sest see on lihtsam. Tuletame meelde, et murdosa korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugejad (see on tulemuse lugeja) ja nimetajad (see on nimetaja). See on:

Kõik on äärmiselt lihtne. Ja palun ärge otsige ühist nimetajat! Siin pole teda vaja...

Murru jagamiseks murdosaga peate tagurdama teiseks(see on oluline!) murdosa ja korrutage need, st:

Kui puutute kokku täisarvude ja murdudega korrutamise või jagamisega, on kõik korras. Nagu liitmisegi puhul, teeme täisarvust murdosa, mille nimetaja on üks – ja jätka! Näiteks:

Keskkoolis tuleb sageli tegeleda kolmekorruseliste (või isegi neljakorruseliste!) murdudega. Näiteks:

Kuidas ma saan selle murdosa korralikuks muuta? Jah, väga lihtne! Kasutage kahepunktilist jaotust:

Kuid ärge unustage jagamise järjekorda! Erinevalt korrutamisest on see siin väga oluline! Muidugi ei aja me 4:2 ega 2:4 segi. Kuid kolmekorruselises murdosas on lihtne eksida. Pange tähele näiteks:

Esimesel juhul (avaldis vasakul):

Teises (avaldis paremal):

Kas tunnete erinevust? 4 ja 1/9!

Mis määrab jagamise järjekorra? Kas sulgudega või (nagu siin) horisontaalsete joonte pikkusega. Arendage oma silma. Ja kui sulgusid või sidekriipse pole, näiteks:

siis jaga ja korruta järjekorras, vasakult paremale!

Ja veel üks väga lihtne ja oluline tehnika. Kraadidega tegudes on see teile nii kasulik! Jagame ühe suvalise murdosaga, näiteks 13/15-ga:

Lask on ümber läinud! Ja seda juhtub alati. Jagades 1 suvalise murruga, on tulemuseks sama murd, ainult tagurpidi.

See on kõik murdarvudega tehte jaoks. Asi on üsna lihtne, kuid annab rohkem kui piisavalt vigu. Võtke arvesse praktilisi nõuandeid ja neid (vigu) jääb vähemaks!

1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus! Need ei ole üldised sõnad, mitte head soovid! See on hädasti vajalik! Tehke kõik ühtse riigieksami arvutused täisväärtusliku ülesandena, keskendunult ja selgelt. Parem on kirjutada mustandisse kaks lisarida, kui peast arvutades segadusse ajada.

2. Erinevat tüüpi murdudega näidetes liigume edasi harilike murdude juurde.

3. Vähendame kõiki murde, kuni need peatuvad.

4. Redendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi kahe punkti (jälgime jagamise järjekorda!).

Siin on ülesanded, mida peate kindlasti täitma. Vastused antakse pärast kõiki ülesandeid. Kasutage selle teema materjale ja praktilisi näpunäiteid. Hinnake, kui palju näiteid suutsite õigesti lahendada. Esimene kord! Ilma kalkulaatorita! Ja tehke õiged järeldused.

Pea meeles – õige vastus on teisest (eriti kolmandast) korrast saadud ei lähe arvesse! Selline on karm elu.

Niisiis, lahendada eksamirežiimis ! See on muide juba ettevalmistus ühtseks riigieksamiks. Lahendame näite, kontrollime seda, lahendame järgmise. Otsustasime kõik – kontrollisime uuesti esimesest viimaseni. Aga ainult Siis vaata vastuseid.

Otsime vastuseid, mis vastavad teie omadele. Kirjutasin need meelega segamini, eemale nii-öelda kiusatusest. Siin need on, semikooloniga eraldatud vastused.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nüüd teeme järeldused. Kui kõik õnnestus, olen teie üle õnnelik! Põhilised arvutused murdarvudega pole teie probleem! Saate teha tõsisemaid asju. Kui ei.

Nii et teil on üks kahest probleemist. Või mõlemad korraga.) Teadmiste puudumine ja (või) tähelepanematus. Aga. See lahendatav Probleemid.

Kõiki neid (ja rohkemgi!) näiteid käsitletakse erijaotises 555 “Murrud”. Üksikasjalike selgitustega, mida, miks ja kuidas. See analüüs aitab palju teadmiste ja oskuste puudumise korral!

Jah, ja teises probleemis on midagi.) Üsna praktiline nõuanne, kuidas saada tähelepanelikumaks. Jah Jah! Nõuanded, mida saab rakendada iga.

Edu eeldab lisaks teadmistele ja tähelepanelikkusele teatud automaatsust. Kust seda saada? Kuulen rasket ohkamist... Jah, ainult praktikas, mitte kusagil mujal.

Treenimiseks võite minna veebisaidile 321start.ru. Valikus „Proovi” on igaühe jaoks 10 näidet. Kiire kinnitusega. Registreeritud kasutajatele - 34 näidet lihtsast raskeni. Seda ainult murdosades.

Kui teile meeldib see sait.

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Siin saad harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Ja siin saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

1. reegel.

Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate korrutama selle lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja muutmata.

2. reegel.

Murru korrutamiseks murdosaga:

1. leidke nende murdude lugejate ja nimetajate korrutis

2. Kirjutage esimene korrutis lugejaks ja teine nimetajaks.

3. reegel.

Segaarvude korrutamiseks peate need kirjutama valede murdudena ja seejärel kasutama murdude korrutamise reeglit.

4. reegel.

Ühe murdosa teisega jagamiseks peate dividendi korrutama jagaja pöördarvuga.

Näide 1.

Arvutama

Näide 2.

Arvutama

Näide 3.

Arvutama

Näide 4.

Arvutama

Matemaatika. Muud materjalid

Arvu tõstmine ratsionaalse astmeni. (

Arvu tõstmine loomuliku astmeni. (

Üldistatud intervallmeetod algebraliste võrratuste lahendamiseks (Autor A.V. Kolchanov)

Meetod tegurite asendamiseks algebralise ebavõrdsuse lahendamisel (Autor Kolchanov A.V.)

Jaguvuse märgid (Lungu Alena)

Pane end proovile teemal "Tavamurdude korrutamine ja jagamine"

Murdude korrutamine

Vaatleme tavaliste murdude korrutamist mitmes võimalikus variandis.

Hariliku murru korrutamine murdosaga

See on kõige lihtsam juhtum, mille puhul peate kasutama järgmist murdude korrutamise reeglid.

To korrutada murdosa murdosaga, vajalik:

korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja kirjutage nende korrutis uue murru lugejasse;

korrutage esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga ja kirjutage nende korrutis uue murru nimetajasse;

Enne lugejate ja nimetajate korrutamist kontrollige, kas murde saab vähendada. Murdude vähendamine arvutustes muudab teie arvutused palju lihtsamaks.

Murru korrutamine naturaalarvuga

Et teha murdosa korrutada naturaalarvuga Peate korrutama murdosa lugeja selle arvuga ja jätma murdosa nimetaja muutmata.

Kui korrutamise tulemus on vale murd, ärge unustage muuta seda segaarvuks, st tõstke esile kogu osa.

Segaarvude korrutamine

Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt muutma valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.

Teine võimalus murdosa korrutamiseks naturaalarvuga

Mõnikord on arvutuste tegemisel mugavam kasutada mõnda muud meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.

Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja samaks.

Nagu näitest näha, on seda reegli versiooni mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagub naturaalarvuga ilma jäägita.

Murru jagamine arvuga

Kuidas on kiireim viis murdosa arvuga jagada? Analüüsime teooriat, teeme järelduse ja kasutame näiteid, kuidas saab uue lühikese reegli abil murda arvuga jagada.

Tavaliselt järgib murdosa jagamine arvuga murdude jagamise reeglit. Korrutame esimese arvu (murru) teise pöördarvuga. Kuna teine arv on täisarv, on selle pöördarvuks murd, mille lugeja on võrdne ühega ja nimetaja on võrdne antud arvuga. Skemaatiliselt näeb murdosa jagamine naturaalarvuga välja järgmine:

Sellest järeldame:

Murru jagamiseks arvuga peate korrutama nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja samaks. Reegli võib sõnastada veelgi lühidalt:

Murru jagamisel arvuga läheb arv nimetajasse.

Jagage murdosa arvuga:

Murru jagamiseks arvuga kirjutame lugeja muutmata kujul ümber ja korrutame nimetaja selle arvuga. Vähendame 6 ja 3 3 võrra.

Murru jagamisel arvuga kirjutame lugeja ümber ja korrutame nimetaja selle arvuga. Vähendame 16 ja 24 8 võrra.

Murru jagamisel arvuga läheb arv nimetajasse, seega jätame lugeja samaks ja korrutame nimetaja jagajaga. Vähendame 21 ja 35 7 võrra.

Murdude korrutamine ja jagamine

Eelmisel korral õppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetükki “Murdude liitmine ja lahutamine”). Nende toimingute kõige keerulisem osa oli murdude ühise nimetajani viimine.

Nüüd on aeg tegeleda korrutamise ja jagamisega. Hea uudis on see, et need toimingud on veelgi lihtsamad kui liitmine ja lahutamine. Esmalt vaatleme lihtsaimat juhtumit, kui on kaks positiivset murdu ilma eraldatud täisarvuta.

Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine on nimetaja.

Kahe murru jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teise murruga.

Definitsioonist järeldub, et murdude jagamine taandub korrutamiseks. Murru ümberpööramiseks vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Seetõttu käsitleme kogu õppetunni jooksul peamiselt korrutamist.

Korrutamise tulemusena võib tekkida (ja sageli tekib) taandatav murd – seda tuleb loomulikult vähendada. Kui pärast kõiki vähendamisi osutub murdosa valeks, tuleks kogu osa esile tõsta. Mida aga korrutamisega kindlasti ei juhtu, on taandamine ühisele nimetajale: ei mingeid ristimeetodeid, suurimaid tegureid ja väikseimaid ühiseid kordusi.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Definitsiooni järgi on meil:

Murdude korrutamine täisosadega ja negatiivsete murdudega

Kui murrud sisaldavad täisarvu, tuleb need teisendada sobimatuteks osadeks ja alles seejärel korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.

Kui murdosa lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutisest välja võtta või üldse eemaldada vastavalt järgmistele reeglitele:

Pluss miinusega annab miinuse;
Kaks negatiivset teevad jaatava.

Seni on neid reegleid kohanud vaid negatiivsete murdude liitmisel ja lahutamisel, kui oli vaja tervest osast lahti saada. Teose puhul saab neid üldistada, et "põletada" mitu puudust korraga:

Negatiivid kriipsutame paarikaupa maha, kuni need täielikult kaovad. Äärmuslikel juhtudel võib ellu jääda üks miinus - see, mille jaoks polnud kaaslast;
Kui miinuseid ei jää, on toiming lõpetatud - võite hakata korrutama. Kui viimast miinust ei kriipsutata maha, sest selle jaoks polnud paari, võtame selle korrutamise piiridest välja. Tulemuseks on negatiivne murd.

Teisendame kõik murrud valedeks ja seejärel võtame korrutamisest välja miinused. Korrutame järelejäänud tavapäraste reeglite järgi. Saame:

Tuletan teile veel kord meelde, et esiletõstetud täisosaga murru ette ilmuv miinus viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle tervele osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).

Pöörake tähelepanu ka negatiivsetele arvudele: korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.

Murdude vähendamine lennult

Korrutamine on väga töömahukas toiming. Siin olevad numbrid osutuvad üsna suurteks ja probleemi lihtsustamiseks võite proovida murdosa veelgi vähendada enne korrutamist. Tõepoolest, sisuliselt on murdude lugejad ja nimetajad tavalised tegurid ja seetõttu saab neid taandada, kasutades murdosa põhiomadust. Heitke pilk näidetele:

Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist järele jääb.

Pange tähele: esimesel juhul vähendati kordajaid täielikult. Nende asemele jäävad üksused, mida üldiselt ei pea kirjutama. Teise näite puhul ei olnud võimalik saavutada täielikku vähendamist, kuid arvutuste kogusumma siiski vähenes.

Kuid ärge kunagi kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:

Sa ei saa seda teha!

Viga tekib seetõttu, et liitmisel annab murdosa lugeja summa, mitte arvude korrutise. Järelikult on võimatu rakendada murru põhiomadust, kuna see omadus käsitleb konkreetselt arvude korrutamist.

Murdude vähendamiseks pole lihtsalt muid põhjuseid, seega näeb eelmise probleemi õige lahendus välja järgmine:

Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.

Murrude jagamine.

Murru jagamine naturaalarvuga.

Näited murdosa jagamisest naturaalarvuga

Naturaalarvu jagamine murdosaga.

Näited naturaalarvu jagamisest murdosaga

Harilike murdude jagamine.

Näited harilike murdude jagamisest

Segaarvude jagamine.

teisendada segafraktsioonid valedeks fraktsioonideks;
korrutage esimene murd teise pöördarvuga;
vähendada saadud fraktsiooni;
Kui saate vale murdosa, teisendage vale murd segafraktsiooniks.

Segaarvude jagamise näited

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Kõik ebasündsad kommentaarid kustutatakse ja nende autorid kantakse musta nimekirja!

Tere tulemast OnlineMSkooli.
Minu nimi on Dovzhik Mihhail Viktorovitš. Olen selle saidi omanik ja autor, kirjutasin kogu teoreetilise materjali ning töötasin välja ka veebipõhised harjutused ja kalkulaatorid, mida saate matemaatika õppimiseks kasutada.

Murrud. Murdude korrutamine ja jagamine.

Hariliku murru korrutamine murdosaga.

Tavaliste murdude korrutamiseks peate korrutama lugeja lugejaga (saame korrutise lugeja) ja nimetaja nimetajaga (saame korrutise nimetaja).

Murdude korrutamise valem:

Enne lugejate ja nimetajate korrutamist peate kontrollima, kas murdosa saab vähendada. Kui saate murdosa vähendada, on teil lihtsam edasisi arvutusi teha.

Märge! Siin pole vaja ühist nimetajat otsida!!

Hariliku murru jagamine murruga.

Hariliku murru jagamine murruga toimub järgmiselt: keerad teise murru ümber (st muudad lugejat ja nimetajat) ning pärast seda korrutatakse murrud.

Tavaliste murdude jagamise valem:

Murru korrutamine naturaalarvuga.

Märge! Murru korrutamisel naturaalarvuga korrutatakse murru lugeja meie naturaalarvuga ja murdosa nimetaja jäetakse samaks. Kui toote tulemuseks on vale murd, siis tõstke kindlasti esile kogu osa, muutes vale fraktsiooni segafraktsiooniks.

Naturaalarvudega murdude jagamine.

See pole nii hirmutav, kui tundub. Nagu liitmise puhul, teisendame täisarvu murdeks, mille nimetajas on üks. Näiteks:

Segamurdude korrutamine.

Murdude (segatud) korrutamise reeglid:

teisendada segafraktsioonid valedeks fraktsioonideks;
murdude lugejate ja nimetajate korrutamine;
vähendada murdosa;
Kui saate valemurru, teisendame valemurru segamurruks.

Märge! Segamurru korrutamiseks teise segamurruga peate need esmalt teisendama valede murdude kujule ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.

Teine viis murdosa korrutamiseks naturaalarvuga.

Võib-olla on mugavam kasutada teist meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.

Märge! Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja muutmata.

Ülaltoodud näitest on selge, et seda võimalust on mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagatakse ilma jäägita naturaalarvuga.

Mitmekorruselised murded.

Keskkoolis kohtab sageli kolmekorruselisi (või enamaid) murde. Näide:

Sellise murru tavapärasele kujule viimiseks kasutage jagamist kahe punktiga:

Märge! Murdude jagamisel on jagamise järjekord väga oluline. Olge ettevaatlik, siin on lihtne segadusse sattuda.

Märge, Näiteks:

Kui jagate ühe mis tahes murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult ümberpööratud:

Praktilised näpunäited murdude korrutamiseks ja jagamiseks:

1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus. Tehke kõik arvutused hoolikalt ja täpselt, kontsentreeritult ja selgelt. Parem on kirjutada oma mustandisse paar lisarida, kui eksida peastesse arvutustesse.

2. Erinevat tüüpi murrudega ülesannetes minge harilike murdude tüübi juurde.

3. Vähendame kõiki murde, kuni redutseerimine pole enam võimalik.

4. Teisendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi 2 punkti.

Under- ja under- Ümbertöödeldud laul "Kevadine tango" (Aeg tuleb - linnud lendavad lõunast) - muusika. Valeri Miljajev Ma ei kuulnud piisavalt, ma ei saanud aru, ma ei saanud sellest aru, selles mõttes, et ma ei arvanud, kirjutasin kõik verbid lahutamatult, ma ei teadnud eesliidet nedo. Juhtub, […]
Lehekülge ei leitud Kolmandal lõplikul lugemisel võeti vastu valitsuse dokumentide pakett, mis näeb ette erihalduspiirkondade (SAR) loomist. Euroopa Liidust lahkumise tulemusena ei kuulu Ühendkuningriik Euroopa käibemaksualasse ja […]
Ühine juurdluskomitee ilmub sügisel Ühine juurdluskomitee ilmub sügisel Kõigi õiguskaitseorganite uurimine tuuakse neljandal katsel ühe katuse alla Juba 2014. aasta sügisel on Izvestija andmetel president Vladimir Putin [ …]
Algoritmi patent Kuidas algoritmi patent välja näeb Kuidas algoritmi patent koostatakse? Spetsiaalselt patenteerimise eesmärgil signaalide ja/või andmete salvestamise, töötlemise ja edastamise meetodite tehniliste kirjelduste koostamine ei valmista tavaliselt mingeid erilisi raskusi. ja […]
MIDA ON OLULINE TEADA UUE PENSIONIDE EELNÕU KOHTA 12. detsember 1993 VENEMAA FÖDERATSIOONI PÕHISEADUS (võttes arvesse Vene Föderatsiooni seadustega tehtud muudatusi Vene Föderatsiooni põhiseaduse muudatuste kohta, 30. detsember 2008 N 6- FKZ, 30. detsember 2008 N 7-FKZ, […]
Naljakad jamad naiste pensionist päevakangelasele, mehed päevakangelasele, mehed - kooris päevakangelasele, naised - pühendus pensionäridele, naised, naljakas.Pensionäride võistlused tulevad huvitavad. Saatejuht : Kallid sõbrad! Üks hetk! Sensatsioon! Ainult […]

Eelmisel korral õppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetundi “Murdude liitmine ja lahutamine”). Nende toimingute kõige keerulisem osa oli murdude ühise nimetajani viimine.

Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine on nimetaja.

Kahe murru jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teise murruga.

Määramine:

Definitsiooni järgi on meil:

Murdude korrutamine täisosadega ja negatiivsete murdudega

Kui murrud sisaldavad täisarvu, tuleb need teisendada sobimatuteks osadeks ja alles seejärel korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.

Kui murdosa lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutisest välja võtta või üldse eemaldada vastavalt järgmistele reeglitele:

Pluss miinusega annab miinuse;
Kaks negatiivset teevad jaatava.

Seni on neid reegleid kohanud vaid negatiivsete murdude liitmisel ja lahutamisel, kui oli vaja tervest osast lahti saada. Teose puhul saab neid üldistada, et "põletada" mitu puudust korraga:

Negatiivid kriipsutame paarikaupa maha, kuni need täielikult kaovad. Äärmuslikel juhtudel võib ellu jääda üks miinus - see, mille jaoks polnud kaaslast;
Kui miinuseid ei jää, on toiming lõpetatud - võite hakata korrutama. Kui viimast miinust ei kriipsutata maha, sest selle jaoks polnud paari, võtame selle korrutamise piiridest välja. Tulemuseks on negatiivne murd.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Teisendame kõik murrud valedeks ja seejärel võtame korrutamisest välja miinused. Korrutame järelejäänud tavapäraste reeglite järgi. Saame:

Tuletan teile veel kord meelde, et esiletõstetud täisosaga murru ette ilmuv miinus viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle tervele osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).

Pöörake tähelepanu ka negatiivsetele arvudele: korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.

Murdude vähendamine lennult

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Definitsiooni järgi on meil:

Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist järele jääb.

Kuid ärge kunagi kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:

Sa ei saa seda teha!

Viga tekib seetõttu, et liitmisel annab murdosa lugeja summa, mitte arvude korrutise. Järelikult on võimatu rakendada murru põhiomadust, kuna see omadus käsitleb konkreetselt arvude korrutamist.

Murdude vähendamiseks pole lihtsalt muid põhjuseid, seega näeb eelmise probleemi õige lahendus välja järgmine:

Õige lahendus:

Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.

Harilikud murdarvud kohtuvad koolilastega esmakordselt 5. klassis ja saadavad neid kogu elu, kuna igapäevaelus on sageli vaja käsitleda või kasutada objekti mitte tervikuna, vaid eraldi tükkidena. Alusta selle teema uurimist – jagab. Aktsiad on võrdsed osad, milleks see või teine objekt on jagatud. Alati ei ole ju võimalik näiteks toote pikkust või hinda täisarvuna väljendada, arvestada tuleks mõne mõõdu osade või murdosadega. Tegusõnast "lõhestama" moodustatud - osadeks jagama ja araabia juurtega sõna "fraktsioon" tekkis vene keeles 8. sajandil.

Murdlauseid on pikka aega peetud matemaatika kõige raskemaks haruks. 17. sajandil, kui ilmusid esimesed matemaatikaõpikud, nimetati neid "katkenenud numbriteks", millest oli inimestel väga raske aru saada.

Lihtsate murdjääkide tänapäevast vormi, mille osad on eraldatud horisontaalse joonega, propageeris esmakordselt Fibonacci - Leonardo Pisa. Tema teosed on dateeritud aastasse 1202. Kuid selle artikli eesmärk on lihtsalt ja selgelt lugejale selgitada, kuidas korrutatakse erinevate nimetajatega segamurrud.

Erinevate nimetajatega murdude korrutamine

Esialgu tasub kindlaks teha murdude tüübid:

õige;
vale;
segatud.

Järgmiseks peate meeles pidama, kuidas samade nimetajatega murdarvud korrutatakse. Selle protsessi reeglit pole keeruline iseseisvalt sõnastada: identsete nimetajatega lihtmurdude korrutamise tulemus on murdosa avaldis, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nende murdude nimetajate korrutis. . See tähendab, et tegelikult on uueks nimetajaks ühe algselt olemasoleva nimetaja ruut.

Korrutamisel lihtmurrud erinevate nimetajatega kahe või enama teguri puhul reegel ei muutu:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ainus erinevus seisneb selles, et murdjoone all moodustatud arv on erinevate arvude korrutis ja loomulikult ei saa seda nimetada ühe arvavaldise ruuduks.

Tasub kaaluda erinevate nimetajatega murdude korrutamist näidete abil:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Näidetes kasutatakse murdavaldiste vähendamise meetodeid. Lugejate numbreid saate vähendada ainult nimetajanumbritega; murdujoonest kõrgemal või allpool asuvaid külgnevaid tegureid ei saa vähendada.

Lihtmurdude kõrval on ka segamurdude mõiste. Segaarv koosneb täisarvust ja murdosast, see tähendab, et see on nende arvude summa:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kuidas korrutamine toimib?

Kaalumiseks on toodud mitu näidet.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Näites kasutatakse arvu korrutamist tavaline murdosa, saab selle toimingu reegli kirjutada järgmiselt:

a* b/c = a*b /c.

Tegelikult on selline korrutis identsete murdjääkide summa ja terminite arv näitab seda naturaalarvu. Erijuhtum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Arvu korrutamiseks murdosa jäägiga on veel üks lahendus. Peate lihtsalt nimetaja selle arvuga jagama:

d* e/f = e/f: d.

Seda tehnikat on kasulik kasutada, kui nimetaja jagatakse naturaalarvuga ilma jäägita või, nagu öeldakse, täisarvuga.

Teisendage segaarvud valedeks murdudeks ja hankige korrutis eelnevalt kirjeldatud viisil:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

See näide hõlmab viisi segamurru esitamiseks sobimatu murruna ja seda saab esitada ka üldvalemina:

a bc = a*b+ c / c, kus uue murru nimetaja moodustatakse, korrutades kogu osa nimetajaga ja liites selle algse murdosa lugejaga ning nimetaja jääb samaks.

See protsess toimib ka vastupidises suunas. Terve osa ja murdosa eraldamiseks peate jagama vale murru lugeja selle nimetajaga, kasutades "nurka".

Vale murdude korrutamine toodetud üldtunnustatud viisil. Ühe murdrea alla kirjutades peate murde vastavalt vajadusele vähendama, et seda meetodit kasutades numbreid vähendada ja tulemuse arvutamist hõlbustada.

Internetis on palju abilisi, et lahendada ka keerukaid matemaatilisi ülesandeid erinevates programmide variatsioonides. Piisav hulk selliseid teenuseid pakub oma abi nimetajates erineva arvuga murdude korrutamise arvutamisel - nn võrgukalkulaatorid murdude arvutamiseks. Nad on võimelised mitte ainult korrutama, vaid sooritama ka kõiki muid lihtsaid aritmeetilisi tehteid tavaliste murdude ja segaarvudega. Sellega töötamine pole keeruline, täidate veebisaidi lehel vastavad väljad, valite matemaatilise tehte märgi ja klõpsake nuppu "Arvuta". Programm arvutab automaatselt.

Murdudega aritmeetiliste tehete teema on aktuaalne kogu kesk- ja gümnaasiumiõpilaste haridustee vältel. Keskkoolis ei arvestata enam kõige lihtsamate liikidega, vaid täisarvu murdosa avaldised, kuid varem saadud teadmisi teisendus- ja arvutusreeglitest rakendatakse algsel kujul. Hästi omandatud baasteadmised annavad täieliku kindlustunde kõige keerulisemate probleemide edukaks lahendamiseks.

Kokkuvõtteks on mõttekas tsiteerida Lev Nikolajevitš Tolstoi sõnu, kes kirjutas: “Inimene on murdosa. Inimese võimuses ei ole suurendada oma lugejat - tema teeneid -, kuid igaüks võib vähendada oma nimetajat - oma arvamust enda kohta ja selle vähenemisega läheneda oma täiuslikkusele.

Viiendal sajandil eKr sõnastas Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast oma kuulsad apooriad, millest kuulsaim on "Achilleuse ja kilpkonna" apooria. See kõlab järgmiselt:

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mis kulub Achilleuse läbimiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus jookseb sada sammu, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõpmatuseni, Achilleus ei jõua kilpkonnale kunagi järele.

See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Nad kõik pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriat. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad tänini, teadusringkonnad pole paradokside olemuses veel ühisele seisukohale jõudnud ... teema uurimisse kaasati matemaatilist analüüsi, hulgateooriat, uusi füüsikalisi ja filosoofilisi käsitlusi. ; ükski neist ei saanud probleemi üldtunnustatud lahenduseks..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles pettus seisneb.

Matemaatilisest vaatenurgast näitas Zenon oma apooriates selgelt üleminekut kvantiteedilt . See üleminek eeldab rakendust püsivate asemel. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute kasutamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi tõttu vastastikusele väärtusele konstantseid ajaühikuid. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aeg aeglustub, kuni see täielikult peatub hetkel, mil Achilleus kilpkonnale järele jõuab. Kui aeg peatub, ei suuda Achilleus enam kilpkonnast üle joosta.

Kui pöörame oma tavapärase loogika ümber, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Tema tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras "lõpmatuse" mõistet, siis oleks õige öelda: "Achilleus jõuab kilpkonnale lõpmatult kiiresti järele."

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele ühikutele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise esimesega võrdse ajaintervalli jooksul jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse vastupandamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.

Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Et teha kindlaks, kas auto liigub, vajate kahte fotot, mis on tehtud ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel, kuid te ei saa määrata nende kaugust. Auto kauguse määramiseks on vaja kahte pilti, mis on tehtud ühel ajahetkel erinevatest ruumipunktidest, kuid nende järgi ei saa liikumise fakti kindlaks teha (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid ). Erilist tähelepanu tahan juhtida see, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need annavad uurimistööks erinevaid võimalusi.

Kolmapäeval, 4. juulil 2018

Vikipeedias on väga hästi kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Vaatame.

Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista kunagi sellist absurdset loogikat. See on rääkivate papagoide ja treenitud ahvide tase, kellel puudub mõistus sõnast “täiesti”. Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.

Kunagi olid silla ehitanud insenerid silda katsetades silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.

Pole tähtis, kuidas matemaatikud peituvad fraasi "mind me, I'm in the house" taha või õigemini: "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.

Õppisime väga hästi matemaatikat ja nüüd istume kassa taga ja anname palka välja. Nii et matemaatik tuleb meie juurde oma raha pärast. Loeme talle kogu summa välja ja laotame oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule tema "matemaatilise palgakomplekti". Selgitagem matemaatikule, et ta saab ülejäänud arved alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit saab alguse lõbus.

Esiteks hakkab tööle saadikute loogika: "Seda võib teistele rakendada, aga mulle mitte!" Siis hakkavad nad meile kinnitama, et sama nimiväärtusega vekslitel on erinevad arvenumbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada samadeks elementideks. Olgu, loeme palgad müntidesse – müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik paaniliselt meenutama füüsikat: erinevatel müntidel on erinev kogus mustust, kristallstruktuur ja aatomite paigutus on igal mündil unikaalne...

Ja nüüd on mul kõige huvitavam küsimus: kus on piir, millest kaugemale muutuvad multikomplekti elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus ei ole siin lähedalgi valetamisele.

Vaata siia. Valime välja sama alaga jalgpallistaadionid. Väljade pindalad on samad – see tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui vaadata nende samade staadioninimesid, siis saame neid palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt nii hulk kui ka multikomplekt. Kumb on õige? Ja siin tõmbab matemaatik-šamaan-teramees varrukast trumpide ässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.

Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".

Pühapäev, 18. märts 2018

Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse meid leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga seepärast ongi nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele nende oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.

Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida leht "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Numbrid on ju graafilised sümbolid, millega me numbreid kirjutame, ja matemaatika keeles kõlab ülesanne järgmiselt: "Leia mis tahes arvu tähistavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hõlpsasti hakkama.

Mõelgem välja, mida ja kuidas teeme, et leida antud arvu numbrite summa. Ja nii, olgu meil number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.

1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.

2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks üksikuid numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.

3. Teisendage üksikud graafilised sümbolid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.

4. Lisage saadud numbrid. Nüüd on see matemaatika.

Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on šamaanide õpetatavad “lõikamis- ja õmbluskursused”, mida matemaatikud kasutavad. Kuid see pole veel kõik.

Matemaatilisest seisukohast pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Seega on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. Suure numbriga 12345 ei taha ma oma pead petta, mõelgem numbrile 26 artiklist. Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, me oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.

Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, kui määraksite ristküliku pindala meetrites ja sentimeetrites, saaksite täiesti erinevad tulemused.

Null näeb kõigis numbrisüsteemides välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et. Küsimus matemaatikutele: kuidas on matemaatikas määratud midagi, mis ei ole arv? Mis, matemaatikute jaoks ei eksisteeri midagi peale numbrite? Ma võin seda lubada šamaanidele, kuid mitte teadlastele. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.

Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega annavad pärast nende võrdlemist erinevaid tulemusi, siis pole sellel matemaatikaga mingit pistmist.

Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui matemaatilise tehte tulemus ei sõltu arvu suurusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes selle toimingu sooritab.

Silt uksel Ta avab ukse ja ütleb:

Oh! Kas see pole mitte naiste tualett?
- Noor naine! See on laboratoorium hingede indefiilse pühaduse uurimiseks nende taevasse tõusmise ajal! Halo peal ja nool üles. Mis tualett veel?

Naine... Halo peal ja nool alla on isased.

Kui selline disainikunstiteos vilksatab teie silme ees mitu korda päevas,

Siis pole üllatav, et äkki leiate oma autost kummalise ikooni:

Mina isiklikult pingutan selle nimel, et kakaval inimesel oleks näha miinus nelja kraadi (üks pilt) (mitmest pildist koosnev kompositsioon: miinusmärk, number neli, kraadide tähistus). Ja ma ei arva, et see tüdruk on loll, kes füüsikat ei tunne. Tal on lihtsalt tugev stereotüüp graafiliste piltide tajumisest. Ja matemaatikud õpetavad meile seda kogu aeg. Siin on näide.

1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või number "kakskümmend kuus" kuueteistkümnendsüsteemis. Need inimesed, kes pidevalt selles numbrisüsteemis töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.