Tagasi ette
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.
1. Sissejuhatus.
Koolile lähenedes kuulen jõusaalist kuttide hääli, liigun edasi - nad laulavad, joonistavad... emotsioonid ja tunded on igal pool. Minu kontor, algebratund, kümnenda klassi õpilased. Siin on meie õpik, milles trigonomeetria kursus moodustab poole oma mahust ja selles on kaks järjehoidjat - need on kohad, kust ma leidsin sõnad, mis pole trigonomeetria teooriaga seotud.
Väheste seas on õpilasi, kes armastavad matemaatikat, tunnetavad selle ilu ega küsi, miks on vaja trigonomeetriat õppida, kus õpitud materjali rakendatakse? Suurem osa on neid, kes lihtsalt täidavad ülesandeid, et mitte halba hinnet saada. Ja me usume kindlalt, et matemaatika rakenduslik väärtus on saada teadmisi, mis on piisavad ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks ja ülikooli astumiseks (registreerumine ja unustamine).
Esitletava tunni põhieesmärk on näidata trigonomeetria rakenduslikku väärtust erinevates inimtegevuse valdkondades. Toodud näited aitavad õpilastel näha seost selle matemaatika osa ja teiste koolis õpitavate ainete vahel. Selle tunni sisu on õpilaste erialase koolituse element.
Räägi midagi uut näiliselt ammu teada fakti kohta. Näidake loogilist seost selle vahel, mida me juba teame, ja selle vahel, mida veel õppida. Avage uks veidi ja vaadake kooli õppekavast kaugemale. Ebatavalised ülesanded, seosed tänaste sündmustega – need on võtted, mida kasutan oma eesmärkide saavutamiseks. Koolimatemaatika kui õppeaine ei panusta ju niivõrd õppimisse, kuivõrd indiviidi, tema mõtlemise ja kultuuri arengusse.
2. Tunni kokkuvõte algebrast ja analüüsi põhimõtetest (10. klass).
Korraldamise aeg: Paiguta kuus tabelit poolringi (protraktori mudel), laudadele töölehed õpilastele (1. lisa).
Tunni teema väljakuulutamine: "Trigonomeetria on lihtne ja selge."
Algebra ja elementaaranalüüsi käigus hakkame õppima trigonomeetriat, tahaksin rääkida selle matemaatika lõigu rakenduslikust tähendusest.
Tunni lõputöö:
"Suurt loodusraamatut saavad lugeda ainult need, kes teavad keelt, milles see on kirjutatud, ja see keel on matemaatika."
(G. Galileo).
Tunni lõpus mõtleme koos, kas suutsime sellesse raamatusse sisse vaadata ja aru saada keelest, milles see on kirjutatud.
Teravnurga trigonomeetria.
Trigonomeetria on kreeka sõna ja tõlkes tähendab "kolmnurkade mõõtmist". Trigonomeetria tekkimist seostatakse maapealsete mõõtmiste, ehituse ja astronoomiaga. Ja teie esimene tutvus sellega juhtus siis, kui võtsite kätte kraadiklaasi. Kas olete märganud, kuidas lauad on paigutatud? Mõelge sellele oma mõtetes: kui me võtame ühe tabeli akordina, siis milline on selle kaare aste, mida see allutab?
Meenutagem nurkade mõõtmist: 1 ° = 1/360 ringi osa (“kraad” – ladinakeelsest sõnast grad – samm). Kas tead, miks ring jagunes 360 osaks, miks mitte 10, 100 või 1000 osaks, nagu juhtub näiteks pikkuste mõõtmisel? Ma ütlen teile ühe versiooni.
Varem uskusid inimesed, et Maa on universumi keskpunkt ja see on liikumatu ning Päike teeb päevas ühe tiiru ümber Maa, maailma geotsentrilise süsteemi, “geo” - Maa ( Joonis nr 1). Astronoomilisi vaatlusi teinud Babüloonia preestrid avastasid, et pööripäeva päeval kirjeldab Päike päikesetõusust päikeseloojanguni taevavõlvis poolringi, millesse Päikese nähtav läbimõõt (läbimõõt) mahub täpselt 180 korda, 1 ° - Päikese jälg. ( Joonis nr 2).
Trigonomeetria oli pikka aega puhtalt geomeetriline. Jätkate trigonomeetria sissejuhatust täisnurksete kolmnurkade lahendamisega. Saate teada, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe, koosinus on külgneva külje ja hüpotenuusi suhe, puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe ja kotangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe. Ja pidage meeles, et antud nurgaga täisnurkses kolmnurgas ei sõltu külgede suhe kolmnurga suurusest. Õppige siinuse ja koosinuse teoreeme suvaliste kolmnurkade lahendamiseks.
2010. aastal sai Moskva metroo 75-aastaseks. Iga päev läheme metroosse ega märka, et...
Ülesanne nr 1. Kõigi Moskva metroo eskalaatorite kaldenurk on 30 kraadi. Teades seda, eskalaatori lampide arvu ja lampide ligikaudset kaugust, saate arvutada jaama ligikaudse sügavuse. Jaamas Tsvetnoy Boulevard on eskalaatoril 15 lampi ja Pražskaja jaamas 2 lampi. Arvutage nende jaamade sügavus, kui laternate vahelised kaugused eskalaatori sissepääsust esimese laternani ja viimasest laternast eskalaatori väljapääsuni on 6 m ( Joonis nr 3). Vastus: 48 m ja 9 m
Kodutöö. Moskva metroo sügavaim jaam on Võidu park. Mis on selle sügavus? Soovitan teil iseseisvalt leida puuduvad andmed, et lahendada oma kodutöö.
Mul on käes laserkursor, mis on ühtlasi ka kaugusmõõtja. Mõõdame näiteks kaugust tahvlist.
Hiina disainer Huan Qiaokun arvas, et ühendab kaks laserkaugusmõõtjat ja kraadiklaasi üheks seadmeks ning hankis tööriista, mis võimaldab teil määrata kahe tasapinna punkti vahelise kauguse ( Joonis nr 4). Mis teoreem teie arvates selle probleemi lahendab? Pidage meeles koosinusteoreemi sõnastust. Kas olete minuga nõus, et teie teadmised on sellise leiutise tegemiseks juba piisavad? Lahendage geomeetriaülesandeid ja tehke iga päev väikseid avastusi!
Sfääriline trigonomeetria.
Lisaks Eukleidese tasasele geomeetriale (planimeetria) võib olla ka teisi geomeetriaid, kus kujundite omadusi ei käsitleta mitte tasapinnal, vaid muudel pindadel, näiteks kuuli pinnal ( Joonis nr 5). Esimene matemaatik, kes pani aluse mitteeukleidiliste geomeetriate arendamisele, oli N.I. Lobatševski – “Geomeetria Kopernik”. Alates 1827. aastast oli ta 19 aastat Kaasani ülikooli rektor.
Sfääriline trigonomeetria, mis on osa sfäärilisest geomeetriast, võtab arvesse kolmnurkade külgede ja nurkade vahelisi seoseid sfääril, mille moodustavad sfääril paiknevad suurte ringide kaared ( Joonis nr 6).
Ajalooliselt tekkis sfääriline trigonomeetria ja geomeetria astronoomia, geodeesia, navigatsiooni ja kartograafia vajadustest. Mõelge, milline neist valdkondadest on viimastel aastatel saanud nii kiire arengu, et selle tulemusi kasutatakse juba tänapäevastes kommunikaatorites. ... Kaasaegne navigatsioonirakendus on satelliitnavigatsioonisüsteem, mis võimaldab määrata objekti asukohta ja kiirust selle vastuvõtja signaali järgi.
Globaalne navigatsioonisüsteem (GPS). Vastuvõtja pikkus- ja laiuskraadi määramiseks on vaja signaale vastu võtta vähemalt kolmelt satelliidilt. Neljanda satelliidi signaali vastuvõtmine võimaldab määrata objekti kõrguse pinnast ( Joonis nr 7).
Vastuvõtjaarvuti lahendab neli võrrandit neljas tundmatus, kuni leitakse lahendus, mis tõmbab kõik ringid läbi ühe punkti ( Joonis nr 8).
Teravnurga trigonomeetria tundmine osutus keerukamate praktiliste ülesannete lahendamiseks ebapiisavaks. Pöörlemis- ja ringliikumise uurimisel ei ole nurga ja ringkaare väärtus piiratud. Tekkis vajadus liikuda üldistatud argumendi trigonomeetriale.
Üldistatud argumendi trigonomeetria.
Ring ( Joonis nr 9). Positiivsed nurgad joonistatakse vastupäeva, negatiivsed päripäeva. Kas olete sellise lepingu ajalooga kursis?
Teatavasti on mehaanilised ja päikesekellad disainitud nii, et nende käed pöörlevad “mööda päikest”, st. samas suunas, milles näeme Päikese näilist liikumist ümber Maa. (Pidage meeles tunni algust - maailma geotsentriline süsteem). Kuid kuna Kopernik avastas Maa tõelise (positiivse) liikumise ümber Päikese, on Päikese liikumine ümber Maa, mida me näeme (st näiline), fiktiivne (negatiivne). Maailma heliotsentriline süsteem (helio - päike) ( Joonis nr 10).
Soojendama.
- Sirutage parem käsi enda ette, paralleelselt laua pinnaga, ja sooritage 720-kraadine ringpööre.
- Sirutage vasak käsi enda ette paralleelselt laua pinnaga ja sooritage (–1080) kraadi ringikujuline pööre.
- Asetage käed õlgadele ja tehke 4 ringikujulist liigutust edasi-tagasi. Mis on pöördenurkade summa?
2010. aastal peeti Vancouveris taliolümpiamängud, kus õpime ülesande lahendamise teel uisutaja harjutuse hindamise kriteeriume.
Ülesanne nr 2. Kui uisutaja teeb harjutust “kruvi” sooritades 12 sekundiga 10 800-kraadise pöörde, saab ta hinde “suurepärane”. Määrake, mitu pööret uisutaja selle aja jooksul teeb ja tema pöörlemiskiirus (pööret sekundis). Vastus: 2,5 pööret/sek.
Kodutöö. Millise nurga all pöörab "mitterahuldava" hinnangu saanud uisutaja, kui tema kiirus oli samal pöörlemisajal 2 pööret sekundis.
Pöörlemisliigutustega seotud kaare ja nurkade kõige mugavamaks mõõtmiseks osutus radiaan (raadius) kui nurga või kaare suurem mõõtühik ( Joonis nr 11). See nurkade mõõtmise mõõt jõudis teadusesse Leonhard Euleri tähelepanuväärsete tööde kaudu. Sünnilt šveitslane, elas 30 aastat Venemaal ja oli Peterburi Teaduste Akadeemia liige. Just temale võlgneme kogu trigonomeetria "analüütilise" tõlgenduse, ta tuletas valemid, mida praegu uurite, tutvustas ühtseid märke: patt x, cos x, tg x,ctg x.
Kui kuni 17. sajandini oli trigonomeetriliste funktsioonide õpetuse väljatöötamine üles ehitatud geomeetrilisele alusele, siis alates 17. sajandist hakati trigonomeetrilisi funktsioone rakendama mehaanika, optika, elektriülesannete lahendamisel, võnkeprotsesside ja lainetuse kirjeldamisel. paljundamine. Kus iganes peame tegelema perioodiliste protsesside ja võnkumistega, on trigonomeetrilised funktsioonid leidnud rakendust. Perioodiliste protsesside seadusi väljendavatel funktsioonidel on ainult neile omane eriline omadus: nad kordavad oma väärtusi sama argumentide muutumise intervalli kaudu. Muutused mis tahes funktsioonis on kõige selgemalt edasi antud selle graafikul ( Joonis nr 12).
Oleme juba pöördunud oma keha poole abi saamiseks rotatsiooniga seotud probleemide lahendamisel. Kuulame oma südamelööke. Süda on iseseisev organ. Aju kontrollib kõiki meie lihaseid, välja arvatud süda. Sellel on oma juhtimiskeskus - siinusõlm. Iga südame kokkutõmbumisega levib elektrivool üle kogu keha – alustades siinussõlmest (hirsitera suurune). Seda saab registreerida elektrokardiograafi abil. Ta teeb elektrokardiogrammi (sinusoidi) ( Joonis nr 13).
Räägime nüüd muusikast. Matemaatika on muusika, see on intelligentsuse ja ilu liit.
Muusika on arvutamisel matemaatika, abstraktsioonis algebra, ilu osas trigonomeetria. Harmooniline võnkumine (harmooniline) on sinusoidne võnkumine. Graafik näitab, kuidas muutub õhurõhk kuulaja trummikile: perioodiliselt üles-alla kaarekujuliselt. Õhk surub, nüüd tugevam, nüüd nõrgem. Löögijõud on väga väike ja vibratsioon tekib väga kiiresti: sadu ja tuhandeid lööke igas sekundis. Selliseid perioodilisi vibratsioone tajume helina. Kahe erineva harmoonilise lisamine annab keerukama kujuga vibratsiooni. Kolme harmoonilise summa on veelgi keerulisem ning loomulikud helid ja muusikariistade helid koosnevad suurest hulgast harmoonilistest. ( Joonis nr 14.)
Iga harmoonilist iseloomustavad kolm parameetrit: amplituud, sagedus ja faas. Võnkesagedus näitab, mitu õhurõhu lööki toimub ühes sekundis. Kõrgeid sagedusi tajutakse "kõrgete", "õhukeste" helidena. Üle 10 KHz – kriuks, vile. Väikesi sagedusi tajutakse kui “madalat”, “bassi” heli, mürinat. Amplituud on vibratsiooni vahemik. Mida suurem on ulatus, seda suurem on mõju kuulmekile ja seda valjem on heli, mida kuuleme ( Joonis nr 15). Faas on võnkumiste nihkumine ajas. Faasi saab mõõta kraadides või radiaanides. Sõltuvalt faasist nihkub graafiku nullpunkt. Harmooniku seadistamiseks piisab faasi määramisest vahemikus –180 kuni +180 kraadi, kuna suurte väärtuste korral kordub võnkumine. Algebraliselt liidetakse kaks sama amplituudi ja sagedusega, kuid erinevate faasidega sinusoidset signaali ( Joonis nr 16).
Tunni kokkuvõte. Kas arvate, et suutsime lugeda paar lehekülge Suurest Looduse Raamatust? Olles õppinud tundma trigonomeetria rakenduslikku tähendust, sai teile selgemaks selle roll erinevates inimtegevuse valdkondades, kas saite esitatud materjalist aru? Seejärel pidage meeles ja loetlege trigonomeetria rakendusalasid, mida täna kohtasite või teadsite varem. Loodan, et igaüks teist leidis tänasest õppetunnist midagi uut ja huvitavat. Võib-olla näitab see uus asi teile, kuidas tulevase elukutse valikul teete, kuid olenemata sellest, kelleks te saate, aitab teie matemaatiline haridus teil saada professionaaliks ja intellektuaalselt arenenud inimeseks.
Kodutöö. Lugege tunni kokkuvõtet (
Trigonomeetriliste teisenduste tegemisel järgige neid näpunäiteid.
- Ärge proovige näitele kohe algusest lõpuni lahendust leida.
- Ärge proovige kogu näidet korraga teisendada. Astuge väikeste sammudega edasi.
- Pidage meeles, et lisaks trigonomeetria trigonomeetrilistele valemitele saate siiski kasutada kõiki õiglasi algebralisi teisendusi (sulgud, murdude lühendamine, lühendatud korrutusvalemid jne).
- Uskuge, et kõik saab korda.
Põhilised trigonomeetrilised valemid
Enamikku trigonomeetria valemeid kasutatakse sageli nii paremalt vasakule kui ka vasakult paremale, seega peate need valemid nii hästi selgeks õppima, et saaksite mõnda valemit hõlpsasti mõlemas suunas rakendada. Kõigepealt kirjutame üles trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid. Olgu täisnurkne kolmnurk:
Seejärel siinuse määratlus:
Koosinuse definitsioon:
Tangensi määratlus:
Kootangensi määratlus:
Põhiline trigonomeetriline identiteet:
Trigonomeetrilise põhiidentiteedi lihtsaimad tagajärjed:
Topeltnurga valemid. Topeltnurga siinus:
Topeltnurga koosinus:
Topeltnurga puutuja:
Topeltnurga kotangents:
Täiendavad trigonomeetrilised valemid
Trigonomeetrilised liitmisvalemid. Siinus summast:
Siinus erinevusest:
Summa koosinus:
Erinevuse koosinus:
Summa puutuja:
Erinevuse puutuja:
Summa kotangents:
Erinevuse kotangents:
Trigonomeetrilised valemid summa teisendamiseks korrutiseks. Siinuste summa:
Siinuse erinevus:
Koosinuste summa:
Koosinuste erinevus:
Puutujate summa:
Tangentne erinevus:
Kootangentide summa:
Kotangentne erinevus:
Trigonomeetrilised valemid korrutise teisendamiseks summaks. Siinuste saadus:
Siinuse ja koosinuse korrutis:
Koosinuste toode:
Kraadide vähendamise valemid.
Poolnurga valemid.
Trigonomeetrilised redutseerimisvalemid
Koosinusfunktsiooni nimetatakse ühisfunktsioon siinusfunktsioonid ja vastupidi. Samamoodi on puutuja- ja kotangentfunktsioonid kaasfunktsioonid. Vähendamise valemeid saab koostada järgmise reeglina:
- Kui redutseerimisvalemis lahutatakse (liidetakse) nurk 90 kraadist või 270 kraadist, siis redutseeritud funktsioon muutub kaasfunktsiooniks;
- Kui taandamise valemis lahutatakse (liidetakse) nurk 180 kraadist või 360 kraadist, siis taandatud funktsiooni nimi jääb alles;
- Sel juhul asetatakse redutseeritud (s.o. algse) funktsiooni vastavas kvadrandis olev märk redutseeritud funktsiooni ette, kui lahutatud (liidetud) nurka pidada teravaks.
Vähendamise valemid on esitatud tabeli kujul:
Kõrval trigonomeetriline ring lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi:
Trigonomeetrilised võrrandid
Teatud trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks tuleb see taandada üheks lihtsamaks trigonomeetriliseks võrrandiks, millest tuleb juttu allpool. Selle jaoks:
- Võite kasutada ülaltoodud trigonomeetrilisi valemeid. Samal ajal ei pea te proovima kogu näidet korraga ümber kujundada, vaid peate liikuma edasi väikeste sammudega.
- Ei tohi unustada võimalust mõne avaldise teisendamiseks algebraliste meetodite abil, s.t. näiteks võtta sulgudest midagi välja või vastupidi avada sulud, vähendada murdu, rakendada lühendatud korrutusvalemit, viia murded ühise nimetajani jne.
- Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel saate kasutada rühmitamise meetod. Tuleb meeles pidada, et selleks, et mitme teguri korrutis oleks võrdne nulliga, piisab, kui mõni neist on võrdne nulliga ja ülejäänud olid olemas.
- Kandideerimine muutuv asendusmeetod, nagu tavaliselt, peaks võrrand pärast asendamise sisseviimist muutuma lihtsamaks ega sisaldama algset muutujat. Peate meeles pidama ka vastupidise asendamise tegemist.
- Pidage meeles, et trigonomeetrias esinevad sageli homogeensed võrrandid.
- Moodulite avamisel või trigonomeetriliste funktsioonidega irratsionaalsete võrrandite lahendamisel tuleb meeles pidada ja arvestada kõiki vastavate võrrandite tavafunktsioonidega lahendamise peensusi.
- Pidage meeles ODZ-d (trigonomeetrilistes võrrandites taanduvad ODZ-i piirangud peamiselt asjaolule, et te ei saa nulliga jagada, kuid ärge unustage ka muid piiranguid, eriti avaldiste positiivsust ratsionaalsetes võimsustes ja paarisastmete juurte all). Samuti pidage meeles, et siinuse ja koosinuse väärtused võivad olla ainult vahemikus miinus üks kuni pluss üks, kaasa arvatud.
Peaasi, et kui te ei tea, mida teha, tehke vähemalt midagi ja peamine on trigonomeetriliste valemite õige kasutamine. Kui see, mida saate, läheb paremaks ja paremaks, jätkake lahendust ja kui see halveneb, siis minge tagasi algusesse ja proovige rakendada muid valemeid, tehke seda seni, kuni leiate õige lahenduse.
Lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahenduste valemid. Siinuse jaoks on lahenduse kirjutamiseks kaks samaväärset vormi:
Teiste trigonomeetriliste funktsioonide puhul on tähistus üheselt mõistetav. Koosinuse jaoks:
Tangensi jaoks:
Kotangensi jaoks:
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine mõnel erijuhul:
Nende kolme punkti edukas, hoolas ja vastutustundlik rakendamine võimaldab teil näidata CT-s suurepärast tulemust, maksimaalset, milleks olete võimeline.
Leidsid vea?
Kui arvate, et olete leidnud koolitusmaterjalidest vea, kirjutage sellest meili teel. Veast saate teatada ka sotsiaalvõrgustikus (). Kirjas märkige õppeaine (füüsika või matemaatika), teema või testi nimetus või number, ülesande number või koht tekstis (leheküljel), kus teie arvates on viga. Samuti kirjeldage, mis on kahtlustatav viga. Teie kiri ei jää märkamata, viga kas parandatakse või teile selgitatakse, miks see viga pole.
Trigonomeetria ajalugu on lahutamatult seotud astronoomiaga, sest just selle teaduse probleemide lahendamiseks hakkasid iidsed teadlased uurima erinevate suuruste seoseid kolmnurgas.
Tänapäeval on trigonomeetria matemaatika mikroharu, mis uurib kolmnurkade nurkade väärtuste ja külgede pikkuste vahelisi seoseid ning tegeleb ka trigonomeetriliste funktsioonide algebraliste identiteetide analüüsiga.
Mõiste "trigonomeetria"
Mõiste ise, mis sellele matemaatikaharule oma nime andis, avastati esmakordselt saksa matemaatiku Pitiscuse 1505. aastal kirjutatud raamatu pealkirjas. Sõna "trigonomeetria" on kreeka päritolu ja tähendab "kolmnurga mõõtmist". Täpsemalt, me ei räägi selle joonise sõnasõnalisest mõõtmisest, vaid selle lahendusest, st selle tundmatute elementide väärtuste määramisest teadaolevate elementide abil.
Üldine teave trigonomeetria kohta
Trigonomeetria ajalugu algas rohkem kui kaks tuhat aastat tagasi. Algselt seostati selle tekkimist vajadusega selgitada kolmnurga nurkade ja külgede vahelisi seoseid. Uurimistöö käigus selgus, et nende seoste matemaatiline väljendamine eeldab spetsiaalsete trigonomeetriliste funktsioonide kasutuselevõttu, mis algselt kujundati numbriliste tabelitena.
Paljude matemaatikaga seotud teaduste jaoks oli arengu tõukejõuks trigonomeetria ajalugu. Vana-Babüloonia teadlaste uurimistööga seotud nurkade (kraadide) mõõtühikute päritolu põhineb seksagesimaalsel tähistussüsteemil, millest sai alguse paljudes rakendusteadustes kasutatav kaasaegne kümnendmärk.
Eeldatakse, et trigonomeetria eksisteeris algselt astronoomia osana. Siis hakati seda arhitektuuris kasutama. Ja aja jooksul tekkis otstarbekus seda teadust erinevates inimtegevuse valdkondades rakendada. Need on eelkõige astronoomia, mere- ja õhunavigatsioon, akustika, optika, elektroonika, arhitektuur jt.
Trigonomeetria esimestel sajanditel
Säilinud teaduslike säilmete andmetest juhindudes jõudsid teadlased järeldusele, et trigonomeetria ajalugu on seotud Kreeka astronoomi Hipparkhose töödega, kes mõtles esmalt (sfääriliste) kolmnurkade lahendamise viiside leidmisele. Tema tööd pärinevad 2. sajandist eKr.
Samuti oli tolle aja üks olulisemaid saavutusi jalgade ja hüpotenuusi vahelise suhte kindlaksmääramine täisnurksetes kolmnurkades, mida hiljem hakati nimetama Pythagorase teoreemiks.
Vana-Kreeka trigonomeetria arengulugu on seotud astronoomi Ptolemaiose nimega - enne Kopernikut domineerinud geotsentrilise teooria autoriga.
Kreeka astronoomid ei tundnud siinusi, koosinust ega puutujat. Nad kasutasid tabeleid, mis võimaldasid neil leida kaare abil ringi kõõlu väärtust. Akordide mõõtmise ühikud olid kraadid, minutid ja sekundid. Üks kraad oli võrdne raadiuse kuuekümnendikuga.
Samuti edendasid iidsete kreeklaste uuringud sfäärilise trigonomeetria arengut. Eelkõige annab Eukleides oma “Põhimõttes” teoreemi erineva läbimõõduga kuulide mahtude vaheliste seoste mustrite kohta. Tema tööd selles valdkonnas said omamoodi tõuke sellega seotud teadmiste valdkondade arendamiseks. See on eelkõige astronoomiliste instrumentide tehnoloogia, kaardiprojektsioonide teooria, taevane koordinaatsüsteem jne.
Keskaeg: India teadlaste uuringud
India keskaegsed astronoomid saavutasid märkimisväärset edu. Antiikteaduse surm 4. sajandil viis matemaatika arengukeskuse liikumiseni Indiasse.
Trigonomeetria kui matemaatikaõpetuse eraldiseisva osa tekkelugu sai alguse keskajal. Siis asendasid teadlased akordid siinuste vastu. See avastus võimaldas juurutada külgede ja nurkade uurimisega seotud funktsioone ehk siis hakkas trigonomeetria eralduma astronoomiast, muutudes matemaatika haruks.
Aryabhatal olid esimesed siinuste tabelid; need olid tõmmatud läbi 3 o, 4 o, 5 o. Hiljem ilmusid tabelite üksikasjalikud versioonid: eelkõige esitas Bhaskara siinuste tabeli 1 o.
Esimene trigonomeetria spetsiaalne traktaat ilmus 10.-11. Selle autor oli Kesk-Aasia teadlane Al-Biruni. Ja oma põhiteoses "Mas'udi kaanon" (III raamat) läheb keskaegne autor trigonomeetriasse veelgi sügavamale, esitades siinuste tabeli (15-tolliste sammudega) ja puutujate tabeli (1° sammuga). ).
Trigonomeetria arengu ajalugu Euroopas
Pärast araabia traktaatide ladina keelde tõlkimist (XII-XIII sajand) laenas enamik India ja Pärsia teadlaste ideid Euroopa teadusest. Esimesed mainimised trigonomeetria kohta Euroopas pärinevad 12. sajandist.
Teadlaste sõnul on Euroopa trigonomeetria ajalugu seotud Wallingfordi inglase Richardi nimega, kellest sai essee “Neli traktaadi sirgetest ja ümberpööratud akordidest” autor. Just tema tööst sai esimene täielikult trigonomeetriale pühendatud töö. 15. sajandiks mainisid paljud autorid oma töödes trigonomeetrilisi funktsioone.
Trigonomeetria ajalugu: uusaeg
Tänapäeval hakkas enamik teadlasi mõistma trigonomeetria ülimat tähtsust mitte ainult astronoomias ja astroloogias, vaid ka muudes eluvaldkondades. Need on ennekõike suurtükivägi, optika ja navigatsioon pikkadel merereisidel. Seetõttu huvitas see teema 16. sajandi teisel poolel paljusid tolle aja prominente, sealhulgas Nicolaus Copernicust ja Francois Vietat. Kopernik pühendas oma traktaadis "Taevasfääride pöörlemisest" (1543) trigonomeetriale mitu peatükki. Veidi hiljem, 16. sajandi 60ndatel, tsiteeris Koperniku õpilane Rheticus oma töös “Astronoomia optiline osa” viieteistkümnekohalisi trigonomeetrilisi tabeleid.
„Matemaatilises kaanonis” (1579) annab ta tasapinnalise ja sfäärilise trigonomeetria üksikasjaliku ja süstemaatilise, kuigi tõestamata kirjelduse. Ja Albrecht Durerist sai see, tänu kellele siinuslaine sündis.
Leonhard Euleri teened
Trigonomeetriale kaasaegse sisu ja vormi andmine oli Leonhard Euleri teene. Tema traktaat "Introduction to the Analysis of Infinites" (1748) sisaldab mõiste "trigonomeetrilised funktsioonid" definitsiooni, mis on samaväärne tänapäevaga. Seega suutis see teadlane kindlaks teha, kuid see pole veel kõik.
Trigonomeetriliste funktsioonide määratlemine tervel arvujoonel sai võimalikuks tänu Euleri uuringutele mitte ainult lubatud negatiivsete nurkade, vaid ka nurkade puhul, mis on suuremad kui 360°. Just tema tõestas oma töödes esmakordselt, et täisnurga koosinus ja puutuja on negatiivsed. Koosinuse ja siinuse täisarvude laiendamine oli samuti selle teadlase teene. Üldine trigonomeetriliste ridade teooria ja sellest tulenevate ridade konvergentsi uurimine ei olnud Euleri uurimise objektid. Samas tegi ta sellega seotud probleemidega tegeledes palju avastusi. Just tänu tema tööle jätkus trigonomeetria ajalugu. Oma töödes puudutas ta põgusalt sfäärilise trigonomeetria küsimusi.
Trigonomeetria rakendused
Trigonomeetria ei ole rakendusteadus, selle probleeme kasutatakse reaalses igapäevaelus harva. Kuid see asjaolu ei vähenda selle tähtsust. Väga oluline on näiteks triangulatsiooni tehnika, mis võimaldab astronoomidel täpselt mõõta kaugust lähedalasuvate tähtedeni ja jälgida satelliitnavigatsioonisüsteeme.
Trigonomeetriat kasutatakse ka navigatsioonis, muusikateoorias, akustikas, optikas, finantsturgude analüüsis, elektroonikas, tõenäosusteoorias, statistikas, bioloogias, meditsiinis (näiteks ultraheliuuringute dekodeerimisel, ultraheli- ja kompuutertomograafias), farmaatsias, keemias, arvuteoorias, seismoloogia, meteoroloogia, okeanoloogia, kartograafia, paljud füüsika osad, topograafia ja geodeesia, arhitektuur, foneetika, majandus, elektroonikatehnika, masinaehitus, arvutigraafika, kristallograafia jne. Trigonomeetria ajalugu ja roll loodus- ja matemaatika uurimisel teadusi õpitakse tänapäevani. Võib-olla on tulevikus selle rakendusvaldkondi veelgi rohkem.
Põhimõistete tekkelugu
Trigonomeetria tekkimise ja arengu ajalugu ulatub enam kui ühe sajandi taha. Ka selle matemaatikateaduse osa aluseks olevate mõistete kasutuselevõtt ei toimunud üleöö.
Seega on siinuse mõistel väga pikk ajalugu. Kolmnurkade ja ringide segmentide vaheliste suhete mainimist leidub teadustöödes, mis pärinevad 3. sajandist eKr. Selliste suurte iidsete teadlaste nagu Euclid, Archimedes ja Apollonius Perga teosed sisaldavad juba esimesi uuringuid nende suhete kohta. Uued avastused nõudsid teatud terminoloogilisi täpsustusi. Nii annab India teadlane Aryabhata akordile nime "jiva", mis tähendab "vibu nööri". Kui araabia matemaatilised tekstid tõlgiti ladina keelde, asendati see termin sarnase tähendusega sine (s.o "painutada").
Sõna "koosinus" ilmus palju hiljem. Mõiste on lühendatud versioon ladinakeelsest väljendist "täiendav siinus".
Puutujate tekkimine on seotud varju pikkuse määramise probleemi dešifreerimisega. Mõiste “puutuja” võttis 10. sajandil kasutusele araabia matemaatik Abu-l-Wafa, kes koostas esimesed tabelid puutujate ja kotangentide määramiseks. Kuid Euroopa teadlased ei teadnud nendest saavutustest. Saksa matemaatik ja astronoom Regimontanus avastas need mõisted uuesti 1467. aastal. Tangensiteoreemi tõestus on tema teene. Ja see termin on tõlgitud kui "seoses".
Matemaatika haru, mis tegeleb trigonomeetriliste funktsioonide uurimisega ja nende kasutamisega geomeetrias, nimetatakse trigonomeetriaks. Kreeka keelest tõlgituna on see termin tõlgitud kui "kolmnurkade mõõtmine" ("trigonon" - kolmnurk ja "metreo" - mõõtmine). Isegi Vana-Kreekas kasutati akorditehnikat ringkaarte mõõtmisega seotud mõõtmiste ja konstruktsioonide jaoks. Isegi Eukleidese ja Archimedese töödes esitati teoreeme geomeetrilisel kujul, sarnaselt tänapäevaste trigonomeetriliste valemitega.
Matemaatika: trigonomeetria
Trigonomeetria algus
Ajaloolaste sõnul koostas esimesed trigonomeetrilised tabelid Nikaia Hipparkhos, kes elas aastatel 180–125 eKr. See Vana-Kreeka matemaatik oli esimene oma kolleegidest, kes koostas tabelid, mis korreleerivad nurkade seeriale vastavate ringikujuliste kaare ja kõõlude väärtusi. Tema kasutatud ringi jaotus polnud enam uus, sest juba varem oli Hypsicles teinud ettepaneku jagada päev 360 osaks ning midagi sarnast leiti ka Babüloonia astronoomide seas.
Aastal 100 eKr. Aleksandria Minelaos kirjutas kolmest osast koosneva traktaadi “Sfäärid”. Traktaadi esimene kolmandik oli pühendatud sfääriliste kolmnurkade põhialuste uurimisele, sarnaselt Eukleidese tööga tasapinnaliste kolmnurkade kohta. Ja mõni aeg hiljem laiendas Claudius Ptolemaios oma teoses “Almagest” Hipparkhose “Akorde ringis”. 13 raamatust koosnevat Almagestit võib õigustatult pidada antiikaja trigonomeetria valdkonna kõige täiuslikumaks ja kuulsamaks teoseks. Ja kuigi Hipparkhose ja Ptolemaiose tabelid pole kahjuks meie ajani säilinud, tõestavad teiste iidsete autorite teosed nende olemasolu.
Ka India mõtlejad andsid olulise panuse trigonomeetria arengusse. Nii ilmub 4.–5. sajandil Aribhata (tolle aja kuulsa India astronoomi) teostesse mõiste "ardhajiva" (tõlkes india keelest "ardha" - pool ja "jiva" - vibunöör). Seejärel muudeti see "dživaks" ja araablaste seas hakati seda kutsuma "jaib" (punn). Teadustööde tõlkimisel araabia keelest Euroopas üldtunnustatud ladina keelde asendati see termin sõnaga "sine" (painutamine, kumerus). Aribhata koostas ka üksikasjaliku siinuste tabeli, mis pandi tema kuulsasse teosesse “Surya Siddhanta”.
Kui 8.-9. sajandil hakkasid araabia teadlased India matemaatikute ja astronoomide uurimusi araabia keelde tõlkima. Esimeseks araabia astronoomiks ja matemaatikuks peetud Ibrahim Al-Fazari tõlkis koos oma poja Muhamedi ja teise teadlase Yaqub ibn Tariqiga Brahma-sphuta-siddhanta (traktaadi autor oli India matemaatik ja astronoom Brahmagupta). Tõlgitud traktaati nimetati "Suureks Sindhindiks" ja see sai paljude keskaja teadustööde aluseks.
Araabia traktaadid
Ja kõige esimesed enda teosed trigonomeetria kohta kuuluvad al-Khorezmi sulest, kes koostas traktaadi "Lõpetamise ja vastuseisu raamat" ("Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-mukabala"), millest tuli teaduse nimi “algebra”. Samuti ilmusid sel ajal uued trigonomeetria terminid: puutuja ja kootangens, sekant ja kosekants. Araabia matemaatikud arendasid India teadlaste ideid ja täiendasid neid oma teoreemide ja erinevate trigonomeetriliste probleemide uute lahendustega.
Euroopa teadlased, kes uurisid trigonomeetria algust araabia keelde tõlgitud araabia traktaatidest pärast ristisõdasid 12.–12. sajandil, andsid olulise panuse trigonomeetria kui rakendusteaduse arendamisse mitte ainult astronoomia, vaid ka sõjaliste küsimuste jaoks. Termini "trigonomeetria" tutvustas teadusmaailma sakslane B. Piticus, kes avaldas 1595. aastal oma teadusliku töö pealkirjaga "Trigonomeetria ehk lühike ja selge traktaat kolmnurkade lahendamisest".
Selles õppetükis õpime definitsioone trigonomeetrilised funktsioonid ja nende põhiomadused, õppige sellega töötama trigonomeetriline ring, uurime välja, mis see on funktsiooni periood ja mäletan erinevaid nurkade mõõtmise viisid. Lisaks saame aru kasutamisest redutseerimisvalemid.
See õppetund aitab teil valmistuda ühte tüüpi ülesanneteks KELL 7.
Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks
Katse
7. õppetund.Sissejuhatus trigonomeetriasse.
teooria
Tunni kokkuvõte
Täna alustame rubriiki, millel on paljude jaoks hirmutav nimi “Trigonomeetria”. Teeme kohe selgeks, et see ei ole eraldiseisev aine, mis sarnaneb nime poolest geomeetriaga, nagu mõned arvavad. Kuigi kreeka keelest tõlgituna tähendab sõna "trigonomeetria" "kolmnurkade mõõtmist" ja on otseselt seotud geomeetriaga. Lisaks kasutatakse trigonomeetrilisi arvutusi laialdaselt füüsikas ja tehnoloogias. Kuid alustame sellest, kuidas põhilised trigonomeetrilised funktsioonid geomeetrias täisnurkse kolmnurga abil kasutusele võetakse.
Oleme just kasutanud terminit "trigonomeetriline funktsioon" - see tähendab, et tutvustame terve klassi teatud vastavuse seadusi ühe muutuja ja teise vahel.
Selleks kaaluge täisnurkset kolmnurka, milles mugavuse huvides kasutatakse külgede ja nurkade standardseid tähiseid, mida näete joonisel:
Mõelge näiteks nurkaja sisestage selle jaoks järgmised toimingud:
Nimetagem vastaskülje ja hüpotenuusi siinuse suhet, s.o.
Nimetagem külgneva jala ja hüpotenuusi koosinuse suhet, s.o. ;
Vastaskülje ja külgneva külje suhet nimetatakse puutujaks, st. ;
Külgneva külje ja vastaskülje suhet nimetatakse kotangensiks, st. .
Kõiki neid nurgaga toiminguid nimetatakse trigonomeetrilised funktsioonid. Nurka ennast tavaliselt nimetatakse trigonomeetrilise funktsiooni argument ja seda saab tähistada näiteks X-ga, nagu algebras tavaliselt kombeks.
Oluline on kohe aru saada, et trigonomeetrilised funktsioonid sõltuvad konkreetselt täisnurkse kolmnurga nurgast, mitte selle külgedest. Seda on lihtne tõestada, kui arvestada sellele sarnase kolmnurgaga, mille külgede pikkused on erinevad, kuid kõik külgede nurgad ja suhted ei muutu, s.t. Samuti jäävad muutumatuks nurkade trigonomeetrilised funktsioonid.
Pärast seda trigonomeetriliste funktsioonide määratlust võib tekkida küsimus: „Kas on näiteks? Lõppude lõpuks, nurkei saa olla täisnurkses kolmnurgas» . Kummalisel kombel on vastus sellele küsimusele jaatav ja selle avaldise väärtus on võrdne , ja see on veelgi üllatavam, kuna kõik trigonomeetrilised funktsioonid on täisnurkse kolmnurga külgede suhe ja külgede pikkused on positiivsed numbrid.
Kuid selles pole paradoksi. Fakt on see, et näiteks füüsikas on mõne protsessi kirjeldamisel vaja kasutada mitte ainult suurte, vaid ka suurte ja ühtlaste nurkade trigonomeetrilisi funktsioone. Selleks on vaja kehtestada üldisem reegel trigonomeetriliste funktsioonide arvutamiseks, kasutades nn. "ühik trigonomeetriline ring".
See on ühikulise raadiusega ring, mis on tõmmatud nii, et selle kese on Descartes'i tasandi lähtepunktis.
 |
Nurkade kujutamiseks selles ringis peate kokku leppima, kust need asetada. Nurga võrdluskiireks on aktsepteeritud võtta abstsisstelje positiivset suunda, s.o. x-telg. Nurkade ladestumise suunaks loetakse vastupäeva. Nende kokkulepete põhjal jätame esmalt kõrvale teravnurga. Just selliste teravnurkade puhul teame juba, kuidas arvutada täisnurkse kolmnurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi. Selgub, et kujutatud ringi abil saab arvutada ka trigonomeetrilisi funktsioone, ainult et mugavamalt.
Teravnurga siinuse ja koosinuse väärtused on selle nurga külje ja ühikringi lõikepunkti koordinaadid:
Selle saab kirjutada nii:
:
Lähtudes sellest, koordinaadid piki x-telge näitavad koosinuse väärtust ja koordinaadid piki y-telge näitavad nurga siinuse väärtust, on mugav telgede nimed ümber nimetada koordinaatsüsteemis ühikringiga, nagu näete joonisel:
 |
Abstsisstelg nimetatakse ümber koosinusteljeks ja ordinaattelg siinusteljeks.
Täpsustatud siinuse ja koosinuse määramise reegel on üldistatud nii nürinurkadele kui ka vahemikust kuni jäävatele nurkadele. Sel juhul võivad siinused ja koosinused omandada nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Erinevad nende trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid sõltuvalt sellest, millisesse veerandisse kõnealune nurk langeb, on tavaks seda kujutada järgmiselt:
Nagu näete, määravad trigonomeetriliste funktsioonide märgid neile vastavate telgede positiivsed ja negatiivsed suunad.
Lisaks tasub tähelepanu pöörata asjaolule, et kuna ühikringi punkti suurim koordinaat nii piki abstsissi kui ka ordinaattelge on võrdne ühega ja väikseim on miinus üks, siis siinus- ja koosinusväärtused piiratud järgmiste numbritega:
Need kirjed kirjutatakse tavaliselt ka järgmisel kujul:
Trigonomeetrilisel ringil puutuja ja kotangensi funktsioonide tutvustamiseks on vaja joonistada täiendavaid elemente: ringi puutuja punktis A - sellest määratakse nurga puutuja väärtus ja puutuja punktis A. punkt B - sellest määratakse nurga kotangensi väärtus.
 |
|||
 |
Kuid me ei süvene trigonomeetrilise ringi puutujate ja kotangentide määratlusse, sest neid saab hõlpsasti arvutada, teades antud nurga siinuse ja koosinuse väärtusi, mida me juba teame. Kui olete huvitatud trigonomeetrilise ringi puutuja ja kotangensi arvutamise õppimisest, vaadake üle 10. klassi algebra kursuse ainekava.
Ringil tähistame ainult pilti puutujate ja kotangentide märgid sõltuvalt nurgast:
Pange tähele, et sarnaselt siinus- ja koosinusväärtuste vahemikele saate määrata puutuja- ja kotangentsete väärtuste vahemikke. Nende määratluse põhjal trigonomeetrilisel ringil, nende funktsioonide tähendused ei ole piiratud:
Mida saab veel niimoodi kirjutada:
Lisaks nurkadele vahemikus kuni, võimaldab trigonomeetriline ring töötada suuremate ja isegi negatiivsete nurkadega. Selliseid nurgaväärtusi, kuigi need tunduvad geomeetria jaoks mõttetud, kasutatakse mõningate füüsikaliste protsesside kirjeldamiseks. Näiteks kuidas vastate küsimusele: "Mis nurga all kella osuti päevas pöörab?" Selle aja jooksul teeb see kaks täispööret ja ühe pöördega läbib, s.t. päeva jooksul muutub see . Nagu näete, on sellistel väärtustel väga praktiline tähendus. Pöörlemissuuna märkimiseks kasutatakse nurgamärke - ühte suundadest on kokku lepitud mõõdetakse positiivsete ja teist negatiivsete nurkade abil. Kuidas saab seda trigonomeetrilises ringis arvesse võtta?
Selliste nurkadega ringil töötavad need järgmiselt:
1) Nurgad, mis on suuremad kui , joonistatakse vastupäeva, läbides lähtepunkti nii mitu korda kui vaja. Näiteks nurga konstrueerimiseks peate läbima kaks täispööret ja veel ühe. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid arvutatakse lõpppositsiooni jaoks. On lihtne näha, et kõigi trigonomeetriliste funktsioonide väärtused jaoks ja jaoks on samad.
2) Negatiivsed nurgad on paigutatud täpselt sama põhimõtte järgi nagu positiivsed, ainult päripäeva.
Juba ainuüksi suurte nurkade konstrueerimise meetodil võime järeldada, et erinevate nurkade siinuste ja koosinuste väärtused on samad. Kui analüüsime puutujate ja kotangentide väärtusi, on need samad nurkade puhul, mis erinevad .
Sellised minimaalsed nullist erinevad arvud, kui need lisatakse argumendile, ei muuda funktsiooni väärtust, kutsutakse välja periood seda funktsiooni.
Seega perioodsiinus ja koosinus on võrdsed, ning puutuja ja kotangens. See tähendab, et olenemata sellest, kui palju te neid perioode vaadeldavatest nurkadest lisate või lahutate, trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ei muutu.
Näiteks, ja jne.
Selle trigonomeetriliste funktsioonide omaduse üksikasjalikuma selgituse ja rakenduse juurde pöördume hiljem tagasi.
Sama argumendi trigonomeetriliste funktsioonide vahel on teatud seosed, mida väga sageli kasutatakse ja mida nimetatakse põhilised trigonomeetrilised identiteedid.
Need näevad välja sellised:
1)
, niinimetatud "trigonomeetriline ühik"
3)
4)
5)
Pange tähele, et näiteks tähistus tähendab, et kogu trigonomeetriline funktsioon on ruudus. Need. seda saab esitada järgmisel kujul: 
. Oluline on mõista, et see ei ole võrdne tähistusega nagu , sel juhul on ruudus ainult argument, mitte kogu funktsioon, ja pealegi on seda tüüpi avaldised äärmiselt haruldased.
Esimesest identiteedist on kaks väga kasulikku järeldust, mis võivad olla kasulikud mitut tüüpi probleemide lahendamisel. Pärast lihtsaid teisendusi saate siinust väljendada sama nurga koosinuse kaudu ja vastupidi:
Ilmub kaks võimalikku väljendusmärki, sest aritmeetilise ruutjuure võtmine annab ainult mittenegatiivsed väärtused ning siinusel ja koosinusel, nagu me juba nägime, võivad olla negatiivsed väärtused. Veelgi enam, nende funktsioonide märke on kõige mugavam määrata trigonomeetrilise ringi abil, sõltuvalt sellest, millised nurgad neis esinevad.
Nüüd meenutagem, et nurki saab mõõta kahel viisil: kraadides ja radiaanides. Näidakem ühe kraadi ja ühe radiaani määratlusi.
Üks kraad- see on nurk, mille moodustavad kaks raadiust, mis katavad ringiga võrdset kaare.
Üks radiaan- see on nurk, mille moodustavad kaks raadiust, mille vahele jääb raadiustega võrdne kaar.
Need. need on lihtsalt kaks erinevat nurkade mõõtmise viisi, mis on täiesti võrdsed. Füüsikaliste protsesside kirjeldamisel, mida iseloomustavad trigonomeetrilised funktsioonid, on tavaks kasutada nurkade radiaanimõõtu, seega peame ka sellega harjuma.
Tavaliselt mõõdetakse nurki radiaanides pi murdosades, näiteks või. Sel juhul saab asendada arvu “pi” väärtuse, mis on 3,14, kuid seda tehakse harva.
Nurkade kraadimõõtmise teisendamiseks radiaanideks kasutage ära asjaolu, et nurk on , millest on lihtne saada üldine tõlkevalem:
Teisendame näiteks radiaanideks: 
.
On ka vastupidist valemteisendamine radiaanidest kraadideks:
Teisendame näiteks kraadideks: 
.
Nurga radiaanimõõtu kasutame selles teemas üsna sageli.
Nüüd on aeg meeles pidada, milliseid konkreetseid väärtusi saavad erinevate nurkade trigonomeetrilised funktsioonid anda. Mõne nurga puhul, mis on kordsed, on olemas trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel. Mugavuse huvides on nurgad antud kraadides ja radiaanides.
Neid nurki tuleb sageli kokku paljude probleemide korral ja soovitav on selles tabelis enesekindlalt navigeerida. Mõne nurga puutuja ja kotangensi väärtustel pole mõtet, mis on tabelis märgitud kriipsudega. Mõelge ise, miks see nii on, või lugege selle kohta üksikasjalikumalt õppetunni vahetükist.
Viimane asi, millega peame oma esimeses trigonomeetriatunnis tutvuma, on trigonomeetriliste funktsioonide teisendamine nn redutseerimisvalemite abil.
Selgub, et trigonomeetriliste funktsioonide jaoks on olemas teatud tüüpi avaldis, mis on üsna levinud ja mugavalt lihtsustatud. Näiteks on need väljendid: jne.
Need. Räägime funktsioonidest, mis võtavad argumendina suvalise nurga, mis on muudetud terveks või pooleks osaks. Sellised funktsioonid on lihtsustatud argumendiks, mis võrdub osade suvalise liitmise või lahutamise nurgaga. Näiteks, 
, A 
. Nagu näete, võib tulemuseks olla vastupidine funktsioon ja funktsioon võib muuta märki.
Seetõttu võib selliste funktsioonide teisendamise reeglid jagada kahte etappi. Esiteks peate kindlaks määrama, millise funktsiooni pärast teisendust saate:
1) Kui suvaline argument muudetakse täisarvuks, siis funktsioon ei muutu. See kehtib funktsioonide tüübi kohta , kus suvaline täisarv;