Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse !!!
Võrdsust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilise funktsiooni märgi all (`sin x, cos x, tg x` või `ctg x`), nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks ja me käsitleme nende valemeid edasi.
Lihtsamad võrrandid on "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", kus "x" on leitav nurk, "a" on suvaline arv. Kirjutame igaühe jaoks juurvalemid.
1. Võrrand "sin x=a".
„|a|>1” puhul pole sellel lahendusi.
Koos `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.
Juurvalem: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Võrrand „cos x=a”.
`|a|>1` puhul - nagu siinuse puhul, pole reaalarvude hulgas lahendeid.
Koos `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.
Juurvalem: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Siinuse ja koosinuse erijuhud graafikutes. 
3. Võrrand „tg x=a”.
Sellel on lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.
Juurvalem: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Võrrand „ctg x=a”.
Sellel on ka lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.
Juurvalem: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Tabeli trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid
Siinuse puhul: 
Koosinuse jaoks: 
Tangensi ja kotangensi jaoks: 
Valemid pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamiseks:
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid
Mis tahes trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist:
- kasutades selle teisendamiseks kõige lihtsamaks;
- lahendage saadud lihtne võrrand, kasutades ülaltoodud juurte ja tabelite valemeid.
Vaatleme näidete abil peamisi lahendusviise.
algebraline meetod.
Selle meetodi puhul toimub muutuja asendamine ja selle asendamine võrdsusega.
Näide. Lahendage võrrand: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,
tehke asendus: "cos(x+\frac \pi 6)=y", siis "2y^2-3y+1=0",
leiame juured: `y_1=1, y_2=1/2`, millest järgneb kaks juhtumit:
1. „cos(x+\frac \pi 6)=1”, „x+\frac \pi 6=2\pi n”, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n”.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Vastus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktoriseerimine.
Näide. Lahendage võrrand: `sin x+cos x=1`.
Lahendus. Liigutage kõik võrdsuse tingimused vasakule: "sin x+cos x-1=0". Kasutades , teisendame ja faktoriseerime vasaku külje:
"sin x - 2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Vastus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Taandamine homogeenseks võrrandiks
Esiteks peate selle trigonomeetrilise võrrandi viima ühele kahest vormist:
`a sin x+b cos x=0` (esimese astme homogeenne võrrand) või `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (teise astme homogeenne võrrand).
Seejärel jagage mõlemad osad esimesel juhul ühikuga "cos x \ne 0" ja teise puhul "cos^2 x \ne 0". `tg x` jaoks saame võrrandid: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, mis tuleb lahendada tuntud meetoditega.
Näide. Lahendage võrrand: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Lahendus. Kirjutame paremale poolele `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagades selle vasaku ja parema külje arvuga "cos^2 x \ne 0", saame:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0
"tg^2 x+tg x - 2=0". Tutvustame asendust `tg x=t`, mille tulemusena `t^2 + t - 2=0`. Selle võrrandi juured on "t_1=-2" ja "t_2=1". Seejärel:
- „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
- „tg x=1”, „x=arctg 1+\pi n”, „x_2=\pi/4+\pi n”, „n \in Z”.
Vastus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.
Minge poolnurka
Näide. Lahendage võrrand: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Lahendus. Topeltnurga valemeid rakendades on tulemus: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0”.
Kasutades ülalkirjeldatud algebralist meetodit, saame:
- „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
- „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.
Vastus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Abinurga sissejuhatus
Trigonomeetrilises võrrandis `a sin x + b cos x =c`, kus a,b,c on koefitsiendid ja x on muutuja, jagame mõlemad osad `sqrt (a^2+b^2)-ga:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".
Vasakpoolsetel koefitsientidel on siinuse ja koosinuse omadused, nimelt on nende ruutude summa võrdne 1-ga ja nende moodul ei ole suurem kui 1. Tähistage neid järgmiselt: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, siis:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Vaatame lähemalt järgmist näidet:
Näide. Lahendage võrrand: `3 sin x+4 cos x=2`.
Lahendus. Jagades võrrandi mõlemad pooled `sqrt (3^2+4^2)`ga, saame:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5”.
Tähistage "3/5 = cos \varphi", "4/5 = sin \varphi". Kuna `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, võtame abinurgaks `\varphi=arcsin 4/5`. Seejärel kirjutame oma võrdsuse kujul:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Rakendades siinuse nurkade summa valemit, kirjutame oma võrdsuse järgmisel kujul:
`sin(x+\varphi)=2/5',
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z',
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.
Vastus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.
Murdratsionaaltrigonomeetrilised võrrandid
Need on murdudega võrdsused, mille lugejates ja nimetajates on trigonomeetrilised funktsioonid.
Näide. Lahenda võrrand. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.
Lahendus. Korrutage ja jagage võrrandi parem pool arvuga „(1+cos x)”. Selle tulemusena saame:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0
Arvestades, et nimetaja ei saa olla null, saame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.
Võrdsusta murru lugeja nulliga: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Seejärel „sin x=0” või „1-sin x=0”.
- „sin x=0”, „x=\pi n”, „n \in Z”.
- „1-sin x=0”, „sin x=-1”, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z”.
Arvestades, et x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, on lahendused `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , 'n \in Z'.
Vastus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".
Trigonomeetriat ja eriti trigonomeetrilisi võrrandeid kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Õppetöö algab 10. klassist, eksamil on alati ülesanded, nii et proovige meeles pidada kõiki trigonomeetriliste võrrandite valemeid - need tulevad teile kindlasti kasuks!
Kuid te ei pea neid isegi pähe õppima, peamine on mõista olemust ja osata järeldada. See pole nii raske, kui tundub. Vaadake videot vaadates ise.
Trigonomeetrilised võrrandid pole just kõige lihtsam teema. Valusalt on need erinevad.) Näiteks need:
sin2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Jne...
Kuid neil (ja kõigil teistel) trigonomeetrilistel koletistel on kaks ühist ja kohustuslikku tunnust. Esiteks – te ei usu seda – võrrandites on trigonomeetrilised funktsioonid.) Teiseks: kõik x-iga avaldised on samade funktsioonide raames. Ja ainult seal! Kui kuskil ilmub x väljas, näiteks, sin2x + 3x = 3, see on segatüüpi võrrand. Sellised võrrandid nõuavad individuaalset lähenemist. Siin me neid ei arvesta.
Ka selles tunnis ei lahenda me kurje võrrandeid.) Siin käsitlemegi lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Miks? Jah, sest otsus ükskõik milline trigonomeetrilised võrrandid koosnevad kahest etapist. Esimeses etapis taandatakse kurja võrrand erinevate teisenduste abil lihtsaks. Teisel - see lihtsaim võrrand on lahendatud. Ei muud moodi.
Seega, kui teil on probleeme teises etapis, pole esimesel etapil erilist mõtet.)
Kuidas näevad välja elementaartrigonomeetrilised võrrandid?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Siin a tähistab mis tahes numbrit. Ükskõik milline.
Muide, funktsiooni sees ei pruugi olla puhas x, vaid mingisugune avaldis, näiteks:
cos(3x+π /3) = 1/2
jne. See muudab elu keeruliseks, kuid ei mõjuta trigonomeetrilise võrrandi lahendamise meetodit.
Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid?
Trigonomeetrilisi võrrandeid saab lahendada kahel viisil. Esimene viis: loogika ja trigonomeetrilise ringi kasutamine. Uurime seda teed siin. Teist võimalust - mälu ja valemite kasutamist - käsitletakse järgmises õppetükis.
Esimene viis on selge, usaldusväärne ja raskesti unustatav.) See on hea trigonomeetriliste võrrandite, võrratuste ja igasuguste keeruliste mittestandardsete näidete lahendamiseks. Loogika on tugevam kui mälu!
Võrrandid lahendame trigonomeetrilise ringi abil.
Sisaldame elementaarset loogikat ja trigonomeetrilise ringi kasutamise oskust. Kas sa ei saa!? Siiski... Trigonomeetrias saab sul raske olema...) Aga see ei loe. Heitke pilk õppetundidele "Trigonomeetriline ring ...... Mis see on?" ja "Nurkide loendamine trigonomeetrilisel ringil". Seal on kõik lihtne. Erinevalt õpikutest...)
Ah, tead!? Ja isegi meisterdatud "Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga"!? Võtke õnnitlused vastu. See teema on teile lähedane ja arusaadav.) Eriti meeldiv on see, et trigonomeetrilisel ringil pole vahet, millise võrrandi te lahendate. Siinus, koosinus, puutuja, kotangent – tema jaoks on kõik sama. Lahenduse põhimõte on sama.
Seega võtame mis tahes elementaarse trigonomeetrilise võrrandi. Vähemalt see:
cosx = 0,5
Ma pean leidma X. Inimkeeles rääkides on vaja leida nurk (x), mille koosinus on 0,5.
Kuidas me ringi varem kasutasime? Joonistasime sellele nurga. Kraadides või radiaanides. Ja kohe nähtud selle nurga trigonomeetrilised funktsioonid. Nüüd teeme vastupidi. Joonistage ringile koosinus, mis on võrdne 0,5-ga ja kohe me näeme nurk. Jääb vaid vastus kirja panna.) Jah, jah!
Joonistame ringi ja märgime koosinuse väärtusega 0,5. Koosinusteljel muidugi. Nagu nii:
Nüüd joonistame nurga, mille see koosinus meile annab. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti tahvelarvutis) ja vaata see sama nurk X.
Millise nurga koosinus on 0,5?
x \u003d π / 3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Mõni uriseb skeptiliselt, jah... Nad ütlevad, et kas tasus ringi tarastada, kui kõik on nagunii selge... Nuriseda võib muidugi...) Aga fakt on see, et see on ekslik vastama. Või õigemini, ebapiisav. Ringi asjatundjad saavad aru, et on veel terve hunnik nurki, mis annavad ka koosinuse 0,5-ga.
Kui keerate liikuva külje OA täispöördeks, punkt A naaseb algasendisse. Sama koosinusega 0,5. Need. nurk muutub 360° või 2π radiaani ja koosinus ei ole. Uus nurk 60° + 360° = 420° saab lahenduseks ka meie võrrandile, sest
Selliseid täispöördeid on lõpmatu arv... Ja kõik need uued nurgad on meie trigonomeetrilise võrrandi lahendused. Ja need kõik tuleb kuidagi kirja panna. Kõik. Vastasel juhul otsust ei arvestata, jah ...)
Matemaatika suudab seda lihtsalt ja elegantselt teha. Ühes lühikeses vastuses kirjutage üles lõpmatu hulk lahendusi. Meie võrrandi puhul näeb see välja järgmine:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
ma dešifreerin. Kirjuta ikka tähendusrikkalt kenam kui rumalalt mingeid salapäraseid tähti joonistada, eks?)
π /3 on sama nurk, mis meie Saag ringil ja tuvastatud koosinuste tabeli järgi.
2π on üks täispööre radiaanides.
n - see on täielike, s.o. terve revolutsioonid. On selge, et n võib olla 0, ±1, ±2, ±3.... ja nii edasi. Nagu näitab lühike sissekanne:
n ∈ Z
n kuulub ( ∈ ) täisarvude hulka ( Z ). Muide, kirja asemel n saab kasutada tähti k, m, t jne.
See märge tähendab, et võite võtta mis tahes täisarvu n . Vähemalt -3, vähemalt 0, vähemalt +55. Mida sa tahad. Kui ühendate selle numbri oma vastuse sisestusse, saate konkreetse nurga, mis on kindlasti meie karmi võrrandi lahendus.)
Või teisisõnu x \u003d π / 3 on lõpmatu hulga ainus juur. Kõigi teiste juurte saamiseks piisab, kui lisada π / 3-le suvaline arv täispöördeid ( n ) radiaanides. Need. 2πn radiaan.
Kõik? Ei. Venitan konkreetselt naudingut. Et paremini meeles pidada.) Saime vaid osa võrrandi vastustest. Kirjutan selle lahenduse esimese osa järgmiselt:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - mitte üks juur, see on terve rida juuri, mis on kirjutatud lühivormis.
Kuid on ka teisi nurki, mis annavad koosinuse 0,5-ga!
Tuleme tagasi oma pildi juurde, mille järgi vastuse kirja panime. Seal ta on:
Liigutage hiirt üle pildi ja vaata teine nurk see annab ka koosinuse 0,5. Millega see teie arvates võrdub? Kolmnurgad on samad... Jah! See on võrdne nurgaga X , joonistatud ainult negatiivses suunas. See on nurk -X. Aga X midagi oleme juba välja arvutanud. π /3 või 60°. Seetõttu võime julgelt kirjutada:
x 2 \u003d - π / 3
Ja loomulikult lisame kõik nurgad, mis saadakse täispöördega:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
See on nüüd kõik.) Trigonomeetrilises ringis me Saag(kes mõistab muidugi)) kõik nurgad, mis annavad koosinuse 0,5. Ja nad kirjutasid need nurgad lühikeses matemaatilises vormis üles. Vastus on kaks lõpmatut juurte seeriat:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
See on õige vastus.
Loodan, trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üldpõhimõte ringi abil on arusaadav. Märgime ringjoonele etteantud võrrandist koosinuse (siinus, puutuja, kotangens), joonistame vastavad nurgad ja kirjutame vastuse üles. Muidugi peate välja mõtlema, mis nurgad me oleme Saag ringi peal. Mõnikord pole see nii ilmne. Noh, nagu ma ütlesin, on siin vaja loogikat.)
Näiteks analüüsime teist trigonomeetrilist võrrandit:
Pange tähele, et arv 0,5 ei ole võrrandites ainus võimalik arv!) Minu jaoks on lihtsalt mugavam kirjutada see kui juured ja murded.
Töötame üldpõhimõtte järgi. Joonistame ringi, märgime (siinuse teljele muidugi!) 0,5. Joonistame korraga kõik sellele siinusele vastavad nurgad. Saame selle pildi:
Kõigepealt käsitleme nurka. X esimesel kvartalil. Tuletame meelde siinuste tabeli ja määrame selle nurga väärtuse. Asi on lihtne:
x \u003d π / 6
Tuletame meelde täispöördeid ja paneme puhta südametunnistusega kirja esimesed vastuste seeriad:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Pool tööd on tehtud. Nüüd peame määratlema teine nurk... See on keerulisem kui koosinused, jah... Aga loogika päästab meid! Kuidas määrata teist nurka läbi x? Jah Lihtne! Pildil olevad kolmnurgad on samad ja punane nurk X võrdne nurgaga X . Ainult seda loetakse nurgast π negatiivses suunas. Sellepärast on see punane.) Ja vastuseks vajame positiivsest poolteljelt OX õigesti mõõdetud nurka, s.t. 0 kraadise nurga alt.
Hõljutage kursorit pildi kohal ja näete kõike. Esimese nurga eemaldasin, et pilti mitte keeruliseks ajada. Meie jaoks huvipakkuv nurk (joonistatud rohelisega) on võrdne:
π - x
x me teame seda π /6 . Nii et teine nurk on järgmine:
π - π /6 = 5π /6
Jällegi tuletame meelde täispöörete lisamist ja paneme kirja teise seeria vastused:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
See on kõik. Täielik vastus koosneb kahest juurte seeriast:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tangensi ja kotangensiga võrrandeid saab hõlpsasti lahendada, kasutades trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel sama üldpõhimõtet. Kui te muidugi ei tea, kuidas joonistada trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti.
Ülaltoodud näidetes kasutasin siinuse ja koosinuse tabeliväärtust: 0,5. Need. üks neist tähendustest, mida õpilane teab peab. Nüüd laiendame oma võimalusi kõik muud väärtused. Otsustage, nii et otsustage!)
Oletame, et peame lahendama järgmise trigonomeetrilise võrrandi:
Lühikestes tabelites sellist koosinuse väärtust pole. Me ignoreerime seda kohutavat tõsiasja jahedalt. Joonistame ringi, märgime koosinusteljele 2/3 ja joonistame vastavad nurgad. Saame selle pildi.
Alustuseks saame aru esimese veerandi nurgaga. Et teada saada, millega x on võrdne, kirjutaksid nad vastuse kohe kirja! Me ei tea... Ebaõnnestumine!? Rahune! Matemaatika ei jäta oma hätta! Ta leiutas selle juhtumi jaoks kaarekoosinused. Ei tea? Asjatult. Uurige välja. See on palju lihtsam, kui arvate. Selle lingi järgi pole "trigonomeetriliste pöördfunktsioonide" kohta ühtegi keerulist loitsu ... See on selles teemas üleliigne.
Kui olete kursis, öelge endale: "X on nurk, mille koosinus on 2/3." Ja kohe, puhtalt arkosiini määratluse järgi, võime kirjutada:
Meenutame täiendavaid pöördeid ja kirjutame rahulikult üles oma trigonomeetrilise võrrandi esimesed juured:
x 1 = kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Ka teine juurte seeria kirjutatakse peaaegu automaatselt, teise nurga jaoks. Kõik on sama, ainult x (arccos 2/3) on miinusega:
x 2 = - kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Ja kõik asjad! See on õige vastus. Isegi lihtsam kui tabeliväärtustega. Te ei pea midagi meeles pidama.) Muide, kõige tähelepanelikumad märkavad, et see pilt lahendusega läbi kaarekoosinuse ei erine sisuliselt pildil olevast võrrandi cosx = 0,5 korral.
Täpselt nii! Üldine põhimõte selle kohta ja üldine! Konkreetselt joonistasin kaks peaaegu identset pilti. Ring näitab meile nurka X koosinuse järgi. See on tabelikoosinus või mitte - ring ei tea. Mis nurk see on, π / 3 või milline kaarekoosinus on meie otsustada.
Siinusega sama laul. Näiteks:
Jällegi joonistame ringi, märgime siinuse, mis on võrdne 1/3-ga, joonistame nurgad. Selgub, et pilt on selline:
Ja jällegi on pilt peaaegu sama, mis võrrandi puhul sinx = 0,5. Taas alustame esimesel veerandajal nurgast. Millega võrdub x, kui selle siinus on 1/3? Pole probleemi!
Nii et esimene juurepakk on valmis:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Heidame pilgu teise nurga alla. Näites tabeli väärtusega 0,5 oli see võrdne:
π - x
Nii et siin on see täpselt sama! Ainult x on erinev, arcsin 1/3. Mis siis!? Teise juurpaki võite julgelt kirjutada:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
See on täiesti õige vastus. Kuigi see ei tundu väga tuttav. Aga see on arusaadav, ma loodan.)
Nii lahendatakse ringi abil trigonomeetrilisi võrrandeid. See tee on selge ja arusaadav. Just tema salvestab trigonomeetrilistes võrrandites juurte valikuga antud intervallil, trigonomeetrilistes võrratustes - need lahendatakse üldiselt peaaegu alati ringis. Ühesõnaga kõigis tavapärastest pisut keerulisemates ülesannetes.
Kas teadmisi praktikas rakendada?
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine:
Alguses on see lihtsam, otse selle õppetüki kohta.
Nüüd on see keerulisem.
Vihje: siin tuleb mõelda ringi peale. Isiklikult.)
Ja nüüd väliselt tagasihoidlikud ... Neid nimetatakse ka erijuhtudeks.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Vihje: siin peate ringis välja mõtlema, kus on kaks vastuste seeriat ja kus on üks ... Ja kuidas kahe vastuseseeria asemel üks üles kirjutada. Jah, et ükski juur lõpmatust arvust ei läheks kaotsi!)
Noh, üsna lihtne):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Vihje: siin peate teadma, mis on arcsiinus, arkosiinus? Mis on kaartangens, kaartangens? Kõige lihtsamad määratlused. Kuid te ei pea meeles pidama ühtegi tabeliväärtust!)
Vastused on muidugi segased):
x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Kas kõik ei õnnestu? Tuleb ette. Lugege õppetund uuesti läbi. Ainult mõtlikult(on selline vananenud sõna...) Ja järgi linke. Peamised lingid puudutavad ringi. Ilma selleta trigonomeetrias - kuidas ületada teed kinniseotud silmadega. Mõnikord juhtub.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmete all peetakse silmas andmeid, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Samuti võime kasutada isikuandmeid sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Avalikustamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas administratiivsed, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavasid ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.