في هذا الدرس ، سنتعرف على قواعد وضع العامل المشترك بين أقواس ، ونتعلم كيفية العثور عليه في العديد من الأمثلة والتعبيرات. لنتحدث عن كيف أن عملية بسيطة ، بإخراج العامل المشترك من الأقواس ، تسمح لنا بتبسيط العمليات الحسابية. سوف نعزز المعرفة والمهارات المكتسبة من خلال النظر في أمثلة للصعوبات المختلفة.
ما هو العامل المشترك ، ولماذا تبحث عنه ، ولأي غرض يجب إزالته من الأقواس؟ دعنا نجيب على هذه الأسئلة بمثال بسيط.
لنحل المعادلة. الجانب الأيسر من المعادلة هو كثير الحدود يتكون من مصطلحات متشابهة. جزء الحرف شائع لهؤلاء الأعضاء ، مما يعني أنه سيكون عاملاً مشتركًا. لنخرجه من الأقواس:
في هذه الحالة ، ساعدنا تقوس العامل المشترك في تحويل كثير الحدود إلى كثير الحدود. وهكذا ، تمكنا من تبسيط كثير الحدود وساعدنا تحويلها في حل المعادلة.
في المثال أعلاه ، كان العامل المشترك واضحًا ، لكن هل سيكون من السهل جدًا العثور عليه في كثير الحدود التعسفي؟
لنجد قيمة التعبير:.
في هذا المثال ، أدى إخراج العامل المشترك من الأقواس إلى تبسيط العملية الحسابية إلى حد كبير.
لنحل مثالاً آخر. دعونا نثبت القابلية للقسمة إلى تعبيرات.
التعبير الناتج قابل للقسمة على ، والذي كان يجب إثباته. ومرة أخرى ، سمح لنا أخذ العامل المشترك بحل المشكلة.
لنحل مثالاً آخر. دعنا نثبت أن التعبير قابل للقسمة على أي شيء طبيعي: 
.
التعبير هو حاصل ضرب عددين متجاورين في المتسلسلة الطبيعية. سيكون أحد العددين زوجيًا بالضرورة ، مما يعني أن التعبير سيقبل القسمة على.
قمنا بتحليل أمثلة مختلفة ، لكننا طبقنا نفس طريقة الحل: أخذنا العامل المشترك من الأقواس. نرى أن هذه العملية البسيطة تبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير. كان من السهل العثور على عامل مشترك لهذه الحالات الخاصة ، ولكن ماذا عن الحالة العامة لكثير الحدود التعسفي؟
تذكر أن كثيرة الحدود هي مجموع المونوميرات.
ضع في اعتبارك كثير الحدود 
. كثير الحدود هذا هو مجموع اثنين من أحادي الحدود. المونومال هو حاصل ضرب رقم ومعامل وجزء حرف. وهكذا ، في كثير الحدود لدينا ، يتم تمثيل كل أحادية من خلال حاصل ضرب عدد وقوى ، حاصل ضرب العوامل. قد تكون المضاعفات هي نفسها لجميع المونوميل. هذه هي العوامل التي يجب تحديدها ووضعها بين قوسين. أولًا ، نجد عاملًا مشتركًا للمعاملات ، وعددًا صحيحًا.
كان من السهل العثور على العامل المشترك ، لكن دعنا نحدد GCD للمعاملات: 
.
فكر في مثال آخر:.
لنجد أن ذلك سيتيح لنا تحديد العامل المشترك لهذا التعبير:.
لقد اشتقنا قاعدة للمعاملات الصحيحة. تحتاج إلى العثور على GCD الخاصة بهم وإخراجها من القوس. دعنا نصلح هذه القاعدة من خلال حل مثال آخر.
لقد درسنا قاعدة إخراج العامل المشترك لمعاملات الأعداد الصحيحة ، دعنا ننتقل إلى جزء الحرف. أولاً ، نبحث عن تلك الأحرف التي يتم تضمينها في جميع المونوميرات ، ثم نحدد أكبر درجة من الحرف التي يتم تضمينها في جميع المونوميرات:.
في هذا المثال ، لم يكن هناك سوى متغير حرفي واحد مشترك ، ولكن يمكن أن يكون هناك أكثر من متغير واحد ، كما في المثال التالي:
دعنا نعقد المثال عن طريق زيادة عدد المونوميل:
بعد إخراج العامل المشترك ، قمنا بتحويل المجموع الجبري إلى منتج.
نظرنا إلى قواعد العرض لمعاملات الأعداد الصحيحة والمتغيرات الحرفية بشكل منفصل ، ولكن غالبًا ما تحتاج إلى تطبيقها معًا لحل أحد الأمثلة. فكر في مثال:
قد يكون من الصعب أحيانًا تحديد التعبير الذي تم تركه بين قوسين ، فلنلقِ نظرة على خدعة سهلة تتيح لك حل هذه المشكلة بسرعة.
يمكن أيضًا أن يكون العامل المشترك هو القيمة المطلوبة:
يمكن أن يكون العامل المشترك ليس فقط رقمًا أو أحاديًا ، ولكن أيضًا أي تعبير ، على سبيل المثال ، في المعادلة التالية.
شيشايفا دارينا الصف الثامن
في العمل ، رسم طالب من الصف الثامن قاعدة لتحليل كثير الحدود عن طريق إخراج العامل المشترك من الأقواس مع عملية مفصلة لحل العديد من الأمثلة حول هذا الموضوع. لكل مثال تم تحليله ، يتم تقديم مثالين لحل مستقل ، توجد إجابات عليهما. سيساعد العمل في دراسة هذا الموضوع للطلاب الذين ، لسبب ما ، لم يتعلموا ذلك عند اجتياز مادة برنامج الصف السابع و (أو) عند إعادة مقرر الجبر في الصف الثامن بعد العطلة الصيفية.
تحميل:
معاينة:
مؤسسة تعليمية الميزانية البلدية
المدرسة الثانوية №32
"مدرسة اليونسكو المنتسبة" Eureka Development
Volzhsky ، منطقة فولغوغراد
انتهى العمل:
8B فئة طالب
شيشايفا دارينا
Volzhsky
2014
إخراج العامل المشترك من الأقواس
- - إحدى طرق تحليل كثير الحدود إلى عواملإخراج العامل المشترك من الأقواس ؛
- - عند إخراج العامل المشترك من الأقواس ، فإنخاصية التوزيع;
- - إذا احتوت جميع أعضاء كثير الحدودالعامل المشترك إذن يمكن إخراج هذا العامل من الأقواس.
عند حل المعادلات ، في العمليات الحسابية ، وفي عدد من المسائل الأخرى ، قد يكون من المفيد استبدال كثير الحدود بحاصل ضرب العديد من كثيرات الحدود (من بينها قد يكون هناك monomials). يسمى تمثيل كثير الحدود كمنتج من اثنين أو أكثر من كثيرات الحدود بعوامل كثيرة الحدود.
ضع في اعتبارك كثير الحدود 6a2b + 15b2 . يمكن استبدال كل من شروطه بحاصل ضرب عاملين ، أحدهما يساوي 3 ب: → 6 أ 2 ب = 3 ب * 2 أ 2 ، + 15 ب 2 = 3 ب * 5 ب → من هذا نحصل على: 6 أ 2 ب + 15 ب 2 = 3 ب * 2 أ 2 + 3 ب * 5 ب.
يمكن تمثيل التعبير الناتج بناءً على خاصية التوزيع للضرب على أنه حاصل ضرب عاملين. واحد منهم هو العامل المشترك 3 ب والآخر هو المجموع 2а 2 و 5b → 3b * 2a 2 + 3b * 5b = 3b (2a 2 + 5b) → وهكذا ، قمنا بتوسيع كثير الحدود: 6a2b + 15b2 إلى عوامل ، وتقديمها على أنها نتاج أحادي 3 ب وكثير الحدود 2 أ 2 + 5 ب. تسمى طريقة تحليل كثير الحدود هذه بإخراج العامل المشترك من الأقواس.
أمثلة:
تتضاعف:
أ) kx-px.
المضاعف x x أخرجها من الأقواس.
ككس: س = ك ؛ مقصف: س = ص.
نحصل على: kx-px = x * (k-p).
ب) 4 أ - 4 ب.
المضاعف 4 موجود في المصطلح 1 والمصطلح 2. لهذا 4 أخرجها من الأقواس.
4 أ: 4 = أ ؛ 4 ب: 4 = ب.
نحصل على: 4a-4b = 4 * (a-b).
ج) -9 م -27 ن.
9m و -27n مقسومة على -9 . لذلك ، نخرج العامل العددي-9.
9 م: (-9) = م ؛ -27 ن: (-9) = 3 ن.
لدينا: -9m-27n = -9 * (m + 3n).
د) 5 سنوات 2-15 سنة.
5 و 15 يقبلان القسمة على 5 ؛ y 2 و y يقبلان القسمة على y.
لذلك ، نخرج العامل المشترك 5 ش.
5 س 2: 5 ص = ص ؛ -15 ص: 5 س = -3.
إذن: 5y 2-15y = 5y * (y-3).
تعليق: من درجتين لهما نفس القاعدة ، نخرج الدرجة ذات الأس الأقل.
ه) 16 سنة 3 + 12 سنة 2.
16 و 12 يقبلان القسمة على 4 ؛ y 3 و y 2 يقبلان القسمة على y 2.
لذا فإن العامل المشترك 4y2.
16 سنة 3: 4 ص 2 = 4 سنوات ؛ 12 سنة 2: 4 ص 2 = 3.
نتيجة لذلك ، سوف نحصل على: 16y 3 + 12y 2 \ u003d 4y 2 * (4y + 3).
و) حلل كثير الحدود إلى عوامل 8 ب (7 ص + أ) + ن (7 ص + أ).
في هذا التعبير ، نرى أن هناك نفس العامل(7 سنوات + أ) ، والتي يمكن وضعها بين قوسين. لذلك ، نحصل على:8 ب (7 ص + أ) + ن (7 ص + أ) = (8 ب + ن) * (7 ص + أ).
ز) أ (ب-ج) + د (ج-ب).
التعبيرات b-c و c-b على العكس. حتى نجعلهم نفس الشيء من قبلد قم بتغيير علامة "+" إلى "-":
أ (ب ج) + د (ج ب) = أ (ب ج) -د (ب ج).
أ (ب-ج) + د (ج-ب) = أ (ب-ج) -د (ب-ج) = (ب-ج) * (أ-د).
أمثلة لحل مستقل:
- mx + بلدي ؛
- آه + ay ؛
- 5x + 5y
- 12x + 48y
- 7ax + 7bx ؛
- 14x + 21y
- --ما - أ.
- 8mn-4m2 ؛
- - 12 سنة 4 - 16 سنة ؛
- 15 سنة 3 - 30 سنة 2 ؛
- 5 ج (ص -2 ج) + ص 2 (ص -2 ج) ؛
- 8 م (أ -3) + ن (أ -3) ؛
- س (ص -5)-ص (5-ص) ؛
- 3a (2x-7) + 5b (7-2x) ؛
الإجابات.
1) م (س + ص) ؛ 2) أ (س + ص) ؛ 3) 5 (س + ص) ؛ 4) 12 (س + 4 ص) ؛ 5) 7x (أ + ب) ؛ 6) 7 (2x + 3y) ؛ 7) -A (م + 1) ؛ 8) 4 م (2 ن م) ؛
9) -4y (3y 3 +4) ؛ 10) 15 سنة 2 (ص -2) ؛ 11) (ص -2 ج) (5 ج + ص 2) ؛ 12) (أ -3) (8 م + ن) ؛ 13) (ص -5) (س + ص) ؛ 14) (2x-7) (3a-5b).
في هذه المقالة ، سوف نركز على بين قوسين العامل المشترك. بادئ ذي بدء ، دعنا نتعرف على ما يتكون التحويل المحدد للتعبير. بعد ذلك ، نعطي قاعدة إخراج العامل المشترك من الأقواس وننظر بالتفصيل في أمثلة لتطبيقه.
التنقل في الصفحة.
على سبيل المثال ، الحدود في التعبير 6 x + 4 y لها عامل مشترك 2 ، وهو غير مكتوب بشكل صريح. يمكن رؤيته فقط بعد تمثيل الرقم 6 كمنتج 2 3 ، و 4 كمنتج 2 2. لذا، 6 س + 4 ص = 2 3 س + 2 2 ص = 2 (3 س + 2 ص). مثال آخر: في التعبير x 3 + x 2 +3 x ، تحتوي المصطلحات على عامل مشترك x ، والذي يصبح مرئيًا بوضوح بعد استبدال x 3 بـ x x 2 (في هذه الحالة ، استخدمنا) و x 2 بـ x x. بعد إخراجها من الأقواس نحصل على x · (x 2 + x + 3).
بشكل منفصل ، دعنا نقول عن إخراج الطرح من الأقواس. في الواقع ، إخراج الطرح من الأقواس يعني إخراج الوحدات السالبة من الأقواس. على سبيل المثال ، لنخرج ناقص في التعبير −5−12 x + 4 x y. يمكن إعادة كتابة التعبير الأصلي كـ (1) 5 + (- 1) 12 × - (- 1) 4 × ص، والتي من خلالها يظهر العامل المشترك 1 بوضوح ، والذي نخرجه من الأقواس. نتيجة لذلك ، نصل إلى التعبير (−1) (5 + 12 x − 4 x y) ، حيث يتم استبدال المعامل −1 ببساطة بعلامة ناقص أمام القوسين ، ونتيجة لذلك لدينا - (5+ 12 × 4 × ص). يوضح هذا بوضوح أنه عند إخراج السالب من الأقواس ، يظل المجموع الأصلي بين قوسين ، حيث يتم تغيير إشارات جميع شروطه إلى عكس ذلك.
في ختام هذه المقالة ، نلاحظ أن وضع أقواس العامل المشترك يستخدم على نطاق واسع. على سبيل المثال ، يمكن استخدامه ل حساب قيم التعبيرات العددية بعقلانية. أيضًا ، يتيح لك وضع العامل المشترك بين أقواس تمثيل التعبيرات كمنتج ، على وجه الخصوص ، تعتمد إحدى الطرق على وضع أقواس تحليل كثير الحدود إلى عوامل.
فهرس.
- رياضيات.الصف السادس: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / [N. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة الثانية والعشرون ، القس. - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
لإحضار الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر ، يجب أن: 1) تجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور ، فسيكون أقل مقام مشترك. 2) أوجد عاملًا إضافيًا لكل كسر من الكسور ، حيث نقسم المقام الجديد على مقام كل كسر. 3) اضرب بسط ومقام كل كسر في عامله الإضافي.
أمثلة. اختصر الكسور التالية لأقل مقام مشترك.
نجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام: المضاعف المشترك الأصغر (5 ؛ 4) = 20 ، نظرًا لأن 20 هو أصغر عدد يقبل القسمة على كل من 5 و 4. ونجد للكسر الأول عاملًا إضافيًا 4 (20 : 5 = 4). بالنسبة للكسر الثاني ، يكون المضاعف الإضافي 5 (20 : 4 = 5). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 4 ، وبسط ومقام الكسر الثاني في 5. قللنا هذه الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ( 20 ).
القاسم المشترك الأصغر لهذه الكسور هو 8 ، لأن 8 يقبل القسمة على 4 وعلى نفسها. لن يكون هناك مضاعف إضافي للكسر الأول (أو يمكننا القول أنه يساوي واحدًا) ، بالنسبة للكسر الثاني ، يكون المضاعف الإضافي 2 (8 : 4 = 2). نضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في 2. قللنا هذه الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ( 8 ).
هذه الكسور ليست غير قابلة للاختزال.
نقوم بتقليل الكسر الأول بمقدار 4 ، ونختصر الكسر الثاني بمقدار 2. ( انظر أمثلة على اختزال الكسور العادية: خريطة الموقع → 5.4.2. أمثلة على اختزال الكسور العادية). أوجد LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. المضاعف الإضافي للكسر الأول هو 5 (80 : 16 = 5). المضاعف الإضافي للكسر الثاني هو 4 (80 : 20 = 4). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 5 ، وبسط ومقام الكسر الثاني في 4. قللنا هذه الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ( 80 ).
أوجد المقام المشترك الأصغر لشهادة عدم الممانعة (5 ; 6 و 15) = المضاعف المشترك الأصغر (5 ; 6 و 15) = 30. المضاعف الإضافي للكسر الأول هو 6 (30 : 5 = 6) ، المضاعف الإضافي للكسر الثاني هو 5 (30 : 6 = 5) ، المضاعف الإضافي للكسر الثالث هو 2 (30 : 15 = 2). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 6 ، وبسط ومقام الكسر الثاني في 5 ، وبسط ومقام الكسر الثالث في 2. قللنا هذه الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ( 30 ).
الصفحة 1 من 1 1