الرموز القياسية
مثلث ذو رؤوس أ, بو جيشار إليها باسم (انظر الشكل). المثلث له ثلاثة أضلاع:
يُشار إلى أطوال أضلاع المثلث بأحرف لاتينية صغيرة (a، b، c):
يحتوي المثلث على الزوايا التالية:
يُشار إلى الزوايا عند القمم المقابلة تقليديًا بالأحرف اليونانية (α، β، γ).
علامات المساواة في المثلثات
يمكن تعريف المثلث الموجود على المستوى الإقليدي بشكل فريد (حتى التطابق) من خلال ثلاثة توائم من العناصر الأساسية التالية:
- أ، ب، γ (المساواة بين الجانبين والزاوية بينهما)؛
- a، β، γ (المساواة في الجانب وزاويتين متجاورتين)؛
- أ، ب، ج (المساواة من ثلاثة جوانب).
علامات المساواة في المثلثات القائمة:
- على طول الساق والوتر.
- على قدمين
- على طول الساق والزاوية الحادة.
- الوتر والزاوية الحادة.
بعض النقاط في المثلث "مقترنة". على سبيل المثال، هناك نقطتان يمكن رؤية جميع جوانبهما إما بزاوية 60 درجة أو بزاوية 120 درجة. انهم يسمى النقاط توريتشيلي. هناك أيضًا نقطتان تقع إسقاطاتهما على الجانبين عند رؤوس مثلث منتظم. هذا - نقاط أبولونيوس. تسمى النقاط وما شابه ذلك نقاط بروكارد.
مباشر
في أي مثلث، يقع مركز الثقل والمركز المتعامد ومركز الدائرة المحددة على خط مستقيم واحد يسمى خط أويلر.
يسمى الخط الذي يمر عبر مركز الدائرة المقيدة ونقطة ليموين محور بروكار. نقاط أبولونيوس تكمن عليه. كما تقع نقطتا توريتشيلي ونقطة ليموين على نفس الخط المستقيم. تقع قواعد المنصفات الخارجية لزوايا المثلث على خط مستقيم واحد يسمى محور المنصفات الخارجية. نقاط تقاطع الخطوط التي تحتوي على أضلاع المثلث المتعامد مع الخطوط التي تحتوي على أضلاع المثلث تقع أيضًا على نفس الخط. هذا الخط يسمى المحور المتعامد، فهو عمودي على خط أويلر.
إذا أخذنا نقطة على الدائرة المحددة للمثلث فإن إسقاطاتها على أضلاع المثلث تقع على خط مستقيم واحد يسمى خط سيمسون المستقيمنقطة معينة. خطوط سيمسون ذات النقاط المتقابلة تمامًا متعامدة.
مثلثات
- يسمى المثلث الذي رؤوسه في قواعد السيفيين المرسومة عبر نقطة معينة مثلث سيفيانهذه النقطة.
- يسمى المثلث ذو القمم في إسقاطات نقطة معينة على الجوانب تحت الجلدأو مثلث الدواسةهذه النقطة.
- يسمى المثلث الذي رءوسه عند نقاط التقاطع الثانية للخطوط المرسومة عبر الرءوس والنقطة المعطاة مع الدائرة المحددة مثلث سيفيان. مثلث سيفيان يشبه المثلث تحت الجلد.
الدوائر
- دائرة مكتوبةهي دائرة مماسة لأضلاع المثلث الثلاثة. هي الوحيدة. يسمى مركز الدائرة المنقوشة مركز.
- دائرة محصورة- دائرة تمر عبر رؤوس المثلث الثلاثة. الدائرة المقيدة فريدة أيضًا.
- دائرة- دائرة مماسة لأحد ضلعي المثلث وامتداد الضلعين الآخرين. هناك ثلاث دوائر من هذا القبيل في المثلث. مركزهم الجذري هو مركز الدائرة المنقوشة للمثلث المتوسط، والتي تسمى نقطة سبايكر.
نقاط منتصف أضلاع المثلث الثلاثة وقواعد ارتفاعاته الثلاثة ومنتصف قطع الخطوط الثلاثة التي تربط رؤوسه بالمركز المتعامد تقع على دائرة واحدة تسمى دائرة من تسع نقاطأو دائرة أويلر. يقع مركز الدائرة ذات التسع نقاط على خط أويلر. دائرة من تسع نقاط تلامس دائرة منقوشة وثلاث دوائر. تسمى نقطة الاتصال بين الدائرة المنقوشة والدائرة المكونة من تسع نقاط نقطة فيورباخ. إذا قمنا من كل قمة بوضع مثلثات على خطوط مستقيمة تحتوي على جوانب، وتقويمات متساوية في الطول مع الجوانب المتقابلة، فإن النقاط الست الناتجة تقع على دائرة واحدة - دوائر كونواي. في أي مثلث يمكن رسم ثلاث دوائر بحيث تلامس كل واحدة منها ضلعي المثلث ودائرتين أخريين. تسمى هذه الدوائر دوائر مالفاتي. مراكز الدوائر المحصورة في المثلثات الستة التي يقسم المثلث إليها متوسطات تقع على دائرة واحدة تسمى دائرة لامون.
يتكون المثلث من ثلاث دوائر تمس ضلعي المثلث والدائرة المقيدة. تسمى هذه الدوائر شبه منقوشةأو دوائر فيرير. القطع الواصلة بين نقاط تماس دوائر فيرير مع الدائرة المحصورة تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى نقطة فيرير. إنه بمثابة مركز التجانس، الذي يأخذ الدائرة المقيدة إلى الدائرة الداخلية. تقع نقاط تماس دوائر فيرير مع أضلاعها على خط مستقيم يمر بمركز الدائرة المنقوشة.
القطع المستقيمة التي تربط نقاط مماس الدائرة المنقوشة مع رؤوسها تتقاطع في نقطة واحدة تسمى نقطة جيرجون، والأجزاء التي تربط القمم بنقاط الاتصال للدوائر الخارجية - في نقطة ناجل.
القطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد
مخروطي منقوش (القطع الناقص) ومنظوره
يمكن كتابة عدد لا نهائي من الأشكال المخروطية (قطع ناقص، قطع مكافئ، أو قطع زائد) في المثلث. إذا قمنا بتسجيل شكل مخروطي اعتباطي في مثلث وقمنا بتوصيل نقاط الاتصال مع رؤوس متقابلة، فإن الخطوط الناتجة سوف تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى وجهة نظرالمخروطيات. بالنسبة لأي نقطة من المستوى لا تقع على جانب أو على امتداده، يوجد مخروط منقوش بمنظور عند تلك النقطة.
القطع الناقص لشتاينر مقيد ويمر السيفيون عبر بؤرته
يمكن رسم شكل بيضاوي في مثلث يلامس جوانبه عند نقاط المنتصف. يسمى هذا القطع الناقص شتاينر قطع ناقص منقوش(سيكون منظوره هو النقطه الوسطى للمثلث). يُسمى القطع الناقص الموصوف، والذي يكون مماسًا للخطوط التي تمر عبر القمم الموازية للجوانب يحدها القطع الناقص شتاينر. إذا كان التحويل التقاربي ("الانحراف") يترجم المثلث إلى مثلث منتظم، فإن قطع شتاينر الناقص المنقوش والمحدود سوف يدخل في دائرة منقوشة ومقيدة. السيفيون المرسومون من خلال بؤر القطع الناقص شتاينر الموصوف (نقاط سكوتين) متساوون (نظرية سكوتين). من بين جميع الأشكال الناقصية المقيدة، يحتوي القطع الناقص شتاينر المحدود على أصغر مساحة، ومن بين جميع الأشكال الناقصية المنقوشة، يحتوي القطع الناقص شتاينر المدرج على أكبر مساحة.
القطع الناقص لبروكارد ومنظوره - نقطة ليموين
يسمى القطع الناقص الذي توجد بؤرته عند نقاط بروكار القطع الناقص بروكارد. وجهة نظرها هي نقطة Lemoine.
خصائص القطع المكافئ المنقوش
القطع المكافئ كيبرت
تقع منظورات القطع المكافئة المنقوشة على قطع شتاينر الناقص المحدود. يقع بؤرة القطع المكافئ المنقوش على الدائرة المقيدة، ويمر الدليل عبر المركز المتعامد. يسمى القطع المكافئ المدرج في مثلث دليله هو خط أويلر القطع المكافئ لكيبرت. ومنظورها هو نقطة التقاطع الرابعة بين الدائرة المقيدة وإهليلجي شتاينر المحدود، وتسمى نقطة شتاينر.
غلو سايبرت
إذا مر القطع الزائد الموصوف عبر نقطة تقاطع الارتفاعات، فهو متساوي الأضلاع (أي أن الخطوط المقاربة له متعامدة). تقع نقطة تقاطع الخطوط المقاربة للقطع الزائد متساوي الأضلاع على دائرة مكونة من تسع نقاط.
التحولات
إذا كانت الخطوط التي تمر عبر القمم ونقطة ما غير ملقاة على الجوانب وانعكست امتداداتها بالنسبة إلى المنصفات المقابلة لها، فإن صورها ستتقاطع أيضًا عند نقطة واحدة، وهو ما يسمى مترافق بشكل متساويالأصلي (إذا كانت النقطة تقع على الدائرة المقيدة، فإن الخطوط الناتجة ستكون متوازية). العديد من أزواج النقاط المميزة تكون مترافقة بشكل متساوي: مركز الدائرة المقيدة والمركز المتعامد، والنقطه الوسطى ونقطة ليموين، ونقاط بروكارد. نقاط أبولونيوس مترافقة بشكل متساوي مع نقاط توريتشيلي، ومركز الدائرة مترافق بشكل متساوي مع نفسه. تحت تأثير الاقتران المتساوي الأضلاع، تتحول الخطوط المستقيمة إلى أشكال مخروطية محددة، وتتحول الأشكال المخروطية المحددة إلى خطوط مستقيمة. وبالتالي، فإن القطع الزائد كيبرت ومحور بروكارد، القطع الزائد إنزابيك وخط أويلر، القطع الزائد فيورباخ وخط مراكز الدائرة المنقوشة مترافقان بشكل متساوي. تتطابق الدوائر المقيدة للمثلثات تحت الجلد ذات النقاط المترافقة بشكل متساوي. بؤر القطع الناقص المنقوشة مترافقة بشكل متساوي.
إذا أخذنا، بدلًا من السيفيان المتماثل، سيفيانًا تكون قاعدته بعيدة عن منتصف الجانب مثل قاعدة الأصل الأصلي، فإن مثل هؤلاء السيفيان سوف يتقاطعون أيضًا عند نقطة واحدة. ويسمى التحول الناتج الاقتران النظائري. كما أنه يعين الخطوط إلى المخروطات المقيدة. نقاط Gergonne وNagel مترافقة بشكل متساوي. في ظل التحولات التقاربية، تنتقل النقاط المترافقة متساويًا إلى نقاط مترافقة متساويًا. عند اقتران بضع التماثل، يمر قطع شتاينر الناقص الموصوف في الخط المستقيم عند اللانهاية.
إذا تم في القطع المقطوعة بأضلاع المثلث من الدائرة المحصورة، كتابة دوائر تمس الجوانب عند قواعد السيفيين المرسومة عبر نقطة معينة، ثم تتصل نقاط تماس هذه الدوائر بالدائرة المحددة. دائرة مقيدة ذات رؤوس متقابلة، فإن هذه الخطوط سوف تتقاطع عند نقطة واحدة. يسمى تحويل المستوى الذي يقارن النقطة الناتجة بنقطة البداية التحول متساوي الدائرية. تكوين الاقتران متساوي الأضلاع والنظائر هو تكوين التحول متساوي الدائرة مع نفسه. وهذا التركيب عبارة عن تحويل إسقاطي يترك أضلاع المثلث في مكانها، ويترجم محور المنصفات الخارجية إلى خط مستقيم عند ما لا نهاية.
إذا واصلنا أضلاع مثلث سيفيان في نقطة ما وأخذنا نقاط تقاطعها مع الأضلاع المقابلة لها، فإن نقاط التقاطع الناتجة ستقع على خط مستقيم واحد يسمى قطبي ثلاثي الخطوطنقطة البداية. المحور المتعامد - قطبي ثلاثي الخطوط لمركز التعامد. القطب الثلاثي لمركز الدائرة المنقوشة هو محور المنصفات الخارجية. تتقاطع الأقطاب الثلاثية الخطوط للنقاط الواقعة على الشكل المخروطي المحدد عند نقطة واحدة (بالنسبة للدائرة المقيدة هذه هي نقطة ليموين، بالنسبة إلى القطع الناقص شتاينر المحدد فهي النقطه الوسطى). تكوين الاقتران متساوي الأضلاع (أو متساوي الذرة) والقطبي ثلاثي الخطوط هو تحول ثنائي (إذا كانت هناك نقطة مترافقة بشكل متساوي (متساوي الذرة) مع نقطة تقع على القطب الثلاثي الخطوط لنقطة ما، فإن القطبي الثلاثي الخطوط لنقطة متساوي الأضلاع (متساوي الذرة) مترافق مع نقطة تقع على القطب الثلاثي لنقطة).
مكعبات
العلاقات في المثلث
ملحوظة:في هذا القسم، هي أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، و، هي الزوايا المقابلة لهذه الجوانب الثلاثة على التوالي (زوايا متقابلة).
عدم المساواة المثلث
في المثلث غير المنحل يكون مجموع طولي ضلعيه أكبر من طول الضلع الثالث، وفي المثلث المنحل يكون متساويا. بمعنى آخر، ترتبط أطوال أضلاع المثلث بالمتباينات التالية:
تعد متباينة المثلث أحد بديهيات المقاييس.
نظرية مجموع زوايا المثلث
نظرية الجيب
,حيث R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث. ويترتب على ذلك من النظرية أنه إذا كان أ< b < c, то α < β < γ.
نظرية جيب التمام
نظرية الظل
نسب أخرى
يتم إعطاء النسب المترية في المثلث من أجل:
حل المثلثات
حساب الجوانب والزوايا المجهولة للمثلث، بناءً على الجوانب والزوايا المعروفة، يُسمى تاريخيًا "حلول المثلثات". في هذه الحالة، يتم استخدام النظريات المثلثية العامة المذكورة أعلاه.
مساحة المثلث
تدوين الحالات الخاصةالتفاوتات التالية تنطبق على المنطقة:
حساب مساحة المثلث في الفضاء باستخدام المتجهات
لتكن رؤوس المثلث عند النقطتين , .
دعونا نقدم متجه المنطقة. طول هذا المتجه يساوي مساحة المثلث، ويتم توجيهه على طول العمودي إلى مستوى المثلث:
دع ، حيث ، هي إسقاطات المثلث على مستويات الإحداثيات. حيث
وبالمثل
مساحة المثلث هي .
البديل هو حساب أطوال الجوانب (باستخدام نظرية فيثاغورس) ثم استخدام صيغة هيرون.
نظريات المثلث
نظرية ديزارجويس: إذا كان هناك مثلثان منظورين (الخطوط التي تمر عبر القمم المقابلة للمثلثين تتقاطع عند نقطة واحدة)، فإن ضلعيهما يتقاطعان في خط مستقيم واحد.
نظرية سوند: إذا كان هناك مثلثان منظورين ومتعامدين (تسقط الخطوط المتعامدة من رؤوس مثلث واحد إلى الجوانب المقابلة للقمم المقابلة للمثلث، والعكس صحيح)، فإن كلا المركزين التقويميين (نقاط تقاطع هذه المتعامدين) ومركز المنظور تقع على خط مستقيم واحد عمودي على محور المنظور (خط مستقيم من نظرية Desargues).
يقال إن مثلثان متطابقان إذا كان من الممكن تداخلهما. يوضح الشكل 1 المثلثين المتساويين ABC و A 1 B 1 C 1. يمكن تركيب كل من هذه المثلثات على مثلث آخر بحيث تكون متوافقة تمامًا، أي أن رؤوسها وأضلاعها مقترنة ببعضها البعض. ومن الواضح أنه في هذه الحالة سيتم دمج زوايا هذه المثلثات في أزواج.
وبالتالي، إذا كان مثلثان متساويان، فإن عناصر (أي الجوانب والزوايا) لمثلث واحد متساوية على التوالي مع عناصر المثلث الآخر. لاحظ أن في مثلثات متساوية مقابل جوانب متساوية على التوالي(أي تداخل عند فرضه) تقع زوايا متساويةوالعودة: زوايا متساوية متقابلة تقع على جوانب متساوية.
لذلك، على سبيل المثال، في المثلثات المتساوية ABC و A 1 B 1 C 1، المبينة في الشكل 1، تقع الزاويتان المتساويتان C و C 1 مقابل الجانبين المتساويين AB و A 1 B 1 على التوالي. سيتم الإشارة إلى مساواة المثلثات ABC و A 1 B 1 C 1 على النحو التالي: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. اتضح أنه يمكن إثبات تساوي المثلثين من خلال مقارنة بعض عناصرهما.
النظرية 1. العلامة الأولى لمساواة المثلثات.إذا كان ضلعان والزاوية بينهما لمثلث واحد متساويان على التوالي مع ضلعين والزاوية بينهما لمثلث آخر، فإن هذه المثلثات متساوية (الشكل 2).
دليل. خذ بعين الاعتبار المثلثات ABC و A 1 B 1 C 1، حيث AB \u003d A 1 B 1، AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (انظر الشكل 2). لنثبت أن Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
بما أن ∠ A \u003d ∠ A 1، فيمكن تركيب المثلث ABC على المثلث A 1 B 1 C 1 بحيث تتم محاذاة الرأس A مع الرأس A 1، ويتداخل الجانبان AB وAC، على التوالي، على الأشعة أ 1 ب 1 و أ 1 ج 1 . نظرًا لأن AB \u003d A 1 B 1، AC \u003d A 1 C 1، فسيتم دمج الجانب AB مع الجانب A 1 B 1 والجانب AC - مع الجانب A 1 C 1؛ على وجه الخصوص، سوف تتزامن النقاط B و B 1 و C و C 1. لذلك، سيتم محاذاة الجانبين BC و B 1 C 1. إذن، المثلثان ABC و A 1 B 1 C 1 متوافقان تمامًا، مما يعني أنهما متساويان.
تم إثبات النظرية 2 بالمثل من خلال طريقة التراكب.
النظرية 2. العلامة الثانية لمساواة المثلثات.إذا كان الجانب والزاويتان المجاورتان له في مثلث واحد متساويان على التوالي مع الجانب والزاويتين المجاورتين له في مثلث آخر، فإن هذه المثلثات متساوية (الشكل 34).
تعليق. بناءً على النظرية 2، تم إنشاء النظرية 3.
النظرية 3. مجموع أي زاويتين داخليتين في المثلث أقل من 180 درجة.
النظرية 4 تتبع من النظرية الأخيرة.
النظرية 4. الزاوية الخارجية للمثلث أكبر من أي زاوية داخلية غير مجاورة لها.
النظرية 5. العلامة الثالثة لمساواة المثلثات.إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة أضلاع لمثلث آخر، فإن هذه المثلثات متساوية ().
مثال 1في المثلثين ABC و DEF (الشكل 4)
∠ A = ∠ E، AB = 20 سم، AC = 18 سم، DE = 18 سم، EF = 20 سم، قارن بين المثلثين ABC وDEF. ما الزاوية في المثلث DEF التي تساوي الزاوية B؟
حل. هذه المثلثات متساوية في العلامة الأولى. الزاوية F للمثلث DEF تساوي الزاوية B للمثلث ABC، نظرًا لأن هاتين الزاويتين تقعان مقابل الضلعين المتساويين DE وAC.
مثال 2يتقاطع المقطعان AB وCD (الشكل 5) عند النقطة O، وهي نقطة المنتصف لكل منهما. ما هو الجزء BD الذي يساوي الجزء AC إذا كان 6 م؟
حل.
المثلثان AOC وBOD متساويان (حسب المعيار الأول): ∠ AOC = ∠ BOD (عمودي)، AO = OB، CO = OD (حسب الحالة).
ومن تساوي هذه المثلثات يأتي تساوي أضلاعها، أي AC = BD. لكن بما أنه وفقًا للشرط، AC = 6 م، فإن BD = 6 م.
228. في هذا الفصل، سنفهم بشكل أساسي من خلال تدوين الأجزاء AB وAC وما إلى ذلك، والأرقام التي تعبر عنها.
نحن نعلم (رقم 226) أنه إذا تم إعطاء قطعتين a وb هندسيًا، فيمكننا إنشاء متوسط متناسب بينهما. الآن لن يتم إعطاء الأجزاء بشكل هندسي، ولكن من خلال الأرقام، أي من خلال a وb سوف نفهم الأرقام التي تعبر عن قطعتين محددتين. ثم سيتم تقليل العثور على متوسط القطعة المتناسبة إلى إيجاد الرقم x من النسبة a/x = x/b، حيث a وb وx أرقام. ومن هذه النسبة لدينا:
س 2 = أب
س = √أب
229. لنحصل على مثلث قائم الزاوية ABC (الرسم 224).
دعونا نسقط العمود BD المتعامد من قمة زاويته القائمة (∠B الزاوية اليمنى) إلى الوتر AC. ثم من البند 225 نعرف:
1) AC/AB = AB/AD و2) AC/BC = BC/DC.
ومن هنا نحصل على:
AB 2 = AC AD و BC 2 = AC DC.
وبجمع المعادلات التي تم الحصول عليها في الأجزاء نحصل على:
AB 2 + BC 2 \u003d AC AD + AC DC \u003d AC (AD + DC).
أي. مربع الرقم الذي يعبر عن الوتر يساوي مجموع مربعات الأرقام التي تعبر عن أضلاع المثلث القائم الزاوية.
باختصار يقولون: مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي الساقين.
إذا أعطينا الصيغة الناتجة تفسيرًا هندسيًا، فسنحصل على نظرية فيثاغورس المعروفة لنا بالفعل (القسم 161):
المربع المبني على الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع المربعات المبنية على الساقين.
من المعادلة AB 2 + BC 2 \u003d AC 2، يتعين عليك أحيانًا العثور على ساق المثلث القائم الزاوية، على طول الوتر والساق الأخرى. فنحصل على سبيل المثال:
AB 2 \u003d AC 2 - BC 2 وبالتالي،
230. النسبة العددية التي تم العثور عليها بين جوانب المثلث القائم الزاوية تسمح بحل العديد من المشاكل الحسابية. دعونا نحل بعض منهم:
1. احسب مساحة المثلث متساوي الأضلاع بمعلومية ضلعه.
لنفترض أن ∆ABC (الفصل 225) متساوي الأضلاع ويتم التعبير عن كل جانب من أضلاعه بالرقم a (AB = BC = AC = a). لحساب مساحة هذا المثلث عليك أولاً معرفة ارتفاعه BD، والذي سنسميه من خلال h. نحن نعلم أنه في المثلث متساوي الأضلاع، الارتفاع BD يشطر القاعدة AC، أي AD = DC = a/2. لذلك، من المثلث الأيمن DBC لدينا:
دينار بحريني 2 \u003d قبل الميلاد 2 - العاصمة 2،
ح 2 \u003d أ 2 - أ 2 / 4 \u003d 3أ 2 / 4 (نجري عملية الطرح).
وبالتالي لدينا:
(نخرج المضاعف من تحت الجذر).
ولذلك فبالاتصال على الرقم الذي يعبر عن مساحة مثلثنا من خلال Q ومعرفة أن المساحة هي ∆ABC = (AC BD)/2 نجد:
يمكننا النظر إلى هذه الصيغة كإحدى طرق قياس مساحة مثلث متساوي الأضلاع: نحتاج إلى قياس جانبها بالوحدات الخطية، وتربيع الرقم الموجود، وضرب الرقم الناتج في √3 وتقسيمه على 4 - نحن احصل على تعبير المنطقة بالوحدات المربعة (المقابلة).
2. أضلاع المثلث 10، 17، 21 سطرًا. أعزب احسب مساحتها.
دعونا نخفض الارتفاع h في مثلثنا (الفصل 226) إلى الجانب الأكبر - سوف يمر بالتأكيد داخل المثلث، لأنه في المثلث لا يمكن وضع زاوية منفرجة إلا مقابل الجانب الأكبر. ثم سيتم تقسيم الجانب الأكبر، = 21، إلى جزأين، سيتم الإشارة إلى أحدهما بواسطة x (انظر الرسم) - ثم الآخر = 21 - x. نحصل على مثلثين قائمين، لدينا منهما:
ح 2 \u003d 10 2 - س 2 و ح 2 \u003d 17 2 - (21 - س) 2
وبما أن الأطراف اليسرى من هذه المعادلات هي نفسها إذن
10 2 - س 2 \u003d 17 2 - (21 - س) 2
من خلال القيام بما يلي نحصل على:
10 2 - س 2 \u003d 289 - 441 + 42 س - س 2
وبتبسيط هذه المعادلة نجد:
ثم من المعادلة ح 2 \u003d 10 2 - × 2 نحصل على:
ح 2 \u003d 10 2 - 6 2 \u003d 64
وبالتالي
ومن ثم يتم العثور على المنطقة المطلوبة:
س = (218)/2 رباعي. أعزب = 84 متر مربع أعزب
3. يمكنك حل المشكلة العامة:
كيف تحسب مساحة المثلث بمعلومية أضلاعه؟
دع جوانب المثلث ABC يتم التعبير عنها بالأرقام BC = a و AC = b و AB = c (الرسم البياني 227). لنفترض أن AC هو الضلع الكبير؛ ثم سيدخل الارتفاع BD إلى ∆ABC. دعنا نسمي: BD = h، DC = x ثم AD = b - x.
من ∆BDC لدينا: h 2 = a 2 – x 2 .
من ∆ABD لدينا: h 2 = c 2 - (b - x) 2 ,
من أين أ 2 - س 2 \u003d ج 2 - (ب - س) 2.
وبحل هذه المعادلة نحصل على التوالي على:
2bx \u003d أ 2 + ب 2 - ج 2 و x \u003d (أ 2 + ب 2 - ج 2) / 2 ب.
(هذا الأخير مكتوب على أساس أن البسط 4أ 2 ب 2 - (أ 2 + ب 2 - ج 2) 2 يمكن اعتباره مساواة للمربعات التي نحللها إلى حاصل ضرب المجموع والفرق).
يتم تحويل هذه الصيغة عن طريق إدخال محيط المثلث، الذي نشير إليه بـ 2p، أي.
بطرح 2c من طرفي المعادلة نحصل على:
أ + ب + ج - 2 ج = 2 ع - 2 ج أو أ + ب - ج = 2(ع - ج):
وسنجد أيضاً:
ج + أ - ب = 2(ص - ب) و ج - أ + ب = 2(ع - أ).
ثم نحصل على:
(ع يعبر عن نصف محيط المثلث).
يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب مساحة المثلث بمعلومية أضلاعه الثلاثة.
231. تمارين.
232. في § 229 وجدنا العلاقة بين جوانب المثلث القائم الزاوية. يمكنك العثور على اعتماد مماثل لجوانب (مع إضافة قطعة أخرى) للمثلث المائل.
دعونا أولاً نحصل على ∆ABC (الفصل 228) بحيث يكون ∠A حادًا. دعونا نحاول العثور على تعبير لمربع الضلع BC الواقع مقابل هذه الزاوية الحادة (على غرار الطريقة التي وجدنا بها تعبير مربع الوتر في الفقرة 229).
ببناء BD ⊥ AC، نحصل على المثلث القائم BDC:
ق 2 = 2 دينار بحريني + 2 تيار مستمر
دعونا نستبدل BD2 بتعريفه من ABD، حيث لدينا:
دينار بحريني 2 \u003d أ ب 2 - م 2,
ويتم استبدال المقطع DC بـ AC - AD (من الواضح أن DC = AC - AD). ثم نحصل على:
ق 2 = أ ب 2 - أ م 2 + ( أ ب - أ م ) 2 = أ ب 2 - أ م 2 + أ ب 2 - 2 أ م + أد 2
وبعد إجراء التخفيض للمصطلحات المتشابهة نجد:
قبل الميلاد 2 \u003d أب 2 + أس 2 - 2AC م.
تنص هذه الصيغة على ما يلي: مربع ضلع المثلث المقابل للزاوية الحادة يساوي مجموع مربعي ضلعيه الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب أحد هذين الضلعين وقطعة ضلعه من رأس الزاوية الحادة إلى الارتفاع.
233. دع الآن ∠A و∆ABC (الفصل 229) يكونان منفرجين. دعونا نجد تعبيرًا لمربع الضلع BC الواقع مقابل الزاوية المنفرجة.
بعد بناء الارتفاع BD، سيتم تحديد موقعه الآن بشكل مختلف بعض الشيء: عند النقطة 228 حيث تكون ∠A حادة، وتقع النقطتان D وC على نفس الجانب من A، وهنا، حيث تكون ∠A منفرجة، ستكون النقطتان D وC تقع على جانبي A. ثم من ∆BDC مستطيل نحصل على:
ق 2 = 2 دينار بحريني + 2 تيار مستمر
يمكننا استبدال BD2 بتعريفه من الشكل المستطيل ∆BDA:
دينار بحريني 2 \u003d أ ب 2 - م 2,
والقطعة DC = AC + AD، وهو أمر واضح. بالتعويض نحصل على:
ق 2 = أ ب 2 - أ د 2 + (أ أ + أ د) 2 = أ ب 2 - أ د 2 + أ أ 2 + 2 أ أ + أد 2
وبإجراء عملية اختزال المصطلحات المتشابهة نجد:
ق 2 = أ ب 2 + أ 2 + 2 أ م،
أي. مربع ضلع المثلث المقابل للزاوية المنفرجة يساوي مجموع مربعي ضلعيه الآخرين، مضافًا إليه ضعف حاصل ضرب أحدهما وقطاعه من رأس الزاوية المنفرجة إلى الارتفاع.
وهذه الصيغة، وكذلك صيغة البند 232، تقبل تفسيرا هندسيا يسهل العثور عليه.
234. استخدام خصائص الفقرات. 229، 232، 233، يمكننا، إذا أعطيت لنا أضلاع مثلث بالأرقام، معرفة ما إذا كان لهذا المثلث زاوية قائمة أم منفرجة.
لا يمكن تحديد الزاوية القائمة أو المنفرجة في المثلث إلا مقابل الجانب الأكبر، ومن السهل معرفة ما هي الزاوية المقابلة لها: هذه الزاوية حادة أو قائمة أو منفرجة، اعتمادًا على ما إذا كان مربع الجانب الأكبر أقل من أو يساوي أو أكبر من مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
اكتشف ما إذا كانت هناك زاوية قائمة أم منفرجة في المثلثات التالية المحددة حسب أضلاعها:
1) 15 م، 13 م. و 14 مارك ألماني. 2) 20 و 29 و 21؛ 3) 11 و 8 و 13؛ 4) 7 و 11 و 15.
235. دعونا نحصل على متوازي الأضلاع ABCD (الرسم 230)؛ أنشئ قطريه AC و BD وارتفاعاته BK ⊥ AD و CL ⊥ AD.
ثم إذا كانت ∠A (∠BAD) حادة، فإن ∠D (∠ADC) منفرجة بالضرورة (لأن مجموعها = 2d). من ∆ABD، حيث ∠A تعتبر حادة، لدينا:
دينار بحريني 2 \u003d أ ب 2 + م 2 - 2 م أك،
ومن ∆ACD، حيث ∠D منفرجة، لدينا:
أس 2 = م 2 + سي دي 2 + 2 أد دي.
دعونا نستبدل القطعة AD في الصيغة الأخيرة بالقطعة BC المساوية لها وDL المساوية لها AK (DL = AK، حيث أن ∆ABK = ∆DCL، وهو أمر يسهل رؤيته). ثم نحصل على:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD AK.
وبجمع التعبير BD2 مع التعبير الأخير AC 2 نجد:
دينار بحريني 2 + أس 2 \u003d أ ب 2 + أد 2 + ق 2 + سي دي 2،
نظرًا لأن المصطلحين –2AD AK و+2AD AK يلغي كل منهما الآخر. يمكن قراءة المساواة الناتجة:
مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه.
236. حساب الوسيط والمنصف للمثلث على طول أضلاعه. دع الوسيط BM (أي AM = MC) يتم بناؤه في المثلث ABC (الفصل 231). بمعرفة الجوانب ∆ABC: BC = a وAC = b وAB = c، احسب متوسط BM.
نواصل BM ونؤجل المقطع MD = BM. عند توصيل D بـ A وD بـ C، نحصل على متوازي الأضلاع ABCD (من السهل معرفة ذلك، حيث أن ∆AMD = ∆BMC و∆AMB = ∆DMC).
باستدعاء الوسيط BM خلال m، نحصل على BD = 2m وبعد ذلك، باستخدام الفقرة السابقة، لدينا:
237. حساب نصف القطر المحيط بمثلث الدائرة. دع الدائرة O توصف بالقرب من ∆ABC (الفصل 233)، دعونا نبني قطر الدائرة BD والوتر AD وارتفاع المثلث BH.
ثم ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - الزاوية A صحيحة، لأنها منقوشة، على أساس القطر BD و∠D = ∠C، كما هي منقوشة، على أساس قوس واحد AB). لذلك لدينا:
أو، نسمي نصف القطر OB بـ R، والارتفاع BH بـ h، والجانبين AB وBC، كما في السابق، بـ c وa على التوالي:
لكن المساحة هي ∆ABC = Q = bh/2، حيث h = 2Q/b.
وبالتالي، R = (abc) / (4Q).
تمكنا (البند 230 المهمة 3) من حساب مساحة المثلث Q على جوانبه. من هنا يمكننا حساب R لأضلاع المثلث الثلاثة.
238. حساب نصف قطر الدائرة المدرج في المثلث. دعونا نكتب في ∆ABC، التي تم ذكر أضلاعها (الفصل 234)، الدائرة O. نربط مركزها O مع رؤوس المثلث ومع نقاط الاتصال D وE وF من الجوانب بالدائرة نجد أن نصف قطر الدائرة OD و OE و OF بمثابة ارتفاعات المثلثات BOC و COA و AOB.
استدعاء نصف قطر الدائرة المنقوشة من خلال r، لدينا:
كقاعدة عامة، يعتبر المثلثان متشابهين إذا كان لهما نفس الشكل، حتى لو كانا مختلفين في الحجم أو مستديرين أو حتى مقلوبين.
التمثيل الرياضي لمثلثين متشابهين A 1 B 1 C 1 و A 2 B 2 C 2 الموضح في الشكل مكتوب على النحو التالي:
∆أ 1 ب 1 ج 1 ~ ∆ أ 2 ب 2 ج 2
يتشابه المثلثان إذا:
1. كل زاوية في مثلث تساوي الزاوية المقابلة لمثلث آخر:
∠أ 1 = ∠أ 2 , ∠ب 1 = ∠ب 2و ∠C1 = ∠C2
2. نسب أضلاع أحد المثلثات إلى الأضلاع المقابلة لمثلث آخر متساوية:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. العلاقات جانبينمن مثلث إلى الأضلاع المقابلة لمثلث آخر متساوية وفي نفس الوقت
الزوايا بين هذه الجوانب متساوية:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ و $\زاوية A_1 = \زاوية A_2$
أو
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ و $\زاوية B_1 = \زاوية B_2$
أو
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ و$\angle C_1 = \angle C_2$
لا ينبغي الخلط بين المثلثات المتشابهة والمثلثات المتساوية. المثلثات المتطابقة لها أطوال أضلاع متناظرة. لذلك بالنسبة للمثلثات المتساوية:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
ويترتب على ذلك أن جميع المثلثات المتساوية متشابهة. ومع ذلك، ليست كل المثلثات المتشابهة متساوية.
على الرغم من أن التدوين أعلاه يوضح أنه لمعرفة ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا، نحتاج إلى معرفة قيم الزوايا الثلاث أو أطوال الأضلاع الثلاثة لكل مثلث، لحل المسائل مع المثلثات المتشابهة، فإنه ويكفي معرفة أي ثلاث قيم مما سبق لكل مثلث. يمكن أن تكون هذه القيم في مجموعات مختلفة:
1) ثلاث زوايا لكل مثلث (لا يشترط معرفة أطوال أضلاع المثلثات).
أو يجب أن تكون زاويتان لمثلث واحد على الأقل مساوية لزاويتين لمثلث آخر.
لأنه إذا كانت الزاويتان متساويتين فإن الزاوية الثالثة ستكون متساوية أيضاً (قيمة الزاوية الثالثة هي 180 - angle1 - angle2)
2) أطوال أضلاع كل مثلث (لا داعي لمعرفة الزوايا)؛
3) طول الضلعين والزاوية بينهما.
بعد ذلك، سنتناول حل بعض المسائل ذات المثلثات المتشابهة. أولاً، سننظر إلى المسائل التي يمكن حلها باستخدام القواعد المذكورة أعلاه مباشرة، ثم سنناقش بعض المسائل العملية التي يمكن حلها باستخدام طريقة المثلثات المتشابهة.
مسائل عملية على المثلثات المتشابهة
مثال 1:
بيّن أن المثلثين في الشكل أدناه متشابهان. 
حل:
وبما أن أطوال أضلاع المثلثين معروفة، فيمكن تطبيق القاعدة الثانية هنا:
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
المثال رقم 2:
برهن على أن مثلثان معلومين متشابهان، وأوجد أطوال أضلاعهما PQو العلاقات العامة.
حل:
∠أ = ∠Pو ∠B = ∠Q، ∠C = ∠R(لأن ∠C = 180 - ∠A - ∠B و ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)
ويترتب على ذلك أن المثلثين ∆ABC و ∆PQR متشابهان. لذلك:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 دولار و
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$
المثال رقم 3:
تحديد الطول أ.بفي هذا المثلث. 
حل:
∠ABC = ∠ADE، ∠ACB = ∠AEDو ∠أمشترك => مثلثات ΔABCو ΔADEمتشابهة.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$
المثال رقم 4:
تحديد الطول م (خ)الشكل الهندسي في الشكل. 
المثلثان ∆ABC و∆CDE متشابهان لأن AB || DE ولديهم زاوية علوية مشتركة C.
نرى أن أحد المثلثين هو نسخة مصغرة من المثلث الآخر. ومع ذلك، نحن بحاجة إلى إثبات ذلك رياضيا.
أ ب || دي، سي دي || ايه سي و بي سي || الاتحاد الأوروبي
∠BAC = ∠EDC و∠ABC = ∠DEC
وبناء على ما سبق ومع مراعاة وجود زاوية مشتركة جيمكننا القول أن المثلثين ∆ABC و ∆CDE متشابهان.
لذلك:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \مرات 11)(7) ) = 23.57 دولارًا
س = التيار المتردد - التيار المستمر = 23.57 - 15 = 8.57
أمثلة عملية
المثال رقم 5:
يستخدم المصنع حزام ناقل مائل لنقل المنتجات من المستوى 1 إلى المستوى 2، وهو ارتفاع 3 أمتار عن المستوى 1، كما هو موضح في الشكل. تتم صيانة الناقل المائل من أحد الأطراف إلى المستوى 1 ومن الطرف الآخر إلى محطة عمل تقع على مسافة 8 أمتار من نقطة التشغيل من المستوى 1. 
يرغب المصنع في ترقية الناقل للوصول إلى المستوى الجديد وهو 9 أمتار فوق المستوى 1، مع الحفاظ على زاوية الناقل.
حدد المسافة التي تحتاج إليها لإعداد محطة عمل جديدة للسماح للناقل بالعمل عند نهايته الجديدة عند المستوى 2. واحسب أيضًا المسافة الإضافية التي سيقطعها المنتج عند الانتقال إلى مستوى جديد.
حل:
أولاً، دعونا نسمي كل نقطة تقاطع بحرف معين، كما هو موضح في الشكل.
استنادا إلى المنطق المذكور أعلاه في الأمثلة السابقة، يمكننا أن نستنتج أن المثلثين ∆ABC و ∆ADE متشابهان. لذلك،
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \مرات 9)(3 ) = 24 م$
س = أ ب - 8 = 24 - 8 = 16 م
وبالتالي يجب تركيب النقطة الجديدة على مسافة 16 متراً من النقطة الموجودة.
وبما أن الهيكل يتكون من مثلثات قائمة، فيمكننا حساب مسافة سفر المنتج على النحو التالي:
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 م$
وبالمثل، $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
وهي المسافة التي يقطعها المنتج في اللحظة التي يصل فيها إلى المستوى الحالي.
ص = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 م
هذه هي المسافة الإضافية التي يجب أن يقطعها المنتج للوصول إلى مستوى جديد.
المثال رقم 6:
يريد ستيف زيارة صديقه الذي انتقل مؤخرًا إلى منزل جديد. تظهر في الشكل خريطة الطريق للوصول إلى منزل ستيف وصديقه، بالإضافة إلى المسافات التي يعرفها ستيف. ساعد ستيف في الوصول إلى منزل صديقه بأقصر الطرق. 
حل:
ويمكن تمثيل خريطة الطريق هندسيا بالشكل التالي كما هو موضح في الشكل. 
نرى أن المثلثين ∆ABC و ∆CDE متشابهان، وبالتالي:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
ينص بيان المهمة على ما يلي:
AB = 15 كم، AC = 13.13 كم، CD = 4.41 كم، DE = 5 كم
وباستخدام هذه المعلومات يمكننا حساب المسافات التالية:
$BC = \frac(AB \مرات CD)(DE) = \frac(15 \مرات 4.41)(5) = 13.23 كم$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$
يستطيع ستيف الوصول إلى منزل صديقه باستخدام الطرق التالية:
أ -> ب -> ج -> ه -> ز، المسافة الإجمالية هي 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 كم
F -> B -> C -> D -> G، المسافة الإجمالية هي 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 كم
F -> A -> C -> E -> G، المسافة الإجمالية هي 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 كم
F -> A -> C -> D -> G، المسافة الإجمالية هي 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 كم
ولذلك، فإن الطريق رقم 3 هو الأقصر ويمكن تقديمه لستيف.
مثال 7:
تريد تريشا قياس ارتفاع المنزل، لكن ليس لديها الأدوات المناسبة. لاحظت أن هناك شجرة تنمو أمام المنزل وقررت استخدام براعتها ومعرفتها بالهندسة المكتسبة في المدرسة لتحديد ارتفاع المبنى. قامت بقياس المسافة من الشجرة إلى المنزل، وكانت النتيجة 30 متراً، ثم وقفت أمام الشجرة وبدأت تتراجع حتى ظهرت الحافة العلوية للمبنى فوق قمة الشجرة. قامت تريشا بوضع علامة على المكان وقياس المسافة منه إلى الشجرة. وكانت هذه المسافة 5 م.
ارتفاع الشجرة 2.8 م وارتفاع عيون تريشا 1.6 م ساعد تريشا في تحديد ارتفاع المبنى. 
حل:
يظهر التمثيل الهندسي للمشكلة في الشكل. 
أولاً نستخدم تشابه المثلثات ∆ABC و ∆ADE.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 مرات AC = 1.6 مرات (5) + AC) = 8 + 1.6 × AC$
$(2.8 - 1.6) \مرات AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$
يمكننا بعد ذلك استخدام تشابه المثلثات ∆ACB و∆AFG أو ∆ADE و∆AFG. دعونا نختار الخيار الأول.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0.16) = 10 مليون دولار