في المهمة 13 من المستوى الشخصي لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، من الضروري حل معادلة، ولكن بمستوى متزايد من التعقيد، حيث أن مهام المستوى السابق C تبدأ بالمهمة 13، ويمكن تسمية هذه المهمة بـ C1 . دعنا ننتقل إلى النظر في أمثلة المهام النموذجية.
تحليل الخيارات النموذجية للمهام رقم 13 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات على مستوى الملف الشخصي
الإصدار الأول من المهمة (الإصدار التجريبي 2018)
أ) حل المعادلة cos2x = 1-cos(n/2-x)
ب) أوجد جميع جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى المجال [-5n/2;-n].
خوارزمية الحل:
- ر
- نقوم بإجراء التعويض العكسي وحل أبسط المعادلات المثلثية.
- نحن نبني محور الرقم.
- نحن نطبق الجذور عليه.
- ضع علامة على نهايات المقطع.
- نختار تلك القيم التي تقع داخل الفاصل الزمني.
- نكتب الجواب.
حل:
1. قم بتحويل الجانب الأيمن من المساواة باستخدام صيغة التخفيض cos( π/ 2−س)=sin س. لدينا:
сos2x = 1 - الخطيئة س.
دعونا نحول الجانب الأيسر من المعادلة باستخدام صيغة جيب التمام للوسيطة المزدوجة باستخدام الجيب:
cos(2x)=1−2sin 2 x
نحصل على المعادلة التالية: 1−sin 2 س=1− الخطيئة س
والآن لا يوجد سوى دالة مثلثية واحدة في المعادلة س.
2. أدخل البديل: ر= خطيئة س. نحل المعادلة التربيعية الناتجة:
1−2ر 2 =1−ر،
−2ر 2 +ر=0,
ر(−2ر+1)=0,
ر = 0أو -2ت + 1 = 0,
ر 1 = 0 ر 2 = 1/2.
3. قم بإجراء الاستبدال العكسي:
خطيئة س= 0 أو الخطيئة س = ½
دعونا نحل هذه المعادلات:
خطيئة س =0↔س=πn، nЄZ
الخطيئة( س)=1/2↔س= (-1) ن ∙( π/6)+πn، nЄZ.
وبالتالي نحصل على مجموعتين من الحلول.
1. في الفقرة السابقة تم الحصول على عائلتين، لكل منهما عدد لا نهائي من الحلول. من الضروري معرفة أي منهم موجود في فترة زمنية معينة. للقيام بذلك، نبني خط الأعداد.
2. نطبق عليها جذور العائلتين ونميزها باللون الأخضر (الأولى) والأزرق (الثانية).
3. ضع علامة على أطراف الفجوة باللون الأحمر.
4. في الفترة المشار إليها هناك ثلاثة جذور هي ثلاثة جذور: −2 π ;−11π/ 6 و −7 π/ 6.
أ) πn، nЄZ؛(-1) ن ∙( π/6)+πn، nЄZ
ب) −2 π ;−11π 6;−7π 6
الإصدار الثاني من المهمة (من ياشينكو رقم 1)
أ) حل المعادلة.
خوارزمية الحل:
- نستبدل هذه الدالة بمتغير روحل المعادلة التربيعية الناتجة.
- نجري التعويض العكسي ونحل أبسط المعادلات الأسية ثم المثلثية.
- نقوم ببناء مستوى إحداثي ودائرة نصف قطرها وحدة.
- نحتفل بالنقاط التي تمثل نهايات المقطع.
- نختار تلك القيم الموجودة داخل المقطع.
- نكتب الجواب.
حل:
1. نقدم الاستبدال t = 4 cos x. عندها ستأخذ المعادلة الشكل:
نحل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغ التمييزية والجذرية:
د=ب 2 – ج = 81 – 4∙4∙2 =49,
ت 1 = (9 - 7)/8= ¼، ت 2 = (9+7)/8=2.
1. قم بإنشاء مستوى إحداثي ودائرة وحدة نصف القطر عليه.
2. حدد النقاط التي تمثل نهايات المقطع.
3. حدد تلك القيم الموجودة داخل المقطع..
هذه هي الجذور. هناك اثنان منهم.
أ) 
الإصدار الثالث من المهمة (من ياشينكو رقم 6)
أ) حل المعادلة 
.
ب) أوجد جميع جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى القطعة المستقيمة.
خوارزمية الحل:
- باستخدام الصيغ المثلثية، نقوم بتبسيط المعادلة إلى شكل يحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط.
- نستبدل هذه الدالة بمتغير روحل المعادلة التربيعية الناتجة.
- نقوم بإجراء التعويض العكسي وحل أبسط المعادلات الأسية ثم المثلثية.
- نحن نحل عدم المساواة في كل حالة.
- نكتب الجواب.
حل:
1. استخدام صيغ التخفيض 
.
2. ثم تأخذ هذه المعادلة الشكل:
3. نقدم بديلاً 
. نحن نحصل:
نحن نحل معادلة تربيعية عادية باستخدام الصيغ التمييزية والجذرية:
كلا الجذرين إيجابيان.
3. العودة إلى المتغير x:
"طرق مختلفة لحل المهام رقم 13 من امتحان الدولة الموحدة"
اجتماع الجمعية المنهجية للمنطقة
معلمو الرياضيات "الكفاءة المهنية للمعلم كشرط لإعداد عالي الجودة للطلاب لامتحان الدولة"
فوروبيوفا أولغا الكسندروفنا،
مدرس رياضيات بالمدرسة الثانوية رقم 3
عند تحليل نتائج امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، تجدر الإشارة إلى أن العديد من الطلاب لا يبدأون في إكمال المهام من المجموعة C، وإذا فعلوا ذلك، فغالبًا ما يرتكبون أخطاء. هناك اسباب كثيرة لهذا. أحدها هو العدد غير الكافي من المهام التي تم حلها بشكل مستقل، ولا يتم تحليل الأخطاء التي تم ارتكابها، وكقاعدة عامة، تكون المعرفة المكتسبة سطحية، حيث يتم أخذ المهام من نفس النوع فقط في الاعتبار، وتكون طرق الحل قياسية فقط.
- عند تحليل نتائج امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، تجدر الإشارة إلى أن العديد من الطلاب لا يبدأون في إكمال المهام من المجموعة C، وإذا فعلوا ذلك، فغالبًا ما يرتكبون أخطاء. هناك اسباب كثيرة لهذا. أحدها هو العدد غير الكافي من المهام التي تم حلها بشكل مستقل، ولا يتم تحليل الأخطاء التي تم ارتكابها، وكقاعدة عامة، تكون المعرفة المكتسبة سطحية، حيث يتم أخذ المهام من نفس النوع فقط في الاعتبار، وتكون طرق الحل قياسية فقط.
- في المهمة 13 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات على المستوى الشخصي، يُطلب منك حل معادلة واختيار جذورها التي تستوفي شرطًا معينًا.
- يعد اختيار الجذور نقطة إضافية في شروط المشكلة أو يتبع منطقيا من بنية المعادلة نفسها. وتظهر التجربة أن هذه القيود تمثل الصعوبة الرئيسية للطلاب.
- الطريقة الحسابية
- الطريقة الجبرية
- الطريقة الهندسية
- الطريقة الوظيفية الرسومية
- الاستبدال المباشر للجذور في المعادلة والقيود الحالية
- التكرار من خلال قيم المعلمات الصحيحة وحساب الجذور
- حل المتراجحة فيما يتعلق بمعلمة عدد صحيح غير معروف وحساب الجذور
- دراسة معادلة ذات معلمتين صحيحتين (تستخدم عند حل نظام المعادلات)
- اختيار جذور المعادلة المثلثية على دائرة الأعداد
- اختيار جذور المعادلة المثلثية على خط الأعداد
امتحان الدولة الموحدة. اللغة الروسية.
المهمة 13. ما مدى سهولة إكمالها؟
المهمة رقم 13- واحدة من أصعب. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنك بحاجة إلى معرفة الكثير من القواعد الخاصة بتهجئة الكلمات المدمجة والمنفصلة والواصلة. بالإضافة إلى ذلك، هناك الكثير من الكلمات التي تحتاج فقط إلى تذكرها. لذلك هناك صعوبات.
أقترح أسهل طريقة لإكمال هذه المهمة.
خوارزمية إكمال المهمة رقم 13
تهجئة الكلمات المتكاملة والمنفصلة والواصلة
اقرأ المهمة بعناية. تحتاج إلى العثور على جملة من أصل خمسة مقترحة، حيث يتم كتابة الكلمات المميزة بسلاسةأو منفصل. حتى لو كانت الكتب التي تدرس بها تطلب منك في الغالب العثور عليها تنصهركتابة الكلمات، الامتحان هو الامتحان، عليك أن تكون مستعدا لأي شيء. لذلك من خلال القراءة المتأنية للمهمة يبدأ تنفيذها.
في كل جملة، احذف الكلمات المكتوبة بها واصلة. في أغلب الأحيان يكون هذا:
الكلمات مع اللواحق إما إماوالبادئة كفو
كلمات بعد كل شيء، بالضبط نفس الشيء.
الأحوال مع البادئة بواسطةواللواحق OMU، HIM، SKI، YI:
في رأينا على طريقة الثعلب.
معنى الصفات ظلال الألوان والذوق(الأحمر الساطع، الحلو والحامض)
الاتجاهات الأساسية: جنوب غرب.
كلمات لها جذور أرضية: أبدا ب ل(نصف ليمونة) مع حرف علة(نصف تفاحة) بالأحرف الكبيرة(نصف أوروبا).
الصفات المتكونة من أعضاء متجانسة، يمكن وضع أدوات الربط بينها و(مجلة - جريدة - أي مجلة وصحيفة)
لقد تم اتخاذ الخطوة الأولى. سيكون هناك بالتأكيد كلمة في جملة ما مكتوبة بواصلة. ولذلك، فإن عدد العروض آخذ في التناقص.
كما لو
في ضوء
تذكر
خلال
في استمرارية
بسبب
تبعًا
لأن
بينما
إنه
بغرض
بالرغم من
بصرف النظر عن
في الحال
كما لو
الخطوة الثالثة هي الأكثر أهمية. تحتاج إلى التمييز بوضوح بين الكلمات المكتوبة بسلاسة أو منفصل.
لذلك - ماذا من شأنه
بالمثل ايضا
أيضا نفسه
ولكن من أجل ذلك
لماذا - من ماذا
بسبب بسبب
بسبب بسبب
ما علاقة ذلك به
حول (= حول) – إلى حساب (في البنك)
يتذكر:إذا كانت الكلمة بها ضغط منطقي، فأنت تبرزها بالتنغيم، ويتم نطقها بحزم، مع بعض التباطؤ في التجويد، والأهم من ذلك، يمكنك تخيل شيء ما على وجه التحديد، ثم يتم كتابة هذه الكلمة منفصل.
إذا لم يكن أي مما سبق موجودا، فهذا اقتران عادي، وهو مكتوب ممتلىء.
يقارن.
لهل يجب أن أعطيها لك في عيد ميلادك؟ (يتم التركيز على الكلمة؛ فنحن نقدم الهدية التي نريد شراءها).
التقينا، لمناقشة الشؤون الجارية (يتم نطق الكلمة بسرعة، كما لو كانت عرضية، ولا يمكننا أن نتخيل أي شيء عندما نقول كلمة SO THAT)
من أجل هذاحصلت على خمسة لهذه المهمة.
لقد استعد لفترة طويلة لكناجتاز الامتحان بشكل جيد.
تذكر: إذا بعد لذا نفسهنالك كيف و، فإنه يتم كتابته دائمًا بشكل منفصل. (تم إنجاز العمل بنفس الجودة كما هو الحال دائمًا.)
كلمة لذامكتوبة معًا، إذا كانت هذه كلمة تمهيدية عادية، فهي تلخص شيئًا ما.( لذا، تم الانتهاء من العمل قبل العطلة)
إذا كان أمامنا ظرف ورابط، فإننا نكتبهما بشكل منفصل، يمكننا طرح سؤال كيف؟(لذاكان يقضي كل وقت فراغه (كيف قضاه؟ – لذا).
تذكر أن الظروف السلبية تكتب دائمًا بسلاسة: في أي مكان، بأي حال من الأحوال، على الاطلاق، في أي مكان، في أي مكانإلخ.
هذه هي الحالات الرئيسية التي يجب تذكرها أولاً.
جميع القواعد موجودة في هذا الموقع. إيلاء اهتمام خاص للجداول مع تهجئة الظروف، وحفظ الكلمات.
مثال
حدد الجملة التي كتبت فيها الكلمتان المميزتان ممتلىء.افتح القوسين واكتب هاتين الكلمتين.
كل شيء كان (لا يزال) على حاله، (وهذا) لم يتغير على الإطلاق.
(لذا) للوصول إلى الاجتماع في الوقت المحدد، غادرنا في الصباح الباكر.
(بعض) حيث (في) المسافة يمكن رؤية أضواء الأكواخ.
واختفى (ع) فجأة كما ظهر.
(و) فلنبدأ بحقيقة أنني التقيت بك (أخيرًا).
توضيح
نجد الجمل التي تكتب فيها الكلمات بواصلة. وهذا هو الأول والثالث.. مكان ما, ما زال. دعونا نستبعدهم. باقي 3 عروض
نجد الكلمات التي ليس لديك شك في إملائها بشكل منفصل. هذا إنه(لكن الجملة الأولى تم حذفها بالفعل)
هناك 3 جمل متبقية يمكن كتابة الكلمات فيها بشكل صحيح من خلال التفكير في معناها.
الجملة 2: أين ذهبنا؟ - إلى الإجتماع(على سبيل المثال، إلى اجتماع طال انتظاره). أي أننا نتخيل بوضوح الاجتماع الذي سيذهب إليه أبطالنا. نحن نكتب منفصل.كلمة لهنا هو مكتوب معا، لأنه لا يوجد معنى معجمي في الكلمة "ماذا"لا).
الجملة 4 سهلة، وتحتوي على إلى جانبمما يعني أنني أكتب الكلمة بشكل منفصل.
هذا يترك الرقم 5 - هذه هي الإجابة الصحيحة: لذا- كلمة تمهيدية، أخيراً- ظرف متى؟
أكمل المزيد من المهام، وسوف تنجح بالتأكيد
حظ سعيد!
المواد من إعداد: ميلنيكوفا فيرا ألكساندروفنا
امتحان الدولة الموحد في مستوى الملف التعريفي للرياضيات
يتكون العمل من 19 مهمة.
الجزء 1:
8 مهام الإجابة القصيرة لمستوى الصعوبة الأساسي.
الجزء 2:
4 أسئلة الإجابة القصيرة
7 مهام مع إجابات مفصلة على مستوى عال من الصعوبة.
وقت التشغيل - 3 ساعات و 55 دقيقة.
أمثلة على مهام امتحان الدولة الموحدة
حل مهمة امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات.
مشكلة مع الحل:
في الهرم الثلاثي المنتظم ABCS وقاعدته ABC، تكون الحواف التالية معروفة: AB = 5 جذور 3، SC = 13.
أوجد الزاوية التي يشكلها المستوى الأساسي والخط المستقيم الذي يمر بمنتصف الحافتين AS وBC.
حل:
1. بما أن SABC هرم منتظم، فإن ABC مثلث متساوي الأضلاع، والأوجه المتبقية هي مثلثات متساوية الساقين.
أي أن جميع جوانب القاعدة تساوي 5 sqrt(3)، وجميع الحواف الجانبية تساوي 13.
2. ليكن D نقطة منتصف BC، E نقطة منتصف AS، SH الارتفاع النازل من النقطة S إلى قاعدة الهرم، EP الارتفاع النازل من النقطة E إلى قاعدة الهرم.
3. أوجد AD من المثلث القائم CAD باستخدام نظرية فيثاغورس. اتضح 15/2 = 7.5.
4. بما أن الهرم منتظم، فإن النقطة H هي نقطة تقاطع الارتفاعات/المنتصفات/المنصفات للمثلث ABC، وبالتالي يقسم AD بنسبة 2:1 (AH = 2 AD).
5. ابحث عن SH من المثلث الأيمن ASH. AH = AD 2/3 = 5، AS = 13، حسب نظرية فيثاغورس SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.
6. المثلثان AEP و ASH كلاهما زاويتان قائمتان ولهما زاوية مشتركة A، وبالتالي متشابهتان. حسب الشرط، AE = AS/2، وهو ما يعني AP = AH/2 وEP = SH/2.
7. يبقى أن نأخذ بعين الاعتبار المثلث القائم EDP (نحن مهتمون فقط بالزاوية EDP).
إب = ش/2 = 6؛
DP = م 2/3 = 5؛
زاوية الظل EDP = EP/DP = 6/5،
زاوية EDP = أركانتان (6/5)
إجابة:
هل تعلم ماذا؟
من بين جميع الأشكال التي لها نفس المحيط، ستكون للدائرة أكبر مساحة. على العكس من ذلك، من بين جميع الأشكال التي لها نفس المساحة، سيكون للدائرة أصغر محيط.
ابتكر ليوناردو دافنشي قاعدة مفادها أن مربع قطر جذع الشجرة يساوي مجموع مربعات أقطار الفروع المأخوذة على ارتفاع ثابت مشترك. وأكدت الدراسات اللاحقة ذلك بفارق واحد فقط - الدرجة في الصيغة لا تساوي بالضرورة 2، ولكنها تقع في النطاق من 1.8 إلى 2.3. تقليديا، كان يعتقد أن هذا النمط يفسر بحقيقة أن الشجرة ذات مثل هذا الهيكل لديها آلية مثالية لتزويد فروعها بالمواد المغذية. ومع ذلك، في عام 2010، وجد الفيزيائي الأمريكي كريستوف ألوي تفسيرًا ميكانيكيًا أبسط لهذه الظاهرة: إذا اعتبرنا الشجرة كسورية، فإن قانون ليوناردو يقلل من احتمالية كسر الفروع تحت تأثير الرياح.
أظهرت الدراسات المخبرية أن النحل قادر على اختيار الطريق الأمثل. بعد تحديد مكان الزهور الموضوعة في أماكن مختلفة، تقوم النحلة بالطيران والعودة بطريقة تجعل المسار النهائي هو الأقصر. وبالتالي، فإن هذه الحشرات تتعامل بشكل فعال مع "مشكلة البائع المتجول" الكلاسيكية من علوم الكمبيوتر، والتي يمكن لأجهزة الكمبيوتر الحديثة، اعتمادًا على عدد النقاط، أن تقضي أكثر من يوم واحد في حلها.
إذا ضربت عمرك في 7، ثم ضربته في 1443، ستكون النتيجة كتابة عمرك ثلاث مرات متتالية.
نحن نفكر في الأرقام السالبة كشيء طبيعي، ولكن لم يكن هذا هو الحال دائمًا. تم تقنين الأرقام السالبة لأول مرة في الصين في القرن الثالث، ولكن تم استخدامها فقط في حالات استثنائية، حيث اعتبرت بشكل عام بلا معنى. بعد ذلك بقليل، بدأ استخدام الأرقام السالبة في الهند للإشارة إلى الديون، لكنها لم تتجذر في الغرب - جادل ديوفانتوس الإسكندرية الشهير بأن المعادلة 4x+20=0 كانت سخيفة.
عالم الرياضيات الأمريكي جورج دانتزيج، عندما كان طالب دراسات عليا في الجامعة، تأخر عن الفصل في أحد الأيام وأخطأ في المعادلات المكتوبة على السبورة على أنها واجبات منزلية. بدا الأمر أصعب بالنسبة له من المعتاد، لكنه تمكن بعد أيام قليلة من إكماله. وتبين أنه قام بحل مشكلتين "غير قابلتين للحل" في الإحصاء، وقد عانى منهما العديد من العلماء.
في الأدب الرياضي الروسي، الصفر ليس رقمًا طبيعيًا، ولكن في الأدب الغربي، على العكس من ذلك، فهو ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.
نشأ نظام الأرقام العشري الذي نستخدمه لأن البشر لديهم 10 أصابع. لم تظهر القدرة على العد المجرد لدى الأشخاص على الفور، واتضح أنه من الأكثر ملاءمة استخدام الأصابع للعد. استخدمت حضارة المايا، وبشكل مستقل عنها، تشوكشي تاريخيًا نظام الأرقام المكون من عشرين رقمًا، باستخدام الأصابع ليس فقط على اليدين، ولكن أيضًا على أصابع القدم. كما أن النظامين الاثني عشري والستيني الشائع في سومر وبابل القديمين كان يعتمد أيضًا على استخدام اليدين: حيث تم حساب كتائب أصابع اليد الأخرى، وعددها 12، بالإبهام.
طلبت إحدى صديقاتها من أينشتاين أن يتصل بها، لكنها حذرت من أنه من الصعب جدًا تذكر رقم هاتفها: - 24-361. هل تذكر؟ يكرر! فأجاب أينشتاين مندهشًا: «بالطبع أتذكر!» اثنان وعشرون و19 تربيع.
يعد ستيفن هوكينج أحد أبرز علماء الفيزياء النظرية ومروج العلوم. وذكر هوكينج في قصته عن نفسه أنه أصبح أستاذًا للرياضيات دون أن يتلقى أي تعليم في الرياضيات منذ المدرسة الثانوية. عندما بدأ هوكينج تدريس الرياضيات في جامعة أكسفورد، كان يقرأ الكتاب المدرسي قبل طلابه بأسبوعين.
الحد الأقصى للعدد الذي يمكن كتابته بالأرقام الرومانية دون انتهاك قواعد Shvartsman (قواعد كتابة الأرقام الرومانية) هو 3999 (MMMCMXCIX) - لا يمكنك كتابة أكثر من ثلاثة أرقام متتالية.
هناك العديد من الأمثال حول كيفية قيام شخص ما بدعوة شخص آخر ليدفع له مقابل بعض الخدمات بالطريقة التالية: في المربع الأول من رقعة الشطرنج سيضع حبة أرز واحدة، وفي الثانية - حبتين، وهكذا: في كل مربع لاحق ضعف ما كان عليه في السابق. ونتيجة لذلك فإن من يدفع بهذه الطريقة سوف يفلس بالتأكيد. وهذا ليس مفاجئا: فمن المتوقع أن يصل الوزن الإجمالي للأرز إلى أكثر من 460 مليار طن.
في العديد من المصادر، غالبًا بغرض تشجيع الطلاب ذوي الأداء الضعيف، هناك بيان مفاده أن أينشتاين فشل في الرياضيات في المدرسة أو علاوة على ذلك، درس بشكل عام بشكل سيء للغاية في جميع المواد. في الواقع، لم يكن كل شيء على هذا النحو: بدأ ألبرت في إظهار موهبة الرياضيات في سن مبكرة وكان يعرفها بعيدًا عن المناهج المدرسية.