أحد عناصر جبر المستوى البدائي هو اللوغاريتم. يأتي الاسم من اللغة اليونانية من كلمة "رقم" أو "درجة" ويعني الدرجة التي يلزم عندها رفع الرقم في القاعدة للعثور على الرقم النهائي.
أنواع اللوغاريتمات
- log a b هو لوغاريتم الرقم b للقاعدة a (a> 0 ، a ≠ 1 ، b> 0) ؛
- lg b - اللوغاريتم العشري (لوغاريتم الأساس 10 ، أ = 10) ؛
- ln b - اللوغاريتم الطبيعي (اللوغاريتم الأساسي e ، a = e).
كيف تحل اللوغاريتمات؟
لوغاريتم الرقم b للقاعدة a هو الأس ، والذي يتطلب رفع القاعدة a إلى الرقم b. يتم نطق النتيجة على النحو التالي: "لوغاريتم b إلى قاعدة a". حل المشكلات اللوغاريتمية هو أنك تحتاج إلى تحديد الدرجة المعطاة بالأرقام بالأرقام المحددة. هناك بعض القواعد الأساسية لتحديد اللوغاريتم أو حله ، بالإضافة إلى تحويل الترميز نفسه. باستخدامهم ، يتم حل المعادلات اللوغاريتمية ، وإيجاد المشتقات ، وحل التكاملات ، ويتم تنفيذ العديد من العمليات الأخرى. أساسًا ، حل اللوغاريتم نفسه هو تدوينه المبسط. فيما يلي الصيغ والخصائص الرئيسية:
لأي أ> 0 ؛ أ ≠ 1 ولأي س ؛ ص> 0.
- a log a b = b هي الهوية اللوغاريتمية الأساسية
- سجل a 1 = 0
- تسجيل أ = 1
- سجل أ (س ص) = سجل أ س + سجل أ ص
- سجل أ س / ص = سجل أ س - سجل أ ص
- سجل 1 / x = -log a x
- سجل أ س ص = ص سجل أ س
- سجل أ ل س = 1 / ك سجل أ س ، ل ك ≠ 0
- سجل أ س = سجل أ ج س ج
- log a x \ u003d log b x / log b a - صيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة
- سجل أ س = 1 / سجل س أ
كيفية حل اللوغاريتمات - تعليمات خطوة بخطوة لحلها
- أولاً ، اكتب المعادلة المطلوبة.
يرجى ملاحظة: إذا كان اللوغاريتم الأساسي هو 10 ، فسيتم تقصير السجل ، ويتم الحصول على اللوغاريتم العشري. إذا كان هناك عدد طبيعي e ، فسنكتبه ، واختزاله إلى لوغاريتم طبيعي. هذا يعني أن نتيجة جميع اللوغاريتمات هي القوة التي يتم رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.
بشكل مباشر ، يكمن الحل في حساب هذه الدرجة. قبل حل تعبير باستخدام لوغاريتم ، يجب تبسيطه وفقًا للقاعدة ، أي باستخدام الصيغ. يمكنك العثور على الهويات الرئيسية بالرجوع قليلاً إلى الوراء في المقالة.
عند جمع وطرح اللوغاريتمات برقمين مختلفين ولكن بنفس القاعدة ، استبدل بلوغاريتم واحد بمنتج أو قسمة الرقمين ب وج ، على التوالي. في هذه الحالة ، يمكنك تطبيق صيغة الانتقال على قاعدة أخرى (انظر أعلاه).
إذا كنت تستخدم تعبيرات لتبسيط اللوغاريتم ، فهناك بعض القيود التي يجب وضعها في الاعتبار. وهذا هو: أساس اللوغاريتم a هو رقم موجب فقط ، لكنه لا يساوي واحدًا. الرقم ب ، مثل أ ، يجب أن يكون أكبر من صفر.
هناك حالات ، بعد تبسيط التعبير ، لن تتمكن من حساب اللوغاريتم في الشكل العددي. يحدث أن مثل هذا التعبير لا معنى له ، لأن العديد من الدرجات هي أرقام غير منطقية. في ظل هذا الشرط ، اترك قوة الرقم كلوغاريتم.
جمع وطرح اللوغاريتمات
الخصائص الأساسية للوغاريتمات
اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، يمكن إضافتها وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.
يجب معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. لذلك دعونا نبدأ.
ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: السجل فأسوتسجيل أ ذ. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:
1. log a x + log a y = log a (x y) ؛
2. السجل a x - السجل a y = السجل a (x: y).
إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!
ستساعد هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة - وانظر:
أوجد قيمة التعبير: سجل 6 4 + سجل 6 9.
نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.
أوجد قيمة التعبير: سجل 2 48 - سجل 2 3.
الأسس هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
السجل 2 48 - السجل 2 3 = السجل 2 (48: 3) = السجل 2 16 = 4.
أوجد قيمة التعبير: سجل 3135 - سجل 3 5.
مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
السجل 3135 - السجل 3 5 = السجل 3 (135: 5) = السجل 3 27 = 3.
كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم ، يتم تقديم هذا التحكم - تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.
الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:
1. تسجيل الدخول أ س ن = نسجل فأس;
3. 
من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.
بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: أ > 0, أ ≠ 1, x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.
أوجد قيمة التعبير: سجل 7 49 6.
دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12
أوجد قيمة التعبير:
لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . نملك:
أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".
اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، يمكن إضافتها وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.
يجب معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. لذلك دعونا نبدأ.
جمع وطرح اللوغاريتمات
ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: السجل أ xوتسجيل أ ذ. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:
- سجل أ x+ سجل أ ذ= سجل أ (x · ذ);
- سجل أ xسجل أ ذ= سجل أ (x : ذ).
إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!
ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:
سجل 6 4 + سجل 6 9.
نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 - log 2 3.
الأسس هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
السجل 2 48 - السجل 2 3 = السجل 2 (48: 3) = السجل 2 16 = 4.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3135 - log 3 5.
مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
السجل 3135 - السجل 3 5 = السجل 3 (135: 5) = السجل 3 27 = 3.
كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.
إزالة الأس من اللوغاريتم
الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:
من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.
بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: أ > 0, أ ≠ 1, x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6.
دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12
مهمة. أوجد قيمة التعبير:
[شرح الشكل]
لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 2 4؛ 49 = 72. نملك:
[شرح الشكل] أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".
لنلق نظرة الآن على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس العدد: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.
الانتقال إلى مؤسسة جديدة
بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟
تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:
دع اللوغاريتم سجل أ x. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1 ، المساواة صحيحة:
[شرح الشكل]
على وجه الخصوص ، إذا وضعنا ج = x، نحن نحصل:
[شرح الشكل]
ويترتب على الصيغة الثانية أنه من الممكن تبادل الأساس وسعة اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "منقلبًا" ، أي اللوغاريتم في المقام.
نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.
ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 5 16 log 2 25.
لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ؛ سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2 سجل 2 5 ؛
الآن دعونا نقلب اللوغاريتم الثاني:
[شرح الشكل]نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.
مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9100 lg 3.
أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:
[شرح الشكل]الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:
[شرح الشكل]الهوية اللوغاريتمية الأساسية
غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:
في الحالة الأولى ، الرقم نيصبح الأس للحجة. رقم نيمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق ، لأنه مجرد قيمة اللوغاريتم.
الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. إنها تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية.
في الواقع ، ماذا سيحدث إذا كان الرقم برفع إلى السلطة بحيث بإلى هذا الحد يعطي عددًا أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.
مثل معادلات التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.
مهمة. أوجد قيمة التعبير:
[شرح الشكل]
لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - أخرج المربع من قاعدة اللوغاريتم وسعة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:
[شرح الشكل]إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من الامتحان :)
الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي
في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".
- سجل أ أ= 1 هي الوحدة اللوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس أمن هذه القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
- سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. يتمركز أيمكن أن يكون أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لان أ 0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.
هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.
مشتق من تعريفه. وهكذا فإن لوغاريتم العدد ببسبب أيُعرَّف بأنه الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).
من هذه الصيغة يتبع ذلك الحساب س = سجل أ ب، يعادل حل المعادلة الفأس = ب.علي سبيل المثال، سجل 2 8 = 3لان 8 = 2 3 . صياغة اللوغاريتم يجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب = أ ج، ثم لوغاريتم الرقم ببسبب أيساوي مع. من الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتم يرتبط ارتباطًا وثيقًا بموضوع قوة الرقم.
باستخدام اللوغاريتمات ، كما هو الحال مع أي أرقام ، يمكنك القيام بذلك عمليات الجمع والطرحوتحويل بكل طريقة ممكنة. ولكن في ضوء حقيقة أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فإن قواعدها الخاصة تنطبق هنا ، والتي تسمى الخصائص الأساسية.
جمع وطرح اللوغاريتمات.
خذ لوغاريتمين بنفس القاعدة: سجل xو تسجيل ذ. ثم قم بإزالته من الممكن إجراء عمليات الجمع والطرح:
سجل أ س + سجل أ ص = سجل أ (س ص) ؛
سجل أ س - سجل أ ص = سجل أ (س: ص).
تسجيل أ(x 1 . x 2 . x 3 ... س ك) = سجل x 1 + سجل x 2 + سجل x 3 + ... + سجل أ س ك.
من عند نظريات حاصل القسمة اللوغاريتميةيمكن الحصول على خاصية أخرى للوغاريتم. ومن المعروف أن السجل أ 1 = 0 ، لذلك
سجل أ 1 /ب= سجل أ 1 - سجل أ ب= -log أ ب.
إذن هناك مساواة:
سجل أ 1 / ب = - سجل أ ب.
لوغاريتمات لرقمين متبادلينعلى نفس الأساس سوف تختلف عن بعضها البعض فقط في تسجيل الدخول. لذا:
السجل 3 9 = - السجل 3 1/9 ؛ سجل 5 1/125 = -log 5125.
ما هو اللوغاريتم؟
انتباه!
هناك المزيد
مادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")
ما هو اللوغاريتم؟ كيف تحل اللوغاريتمات؟ هذه الأسئلة تحير الكثير من الخريجين. تقليديا ، يعتبر موضوع اللوغاريتمات معقدًا وغير مفهوم ومخيف. خاصة - المعادلات مع اللوغاريتمات.
هذا ليس صحيحا على الاطلاق. قطعاً! لا تصدق؟ جيد. الآن ، لمدة تتراوح من 10 إلى 20 دقيقة ، أنت:
1. فهم ما هو اللوغاريتم.
2. تعلم كيفية حل فئة كاملة من المعادلات الأسية. حتى لو لم تسمع بهم.
3. تعلم كيفية حساب اللوغاريتمات البسيطة.
علاوة على ذلك ، ستحتاج فقط إلى معرفة جدول الضرب ، وكيفية رفع الرقم إلى أس ...
أشعر أنك تشك ... حسنًا ، حافظ على الوقت! اذهب!
أولاً ، حل المعادلة التالية في ذهنك:
إذا أعجبك هذا الموقع ...
بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.