صيغة الحد n من التقدم الهندسي بسيطة للغاية. سواء في المعنى أو في المظهر العام. ولكن هناك كل أنواع المسائل المتعلقة بصيغة الحد n - من البدائية جدًا إلى الخطيرة جدًا. وفي عملية تعارفنا، سننظر بالتأكيد في كليهما. حسنا، دعونا نتعرف؟)
لذا، في البداية، في الواقع معادلةن
ها هي:
ب ن = ب 1 · Qn -1
الصيغة مجرد صيغة، لا شيء خارق للطبيعة. تبدو أبسط وأكثر إحكاما من صيغة مماثلة ل. معنى الصيغة بسيط أيضًا مثل الأحذية المصنوعة من اللباد.
تتيح لك هذه الصيغة العثور على أي عضو في التقدم الهندسي من خلال رقمه " ن".
وكما ترى فإن المعنى هو تشبيه كامل للمتتابعة الحسابية. نحن نعرف الرقم n - ويمكننا أيضًا أن نحسب الحد تحت هذا الرقم. أيهما نريد. دون تكرار الضرب بـ "q" عدة مرات. هذا هو بيت القصيد.)
أفهم أنه في هذا المستوى من العمل مع التقدم، يجب أن تكون جميع الكميات المدرجة في الصيغة واضحة لك بالفعل، لكنني ما زلت أعتبر أنه من واجبي فك تشفير كل منها. فقط في حالة.
حسنا هيا بنا:
ب 1 – أولاًمصطلح التقدم الهندسي.
س – ;
ن- رقم عضوية؛
ب ن – ن (نذ)مصطلح التقدم الهندسي.
تربط هذه الصيغة بين المعلمات الأربعة الرئيسية لأي تقدم هندسي - بن, ب 1 , سو ن. وكل مشاكل التقدم تدور حول هذه الشخصيات الأربعة الرئيسية.
"كيف تتم إزالته؟"- أسمع سؤالاً فضولياً... ابتدائي! ينظر!
ما يساوي ثانيةعضو في التقدم ؟ لا مشكلة! نكتب مباشرة:
ب 2 = ب 1 ·ف
ماذا عن العضو الثالث؟ ليست مشكلة سواء! نضرب الحد الثاني مرة أخرى علىس.
مثله:
ب 3 = ب 2 ف
دعونا نتذكر الآن أن الحد الثاني بدوره يساوي b 1 ·q ونعوض بهذا التعبير في مساواتنا:
ب 3 = ب 2 ف = (ب 1 ف) ف = ب 1 ف ف = ب 1 ف 2
نحن نحصل:
ب 3 = ب 1 · ف 2
الآن دعونا نقرأ مدخلتنا باللغة الروسية: ثالثالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q in ثانيةدرجات. هل حصلت عليه؟ ليس بعد؟ حسنًا، خطوة أخرى.
ما هو الحد الرابع؟ كل نفس! تتضاعف سابق(أي الحد الثالث) على ف:
ب 4 = ب 3 ف = (ب 1 ف 2) ف = ب 1 ف 2 ف = ب 1 ف 3
المجموع:
ب 4 = ب 1 · ف 3
ومرة أخرى نترجم إلى اللغة الروسية: الرابعالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q in ثالثدرجات.
وما إلى ذلك وهلم جرا. اذا كيف كانت؟ هل قبض على النمط؟ نعم! بالنسبة لأي حد بأي رقم، فإن عدد العوامل المتطابقة q (أي درجة المقام) سيكون دائمًا واحد أقل من عدد العضو المطلوبن.
لذلك ستكون صيغتنا بدون خيارات:
ب ن =ب 1 · Qn -1
هذا كل شئ.)
حسنًا، دعونا نحل المشاكل، على ما أعتقد؟)
حل مشاكل الصيغةنالحد الرابع من التقدم الهندسي.
لنبدأ كالعادة بالتطبيق المباشر للصيغة. إليك مشكلة نموذجية:
ومن المعروف أن في المتوالية الهندسية ب 1 = 512 و س = -1/2. أوجد الحد العاشر للتقدم.
وبطبيعة الحال، يمكن حل هذه المشكلة دون أي صيغ على الإطلاق. مباشرة بمعنى التقدم الهندسي. لكن علينا أن نستعد لصيغة الحد النوني، أليس كذلك؟ نحن هنا نقوم بالإحماء.
بياناتنا لتطبيق الصيغة هي كما يلي.
العضو الأول معروف. هذا هو 512.
ب 1 = 512.
قاسم التقدم معروف أيضًا: س = -1/2.
كل ما تبقى هو معرفة عدد الأعضاء n. لا مشكلة! هل نحن مهتمون بالفصل العاشر؟ لذلك نعوض بعشرة بدلاً من n في الصيغة العامة.
واحسب الحساب بعناية:
الجواب: -1
كما ترون، تبين أن الفصل العاشر من التقدم كان ناقصا. لا شيء مفاجئ: مقام التقدم لدينا هو -1/2، أي. سلبيرقم. وهذا يخبرنا أن علامات تقدمنا تتناوب، نعم.)
كل شيء بسيط هنا. هنا مشكلة مماثلة، ولكنها أكثر تعقيدا قليلا من حيث الحسابات.
ومن المعروف في المتوالية الهندسية أن:
ب 1 = 3
أوجد الحد الثالث عشر من التقدم.
كل شيء هو نفسه، هذه المرة فقط هو قاسم التقدم غير منطقي. جذر اثنين. حسنًا، لا بأس. الصيغة شيء عالمي، يمكنها التعامل مع أي أرقام.
نحن نعمل مباشرة وفقا للصيغة:
الصيغة، بالطبع، عملت كما ينبغي، ولكن... هذا هو المكان الذي يتعثر فيه بعض الناس. ماذا تفعل بعد ذلك مع الجذر؟ كيفية رفع الجذر إلى القوة الثانية عشرة؟
كيف كيف... يجب أن تفهم أن أي صيغة هي بالطبع شيء جيد، ولكن لا يتم إلغاء المعرفة بجميع الرياضيات السابقة! كيف تقوم بالبناء؟ نعم، تذكر خصائص الدرجات! دعونا نحول الجذر إلى درجة كسريةو- حسب صيغة رفع درجة إلى درجة.
مثله:
الجواب: 192
و هذا كل شيء.)
ما هي الصعوبة الرئيسية في تطبيق صيغة الفصل التاسع مباشرة؟ نعم! الصعوبة الرئيسية هي العمل بالدرجات!وهي رفع الأعداد السالبة والكسور والجذور والإنشاءات المماثلة إلى القوى. لذا من لديه مشاكل في ذلك، يرجى تكرار الدرجات وخصائصها! وإلا ستبطئ هذا الموضوع أيضًا، نعم...)
الآن دعونا نحل مشاكل البحث النموذجية أحد عناصر الصيغة، إذا تم إعطاء جميع الآخرين. لحل مثل هذه المشاكل بنجاح، تكون الوصفة موحدة وبسيطة للغاية - اكتب الصيغةن-العضو بشكل عام!الحق في دفتر بجانب الشرط. ومن ثم من الحالة نكتشف ما يُعطى لنا وما هو مفقود. ونعبر عن القيمة المطلوبة من الصيغة. الجميع!
على سبيل المثال، مثل هذه المشكلة غير ضارة.
الحد الخامس لمتتالية هندسية مقامها 3 هو 567. أوجد الحد الأول لهذه المتوالية.
لا شيء معقد. نحن نعمل مباشرة وفقا للتهجئة.
دعونا نكتب صيغة الحد النوني!
ب ن = ب 1 · Qn -1
ماذا أعطينا؟ أولاً ، يتم إعطاء قاسم التقدم: س = 3.
علاوة على ذلك، لقد تم منحنا العضو الخامس: ب 5 = 567 .
الجميع؟ لا! لقد حصلنا أيضًا على الرقم n! هذا خمسة: ن = 5.
أتمنى أن تكون قد فهمت بالفعل ما هو موجود في التسجيل ب 5 = 567 تم إخفاء معلمتين في وقت واحد - هذا هو الحد الخامس نفسه (567) ورقمه (5). لقد تحدثت بالفعل عن هذا في درس مماثل، ولكن أعتقد أنه من الجدير بالذكر هنا أيضًا.)
الآن نستبدل بياناتنا في الصيغة:
567 = ب 1 ·3 5-1
نقوم بالحساب ونبسط ونحصل على معادلة خطية بسيطة:
81 ب 1 = 567
نحن نحل ونحصل على:
ب 1 = 7
كما ترون، لا توجد مشاكل في العثور على الفصل الأول. ولكن عند البحث عن القاسم سوالأرقام نوقد تكون هناك مفاجآت أيضًا. وعليك أيضًا أن تكون مستعدًا لها (المفاجآت)، نعم.)
على سبيل المثال هذه المشكلة:
الحد الخامس لمتتالية هندسية ذات مقام موجب هو 162، والحد الأول من هذه المتوالية هو 2. أوجد مقام المتتابعة.
هذه المرة حصلنا على الحدين الأول والخامس، ويطلب منا إيجاد مقام التقدم. ها نحن.
نكتب الصيغةنالعضو الرابع!
ب ن = ب 1 · Qn -1
ستكون بياناتنا الأولية كما يلي:
ب 5 = 162
ب 1 = 2
ن = 5
قيمة مفقودة س. لا مشكلة! فلنجدها الآن.) نعوض بكل ما نعرفه في الصيغة.
نحن نحصل:
162 = 2س 5-1
2 س 4 = 162
س 4 = 81
معادلة بسيطة من الدرجة الرابعة. و الأن - بحرص!في هذه المرحلة من الحل، يقوم العديد من الطلاب على الفور باستخراج الجذر (من الدرجة الرابعة) بكل سرور ويحصلون على الإجابة س=3 .
مثله:
س4 = 81
س = 3
ولكن في الواقع، هذه إجابة غير مكتملة. بتعبير أدق، غير مكتملة. لماذا؟ النقطة هي أن الجواب س = -3 مناسب أيضًا: (-3) 4 سيكون أيضًا 81!
وذلك لأن معادلة القوة س ن = أدائما جذرين متقابلينفي حتىن . مع زائد وناقص:
كلاهما مناسب.
على سبيل المثال، عند اتخاذ القرار (أي. ثانيةدرجات)
× 2 = 9
لسبب ما، لا تتفاجأ بالمظهر اثنينالجذور س=±3؟ إنه نفس الشيء هنا. ومع أي شيء آخر حتىالدرجة (الرابعة، السادسة، العاشرة، الخ) ستكون هي نفسها. التفاصيل في الموضوع حول
ولذلك فإن الحل الصحيح سيكون:
س 4 = 81
س= ±3
حسنًا، لقد قمنا بفرز العلامات. أيهما صحيح - زائد أم ناقص؟ حسنًا، لنقرأ بيان المشكلة مرة أخرى بحثًا عن معلومات إضافية.بالطبع، قد لا يكون موجودا، ولكن في هذه المشكلة مثل هذه المعلومات متاح.تنص حالتنا في نص عادي على أنه يتم تقديم التقدم القاسم الإيجابي.
ولذلك فإن الجواب واضح:
س = 3
كل شيء بسيط هنا. ماذا تعتقد أنه سيحدث إذا كان بيان المشكلة كما يلي:
الحد الخامس من المتوالية الهندسية هو 162، والحد الأول من هذه المتوالية هو 2. أوجد مقام المتتابعة.
ماهو الفرق؟ نعم! في حالة لا شئولم يتم ذكر علامة المقام. لا بشكل مباشر ولا غير مباشر. وهنا ستكون المشكلة بالفعل حلين!
س = 3 و س = -3
نعم نعم! مع وجود علامة زائد وعلامة ناقص.) رياضيًا، هذه الحقيقة تعني وجودها تقدمينوالتي تتناسب مع ظروف المشكلة. ولكل منها قاسم خاص بها. للمتعة فقط، تدرب واكتب الحدود الخمسة الأولى من كل منها.)
الآن دعونا نتدرب على العثور على رقم العضو. هذه المشكلة هي الأصعب، نعم. ولكن أيضًا أكثر إبداعًا.)
بالنظر إلى التقدم الهندسي:
3; 6; 12; 24; …
ما الرقم في هذه المتوالية هو الرقم 768؟
الخطوة الأولى لا تزال هي نفسها: اكتب الصيغةنالعضو الرابع!
ب ن = ب 1 · Qn -1
والآن، كالعادة، نعوض بالبيانات التي نعرفها. حسنًا... إنه لا يعمل! أين الحد الأول، أين المقام، أين كل شيء آخر؟!
أين وأين... لماذا نحتاج إلى عيون؟ ترفرف رموشك؟ هذه المرة يتم تقديم التقدم لنا مباشرة في النموذج تسلسلات.هل يمكننا رؤية العضو الأول؟ نحن نرى! وهذا ثلاثي (ب1=3). ماذا عن القاسم؟ نحن لا نراها بعد، ولكن من السهل جدًا عدها. إذا فهمت بالطبع..
لذلك نحن نحسب. مباشرة حسب معنى المتتابعة الهندسية: نأخذ أي حد من حدودها (ما عدا الأول) ونقسمها على الذي قبله.
على الأقل مثل هذا:
س = 24/12 = 2
ماذا نعرف؟ نحن نعرف أيضًا حدًا ما لهذا التقدم، يساوي 768. تحت رقم ما n:
ب ن = 768
نحن لا نعرف رقمه، لكن مهمتنا هي العثور عليه بالتحديد.) لذلك نحن نبحث. لقد قمنا بالفعل بتنزيل جميع البيانات اللازمة للاستبدال في الصيغة. دون علم نفسك.)
هنا نستبدل:
768 = 3 2ن -1
لنقم بالمبادئ الأولية - نقسم كلا الطرفين على ثلاثة ونعيد كتابة المعادلة بالشكل المعتاد: المجهول على اليسار، والمعروف على اليمين.
نحن نحصل:
2 ن -1 = 256
هذه معادلة مثيرة للاهتمام. نحن بحاجة إلى العثور على "ن". ماذا، غير عادي؟ نعم، أنا لا أجادل. في الواقع، هذا هو أبسط شيء. وسمي بذلك لأن المجهول (في هذه الحالة هو الرقم ن) التكاليف في مؤشردرجات.
في مرحلة تعلم المتوالية الهندسية (هذا الصف التاسع)، لا يعلمونك كيفية حل المعادلات الأسية، نعم... هذا موضوع للمدرسة الثانوية. ولكن لا يوجد شيء مخيف. حتى إذا كنت لا تعرف كيفية حل هذه المعادلات، فلنحاول إيجادها ن، مسترشدة بالمنطق البسيط والفطرة السليمة.
دعونا نبدأ الحديث. على اليسار لدينا شيطان إلى درجة معينه. لا نعرف حتى الآن ما هي هذه الدرجة بالضبط، لكن هذا ليس مخيفًا. لكننا نعلم يقينًا أن هذه الدرجة تساوي 256! إذن، نتذكر إلى أي مدى يعطينا العدد اثنين العدد 256. هل تتذكر؟ نعم! في ثامندرجات!
256 = 2 8
إذا كنت لا تتذكر أو تواجه مشاكل في التعرف على الدرجات، فلا بأس بذلك أيضًا: فقط قم بالتتابع للمربع الثاني، والمكعب، والرابع، والخامس، وما إلى ذلك. الاختيار، في الواقع، ولكن على هذا المستوى سوف يعمل بشكل جيد.
بطريقة أو بأخرى نحصل على:
2 ن -1 = 2 8
ن-1 = 8
ن = 9
إذن 768 هو تاسععضو في تقدمنا. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.)
الجواب: 9
ماذا؟ ممل؟ تعبت من الاشياء الابتدائية؟ يوافق. وأنا أيضا. دعنا ننتقل إلى المستوى التالي.)
مهام أكثر تعقيدا.
الآن دعونا نحل المشاكل الأكثر صعوبة. ليست رائعة تمامًا، ولكنها تتطلب القليل من العمل للوصول إلى الإجابة.
على سبيل المثال، هذا واحد.
أوجد الحد الثاني لمتتالية هندسية إذا كان حدها الرابع هو -24 وحدها السابع هو 192.
هذا هو كلاسيكي من هذا النوع. هناك مصطلحان مختلفان للتقدم معروفان، ولكن يجب العثور على مصطلح آخر. علاوة على ذلك، فإن جميع الأعضاء ليسوا متجاورين. وهو أمر محير في البداية، نعم...
كما هو الحال في حل مثل هذه المشاكل سننظر في طريقتين. الطريقة الأولى عالمية. جبري. يعمل بشكل لا تشوبه شائبة مع أي بيانات المصدر. ومن هنا سنبدأ.)
نحن نصف كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو الرابع!
كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال مع التقدم الحسابي. هذه المرة فقط نحن نعمل مع آخرصيغة عامة. هذا كل شيء.) ولكن الجوهر هو نفسه: نحن نأخذ و واحدا تلو الآخرنعوض بالبيانات الأولية في صيغة الحد n. لكل عضو - خاصة بهم.
للفصل الرابع نكتب:
ب 4 = ب 1 · س 3
-24 = ب 1 · س 3
يأكل. معادلة واحدة جاهزة.
للفصل السابع نكتب:
ب 7 = ب 1 · س 6
192 = ب 1 · س 6
في المجموع، حصلنا على معادلتين ل نفس التقدم .
نقوم بتجميع نظام منهم:
على الرغم من مظهره الخطير، فإن النظام بسيط للغاية. الحل الأكثر وضوحا هو الاستبدال البسيط. نحن نعرب ب 1 من المعادلة العلوية وتعويضها في المعادلة السفلى:
بعد العبث بالمعادلة السفلية قليلاً (تقليل القوى والقسمة على -24)، نحصل على:
س 3 = -8
وبالمناسبة، يمكن التوصل إلى هذه المعادلة نفسها بطريقة أبسط! أيها؟ الآن سأعرض لك سرًا آخر، ولكنه طريقة جميلة جدًا وقوية ومفيدة لحل مثل هذه الأنظمة. مثل هذه الأنظمة التي تشمل معادلاتها يعمل فقط.على الأقل في واحدة. مُسَمًّى طريقة التقسيممعادلة إلى أخرى.
إذن، أمامنا نظام:
في كلتا المعادلتين على اليسار - عمل، وعلى اليمين مجرد رقم. هذه علامة جيدة جدًا.) لنأخذها و... نقسم، على سبيل المثال، المعادلة السفلية على المعادلة العليا! ماذا يعني، دعونا نقسم معادلة على أخرى؟بسيط جدا. دعونا أعتبر الجهه اليسرىمعادلة واحدة (أقل) و يقسملها على الجهه اليسرىمعادلة أخرى (العلوية). الجانب الأيمن مشابه: الجانب الأيمنمعادلة واحدة يقسمعلى الجانب الأيمنآخر.
تبدو عملية التقسيم بأكملها كما يلي:
الآن، بعد تقليل كل ما يمكن تقليله، نحصل على:
س 3 = -8
ما الجيد في هذه الطريقة؟ نعم، لأنه في عملية هذا التقسيم، يمكن تقليل كل شيء سيء وغير مريح بأمان وتبقى معادلة غير ضارة تمامًا! هذا هو السبب في أنه من المهم جدًا أن يكون لديك الضرب فقطفي واحدة على الأقل من معادلات النظام. لا يوجد ضرب - لا يوجد شيء يمكن تقليله، نعم...
بشكل عام، هذه الطريقة (مثل العديد من الطرق الأخرى غير التافهة لحل الأنظمة) تستحق درسًا منفصلاً. بالتأكيد سأنظر في الأمر بمزيد من التفصيل. في يوم ما…
ومع ذلك، لا يهم مدى دقة حل النظام، على أي حال، نحن الآن بحاجة إلى حل المعادلة الناتجة:
س 3 = -8
لا مشكلة: استخرج الجذر التكعيبي وبذلك تكون قد انتهيت!
يرجى ملاحظة أنه ليست هناك حاجة لوضع علامة زائد/ناقص هنا عند الاستخراج. جذرنا من الدرجة الفردية (الثالثة). والجواب أيضًا هو نفسه، نعم.)
لذلك، تم العثور على قاسم التقدم. ناقص اثنين. عظيم! العملية مستمرة.)
بالنسبة للحد الأول (على سبيل المثال، من المعادلة العليا) نحصل على:
عظيم! نحن نعرف الحد الأول، ونعرف المقام. والآن لدينا الفرصة للعثور على أي عضو في التقدم. بما في ذلك الثاني.)
بالنسبة للفصل الثاني، كل شيء بسيط للغاية:
ب 2 = ب 1 · س= 3·(-2) = -6
الجواب: -6
لذلك، قمنا بتحليل الطريقة الجبرية لحل المشكلة. صعب؟ ليس حقا، أنا أوافق. طويلة ومملة؟ نعم بالتأكيد. لكن في بعض الأحيان يمكنك تقليل حجم العمل بشكل كبير. لهذا هناك طريقة الرسم.جيد قديم ومألوف بالنسبة لنا.)
دعونا نرسم مشكلة!
نعم! بالضبط. مرة أخرى، نصور تقدمنا على محور الأعداد. ليس من الضروري اتباع المسطرة، وليس من الضروري الحفاظ على فترات زمنية متساوية بين الحدود (والتي، بالمناسبة، لن تكون هي نفسها، لأن التقدم هندسي!)، ولكن ببساطة تخطيطيادعونا نرسم تسلسلنا.
حصلت عليه مثل هذا:
الآن انظر إلى الصورة واكتشفها. كم عدد العوامل المتطابقة "q" المنفصلة الرابعو السابعأعضاء؟ هذا صحيح، ثلاثة!
ولذلك، لدينا كل الحق في أن نكتب:
-24·س 3 = 192
من هنا أصبح من السهل الآن العثور على س:
س 3 = -8
س = -2
هذا عظيم، لدينا بالفعل القاسم في جيوبنا. والآن دعونا نلقي نظرة على الصورة مرة أخرى: كم عدد هذه المقامات الموجودة بينهما ثانيةو الرابعأعضاء؟ اثنين! لذلك، لتسجيل العلاقة بين هذه الحدود، سنقوم ببناء المقام تربيع.
لذلك نكتب:
ب 2 · س 2 = -24 ، أين ب 2 = -24/ س 2
نعوض بالمقام الذي وجدناه في التعبير b 2، ونعد ونحصل على:
الجواب: -6
كما ترون، كل شيء أبسط بكثير وأسرع من خلال النظام. علاوة على ذلك، لم نكن بحاجة إلى حساب الحد الأول على الإطلاق! على الاطلاق.)
هذه طريقة بسيطة ومرئية للضوء. ولكن لديها أيضا عيب خطير. هل خمنت ذلك؟ نعم! إنه جيد فقط للأجزاء القصيرة جدًا من التقدم. تلك التي تكون فيها المسافات بين الأعضاء الذين نهتم بهم ليست كبيرة جدًا. لكن في جميع الحالات الأخرى، من الصعب بالفعل رسم صورة، نعم... ثم نحل المشكلة تحليليًا، من خلال النظام.) والأنظمة أشياء عالمية. يمكنهم التعامل مع أي أرقام.
تحدي ملحمي آخر:
الحد الثاني من المتوالية الهندسية يزيد بمقدار 10 عن الأول، والحد الثالث يزيد بمقدار 30 عن الثاني. العثور على قاسم التقدم.
ما بارد؟ مُطْلَقاً! كل نفس. مرة أخرى نترجم بيان المشكلة إلى جبر خالص.
1) نصف كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو الرابع!
الحد الثاني: ب 2 = ب 1 ف
الحد الثالث: ب 3 = ب 1 ف 2
2) نكتب العلاقة بين الأعضاء من بيان المشكلة.
نقرأ الشرط: "الحد الثاني من المتتابعة الهندسية أكبر بـ 10 من الأول."توقف، هذا ذو قيمة!
لذلك نكتب:
ب 2 = ب 1 +10
ونترجم هذه العبارة إلى رياضيات بحتة:
ب 3 = ب 2 +30
لقد حصلنا على معادلتين. دعونا ندمجهم في نظام:
النظام يبدو بسيطا. ولكن هناك الكثير من المؤشرات المختلفة للحروف. دعونا نعوض بدلا من الحدين الثاني والثالث تعبيراتهما من خلال الحد الأول والمقام! هل عبثا رسمناهم؟
نحن نحصل:
لكن مثل هذا النظام لم يعد هدية، نعم... كيف نحل هذا؟ لسوء الحظ، لا توجد تعويذة سرية عالمية لحل المشاكل المعقدة غير خطيةلا توجد أنظمة في الرياضيات ولا يمكن أن تكون موجودة. أنه أمر رائع! لكن أول ما يجب أن يتبادر إلى ذهنك عند محاولة كسر مثل هذا الجوز القاسي هو معرفة ذلك لكن ألا يتم اختزال إحدى معادلات النظام إلى شكل جميل يسمح، على سبيل المثال، بالتعبير بسهولة عن أحد المتغيرات بدلالة متغير آخر؟
دعونا معرفة ذلك. من الواضح أن المعادلة الأولى للنظام أبسط من الثانية. سنعذبه.) ألا ينبغي أن نحاول من المعادلة الأولى شئ ماأعرب من خلال شئ ما؟بما أننا نريد إيجاد المقام س، فسيكون من المفيد لنا التعبير ب 1 خلال س.
لذلك دعونا نحاول تنفيذ هذا الإجراء بالمعادلة الأولى، باستخدام المعادلات القديمة الجيدة:
ب 1 ف = ب 1 +10
ب 1 ف – ب 1 = 10
ب 1 (ف-1) = 10
الجميع! لذلك أعربنا غير ضروريأعطونا المتغير (ب1) من خلال ضروري(ف). نعم، هذا ليس أبسط تعبير حصلنا عليه. نوع من الكسر... لكن نظامنا ذو مستوى لائق، نعم.)
عادي. نحن نعرف ما يجب القيام به.
نكتب ODZ (بالضرورة!) :
ف ≠ 1
نضرب كل شيء في المقام (q-1) ونلغي جميع الكسور:
10 س 2 = 10 س + 30(س-1)
نقسم كل شيء على عشرة ونفتح الأقواس ونجمع كل شيء من اليسار:
س 2 – 4 س + 3 = 0
نحل النتيجة ونحصل على جذرين:
س 1 = 1
س 2 = 3
ليس هناك سوى إجابة واحدة نهائية: س = 3 .
الجواب: 3
كما ترون، فإن الطريق إلى حل معظم المسائل التي تتضمن صيغة الحد النوني للمتتالية الهندسية هو نفسه دائمًا: اقرأ بانتباهحالة المشكلة وباستخدام صيغة الحد n نترجم جميع المعلومات المفيدة إلى جبر خالص.
يسمى:
1) نصف بشكل منفصل كل حد مذكور في المشكلة وفقًا للصيغةنالعضو ال.
2) من شروط المشكلة نترجم الارتباط بين الأعضاء إلى شكل رياضي. نحن نؤلف معادلة أو نظام المعادلات.
3) نحل المعادلة أو نظام المعادلات الناتج، ونجد المعلمات غير المعروفة للتقدم.
4) في حالة وجود إجابة غامضة، اقرأ بيان المشكلة بعناية بحثًا عن معلومات إضافية (إن وجدت). نقوم أيضًا بالتحقق من الاستجابة المستلمة وفقًا لشروط DL (إن وجدت).
الآن دعونا ندرج المشكلات الرئيسية التي تؤدي غالبًا إلى حدوث أخطاء في عملية حل مشكلات التقدم الهندسي.
1. الحساب الابتدائي. العمليات مع الكسور والأرقام السالبة.
2. إذا كانت هناك مشاكل في واحدة على الأقل من هذه النقاط الثلاث، فسوف ترتكب أخطاء لا محالة في هذا الموضوع. للأسف... فلا تتكاسل وتكرر ما ذكر أعلاه. واتبع الروابط - انطلق. في بعض الأحيان يساعد.)
الصيغ المعدلة والمتكررة.
الآن دعونا نلقي نظرة على اثنين من مشاكل الاختبار النموذجية مع عرض أقل شيوعًا للحالة. نعم، نعم، لقد خمنت ذلك! هذا معدلو متكررصيغ المصطلح n. لقد واجهنا بالفعل مثل هذه الصيغ وعملنا على التقدم الحسابي. كل شيء مشابه هنا. الجوهر هو نفسه.
على سبيل المثال، هذه المشكلة من OGE:
يتم إعطاء التقدم الهندسي بواسطة الصيغة ب ن = 3 2 ن . أوجد مجموع حديه الأول والرابع.
هذه المرة التقدم ليس كالمعتاد بالنسبة لنا. في شكل نوع من الصيغة. وماذا في ذلك؟ هذه الصيغة هي أيضا صيغةنالعضو الرابع!أنا وأنت نعلم أنه يمكن كتابة صيغة الحد n بشكل عام باستخدام الحروف و تقدم محدد. مع محددالحد الأول والمقام.
في حالتنا، حصلنا في الواقع على صيغة مصطلح عام للتقدم الهندسي مع المعلمات التالية:
ب 1 = 6
س = 2
دعونا نتحقق؟) دعونا نكتب صيغة الحد n في الصورة العامة ونعوض بها ب 1 و س. نحن نحصل:
ب ن = ب 1 · Qn -1
ب ن= 6 2ن -1
نقوم بتبسيط استخدام التحليل وخصائص القوى، ونحصل على:
ب ن= 6 2ن -1 = 3·2·2ن -1 = 3 2ن -1+1 = 3 2ن
كما ترون، كل شيء عادل. لكن هدفنا ليس إثبات اشتقاق صيغة محددة. هذا هو الاستطراد الغنائي. للفهم فقط.) هدفنا هو حل المشكلة وفقًا للصيغة المعطاة لنا في الحالة. هل فهمت ذلك؟) لذلك نحن نعمل مع الصيغة المعدلة مباشرة.
نحن نحسب الفصل الأول. دعونا نستبدل ن=1 في الصيغة العامة:
ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
مثله. وبالمناسبة، لن أتكاسل وألفت انتباهكم مرة أخرى إلى خطأ نموذجي في حساب الحد الأول. لا تفعل ذلك، بالنظر إلى الصيغة ب ن= 3 2ن، سارع على الفور إلى كتابة أن الحد الأول هو ثلاثة! وهذا خطأ فادح، نعم ...)
فلنكمل. دعونا نستبدل ن=4 وأحسب الحد الرابع :
ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
وأخيرا نحسب المبلغ المطلوب:
ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54
الجواب: 54
مشكلة اخرى.
يتم تحديد التقدم الهندسي بالشروط:
ب 1 = -7;
ب ن +1 = 3 ب ن
أوجد الحد الرابع للتقدم.
هنا يتم إعطاء التقدم من خلال صيغة متكررة. حسنًا حسنًا.) كيفية العمل مع هذه الصيغة – ونحن نعلم أيضا.
لذلك نحن نتصرف. خطوة بخطوة.
1) عد اثنين متتابععضو في التقدم .
لقد تم بالفعل إعطاء الفصل الأول لنا. ناقص سبعة. لكن الحد الثاني التالي يمكن حسابه بسهولة باستخدام صيغة التكرار. إذا فهمت مبدأ عملها بالطبع.)
إذن نحسب الحد الثاني على قول الأول المشهور:
ب 2 = 3 ب 1 = 3·(-7) = -21
2) احسب مقام التقدم
لا مشكلة سواء. مباشرة، دعونا نقسم ثانيةديك على أولاً.
نحن نحصل:
س = -21/(-7) = 3
3) اكتب الصيغةنالعضو الرابع بالشكل المعتاد واحتساب العضو المطلوب .
إذن، نحن نعرف الحد الأول، وكذلك المقام. لذلك نكتب:
ب ن= -7·3ن -1
ب 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
الجواب: -189
كما ترون، فإن العمل باستخدام هذه الصيغ للتقدم الهندسي لا يختلف بشكل أساسي عن ذلك الخاص بالتقدم الحسابي. من المهم فقط فهم الجوهر العام ومعنى هذه الصيغ. حسنًا، أنت أيضًا بحاجة إلى فهم معنى التقدم الهندسي، نعم.) وبعد ذلك لن تكون هناك أخطاء غبية.
حسنًا ، دعونا نقرر بأنفسنا؟)
المهام الأساسية جدًا للإحماء:
1. نظرا للتقدم الهندسي الذي ب 1 = 243، أ س = -2/3. أوجد الحد السادس من التقدم.
2. يتم إعطاء المصطلح العام للتقدم الهندسي بواسطة الصيغة ب ن = 5∙2 ن +1 . أوجد رقم الحد الأخير المكون من ثلاثة أرقام من هذا التقدم.
3. يتم إعطاء التقدم الهندسي بالشروط:
ب 1 = -3;
ب ن +1 = 6 ب ن
أوجد الحد الخامس للتقدم.
أكثر تعقيدًا بعض الشيء:
4. بالنظر إلى التقدم الهندسي:
ب 1 =2048; س =-0,5
ما هو الحد السلبي السادس يساوي؟
ما الذي يبدو صعبًا للغاية؟ مُطْلَقاً. المنطق وفهم معنى التقدم الهندسي سيوفر لك. حسنًا، صيغة الحد النوني، بالطبع.
5. الحد الثالث من المتتابعة الهندسية هو -14، والحد الثامن هو 112. أوجد مقام المتتابعة.
6. مجموع الحدين الأول والثاني من المتتابعة الهندسية هو 75، ومجموع الحدين الثاني والثالث هو 150. أوجد الحد السادس من المتتابعة.
الإجابات (في حالة من الفوضى): 6؛ -3888؛ -1؛ 800؛ -32؛ 448.
هذا كل شيء تقريبًا. كل ما علينا فعله هو أن نتعلم العد مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسينعم اكتشف تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائيومبلغها. بالمناسبة، شيء مثير للاهتمام وغير عادي! المزيد عن هذا في الدروس القادمة.)
يعد التقدم الهندسي، إلى جانب التقدم الحسابي، سلسلة أرقام مهمة يتم دراستها في دورة الجبر المدرسية في الصف التاسع. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على مقام المتوالية الهندسية وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.
تعريف التقدم الهندسي
أولاً، دعونا نعطي تعريفًا لسلسلة الأرقام هذه. المتوالية الهندسية عبارة عن سلسلة من الأعداد النسبية التي يتم تشكيلها عن طريق ضرب عنصرها الأول بالتتابع في رقم ثابت يسمى المقام.
على سبيل المثال، الأرقام في المتسلسلة 3، 6، 12، 24، ... هي متوالية هندسية، لأنك إذا ضربت 3 (العنصر الأول) في 2، تحصل على 6. وإذا ضربت 6 في 2، تحصل على 12، وهكذا.
عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai، حيث i عبارة عن عدد صحيح يشير إلى رقم العنصر في السلسلة.
يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم باللغة الرياضية على النحو التالي: an = bn-1 * a1، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n = 1، فإن b1-1 = 1، وسنحصل على a1 = a1. إذا كان n = 2، فإن an = b * a1، ونأتي مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام المعنية. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل للقيم الكبيرة لـ n.
مقام التقدم الهندسي
يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستحتوي عليه سلسلة الأرقام بأكملها. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من أو أقل من واحد. جميع الخيارات المذكورة أعلاه تؤدي إلى تسلسلات مختلفة:
- ب > 1. هناك سلسلة متزايدة من الأعداد النسبية. على سبيل المثال، 1، 2، 4، 8، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا، فإن التسلسل بأكمله سيزيد فقط من حيث القيمة المطلقة، ولكنه سيتناقص اعتمادًا على إشارة الأرقام.
- ب = 1. في كثير من الأحيان لا تسمى هذه الحالة بالتقدم، حيث توجد سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال، -4، -4، -4.
صيغة المبلغ
قبل الانتقال إلى النظر في مشاكل محددة باستخدام قاسم نوع التقدم قيد النظر، ينبغي إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصره الأولى. تبدو الصيغة كما يلي: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في التسلسل العودي لشروط التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط للعثور على مجموع عدد عشوائي من المصطلحات.
تسلسل تنازلي لا نهاية له
وقد تقدم شرح أعلاه لما هو عليه. الآن، بعد أن عرفنا صيغة Sn، فلنطبقها على سلسلة الأعداد هذه. حيث أن أي رقم لا يتجاوز معامله 1 يميل إلى الصفر عند رفعه إلى قوى كبيرة، أي b∞ => 0 إذا -1
نظرًا لأن الفرق (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا، بغض النظر عن قيمة المقام، فإن إشارة مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي S∞ يتم تحديدها بشكل فريد من خلال إشارة عنصرها الأول a1.
الآن دعونا نلقي نظرة على العديد من المشاكل حيث سنوضح كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.
المهمة رقم 1. حساب عناصر التقدم والمجموع غير المعروفة
بالنظر إلى تقدم هندسي، فإن مقام التقدم هو 2، وعنصره الأول هو 3. ما الذي يساوي حديه السابع والعاشر، وما هو مجموع عناصره السبعة الأولية؟
حالة المشكلة بسيطة للغاية وتتضمن الاستخدام المباشر للصيغ المذكورة أعلاه. لذا، لحساب رقم العنصر n، نستخدم التعبير an = bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع لدينا: a7 = b6 * a1، وبالتعويض عن البيانات المعروفة، نحصل على: a7 = 26 * 3 = 192. ونفعل الشيء نفسه بالنسبة للحد العاشر: a10 = 29 * 3 = 1536.
دعونا نستخدم الصيغة المعروفة للمجموع ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى في السلسلة. لدينا: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
المشكلة رقم 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم
دع -2 يساوي مقام التقدم الهندسي bn-1 * 4، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المجموع من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ضمناً.
لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها باستخدام طريقتين مختلفتين. ولإكتمال عرض الموضوع نقدم كلا الأمرين.
الطريقة الأولى: الفكرة بسيطة: تحتاج إلى حساب المجموعين المتقابلين للحدين الأولين، ثم طرح الآخر من أحدهما. نحسب المبلغ الأصغر: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. الآن نحسب المجموع الأكبر: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. لاحظ أنه في التعبير الأخير تم جمع 4 حدود فقط، حيث تم تضمين الحد الخامس بالفعل في المبلغ الذي يجب حسابه وفقًا لشروط المشكلة. أخيرًا، نأخذ الفرق: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والعد، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين حدي m وn للسلسلة المعنية. نحن نفعل نفس الشيء تمامًا كما في الطريقة الأولى، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمبلغ. لدينا: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . يمكنك استبدال الأرقام المعروفة في التعبير الناتج وحساب النتيجة النهائية: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
المشكلة رقم 3. ما هو القاسم؟
لنفترض أن a1 = 2، أوجد مقام المتتابعة الهندسية، على أن يكون مجموعها اللانهائي 3، ومن المعلوم أن هذه سلسلة متناقصة من الأعداد.
بناءً على ظروف المشكلة، ليس من الصعب تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. وبطبيعة الحال، لمجموع التقدم يتناقص بلا حدود. لدينا: S∞ = a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b = 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 أو -0.333(3). يمكننا التحقق من هذه النتيجة نوعيًا إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما يمكن أن يرى، |-1 / 3|
المهمة رقم 4. استعادة سلسلة من الأرقام
لنفترض عنصرين من سلسلة أرقام، على سبيل المثال، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. ومن الضروري إعادة بناء السلسلة بأكملها من هذه البيانات، مع العلم أنها تلبي خصائص التقدم الهندسي.
لحل المشكلة، يجب عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل مصطلح معروف. لدينا: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول، نحصل على: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. من هنا نحدد المقام بأخذ الجذر الخامس لنسبة الحدود المعروفة من بيان المشكلة، ب = 1.148698. نعوض الرقم الناتج في أحد تعبيرات العنصر المعروف فنحصل على: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
وبذلك وجدنا مقام المتوالية bn، والمتتالية الهندسية bn-1 * 17.2304966 = an، حيث b = 1.148698.
أين يتم استخدام التقدم الهندسي؟
ولو لم يكن هناك تطبيق عملي لهذه السلسلة العددية، لاختزلت دراستها إلى مجرد اهتمام نظري بحت. ولكن مثل هذا التطبيق موجود.
فيما يلي الأمثلة الثلاثة الأكثر شهرة:
- تم حل مفارقة زينو، حيث لا يستطيع أخيل الذكي اللحاق بالسلحفاة البطيئة، باستخدام مفهوم تسلسل الأرقام المتناقص بشكل لا نهائي.
- إذا وضعت حبات القمح على كل مربع من رقعة الشطرنج بحيث تضع حبة واحدة في المربع الأول، وفي الثاني - 2، وفي الثالث - 3، وهكذا، فستحتاج إلى ملء جميع مربعات اللوحة 18446744073709551615 حبة!
- في لعبة "برج هانوي" لنقل الأقراص من قضيب إلى آخر، من الضروري إجراء عمليات 2n - 1، أي أن عددها ينمو بشكل كبير مع عدد الأقراص المستخدمة.
المتوالية الهندسيةلا تقل أهمية في الرياضيات مقارنة بالحساب. المتوالية الهندسية هي سلسلة من الأرقام b1، b2،...، b[n]، ويتم الحصول على كل حد تالٍ منها عن طريق ضرب الحد السابق برقم ثابت. ويسمى هذا الرقم، الذي يميز أيضًا معدل النمو أو انخفاض التقدم مقام التقدم الهندسيوتدل
لتحديد متتابعة هندسية بشكل كامل، بالإضافة إلى المقام، من الضروري معرفة أو تحديد مصطلحها الأول. بالنسبة للقيمة الموجبة للمقام، يكون المتوالية تسلسلاً رتيبًا، وإذا كان هذا التسلسل من الأرقام يتناقص بشكل رتيب وإذا كان يتزايد بشكل رتيب. الحالة التي يكون فيها المقام يساوي واحدًا لا تؤخذ بعين الاعتبار عمليًا، نظرًا لأن لدينا سلسلة من الأرقام المتماثلة، وجمعها ليس له أي فائدة عملية
المصطلح العام للتقدم الهندسيتحسب بواسطة الصيغة
مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسيتحددها الصيغة
دعونا نلقي نظرة على حلول مشاكل التقدم الهندسي الكلاسيكي. لنبدأ بأبسط الأشياء التي يمكن فهمها.
مثال 1. الحد الأول من المتتابعة الهندسية هو 27، ومقامها هو 1/3. أوجد الحدود الستة الأولى للمتتالية الهندسية.
الحل: دعونا نكتب شرط المشكلة في النموذج
للحسابات نستخدم صيغة الحد n من التقدم الهندسي
وعلى أساسه نجد مصطلحات التقدم المجهولة
كما ترون، حساب شروط التقدم الهندسي ليس بالأمر الصعب. سيبدو التقدم نفسه هكذا
مثال 2. تم إعطاء الحدود الثلاثة الأولى للتقدم الهندسي: 6؛ -12؛ 24. أوجد المقام وحده السابع.
الحل: نحسب مقام التقدم الهندسي بناءً على تعريفه
لقد حصلنا على متوالية هندسية متناوبة مقامها يساوي -2. يتم حساب الحد السابع باستخدام الصيغة
هذا يحل المشكلة.
مثال 3. يتم إعطاء التقدم الهندسي من خلال اثنين من حدوده 
. أوجد الحد العاشر للتقدم.
حل:
لنكتب القيم المعطاة باستخدام الصيغ
وفقًا للقواعد، علينا إيجاد المقام ثم البحث عن القيمة المطلوبة، أما بالنسبة للحد العاشر لدينا
يمكن الحصول على نفس الصيغة بناءً على معالجة بسيطة للبيانات المدخلة. نقسم الحد السادس من المتسلسلة على آخر، ونحصل على النتيجة
وإذا ضربنا القيمة الناتجة في الحد السادس، نحصل على العاشر
وبالتالي، لمثل هذه المشاكل، باستخدام تحويلات بسيطة وبطريقة سريعة، يمكنك العثور على الحل الصحيح.
مثال 4. يتم إعطاء التقدم الهندسي من خلال الصيغ المتكررة
أوجد مقام المتوالية الهندسية ومجموع الحدود الستة الأولى.
حل:
لنكتب البيانات المعطاة في شكل نظام معادلات
عبر عن المقام بقسمة المعادلة الثانية على الأولى
دعونا نجد الحد الأول للتقدم من المعادلة الأولى
دعونا نحسب الحدود الخمسة التالية لإيجاد مجموع المتوالية الهندسية
التقدم الهندسي هو نوع جديد من التسلسل الرقمي الذي نحن على وشك التعرف عليه. من أجل المواعدة الناجحة، لا يضر أن تعرف وتفهم على الأقل. ثم لن تكون هناك مشاكل مع التقدم الهندسي.)
ما هو التقدم الهندسي؟ مفهوم التقدم الهندسي.
نبدأ الجولة كالعادة بالأساسيات. أكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
هل يمكنك اكتشاف النمط ومعرفة الأرقام التي ستأتي بعد ذلك؟ الفلفل واضح، ثم تأتي الأرقام 100000، 1000000 وهكذا. حتى بدون الكثير من الجهد العقلي، كل شيء واضح، أليس كذلك؟)
نعم. مثال آخر. أنا أكتب هذا التسلسل:
1, 2, 4, 8, 16, …
هل يمكنك معرفة الأرقام التي ستأتي بعد الرقم 16 والاسم؟ ثامنعضو تسلسلي؟ إذا عرفت أنه سيكون الرقم 128، فهذا جيد جدًا. لذا فإن نصف المعركة تكمن في الفهم معنىو النقاط الرئيسيةلقد تم بالفعل تحقيق التقدم الهندسي. يمكنك أن تنمو أكثر.)
والآن ننتقل مرة أخرى من الأحاسيس إلى الرياضيات الصارمة.
النقاط الرئيسية للتقدم الهندسي.
النقطة الرئيسية رقم 1
التقدم الهندسي هو تسلسل الأرقام.وكذلك التقدم. لا شيء يتوهم. يتم ترتيب هذا التسلسل فقط بشكل مختلف.ومن الطبيعي أن يكون له اسم مختلف، نعم.
النقطة الرئيسية رقم 2
مع النقطة الرئيسية الثانية، سيكون السؤال أصعب. دعونا نعود قليلاً ونتذكر الخاصية الأساسية للتقدم الحسابي. ها هو: كل عضو يختلف عن سابقه بنفس المبلغ.
هل من الممكن صياغة خاصية رئيسية مماثلة للتقدم الهندسي؟ فكر قليلاً... ألق نظرة فاحصة على الأمثلة المقدمة. هل خمنت ذلك؟ نعم! في التقدم الهندسي (أي!) يختلف كل عضو من أعضائه عن العضو السابق نفس العدد من المرات.دائماً!
في المثال الأول، هذا الرقم هو عشرة. أيًا كان عضو التسلسل الذي تأخذه، فهو أكبر من العضو السابق عشرة مرات.
وفي المثال الثاني هو اثنان: كل حد أكبر من الذي قبله مرتين.
وهذه هي النقطة الأساسية التي يختلف بها التقدم الهندسي عن التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي، يتم الحصول على كل حد لاحق بإضافةنفس القيمة للفترة السابقة. و هنا - عمليه الضربالمدة السابقة بنفس المقدار. هذا هو الفرق كله.)
النقطة الرئيسية رقم 3
هذه النقطة الأساسية مطابقة تمامًا لتلك الخاصة بالتقدم الحسابي. يسمى: كل عضو في التقدم الهندسي يقف في مكانه.كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي والتعليقات، كما أعتقد، غير ضرورية. هناك الحد الأول، وهناك الحد المائة والأول، وما إلى ذلك. دعونا نتبادل حدين على الأقل - سيختفي النمط (ومعه التقدم الهندسي). ما سيبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام دون أي منطق.
هذا كل شئ. هذا هو بيت القصيد من التقدم الهندسي.
المصطلحات والتسميات.
لكن الآن، بعد أن فهمنا المعنى والنقاط الرئيسية للتقدم الهندسي، يمكننا الانتقال إلى النظرية. وإلا فما هي النظرية دون فهم المعنى، أليس كذلك؟
كيفية الإشارة إلى التقدم الهندسي؟
كيف تتم كتابة التقدم الهندسي بشكل عام؟ لا مشكلة! تتم كتابة كل مصطلح من التقدم أيضًا كرسالة. فقط للتقدم الحسابي، عادة ما يتم استخدام الحرف "أ"، للحرف الهندسي "ب". رقم عضوية، كالعادة، يشار الفهرس في أسفل اليمين. نحن ببساطة ندرج أعضاء التقدم أنفسهم، مفصولين بفواصل أو فواصل منقوطة.
مثله:
ب 1,ب 2 , ب 3 , ب 4 , ب 5 , ب 6 , …
باختصار، تتم كتابة هذا التقدم على النحو التالي: (ب ن) .
أو هكذا، للتقدم المحدود:
ب 1، ب 2، ب 3، ب 4، ب 5، ب 6.
ب 1، ب 2، …، ب 29، ب 30.
أو باختصار:
(ب ن), ن=30 .
وهذا، في الواقع، هو كل التعيين. كل شيء هو نفسه، فقط الحرف مختلف، نعم.) والآن ننتقل مباشرة إلى التعريف.
تعريف التقدم الهندسي.
المتوالية الهندسية هي تسلسل رقمي يكون فيه الحد الأول غير صفر، وكل حد لاحق يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري.
هذا هو التعريف كله. معظم الكلمات والعبارات واضحة ومألوفة بالنسبة لك. إذا فهمت بالطبع معنى التقدم الهندسي "على أصابعك" وبشكل عام. ولكن هناك أيضًا بعض العبارات الجديدة التي أود أن أوليها اهتمامًا خاصًا.
أولا الكلمات: "العضو الأول فيه غير صفرية".
لم يتم تقديم هذا القيد على الفصل الأول عن طريق الصدفة. ما رأيك سيحدث إذا كان العضو الأول ب 1 سوف تكون مساوية للصفر؟ ما قيمة الحد الثاني إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي قبله؟ نفس العدد من المرات؟دعنا نقول ثلاث مرات؟ دعونا نرى... اضرب الحد الأول (أي 0) في 3 واحصل على... صفر! ماذا عن العضو الثالث؟ صفر أيضاً! والحد الرابع أيضًا صفر! وما إلى ذلك وهلم جرا…
لقد حصلنا للتو على كيس من الخبز، سلسلة من الأصفار:
0, 0, 0, 0, …
بالطبع، مثل هذا التسلسل له الحق في الحياة، لكنه ليس له أي فائدة عملية. كل شيء واضح. وأي عضو فيه صفر. مجموع أي عدد من الحدود هو أيضًا صفر... ما الأشياء المثيرة للاهتمام التي يمكنك القيام بها بها؟ لا شئ…
الكلمات الرئيسية التالية: "مضروبة بنفس الرقم غير الصفر."
هذا الرقم نفسه له أيضًا اسم خاص به - مقام التقدم الهندسي. لنبدأ بالتعرف.)
مقام التقدم الهندسي.
كل شيء بسيط مثل قصف الكمثرى.
مقام التقدم الهندسي هو رقم (أو كمية) غير الصفر يشير إلىكم مرةكل فترة من التقدم أكثر من السابق.
مرة أخرى، على غرار التقدم الحسابي، الكلمة الأساسية التي يجب البحث عنها في هذا التعريف هي الكلمة "أكثر". وهذا يعني أنه يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم الهندسي عمليه الضربإلى هذا القاسم بالذات العضو السابق.
دعني أشرح.
لحساب، دعنا نقول ثانيةديك، بحاجة إلى أن تأخذ أولاًعضو و تتضاعفذلك إلى القاسم. للحساب العاشرديك، بحاجة إلى أن تأخذ تاسععضو و تتضاعفذلك إلى القاسم.
يمكن أن يكون مقام التقدم الهندسي نفسه أي شيء. على الاطلاق أي شخص! كامل، كسري، إيجابي، سلبي، غير عقلاني - كل شيء. باستثناء الصفر. هذا ما تخبرنا به كلمة "غير الصفر" في التعريف. لماذا هناك حاجة لهذه الكلمة هنا - المزيد عن ذلك لاحقًا.
مقام التقدم الهندسيفي أغلب الأحيان يشار إليه بالحرف س.
كيفية العثور عليه س؟ لا مشكلة! يجب أن نأخذ أي مصطلح للتقدم و القسمة على المصطلح السابق. القسمة هي جزء. ومن هنا الاسم - "قاسم التقدم". المقام، عادة ما يكون في جزء، نعم...) على الرغم من أن القيمة منطقية سينبغي أن يسمى خاصالتقدم الهندسي، على غرار اختلافللتقدم الحسابي. لكننا اتفقنا على الاتصال المقام - صفة مشتركة - حالة. ولن نعيد اختراع العجلة أيضًا.)
دعونا نحدد، على سبيل المثال، الكمية سلهذا التقدم الهندسي:
2, 6, 18, 54, …
كل شيء أساسي. دعونا أعتبر أيرقم التسلسل. نحن نأخذ ما نريد. باستثناء أول واحد. على سبيل المثال، 18. والقسمة على الرقم السابق. يعني في الساعة 6.
نحن نحصل:
س = 18/6 = 3
هذا كل شئ. هذا هو الجواب الصحيح. في هذه المتوالية الهندسية، المقام هو ثلاثة.
دعونا الآن نجد المقام سلتقدم هندسي آخر. على سبيل المثال، هذا:
1, -2, 4, -8, 16, …
كل نفس. بغض النظر عن العلامات التي يمتلكها الأعضاء أنفسهم، ما زلنا نأخذها أيرقم التسلسل (على سبيل المثال، 16) والقسمة عليه الرقم السابق(أي -8).
نحن نحصل:
د = 16/(-8) = -2
وهذا كل شيء.) هذه المرة تبين أن قاسم التقدم سلبي. ناقص اثنين. يحدث.)
لنأخذ الآن هذا التقدم:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
ومرة أخرى، بغض النظر عن نوع الأرقام في التسلسل (سواء كانت أعداد صحيحة، أو حتى كسور، أو حتى سلبية، أو حتى غير عقلانية)، فإننا نأخذ أي رقم (على سبيل المثال، 1/9) ونقسمه على الرقم السابق (1/3). حسب قواعد العمل مع الكسور بالطبع.
نحن نحصل:
هذا كل شيء.) هنا تبين أن المقام كسري: س = 1/3.
ما رأيك في هذا "التقدم"؟
3, 3, 3, 3, 3, …
من الواضح هنا س = 1 . رسميًا، هذا أيضًا تقدم هندسي، فقط مع أعضاء متطابقين.) لكن مثل هذه التطورات ليست مثيرة للاهتمام للدراسة والتطبيق العملي. نفس التقدم مع الأصفار الصلبة. ولذلك، فإننا لن ننظر فيها.
كما ترون، يمكن أن يكون قاسم التقدم أي شيء - عدد صحيح، كسري، إيجابي، سلبي - أي شيء! لا يمكن أن يكون مجرد صفر. لا أستطيع التخمين لماذا؟
حسنًا، دعونا نستخدم بعض الأمثلة المحددة لنرى ما سيحدث إذا أخذنا المقام على أنه المقام سصفر.) دعونا، على سبيل المثال، لدينا ب 1 = 2 ، أ س = 0 . إذن ماذا سيكون الحد الثاني مساويًا؟
نحن نعد:
ب 2 = ب 1 · س= 2 0 = 0
ماذا عن العضو الثالث؟
ب 3 = ب 2 · س= 0 0 = 0
أنواع وسلوك التقدم الهندسي.
كان كل شيء أكثر أو أقل وضوحًا: إذا كان هناك اختلاف في التقدم دإيجابية، ثم يزداد التقدم. إذا كان الفرق سلبيا، فإن التقدم يتناقص. هناك خياران فقط. لا يوجد ثالث.)
ولكن مع سلوك التقدم الهندسي، سيكون كل شيء أكثر إثارة للاهتمام وتنوعًا!)
بغض النظر عن كيفية تصرف المصطلحات هنا: فهي تزيد، وتنقص، وتقترب من الصفر إلى أجل غير مسمى، بل وتتغير العلامات، وترمي نفسها بالتناوب في "زائد" ثم في "ناقص"! وفي كل هذا التنوع عليك أن تكون قادرًا على الفهم جيدًا، نعم...
دعونا نكتشف ذلك؟) لنبدأ بأبسط حالة.
القاسم موجب ( س >0)
مع القاسم الإيجابي، أولا، يمكن الدخول في شروط التقدم الهندسي بالإضافة إلى اللانهاية(أي: الزيادة بلا حد) ويمكن الدخول فيها ناقص اللانهاية(أي: النقصان بلا حدود). لقد اعتدنا بالفعل على سلوك التقدم هذا.
على سبيل المثال:
(ب ن): 1, 2, 4, 8, 16, …
كل شيء بسيط هنا. يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم أكثر من السابق. علاوة على ذلك، يظهر كل مصطلح عمليه الضربالعضو السابق على إيجابيالرقم +2 (أي س = 2 ). إن سلوك مثل هذا التقدم واضح: جميع أعضاء التقدم ينموون بلا حدود، ويذهبون إلى الفضاء. بالإضافة إلى اللانهاية...
والآن إليكم التقدم:
(ب ن): -1, -2, -4, -8, -16, …
هنا أيضًا يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربالعضو السابق على إيجابيرقم +2. لكن سلوك مثل هذا التقدم هو عكس ذلك تمامًا: يتم الحصول على كل حد من التقدم أقل من السابق، وكل حدودها تتناقص بلا حدود، إلى سالب ما لا نهاية.
الآن دعونا نفكر: ما هو القاسم المشترك بين هذين التقدمين؟ هذا صحيح، القاسم! هنا وهناك س = +2 . رقم موجب، عدد إيجابي.اثنين. و هنا سلوكهذين التقدمين مختلفان بشكل أساسي! لا أستطيع التخمين لماذا؟ نعم! انها كل شيء عن العضو الأول!إنه، كما يقولون، هو الذي يعزف اللحن.) انظر بنفسك.
في الحالة الأولى، الفصل الأول من التقدم إيجابي(+1)، وبالتالي، يتم الحصول على جميع الحدود اللاحقة عن طريق الضرب في إيجابيالمقام - صفة مشتركة - حالة س = +2 ، سيكون أيضا إيجابي.
لكن في الحالة الثانية، الفصل الأول سلبي(-1). لذلك، يتم الحصول على جميع الحدود اللاحقة للتقدم عن طريق الضرب بـ إيجابي س = +2 ، سيتم الحصول عليها أيضًا سلبي.لأن "ناقص" إلى "زائد" يعطي دائمًا "ناقص"، نعم.)
كما ترون، على عكس التقدم الحسابي، يمكن أن يتصرف التقدم الهندسي بشكل مختلف تمامًا وليس اعتمادًا فقط من القاسمس، ولكن أيضا اعتمادا من العضو الأول، نعم.)
تذكر: يتم تحديد سلوك التقدم الهندسي بشكل فريد من خلال مصطلحه الأول ب 1 والقاسمس .
والآن نبدأ في تحليل الحالات الأقل شهرة، ولكنها أكثر إثارة للاهتمام!
لنأخذ على سبيل المثال هذا التسلسل:
(ب ن): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
هذا التسلسل هو أيضًا تقدم هندسي! يظهر أيضًا كل مصطلح من هذا التقدم عمليه الضربالعضو السابق بنفس الرقم . إنه مجرد رقم - كسري: س = +1/2 . أو +0,5 . علاوة على ذلك (مهم!) الرقم أقل من واحد:س = 1/2<1.
لماذا هذا التقدم الهندسي مثير للاهتمام؟ وإلى أين يتجه أعضاؤها؟ دعونا نلقي نظرة:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
ما هي الأشياء المثيرة للاهتمام التي يمكنك ملاحظتها هنا؟ أولا، الانخفاض من حيث التقدم ملحوظ على الفور: كل عضو من أعضائه أقلالسابق بالضبط 2 مرات.أو حسب تعريف المتوالية الهندسية كل حد أكثرسابق 1/2 مرة، لأن قاسم التقدم س = 1/2 . وعند الضرب بعدد موجب أقل من واحد، عادة ما تنخفض النتيجة، نعم...
ماذا أكثريمكن أن ينظر إليه في سلوك هذا التقدم؟ هل يتضاءل أعضاؤها؟ غير محدود، الذهاب إلى ناقص اللانهاية؟ لا! يختفون بطريقة خاصة. في البداية، تنخفض بسرعة كبيرة، ثم ببطء أكثر فأكثر. وبينما تبقى في كل وقت إيجابي. وإن كانت صغيرة جدًا جدًا. وما الذي يسعون إليه هم أنفسهم؟ لم تخمن؟ نعم! إنهم يسعون جاهدين نحو الصفر!) علاوة على ذلك، انتبه، فإن أعضاء تقدمنا هم من الصفر لا تصل أبدا!فقط يقترب منه إلى ما لا نهاية. انها مهمة جدا.)
سيحدث موقف مماثل في التقدم التالي:
(ب ن): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
هنا ب 1 = -1 ، أ س = 1/2 . كل شيء هو نفسه، فقط الآن ستقترب الحدود من الصفر من الجانب الآخر، من الأسفل. البقاء في كل وقت سلبي.)
مثل هذا التقدم الهندسي، شروطه يقترب من الصفر بلا حدود(سواء كان من الجانب الإيجابي أو السلبي)، في الرياضيات له اسم خاص - تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.هذا التقدم مثير للاهتمام وغير عادي لدرجة أنه سيتم مناقشته درس منفصل .)
لذلك، أخذنا في الاعتبار كل ما هو ممكن إيجابيالقواسم كبيرة وصغيرة. نحن لا نعتبر الوحدة نفسها مقامًا للأسباب المذكورة أعلاه (تذكر المثال الذي يتضمن سلسلة من ثلاثة توائم...)
دعونا نلخص:
إيجابيو أكثر من واحد (س>1)، ثم شروط التقدم:
أ) زيادة بلا حدود (إذاب 1 >0);
ب) النقصان بلا حدود (إذاب 1 <0).
إذا كان قاسم التقدم الهندسي إيجابي و أقل من واحد (0< س<1), то члены прогрессии:
أ) قريبة بلا حدود من الصفر فوق(لوب 1 >0);
ب) يقترب إلى ما لا نهاية من الصفر من الأسفل(لوب 1 <0).
يبقى الآن للنظر في هذه القضية القاسم السلبي.
المقام سلبي ( س <0)
لن نذهب بعيداً للحصول على مثال. لماذا بالضبط الجدة الأشعث؟!) فليكن مثلا الفصل الأول من التقدم ب 1 = 1 ودعنا نأخذ المقام س = -2.
نحصل على التسلسل التالي:
(ب ن): 1, -2, 4, -8, 16, …
وهكذا.) يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربالعضو السابق على رقم سلبي-2. في هذه الحالة، جميع الأعضاء الذين يقفون في الأماكن الفردية (الأول، الثالث، الخامس، الخ) سيكونون كذلك إيجابي، وفي الأماكن الزوجية (الثاني والرابع وما إلى ذلك) – سلبي.العلامات تتناوب بشكل صارم. زائد ناقص زائد ناقص... هذا التقدم الهندسي يسمى - زيادة علامة بالتناوب.
وإلى أين يتجه أعضاؤها؟ ولكن ليس في أي مكان.) نعم، بالقيمة المطلقة (أي modulo)أعضاء تقدمنا يتزايدون بلا حدود (ومن هنا جاء اسم "تزايد"). ولكن في الوقت نفسه، يرميك كل عضو في التقدم بالتناوب في الحرارة، ثم في البرد. إما "زائد" أو "ناقص". إن تقدمنا يتذبذب... علاوة على ذلك، فإن نطاق التقلبات يتزايد بسرعة مع كل خطوة، نعم.) لذلك فإن تطلعات أعضاء التقدم تسير في مكان ما خاصةهنا لا.لا إلى زائد اللانهاية، ولا إلى ناقص اللانهاية، ولا إلى الصفر - في أي مكان.
لنفكر الآن في المقام الكسري بين صفر وسالب واحد.
على سبيل المثال، فليكن ب 1 = 1 ، أ ف = -1/2.
ثم نحصل على التقدم:
(ب ن): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
ومرة أخرى لدينا تناوب العلامات! ولكن، على عكس المثال السابق، يوجد هنا بالفعل ميل واضح لأن تقترب الحدود من الصفر.) هذه المرة فقط تقترب حدودنا من الصفر ليس من الأعلى أو الأسفل بشكل صارم، ولكن مرة أخرى متردد. أخذ القيم الإيجابية والسلبية بالتناوب. لكنهم في نفس الوقت وحداتيقتربون أكثر فأكثر من الصفر العزيز.)
ويسمى هذا التقدم الهندسي علامة تناقص لا نهائية، بالتناوب.
لماذا هذين المثالين مثيران للاهتمام؟ وحقيقة أنه في كلتا الحالتين يحدث تناوب العلامات!هذه الحيلة نموذجية فقط للتقدم ذي المقام السلبي، نعم.) لذلك، إذا رأيت في بعض المهام تقدمًا هندسيًا بشروط متناوبة، فستعرف بالفعل على وجه اليقين أن مقامه سلبي بنسبة 100٪ ولن ترتكب أي خطأ في الإشارة.)
بالمناسبة، في حالة وجود مقام سلبي، فإن علامة الحد الأول لا تؤثر على الإطلاق على سلوك التقدم نفسه. وبغض النظر عن علامة الحد الأول من التتابع، ففي كل الأحوال ستلاحظ علامة الحدود. والسؤال الوحيد هو، في أي الأماكن(زوجي أو فردي) سيكون هناك أعضاء بعلامات محددة.
يتذكر:
إذا كان قاسم التقدم الهندسي سلبي ، فعلامات شروط التقدم تكون دائمًا البديل.
وفي نفس الوقت فإن الأعضاء أنفسهم:
أ) الزيادة بلا حدودmodulo، لوس<-1;
ب) يقترب من الصفر إلى ما لا نهاية إذا كان -1< س<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
هذا كل شئ. تم تحليل جميع الحالات النموذجية.)
في عملية تحليل مجموعة متنوعة من الأمثلة على التقدم الهندسي، كنت أستخدم الكلمات بشكل دوري: "يميل إلى الصفر", "يميل إلى زائد اللانهاية", "يميل إلى ناقص اللانهاية"... لا بأس.) هذه الصور الكلامية (والأمثلة المحددة) هي مجرد مقدمة أولية لـ سلوكمجموعة متنوعة من تسلسل الأرقام. باستخدام مثال التقدم الهندسي.
لماذا نحتاج حتى إلى معرفة سلوك التقدم؟ ما الفرق الذي يحدثه أين تذهب؟ نحو الصفر، إلى زائد اللانهاية، إلى ناقص اللانهاية... ماذا يفعل ذلك بنا؟
الشيء هو أنه بالفعل في الجامعة، في دورة الرياضيات العليا، ستحتاج إلى القدرة على العمل مع مجموعة واسعة من التسلسلات الرقمية (مع أي تقدم، وليس فقط التقدم!) والقدرة على تخيل بالضبط كيف هذا التسلسل أو ذاك يتصرف - سواء كان يزيد، أو يتناقص بشكل غير محدود، أو يميل إلى رقم معين (وليس بالضرورة إلى الصفر)، أو حتى لا يميل إلى أي شيء على الإطلاق... تم تخصيص قسم كامل لهذا الموضوع في سياق الرياضيات تحليل - نظرية الحدود.وبشكل أكثر تحديدًا - المفهوم حد التسلسل الرقميموضوع مثير جدا للاهتمام! من المنطقي أن تذهب إلى الكلية وتكتشف ذلك.)
بعض الأمثلة من هذا القسم (التسلسلات ذات الحد) وعلى وجه الخصوص، تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائييبدأون في التعود عليها في المدرسة. لقد اعتدنا على ذلك.)
علاوة على ذلك، فإن القدرة على دراسة سلوك التسلسلات جيدًا ستفيدك كثيرًا في المستقبل وستكون مفيدة جدًا في ذلك البحوث الوظيفية.الأكثر تنوعا. لكن القدرة على العمل بكفاءة مع الوظائف (حساب المشتقات، ودراستها بالكامل، وبناء الرسوم البيانية الخاصة بها) تزيد بشكل كبير من مستواك الرياضي! هل لديك أي شكوك؟ لا حاجة. تذكر أيضًا كلامي.)
دعونا ننظر إلى التقدم الهندسي في الحياة؟
في الحياة من حولنا، نواجه تقدمًا هندسيًا في كثير من الأحيان. حتى دون أن يعرفوا ذلك.)
على سبيل المثال، تتكاثر الكائنات الحية الدقيقة المختلفة التي تحيط بنا في كل مكان بكميات هائلة والتي لا يمكننا حتى رؤيتها بدون مجهر، بدقة في تقدم هندسي.
لنفترض أن إحدى البكتيريا تتكاثر عن طريق الانقسام إلى نصفين، مما يؤدي إلى إنتاج ذرية إلى نوعين من البكتيريا. بدوره، كل واحد منهم، عند التكاثر، ينقسم أيضًا إلى النصف، مما ينتج عنه ذرية مشتركة مكونة من 4 بكتيريا. الجيل القادم سينتج 8 بكتيريا، ثم 16 بكتيريا، 32، 64 وهكذا. ومع كل جيل لاحق، يتضاعف عدد البكتيريا. مثال نموذجي للتقدم الهندسي.)
كما أن بعض الحشرات – مثل المن والذباب – تتكاثر بشكل كبير. بالمناسبة، وأحيانًا الأرانب أيضًا.)
مثال آخر على التقدم الهندسي، الأقرب إلى الحياة اليومية، هو ما يسمى الفائدة المركبة.غالبًا ما توجد هذه الظاهرة المثيرة للاهتمام في الودائع المصرفية وتسمى رسملة الفائدة.ما هو؟
أنت نفسك لا تزال شابًا بالطبع. أنت تدرس في المدرسة، ولا تذهب إلى البنوك. لكن والديك أصبحا بالفعل بالغين وأشخاصًا مستقلين. يذهبون إلى العمل، ويكسبون المال لشراء خبزهم اليومي، ويضعون جزءًا من المال في البنك، ويدخرون.)
لنفترض أن والدك يريد توفير مبلغ معين من المال لقضاء إجازة عائلية في تركيا ويضع 50000 روبل في البنك بفائدة 10% سنويًا لمدة ثلاث سنوات مع رسملة الفائدة السنوية.علاوة على ذلك، خلال هذه الفترة بأكملها، لا يمكن فعل أي شيء بالوديعة. لا يمكنك تجديد الوديعة أو سحب الأموال من الحساب. ما مقدار الربح الذي سيحققه بعد هذه السنوات الثلاث؟
حسنًا، أولاً وقبل كل شيء، نحتاج إلى معرفة ما هي نسبة 10% سنويًا. هذا يعني انه في سنةسيقوم البنك بإضافة 10% إلى مبلغ الوديعة الأولية. من ماذا؟ بالطبع من مبلغ الإيداع الأولي.
نحسب حجم الحساب بعد سنة. إذا كان مبلغ الإيداع الأولي 50000 روبل (أي 100٪)، فبعد عام سيكون هناك مقدار الفائدة على الحساب؟ هذا صحيح، 110٪! من 50000 روبل.
لذلك نحسب 110٪ من 50000 روبل:
50000·1.1 = 55000 روبل.
أتمنى أن تفهم أن العثور على 110% من القيمة يعني ضرب تلك القيمة في الرقم 1.1؟ إذا كنت لا تفهم سبب ذلك، فتذكر الصفين الخامس والسادس. يسمى - العلاقة بين النسب المئوية والكسور والأجزاء.)
وبالتالي فإن الزيادة في السنة الأولى ستكون 5000 روبل.
كم من المال سيكون في الحساب خلال عامين؟ 60.000 روبل؟ لسوء الحظ (أو بالأحرى، لحسن الحظ)، كل شيء ليس بهذه البساطة. إن الحيلة الكاملة لرسملة الفائدة هي أنه مع كل فائدة جديدة متراكمة، سيتم أخذ هذه المصالح نفسها في الاعتبار بالفعل من المبلغ الجديد!من الذي بالفعلموجود على الحساب في اللحظة.ويتم إضافة الفائدة المستحقة عن الفترة السابقة إلى مبلغ الوديعة الأصلي، وبالتالي تشارك نفسها في حساب الفائدة الجديدة! أي أنها تصبح جزءًا كاملاً من الحساب الإجمالي. أو عامة عاصمة.ومن هنا الاسم - رسملة الفائدة.
إنه في الاقتصاد. وفي الرياضيات تسمى هذه النسب الفائدة المركبة.أو نسبة الفائدة.) حيلتهم هي أنه عند الحساب بشكل تسلسلي، يتم حساب النسب المئوية في كل مرة من القيمة الجديدة.وليس من الأصل..
لذلك، لحساب المبلغ من خلال سنتان، نحتاج إلى حساب 110% من المبلغ الذي سيكون في الحساب في سنة.وهذا هو بالفعل من 55000 روبل.
نحن نعول 110٪ من 55000 روبل:
55000·1.1 = 60500 روبل.
وهذا يعني أن نسبة الزيادة للسنة الثانية ستكون 5500 روبل، ولمدة عامين – 10500 روبل.
الآن يمكنك بالفعل تخمين أنه بعد ثلاث سنوات سيكون المبلغ الموجود في الحساب 110٪ من 60500 روبل. وهذا مرة أخرى 110% من العام السابق (العام الماضي)كميات.
وهنا نعتقد:
60500·1.1 = 66550 روبل.
الآن نقوم بترتيب مبالغنا النقدية حسب السنة بالتسلسل:
50000;
55000 = 50000 1.1;
60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1؛
66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1
اذا كيف كانت؟ لماذا لا يكون التقدم الهندسي؟ العضو الأول ب 1 = 50000 ، والقاسم س = 1,1 . كل مصطلح أكبر بدقة 1.1 مرة من المصطلح السابق. كل شيء يتوافق تمامًا مع التعريف.)
وكم عدد مكافآت الفائدة الإضافية التي "سيجمعها" والدك بينما كان مبلغ 50000 روبل موجودًا في حسابه المصرفي لمدة ثلاث سنوات؟
نحن نعد:
66550 – 50000 = 16550 روبل
ليس كثيرًا بالطبع. ولكن هذا إذا كان مبلغ الإيداع الأولي صغيرًا. ماذا لو كان هناك المزيد؟ لنفترض، ليس 50، ولكن 200 ألف روبل؟ ثم ستكون الزيادة على مدى ثلاث سنوات 66200 روبل (إذا قمت بالحسابات). وهو أمر جيد جدًا بالفعل.) ماذا لو كانت المساهمة أكبر؟ هذا كل شيء...
الخلاصة: كلما ارتفع الإيداع الأولي، كلما أصبحت رسملة الفائدة أكثر ربحية. ولهذا السبب توفر البنوك الودائع برسملة الفائدة لفترات طويلة. لنفترض لمدة خمس سنوات.
أيضًا، جميع أنواع الأمراض السيئة مثل الأنفلونزا والحصبة وحتى الأمراض الأكثر فظاعة (نفس السارس في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين أو الطاعون في العصور الوسطى) تحب الانتشار بشكل كبير. ومن هنا حجم الأوبئة، نعم...) وكل ذلك يرجع إلى حقيقة التقدم الهندسي مع القاسم الإيجابي كله (س>1) - الشيء الذي ينمو بسرعة كبيرة! تذكر تكاثر البكتيريا: من بكتيريا واحدة يتم الحصول على اثنتين، ومن اثنين إلى أربعة، ومن أربعة إلى ثمانية، وهكذا... الأمر نفسه مع انتشار أي عدوى.)
أبسط المسائل على التقدم الهندسي.
لنبدأ، كما هو الحال دائمًا، بمشكلة بسيطة. بحتة لفهم المعنى.
1. من المعروف أن الحد الثاني للمتتابعة الهندسية هو 6، والمقام هو -0.5. أوجد الحدود الأولى والثالثة والرابعة.
لذلك أعطيت لنا بلا نهايةالتقدم الهندسي، ولكن معروف الفصل الثانيهذا التقدم:
ب 2 = 6
وبالإضافة إلى ذلك، نحن نعرف أيضا قاسم التقدم:
ف = -0.5
وتحتاج إلى العثور عليها الاول الثالثو الرابعأعضاء هذا التقدم.
لذلك نحن نتصرف. نكتب التسلسل حسب ظروف المشكلة. مباشرة في الصورة العامة حيث الحد الثاني هو ستة:
ب 1، 6،ب 3 , ب 4 , …
الآن لنبدأ بالبحث. نبدأ، كما هو الحال دائمًا، بالأبسط. يمكنك حساب الحد الثالث على سبيل المثال ب 3؟ يستطيع! أنا وأنت نعرف بالفعل (مباشرة بمعنى التقدم الهندسي) أن الحد الثالث (ب3)أكثر من الثانية (ب 2 ) الخامس "ف"مرة واحدة!
لذلك نكتب:
ب 3 =ب 2 · س
نعوض بستة في هذا التعبير بدلًا من ب 2و -0.5 بدلاً من ذلك سونحن نحسب. ولا نتجاهل الناقص أيضاً بالطبع..
ب 3 = 6·(-0.5) = -3
مثله. وتبين أن الفصل الثالث سلبي. ولا عجب: قاسمنا س- سلبي. وضرب الموجب في الناقص سيكون بالطبع ناقصًا.)
الآن نحسب الفصل الرابع التالي من التقدم:
ب 4 =ب 3 · س
ب 4 = -3·(-0.5) = 1.5
الفصل الرابع مرة أخرى مع علامة زائد. سيكون الحد الخامس سالبًا مرة أخرى، وسيكون الحد السادس زائدًا، وهكذا. العلامات تتناوب!
وهكذا تم العثور على الحدين الثالث والرابع. والنتيجة هي التسلسل التالي:
ب 1 ؛ 6؛ -3؛ 1.5؛ ...
الآن كل ما تبقى هو إيجاد الحد الأول ب 1على قول الثاني المشهور. للقيام بذلك، نخطو في الاتجاه الآخر، إلى اليسار. وهذا يعني أننا في هذه الحالة لا نحتاج إلى ضرب الحد الثاني من التقدم في المقام، ولكن يقسم.
نقسم ونحصل على:
هذا كل شيء.) ستكون الإجابة على المشكلة كما يلي:
-12; 6; -3; 1,5; …
كما ترون، مبدأ الحل هو نفسه كما في . نعلم أيعضو و المقام - صفة مشتركة - حالةالتقدم الهندسي - يمكننا أن نجد أي عضو آخر فيه. سنجد ما نريده.) والفرق الوحيد هو أن الجمع/الطرح يتم استبداله بالضرب/القسمة.
تذكر: إذا كنا نعرف عضوًا ومقامًا واحدًا على الأقل للتقدم الهندسي، فيمكننا دائمًا العثور على أي عضو آخر في هذا التقدم.
المشكلة التالية، وفقًا للتقاليد، هي من نسخة حقيقية من OGE:
2.
...; 150؛ العاشر؛ 6؛ 1.2؛ ...
اذا كيف كانت؟ هذه المرة لا يوجد مصطلح أول ولا مقام س، يتم إعطاء مجرد تسلسل من الأرقام... شيء مألوف بالفعل، أليس كذلك؟ نعم! لقد تم بالفعل حل مشكلة مماثلة في التقدم الحسابي!
لذلك نحن لسنا خائفين. كل نفس. دعونا ندير رؤوسنا ونتذكر المعنى الأساسي للتقدم الهندسي. نحن ننظر بعناية إلى تسلسلنا ونكتشف المعلمات المخفية فيه للتقدم الهندسي للعناصر الثلاثة الرئيسية (الفصل الأول، المقام، رقم الفصل).
أرقام الأعضاء؟ لا يوجد أرقام عضوية، نعم... ولكن هناك أربعة متتابعأعداد. لا أرى أي فائدة في شرح معنى هذه الكلمة في هذه المرحلة.) هل هناك اثنان الأرقام المعروفة المجاورة؟يأكل! هذه هي 6 و 1.2. حتى نتمكن من العثور عليها قاسم التقدم.لذلك نأخذ الرقم 1.2 ونقسمه إلى الرقم السابق.إلى ستة.
نحن نحصل:
نحن نحصل:
س= 150·0.2 = 30
إجابة: س = 30 .
كما ترون، كل شيء بسيط للغاية. الصعوبة الرئيسية تكمن فقط في الحسابات. إنه صعب بشكل خاص في حالة القواسم السالبة والكسرية. لذلك أولئك الذين لديهم مشاكل، كرر العملية الحسابية! كيفية التعامل مع الكسور، وكيفية التعامل مع الأرقام السالبة، وما إلى ذلك... وإلا فسوف تتباطأ هنا بلا رحمة.
الآن دعونا نعدل المشكلة قليلاً. الآن سيصبح الأمر مثيرًا للاهتمام! دعونا نزيل الرقم الأخير 1.2 منه. الآن دعونا نحل هذه المشكلة:
3. تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:
...; 150؛ العاشر؛ 6؛ ...
ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف x.
كل شيء هو نفسه، اثنان فقط متجاوران مشهورليس لدينا الآن أي أعضاء في التقدم. هذه هي المشكلة الرئيسية. لأن الضخامة سمن خلال مصطلحين متجاورين يمكننا تحديدهما بسهولة لا نستطيع.هل لدينا فرصة للتعامل مع هذه المهمة؟ بالتأكيد!
دعونا نكتب المصطلح المجهول " س"مباشرة بمعنى التقدم الهندسي! بشكل عام.
نعم نعم! الحق مع قاسم غير معروف!
من ناحية، بالنسبة لـ X يمكننا كتابة النسبة التالية:
س= 150·س
ومن ناحية أخرى، لدينا كل الحق في وصف نفس X من خلاله التاليعضوا، من خلال الستة! اقسم ستة على المقام.
مثله:
س = 6/ س
ومن الواضح أنه يمكننا الآن مساواة هاتين النسبتين. وبما أننا نعرب نفس الشيءالحجم (x) ولكن اثنين طرق مختلفة.
نحصل على المعادلة:
مضاعفة كل شيء سوبالتبسيط والاختصار نحصل على المعادلة:
س2 = 1/25
نحن نحل ونحصل على:
ف = ±1/5 = ±0.2
أُووبس! تبين أن القاسم مزدوج! +0.2 و -0.2. وأي واحد يجب أن تختار؟ نهاية؟
هادئ! نعم، المشكلة حقا حلين!لا حرج في ذلك. يحدث ذلك.) ألا تتفاجأ عندما تحصل، على سبيل المثال، على جذرين عند حل المشكلة المعتادة؟ إنها نفس القصة هنا.)
ل ف = +0.2سوف نحصل على:
س = 150 0.2 = 30
ولل س = -0,2 سوف:
س = 150·(-0.2) = -30
نحصل على إجابة مزدوجة: س = 30; س = -30.
ماذا تعني هذه الحقيقة المثيرة للاهتمام؟ وما هو موجود تقدمين، تلبية شروط المشكلة!
مثل هؤلاء:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
كلاهما مناسب.) لماذا تعتقد أننا انقسمنا في الإجابات؟ فقط بسبب القضاء على عضو معين من التقدم (1،2)، يأتي بعد ستة. ومعرفة الحدين السابقين (ن-1) واللاحقين (ن+1) فقط من المتوالية الهندسية، لم يعد بإمكاننا قول أي شيء بشكل لا لبس فيه حول الحد النوني الذي يقع بينهما. هناك خياران - مع علامة زائد ومع ناقص.
لكن لا مشكلة. كقاعدة عامة، في مهام التقدم الهندسي هناك معلومات إضافية تعطي إجابة لا لبس فيها. دعنا نقول الكلمات: "التقدم بالتناوب"أو "التقدم ذو قاسم إيجابي"وما إلى ذلك... هذه الكلمات هي التي يجب أن تكون بمثابة دليل حول العلامة التي يجب اختيارها، زائد أو ناقص، عند إعداد الإجابة النهائية. إذا لم يكن هناك مثل هذه المعلومات، فنعم، ستكون المهمة حلين.)
الآن نقرر بأنفسنا.
4. تحديد ما إذا كان الرقم 20 عضوًا في متوالية هندسية:
4 ; 6; 9; …
5. يتم إعطاء علامة التقدم الهندسي المتناوب:
…; 5; س ; 45; …
ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف س .
6. أوجد الحد الموجب الرابع للمتتالية الهندسية:
625; -250; 100; …
7. الحد الثاني للمتتابعة الهندسية يساوي -360، والحد الخامس له يساوي 23.04. أوجد الحد الأول من هذا التقدم.
الإجابات (في اضطراب): -15؛ 900؛ لا؛ 2.56.
تهانينا إذا نجح كل شيء!
شيء لا يصلح؟ في مكان ما كان هناك إجابة مزدوجة؟ اقرأ شروط المهمة بعناية!
المشكلة الأخيرة لا تعمل؟ لا يوجد شيء معقد هناك.) نحن نعمل مباشرة وفقًا لمعنى التقدم الهندسي. حسنا، يمكنك رسم صورة. تساعد.)
كما ترون، كل شيء أساسي. إذا كان التقدم قصيرا. ماذا لو كان طويلا؟ أم أن عدد العضو المطلوب كبير جداً؟ أود، عن طريق القياس مع التقدم الحسابي، الحصول بطريقة أو بأخرى على صيغة ملائمة تجعل من السهل العثور عليها أيمصطلح أي تقدم هندسي برقمه.دون أن تتضاعف عدة مرات س. وهناك مثل هذه الصيغة!) التفاصيل في الدرس التالي.