دعونا ننتقل إلى وصف خصائص المساحات الخطية. فهي تشمل في المقام الأول العلاقات بين عناصرها.
تركيبة خطية العناصر في مجال الأعداد الحقيقية ريسمى العنصر
تعريف.تسمى مجموعة العناصر مستقلة خطيا إذا كانت متساوية
ويترتب على ذلك بالضرورة. من الواضح أن أي جزء من العناصر يكون مستقلاً خطيًا أيضًا. إذا كان واحدا على الأقل من ذلك، فإن المجموعة تسمى تابعة خطيا.
مثالثالثا.6. دع مجموعة المتجهات تعطى. إذا كان أحد المتجهات، على سبيل المثال، فإن نظام المتجهات هذا يعتمد خطيًا. وبالفعل، لتكن المجموعة،،،،،،،،، مستقلة خطياً، فيترتب على المساواة ذلك.
بإضافة المتجه مضروبًا في هذه المجموعة، يظل لدينا المساواة
ولذلك، فإن مجموعة المتجهات، وكذلك أي عناصر أخرى تحتوي على عنصر صفر، تكون دائمًا تابعة خطيًا ▼.
تعليق.إذا كانت مجموعة المتجهات فارغة، فهي مستقلة خطيًا. في الواقع، إذا لم تكن هناك مؤشرات، فمن المستحيل اختيار الأرقام المقابلة غير الصفرية لها بحيث يكون مجموع النموذج (III.2) يساوي 0. مثل هذا التفسير للاستقلال الخطي يمكن أن يؤخذ على أنه الدليل، خاصة وأن هذه النتيجة تتفق تماما مع النظرية 11.
فيما يتعلق بما سبق، يمكن صياغة تعريف الاستقلال الخطي على النحو التالي: تكون مجموعة العناصر مستقلة خطيًا إذا لم يكن هناك فهرس لها. على وجه الخصوص، يمكن أيضًا أن تكون هذه المجموعة فارغة.
مثالثالثا.7. أي متجهين منزلقين يعتمدان خطيًا. تذكر أن المتجهات المنزلقة هي متجهات تقع على خط مستقيم واحد. باستخدام متجه الوحدة، يمكنك الحصول على أي متجه آخر عن طريق الضرب في الرقم الحقيقي المقابل، أي أو. ولذلك، فإن أي متجهين في الفضاء أحادي البعد يعتمدان خطيًا بالفعل.
مثالثالثا.8. النظر في مساحة كثيرات الحدود، حيث ،،،. دعونا نكتب
بافتراض أننا حصلنا على نفس الشيء ر
أي أن المجموعة تعتمد خطيًا. لاحظ أن أي مجموعة محدودة من النموذج تكون مستقلة خطياً. وللإثبات، اعتبر الحالة، ثم من المساواة
وفي حالة افتراض الاعتماد الخطي، فإنه يترتب على ذلك أنه ليست كل الأرقام تساوي الصفر 1 , 2 , 3 ، وهو مطابق لأي (III.3)، ولكن هذا يتناقض مع النظرية الأساسية للجبر: أي كثيرة الحدود ن-الدرجة الرابعة لا تزيد عن نجذور حقيقية. في حالتنا، هذه المعادلة لها جذرين فقط، وليس عددًا لا نهائيًا منهما. حصلنا على التناقض.
§ 2. المجموعات الخطية. قواعد
يترك . سنقول ذلك هناك تركيبة خطية عناصر .
نظريةثالثا.1 (الرئيسي).تعتمد مجموعة العناصر غير الصفرية خطيًا إذا وفقط إذا كان بعض العناصر عبارة عن مجموعة خطية من العناصر السابقة.
دليل. ضروري. لنفترض أن العناصر ،، ...، تعتمد خطيًا ودعها تكون أول رقم طبيعي تعتمد عليه العناصر،، ...، خطيًا، إذن
لأنه ليس كل شيء يساوي الصفر وبالضرورة (وإلا سيكون هذا المعامل مما يتعارض مع ما ذكر). وبالتالي لدينا مجموعة خطية
قدرةواضح لأن كل مجموعة تحتوي على مجموعة تابعة خطيًا هي بحد ذاتها تابعة خطيًا ▼.
تعريف.أساس (نظام الإحداثيات) للمساحة الخطية ليسمى مجموعة أعناصر مستقلة خطيا، بحيث يكون كل عنصر منها لعبارة عن مزيج خطي من العناصر من أ, 11.
سننظر في المساحات الخطية ذات الأبعاد المحدودة.
مثالثالثا.9. خذ بعين الاعتبار مساحة متجهة ثلاثية الأبعاد. خذ ناقلات الوحدة،،. أنها تشكل الأساس ل
دعونا نبين أن المتجهات مستقلة خطيا. في الواقع، لدينا
أو . من هنا، ووفقاً لقواعد ضرب المتجه بعدد وجمع المتجهات (المثال III.2)، نحصل على
لذلك،،،▼.
اسمحوا أن يكون متجه الفضاء التعسفي، ثم، استنادا إلى البديهيات الفضائية الخطية، نحصل عليها
المنطق المماثل صالح لمساحة ذات أساس . ويترتب على النظرية الرئيسية أنه في الفضاء الخطي التعسفي محدود الأبعاد ليمكن تمثيل أي عنصر كمجموعة خطية من عناصره الأساسية،، ...،، أي.
علاوة على ذلك، فإن هذا التحلل فريد من نوعه. في الواقع، دعونا نفعل ذلك
ثم بعد الطرح نحصل عليه
وبالتالي، ونظرا لاستقلال العناصر،،
هذا هو ▼.
نظريةثالثا.2 (بالإضافة إلى الأساس).يجب أن تكون مساحة خطية محدودة الأبعاد وأن تكون مجموعة من العناصر المستقلة خطيًا. فإذا لم تشكل أساساً فمن الممكن أن نجد مثل هذه العناصر،،...،، التي تشكل مجموعة العناصر أساساً فيها. أي أن كل مجموعة مستقلة خطيًا من عناصر الفضاء الخطي يمكن إكمالها على أساس.
دليل. وبما أن الفضاء محدود الأبعاد، فإن له أساس يتكون، على سبيل المثال، من نالعناصر، فلتكن هذه عناصر. النظر في مجموعة من العناصر.
دعونا نطبق النظرية الرئيسية. في ترتيب العناصر، والنظر في المجموعة أ. ومن الواضح أنه يعتمد خطيا، لأن أي من العناصر عبارة عن مجموعة خطية،،. وبما أن العناصر،،...، مستقلة خطياً، فتضاف إليها العناصر بالتتابع حتى يظهر العنصر الأول مثلاً، بحيث يكون مزيجاً خطياً من المتجهات السابقة لهذه المجموعة، أي. إزالة هذا العنصر من المجموعة أ، نحن نحصل . نواصل هذا الإجراء حتى تحتوي هذه المجموعة نعناصر مستقلة خطيا، من بينها جميع العناصر،، ...، و ن-ممن العناصر. المجموعة الناتجة ستكون الأساس ▼.
مثالثالثا.10. أثبت أن المتجهات،، وتشكل مجموعة تابعة خطيا، وأي ثلاثة منها مستقلة خطيا.
دعونا نبين أنه لا توجد كل الأعداد الصفرية التي لها
في الواقع، لدينا
ثبت الاعتماد الخطي. دعونا نبين أن ثلاثية المتجهات، على سبيل المثال،،، تشكل الأساس. دعونا نجعل المساواة
تنفيذ الإجراءات مع المتجهات، نحصل على
معادلة الإحداثيات المقابلة في الأجزاء اليمنى واليسرى من المساواة الأخيرة، نحصل على نظام المعادلات،،، حلها، نحصل عليها.
ينطبق المنطق نفسه على الثلاثيات المتبقية من المتجهات،، أو،،.
نظريةثالثا.3 (على البعد المكاني).جميع قواعد الفضاء الخطي محدود الأبعاد لتتكون من نفس العدد من العناصر الأساسية.
دليل. دع مجموعتين تعطى، حيث؛،. نخصص لكل منهم إحدى الخاصيتين اللتين تحددان الأساس: 1) من خلال عناصر المجموعة أأي عناصر من ل، 2) عناصر المجموعة بتمثل مجموعة مستقلة خطيًا، ولكن ليس بالضرورة جميعها. ل. سوف نفترض أن العناصر أو بأمر.
النظر في المجموعة أوتطبيقها على عناصرها ممرات الطريقة من النظرية الرئيسية. منذ العناصر من بمستقلة خطيًا، فسنحصل، كما في السابق، على مجموعة تابعة خطيًا
في الواقع، إذا، فسنحصل على مجموعة مستقلة خطيًا، والباقي نمجموعة العناصر بسيتم التعبير عنها خطيًا من خلالها، وهو أمر مستحيل، وهو ما يعني . ولكن هذا أيضًا لا يمكن أن يكون، لأنه من خلال البناء فإن المجموعة (III.4) لها خاصية أساس المجموعة أ. لأن الفضاء لمحدودة الأبعاد، إذن فقط، أي قاعدتين مختلفتين للفضاء لتتكون من نفس عدد العناصر ▼.
عاقبة.في أي نالفضاء الخطي الأبعاد () يمكنك العثور على عدد لا نهائي من القواعد.
دليليتبع من قاعدة ضرب عناصر الفضاء الخطي (المتجه) برقم.
تعريف.البعد من الفضاء الخطي لهو عدد العناصر التي تشكل أساسها.
ويترتب على التعريف أن مجموعة العناصر الفارغة - وهي مساحة خطية تافهة - لها البعد 0، والذي، كما تجدر الإشارة، يبرر مصطلحات الاعتماد الخطي ويسمح لنا بالقول: ن- الفضاء الأبعاد له البعد ن, .
وهكذا، بتلخيص ما قيل، نحصل على أن كل مجموعة من ن+1 عنصر نالفضاء الخطي الأبعاد يعتمد خطيا؛ مجموعة من نتكون عناصر الفضاء الخطي أساسًا إذا وفقط إذا كانت مستقلة خطيًا (أو يكون كل عنصر من عناصر الفضاء عبارة عن مزيج خطي من عناصر أساسه)؛ في أي فضاء خطي، عدد القواعد لا نهائي.
مثالثالثا.11 (نظرية كرونيكر-كابيلي).
دعونا نحصل على نظام من المعادلات الجبرية الخطية
أين أ - مصفوفة معاملات النظام، - مصفوفة موسعة لمعاملات النظام
حيث (III.6)
وهذا الترميز يعادل نظام المعادلات (III.5).
نظريةثالثا.4 (كرونيكر - كابيلي).يكون نظام المعادلات الجبرية الخطية (III.5) ثابتًا إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة A تساوي رتبة المصفوفة، أي.
دليل.ضروري. وليكن النظام (III.5) متسقا، فله الحل: ،،. مع الأخذ في الاعتبار (III.6)، ولكن في هذه الحالة هناك مجموعة خطية من المتجهات،، …،. لذلك، من خلال مجموعة المتجهات،،، ...، يمكن التعبير عن أي متجه منها. هذا يعني انه.
قدرة. يترك . نختار أي أساس من ،، ...،، ثم يتم التعبير عنه خطيًا من خلال الأساس (يمكن أن يكون كل المتجهات وجزء منها) وبالتالي من خلال جميع المتجهات. وهذا يعني أن نظام المعادلات متسق ▼.
يعتبر ن- الفضاء الخطي الأبعاد ل. يمكن تمثيل كل متجه كمجموعة خطية، حيث تتكون المجموعة من ناقلات أساسية. نعيد كتابة المجموعة الخطية في النموذج وننشئ تطابقًا فرديًا بين العناصر وإحداثياتها
وهذا يعني أن بين ن-الأبعاد الخطية لمساحة المتجهات من المتجهات نأنشأ مجال الأبعاد للأعداد الحقيقية مراسلات فردية.
تعريف.مسافتان خطيتان وعلى نفس المجال العددي متماثل إذا كان من الممكن إنشاء مراسلات فردية بين عناصرها F، لهذا السبب
وهذا يعني أن التماثل يُفهم على أنه مراسلات فردية تحافظ على جميع العلاقات الخطية. من الواضح أن الفضاءات المتماثلة لها نفس البعد.
يترتب على المثال وتعريف التماثل أنه من وجهة نظر دراسة مشاكل الخطية، فإن الفضاءات المتماثلة هي نفسها، وبالتالي، رسميًا بدلاً منن- الفضاء الخطي الأبعادلفوق الحقل، يمكن دراسة الحقل فقط.
مهمة 1.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلاً خطيًا. سيتم تعريف نظام المتجهات بواسطة مصفوفة النظام، التي تتكون أعمدتها من إحداثيات المتجهات.
حل.دع التركيبة الخطية تساوي الصفر. وبكتابة هذه المساواة بالإحداثيات نحصل على نظام المعادلات التالي:
ويسمى هذا النظام من المعادلات الثلاثي. لديها حل واحد فقط. ولذلك، فإن المتجهات مستقلة خطياً.
المهمة 2.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلاً خطيًا.
حل.المتجهات مستقلة خطيًا (انظر المشكلة 1). لنثبت أن المتجه عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات. يتم تحديد معاملات التمدد في المتجهات من خلال نظام المعادلات
هذا النظام، مثل النظام الثلاثي، لديه حل فريد من نوعه.
ولذلك، فإن نظام المتجهات يعتمد خطيا.
تعليق. يتم استدعاء المصفوفات كما في المشكلة 1 الثلاثي ، وفي المشكلة 2 - صعدت الثلاثي . يمكن حل مسألة الاعتماد الخطي لنظام المتجهات بسهولة إذا كانت المصفوفة المكونة من إحداثيات هذه المتجهات مثلثية متدرجة. إذا لم يكن للمصفوفة شكل خاص، ثم استخدام تحويلات السلسلة الأولية مع الحفاظ على العلاقات الخطية بين الأعمدة، يمكن اختزالها إلى شكل مثلث متدرج.
تحويلات السلسلة الأوليةتسمى المصفوفات (EPS) بالعمليات التالية على المصفوفة:
1) تقليب الخطوط.
2) ضرب سلسلة برقم غير الصفر؛
3) إضافة سلسلة أخرى إلى السلسلة مضروبة في رقم عشوائي.
المهمة 3.أوجد الحد الأقصى للنظام الفرعي المستقل خطيًا واحسب رتبة نظام المتجهات
حل.دعونا نختصر مصفوفة النظام بمساعدة EPS إلى شكل مثلث متدرج. لشرح الإجراء، سيتم الإشارة إلى السطر الذي يحتوي على رقم المصفوفة المراد تحويلها بالرمز . يوضح العمود الموجود بعد السهم الإجراءات التي سيتم تنفيذها على صفوف المصفوفة المحولة للحصول على صفوف المصفوفة الجديدة.
من الواضح أن العمودين الأولين من المصفوفة الناتجة مستقلان خطيًا، والعمود الثالث هو مجموعتهما الخطية، والرابع لا يعتمد على العمودين الأولين. تسمى المتجهات الأساسية. وهي تشكل أقصى نظام فرعي مستقل خطيًا للنظام، ورتبة النظام هي ثلاثة.
الأساس والإحداثيات
المهمة 4.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات على هذا الأساس على مجموعة المتجهات الهندسية التي تحقق إحداثياتها الشرط.
حل. المجموعة عبارة عن طائرة تمر عبر الأصل. يتكون الأساس التعسفي على المستوى من متجهين غير خطيين. يتم تحديد إحداثيات المتجهات في الأساس المحدد عن طريق حل نظام المعادلات الخطية المقابل.
هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة، حيث يمكنك العثور على الأساس عن طريق الإحداثيات.
الإحداثيات الفضائية ليست إحداثيات على المستوى، لأنها مرتبطة بالعلاقة، أي أنها ليست مستقلة. تحدد المتغيرات المستقلة (وتسمى بالمتغيرات المجانية) بشكل فريد المتجه على المستوى، وبالتالي يمكن اختيارها كإحداثيات في . ثم يتكون الأساس من ناقلات تقع في مجموعات من المتغيرات الحرة وتتوافق معها، أي.
المهمة 5.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات في هذا الأساس على مجموعة جميع المتجهات في الفضاء، التي تساوي إحداثياتها الفردية بعضها البعض.
حل. نختار، كما في المشكلة السابقة، الإحداثيات في الفضاء.
نظرًا لأن المتغيرات الحرة تحدد بشكل فريد المتجه من الإحداثيات، وبالتالي فهي إحداثيات. الأساس المقابل يتكون من ناقلات .
المهمة 6.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات على هذا الأساس على مجموعة جميع مصفوفات النموذج، حيث توجد أرقام عشوائية.
حل. يمكن تمثيل كل مصفوفة بشكل فريد على النحو التالي:
هذه العلاقة هي تمدد المتجه من حيث الأساس مع الإحداثيات.
المهمة 7.أوجد البعد وأساس المدى الخطي لنظام من المتجهات
حل.باستخدام EPS، نقوم بتحويل المصفوفة من إحداثيات متجهات النظام إلى شكل مثلث متدرج.
أعمدة المصفوفة الأخيرة مستقلة خطيًا، ويتم التعبير عن الأعمدة خطيًا من خلالها. ولذلك، فإن المتجهات تشكل الأساس، و .
تعليق. يتم اختيار الأساس بشكل غامض. على سبيل المثال، تشكل المتجهات أيضًا أساسًا.
مهمة. انطلقت المفرزة الرائدة من المدينة في حملة. الآن هو في
يبعد عن المدينة 5 كم ويسير بسرعة 3 كم في الساعة. ما المسافة التي سيبعدها عن المدينة خلال x ساعة؟
حل. في ساعات X، ستغطي المفرزة كيلومترات، وحتى قبل ذلك، سافرت مسافة 5 كم. إذن بعد x ساعة ستكون المسافة من المدينة مساوية للكيلومترات. للدلالة على هذه المسافة بواسطة y، سيكون لدينا؛
هذه المساواة تعبر عن اعتماد المسار على الزمن، لكن هذا لن يعد اعتماداً تناسبياً طردياً، كما يتضح من الجدول التالي
نسبة المسار إلى الوقت هنا لا تساوي نفس العدد.
تعريف. العلاقة بين كميتين x وy، معبرًا عنها بالصيغة حيث k وأرقام، تسمى علاقة خطية.
على وجه الخصوص، إذا كان ذلك الحين
ومن ثم، فإن الاعتماد التناسبي المباشر هو حالة خاصة من الاعتماد الخطي.
2. الرسم البياني للاعتماد الخطي.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا لأي علاقة خطية معينة؛ لنضع، على سبيل المثال،
دعونا المضي قدما على النحو التالي. دعونا نبني رسمًا بيانيًا للتبعية أولاً.
سيكون خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطة الأصل (الشكل 26).
دعونا نرى كيف سيتم تحديد موقعهم بالنسبة لهذه النقطة المستقيمة من الرسم البياني للاعتماد الخطي:
على سبيل المثال، لنقم بإنشاء جدول بقيم x وy:
نرى أنه بالنسبة لأي محور، فإن إحداثي نقطة الرسم البياني الثاني أكبر بمقدار 3 وحدات من إحداثي نقطة الرسم البياني الأول. وهذا يعني أن النقطة المقابلة للرسم البياني الثاني ستكون أعلى بمقدار 3 وحدات من النقطة الأولى.
وبعد بناء هذه النقاط نحصل على خط مستقيم موازي للخط المستقيم الأول (الشكل 26).
الرسم البياني الخطي هو خط مستقيم.
ويترتب على ذلك أنه لإنشاء رسم بياني للاعتماد الخطي، يكفي العثور على نقطتين من نقاطه.
دعونا نعرض هذا مع مثال.
وضع نحصل عليه. لذلك وجدنا نقطة واحدة. وبوضع المزيد نحصل على النقطة الثانية (2؛ 7). ومن خلال بناء هذه النقاط ورسم خط مستقيم من خلالها نحصل على الرسم البياني المطلوب، أي رسم بياني للاعتماد الخطي معبرا عنه بالصيغة
عادة، لبناء رسم بياني للاعتماد الخطي، يتم أخذ نقطتين يتقاطع عندهما الخط المستقيم مع محاور الإحداثيات. لذلك، على افتراض أننا حصلنا على افتراض أننا حصلنا على رسم خط مستقيم من خلال النقاط نحصل على الرسم البياني المطلوب (الشكل 27).
الاعتماد الخطي واستقلال المتجهات
تعريفات أنظمة المتجهات المستقلة والمعتمدة خطياً
التعريف 22
لنحصل على نظام من المتجهات n ولدينا مجموعة من الأرقام، إذن
(11)
يسمى مزيج خطي من نظام معين من المتجهات مع مجموعة معينة من المعاملات.
التعريف 23
يُسمى نظام المتجهات المعتمد خطيًا إذا كان هناك مجموعة من المعاملات، والتي لا يساوي واحد منها على الأقل الصفر، بحيث يكون الجمع الخطي لهذا النظام من المتجهات مع هذه المجموعة من المعاملات يساوي المتجه الصفري:
دع ثم
التعريف 24 (من خلال تمثيل أحد ناقلات النظام كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى)
يسمى نظام المتجهات المعتمد خطيًا إذا كان من الممكن تمثيل واحد على الأقل من ناقلات هذا النظام كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى لهذا النظام.
البيان 3
التعريفان 23 و24 متساويان.
التعريف 25(عبر مجموعة خط الصفر)
يسمى نظام المتجهات مستقلاً خطيًا إذا كان الجمع الخطي الصفري لهذا النظام ممكنًا فقط لكل ما يساوي الصفر.
التعريف 26(من خلال استحالة تمثيل ناقل واحد للنظام كمجموعة خطية من الباقي)
يسمى نظام المتجهات مستقلاً خطيًا إذا لم يكن من الممكن تمثيل أي من متجهات هذا النظام كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى لهذا النظام.
خصائص أنظمة المتجهات المستقلة والمعتمدة خطياً
نظرية 2 (ناقل صفر في نظام المتجهات)
إذا كان هناك متجه صفر في نظام المتجهات، فإن النظام يعتمد خطيا.
دع إذن.
نحصل بالتالي على تعريف نظام المتجهات المعتمد خطيًا من حيث التركيبة الخطية الصفرية (12) النظام يعتمد خطيا
نظرية 3 (النظام الفرعي التابع في نظام المتجهات)
إذا كان نظام المتجهات يحتوي على نظام فرعي يعتمد خطيًا، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.
يجب أن يكون نظامًا فرعيًا يعتمد خطيًا، حيث لا يساوي واحدًا على الأقل الصفر:
وبالتالي، بموجب التعريف 23، يعتمد النظام خطيًا.
النظرية 4
أي نظام فرعي لنظام مستقل خطيًا يكون مستقلاً خطيًا.
على العكس من ذلك. دع النظام يكون مستقلاً خطيًا وله نظام فرعي يعتمد خطيًا. ولكن بعد ذلك، وفقًا للنظرية 3، سيكون النظام بأكمله أيضًا معتمدًا خطيًا. تناقض. ولذلك، فإن النظام الفرعي لنظام مستقل خطيا لا يمكن أن يعتمد خطيا
المعنى الهندسي للاعتماد الخطي واستقلال نظام المتجهات
النظرية 5
هناك متجهان يعتمدان خطيًا على إذا وفقط إذا.
ضروري.
وتعتمد خطيا، وهو ما يفي بالشرط. ثم أي..
قدرة.
تعتمد خطيا.
النتيجة الطبيعية 5.1
المتجه الصفري على خط واحد مع أي متجه
النتيجة الطبيعية 5.2
لكي يكون المتجهان مستقلين خطيًا، فمن الضروري والكافي أن .
النظرية 6
لكي يعتمد نظام مكون من ثلاثة نواقل خطيًا، من الضروري والكافي أن تكون هذه النواقل مستوية .
ضروري.
وبالتالي، يمكن تمثيل أحد المتجهات، المعتمد خطيًا، كمجموعة خطية من المتجهين الآخرين.
حيث أنا. وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع، يوجد قطري لمتوازي الأضلاع له جوانب، لكن متوازي الأضلاع - الشكل المسطح متحد المستوى - هو أيضًا متحد المستوى.
قدرة.
متحد المستوى. نطبق ثلاثة متجهات على النقطة O:
– تعتمد خطيا
النتيجة الطبيعية 6.1
المتجه الصفري متحد المستوى لأي زوج من المتجهات.
النتيجة الطبيعية 6.2
لكي تكون المتجهات مستقلة خطيًا، من الضروري والكافي ألا تكون متحدة المستوى.
النتيجة الطبيعية 6.3
يمكن تمثيل أي متجه مستوي كمجموعة خطية من أي متجهين غير خطيين على نفس المستوى.
النظرية 7
أي أربعة نواقل في الفضاء تعتمد خطيا .
دعونا نفكر في 4 حالات:
دعونا نرسم مستوى عبر المتجهات، ثم مستوى عبر المتجهات ومستوى عبر المتجهات. ثم نرسم المستويات التي تمر بالنقطة D، موازية لأزواج المتجهات؛ ; على التوالى. نحن نبني متوازي السطوح على طول خطوط تقاطع المستويات أوب 1 د 1 ج 1 اي بي دي سي.
يعتبر أوب 1 د 1 ج 1 هو متوازي أضلاع بالبناء وفقا لقاعدة متوازي الأضلاع.
خذ بعين الاعتبار OADD 1 - متوازي الأضلاع (من خاصية متوازي السطوح)، إذن
معادلة EMBED.3 .
بواسطة نظرية 1 مثل ذلك. ومن ثم، وبحكم التعريف 24، فإن نظام المتجهات يعتمد خطيًا.
النتيجة الطبيعية 7.1
إن مجموع ثلاثة نواقل غير مستوية في الفضاء هو متجه يتطابق مع قطر متوازي السطوح المبني على هذه المتجهات الثلاثة المرتبطة بأصل مشترك، وبداية مجموع المتجه تتطابق مع الأصل المشترك لهذه المتجهات الثلاثة.
النتيجة الطبيعية 7.2
إذا أخذنا 3 متجهات غير متحدة المستوى في الفضاء، فيمكن تحليل أي متجه لهذا الفضاء إلى مجموعة خطية من هذه المتجهات الثلاثة.
المتجهات وخصائصها والأفعال معها
المتجهات، الإجراءات مع المتجهات، مساحة المتجهات الخطية.
المتجهات هي مجموعة مرتبة من عدد محدود من الأعداد الحقيقية.
أجراءات: 1. ضرب المتجه برقم: lambda * Vector x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n).(3.4, 0.7) * 3 \u003d (9, 12,0.21) )
2. إضافة المتجهات (التي تنتمي إلى نفس مساحة المتجه) المتجه x + المتجه y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. المتجه 0=(0,0…0)---n E n – n-الأبعاد (الفضاء الخطي) المتجه x + المتجه 0 = المتجه x
نظرية. من أجل أن يكون نظام من المتجهات n في الفضاء الخطي ذو الأبعاد n معتمدًا خطيًا، فمن الضروري والكافي أن يكون أحد المتجهات عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.
نظرية. أي مجموعة من المتجه n+ الأول للمساحة الخطية ذات الأبعاد n yavl. تعتمد خطيا.
جمع المتجهات، ضرب المتجهات بالأرقام. طرح المتجهات.
مجموع متجهين هو المتجه الموجه من بداية المتجه إلى نهايته، بشرط أن تتطابق البداية مع نهاية المتجه. إذا تم الحصول على المتجهات من خلال توسعاتها بدلالة المتجهات الأساسية، فإن إضافة المتجهات يؤدي إلى إضافة إحداثياتها المقابلة.
دعونا نفكر في ذلك باستخدام مثال نظام الإحداثيات الديكارتية. يترك
دعونا نظهر ذلك
ويبين الشكل 3 ذلك
يمكن العثور على مجموع أي عدد محدود من المتجهات باستخدام قاعدة المضلع (الشكل 4): لبناء مجموع عدد محدود من المتجهات، يكفي مطابقة بداية كل متجه لاحق مع نهاية المتجه السابق وقم ببناء متجه يربط بداية المتجه الأول بنهاية المتجه الأخير.
خصائص عملية إضافة المتجهات:
في هذه التعبيرات m، n عبارة عن أرقام.
الفرق بين المتجهات يسمى المتجه، والحد الثاني هو المتجه المقابل للمتجه في الاتجاه، ولكنه يساويه في الطول.
وبالتالي، يتم استبدال عملية الطرح المتجه بعملية الجمع
يسمى المتجه الذي تكون بدايته عند أصل الإحداثيات ونهايته عند النقطة A (x1، y1، z1) بمتجه نصف القطر للنقطة A ويتم الإشارة إليه أو ببساطة. وبما أن إحداثياتها تتطابق مع إحداثيات النقطة A، فإن توسعها من حيث المتجهات له الشكل
يمكن كتابة المتجه الذي يبدأ عند النقطة A(x1, y1, z1) وينتهي عند النقطة B(x2, y2, z2) بالشكل
حيث r 2 هو متجه نصف القطر للنقطة B؛ ص 1 - متجه نصف القطر للنقطة أ.
لذلك، فإن توسيع المتجه من حيث الأورت له الشكل
طوله يساوي المسافة بين النقطتين A و B
عمليه الضرب
لذا، في حالة المسألة المسطحة، يتم العثور على حاصل ضرب المتجه بـ a = (ax; ay) والرقم b بواسطة الصيغة
أ ب = (الفأس ب؛ آي ب)
مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه أ = (1؛ 2) في 3.
3 أ = (3 1; 3 2) = (3; 6)
لذا، في حالة وجود مشكلة مكانية، يتم العثور على حاصل ضرب المتجه a = (ax; ay; az) والرقم b بواسطة الصيغة
أ ب = (الفأس ب؛ آي ب؛ أ ب)
مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه أ = (1؛ 2؛ -5) في 2.
2 أ = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
المنتج العددي للمتجهات وأين هي الزاوية بين المتجهات و ; إذا كان أي منهما، ثم
من تعريف المنتج العددي، يتبع ذلك
حيث، على سبيل المثال، هي قيمة إسقاط المتجه على اتجاه المتجه.
المربع العددي للمتجه:
خصائص منتج النقطة:
نقطة المنتج في الإحداثيات
الزاوية بين المتجهات
الزاوية بين المتجهات - الزاوية بين اتجاهات هذه المتجهات (أصغر زاوية).
المنتج المتجه (المنتج المتجه لمتجهين.) -هو متجه كاذب متعامد على المستوى الذي تم إنشاؤه بواسطة عاملين، وهو نتيجة العملية الثنائية "ضرب المتجهات" على المتجهات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. المنتج ليس تبادليًا ولا ترابطيًا (إنه مضاد للتبادل) ويختلف عن المنتج النقطي للمتجهات. في العديد من المسائل الهندسية والفيزيائية، من الضروري أن تكون قادرًا على بناء متجه متعامد مع اثنين من المتجهين الحاليين - يوفر منتج المتجه هذه الفرصة. يعتبر الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودي المتجهات - طول المنتج الاتجاهي لمتجهين يساوي منتج أطوالهما إذا كانا متعامدين، وينخفض إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو غير متوازية.
يتم تعريف المنتج المتجه فقط في المساحات ثلاثية الأبعاد وسبعة الأبعاد. تعتمد نتيجة حاصل الضرب المتجه، مثل حاصل الضرب القياسي، على قياس الفضاء الإقليدي.
على عكس صيغة حساب حاصل الضرب القياسي من إحداثيات المتجهات في نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد، تعتمد صيغة حاصل الضرب المتجه على اتجاه نظام الإحداثيات المستطيل، أو بعبارة أخرى، "لامركزية" الخاصة به.
العلاقة الخطية المتداخلة من المتجهات.
يُطلق على المتجهات غير الصفرية (لا تساوي 0) اسم خطي واحد إذا كانت تقع على خطوط متوازية أو على نفس الخط. المرادف مقبول، ولكن غير مستحسن - المتجهات "المتوازية". يمكن أن يتم توجيه المتجهات الخطية في نفس الاتجاه ("الموجهة بشكل مشترك") أو يتم توجيهها بشكل معاكس (في الحالة الأخيرة يطلق عليها أحيانًا "مضاد الخطية" أو "مضادة التوازي").
منتج مختلط من المتجهات ( أ، ب، ج)- المنتج العددي للمتجه a ومنتج المتجه للمتجهين b و c:
(أ،ب،ج)=أ ⋅(ب×ج)
في بعض الأحيان يطلق عليه المنتج العددي الثلاثي للمتجهات، على ما يبدو بسبب حقيقة أن النتيجة هي عددية (بتعبير أدق، سلمية زائفة).
المعنى الهندسي: معامل المنتج المختلط يساوي عدديًا حجم متوازي السطوح الذي تشكله المتجهات (أ، ب، ج) .
ملكيات
المنتج المختلط يكون منحرفًا ومتماثلًا فيما يتعلق بجميع وسائطه: أي، هـ - تبديل أي عاملين يغير إشارة حاصل الضرب. ويترتب على ذلك أن المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الصحيح (على أساس متعامد) يساوي محدد المصفوفة المكونة من المتجهات و:
المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الأيسر (على أساس متعامد) يساوي محدد مصفوفة مكونة من ناقلات ومأخوذة بعلامة الطرح:
بخاصة،
إذا كان هناك متجهان متوازيان، فإنهما مع أي متجه ثالث يشكلان منتجًا مختلطًا يساوي صفرًا.
إذا كانت هناك ثلاثة نواقل تعتمد خطيًا (أي متحدة المستوى، وتقع في نفس المستوى)، فإن منتجها المختلط يكون صفرًا.
المعنى الهندسي - المنتج المختلط بالقيمة المطلقة يساوي حجم متوازي السطوح (انظر الشكل) الذي تشكله المتجهات و؛ تعتمد الإشارة على ما إذا كانت ثلاثية المتجهات هذه على اليمين أم على اليسار.
تكامل المتجهات.
تسمى ثلاثة نواقل (أو أكثر) متحدة المستوى إذا تم اختزالها إلى أصل مشترك وتقع في نفس المستوى
خصائص التوافق
إذا كان أحد المتجهات الثلاثة على الأقل يساوي صفرًا، فإن المتجهات الثلاثة تعتبر أيضًا مستوية.
ثلاثية المتجهات التي تحتوي على زوج من المتجهات الخطية تكون متحدة المستوى.
منتج مختلط من ناقلات متحدة المستوى. وهذا معيار للمستوى المشترك لثلاثة نواقل.
ناقلات متحدة المستوى تعتمد خطيا. وهذا أيضًا معيار للمستوى المشترك.
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تشكل 3 نواقل غير مستوية الأساس
المتجهات المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا.
أنظمة المتجهات المستقلة والمعتمدة خطيًا.تعريف. يسمى نظام المتجهات تعتمد خطيا، إذا كان هناك على الأقل مجموعة خطية واحدة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري. خلاف ذلك، أي. إذا كانت مجموعة خطية تافهة من المتجهات المعطاة تساوي المتجه الفارغ، فسيتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.
نظرية (معيار الاعتماد الخطي). لكي يكون نظام من المتجهات في الفضاء الخطي معتمدًا خطيًا، فمن الضروري والكافي أن يكون أحد هذه المتجهات على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.
1) إذا كان هناك متجه صفري واحد على الأقل بين المتجهات، فإن نظام المتجهات بأكمله يعتمد خطيًا.
في الواقع، إذا، على سبيل المثال، بافتراض أن لدينا مجموعة خطية غير تافهة.▲
2) إذا كانت بعض المتجهات تشكل نظامًا يعتمد خطيًا، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.
في الواقع، دع المتجهات تعتمد خطيًا. ومن ثم، توجد مجموعة خطية غير تافهة تساوي المتجه الصفري. ولكن بعد ذلك، بافتراض أننا حصلنا أيضًا على مجموعة خطية غير تافهة تساوي المتجه الصفري.
2. الأساس والبعد. تعريف. يُسمى نظام من المتجهات المستقلة خطيًا في الفضاء المتجهي أساسيمكن تمثيل هذه المساحة، إن وجدت، كمجموعة خطية من متجهات هذا النظام، أي. ولكل متجه أعداد حقيقية بحيث تتحقق المساواة، وتسمى هذه المساواة تحلل ناقلاتحسب الأساس، ويتم استدعاء الأرقام إحداثيات المتجهات بالنسبة للأساس(أو في الأساس) .
نظرية (على تفرد التوسع من حيث الأساس). يمكن توسيع كل متجه فضاء من حيث الأساس بطريقة فريدة، أي. إحداثيات كل متجه في الأساس يتم تعريفها بشكل لا لبس فيه.
تكمن القيمة الرئيسية للأساس في حقيقة أن عمليات إضافة المتجهات وضربها بالأرقام عند تحديد الأساس تتحول إلى العمليات المقابلة على الأرقام - إحداثيات هذه المتجهات. وهي ما يلي صحيح.
نظرية. عند إضافة أي متجهين للفضاء الخطي، تتم إضافة إحداثياتهما (بالنسبة لأي أساس للفضاء)؛ عند ضرب متجه عشوائي بأي رقم، يتم ضرب جميع إحداثيات هذا المتجه بـ .
تعريف -الأبعاد، إذا كان يحتوي على متجهات مستقلة خطيًا، وأي متجهات تعتمد بالفعل خطيًا. الرقم يسمى البعدالمساحات.
يُفترض أن بُعد الفضاء المتجه الذي يتكون من متجه صفر واحد هو صفر.
يُشار عادةً إلى البعد المكاني بالرمز.
تعريف. يسمى الفضاء المتجه لانهائي الأبعادإذا كان يحتوي على أي عدد من المتجهات المستقلة خطيًا. في هذه الحالة اكتب .
دعونا نوضح العلاقة بين مفهومي الأساس والبعد المكاني.
نظرية. إذا كان الفضاء المتجه ذو البعد، فإن أي متجهات مستقلة خطيًا لهذا الفضاء تشكل أساسه.
نظرية. إذا كان الفضاء المتجه له أساس يتكون من المتجهات، إذن .
معلومات مماثلة.