Анализ графиков кинематических величин движения материальной точки. Подготовка к ЕГЭ

31.10.2019

В экспериментальной физике графиками пользуются для разных целей. Во-первых, графики строят, чтобы определить некоторые величины, обычно наклон или отрезок, отсекаемый на оси координат, прямой, изображающей зависимость между двумя переменными. Хотя в элементарных курсах физики упор часто делается именно на это, на самом деле роль графика здесь сравнительно невелика. Ведь при методе наименьших квадратов наклон прямой определяют, конечно, не по графикам, как таковым, а по исходным числовым данным. Непосредственно же по графику определить наклон можно только в том случае, если провести через точки на глаз наилучшую прямую. Это довольно грубый метод. Его не следует сбрасывать со счета, но он пригоден лишь тогда, когда мы оценивает результат, полученный наиболее точным методом или когда наклон кривой не очень важен для окончательного результата.

Во-вторых, и это, пожалуй, самое главное, графиками пользуются для наглядности. Допустим, например, что мы измеряем скорость течения воды по трубке как функцию перепада давления с целью определить, когда поток перестает быть ламинарным и становится турбулентным.

Полученные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Перепад давления, Н·м -2	Средняя скорость, мм/c	Перепад давления,Н·м -2	Средняя скорость, мм/с
7,8	35	78,3	245
15,6	65	86,0	258
23,4	78	87,6	258
31,3	126	93,9	271
39,0	142	101,6	277
46,9	171	109,6	284
54,7	194	118,0	290
62,6	226

Рис. 2

Пока поток остается ламинарным, скорость его пропорциональна перепаду давления. Глядя на цифры, приведенные в таблице, трудно сказать, где пропорциональность начинает нарушаться.

Другое дело, когда те же данные, представлены графиком (рис.2). В этом случае сразу видна точка, в которой нарушается пропорциональность.

Графики позволяют также более наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой. Нанося результаты измерений на график, очень удобно следить за тем, как идет эксперимент.

В-третьих, графиками пользуются в экспериментальной работе, чтобы установить эмпирическое соотношение между двумя величинами. Например, градуируя свой термометр по какому-либо образцовому прибору, мы определяем поправку как функцию показаний термометра, (см. рис.3 ). На графике через полученные точки проводим плавную кривую (рис.4), которой и пользуемся для введения поправки в показаниях термометра.


Рис. 3	Рис. 4

§ 2. Масштаб

В физике на графиках принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси ту величину, которую он при этом определяет. Короче говоря, по горизонтали откладывается «причина», а по вертикали «следствие».

Существуют различные виды бумаги для графиков, но из них в физике наиболее употребительны два: с обычным линейным масштабом (миллиметровая) и логарифмическая. Последняя бывает двух видов: полулогарифмическая, когда логарифмический масштаб взят только на одной оси координат, и двойная логарифмическая, когда такой масштаб удобно использовать для изображения изучаемой величины, изменяющейся на несколько порядков в пределах измерений. Полулогарифмическая бумага удобна в том случае, когда связь между переменными логарифмическая или экспоненциальная (y = B o + B 1 e kx). Если же эта связь имеет вид y ~ x k , где k неизвестная величина, то лучше взять двойную логарифмическую бумагу.

Допустим, что мы взяли миллиметровую бумагу. При выборе масштаба нужно исходить из следующих соображений:

экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом. Из рисунка 5 довольно трудно извлечь полезную информацию. Поэтому лучше выбирать такой масштаб, чтобы расположить точки с разумным интервалом, как на рис.6 . Если начальные значения x и y отличаются намного от нуля, то предпочтительнее начинать отсчет делений на соответствующей оси с некоторого значения, которое лишь немногим меньше найденного на опыте наименьшего значения переменного, откладываемого на данной оси, иначе на графике будет необоснованно много пустого места. После нанесения масштабных делений на осях около них пишут необходимые цифры;
Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единице измеренной величины (или 10; 100; 0.1 единицы и т.д.) соответствует 1 см . Можно также выбрать такой масштаб, чтобы 1 см соответствовал 2 или 5 единицам. Других масштабов следует избегать просто потому, что иначе при нанесении точек на график придется производить арифметические подсчеты в уме;
Иногда приходится выбирать масштаб из теоретических соображений. Так, если нас интересует, в какой мере результаты удовлетворяют соотношению y = kx, то на нашем графике зависимости y от x обязательно должно быть начало координат.

§ 3. Единицы измерения

Как и в случае с таблицами, десятичный множитель удобнее отнести к единице измерения. Тогда деления на графике можно помечать цифрами 1, 2, 3 ... или 10, 20, 30 ..., а не 10000, 20000 и т.д., или 0.0001, 0.0002 и т.д. На осях координат следует указать название или символ (или то и другое). Единицы измерений нужно указывать тем же способом, что и в таблицах, а именно десятичный множитель относить к единице измерения. См. на рис.7 пример, показывающий, как делать надписи вдоль осей графика и как указывать единицы измерения.

Рис.7 Зависимость модуля Юнга от температуры Т.

§ 4. Как строить графики

Графики делают в основном для того, чтобы наглядно представить результаты эксперимента, и потому они должны быть предельно ясными. Ниже мы дадим ряд общих советов по вычерчиванию графиков. Пользоваться ими нужно с учетом особенностей каждого конкретного случая.

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕЧАТАЕТСЯ Институт физики по решению учебно-методической комиссии Института физики Казанского (Приволжского) федерального университета Кафедра общей физики Авторы: Мухамедшин И.Р., Фишман А.И. Анализ графиков кинематических величин движения материальной точки Методическое пособие Рецензент: Скворцов А.И. Казань

2 Основные понятия и формулы кинематики: Радиус-вектором r материальной точки А называется вектор, проведенный из начала координат в точку А. При движении материальной точки геометрическое место концов радиус-вектора r (t) есть траектория материальной точки. В трехмерном пространстве r (t) определяется тремя скалярными функциями x(t), y(t), z(t) координатами точки А: где e, e, e орты координатных осей. x y z r (t) = x(t)e + y(t)e + z(t)e, () В дальнейшем мы будем использовать декартову систему координат (СК). В ней координаты x(t), y(t) и z(t) равны проекциям радиус-вектора на оси координат. Перемещение материальной точки r представляет собой приращение радиус-вектора r за время t = t t: r = r (t) r (t). () Средняя скорость за время t определяется как: v (t) = r, () Мгновенная линейная скорость материальной точки в момент времени t определяется как: r v (t) = lim = r и направлена вдоль вектора dr, т.е. по касательной к траектории. С учетом соотношения () выражение для скорости принимает вид: v (t) = r () = () e + () где величины v = (), v = () и v = () (4) e + () e = v e + v e + v e, (5) проекциями вектора скорости на оси X, Y и Z, соответственно. в декартовой СК являются Расстояние ds, проходимое точкой за время dt, определяется как ds = v dt, где v модуль скорости. Длина пути (или просто путь) S, пройденного материальной точкой c момента времени t до момента t выражается через интеграл от модуля скорости: S = v(t)dt. (6) Средняя путевая скорость - это отношение пути S, пройденного точкой, ко времени t, за которое этот путь был пройден: v(t) =. (7) Среднее ускорение за время t определяется выражением a (t) = v = v ()v (). (8) Мгновенное линейное ускорение материальной точки в момент времени t определяется как: v a (t) = lim = v (9) С учетом соотношения (5) выражение для ускорения можно записать в виде: a (t) = v = e + e + e = a e + a e + a e, () где величины a = (), a = () и a = () проекциям ускорения на оси X, Y и Z, соответственно. в декартовой СК равны Так как любая векторная величина может быть представлена через свои координаты (см. формулы (), (5) и ()), то, фактически, движение точки в трехмерном пространстве может быть представлено как суперпозиция его движений вдоль трёх координатных осей. Поэтому основное внимание в данном пособии мы уделим одномерному движению, например, вдоль оси Х. 4

3 График зависимости ускорения a x точки от времени t. Из определения ускорения () следует, что по заданной зависимости a x (t) можно найти изменение проекции скорости v x = v x v x за промежуток времени t = t - t: a (t) = v a (t) = dv = a (t)dt алгебраическое суммирование соответствующих площадей. Например, с -й по 5 dv = a (t)dt v = v v = a (t)dt. () Если a x (t) >, то в соответствии с геометрическим смыслом определенного интеграла, изменение проекции скорости v x на графике a x (t) будет численно равно площади между кривой a x (t), осью времени и двумя вертикальными прямыми, проведенными через точки t и t. Например, из рис. следует, что между -й и -й секундами точка двигалась с постоянным ускорением a x (t)= м/с. Тогда изменение проекции скорости на этом участке будет равно: v = a dt = a (t t) = a t. Следовательно, с -й по -ю секунду изменение проекции скорости точки составляет м/с (с с)=4 м/с и численно равно площади заштрихованного a x, м/с Рис. + прямоугольника. Если a x (t) <, то v x равно площади под кривой a x (t), лежащей ниже оси абсцисс, взятой со знаком минус (v x <). Например, с - й по 7-ю секунду движения проекция скорости точки изменяется на v x = - 8 м/с. Если за время движения точки ускорение принимает положительные и отрицательные значения, то для нахождения изменения скорости за этот промежуток времени нужно провести 7-ю секунду движения (рис.) проекция скорости точки изменится на v x = 4 м/с + (8 м/с) = 4 м/с. По графику зависимости ускорения от времени можно построить график зависимости изменения проекции скорости v x (t) как функцию времени. a x, м/с v x, м/с направление вектора скорости. Если вектор 6 Рис Например, на рис. представлен график a x (t) и соответствующий ему график v x (t). Для того, чтобы можно было построить график зависимости v x от времени, необходимо знать начальное значение проекции скорости v x в момент времени t. Обратим внимание на то, что знак проекции ускорения говорит лишь о том, куда направлено ускорение: по оси X (a x >) или против оси X (a x <), но не позволяет сделать вывод о том, возрастает или уменьшается при этом скорость точки - для этого необходимо еще знать и ускорения совпадает по направлению с вектором скорости, то скорость точки возрастает. Допустим, что для движения, показанного на рис., начальная скорость точки v x. Тогда на участке с -й по -ю секунду v x > и a x >, и скорость возрастает. Она также возрастает между 5-й и 7-й секундами, т.к. v x < и a x <. На участке от - ей до 5-й секунды вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости, при этом скорость уменьшается. График a x (t) позволяет найти среднее значение проекции ускорения за некий промежуток времени. Из определения среднего ускорения (8) следует, что a x (t) = x, а как показано выше, изменение проекции скорости v x

4 численно равно площади под графиком a x (t). Таким образом, например, для рис. за первые секунды движения среднее значение проекции ускорения равняется 4/=. м/с, а за первые 5 с оно будет равно нулю. Задания для самостоятельной работы по графику a x (t) на рис. :) Чему равно приращение проекции скорости с -й по 5-ю секунды? С 7-й по 9-ю секунды? С 9-й по -ю? За всё время движения?) Постройте v x как функцию времени, если v x = м/с в момент времени t = с.) Найдите среднее ускорение точки за следующие промежутки времени: с -й по 4-ю секунду; с 5-й по -ю секунды; за всё время движения. 4) Запишите вид функции v x (t) с 7-й по 9-ю секунду? 7 График зависимости v x от времени t. С точки зрения математической записи определения скорости v (t) = r и ускорения a (t) = v подобны. Поэтому из графика проекции скорости можно получить график изменения координаты аналогично тому, как мы получали из графика проекции ускорения изменение проекции скорости. Из определения скорости (5) следует, что по заданной зависимости v x (t), можно найти изменение координаты (проекции перемещения) x = x x за промежуток времени t = t t: v (t) = r 8 v (t) = dx = v (t)dt dx = v (t)dt x = x x = v (t)dt. () Аналогично тому, как мы искали изменение проекции скорости v x по графику a x (t), поиск изменения координаты x по графику v x (t) сводится к определению площади под кривой v x (t). Например, для графика на рис. за первые секунды движения x будет равно площади заштрихованного треугольника x=.5 с м/с= м, а за первые секунды будет равно м. v x, м/с Рис. Если v х >, то площадь берется со знаком плюс (x >), если v х < - то со знаком минус (x <). Если за время движения проекция скорости принимает как положительные, так и отрицательные значения, то для нахождения изменения координаты за этот промежуток времени нужно

5 провести алгебраическое суммирование соответствующих величин. Например, для графика на рис. перемещение x за промежуток времени со -й по 4-ю секунды будет равно нулю. Если x есть интеграл от проекции скорости (см. выражение ()), то пройденный путь S(t), согласно определению (6), есть интеграл от модуля скорости. То есть для определения пройденного пути площади под графиком v x (t) нужно всегда складывать независимо от знака проекции скорости. Например, для графика на рис. за первые секунды движения пройденный путь S будет совпадать с проекцией перемещения x и будет равен м, а за промежуток времени со -й по 4-ю секунды пройденный путь будет равен м. По графику v x (t) можно найти среднее значение проекции скорости за некий промежуток времени. Из определения средней скорости () следует, что v x (t) = x, а как показано выше, перемещение x численно равно площади под графиком v x (t). Таким образом, например, для рис. за первые секунды движения среднее значение проекции скорости равняется м / с= м/с. По графику v x (t) можно также определить проекцию ускорения a (t). Из определения ускорения () следует, что ускорение есть производная от скорости по времени, то есть a (t) = lim x = x. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке. Следовательно, тангенс угла наклона касательной к графику v x (t) численно равен величине проекции ускорения материальной точки в данный момент времени. В частном случае, когда график v x (t) представляет прямую линию, тангенс угла наклона этой прямой к оси времени численно равен проекции ускорения, т.е. a =. Например, для графика на рис. в первые две секунды движения проекция ускорения равнялась a = ()м/с ()с -й по 4-ю секунды a = (())м/с ()с = м с. = м/с, а со Качественно: в случае движения с положительной проекцией ускорения касательная к графику проекции скорости образует с осью времени острый 9 угол, а если проекция ускорения отрицательна тупой угол (принято отсчет угла проводить от оси абсцисс против часовой стрелки). Величина же ускорения (его модуль) определяется крутизной графика скорости. Задания для самостоятельной работы по графику v x (t) на рис. :) Определите x с -й по 8-ю секунду, с 8-й по 9-ю секунду, с 9-й по -ю, за всё время движения точки.) Постройте график координаты x(t), если в начальный момент времени t = x =.) Постройте график a x (t). 4) Постройте график пройденного точкой пути как функцию времени. 5) Найдите среднее значение проекции скорости точки v x (t) за следующие промежутки времени: со -й по 4-ю секунду; со -й по 8-ю секунду; за всё время движения. Найдите среднюю путевую скорость v(t) точки за те же промежутки времени. 6) Определите, в какой момент времени точка удалится от начального положения на максимальное расстояние? 7) Считая, что при t = x =, определите, в какой момент времени координата точки снова окажется равной нулю. 8) Определите перемещение x и пройденный точкой путь S на участке, на котором она двигалась с максимальным по величине ускорением. 9) Определите перемещение x и пройденный точкой путь S на участке, на котором она двигалась с минимальным по величине ускорением.

6 График зависимости координаты x от времени t. В соответствии с выражением (5) v (t) = lim =. геометрического смысла производной следует, что проекция скорости v x численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику координаты x(t). В частном случае, когда график x(t) представляет прямую линию, тангенс угла наклона этой прямой к оси времени численно равен проекции скорости, т.е. v =. Например, для графика на рис. 4 в первые две секунды движения проекция скорости равнялась v = ()м =.5 м с, а со -й по 4-ю секунды ()с v = ()м =.5 м с. ()с x, м Из Если же график координаты x(t) представляет кривую линию, то тогда Рис. 4 надо провести касательную к кривой в нужный момент времени и определить тангенс угла наклона касательной. Например, для графика на рис. 4 в 9-ю секунду движения скорость равняется 4 м/с (касательная к графику в этой точке показана пунктирной линией). По графику координаты x(t) можно найти среднюю проекцию скорости за некий промежуток времени. Из определения средней скорости () следует, что v x (t) = x =, что можно интерпретировать как тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки (t, x) и (t, x). Например, для рис. 4 за первые секунды движения средняя скорость равна v x = (.)м () =.5 м с. Задания для самостоятельной работы по графику x(t) на рис. 4:) Определите v x точки в интервалах с 4-й по 5-ю, с 5-й по 6-ю, с 6-й по 7- ю секунды.) Найдите среднюю скорость движения за первые 4, 6, 9 секунд движения.) Чему равна средняя скорость со -й по 6-ю секунды движения? С 5-й по 7-ю секунду? 4) Определите скорость точки в 8-ю секунду. Зная значения скорости в 7- ю, 8-ю и 9-ю секунды, запишите закон изменения координаты точки со временем, если на этом участке зависимость x(t) является параболой. Определите ускорение точки на этом участке. 5) Постройте график v x (t). 6) Постройте график пройденного точкой пути S как функцию времени.

7 Ответы на задания для самостоятельной работы: стр. 7 - задания по графику a x (t) на рис. :) м/с; м/с; м/с; - м/с.),67 м/с; -,4 м/ с; -, м/ с. 4) v = 4 + () =,5 7t +. стр. - задания по графику v x (t) на рис. :) -7 м; м;,75 м;,5 м. 5) v x (t) = м/с; - м/с;,5 м/с. v(t) = м/с;, м/с;,75 м/с. 6) 8 с. 7) 5 с. 8) x= м, S = м. 9) x= м, S = м. стр. - задания по графику x(t) на рис. 4:) м/с; - м/с; м/с.) м/с; -, м/с;,44 м/с.) -,5 м/с; м/с. 4) v (t = 8 с) = м/с; x(t) = (t 7) ; a = м/с. Список литературы: Иродов И.Е. Механика. Основные законы, М., Физматлит,. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.. Изд., М., Физматлит, 8. Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.. Механика. Изд.. М., Физматлит, 5.

Кинематика материальной точки. : Скорость материальной точки.... Ускорение материальной точки.... 3 Тангенциальное и нормальное ускорение.... 4 Проекции скорости и ускорения... 5 График скорости... 6 Вращательное

1.4. Законы равномерного и равноускоренного движений Основная задача кинематики заключается в нахождении кинематических законов движения. Рассмотрим сначала прямолинейное равномерное движение материальной

Кинематика Механическое движение. Относительность механического движения. Механическим движением это изменение положения данного тела в пространстве (или его частей) относительно других тел, происходящее

Механика Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам Как видно из определения механическое движение относительно Для описания движения необходимо определить систему

ФИЗИКА Часть 1 Лекции Практические занятия: Б А Лаб. занятия Всего аудиторной работы: Б А СРС ИТОГО: Б А Итоговый контроль 40 час. 16 час. 32 час. 24 час. 80 час. 104 час. 80 час. 6 кредитов 160 час. 192

Основы кинематики Лекция-видеопрезентация по физике для слушателей подготовительного отделения Составитель М.Н. Бардашевич, ассистент кафедры довузовской подготовки и профориентации Основная литература:

1 Задачи механики. Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Структура механики Механика Механика Кинематика

Кинематика Кинематика часть механики, которая изучает движение тела с геометрической точки зрения. Кинематика точки Материальная точка тело размерами, которого можно пренебречь. Движение изменение положения

Л МЕХАНИКА Материальная точка Кинематика Физическая реальность и ее моделирование Система отсчета СК+ часы, СО К Абсолютно твердое тело Механика: ньютоновская релятивистская 1 Механика часть физики, которая

Тема 11 Элементы кинематики План 1 Предмет физики Физические законы, величины, их измерение 2 Модели в механике Система отсчёта Траектория, длина пути, вектор перемещения 3 Скорость 4 Ускорение и его составляющие

Лекция 1 Введение. Кинематика поступательного и вращательного движений. План: 1. Введение. Физические основы механики 3. Кинематика и динамика материальной точки 4. Скорость и ускорение 5. Угловая скорость

Предварительные сведения из математики Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, которое равно произведению их модулей на косинус угла между ними. a b = a

Лекция К1. 1 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 1. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета 2. Скорость и ускорение точки 3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Основные понятия кинематики (Лекция 1 в 2015-2016 учебном году) Материальная точка. Система отсчета. Перемещение. Длина пути Кинематика это часть механики, которая изучает движения тел без исследования

Раздел I Физические основы механики Механика часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение Механическое движение это изменение с

ЛЕКЦИЯ 1 МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ 1. Виды физики, модели механики Есть два вида физики: общая, которая знакомит студентов с экспериментальными результатами и теоретическая, занимающаяся, прежде

Модели материальной точки (МТ) и абсолютно твердого тела (АТТ). Способы описания движения МТ. Основные понятия кинематики: перемещение, путь, скорость, ускорение. Прямая и обратная задачи кинематики. Средняя

Кинематика материальной точки Виды механических движений. Скорость и ускорение Прямолинейное движение Криволинейное движение Вращательное движение Преобразование Галилея. Инерциальные системы отсчета.

1. ВВЕДЕНИЕ Физика это наука о наиболее общих свойствах и формах движения материи. В механической картине мира под материей понималось вещество, состоящее из частиц, вечных и неизменных. Основные законы,

Тема 1. Основы кинематики. Равномерное движение Введение Механика - это раздел физики, в котором изучают общие законы механического движения тел. Механическое движение - это изменение положения тел в пространстве

Перемещение как площадь под графиком. Перемещение в равноускоренном движении Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения

Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.. Кинематика. Кинематика это часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел. Механическое движение это перемещение

Тема 2 Кинематика движений человека Механика занимается рассмотрением простейшей формы движения материи механической. Такое движение состоит в изменении взаимного расположения тел или их частей в пространстве

Комментарии к лекциям по физике Тема: Пространство и время. Кинематика материальной точки Содержание Измерения промежутков времени и пространственных расстояний. Современные эталоны времени и длины. Система

Лекция Кинематика материальной точки Система отсчета Радиус-вектор, векторы перемещения, скорости, ускорения Траектория движения и пройденный путь Перемещение и путь при равномерном и равнопеременном прямолинейном

КАРТА СХЕМА ПРОРАБОТКИ ТЕМЫ КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Кинематическое уравнение движения I. Прямая задача: Вычисления скорости и ускорения по уравнению движения материальной точки. II. Обратная задача:

Глава КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Предмет кинематики Кинематика это раздел физики посвящённый математическому описанию движения без анализа причин приводящих к его возникновению

1.1. Кинематика материальной точки Основные законы и формулы При движении материальной точки в пространстве радиус-вектор, проведённый из начала координат к точке, и координаты этой точки, представляющие

Задача К 1. Материальная точка M движется в плоскости, на которой введена, прямоугольная декартова система координат xoy. Движение точки задано координатным способом: x = x(t), y = y(t). Координаты точки:

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра теоретической механики

3 Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Твёрдые тела это объёкты размеры и форма которых в процессе движения не изменяются В отличие от материальной точки твёрдые тела имеют геометрические

3 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для студентов Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова (БГТУ) всех специальностей заочной формы обучения с применением дистанционных

ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ Равномерное и равнопеременное РАВНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ Е Скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную величину, равную отношению перемещения тела к промежутку

Предварительные сведения из математики Вектора и действия с векторами. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец. В этом векторе началом является точка A, а концом

Лекция 2 Относительность движения. Формулы сложение скоростей и ускорений. Естественный способ описания движения частицы. Сопровождающая система координат. Физический смысл тангенциальной компоненты ускорения.

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ Цель работы - путем численного моделирования изучить основные закономерности движения тела вблизи поверхности Земли. Кинематическим законом движения

Урок 3. Неравномерное прямолинейное движение Мгновенная скорость Рассмотрим случай, когда тело движется по прямой, но его движение не является равномерным. Например, автомобиль ускоряется или тормозит.

16 ГЛАВА 7 ВЕКТРНЫЕ И КПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНГ АРГУМЕНТА 1 ВЕКТРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНГ АРГУМЕНТА ГДГРАФ В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело не только с числовыми функциями, но

Лабораторная работа 1.1 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ЗЕМЛИ: ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ. Цель работы: путем численного моделирования выяснить основные

11 Элементы кинематики 111 Механическое движение Предмет механики 11 Представление о свойствах пространства и времени в классической механике 113 Кинематическое описание движения 114 Скорость и ускорение

Основные понятия кинематики (Лекция в 05-06 учебном году) Материальная точка. Система отсчета. Перемещение. Длина пути Кинематика это часть механики, которая изучает движения тел без исследования причин,

РОСОБРАЗОВАНИЕ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» СИСТЕМА ОТКРЫТОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Кинематика поступательного движения Лекция 1.1. План лекции 1.Предмет физики как основы естественнонаучных знаний. Единицы измерения физических величин. Механика. Кинематика. Динамика. 2.Движение, способы

ОЦЕНКИ по дисциплине Общая физика, часть1, ММФ Лекции - 36 ч. Отлично - более 85 баллов для ИСГТ Лаб. работы - 26 ч. Хорошо - 70 85 баллов (специальности, направление) Практические занятия - 18 ч. Удовл.

Лекция Механическое движение, его относительность. Кинематика. Декартова система координат. Радиус-вектор, его проекции. Материальная точка. Поступательное движение тела. Закон движения. Системы отсчета.

Тема 2. Неравномерное движение 1. Средняя и мгновенная скорость Средняя скорость - это такая скорость, с которой тело могло бы двигаться, если бы двигалось равномерно. В действительности скорость тела

Лабораторная работа 1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ 1.1.1. Цель работы Целью работы является исследование движения материальной точки с постоянным ускорением и экспериментальное определение

Занятие 1. Введение в кинематику. Равномерное прямолинейное движение Часть 1. Теория и примеры решения задач Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат Кинематика это часть механики,

Введение Материя и ее основные свойства. Задачи и методы физики. Роль абстракций и моделей в физике. Физические величины и их измерение Структура механики Механика Механика Кинематика Материальной точки

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра

Лекция 1 Классическая механика. Векторный и координатный способы описания движения. Кинематика материальной точки, средняя и мгновенная скорость. Ускорение. Динамика материальной точки. Законы Ньютона.

Глава 4 КИНЕМАТИКА НЕРАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ 4.1. ПОНЯТИЕ О МГНОВЕННОЙ СКОРОСТИ 4.1.1. Средняя скорость изменения физической величины A на заданном промежутке времени, ее геометрический смысл. Величина,

Физический практикум 1 Задача 10 (Лабораторная работа 1.1) Кинематика и динамика прямолинейного движения тела вдоль скамьи с воздушной подушкой При подготовке к выполнению этой задачи следует ознакомиться

Лекция 2 Тема лекции: Механическое движение и его виды. Относительность механического движения. Прямолинейное равномерное и равноускоренное движение. План лекции: 1. Предмет механики 2. Механическое движение

Генкин Б. И. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Учебное пособие. Санкт-Петербург: http://auditoi-um.u, 2012 1.6. Кинематика вращательного движения твердого тела Общие замечания Вращательным называют такое движение,

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

1 Кинематика точки Задачи (, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: () cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется

Лекция 3 Криволинейное движение. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения. Движение точки по окружности. Угловое перемещение, векторы угловой скорости и углового ускорения. Связь между векторами

4. Работа и энергия Энергия является количественной мерой различных форм движения и взаимодействий всех видов материи. Слово энергия происходит от греческого еnergeia. Различают механическую, тепловую,

7 класс (2016-17 учебный год). Занятие 1. Введение в кинематику. Равномерное прямолинейное движение Часть 1. Теория и примеры решения задач Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат

2.3 Ускорение материальной точки При неравномерном движении скорость частицы в общем случае меняется как по величине, так и по направлению. Быстрота изменения скорости определяется ускорением, которое

Тема 40 «Касательные к графику функции» Геометрический смысл производной Значение производной функции y = f(x) в точке х 0 равно угловому коэффициенту касательной (k), проведенной к графику функции в точке

ЧАСТЬ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Механика часть физики, изучающая движение и взаимодействие физических тел в пространстве и времени При этом физика имеет дело не с реальными телами: автомобилями, поездами,

Лабораторная работа 11 Исследование прямолинейного равноускоренного движения тел на машине Атвуда 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 1.1.Общие положения Основными кинематическими характеристиками и величинами равноускоренного

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Теоретическая механика наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом механических взаимодействиях между телами Движение (механическое движение)

Подготовка к ЕГЭ. Кинематика. Теория.

Механическое движение. Относительность движения. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Равномерное прямолинейное движение. Уравнение равномерного движения. Графики зависимости кинематических величин от времени в равномерном движении. Скорость. Средняя скорость движения. Относительность движения. Сложение скоростей. Равноускоренное прямолинейное движение. Мгновенная скорость. Ускорение. Перемещение при равноускоренном движении. Уравнения движения, скорости при равноускоренном движении. Графики зависимости кинематических величин от времени при равноускоренном движении. Свободное падение. Ускорение свободного падения.

Механическое движение - это изменение положения тел в пространстве относительно других тел. Механическое движение относительно: тело движется по-разному относительно разных тел.

Тело отсчета – тело, относительно которого рассматривают движение. Тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени составляют систему отсчета .

Траектория – линия, вдоль которой тело движется.

Путь – это длина траектория. В

Перемещение – вектор, соединяющий начальную и траектория

конечную точку траектории.

S = путь

DIV_ADBLOCK309">

- скорость. Единица измерения – 1 м/с;

Средняя скорость – физическая величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему времени.

Уравнение равномерного движения: Х = Х0 + S; X = X0 + V· t;

X – координата тела, Х0 – начальная координата.

Равноускоренное движение - это движение, при котором, скорость тела за любые равные промежутки времени увеличивается одинаково.

Ускорение – это физическая векторная величина, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

https://pandia.ru/text/78/186/images/image009_2.gif" width="254" height="99">

Формулы равноускоренного движения: S = V0 t + S = https://pandia.ru/text/78/186/images/image012_2.gif" width="266" height="63">

Х = Х0 + S; X = X0 + V0 ·t + Вакуум" href="/text/category/vakuum/" rel="bookmark">вакууме под действием притяжения Земли называют свободным падением .

Все свободно падающие тела движутся равноускоренно с постоянным ускорение равным 9,8 м/с2. Это ускорение называют ускорением свободного падения.

Н = V0 t + https://pandia.ru/text/78/186/images/image015_3.gif" width="65" height="47">

Графики движения:

Равномерное движение. Равноускоренное движение. Равнозамедленное движение.

а , м/с а , м/с

Кинематика. 1. Свободное падение.

https://pandia.ru/text/78/186/images/image014_3.gif" width="36" height="44">

V = V0 + g t ;

2. Движение тела, брошенного вертикально вверх.

y V = 0

у = Н = V0 t -

V = V0 - g t ;

3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

https://pandia.ru/text/78/186/images/image024_2.gif" width="128" height="69">:

Максимальная высота Нмак =

V0 Hмак Дальность полета: Х =

х Время полета:

4.Движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты.

https://pandia.ru/text/78/186/images/image030_0.gif" width="15" height="12">V0

высоты при V0 = 0.

Уравнения движения:

h у = h - время движения: у = 0; h = gt2/2; t = 11 класс" href="/text/category/11_klass/" rel="bookmark">11 класс . Подготовка к ЕГЭ. Кинематика Часть А.

https://pandia.ru/text/78/186/images/image033_0.gif" width="286" height="174 src=">Vx, м/с

1) 7 с; 2) 9с;с; 4) 6с;

t, c

DIV_ADBLOCK311">

1) 16 м; 2) 8 м; 3) 4 м;м;

https://pandia.ru/text/78/186/images/image036_0.gif" width="197" height="47 src=">

6. Уменьшить частоту малых колебаний математического

https://pandia.ru/text/78/186/images/image038_0.gif" width="159" height="171">.gif" width="123" height="196">left">

t1 t2 t t1 t2 t t1 t2 t t1 t2 t

https://pandia.ru/text/78/186/images/image044_0.gif" width="27" height="41 src="> где величины выражены в СИ. Определите ускорение точки в начальный момент времени. 1) 0,1 м/с2; 2) 0,05 м/с2; 3) 0,08 м/с2; 4) 0,09 м/с2;

21(135) Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью10 м/с. Если сопротивлением воздуха пренебречь, то через одну секунду после броска модуль скорости тела будет равен

1) -5 м/с; 2) 0; 3) 5 м/с;м/с;

22. Ускорение велосипедиста на одном из спусков трассы равно 1,2 м/с2. На этом спуске его скорость увеличивается на 18 м/с. Велосипедист заканчивает свой спуск после его начала через

1) 0,07 с 20 7,5 с;с; 4) 21,6 с

26(27) Велосипедист начинает спускаться с горы, имея скорость 2 м/с. Время спуска 40 с. Ускорение велосипедиста при спуске постоянно и равно 0,5 м/с2. какова скорость в конце спуска?м/с;м/с;м/с;м/с;

Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый – со скоростью , второй – со скоростью (-3). Какова скорость второго автомобиля относительно первого? 1) ;; 3) -2; 4) 4;

30.(10-5) Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого относительно дороги по модулю равна V, а модуль скорости второго относительно первого равен 2 V. В этом случае модуль скорости второго автомобиля относительно дороги равен 1) 0,5 V.2) DIV_ADBLOCK313">

32. Скорость велосипедиста на одном из спусков при прямолинейном движении с постоянным ускорением увеличивается на 10 м/с. Спуск заканчивается через 40 с. Ускорение велосипедиста

1) 1 м/с2. 2) 2 м/с2 3) 0,25 м/с2 4) 0,5 м/с2.

34(235-5) Скорость мяча, брошенного вертикально

вверх, изменяется, как показано на графике. 19,8

Найдите координату мяча через 3 с движения, считая

начальную координату равной 0. 9,8

1) 14,7 м; 2) 9,8 м; 3) – 4,9 м; 4) 24,5 м; t, c

36.(9-5) . Два автомобиля движутся по прямой дороге в одном направлении: один со скоростью 50 км/час, а другой – со скоростью 70 км/ч. При этом они 1) сближаются. 20 удаляются. 3) не изменяют расстояние друг от друга. 4) могут сближаться, а могут и удаляться.

38(8). Два автомобиля движутся в одном направлении по прямому шоссе с одинаковыми скоростями , Какова скорость первого автомобиля относительно второго? 1) 0; 2) ; 3) 2; 4) -;

39.(26) Как изменится период свободных гармонических колебаний математического маятника, если массу груза уменьшить в 4 раза?

1) увеличится в 4 раза; 2) уменьшится в 2 раза; 3) уменьшится в 4 раза; 4) не изменится;

40.(3-02) На рисунке изображен график изменения

координаты тела с течением времени. В какой Х, м

промежуток времени скорость тела была равна 0?. 3

1) только при t =только от 2 до 5 с. 2

3) только от 5 до 8 с. 4) от 2 до 8 с.

Координата тела меняется с течением времени согласно формуле х = 5 – 3 t. Чему равна координата этого тела через 5 с после начала движения?м. 2) – 10 м.м.м.

42.(5-02) При свободном падении тела из состояния покоя его скорость за вторую секунду увеличивается нам/с; 2) 5 м/с; 3) 0 м/с;м/с.

43 (9-02) Какой график соответствует равномерному движению?

а а a a

Кинематика. Часть В. Подготовка ЕГЭ.

1.(9-5) Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, упал на Землю в 20 м от места броска. Чему была равна скорость камня через 1 с после броска, если в этот момент она была направлена горизонтально?

2.(11-5) Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности земли под углом 600 к горизонту. На какую максимальную высоту поднялся камень, если через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?

3. (10-5) Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, упал на Землю в 20 м от места броска. Сколько времени прошло от броска до того момента. Когда его скорость оказалась, направлена горизонтально и равна 10 м/с?

4(8-5) Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту. Какова дальность полета камня, если ровно через 1 с после броска его скорость оказалась направлена горизонтально и равна 10 м/с?

5(3-06) Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, достиг максимальной высоты 5 м и упал на Землю в 20 м от места броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полета?

6(130-5) Какое максимальное ускорение сообщает Марсу Земля своим притяжением? Минимальное расстояние между Землей и Марсом составляет примерно 12 тысяч радиусов Земли. Ответ выразите в м/с2, умножьте на 108 м, округлите до целых.

7.(235-5) Вагон движется с постоянной по модулю скоростью по рельсам, проложенным по дуге окружности радиусом R =100м. Ускорение вагона при этом составляет 0,25 м/с2. За какое время вагон пройдет путь, равный 150 м?

8.(253-5) Скорость лодки относительно воды равна 4 м/с и направлена перпендикулярно к берегу, скорость течения реки равна 3 м/с. Какова скорость лодки относительно берега?

9.(254-5) Капля дождя, падающие отвесно, составляют на окне вагона. движущегося по горизонтальному пути со скоростью 40 км/час, след. Составляющий угол 300 с вертикалью. Какова скорость падения капель относительно Земли? Ответ выразите в км/ч и округлите до целых.

10(1-02) Тело массой 0,1 кг колеблется так, что проекция ах ускорения его движения зависит от времени в соответствии уравнением ах = 10 sin https://pandia.ru/text/78/186/images/image052_0.gif" width="315" height="13">3) 5 – 7 с

4) таких промежутков времени нет.

12. На рисунке изображен график зависимости а, м/с2

проекции ускорения тела от времени в инерциальной

системе отсчета. В течение, какого промежутка 1

Времени скорость тела не изменялась?

1) 0 – 2 c. 2) 2 – 3 с. 3) 4 – 5 с. 4) 5 – 6 с.

Умение анализировать и строить графики изменения термодинамического состояния идеального газа является показателем хорошего усвоения материала темы «Газовые законы». Если ученик формально заучил уравнение состояния идеального газа и математические выражения законов Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля, то для него построение и анализ графиков изопроцессов будет сложной математической задачей. Но если ученик действительно понял материал, если он хорошо представляет процессы изменения состояния газа (например, без анализа уравнения «чувственно знает», что при нагревании газа в закрытом сосуде давление его повышается, а при охлаждении понижается), то читать и строить графики он будет легко.

при выполнении данных заданий я не требуется точность в откладывании координат по соответствующим осям (например, чтобы координаты p 1 и p 2 двух состояний газа в системе p(V) совпадали с координатами p 1 и p 2 этих состояний в системе p(T). Во-первых, это разные системы координат, в которых может быть выбран разный масштаб, а во-вторых, это лишняя математическая формальность, отвлекающая от главного – от анализа физической ситуации. Основное требование: чтобы качественный вид графиков был верным. Тогда выполнение задания может быть, к примеру, таким (решение варианта 1):

1-2: p, V=const, изохорный, T ,

(Примеры рассуждений ученика: 1) давление газа растёт в закрытом сосуде. Это может происходить только за счёт нагревания газа, т.е. T. Или 2) Т.к. pV/T = const, и числитель растёт, то, чтобы величина дроби не менялась, знаменатель тоже должен увеличиваться, т.е. T)

2-3: p=const, V, изобарный, T,

3-4: p↓, V=const, изохорный, T↓,

4-1: p=const, V↓, изобарный, T↓,

Выполнение построения начинается с произвольного изображения точки 1, соответствующей первому состоянию газа. Далее последовательно строятся отдельные участки диаграммы, руководствуясь проведённым анализом. Здесь главное, чтобы ученик не ошибся, и соотношение температур T 1 < T 2 < T 4 < T 3 , видимое из первой построенной им диаграммы p(T) сохранялось и на следующей диаграмме V(T) (аналогично с объёмом газа в других заданиях). А соблюдение масштаба не так важно (важно качественное описание).

В слабых классах или для слабых учеников второе задание можно опускать.

В профильном же классе можно уделить внимание большей строгости в построении графиков. Тогда вычерчивание графиков выполняется следующим образом.

Во-первых, располагаем удобно системы координат p,T и V,T и переносим на них данные по p и V из исходного графика:

Нам не известно ни одного значения третьего параметра газа – температуры. Отметить его можно только относительно. Из первого графика видим, что максимальному значению температуры, соответствует точка 3 (через неё проходит самая верхняя изотерма – гипербола на первой диаграмме). Произвольно отмечаем максимальное значение температуры T 3 , которое задаст нам масштаб по оси T . Пересечение вертикальной прямой T 3 с горизонтальными прямыми p 2 и V 3 даст точки, соответствующие состоянию газа 3 в координатах p, T и V, T .

Чтобы найти точку 4, обратимся к проведённому анализу участка 3-4. Изохорному процессу 3-4 в координатах p,T соответствует прямая, проходящая через начало координат. Проводим соответствующую прямую линию, получим точку 4 и новое значение температуры T 4 . Пересечение линии T 4 и V 3 на третьем графике даст точку 4.

Графические задачи заслуживают особого внимания, ибо, как показывает опыт, они представляют наибольшую трудность для абитуриентов. Причина проста: этому типу задач в школьном курсе уделяют неоправданно мало внимания – решают одну-две задачи, притом формально, не вникая в суть. Кроме того, в школе ограничиваются изопроцессами, когда масса газа постоянна. Именно поэтому на вступительных экзаменах абитуриенты теряются и не знают даже, с чего начать и каковы методы решения.

Напомним, как изображаются на диаграммах изотерма, изобара и изохора идеального газа.

Можно выделить несколько типов графических задач. В задачах первого типа графически задается какой-то изопроцесс в явной или неявной форме. Для решения таких задач можно предложить следующий «план действий»:

1. Установить характер изображенного процесса (если он очевиден).
2. Выбрать (на свое усмотрение) какой-либо из изопроцессов и изобразить его графически (провести изобару, изохору или изотерму).
3. Провести эту линию графика до пересечения с линией (или с линиями) представленного процесса (или процессов).
4. Спроецировать точку (или точки) пересечений этих линий на одну из координатных осей (выбор оси произволен).
5. Рассмотреть состояния данной массы газа, которым соответствуют эти проекции, и, используя известные газовые законы, ответить на поставленный в задаче вопрос.

Величин от времени при равномерном и равноускоренном движении.

Методист ОМЦ

Информация, которую можно почерпнуть из графиков зависимостей кинематических величин, может быть разнообразной. Рассмотрим пример, условившись, что все зависимости временные и данные представлены в системе СИ.

На рис.1 представлен график зависимости проекции скорости от времени для тела, движущегося вдоль оси времени О t . Дополнительно зависимость v (t ) указана аналитически в учебных целях. На рис.2-рис.4 показаны результаты изучения исходной информации.

Рис.1. Зависимость проекции скорости от времени для тела, движущегося вдоль оси О t

Исходя только из графической информации, можно выяснить следующее:

1. Охарактеризуем тип движения на каждом участке: первые 2 с движение происходило с постоянной скоростью v 1(t ) = 2, затем в течение 3 с тело двигалось равнозамедленно с ускорением а2(t ) = -2. На участке от 6 с до 10 с движение тела было равноускоренным, а3(t ) = 3. (Напомним, что ускорение есть скорость изменения скорости, то есть производная скорости по времени. Для определения ускорения по графику нужно разницу координат по оси скорости разделить на соответствующий временой интервал)

2. Укажем, когда тело останавливалось, а когда имело максимальную по модулю скорость: 3 с и 8 с – моменты остановки (пересечение графика с осью времени О t ). Два раза в момент времени 6 с и 10 с тело имело максимальную скорость 6 метров в секунду.

3. Построим график зависимости проекции ускорения от времени (рис. 2).

4. Проанализируем, на каких участках вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости. Сопоставим рисунки №1 и №2и выясним, на каких временных интервалах вектор ускорения был сонаправлен с вектором скорости. Выберем временные интервалы, на которых знаки проекций скорости и ускорения совпадают. Это интервалы (3с-6с) и (8с-10с).

Рис.2. График зависимости проекции ускорения от времени

5.Найдем среднюю путевую скорость за первые 6 секунд. Напомним, что для этого нужно весь путь(за первые 6 с) разделить на время его прохождения(6 с). Численно путь равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости v (t ) и осью абсцисс. Пользуясь тем, что масштаб по осям задан в системе СИ, вычисляя площадь прямоугольного треугольника ка половину произведения катетов, получаем значение пути: S = S 1+S 2+S 3 = 2x 2 +0,5x 2x 1+0.5x 3x 6 = 14. Таким образом, средняя скорость равна 2,33 метров в секунду. На рис.3 заштрихована площадь, численно равная пути, пройденному телом за 6 с. Это отражает тот факт, что функция S (t ) является первообразной для функции v (t ). Рис.3. Путь, пройденный телом, численно равен площади под графиком функции v (t ).

6. Напишем уравнение движнения тела на каждом участке, условившись, что оно находилось в начале координат в начальный момент времени, т. е. х(0) = 0.Первые 2 с движение было равномерное, S 1(t ) = 2 t . График – прямая линия, угловой коэффициент которой равен проекции скорости на участке. Поскольку S 1(2) = 4, а проекция скорости к началу второго участка равна 2, проекция ускорения –2, то согласно уравнению равноускоренного движения, получаем:

S 2(t ) = 4 + 2(t -2)- 2(t -2)2/2 = 4+2t -4-(t 2 –4t +4) = - t 2 +6t -4. Величина (t -2)-отражает временной сдвиг момента начала равнозамедленного движения. Найдем координату тела в момент t = 6. S 2(6) = - 62 +6х6-4 = -4. Проекция скорости к началу третьего участка равна -6, проекция ускорения 3,аналогично, с учетом временного сдвига (t -6), получаем, что S 3(t ) =t -6)+ 3(t -6)2/2 = -4-6t +36+1,5(t 2 –12t +36) = 1,5 t 2 -24t +86.График зависимости перемещения от времени представлен на рис.4.

Рис.4. Зависимость проекции перемещения от времени для тела, движущегося вдоль оси О t

График перемещения на втором и третьем участках представляет участки парабол с вершинами в моменты времени 3 с и 8 с – моменты остановки тела. Отметим, что график

S (t ) не испытывает изломов, это обусловлено непрерывностью мгновенных изменений скорости. Для получения графика зависимости пути от времени достаточно заметить, что путь все время увеличивается, убывающие участки графика необходимо симметрично отразить вверх. (Проделайте это самостоятельно).

В заключение, обратим внимание на то, как важно обращать внимание на обозначения осей абсцисс и ординат. Рассмотрим рис.5 и определим, в какой момент времени скорость движения тела была равна 5 м/с, когда она была равна 0, а когда принимала максимальное значение? Постараемся найти среднюю скорость за первые 5 секунд.

Заметим, что движение было равномерным на каждом участке, причем с первой по третью секунду тело не двигалось (координата не менялась). Скорость на первом участке была равна 5 метров в секунду, на интервале (3с – 5с) она достигала 2,5 метров в секунду, а после 5 секунды была равна 6 метров в секунду. Максимальная скорость достигалась после 5 секунды. График идет наиболее круто. Ускорение на всех участках было равно нулю.

Найдем среднюю скорость движения тела за первые 5 секунд. По графику определяем, что тело за 5 секунд прошло 10 метров. Следовательно, средняя путевая скорость равна 2 м/с.

На рис.6 представлен график зависимости проекции скорости от времени для этого тела.

Сопоставление этих двух заданий показывает, что приемы анализа графиков зависимостей кинематических величин являются универсальными, необходимо только четко представлять себе задания и внимательно читать вопросы, чтобы не попасться в ловушку. На рис.5 указаны уравнения зависимости перемещения от времени на каждом участке, попробуйте получить их самостоятельно.

Рис.5

В тестовой форме такие или подобные вопросы часто встречаются в вариантах КИМ(контрольно-измерительных материалах) ЕГЭ.

Желаю успеха!

Рис.6

Литература.

1. , и др. “Физика – 10”, М., “Просвещение”, 2005.

2. , .”Решения ключевых задач по физике для профильной школы”, м., “Илекса”,2008.

3. Официальный сайт Федерального института педагогических измерений. www. *****