XX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Российская Федерация
Ханты-Мансийский автономный округ - Югра
город Сургут
Шарова Анастасия Владимировна,
муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа
№ 46 с углубленным изучением
отдельных предметов, 9 класс
Научный руководитель:
Кузнецова Елена Борисовна,
учитель математики
высшей квалификационной категории
2018
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение……………………………………………….............................................................3
2. Основная часть…………………………………….……….........................…….................... 4
2.1. Основные термины и понятия, история вопроса………................................................. 4
2.2. Аналитические методы решения уравнений с модулями................................................. 4
2.2.1. Геометрическая интерпретация модуля..............................................................4
2.2.2. Снятие модуля по определению...........................................................................5
2.2.3. Решение уравнений с модулем методом возведения в квадрат....................... 6
2.2.4. Метод интервалов…………….............................................................................. 6
2.2.5. Использование свойств модуля для решения уравнений................................. 7
2.3. Графический метод решения уравнений с модулями……............................................. 8
2.4. Решение уравнений с переменной под знаком модуля..................................................10
3.Заключение…...…………………………………………...………..........................................14
4.Список литературы…...………………………………………................................................15
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность выбранной темы состоит в том, что она проста и одновременно сложна способами решения уравнений с переменной под знаком модуля, в том числе олимпиадного и экзаменационного характера. Большинство школьников осваивают один - два способа решения таких уравнений, не ориентируясь в преимуществах и недостатках каждого из них, при этом, возможно, существует более продуктивный способ решения конкретного уравнения
Объект исследования: Уравнения с одной переменной.
Предмет исследования: Уравнения с переменной под знаком модуля.
Цель: Изучение способов решения уравнений с переменной под знаком модуля.
Задачи :
1. Изучить теоретический и практический материал по теме исследования, используя математическую литературу, Интернет;
2. Систематизировать способы решения уравнений с модулями и описать их;
3. Применить описанные способы решения на практике.
Гипотеза исследования: если для каждого способа можно сформулировать задачу, которая наиболее эффективно решается именно данным способом, то овладение основными методами решения уравнений с переменной под знаком модуля позволит существенно экономить время для решения других задач во время экзамена или решения олимпиады.
Методы исследования :
1. Анализ и изучение различных источников по теме исследования;
2. Обобщение и систематизация математического материала;
3. Отбор эффективных способов решения уравнений с модулем.
Теоретическая значимость исследования: описанные методы решения уравнений с переменной под знаком модуля помогут ученикам более эффективно справляться с поставленной задачей
Практическая значимость исследования: работа относится к прикладным исследованиям, ее результаты могут быть использованы при подготовке к олимпиадам и к ОГЭ.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
2.1 Основные термины и понятия, история вопроса
На официальном сайте “Wikipedia ” мы нашли следующее определение термина «модуль» - (от modulus- «маленькая мера»), неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x . Обозначается: |x| .
В словаре Ожегова понятие “модуль” означает название некоторых коэффициентов, каких-нибудь величин.
Сайт “www.cleverstudents.ru” предлагает следующее определение понятия “модуль числа a” – это либо само число a, если a – положительное число, либо число −a, противоположное числу a, если a – отрицательное число, либо 0, если a=0.
Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский математик и философ Роджер Котс, который в свою очередь являлся учеником знаменитого ученого Исаака Ньютона. Великий немецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц также в своих работах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mol x. Однако, уже общепринятое и современное значение модуля, как абсолютной величины было дано еще в 1841 году выдающимся немецким математиком Карлом Вейерштрассом. В начале девятнадцатого века ученые Арган и Коши ввели данное понятие и для комплексных чисел. На сегодняшний день, так как функция модуля вычисляется очень просто, ее ввели в список стандартных функций фактически всех языков программирования .
2.2 Аналитические способы решения уравнений с модулями
В качестве материала для исследования мы взяли учебно-методическое пособие для учащихся 7-11 классов “Уравнения и неравенства с модулями”, автор О. И. Чикунова.
Рассмотрим способы решения уравнений с модулем.
2.2.1 Геометрическая интерпретация модуля.
Простейшие уравнения вида ∣ x – а∣ = b , где a и b – некоторые числа, нетрудно решать, используя геометрические представления. Как известно, расстояние между точками координатной прямой равно модулю разности координат этих точек. Поэтому задачу «решить уравнение ∣ x – а∣ = b , где b >0» можно сформулировать иначе: «найти координаты точек, находящихся на координатной прямой на расстоянии b единиц от точки с координатой а»
Пример 1
∣x – 1∣ =4
Ищем начало отсчета: х – 1= 0, х = 1. Чертим координатную прямую х, отмечаем на ней начало отсчета и расстояния, равные 4 влево и вправо:
4 + 4
- 3 1 5 х
x =1-4 или x =1+4
x = -3 или x =5
Ответ: -3;5.
Пример 2
∣x +1∣+∣ x – 4∣=5
A M B
-1 х 4 х
Случай 1. ∣ x +1∣ =AM
∣x – 4∣ =MB
∣x +1∣ +∣ x – 4∣ =AM +MB =5 => [-1;4] – решение уравнения.
Случай 2.
M A B
x -1 4 x
AM +MB > 5 => нет решения.
Случай 3.
A B M
-1 4 x x
AM +MB > 5 => нет решения.
Ответ: [-1;4].
2.2.2 Снятие модуля по определению.
Основная цель при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, - избавиться от модуля. Это можно сделать по определению модуля. Например, уравнение вида | f (x )| = g (x ) равносильно совокупности двух смешанных систем. Достаточно решить каждую из них и найти объединение полученных решений .
f ( x )≥0,
|f(x)| = g(x ) < => f(x) = g(x)
f(x) <0,
- f(x) = g(x)
Пример 2: |4x +6|=12-10x
Данное уравнение равносильно следующей совокупности систем:
4x +6≥ 0, x ≥ - , х≥ - ,
4x +6=12-10x ; 14x =6; х=;
4x +6< 0, x <- , х< - ;
4x-6=12-10x; 6х=18; х=3.
Решением первой системы является число, вторая система решений не имеет. Итак, данное уравнение с переменной под знаком модуля имеет единственный корень.
Ответ: .
2.2.3 Решение уравнений с модулем методом возведения в квадрат.
Применение данного метода основано на следующей теореме: Обе части уравнения можно возвести в квадрат тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые знаки .
f(x) ∙ g(x) ≥ 0,
f(x) = g(x) f ² (x)=g ² (x)
Эту теорему можно конкретизировать для решения некоторых видов уравнений с модулем, если учесть свойства модуля: |а | ≥ 0 , |а |² = а ².
| f ( x ) | = | g ( x )| f 2 ( x ) = g 2 ( x )
g ( x ) ≥ 0,
| f ( x )| = g ( x ) f ² ( x )= g ² ( x )
Пример 3 [ 9, с.17]: | 2-3x | - |5-2x |=0
|2-3x |=|5-2x |
(2-3x ) 2 =(5-2x ) 2
4-12x +9x 2 =25-20x +4x 2
5x 2 +8x -21=0
D =64+420=484 (=22)
x 1, 2 =
x 1 =-3; x 2 =1, 4.
Ответ: -3; 1,4.
2.2.4 Метод интервалов.
Сущность этого метода описывается следующей последовательностью действий:
1.Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком каждого модуля и находим «точки перелома». Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых подмодульные выражения сохраняют постоянный знак;
2. Раскрываем все модули на каждом промежутке и находим корни полученного уравнения без модулей из соответствующего промежутка.
3. Объединяем все полученные решения и записываем ответ.
Пример 4 : |х + 3| + |5 -2х| = 2 -3х
Решение: 1. Найдем «точки перелома»: x + 3 = 0 5 - 2 x = 0
х = -3; x = 2,5
2. | x + 3| = - х – 3 | x +3| = x +3 | x +3| = x +3
|5- 2х - 2х |5-2 x | = 5-2 x |5 – 2 x | = -5+2 x
Х - 3 + 5 - 2х=2 - 3х x +3+5 - 2 x = 2 – 3 x x +3–5+2 x = 2–3 x
3х + 2 = 2 - 3х - x +8 = 2 – 3 x 3 x –2 = 2–3 x
0 = 0 - верное 2 x = -6 6 x = 4
числовое равенство, x = -3 x =
следовательно,
решением уравнения
является любое
действительное число
3. Объединим полученные множества: (– ∞;–3]
Ответ: (– ∞; –3]
Замечание. «Точки перелома» обычно присоединяют к тому интервалу, в котором соответствующее подмодульное выражение положительно.
2.2.5 Использование свойств модуля для решения уравнений.
Свойства модуля :
| a |≥0
Пример: |3| ≥ 0
|3| = 3
3> 0
| a | = |- a |
Пример:|5| = |-5|, так как |5| = 5 и |-5| = 5
|a| + |b| = a + b , если a≥0 и b≥0
Пример: |3| + |2| = 3 + 2 = 5
3>0 и 2>0
| a | ∙ | b | = |ab|
Пример: |2| ∙ |4| = |2 ∙ 4| = |8| = 8
|a + b|≤|a| + |b|
Пример: |1+3| ≤ |1| + |3|
|4| ≤ 1 + 3
4 ≤ 4 – верно, так как 4 = 4
| a + b | = | a | + | b | тогда и только тогда, когда ab ≥ 0
Пример: |1+5| = |1| + |5|
|6| = 1 +5
6 = 6
|a – b| ≤ |a| + |b|
Пример: |5 – 3| ≤ |5| + |3|
|2| ≤ 5 + 3
2 ≤ 8 – верно, так как 2 < 8
| a – b | ≥0 тогда и только тогда, когда а 2 – b 2 ≥ 0
Пример: |7| - |4| ≥ |7| + |4|
7 – 4 ≥ 7 + 4 7 2 - 4 2 ≥ 0
3 ≥ 11 – верно 12 ≥ 0
|a | 2 = a 2
Пример: |2| 2 = 2 2
(2) 2 = 2 2
4 – верно
2.3 Графический метод решения уравнений с модулями
Рассмотрим правила построения графиков функций, содержащих знак модуля .
Правило 1
Функция: y =| f ( x )|.
y = f ( x ).
Строим график функции y = f ( x );
Часть графика, лежащую выше оси ОХ, оставляем без изменения;
Часть графика, лежащую ниже оси ОХ, симметрично отражаем относительно оси ОХ.
Правило 2
Функция : y = f (| x |).
Правило преобразования графика функции y = f ( x ).
Строим график функции y = f ( x );
Часть графика, лежащую в левой полуплоскости, отбрасываем;
Часть графика, лежащую в правой полуплоскости, симметрично отражаем относительно оси OY .
Графическая иллюстрация правила:
Пример : |2x-5|=x-1
В одной системе координат построим графики функций
y =|2x-5 | иy =x-1
y =2x-5
График функции y =|2x -5| получим по правилу 1.
y = x-1
Найдем абсциссы точек пересечения графиков x≈ 2, x ≈ 4;
Убедимся в точности найденных решений подстановкой
|2∙ 2-5| = 2-1, |-1|=1 – верно, следовательно, 2 – корень уравнения.
|4∙ 2-5| = 4-1, |-3|=3– верно, следовательно, 4– корень уравнения.
Ответ: 2;4.
2.4 Решение уравнений с переменной под знаком модуля
№ 1. Решить уравнение : = | x -2|
Решение. Так как x ² = | x | ² , то =| x -2|;
=| x -2|;Так как |3 x - 4|+(| x | - 6 ) ² ≥ 0 и | x - 2|≥ 0, то x - 5 >0 или x > 5 ⇒ |3 x - 4|=3 x - 4, | x |= x , | x - 2|= x - 2 = x -2; =x -2; =x -2;
; ;
Ответ: х = 11.
Данное уравнение можно было решить методом снятия модуля по определению, но при этом пришлось бы решать семь уравнений; если решать методом интервалов, то - четыре уравнения, то есть достижение цели было бы отодвинуто. Таким образом, использование свойств модуля |a| 2 = a 2 и |a|≥0, сопровождающееся применением формулы квадрата разности и последующих рассуждений по снятию модулей, позволило нестандартно и очень эффективно перейти к дробно-рациональному уравнению, а затем и к линейному.
№ 2. Решить систему уравнений :
Решение. Из первого уравнения системы получаем y = | x -2 y +1|+3. Поскольку | x -2 y +1| ≥ 0, то y ≥ 3. Поэтому, | y | = y , | y - 2| = y - 2 и второе уравнение системы принимает вид y + y -2 + (y - 4)² = 5, 2у – 2 + у 2 – 8у + 16 = 5, y ² - 6 y + 9 = 0 или (y -3)²=0.
Отсюда получаем y =3. Если подставить значение y =3 в первое уравнение системы, то 3 - | x – 6 + 1| = 3, 3 - | х – 5 | = 3, | х – 5 | = 0 или x =5.
Ответ: x =5, y =3.
При стандартном решении сначала методом интервалов надо решать второе уравнение системы, а это три интервала, то есть три смешанных системы, затем найденное значение у подставить в первое уравнение, а так как и оно с модулем, то методом снятия модуля по определению еще предстоит решить две смешанные системы - очень долгий путь к цели. Поэтому выбранные свойства модуля позволили получить результат намного быстрей, что экономит время решения.
№ 3.Решить уравнение : x ² - 4| x +1| - 41=0 уравнение равносильно совокупности двух систем:
x ² - 4| x +1|-41=0, или x ² + 4| x +1|-41=0,
x +1 ≥ 0,
x ² - 4 x – 4 -41=0,
x ≥ -1
x ² -4 x – 45= 0
х 1,2 = 2 +
x 1 = 9; x 2 = -5 – посторонний корень
x +1≤0,
x ² +4 x + 4 -41=0
х≤ - 1
x ² +4 x – 37=0
х 1,2 = - 2 +
x 1 = -2-; х 2 = -2 + – посторонний корень
Ответ: 9; -2- .
Если же в данном уравнении изолировать модуль, а затем снять его возведением обеих частей в квадрат, то получим уравнение четвертой степени, которое имеет очень громоздкое решение, а это не рационально.
№ 4. Решить уравнение :
|2 x -1|=| x -1|
Решение: Данное уравнение с двумя модулями можно решать методом интервалов, однако быстрее всего приводит к ответу способ возведения обеих частей уравнения в квадрат, с учетом того что | f (x )|²=(f (x ))².
|2 x -1|=| x -1| <=> |2 x -1|²+| x -1|² <=> (2 x -1)²=(x -1)² <=> 4 x ²-4 x +1= x ²-2 x +1 <=> 3 x ²-2 x =0 <=>
x (3 x -2)=0 <=> x 1 =0, x 2 .
Ответ: 0; .
№ 5. Решить уравнение :
Решение: Данное уравнение с двумя модулями можно решать методом интервалов, но более рациональным способом решения будет возведение обеих частей уравнения в квадрат, с учетом того что | f (x )|²=(f (x ))².
<=> =3² <=> = ±3 <=><=><=>
Ответ: -5,5; -1,75 .
№ 6. Решить уравнение :
|5 x -6|=|6-5 x |
Решение: Исходное уравнение с двумя модулями можно решать методом возведения обеих частей уравнения в квадрат, но для данного уравнения рациональным способом решения будет использование свойства модуля | a |=|- a |, для любого а.
|5 x - 6| = |6 - 5 x |<=>|5 x - 6| = |- 6 + 5 x |<=>|5 x - 6| = |5 x - 6|<=> (5 x - 6) = 5 x - 6 =>
|5 x - 6| = |6 - 5 x |<=><=>
Ответ:.
№ 7. Решить уравнение .
|7 x - 3| = 2 - 7 x
Решение: Решаем уравнение методом снятия модуля по определению
7 x -3 ≥ 0, x ≥ , х ≥ ,
7 x -3 =2-7x ; 14x = 5; х = ;
7 x -3 < 0, x <,
-7 x +3 =2-7x ; 0 = -1; - неверное числовое равенство=>
Ответ:.
№ 8. Решить уравнение [Сургут, 8 класс, ШЭВОШ, 2014-2015] :
Решение. Если x > 1, то x – 2 = 1 => x = 3.
Если x < 1, то x – 2 = -1 => x = 1, но при этом знаменатель обратится в 0 => x ≠ 1.
Ответ: 3.
№ 9. Решить уравнение [Сургут, 7 класс, ШЭВОШ, 2016-2017] :
|| x -674|-1| = 4 | x - 674| - 1 = 4, | x – 674| = 5
| x – 674| - 1 = -4, | x – 674| = -3, - данное уравнение не имеет корней.
Решаем уравнение |x – 674| = 5 x – 674 = 5, x = 679,
X – 674 = -5, x = 669.
Ответ: 679; 669.
Вывод: Несмотря на то, что для каждого из данных уравнений есть стандартный метод решения, можно подобрать более рациональный, то есть подобрать индивидуальное решение, что значительно экономит время выполнения задания.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, в исследовании описаны аналитические способы решения уравнений с переменной под знаком модуля: использование геометрической интерпретации модуля; снятие модуля по определению; метод возведения в квадрат; метод интервалов; свойства модуля для решения уравнений; рассмотрен графический способ решения. Все описанные методы сопровождаются решенными уравнениями.
Выдвинутая гипотеза подтверждена решением девяти уравнений с переменной под знаком модуля с обоснованием выбора более рационального и даже нестандартного способа решения. Таким образом, несмотря на то, что для каждого из уравнений есть стандартный метод решения, можно подобрать более рациональный, то есть подобрать индивидуальное решение, что значительно экономит время выполнения задания.
Цель и задачи выполнены. Работа относится к прикладным исследованиям, ее результаты могут быть использованы при подготовке к олимпиадам и к ОГЭ.
4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВикипедиЯ: свободная энциклопедия. https://ru.wikipedia.org/wiki /Модуль (дата обращения 01.02.2017);
Голубев, В.И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих вузов страны) // Квантор. -1991.- № 8. – с.3-87;
Доступная математика. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.cleverstudents.ru/modulus/modulus_of_number.html (дата обращения 10.02.2017);
ЕГЭ. Математика: пошаговая подготовка / А.Н. Роганин, И.В. Лысикова, Ю.А. Захарийченко, Л.И. Захарийченко. -М.: Эксмо, 2017. - 320с.;
Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 9 класс: учебник для школ и классов с углубленным изучением математики / Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков. – М.: Мнемозина, 2008. – 447 с.;
Математика: Алгебра. Модуль. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http :// www .13 min . ru / video - uroki / matematika - algebra - modul / История модуля (дата обращения 17.03.2017);
Математика и физика. [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://educon.by/index.php/materials/math/moduli (дата обращения 20.03.2017);
Супрун, В. П. Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 272 с.;
Чикунова, О.И. Уравнения и неравенства с модулями: учебно – методическое пособие для учащихся 7 – 11 классов. – Шадринск: Шадринский Дом Печати, 2001. – 48 с.;
Модуль числа и свойства модуля . [Электронный ресурс] - Режим доступа: (дата обращения 17.12.2017).
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, можно использовать три метода: раскрытие модуля по определению, возведение обеих частей уравнения в квадрат и метод интервалов.
Первый способ основан на определении модуля. Напомним его:
Таким образом, решение уравнения вида распадается на решение совокупности уравнения при условии и уравнения при условии . Если в уравнении больше одного знака модуля, аналогичную процедуру повторяют для каждого модуля. Заметим также, что поскольку модуль – величина всегда неотрицательная, то для выражения должно выполняться условие .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Рассмотрим первый случай, когда . Тогда модуль в правой части уравнения раскрывается со знаком «+», то есть исходное уравнение принимает вид
Корнем последнего уравнения является . Поскольку , значение является корнем исходного уравнения. Теперь рассмотрим второй случай: . В этом случае модуль раскрывается со знаком «-» и уравнение принимает вид
Решение последнего уравнения - . Но, поскольку , то не является корнем исходного уравнения. Общий ответ является объединением ответов, полученных в первом и втором случаях.
Второй способ основан на следующем свойстве модуля: . Он состоит в возведение обеих частей уравнения в квадрат. То есть, чтобы решить уравнение надо решить равносильное ему уравнение . Заметим, что данный метод наиболее эффективен для решения уравнений вида , которые после возведения в квадрат обеих частей уравнения приводятся к виду . Напомним также, что возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием только если обе части уравнения неотрицательны.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
Решив полученное квадратное уравнение, находим , .
Ответ.1/4; -3/2.
Для решения уравнений, содержащих несколько знаков модуля, наиболее эффективен метод интервалов (или метод разбиения на промежутки). Для применения метода интервалов числовую ось разбивают на промежутки так, чтобы модуль любого из выражений в уравнении раскрывался одинаково для всех значений из данного промежутки. Нетрудно заметить, что точками, разбивающими ось на данные промежутки, будут значения , обращающие в ноль каждое из выражений под знаком модуля. После разбиения находят знаки подмодульных выражений на каждом из промежутков. Затем для каждого промежутка решают получившееся послу раскрытия модулей уравнение и проверяют корни на принадлежность рассматриваемому промежутку. Решение уравнения является объединения корней, полученных для каждого из промежутков.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Расставим на числовой оси точки и , в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Таким образом, мы разбили числовую ось на три промежутка: , и . В первом промежутке оба модуля раскрываются со знаком «-», во втором – первый модуль со знаком «+», второй – «-», в третьем – оба со знаком «+». Рассмотрим эти промежутки по отдельности.
На промежутке получаем уравнение , откуда . Поскольку принадлежит промежутку , он является корнем исходного уравнения.
На промежутке получаем . Корень данного уравнения не принадлежит рассматриваемому промежутку и, значит, не является корнем исходного уравнения.
На промежутке имеем уравнение . Его корень н принадлежит и, значит, не является корнем исходного уравнения. Окончательный ответ является объединением полученных решений.
Ответ: -4/5.
Системы уравнений
Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?
На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.
Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0
Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее к
оордината. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.
Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:
{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с < 0
1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;
2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, то x = 0.
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 нет корней
3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .
1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:
Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Объединяем решение и О.Д.З.:
Подходят только корни x = 1 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Рассмотрим еще один пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:
t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:
|x| = -2 или |x| = 1
Нет корней x = ± 1
Ответ: x = -1, x = 1.
6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.
1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.
Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.
Ответ x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.
Ответ: x = -3, x = 1.
Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
:обобщение и систематизация знаний учащихся по
теме: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”,
ликвидация пробелов в знаниях и умениях учащихся, установление внутри
предметных связей изученной темы с другими темами курса математики;
Задача: провести повторение, обобщение и систематизацию знаний учащихся по теме “Квадратные уравнения. Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля ”.
Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная работа.
Форма проведения урока: беседа с элементами самостоятельной работы учащихся, работа у доски, индивидуальная и групповая работа по выполнению учебных заданий.
Оборудование: ПК, проектор, экран.
Ход урока
I. Организационный момент.
(Приветствие учащихся и проверка готовности к уроку.)
– Квадратные уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.), сегодня на уроке мы должны суметь применить все свои знания и умения к решению квадратных уравнений с параметром и модулем.
II. Постановка цели.
– Тема урока: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”. Сегодня у нас урок по решению квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Ребята, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?
– Иными словами, повторить, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для возможности выбора рационального пути решения.
– Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений с параметром и модулем, научиться выбирать рациональный путь решения.
III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний:
– Прежде всего, вспомним некоторый, изученный материал. Приложение 1
– Выполним устно задания теста. Приложение 2
– Итак, весь необходимый материал повторили, я приглашаю вас на презентацию решения квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для начала заполним карточки, которые лежат у каждого на столе. Приложение 3
Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.
Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные карточки вперед.
IV. Обобщение и систематизация знаний, их применение для выполнения практических заданий:
1. Пример: Решите уравнение: x 2 -5│х│= 0.
Решение. Используя свойство модуля: |a| 2 =a 2 , перепишем данное уравнение в виде: │х│* (│х│– 5) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. Решив уравнение, имеем: х 1 = 0, х 2,3 = + 5.
Ответ: -5;0;5.
2. Пример: Существует ли на окружности, заданной уравнением (х-3) 2 + (у+1) 2 = 7, точка: а) с абсциссой, равной 1,5; б) с ординатой, равной – 3?
Решение. а) (у+1) 2 = 7 – (1,5 – 3) 2 >0 – такая точка существует; б) (х+3) 2 =7-(-3+1)>0-такая точка существует.
3.Пример: дано соотношение 2а 2 +4а + 2b 2 -4b – 5(a+1)(b-1) +4 = 0. Выразите b через а.
Решение. Имеем 2(а 2 +2a)+2(b 2 -2b) – 5(a+1)(b-1) +4 = 0;
2(a 2 +2a+1) +2(b 2 -2b+1)-5(a+1)(b-1)=0; 2(a+1) 2 -5(a+1)(b-1)+2(b-1) 2 =0.
Рассматривая это равенство, как квадратное уравнение относительно а+1, получим a+1 = 2(b-1) или a+1=(b-1)/2. Следовательно, b = (a+3)/2 или b= 2a+3.
V. Физкультминутка.
4. Пример: Решите уравнение:│х 2 +х-3│=х.
Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью, по определению модуля получаем систему:
Ответ: 1, √3.
5.Пример: Решите уравнение: │х+3│=│2х 2 +х-5│.
Решение . Решим методом замены уравнения совокупностью двух уравнений, по определению модуля получаем:
Ответ: + 2, (-1+ √5)/2.
6.Пример: Решите уравнение: х 2 +(3-а)х-3а ‗0
Ответ: Нет решений при а = -3 и а = 4; при х = а данное уравнение имеет решение.
VI. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний:
7.Пример: Решите уравнение: │х-2│х 2 =10-5х.
Решение. Так как │х-2│х 2 =5(2-х), то х≤2.
Тогда уравнение примет вид (х-2)х 2 =5(2-х);
Ответ: 2, -√5.
8. Пример: Решите уравнение:
‗0х 2 -(3b-1)х+2b 2 – 2b
х 2 -7х+6
Ответ: При b =7 или b = 2: один корень х = 2 b; при b = 1/2 или b = 3: один корень х = b – 1; при остальных b: два корня х = 2 b и х = b – 1.
VII. Оперирование ЗУН-ми в стандартных ситуациях:
9. Пример: Найдите сумму квадратов всех корней уравнения
x 2 -5│х│+ 1= 0.
Решение. Применив метод – введения новой переменной, решим уравнение. Пусть: t = │х│, получим уравнение t 2 – 3t + 1 = 0, имеющее два корня t 1 и t 2 (так как D>0). Очевидно, что корни t 1 и t 2 – положительны (t 1 + t 2 >0, t 1 * t 2 >0). Следовательно, по свойству модуля исходное уравнение, равносильно совокупности уравнений
имеет четыре корня: + t 1 , + t 2 . Их сумма квадратов t 1 2 + (-t 1) 2 + t 2 2 + (-t 2) 2 = 2(t 1 2 +t 2 2). Так как t 1 2 +t 2 2 = (t 1 +t 2) 2 – 2 t 1 t 2 = 9 – 2*1 = 7, то искомая сумма квадратов всех корней равна 14.
10.Пример: При каком значении параметра а уравнение (а + 4х – х 2 -1)(а+1-│х – 2│) = 0 имеет три корня?
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Рассмотрим уравнение х 2 – 4х + 1 – а = 0.
Так как ¼ D = 4 – 1 + а = 3 + а, то при а > – 3 оно имеет два корня;
при а = – 3 – один корень; при а < – 3 – корней нет.
Рассмотрим уравнение │х – 2│= а + 1. При а = – 1 оно имеет один корень, при а > – 1 – два корня. При а < – 1 корней нет. Очевидно, что при а = – 1 исходное уравнение имеет три корня. При а > – 1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х 0 = 2. В этом случае х = 2 не является корнем, а общее число корней уравнений четно.
Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а = – 1.
Ответ: а = – 1.
VIII. Пауза отдыха:
– Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…
Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.
IX. Выполнение упражнений:
11. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.
Решение . Пусть а – одна из цифр числа, тогда а + 3 – другая цифра. Исходное число имеет вид 10а + (а + 3) = 11а + 3.
После перестановки цифр получится число 10(а + 3) + а = 11а + 30. Согласно условию, получаем уравнение (10а + 3) 2 +(11а+30) 2 = 1877, откуда находим а = 1.
Ответ : 14 или 41.
X. Подведение итогов.
– Сегодня на уроке мы:
1) повторили определение квадратного уравнения;
2) рассмотрели виды квадратных уравнений и алгоритм решения квадратных уравнений, формулы для нахождения корней квадратного уравнения;
3) сформулировали теорему Виета и обратную ей теорему;
4) повторили определение модуля и параметра;
5) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр;
6) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих модуль;
7) обобщили опыт решения квадратных уравнений с параметром и модулем;
8) научились выбирать наиболее рациональный метод решения квадратного уравнения с параметром и модулем.
– Оценки на уроке выставляются: – за теоретический опрос;
– за индивидуальную работу у доски;
– за работу по карточкам;
– за самостоятельную работу.
XI. Домашнее задание и его инструктаж:
М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Приложение 4
XII. Рефлексия.
(Учащимся предлагается выполнить задание на приготовленных карточках)
Список литературы
- Анищенко А.Г.