Системы неравенств и совокупности неравенств.
Решение неравенства с использованием равносильных преобразований часто приводит к решению системы или совокупности неравенств.
При решении системы неравенств с одной переменной обычно решают каждое неравенство, затем находят пересечение полученных множеств решений.
При решении совокупности неравенств с одной переменной обычно решают каждое неравенство, затем находят объединение полученных множеств решений.
Две системы (совокупности) неравенств называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Сравнение чисел.
Иногда при решении неравенств одним из трудоемких этапов является сравнение значений чисел для правильного расположения их относительно друг друга на числовой прямой. Это возникает в случае объединения или пересечения промежутков, числовые значения концов которых выражаются через радикалы, логарифмы и т.д. Приходится сталкиваться с необходимостью сравнения чисел без помощи микрокалькулятора. Рассмотрим некоторые подходы к решению задач такого типа.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
Основные понятия.
1. Сравнение числовых выражений
1.1. Методы сравнения числовых выражений.
1.2. Сравнение действительных чисел
1.3. Сравнение выражений, содержащих дроби.
1.4. Сравнение выражений, содержащих степени.
1.5. Сравнение выражений, содержащих корни натуральной степени.
1.6. Сравнение выражений, содержащих логарифмы.
1.7. Сравнение выражений разного вида.
2. Область определении выражении (функции).
3. Алгебраические методы решении.
3.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем.
3.2. Метод замены.
3.3. Разбиение области определения неравенства на подмножества
4. Функционально-графические методы решении.
4.1. Использование области определения функции.
4.2. Использование непрерывности функции.
4.3. Использование ограниченности функций.
4.4. Использование монотонности функций.
4.5. Графический метод.
5. Геометрические методы решения
5.1. Расстояние между точками на координатной прямой.
5.2. Расстояние между точками на координатной плоскости.
5.3. Векторная интерпретация неравенства.
6. Решение неравенств разными способами.
7. Системы неравенств.
Упражнения.
Ответы.
Список и источники литературы.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика ЕГЭ 2014, решение неравенств с одной переменной, типовые задания С3, Прокофьев А.А., Корянов А.Г., 2014 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
- Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников, Лекции 1-4, Корянов А.Г., Прокофьев А.А., 2012
- ЕГЭ 2014, Математика, Задания В4, Корянов А.Г., Надежкина Н.В., 2013
- ЕГЭ 2014, Математика, Задания В14, Корянов А.Г, Надежкина Н.В.
- ЕГЭ 2014, Математика, Задания В13, Корянов А.Г, Надежкина Н.В., 2013
Следующие учебники и книги:
- Математика, подготовка к ЕГЭ-2015, Книга 2, учебно-методическое пособие, Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
- ЕГЭ 2015, математика, базовый уровень, типовые тестовые задания, Забелин А.В., Крупецкий С.Л., Некрасов В.Б., Семенко Е.А., Сопрунова Н.А., Хачатурян А.В., Хованская И.А., Шноль Д.Э., Ященко И.В., 2015
Математика. ЕГЭ-2014. Решение неравенств с одной переменной. (Задания С3). Корянов А.Г., Прокофьев А.А.
Корянов А.Г. - Брянск; Прокофьев А.А. - Москва; 2013г. - 93 с.
Пособие по решению заданий типа С3.
Решение неравенств с одной переменной.
Формат: pdf / zip
Размер: 1,5 Мб
/ Download
файл
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 2
Основные понятия 4
1. Сравнение числовых выражений 5
1.1. Методы сравнения числовых выражений 6
1.2. Сравнение действительных чисел 8
1.3. Сравнение выражений, содержащих дроби 8
1.4. Сравнение выражений, содержащих степени 9
1.5. Сравнение выражений, содержащих корни натуральной степени 9
1.6. Сравнение выражений, содержащих логарифмы 10
1.7. Сравнение выражений разного вида 12
2. Область определения выражения (функции) 13
3. Алгебраические методы решения 14
3.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем 14
3.2. Метод замены 23
3.3. Разбиение области определения неравенства на подмножества 28
4. Функционально-графические методы решения 30
4.1. Использование области определения функции 30
4.2. Использование непрерывности функции 31
4.3. Использование ограниченности функций 35
4.4. Использование монотонности функций 39
4.5. Графический метод 53
5. Геометрические методы решения 55
5.1. Расстояние между точками на координатной прямой 55
5.2. Расстояние между точками на координатной плоскости 56
5.3. Векторная интерпретация неравенства 57
6. Решение неравенств разными способами 58
7. Системы неравенств 61
Упражнения 75
Ответы 88
Список и источники литературы 92
Корянов А.Г. - Брянск; Прокофьев А.А. - Москва; 2011г. - 47 с.
Пособие по решению заданий типа С3.
Методы решения неравенств с одной переменной.
Формат: pdf / zip
Размер: 799 Кб
СОДЕРЖАНИЕ
1. Алгебраические методы решения 2
1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем 2
неравенства, содержащие иррациональные выражения 3
неравенства, содержащие показательные выражения 7
неравенства, содержащие логарифмические выражения 8
неравенства, содержащие выражения с модулями 10
расщепление неравенств 12
1.2. Метод замены 13
введение одной новой переменной 13
введение двух новых переменных 14
тригонометрическая подстановка 15
1.3. Разбиение области определения неравенства на подмножества 16
2. Функционально-графические методы решения 17
2.1. Использование области определения функции 18
2.2. Использование непрерывности функции 18
метод интервалов 18
первое обобщение метода интервалов 20
второе обобщение метода интервалов 20
рационализация неравенств 22
метод интервалов на координатной окружности 26
2.3. Использование ограниченности функций 27
метод оценки 27
неотрицательность функции 27
применение свойств модуля 28
ограниченность синуса и косинуса.. 28
применение классических неравенств 29
2.4. Использование монотонности функций 30
монотонность функции на множестве R 30
монотонность функции на промежутке 31
функции разной монотонности 33
2.5. Графический метод 34
3. Геометрические методы решения 35
3.1. Расстояние на координатной прямой 35
3.2. Расстояние на координатной плоскости 36
3.3. Векторная интерпретация неравенства 37
Упражнения 38
Ответы 45
Список и источники литературы 47
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 1 СОДЕРЖАНИЕ стр. 1. Алгебраические мет о ды решения 2 1.1. Сведение неравенства к равно - сил ь ной системе или совокупности систем … ……………………………… 2 ● неравенства, содержащие ирр а- циональны е выражени я.. .................. 3 ● неравенства, содержащие показ а- тельн ы е выраж е ния........................... 7 ● неравенства, содержащие лог а- рифми чески е выраж е ния…….…... .. 8 ● неравенства, содержащие выр а- жения с модул я ми. ……...…………. 10 ● расщепление нер а венств …… ....... . 12 1.2. Метод замены …………………… . 1 3 ● введение одной новой переме н- ной ………………………………… . . 1 3 ● введение двух новых переме н- ных... .. ................................................ . 1 4 ● тригонометрическая подстано в ка.. 1 5 1.3. Разбиение области определения н е равенства на подмножества ……… . 1 6 2. Функционально - гр афические методы реш е ния ………………… ….. 1 7 2.1. Использование области опред е- ления функции ………………… ……. . 1 8 2.2. Использование непрерывности фун к ции …………………………… ... . 1 8 ● метод интерв а лов ……………… … 1 8 ● первое обобщение метода инте р- валов ………………………………. .. 20 ● второе обобщение метода инте р- валов ………………………………. . . 20 ● рационализация нер а венств …… .. 22 ● метод интервалов на координатной окружности………………………… … 26 2.3. Использование ограниченности ф ун к ций …………………………… …. 2 7 ● метод оце н ки …………………… .. 2 7 ● н е отрицательн ость функции … ... . . 2 7 ● применение свойств мод у ля…..... 2 8 ● ограниченность синуса и косин у са. . 2 8 ● применение классических нер а венств …………………… …….. 2 9 2.4 . Использование монотонности ф ун к ций ……………………………… . 30 ● монотонность функции на множ е стве R …………… … … … … 30 ● монотонность функции на промежу т ке …………………… ….. 3 1 ● функции разной монотонности ….. 3 3 2.5. Графический метод …………… …. 3 4 3. Геометрические мет о ды решения 3 5 3.1. Расстояние на координатной пр я мой …………………………… ……. 3 5 3.2. Расстояние на координатно й плоск о сти …………………………… … 3 6 3.3. Векторная интерпретация неравенс т ва …………………… ……… 3 7 Упражн е ния ……………………… …. 3 8 Ответы ……………………………….. 45 Список и источники литерат у ры … 4 7 МАТЕМАТИКА ЕГЭ 201 1 (типовые задания С 3) Методы решения неравенств с одной переменной Корянов А. Г. , г. Брянск, akory a nov @ mail . ru Прокофьев А.А. , г. Москва, [email protected] Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 2 В зависимости от трактовки или инте р- претации неравенства различают алге б- раический, ф ункциональный или геоме т- рический подходы в решении нер а венств. Первые два подхода различаются в п о- нятии неравенства, которое рассматрив а- ется либо как сравнение двух выраж е ний, либо как сравнение двух функций. При алгебраическом подходе выполн я- ют равносильн ые общие или части ч ные прео б разования неравенств (над обеими частями неравенства или отдельных в ы- ражений, входящих в неравенс т во). При функциональном подходе испол ь- зуют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.), входящих в да н ное нер а венство. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно зам е- няемы. Это можно проследить, нач и ная с определения неравенства. Далее в прео б- разованиях неравенства мы испол ь зуем утверждения, придерживаясь алгебраич е- ской или функциональной линии. Н апр и- мер, утверждение «Если обе части нер а- венства) () (x h x g возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим нер а- венство) () (1 2 1 2 x h x g n n , равн о сильное данному» можно заменить другим утве р- ждением «По свойству строго возраста ю- щей фун кции n t y n , 1 2 N , на R нер а- венства) () (x h x g и) () (1 2 1 2 x h x g n n ра в носильны » . Основой геометрического подхода я в- ляется интерпретация неравенств и их р е- шений на координатной прямой, коорд и- натной плоскости или в пространстве, что позволяет перейти к равносильным нер а- венствам, опираясь на геометрические у т- верждения. 1. Алгебраические методы реш е ния Если исходить из определения нераве н- ства, в котором в обеих частях зап и саны выражения с переменной, то при решении неравенств исп ользуют прео б разования (возведение в четную или нечетную ст е- пень, логарифмирование, потенциров а- ние), позволяющие пр и вести неравенство к более простому виду. В процессе прео б- разований множество р е шений исходного неравенства либо не меняется, либо ра с- ширяетс я (можно п о лучить посторонние решения), либо с у жается (можно потерять решения). П о этому важно знать, какие преобразования неравенства явл я ются равносильными и при каких усл о виях. 1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупн о сти систем Ка к правило, преобразования испол ь- зуют для того, чтобы в неравенстве осв о- бодиться от знаков корней, от знаков м о- дуля, от степеней, от знаков логари ф ма. Поэтому ниже приведены схемы реш е- ния некоторых стандартных нер а венств определенного вида. При этом о т мети м, что на практике некоторые цепочки пр е- образований делают короче, пр о пуская некоторые очевидные преобразования. Например, вместо длинной цепочки пр е- образ о ваний N n x g x f n n ,) () (2 2 , 0) (, 0) (,) () (2 2 2 2 x g x f x g x f n n n n , 0) (), () (0) (, 0) (), () (x g x g x f x g x f x g x f используют краткую схему решения N n x g x f n n ,) () (2 2 , . 0) (), () (x g x g x f Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 3 В общем случае, если решение нераве н- ства не укладывается в стандартную сх е- му, ход решения разбивают на несколько л о гически возможн ы х случа ев. При мер 1 . (МИОО, 2009). Решите н е- равенство 2 2 1 5 1 9 6 3 x x x x x 2 2 1 5 1 9 6 4 x x x . Решение. Так как 2 2) 3 (9 6 x x x , то о бласть допустимых значений переме н- ной x определяется усл о виями: . 4 , 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 x x x x x x Исходное н еравенство при получе н ных ограничениях для пе ременной x равн о- сильно н е равенству 0 4 3 1 5 1 9 6 2 2 x x x x x . (*) Так как 0 1 5 1 9 6 2 2 x x x , то ра с- смотрим два случая. 1. 1 | 3 | 0 1 9 6 2 x x x , что возможно при 2 x и ли 4 x . Значит, с учетом полученных ранее ограничений, 2 x – решение, так как в этом случае л е- вая часть неравенства (*) равна н у лю. 2. 0 1 9 6 2 x x . Тогда неравенс т- во (*) равносильно неравенству 0 3 4 0 4 3 2 x x x x x 0) 3)(1 (x x x . На числовой прямой Ox (рис.1) дано графическое представление решения п о- следнего неравенства. Замечание. При решении неравенства 0) 3)(1 (x x x использован метод инте р- валов (см. разде л «Метод интерв а лов»). С учетом полученных ранее огранич е- ний записываем ответ. Ответ: . 5 4 , 4 3 , 2 , 1 0 x x x x Пример 2 . (МИЭТ, 2000). Решите н е- равенство 3 2) 1 (2) 2 (2 x x x . Решение. Выполняя равносильные пр е- образования данного неравенства, пол у- чим: 3 2) 1 (2) 2 (2 x x x 0 3 2) 1 (2 4 4 2 x x x x 0 3 2 3 2) 1 (2 1 2 2 x x x x x 0 3 2 3 2) 1 (2) 1 (2 2 x x x x 0 3 2) 1 (2 x x 0 3 2 1 x x 2) 1 (3 2 , 0 1 1 3 2 x x x x x 2 2 , 1 2 x x x . Ответ: 2 . неравенства, содерж ащие иррациональные выражени я Приведем некоторые стандартные сх е- мы для решения иррациональных нер а- венств, в которых используют возвед е ние в натуральную степень обеих частей нер а- венс т ва. ● ; 0) (), () () () (2 2 x g x g x f x g x f n n (1) ● ; 0) (), () () () (2 2 x g x g x f x g x f n n (2) x Рис. 1 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 4 ● ; 0) (, 0) (), () () () (2 2 x g x f x g x f x g x f n n (3) ● ; 0) (, 0) (), () () () (2 2 x g x f x g x f x g x f n n (4) ● ; 0) (, 0) (, 0) (), () () () (2 2 x g x f x g x g x f x g x f n n (5) ● ; 0) (, 0) (, 0) (), () () () (2 2 x g x f x g x g x f x g x f n n (6) ●) () () () (1 2 1 2 x g x f x g x f n n ; (7) ●) () () () (1 2 1 2 x g x f x g x f n n , (8) где символ в схемах (7) и (8) заменяет один из знаков н е равенств: . , Пример 3 . Решите неравенство x x 2 18 . Решение. Если 0 2 x или 0 2 x , то исходное нер а венство не выполняется, так как 0 18 x . Пусть 0 2 x , тогда пр и возведении обеих частей неравенства в квадрат пол у- чим на ее области определения и при у с- ловии 0 2 x равносильное нераве н ство. . 2 , 18 , 0) 2)(7 (0 2 , 0 18 ,) 2 (18 2 x x x x x x x x На рис. 2 представлен способ графич е- ской интерпретации получения решения последней системы неравенств. В итоге получаем 2 18 x – реш е- ние системы. Ответ: 2 18 x . Для решения данного неравенства мо ж- но использовать схему (3). Тогда п о лучим, что данное неравенство равносильно си с- теме. 2 , 18 , 0) 2)(7 (0 2 , 0 18 ,) 2 (18 2 x x x x x x x x В отличие от рисунка 2 другой способ графического представления решения п о- следней системы неравенств с использов а- нием одной числовой прямой Ox пре д- ставлен на рис. 3 . Пример 4 . (МИЭТ, 1999). Решите н е- равенство. 3 2 9 10 2 2 x x x x Решение. Используя схему (6), пол у- чим, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем: (I) . 0 3 2 ,) 3 2 (9 10 2 2 2 2 x x x x x x и (II) 0 3 2 , 0 9 10 2 2 x x x x Для системы (I) имеем: 0 3 2 2 x x при) ; 3 1 ; (x ; Первое неравенство системы (I) привод и м к виду: 2 2) 3 () 1 () 9)(1 (x x x x 0) 9 () 3)(1 () 1 (2 x x x x 0) 2 5 () 1 (2 x x x x 2 x 2 Рис. 3 2 x 2 x x Рис. 2 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 5 0 2 17 5 2 17 5) 1 (x x x x . Заметим, что 2 1 2 17 5 0 , а 5 2 17 5 2 9 . На числовой прямой Ox (с м. рис. 4) д а- но графическое представление решения п ерво го н е равенств а системы (I) . Тогда решением системы (I) являются (см. рис. 5) все значения 2 17 5 ; 3 } 1 { x . Для системы (II) имеем: 0 9 10 2 x x при) ; 1 9 ; (x ; 0 3 2 2 x x при) 3 ; 1 (x . Следовательно, решением системы (II) будет) 3 ; 1 (x . Объединяя решения (I) и (II), получ а ем ответ. Ответ: 2 17 5 ; 1 . При решении данного в примере 4 н е- равенства использован формальны й пер е- ход к равносильной совокупности по сх е- ме (6). Рассмотрим содержательную ст о- рону этого п е рехода. Если 0 3 2 2 x x , то обе части нер а- венства неотрицательны. После возвед е- ния в квадрат обеих частей неравенства получим на его области определе ния и при условии 0 3 2 2 x x равносильное н е- равенство, то есть систему неравенств. 0 3 2 , 0 9 10 ,) 3 2 (9 10 2 2 2 2 2 x x x x x x x x . 0 3 2 ,) 3 2 (9 10 2 2 2 2 x x x x x x Пусть 0 3 2 2 x x . Так как 0 9 10 2 x x , то исходное неравенство выполняется на о б ласти е го определения, т. е. получаем систему нер а венств. 0 3 2 , 0 9 10 2 2 x x x x Пример 5 . (МИОО, 2009). Решите н е- равенство. 1 7 14 6 7 2 3 x x x x x Решение. Выполняя равносильные п е- реходы, получим 1 7 14 6 7 2 3 x x x x x 1 , 7 14 6 1 7 2 3 x x x x x x 1 , 0 1 , 0 7 , 7 14 6) 1)(7 (2 3 x x x x x x x x 7 1 , 0 6 5 2 3 x x x x . 7 1 , 0) 3)(2 (x x x x На рис. 6 представлен а графическая и н- терпретация получения решения после д- ней системы неравенств. Ответ: . 7 3 , 2 1 x x x Рис. 6 x 0 5 1 7 2 5 1 7 2 3 Рис. 5 x 0 5 1 7 2 5 1 7 2 3 Рис. 4 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 6 Пример 6 . Решите неравенство 2 2 3 2 x x . Решение. Обозначим, 2 t x где 0 t . Тогда выразим 2 2 t x и прив е- дем данное неравенство к виду 2 7 2 2 t t . Так как 0 2 t , то получаем равн о- сильное неравенство 4 4 7 2 2 2 t t t или 0 3 4 2 t t при 0 t . Отсюда получаем. 3 1 0 0 3 1 t t t t t Возвращаемся к переменной x: 9 2 1 2 0 3 2 1 2 0 x x x x . 11 3 2 x x Ответ: 11 ; 3 2 x x . Пример 7 . (М ИЭТ, 2002). Решите н е- равенство 2 2 15 8 1 1 2 1 8 1 x x x x . Решение. Область определения данн о го неравенс тва определяется условиями: 0) 8)(1 2 (, 0 1 2 0 8 0 2 15 8 , 0 1 2 0 8 2 x x x x x x x x 8 5 , 0 x . Запишем исходное неравенство в сл е- дующем виде) 1 2)(8 (1 1 2 1 8 1 x x x x . (*) Так как на области определения исхо д- ного неравенства 0) 1 2)(8 (x x , то, у множив обе части неравенства (*) на) 1 2)(8 (x x , получим неравенство, равносильное и с ходному: 1 1 2) 1 2)(8 (8) 1 2)(8 (x x x x x x 1 8 1 2 x x x x 8 1 1 2 . Левая и правая части п оследне го нер а- венств а неотрицательны при 8 5 , 0 x , поэтому после возведения их в квадрат и приведения подобных членов получим н е- равенство 2) 8 3 () 8 (4 , 0 8 , 0 8 3 8 3 8 2 x x x x x x 8 4 0) 4)(8 9 (, 8 , 3 8 x x x x x . На рис. 7 представлена графи ческая и н- терпретация получения решения после д- ней системы нер а венств. С учетом условия 8 5 , 0 x получ а- ем ответ. Ответ: 8 4 x . 4 x 8 3 8 9 8 Рис. 7 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 7 неравенства, содержащие показательные выраж е ния Приведем некоторые стандартные сх е- мы для решения показательных нер а- венств, в которых используют логарифм и- рование обеих частей неравенс т ва. ● . 1) (0), () (, 1) (), () ()) (()) (() () (x x f x g x x g x f x x x g x f (9) ● . 1) (, 1) (0), () (, 1) (), () ()) (()) (() () (x x x f x g x x g x f x x x g x f (10) В частности: ● Если число 1 a , то) () () () (x g x f a a x g x f . (11) ● Если число 1 0 a , то) () () () (x g x f a a x g x f . (12) ● . 0) (, 0) () (, 0) (, 0) () ()) (()) (() () (x x f x g x x g x f x g x f x x (13) Пример 8 . Решите неравенство 1 2 1 1 log 2 2 x . Решение. 1 - й способ. Область допуст и- мых знач е ний переменной x определяется усло вием: . 1 , 1 0 1 2 x x x При допустимых значениях переменной пр еобразуем левую часть данного нер а- венства 1 1 log 1 log 1 1 log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x x x 1 1) 1 (2 1 2 x x . Получаем неравенство. 2 1 , 1 2 0 1 2 1 1 1 2 2 2 x x x x x 2 - й способ. Так как 0 2 1 1 и 1 2 1 0 , то, и спользуя схему (12), пол у чаем: 0 2 1 2 1 1 2 1 1 log 1 log 2 2 2 2 x x 0 1 log 2 2 x 1 , 1 , 2 2 , 0 1 , 1 1 2 2 x x x x x . 2 1 , 1 2 x x О т вет:) 2 ; 1 () 1 ; 2 (. Замечание. При решении неравенства 0 1 log 2 2 x использована станд артная схема решения логарифмических нер а- венств (см. раздел «неравенства, содерж а- щие логарифмические выражени я »). Пример 9 . Решите неравенство 1) 1 (2 x x x . Решение. Приведем неравенство к в и ду 0 2 2) 1 () 1 (x x x x x и воспол ь зуемся схемой (9). 1) 1 (2 x x x) 2 (. 1 1 0 , 0) 1 (, 1 1 , 0 2 2 x x x x x x Решим систему (1) полученной сов о- купности: 1 1 , 0 2 x x x 0) 1 (, 0 x x x 1 0 1 , 0 x x x . Решим систему (2) сов о купности: Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 8 0) 1 (0 1 , 0 . 1 1 0 , 0 2 2 x x x x x x x x . 0 1 , 0 0) 1 (, 0 x x x x x Нет р е шений. О т вет: 1 x . При решении данного неравенства и с- пользован формальный переход к равн о- сильной совокупности по схеме (9). Ра с- смотрим содержательную сторону этого пер е хода. Выражение x x x) 1 (2 положител ь но, так как 0 1 2 x x при всех знач е ниях R x . Прологарифмируем обе части да н- ного неравенства 1 lg) 1 lg(2 x x x 0) 1 lg(2 x x x . 1 1 , 0 , 1 1 , 0 0) 1 lg(, 0 , 0) 1 lg(, 0 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x неравенства, содержащие логарифмические выраж е ния Приведем некоторые стандартные сх е- м ы для решения логарифмических нер а- венств, в которых используют потенцир о- вание обеих частей нераве н ства. ●) (log) (log) () (x g x f x x . 1) (0 , 0) () (, 1) (, 0) () (x x f x g x x g x f (1 4) В частности: ● Если число 1 a , то 0) () () (log) (log x g x f x g x f a a . (1 5) ● Если число 1 0 a , то. 0) () () (log) (log x f x g x g x f a a (1 6) ●) (log) (log) () (x g x f x x . 1) (0 , 0) () (, 1) (, 0) () (x x f x g x x g x f (1 7) В час т ности: ● Е с ли число 1 a , то 0) () () (log) (log x g x f x g x f a a . (1 8) ● Если число 1 0 a , то 0) () () (log) (log x f x g x g x f a a . (1 9) Пример 10 . Решите неравенство). 3 (log 2 log 1 , 0 2 1 , 0 x x x Решение. Так как основание 0,1 лог а- рифмов, стоящих в обеих частях нераве н- ства, удовлетвор яют условию 1 1 , 0 0 , то, используя схему (1 9), пол у чаем, что данное неравенство равн о сильно системе. 0) 2)(1 (, 0) 5)(5 (0 2 , 3 2 2 2 x x x x x x x x x На рис. 8 представлена графическая и н- терпретация получения решения после д- ней системы неравенств. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 9 О т вет: . 5 ; 1 2 ; 5 Пример 11 . (МИОО, 2009). Решите н е- раве н ство) 7 14 6 (log) 7 (log 2 3 x x x x x x) 1 (log x x . Решение. Выполняя равносильные п е- реходы, получим, что данное нераве н ство равносильно следующей системе нер а- венств. 1), 7 14 6 (log) 1)(7 (log 2 3 x x x x x x x x В соответствии со схемой (1 7) для р е- шения необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равн о сильна следующей 7 1 , 7 14 6) 1)(7 (2 3 x x x x x x 7 1 , 0 6 5 2 3 x x x x . 7 1 , 0) 3)(2 (x x x x На рис. 9 представлена г рафическая и н- терпретация получения решения после д- ней системы неравенств. Ответ:) 7 ; 3 () 2 ; 1 (. Замечание. В п риведенном решении данного неравенства в большей степени отражена математическая часть, чем мет о- дическая. При переходе от исходного нер а- венства к первой системе учтена часть о б- ласти определения нераве н ства 0 1 x . В следующей системе учт е но еще условие 0 7 x и 0) 1)(7 (x x . Пример 12 . (ЕГЭ 2010) . Решите нер а- вен ство) 7 (log) 12 (log) 7 (log | | log 2 3 3 1 2 1 2 x x x x x x . Реше ние. В соответствии с определен и- е м логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполн е нии усл о вий: 12 , 6 , 7 , 0 1 , 0 0 12 , 1 7 , 0 7 , 1 2 , 0 | | 1 x x x x x x x x x x Из системы получаем значения) ; 1 () 1 ; 0 () 0 ; 6 () 6 ; 7 (x . Так как при допустимых значениях п е- ременной x по свойствам логарифма спр а- ведливы р а венства: | | log) 7 (log | | log 7 1 2 1 2 x x x x x x и) 12 (log) 7 (log) 12 (log 7 3 3 x x x x , то исходное неравенство приводится к в и- ду) 12 (log | | log 2 7 7 x x x x) 12 (log log 7 2 7 x x x x . Последнее неравенство равносильно сов о- купности двух систем на множестве) ; 1 () 1 ; 0 () 0 ; 6 () 6 ; 7 (: 0 12 , 6 0 12 , 6 7 12 , 1 7 12 , 1 7 0 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x . 4 3 , 6 7 0) 3)(4 (, 6 0) 3)(4 (, 6 7 x x x x x x x x 2 x Рис. 8 x x Рис. 9 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 10 С учетом области определения данн о го неравенства) ; 1 () 1 ; 0 () 0 ; 6 () 6 ; 7 (пол у чаем ответ. Ответ. ] 4 ; 1 () 1 ; 0 () 0 ; 3 [) 6 ; 7 (. неравенства, содержащие выражения с модул я ми Приме р 13 . (МИЭТ, 2002). Решите н е- равенство 11 4 3 | 9 | 1 x x x . Решение. Данное неравенство равносил ь- но с о вокупности двух систем: (I) 11 4 3 9 1 , 9 x x x x и (II) . 11 4 3 9 1 , 9 x x x x Для системы (I) имеем: 0) 11 4)(9 (38 16 , 9) I (2 x x x x x 0) 11 4)(9 () 26 8)(26 8 (, 9 x x x x x 26 8 x . Для системы (II) имеем: . 4 , 75 , 2 0) 11 4)(9 () 4 (, 9) II (2 x x x x x x Объединяя решения (I) и (II), получ а ем ответ. Ответ: 75 , 2 x , 4 x , 26 8 x . Приведем некоторые стандартные сх е- мы для решения не равенств с модул я ми, которые опираются на определение мод у- ля, его геометрический смысл и свойства. ●), () (), () () () (x g x f x g x f x g x f (20) ●); () (), () () () (x g x f x g x f x g x f (2 1) ●); () (), () () () (x g x f x g x f x g x f (2 2) ●); () (), () () () (x g x f x g x f x g x f (2 3) ●) () () () (2 2 x g x f x g x f 0) () () () (x g x f x g x f ; (2 4) ●) () () () (2 2 x g x f x g x f 0) () () () (x g x f x g x f . (2 5) Пример 14 . Решите неравенство 3 2 4 2 5 7 x x x x 3 2 4 2 5 7 x x x x . Решение. Используя схему (20) получ а- ем, что д анное неравенство равносил ь но системе н е равенств) 3 2 4 (3 2 4 , 3 2 4 3 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 7 2 5 7 x x x x x x x x x x x x x x x x или после приведения подобных членов 1 0 0 1 3 0 4 0 3 2 2 5 2 x x x x x x x . Ответ: 1 0 x . Пример 1 5 . Решите неравенс т во 0 1) 1 2 (log) 1 2 (log 3 9 x x . Решение. Данное неравенство равн о- сильно следующему) 1 2 (log 1) 1 2 (log 9 3 x x . Используя схему (2 3) , получаем, что это неравенство, а значит и исходное, равн о- сильно совокупности нер а венств) 1 2 (log 1) 1 2 (log), 1 2 (log 1) 1 2 (log 9 3 9 3 x x x x 1) 1 2 (log 5 , 0) 1 2 (log), 1 2 (log 5 , 0 1) 1 2 (log 3 3 3 3 x x x x Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 11 . 9 1 1 2 0 , 9 1 2 2) 1 2 (log , 3 2) 1 2 (log 3 3 3 x x x x Отсюда получаем ответ. Ответ: 9 4 2 1 x , 2 1 9 3 x . Пример 1 6 . Решите неравенс т во 1 2 1 | 2 2 | x x x x . Решение. Используя схему (22), пол у- чаем, что данное неравенство равносил ь но совокупности н е равенств. 1 2 1 | 2 2 | , 1 2 1 | 2 2 | x x x x x x x x Используя схемы (20) и (22), получ а ем, что эта совокупность равносильна сл е- дующей. 2 2 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x . 0 , 1 , 0 , 1 0 , 4 2 , 2 2 , 1 1 1 x x x x x x x x Ответ:) ; 1 () 1 ; 0 () 0 ; (. Для решения неравенств вида:) (|) (| ... |) (| |) (| 2 1 x g x f x f x f n , где символ заменяет один из знаков н е- равенств: , прим еняют метод промежутков. Для этого находят ОДЗ нер а- венства, определяют точки разрыва фун к- ций, ...), (), (2 1 x f x f) (x f n и находят корни с о вокупности уравнений. 0) (..... .......... , 0) (, 0) (2 1 x f x f x f n На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ, фун к- ции, сто я щие под знаком модуля, имеют постоянный знак. Поэтому исходное нер а- ве н ство на каждом промежутке заменяется на неравенство, не содержащее знаков а б- солютной величины и равносильное и с- ходному. Пример 1 7 . Решить неравенство x x x 3 | 2 | | 1 | . Решение. Решением сов о купности 0 2 , 0 1 x x являются числа 1 и 2. Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка) 1 ; (,) 2 ; 1 [ и) ; 2 [ . Освобождаясь от знаков мод у лей, с учетом знаков выр а жений под знаком модуля решим данное неравенство на к а- ждом из этих промежутков (см. рис. 1 0) . Если 1 x , то исходное нераве н ство равносильно неравенству 0 3 2 1 x x x x . Получаем, что 0 x есть решение и с- ходного неравенства на рассматрива е мом пром е жутке. Если 2 1 x , то исхо д ное неравенство равносильно нер а венству 2 3 2 1 x x x x . Следовательно, на этом промежутке решений нет. Если 2 x , то ис ходное неравенство равносильно неравенству 6 3 2 1 x x x x . Получаем, что 6 x есть решение и с- ходного уравнения на рассматр и ваемом промежу т ке. Объединяя полученные решения, зап и- шем ответ. Ответ: 6 , 0 x x . x 1 2 x 1 x 2 Рис. 10 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 12 расщеплени е неравенств Если левая часть неравенства предста в- ляет собой произведение двух выр а жений, а правая часть равна нулю, то схема реш е- ния неравенства опирается на правило знаков при умножени и (делени и) полож и- тельных или отрицательных чисел. ● . 0) (, 0) (, 0) (, 0) (0) () (x g x f x g x f x g x f (2 6) ● . 0) (, 0) (, 0) (, 0) (0) () (x g x f x g x f x g x f (2 7) ● . 0) (, 0) (, 0) (, 0) (0) () (x g x f x g x f x g x f (2 8) ● . 0) (, 0) (, 0) (, 0) (0) () (x g x f x g x f x g x f (2 9) Пример 1 8 . Решите неравенство 1 5 1 9 6 3 2 x x x x x 1 5 1 9 6 4 2 x x x . Решение. П риведем дан ное неравенс т- во к след ующ е му виду: 0 1 5 1 9 6 4 3 2 x x x x x . В соответствии со схемой п о лученное неравенство равносильно сов окупности си с тем (I) и (II) : (I)) 2 (; 0 1 5 1 | 3 |) 1 (, 0 4 3 x x x x (II)) 4 (. 0 1 5 1 | 3 |) 3 (, 0 4 3 x x x x Решим каждое неравенство системы (I). Для неравенства (1) имеем: 0) 3)(1 (0 4 3 x x x x x . 3 , 1 0 x x . Для неравенства (2) имеем: 0 1 5 , 0 1 | 3 | , 0 1 5 0 1 | 3 | 0 1 5 1 | 3 | x x x x x x 5 4 , 4 2 , 4 2 , 4 1 5 , 1 | 3 | , 1 5 , 1 | 3 | x x x x x x x x x 2 x . Значит все значения ] 1 ; 0 (x – решени я си с темы (I). Найдем решение системы (I I). Для н е- равенств а (3), используя решение (1), им е- ем: . 3 1 , 0 0 4 3 x x x x . Для неравенства (4), используя реш е ние (2) и учитывая ограничения 4 , 5 1 5 , 0 5 x x x x им е ем: ] 5 ; 4 () 4 ; 2 [ 0 1 5 1 | 3 | x x x . Значит все значения) 3 ; 2 [ x – решени я си с темы (II). Об ъединяя решения систем (I) и (II) , получаем ответ. Ответ: ] 3 ; 2 1 ; 0 (. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 13 1.2. Метод замены в ведение одной новой переме н ной При мер 1 9 . Решите нераве н ство. 3 2 2 x x Решение. Пусть t x , где 0 t . Т о- гда получаем рационал ь ное неравенство 0 2) 4)(1 (3 2 2 t t t t t . Решая последнее неравенство методом интерв а лов, получаем: . 16 4 , 1 0 4 2 , 1 0 4 2 , 1 0 x x x x t t Ответ: ] 16 ; 4 (] 1 ; 0 [ . Пример 20 . (МИОО, 2009). Решите н е- равен ство. 1 1 5 6 1 5 6 1 2 2 x x x x Решение. Пусть t x x 1 5 6 2 , где 0 t , тогда получаем систему неравенс т в 0 , 0 1 1 1 1 0 , 1 1 1 1 2 2 t t t t t t 1 0 0 , 0) 1)(1 (t t t t t . Выполняя обратную замену, получаем. 0) 1 3)(1 2 (, 0) 5 6 (0 1 5 6 , 1 1 5 6 2 2 x x x x x x x x Отсюда получаем (см. рис. 1 2) 3 1 0 x или 6 5 2 1 x . Ответ: 3 1 0 x или 6 5 2 1 x . Пример 2 1 . (ЕГЭ 2010) . Решите нер а- венс т во 1 7 5 7 log 1 7 5 7 log 16 2 2 5 16 2 2 5 x x x x 2 2 2 5 1 7 log x . Р ешение. В соответствии с определен и- е м логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполн е нии усл о вий: . 0 1 7 , 0 1 7 5 7 2 2 16 2 2 x x x Сдела ем замену t x 2 7 . Так как нер а- венство 0 2 x выполняется при всех x , то по свойству степени с основанием бол ь- ше единицы получаем 1 7 7 0 0 2 x . Отсюда 1 0 t . С учетом последнего н е- равенства, запишем п о лученную выше систему 16 2 16 7 0 1 0 , 0 1 7 , 0 1 7) 5 (t t t t t . Исходное неравенство с переменной t будет иметь вид 1 7 5 log 1 7) 5 (log 16 5 16 5 t t t t 2 5) 1 49 (log t , где 16 7 0 t . Используя свойство логарифма (при допустимых значениях переменной су м ма л о гарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произвед е ния), получим 2 2 5 2 5 1 7 log) 5 (log t t 2 2) 1 49 () 5 (t t , 0 x 5 6 1 3 1 2 Рис. 1 2 2 t Рис. 11 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 14 так как 0) 5 (2 t и 0) 1 49 (2 t при 16 7 0 t . Решим последнее неравенс т во: 2 2) 1 49 () 5 (t t 0) 1 49 () 5 (2 2 t t 0) 1 49 () 5 () 1 49 () 5 (t t t t 25 3 12 1 0) 6 50)(4 48 (t t t . С учетом ограничения на t получаем 16 7 0 t . Выполнив обратную замену, им е ем 16 2 7 7 x . Отсюда. 4 , 4 16 2 x x x . Ответ.) ; 4 () 4 ; (. Пример 22 . (М ФТИ, 2009). Решите н е- равен ство 4 1 log 2 log 2 1 x x 5 | 2 log) 4 4 (log | 1 2 x x . Решение. Область определения данн о го неравенства определяется условиями. 0 , 0 1 1 1 , 0 1 x x x x Так как при допустимых значениях x справедливо равенство) 1 (log 1 2 log 2 1 x x , т о, сделав замену t x) 1 (log 2 , по лучим неравенство 5 2 1 2 1 t t t t . Полагая u t t 1 , получим неравенс т во 5 | 2 | | 2 | u u . Используем геометрический способ решения последнего неравенства (см. ра з- дел «Геометрические методы реш е ния»). Расстояние между точками – 2 и 2 меньше 5, поэтому для каждой из точек отрезка ] 2 ; 2 [ сумма расстояний до т о чек – 2 и 2 меньше 5. Рассмотрим точки справа и сл е- ва от отрезка ] 2 ; 2 [ . Для точки, лежащей праве е точки 2, сумма расстояний от точек – 2 и 2 складыв а ется из длины отрезка ] 2 ; 2 [ и удвоенн о го расстояния от этой точки до точки 2. Искомые точки находя т- ся правее точки 2 на расстоянии меньше 5 , 0 2:) 4 5 (. Аналогично искомые то ч- к и находятся слева от точки – 2 на рассто я- нии меньше 0,5. Следовательно, 5 , 2 5 , 2 5 | 2 | | 2 | u u u 5 , 2 | | u . Тогда 5 , 2 | | 1 5 , 2 1 2 t t t t 2 | | 5 , 0 0 2 | | 5 | | 2 2 t t t . Последнее неравенство равносильно совокупности двух неравенств 5 , 0) 1 (log 2 , 2) 1 (log 5 , 0 2 2 x x . 1 2 1 4 3 , 3 1 2 2 1 1 4 1 , 4 1 2 x x x x Ответ. 1 2 1 4 3 x , 3 1 2 x . введение двух новых переменных Пример 2 3 . (Тренировочная работа МИОО, ЕГЭ 2011) . Решите неравенс т во 2 2 2 2 2 2 2 2) 3 () 2 (2) 5 2 () 3 (1 2) 2 (1 2 x x x x x x x x x x . Решение. Входящие в неравенство в ы- ражения им еют смысл при 2 x и 3 x . При всех остальных x неравенство равносильно следующему 2 2 2 2) 1 () 2 (2) 1 () 3 (2 x x x x 2 2) 5 2 (x x 2 2 2 2) 2 3 (2) 3 4 (2 x x x x 2 2) 5 2 (x x . Заметим, что) 2 3 () 3 4 (5 2 2 2 2 x x x x x x . Пусть u x x 3 4 2 и v x x 2 3 2 . Тогда последнее неравенство пр и мет вид 2 2 2) (2 2 v u v u 2 2 2 2 2 2 2 v uv u v u Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 15 0 2 2 2 v uv u 0) (2 v u . Отсюда следует, что v u . Выполняя обратную замену, получаем 2 3 3 4 2 2 x x x x , т.е. 7 1 x . Ответ. 7 1 . тригонометрическая подстановка Если область определения данного н е- равенства совпадает с областью знач е ни й тригонометрической функции, то иногда удобно использовать одну из з а мен: , sin t a x 2 ; 2 t , или t a x cos , ; 0 t , для неравенств, содержащи х выраж е ния 2 2 x a ; , tg t a x 2 ; 2 t , или t a x ctg , ; 0 t , для неравенств, содержащи х в ы ражения 2 2 x a ; , sin | | t a x 2 ; 0 t , или, cos | | t a x 2 ; 0 t , для неравенств, с о держащи х выраж ения 2 2 a x . Пример 2 4 . Решите неравенство x x x 3 4 1 3 2 . Решение. Для решения неравенс т ва 0 3 4 1 3 2 x x x используем м е тод интервалов. 1. Пусть x x x x f 3 4 1) (3 2 . 2. ] 1 ; 1 [) (f D . 3. Найдем нули функции) (x f , реш ив уравнение 0 3 4 1 3 2 x x x . Так как уравнение определено при всех значениях ], 1 ; 1 [ x то сделаем замен у t x sin , 2 ; 2 t . Ура в нение примет вид 0 sin 3 sin 4 cos 3 t t t или 0 3 sin cos t t . Далее имеем 0 3 sin 2 sin t t 0 4 2 cos 4 sin 2 t t , 2 8 3 , 4 , 0 4 2 cos , 0 4 sin k t n t t t где. , Z k n Поскольку промежутку 2 ; 2 пр и- надлежат три числа, 4 8 и 8 3 , то корнями рассматриваемого уравнения я в- ляются числа, 4 sin , 8 sin и 8 3 sin . Так как 8 3 8 4 , то в с и лу возрастания функции t y sin на пром е- жутке 2 ; 2 имеем 8 3 sin 8 sin 4 sin . 4. Найдем п р омежутки знакопостоянс т- ва фун к ции) (x f . Так как) (x f непрерывна, как сумма непрерывных функций, и 0) 0 (f , то п о- лучаем, что 0) (x f при всех значен и ях 8 3 sin ; 8 sin 2 2 ; 1 x . Ответ: 8 3 sin ; 8 sin 2 2 ; 1 . Замечание. Если учесть, что 2 2 2 8 sin , 2 2 2 8 3 sin , то о т- вет можно записать в следующем виде: 2 2 2 ; 2 2 2 2 2 ; 1 . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 16 1.3. Разбиение области определения нер а венства на подмножества Разбиение ОДЗ неизвестной неравенс т- ва на промежутки позволяет упростить н е- которые неравенства. Решение неравенс т- ва рассматривают отдельно на каждом промежутке. Пример 2 5 . Решите неравенство. 2 2 2 2 x x Решение. Данное неравенство опред е- лено при всех значениях х. Рассмотрим два случая. 1. Пусть 0 x , тогда неравенство пр и- мет сл е дующий вид: 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x x (в с и лу возрастания функции t y 2). 2. Если 0 x , то имеем: 0 , 2 , 0 1 2 2 2 2 2 1 2 2 t t t t x x x , 1 2 2 , 1 2 2 0 , 2 , 1 2 , 1 2 x x x t t t t). 1 2 (log), 1 2 (log 2 2 x x С учетом условия 0 x получаем, что) 1 2 (log 2 x является решением нер а- венства на рассма триваемом промежу т ке, поскольку 0 1 log) 1 2 (log 2 2 , а 1 2 log) 1 2 (log 2 2 . Объединим решения, полученные в первом и втором случаях. Ответ: . ; 2 1) 1 2 (log ; 2 Пример 2 6 . Решите неравенство. 2 2 2 log 3 4 log 2 2 2 x x x Решение. Область определения данн о го н е равенства определяется условием: 0) 2)(2 (x x . Отсюда получаем два пр о межутка:) 2 ; (и) ; 2 (. Рассмотрим два случая. 1. Пусть 2 x . Тогда неравенство примет с ледующий вид:) 2 (log 3) 2 (log) 2 (log 2 2 2 x x x 2) 2 (log 3 2 x или 1) 2 (log) 2 (log 2 2 2 x x . Отсюда) 2 (2) 2 (2 x x или 0) 6 (x x . С уч е том условия 2 x получаем 6 x . 2. Пусть 2 x . В этом случае нераве н- ство примет сл е дующий вид:) 2 (log 3) 2 (log) 2 (log 2 2 2 x x x 2) 2 (log 3 2 x и ли 1) 2 (log) 2 (log 2 2 2 x x . Отсюда) 2 (2) 2 (2 x x или 0 8 2 2 x x . Так как уравнение 0 8 2 2 x x не имеет корней и старший коэффициент п о- ложителен, то последнее неравенство в ы- полняется при всех действительных зн а- чениях x , т.е. на всем рассматрива е мом промежутке. В этом случа е все значения 2 x я в- ляются решениями неравенства. Объединим полученные решения. Ответ: 2 x или 6 x . Пример 2 7 . Решите неравенство 1 7 2 1) 5 (2) 3 (2 / 3 15 2 2 x x x x . Решение. ОДЗ н еизвестной данного н е- равенства находим из условия 0 15 2 2 x x , т.е. 3 x и ли 5 x . Рассмотрим исходное неравенство на двух промежутках: 1) 3 x и 2) 5 x . 1. При 3 x исходное неравенство равносильно нер а венству Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 17 1 2 7 15 2 2 15 2 2 3 15 2 2 x x x x x x x 1 7 2 1 3 15 2 2 15 2 2 15 2 2 x x x x x x x . Поскольку при 3 x верн о каждое из неравенств: 0 3 x , 0 15 2 2 x x , 1 7 15 2 2 x x , 1 2 15 2 2 x x , то в этом случае левая часть неравенства меньше либо ра в- на 1 для любого значения x из этого пр о- межутка. 2. П усть 5 x . Заметим, что неравенс т- во 15 2 3 2 x x x справедл и во на всем этом промежутке. Это следует из его р е шения 15 2 3 2 x x x 3 15 2 9 6 2 2 x x x x x . В силу возрастания функции, t b a y где, 0 b a 0 t , из неравенства 1 t b a следует t t b a . Поэтому имеем 1 2 7 15 2 2 15 2 2 x x x x , причем раве н- ство достигается при 5 x на рассматр и- ваемом промежутке, при всех 5 x спр а- ведливо строгое неравенс т во. Отсюда получаем 3 15 2 2 3 15 2 2 2 7 x x x x x x 15 2 2 15 2 2 2 x x x x . Тогда 1 2 7 15 2 2 15 2 2 3 15 2 2 x x x x x x x при 5 x и 1 2 7 15 2 2 15 2 2 3 15 2 2 x x x x x x x при 5 x . Значит исходное неравенство на ра с- сматриваемом промежутке выполн я ется только при 5 x . Объединим решения, полу ченные в первом и втором случаях. Ответ. 3 x и 5 x . 2. Функционально - графические мет о ды решения Область применения свойств функции при решении неравенств очень широка. Наличие свойств (ограниченность, мон о- тонность и т.д.) функций, входящих в н е- равенства позволяет применить неста н- дартные методы решения к стандартным по ф ормулировке задачам – неравенс т вам. Начнем с примера, связанного с композицией функций. Пример 2 8 . (МИЭТ, 2002). Пусть 2 2 9 33 14) (x x x x f , x x g) (. Решите неравенство) 4 () 9 (f x g f . Решение. Так как, 9) 9 (x x g , то) 9 () 9 (x f x g f 2 2) 9 (9 33 9 14) 9 (x x x . Так как 1 4 9 33 4 14 4) 4 (2 2 f , то н е- равенство) 4 () 9 (f x g f пр и мет вид 1) 9 (9 33 9 14) 9 (2 2 x x x . Сделав замену 9 x t , где 0 t , п о- лучим систему 0 , 0 9 12 7 0 , 1 9 33 14 2 2 2 2 t t t t t t t t 3 , 0 , 0 3 4 0 , 0) 3)(3 () 4)(3 (t t t t t t t t t . 4 3 , 3 0 t t Возвращаясь к переменной x , получ и м 16 9 9 , 9 9 0 4 9 3 , 3 9 0 x x x x . 25 18 , 18 9 x x Ответ: 18 9 x , 25 18 x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 18 2.1. Использование области определ е ния функции Предварительный анализ области д о- пустимых значений неизвестной нераве н- ства иногда позволяет получить р е шения без преобразова ний неравенства. Пример 2 9 . (МИЭТ, 1998). Решите н е- равенство 9 2 3 3 2 x x x . Решение. Область определения нер а- венства задается условием: 2 1 0 2 3 2 x x x . Для этих значений x получаем: 8 1 2 1 3 x x 1 9 8 3 x , т.е. правая часть исходного неравенства отрицательна на его области определ е ния. Следовательно, неравенство спр а ведливо при всех 2 1 x . Ответ: 2 1 x . Пример 30 . Решите неравенство 5 log 1 5 6 5 2 x x x 0 1 10 2 12 1 2 x x x . Решение. Область определения нер а- вен с т ва задается условиями: . 5 , 1 0 , 0 10 2 12 , 0 5 6 2 2 x x x x x x x Подставляя полученные значения в данное неравенство, получим: п ри 1 x что исходное неравенство примет вид 0 1 5 1 log 5 или 0 0 , т.е. будет н е- верно; п ри 5 x имеем верное неравенство 0 5 1 . Ответ: 5. 2.2. Использование непрерывности фун к ции Сформулируем свойство непреры в ных функций: если функция) (x f непр е рывна на и н тервале и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет пост о- янный знак. На этом свойстве основан метод реш е- ния неравенств с одной переменной – м е- тод интервалов. Обобщения метода инт е р- валов связаны с расширением кла с са функций, входящих в неравенство. В основе метода интервалов лежат следующие положения: 1. Знак произведения (частного) одн о- значно определяется знаками сомнож и- телей (делимого и дел и теля). 2. Знак произведения не изменится (и зм е- нится на противоположный), если изм е- нить знак у четного (нечетного) числа сомножителей. 3. Знак многочлена справа от бол ь шего (или единственного) корня совпадает со знаком его старшего коэффициента. В случае отсутствия корней знак мног о- члена совпадает со знаком его ста р шего коэффициента на всей области опред е- ления. 4. Пусть на промежутке) ; (b a задана возрастающая (убывающая) функция) (x f , причем 0 x – корень уравнения 0) (x f , принадле жащий промежутку) ; (b a . Тогда функция) (x f справа от корня положительна (отрицательна), слева отрицательна (положительна), т.е. при переходе через корень меняет знак. метод интервалов Сформулируем свойство чередования зн ака линейного двучлена) 0 (a b ax: при переходе через зн а чение a b x 0 знак выражения b ax меняется на противоп о- ложный. Знание свойства черед о вания знака линейного двучлена b ax позвол я- ет в дальнейшем не приводить линейные двучлены к каноническому в и ду 0 x x . Свойство двучлена b ax лежит в о с- нове метода интервалов и часто испол ь- Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 19 зуется при решении алгебраических нер а- венств более высоких степеней. Ра с смотри м функцию) (...) () () (2 1 x f x f x f x f n , (*) где i i i b x a x f) (, причем выражения i i b x a и j j b x a попарно различны (0 i a и 0 j a , ; , ... , 2 , 1 n i ; , ... , 2 , 1 n j j i) . Выражению (*) соо т- ветс т вует разбиение числовой прямой на инте р валы точками i i i a b x). ,..., 2 , 1 (n i Метод интервалов опирается на следу ю- щее свойство чередования знака функции (*): при пер е ходе через точку i i i a b x из одного интервала в смежный знак знач е- ния функции (*) меняется на противоп о- ложный. Действительно, при переходе через то ч- ку i i a b x в выражении (*) мен я ет знак только один множ и тель i i b x a . Пример 31 . Реш ите неравенство 0) 3)(3 5 2 (3 2 x x x . Решение. Перепишем неравенство в следующем виде 0) 3)(1)(3 2 (3 x x x , и далее используем метод интерв а лов. 1. Обозначим) 3)(1)(3 2 () (3 x x x x f . 2. R) (f D . 3. 0) (x f ; 0) 3)(1)(3 2 (3 x x x . Отсюда получаем корни уравнения: 1; 1,5; 3 3 . Так как 375 , 3 5 , 1 3 1 3 , то 5 , 1 3 1 3 . 4. Найдем п ромежутки знакопостоянс т ва функции) (x f . Так как 0) 0 (f , то ра с- ставляем знаки в соответствии с пр а вилом знакочередования, как показано на р и с. 1 3 . Получаем все значения) ; 5 , 1 () 3 ; 1 (3 x , при которых 0) (x f . О т вет:) ; 5 , 1 () 3 ; 1 (3 . Неравенство 0) () (x g x f или 0) () (x g x f равносильно неравенству 0) () (x g x f (соо т ветственно 0) () (x g x f) . Нестрогое неравенство 0) () (x g x f или 0) () (x g x f равносильно системе 0) (0) () (x g x g x f нно соответсве 0) (0) () (x g x g x f . На практике неравенство 0) () (x g x f р е- шают, не приводя его к виду 0) () (x g x f , где символ заменяет один из знаков н е- равенств: . , Рассмотрим нераве н ство 0) () (x g x f , где) (x f и) (x g – функции в и да (*). Пример 32. Решите неравенство 3 3 4 3 2 2 2 x x x x . Решение. Приведем неравенство к в и ду 0) 3)(1 () 2)(3 2 (x x x x и используем метод интервалов. 1. Пусть) 3)(1 () 2)(3 2 () (x x x x x f . 2.) ; 3 () 3 ; 1 () 1 ; () (f D . 3. Нули функции) (x f найдем из ура в- нения 0) 2)(3 2 (x x . Корни последн е- го уравнения 1,5 и 2 принадлежат) (f D . 4. На каждом из промежутков) 1 ; (,) 5 , 1 ; 1 (,) 2 ; 5 , 1 (,) 3 ; 2 (,) ; 3 (функция) (x f непрерывна и сохраняет постоя н ный знак. Так как 0) 0 (f , то на пром е жутке) 1 ; (функция 0) (x f . На о с тальных 1 , 5 x 1 3 3 Рис. 13 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 20 промежутках расставляем знаки по прав и- лу знакочередования (см. рис. 14). Следовательно, 0) (x f при всех зн а- чениях) ; 3 () 2 ; 5 , 1 () 1 ; (x . О т вет:) ; 3 () 2 ; 5 , 1 () 1 ; (. первое обобщение метода интерв а лов Пусть дана функция вида) (...) () () (2 1 2 1 x f x f x f x f n k n k k , (**) где i i i b x a x f) (, причем выражения i i b x a и j j b x a попарно различны (0 i a и 0 j a , ; , ... , 2 , 1 n i ; , ... , 2 , 1 n j j i) . , n k k k , ... , 2 1 – фи к- сированные натуральные числа. Для реш е ния неравенства 0) (x f , где выражение) (x f имеет вид (**), использ у- ется обобщенный метод интервалов, к о- торый оп и рается на следующее правило чередования знак ов выражения: при пер е- ходе через точку i i i a b x из одного и н- тервала в смежный знак значения фун к- ции (*) меняется на противополо ж ный, если i k – нечетное число, и не меняется, е сли i k – четное число. Пример 3 3 . Решите нераве н ство 0 25 16 2) 7 () 3 (2 x x x . Решение. 1. Рассмотрим функцию 25 16 2) 7 () 3 () (2 x x x x f . 2. R) (f D . 3. Найдем нули функции) (x f из ура в- нения 0 25 16 2) 7 () 3 (2 x x x . О т- сюда 3 x или 7 x , или 64 , 2 x . Сравним полученные числа. Так как 9 7 , то 9 7 и 3 7 . Аналогично из неравенства 2 64 , 2 7 9696 , 6 п о лучаем 2 64 , 2 7 и 64 , 2 7 . 4. Найдем п ромежутки знакопостоянс т- ва функции 0) (x f . Так как 0) 0 (f , то д алее расставляем знаки левой части и с- ходного н е равенства, у читывая кратность корней, как показано на рис. 1 5 . Отсюда 0) (x f при всех зн а чениях 3 ] 7 ; 64 , 2 [ x . О т вет: 3 ] 7 ; 64 , 2 [ . второе обобщение метода интервалов Применимость метода интервалов не огр а ничивается решением раци ональных неравенств. Метод интервалов допускает обобщ е- ние на выражения вида) (...) () (2 1 2 1 x f x f x f n k n k k , где) (x f i функци и, непрерывн ые на св о- ей области опр е деления (; , ... , 2 , 1 n i n k k k , ... , 2 1 – фиксированные натурал ь- ны е числа). Пример 3 4 . Решите неравенство 0) 20 4)(8 3 (4 32) 5 2 (4 1 x x x x x . Решение. Так как при 1 x мног о член 20 4 4 x x принимает наименьшее зн а- чение 17 (докажите с помощью произво д- ной), то неравенство 0 20 4 4 x x в ы- полн яется при всех значениях х. Тогда данное неравенство принимает вид 0 8 3 4 32) 5 2 (1 x x x . 2 , 6 4 x Рис. 15 2 x Рис. 14 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 21 Используем метод интерв а лов. 1. Рассмотрим функцию 8 3 4 32) 5 2 () (1 x x x x f . 2. Функция) (x f не существует при 0 x и 8 log 3 x . 3. Функция) (x f обращается в нуль при 5 , 2 x или 8 log 3 x . Отметим, что в то ч- ке 5 , 2 x равны нулю два множ и теля 5 2 x и 4 32 1 x . 4. Найдем п роме жутки знакопостоянс т- ва функции) (x f . Так как 5 , 2 2 9 log 8 log 0 3 3 и 0) 5 (f , то 0) (x f при всех значен и ях 5 , 2) 8 log ; 0 (3 x (см. рис. 1 6) . О т вет: 5 , 2 ; 8 log 0 3 x x . Пример 3 5 . Решите неравенство 0 9 3 10 3 1 3 2 2 x x x . Решение. Обозначим, 3 t x где 0 t . Тогда данное неравенство примет сл е дующий вид 0 9 10 1 3 2 t t t 0 9 10) 3 (2 t t t . (*) Используем метод интерв а л ов. 1. Рассмотрим функцию 9 10) 3 () (2 t t t t f . 2. Найдем область определения функ - ции) (t f . Для этого решим неравенство 0 9 10 2 t t ; ; 0) 9)(1 (t t 1 t или 9 t . Отсюда) ; 9 1 ; () (f D . 3. Находим нули функции) (t f . 0 9 10) 3 (2 t t t . 0 3 , 0 9 10 2 t t t Из совокупности получаем числа 1, 3, 9, нулями функции из которых являются 1 t или 9 t , так как) (3 f D . 4. Находим промежутки знакопостоя н- ства функции) (t f . Так как 0) 0 (f , 0) 10 (f , то получаем, что 0) (t f при всех зн а чениях) ; 9 [ 1 t (см. рис. 1 7). Полученные решения удовлетворяют условию 0 t . Вернемся к переменной х. Так как, 9 , 1 t t то имеем. 4 , 0 81 3 , 1 3 9 3 , 1 3 x x x x x x Замечание. Удобнее в алгоритм реш е- ния неравенства (*) методом интерв а лов не вносить дополнительное условие 0 t , а учитывать его перед возвращен и ем к первоначальной пер е менной. Ответ:) ; 4 [ } 0 { . 2 , 5 x l o g 3 8 Рис. 16 9 t 1 f (t) н е о п р е д е л е н а Рис. 17 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 22 рационализация неравенств При решении неравенств методом и н- тервалов вычисление значений функций в промежуточных точках может вызвать трудности вычислительного характера. С другой стороны, для рациональных фун к- ций такие вычисления несколько проще. Чтобы расширить возможности прим е- нения метода интервалов при решении н е- равенств, используем идею рацион ализ а- ции неравенств (см. [ 2 ]), известную в м а- тематической литературе под другими н а- званиями (метод декомпозиции – М о денов В.П., метод замены множителей – Гол у- бев В.И.). Метод рационализации заключается в замене сложного выражения) (x F на б о- лее простое выражение) (x G (в конечном счете, рациональное) , при которой нер а- венство 0) (x G равносильно неравенс т ву 0) (x F в области определения выраж е- ния) (x F . Выделим некоторые вы ражения F и соответствующие им рационализиру ю щие выражения G (см. табл. 1) , где q p h g f , – выражения с пер е менной x ; 0 (h ; 1 h ; 0 f 0 g) , a – фиксир о- ванное число (; 0 a) 1 a . Табл. 1 № Выражение F Выражение G 1 1 а 1 б g f a a log log 1 log f a f a log))(1 (g f a))(1 (a f a) 1)(1 (f a 2 2 а 2 б g f h h log log 1 log f h f h log))(1 (g f h))(1 (h f h) 1)(1 (f h 3 h h g f log log) 1 , 1 (f g) 1)(1 (g f))(1 (f g h 4 4 а g f h h) 0 (h 1 f h))(1 (g f h f h) 1 (5 h h g f) 0 ; 0 (g f h g f) (6 g f))((g f g f Некоторые следствия (с учетом области опред е ления неравенства): ● 0 log log g f p h 0) 1)(1)(1)(1 (g p f h . ● 0 log log g f h h 0) 1)(1 (h fg . ● 0 0 g f g f . ● 0 0 q p g f h h h h q p g f . ● 0 p h g f 0 log log) 1 (p h g f a a a . В указанных равносильных переходах символ заменяет один из знаков нер а- венств: . , Доказательство. 1. Пусть, 0 log log g f a a т. е. , log log g f a a причем 0 ; 0 ; 1 ; 0 g f a a . () Если, 1 0 a то по свойству убыва ю- щей логарифмической функции имеем g f . Значит, выполняется система нер а- венств, 0 , 0 1 g f a о ткуда следует неравенство, 0))(1 (g f a верное на области опр е- деления выражения. log log g f F a a Если, 1 a то g f . Следовательно, имеет место неравенство. 0))(1 (g f a Обратно, если выполня ется нераве н ство 0))(1 (g f a на области (), то оно на этой области равносильно сов о купности двух систем нер а венств 0 , 0 1 g f a и. 0 , 0 1 g f a Из каждой системы следует неравенс т во, log log g f a a т.е. . 0 log log g f a a Аналогично, рассматриваются нераве н ства вида, 0 F , 0 F . 0 F Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 23 2. Пусть некоторое число 0 a и, 1 a тогда им е ем h g h f g f a a a a h h log log log log log log h g f a a a log log log . Знак последнего выражения совп а дает со знаком выражения) 1)(1 ())(1 (h a g f a или).)(1 (g f h 3. Так как h f h h h g g g g f log log log log log), 1 (log log log log) (log g h h g h f g g f g то, используя замены 2 а и 2 б, получ а ем, что знак последн его выражения совп а дает со знаком выраж е ния))(1)(1)(1 (f g f h g или))(1)(1)(1 (f g h g f . 4. Из неравенства 0 g f h h сл е дует. g f h h Пусть число, 1 a тогда g a f a h h log log или. 0 log) (h g f a Отсюда с учетом з а мены 1б и условия 1 a получ а ем, 0) 1)(1)((h a g f . 0))(1 (g f h Аналогично, доказываются нераве н ства. 0 , 0 , 0 F F F 5. Доказательство проводится анал о- гично доказ а тельству 4. 6. Доказ ательство замены 6 следует из равносильности нер а венств q p и 2 2 q p q p (и). 2 2 q p Пример 3 6 . Решите неравенство 1 log 2 3 2 x x . Решение. Запишем неравенство в виде 0 1 log 2 3 2 x x и заменим его равносил ь- ной систем ой, используя метод рацион а- лизации 0 1 3 2 , 0 3 2 , 0) 3 2)(1 3 2 (2 x x x x x x 0 , 0 3 2 , 0) 3 2)(2 2 (2 x x x x x . 0 , 5 , 1 , 0) 3)(1)(1 (x x x x x Отсюда получаем решения. 3 ; 0 0 ; 1 1 ; 5 , 1 Ответ: . 3 ; 0 0 ; 1 1 ; 5 , 1 Пример 3 7 . Решите неравенство 2 2 7 4 log 2 2 x x x . Решение. Запишем неравенство в виде 0) 2 (log 2 7 4 log 2 2 2 2 x x x x x и заменим его равносильной системой, и с- пользуя м е тод рационализации. 1 | 2 | , 0 2 , 0 2 7 4 , 0)) 2 (2 7 4)(1 | 2 (| 2 2 2 x x x x x x x x Знак множителя) 1 | 2 (| x совпадает со знаком) 1) 2 ((2 x по замене 6. Получим равносильную систему нер а- венств 1 , 2 , 3 , 0) 4)(5 , 0 (, 0) 3 3)(1) 2 ((2 2 x x x x x x x x . 1 , 2 , 3 , 0) 4)(5 , 0 (, 0) 1)(3)(1 (x x x x x x x x x Окончательно получаем (см. рис. 1 8) , что решением являются все x такие, что 0 5 , 0 x , 4 1 x . Ответ: 4 ; 1 0 ; 5 , 0 . 1 x 4 0 3 1 0 , 5 2 Рис. 1 8 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 24 Прим ер 3 8 . Решите неравенство 0 3 log log 3 x x x . Решение. Заменим данное неравенство ра в носильной системой, используя метод рационал и зации 1 , 3 , 0 , 0 3 , 0 3 log , 0 1 3 log 1 3 x x x x x x x x x 1 , 0 , 3 , 0 1 3) 1 (, 0) 3)(1)(3 (x x x x x x x x x 1 , 0 , 3 , 0) 1 3)(1 (, 0) 3)(1 (2 x x x x x x x x 2 1 , 0 2 1 13 2 1 13 x x x 2 2 1 13 x . Замечание. При решении неравенс т ва 0) 2)(1 (x x системы учтены усл о вия 1 , 0 , 3 x x x . Условие 2 1 x п о- зволяет исключить множ и тель 0 1 x в первом неравенстве си с темы. Ответ: 2 ; 2 1 13 . Пример 3 9 . Решите неравенство) 3 (log) 3 (log 3 5 2 35 41 12 2 2 x x x x x x . Решение. Запишем неравенство в виде 0) 3 (log) 3 (log 3 5 2 35 41 12 2 2 x x x x x x и заменим его равносильной системой, и с- пол ь зуя метод рационализа ции 0 3 , 0 2 5 2 , 0 34 41 12 , 0 3 5 2 , 0 35 41 12 , 0) 32 36 10 () 2)(2 5 2)(34 41 12 (2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x . 3 , 0 2 1 2 , 0 2 12 17 , 0 2 3 1 , 0 4 7 3 5 , 0 2 1 12 17 5 8) 2 (4 x x x x x x x x x x x x x Для решения первых трех неравенств системы используем метод интерв а лов. Самостоятельно рассмотрите рису н ки и выберите общую часть для решения си с- темы. Ответ:) 3 ; 2 (2 ; 4 7 3 5 ; 5 8 1 ; 2 1 . Пример 40 . Решите нераве нство x x x x x x 9 , 1 2 1 , 2 9 , 1 2 1 , 2 log) 10 (log 9) 1 (log) 10 (log 9) 1 (3 log . Решение. Область определения нер а- венства задается системой 1) 10 (, 10 , 1 , 0 , 0 1 2 x x x x x или. 9 , 11 , 10 , 1 x x x x Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 25 Учитывая, что при 1 x выражение x 9 , 1 log положительно, п реобразуем да н- ное нера венство на его област и определ е- ния 0) 10 (log) 1 (81 2 1 , 2) 1 (log 3 x x x . Далее используем метод рационализации 0 1) 10 () 1 1 , 2 () 1 (log 81 log 2) 1 (log 3 3 3 x x x ; 0) 11)(9 () 1 (log 4 2 3 x x x ; 0) 11)(9 () 1 (log 9 log) 1 (log 9 log 1 3 3 3 3 x x x x ; 0) 11)(9 (1 1 9) 1 9 (x x x x ; 0) 1)(11)(9 (10 9) 10 (x x x x x . Ответ:) 11 ; 10 (9 ; 9 10 . Пример 4 1 . Решите неравенс т во 45 14 log 3 2) 5 , 3 (2 x x x 45 14 log 4 2 5 , 3 x x x . Решение. Учитывая, что 0 5 , 3 x , получаем 45 14 log 2 3 2 5 , 3 x x x 45 14 log 4 2 5 , 3 x x x 0 45 14 log 5 2 5 , 3 x x x . Далее имеем 1 5 , 3 , 0 5 , 3 , 0 45 14 , 0) 1 45 14)(1 5 , 3 (2 2 x x x x x x x . 5 , 4 , 5 , 3 , 0) 5)(9 (, 0) 5 7 () 5 7 () 5 , 4 (x x x x x x x Для выяснения взаимного располож е- ния точек на числовой прямой, с равним числа: 9 5 7 , 5 5 7 и 5 , 4 5 7 . Получаем, 9 5 7 так как, 5 2 5 4 (верно) ; , 5 5 7 так как 2 5 (верно) , 5 , 4 5 7 так как, 5 , 2 5 25 , 6 5 (верно) . На рис. 20 а на числовой оси показано решение первого неравенства системы. На рис. 2 0 б на ч исловой оси показано решение всей системы. Ответ:) 5 , 4 ; 5 7 5 7 ; (. x Рис. 20 а 9 x 1 1 0 1 1 Рис. 1 9 x Рис. 20 б Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 26 метод интервалов на координатной окружности Данный метод удобно применять к тр и- гонометрическим неравенствам, пр и вод и- мы м к виду 0)) ((...)) ()() ((2 2 1 1 n n a x f a x f a x f , в частности, 0) (...) () (2 1 x f x f x f n , где каждая) (x f i – одна из простейших тр и г о н о метричес ких функций, i a – дейс т- в и тел ь ные числа, n i , ... , 2 , 1 . В случае, когда наименьший общий п е- риод T тригонометрич е ских функций, входящих в данное неравенство, не пр е- восходит 2 , решение неравенства мо ж но рассм отреть на числовой окру ж ности на промежутке, равном по длине пери о ду. Далее при записи ответа следует учесть, что решением данного неравенс т ва будут являться все числа, отлича ю щиеся от п о- лученных на nT , где Z n . При мер 42 . Решить неравенство 0 2 sin cos 3 sin sin x x x x . Решение. Для решения неравенства и с- пользуем метод ин т ервалов. 1. Пусть x x x x x f 2 sin cos 3 sin sin) (. 2. Найдем нули знаменателя 0 2 sin 0 cos 0 2 sin cos x x x x Z n k n x k x , 2 2 . 3. Найдем нули числителя 0 3 sin 0 sin 0 3 sin sin x x x x Z m l m x l x , 3 4. Найдем промежутки знакопостоя н ства функции) (x f . Так как нули т риг о номе т- р и че ских функций (x sin , x 3 sin , x cos , x sin2), в ходящи х в данное нер а венство, п о- вторяю т ся с пери о д ами нно соответсве 2 , 3 , кратны ми 2 , то изобразим множество решений на числовой окру ж- ности, выделив промеж у ток) 2 ; 0 [ . На промежутке) 2 ; 0 [ функция) (x f не определена в точках, 0 2 , 2 3 и о б- ращается в нуль в точках 3 , 3 2 , 3 4 , 3 5 . При этом 2 и 2 3 – точки четной кратн о- сти, остальные – нечетной кратн о сти. Так как 0 6 f , то расставляем зн а ки в соответст вии с правилом знакочередов а- ния, как показано на р и с. 21 . Исходному неравенству удовлетворяют те значения x , для которых 0) (x f . О т вет: ; 2 3 2 k x k ; 2 2 3 2 k x k ; 2 2 3 2 3 4 k x k Z k k x k ; 2 3 5 2 2 3 . x y Рис. 21 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 27 2.3. Использование ограниченности функций Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество зн а чений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, 1 sin 1 x , 0 x и т.д.). мето д оценки Иногда неравенство) () (x g x f ус т- роено так, что на всей ОДЗ неизвестной име ю т место неравенства f x A и g x A при некотором А. В этом случае: а) р ешение неравенства) () (x g x f с водится к нахождению тех значений x , для которых одновременно f x A и A x g) (; б) р ешение неравенства) () (x g x f сводится к нахождению тех решений нер а- венства A x f) (, для которых опред е лена фун к ция) (x g . Пример 4 3 . Решите неравенство 4 5 1 log x x . Решение. Область определения нер а- венства задается условиями: 1 0 0 1 , 0 4 x x x . Для всех x из полученного множества имеем 0 log 5 x , а 0 1 4 x . Следов а- тельно, решением этого неравенства явл я- ется пр о межуток ] 1 ; 0 (. Ответ: ] 1 ; 0 (. Пример 4 4 . Решите неравенство 4 15 cos 4) 2 5 (16 2 2 x x . Решение. Оценим правую часть. Так как, 1 4 15 cos 0 2 x то 5 4 15 cos 4 4 2 x . Для левой части последовательно им е- ем 0) 2 5 (2 x , 0) 2 5 (2 x , 16) 2 5 (16 2 x , 4) 2 5 (16 2 x при всех допустимых значен и ях x . Исходное нер а венство во зможно только в том случае, если обе части нер а венства равны 4, то есть данное неравенство ра в- носильно си с теме. 4 4 15 cos 4 , 4) 2 5 (16 2 2 x x Первое уравнение системы имеет один к о рень, 5 2 x который удовлетворяет и второму ура в нению. Ответ: – 0,4 . н е отрицательность функции Пусть левая часть неравенства 0) (x f есть сумма нескольких функций) (...) () () (2 1 x f x f x f x f n , каждая из которых неотрицательна для любого x из области ее определения. Тогда неравенс т во 0) (x f равносильно системе уравн е ний. 0) (..... .......... , 0) (, 0) (2 1 x f x f x f n а неравенство 0) (x f сводится к нахо ж- дению области определения функции) (x f . Пример 4 5 . Решите неравенство. 0 10 3 26 7 8 2 2 3 x x x x x Решение. Так как левая часть нераве н- ства неотрицательна, то данное неравенс т- во выполняется только при одновреме н- ном р а венстве нулю слагаемых 0 10 3 , 0 26 7 8 2 2 3 x x x x x 2 2 , 5 , 0 26 7 8 2 3 x x x x x x . О т вет: 2. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 28 применение свойств модуля Пример 4 6 . Решите неравенс т во 2 3 | 2 3 | 2 2 x x x x . Решение. Из условия a a | | и из свойств модуля a a | | имеем a a | | . Отсюда по определению модуля получ а ем 0 a , где 2 3 2 x x a . Неравенство 0 2 3 2 x x имеет решения) ; 2 1 ; (. Ответ:) ; 2 1 ; (. Пример 4 7 . (МИОО, 2010). Решите н е- равенство | 5 4 | | 3 2 | 2 2 3 x x x x x | 5 | 2 3 x x x . Решение. Неравенство имеет вид | | | | | | b a b a , где x x x a 3 2 2 3 и 5 4 2 x x b . С др у гой стороны известно неравенство тр е угольника | | | | | | b a b a . Отсюда получаем р а венство | | | | | | b a b a , которое спр а ведливо при условии 0 ab . Из неравенства 0) 5 4)(3 2 (2 2 3 x x x x x или 0) 5)(1)(3)(1 (x x x x x получаем решения) ; 3 1 ; 0 1 ; 5 [ . Ответ:) ; 3 1 ; 0 1 ; 5 [ . Напомним некоторые дополнительные свойства модулей. ● Сумма модулей равна алгебраич е ской сумме под модульных выражений тогда и только тогда, когда каждое выр а жение им еет тот знак, с которым оно входит в а л гебраическую сумму. g f g f | | | | . 0 , 0 g f g f g f | | | | . 0 , 0 g f g f g f | | | | . 0 , 0 g f g f g f | | | | . 0 , 0 g f ● Сумма модулей равна модулю алге б- раической суммы подмодульных выраж е- ний тогда и только тогда, когда одновр е- менно все выражения имеют тот знак, с которым они входят в алгебраич е скую сумму, либо одновременно все в ы ражения имеют противополо ж ный знак. | | | | | | g f g f 0 , 0 g f или 0 , 0 g f 0 fg ; | | | | | | g f g f 0 , 0 g f или 0 , 0 g f 0 fg . Одна из схем решения уравнения для трех слагаемых: | | | | | | | | h g f h g f 0 , 0 , 0 h g f или. 0 , 0 , 0 h g f ограниченность синуса и косинуса Пример 4 8 . (МИЭТ, 1998). Решите н е- равенство 3 4 2) 1 cos() 2 2 (2 2 x x x x x . Решение. Поскольку 0 2 2 2 x x при любом x , то, разделив обе части нер а- венства на 2 2 2 x x , придем к равн о- сильному неравенству 2 2 3 4 2) 1 cos(2 2 x x x x x 1) 1 () 1 (1) 1 cos(2 2 x x x . Так как 1) 1 cos(x , а правая часть н е- равенства 1 1) 1 () 1 (1 2 2 x x при всех зн а- чениях x и 1 1) 1 () 1 (1 2 2 x x при 1 x , то равенство возможно только при 1 x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 29 Проверкой убеждаемся, что и левая часть н е равенства при 1 x также равна 1. Ответ: 1 . Пример 4 9 . Решите неравенство 1 sin 4 cos x x . Решение. Так как 1 4 cos x и 1 sin x , т о 1 sin 4 cos x x и исхо д- ное неравенство равносильно совокупн о сти 1 sin , 1 4 cos , 1 sin , 1 4 cos x x x x , 2 2 , 2 4 , 2 2 , 2 4 k x n x k x n x , 2 2 , 2 4 , 2 2 , 2 k x n x k x n x , n k Z , 2 2 k x . Z k Ответ: , 2 2 k . Z k Пример 50 . Решите неравенство 2 3 cos cos x x . Решение. Из неравенств 1 cos x и 1 3 cos x следует, что неравенство во з- можно только в том случае, когда оба сл а- гаемых одновременно будут равны по 1. 2 3 cos cos x x 1 3 cos , 1 cos x x , 3 2 , 2 k x n x . , Z k n Вторая серия решений включает первую с е рию, поэтому окончательно имеем Z n n x , 2 . Ответ: Z n n , 2 . применение классических неравенств Рассмотрим классическое неравенство Коши, известное школьнику как нераве н- ство между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицател ь- ных чисел, которое эффективно может быть использовано при реш ении нер а- венств. Неравенство Коши: для любых неотр и- цательных чисел n a a a , ... , 2 1 справе д ливо неравенс т во n n n a a a n a a a ... ... 2 1 2 1 , причем равенство достигается только в случае n a a a ... 2 1 . Пример 51 . Решите неравенство 2011 2010 1005 x x . Решение. Запишем левую часть данн о- го неравенства следующим образом. 1 ... 1 2010 слагаемых 2010 1005 1005 x x x x x Используя нер а венство между средним арифметическим и средним геометрич е- ским, получим x x x 1 ... 1 1005 2011 1005 1 ... 1 2011 x x x 2011 1 2011 2011 . Причем равенство имеет место при раве н- стве слагаемых, т.е. при 1 1 1005 x x x . Следовательно, исходное неравенство в ы- полняется только при 1 x . При всех о с- тальных допустимых значениях x л е вая часть исход ного неравенства больше 2011 . Ответ: 1 . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 30 2.4. Использование монотонности фун к ций При использовании монотонности функций различают случаи, когда фун к- ции, стоящие в обеих частях неравенства, имеют одинаковую монотонность или ра з- ную м о нотон ность. м онотонность функции на множестве R Если функция) (t f строго возрастает на R , то) () (x g f x h f ра в носильно неравенству). () (x g x h Если функция) (t f строго убывает на R , то) () (x g f x h f равносильно нер а- венству). () (x g x h Отметим следствия из этих утвержд е- ний, которые часто используют при реш е- нии неравенств. Следствие 1 . Так как функция, 1 2 n t y N n , строго возрастает на R , то нера ве н- ство 1 2 1 2) () (n n x g x h равносильно н е- равенству). () (x g x h Сле д ствие 2 . Так как функция, 1 2 n t y N n , строго возрастает на R , то нераве н- ство 1 2 1 2) () (n n x g x h равносильно нер а- венству). () (x g x h Следс т вие 3 . Так как функция) 1 (a a y t строго возрастает на R , то неравенство) () (x g x h a a равносильно н е- равенству). () (x g x h Следствие 4 . Так как функция) 1 0 (a a y t строго убывает на R , то не равенство) () (x g x h a a равносильно н е- равенству). () (x g x h Следствие 5 . Так как функция t y arctg строго возрастает на R , то нер а- венство) (arctg) (arctg x g x h равн о- сильно неравенству). () (x g x h Следс т вие 6 . Так как функция t y arcctg строго убывает на R , то нер а- венство) (arcctg) (arcctg x g x h равн о- сильно неравенству). () (x g x h Пример 5 2 . Решите неравенство 1 2 3) 3 (1 2 2 5 5 2 x x x x . Решение. Перепишем данное нераве н- ство в виде. 3) 3 (1 2 1 2 5 2 5 2 x x x x (*) Рассмотрим функцию t t t f 5) (, о п- ределенную при всех действительных зн а- чениях t . Тогда неравенство (*) примет вид) 3 () 1 2 (2 x f x f . Так как 0 1 5) (4 t t f для л ю бого, R t то функция) (t f строго возра с тает на R . Для возраст ающей функции, опред е- ленной на всей числовой прямой, нераве н- ство) () (2 1 t f t f равносильно н еравенс т- ву 2 1 t t . Следовательно, неравенство (*) равн о- сильно неравенству, 3 1 2 2 x x решен и- ем которо го являются 5 , 0 x или 1 x . Ответ:) ; 1 () 5 , 0 ; (. Пример 5 3 . (МИЭТ, 2005). Решите н е- равенство x x x x x 6 3 4 3 1 |) | 1 (2 2 . Решение. Рассмотрим функцию 2 3 1) 1 () (t t t f , оп ределенную на всей числовой пр я мой. Поскольку 2 2) 1 (3 1 6 3 4 x x x ,) 1 (1 x x , то данное неравенство пр и- мет вид) 1 (|) (| x f x f . Выясним характер монотонности фун к- ции) (t f . Для этого найдем ее произво д- ную: 2 2 3 1 2 6) 1 (3 1 1) (t t t t t f 2 2 2 2 3 1 1 3 6 3 1) 1 (3 3 1 t t t t t t t . Заметим, что многочлен 1 3 6 2 t t не имеет корней и его старший коэфф и циент меньше нуля. Значит 0 1 3 6 2 t t при всех t и соответс т венно 0) (t f на R . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 31 Это означает, что функции) (t f уб ы- вающая. Для убывающей функции, опр е- деленной на всей числовой прямой, нер а- венство) () (2 1 t f t f равносильно нер а- венству 2 1 t t . След о вательно, x x x f x f 1 | |) 1 (|) (| 2 1 1 , 1 x x x x x . Ответ: 2 1 x . монотонность функции на промежу т ке Если функция) (t f определена и явл я- ется возраста ющей на своей области опр е- деления – промежутке М, то неравенство) () (x g f x h f равносильно си с теме,) (,) (), () (M g E M h E x g x h где) (h E и) (g E – множество значений функций) (x h и) (x g соответс т венно. Если функция) (t f строго убывает на св оей области определения – промежу т ке М, то неравенство) () (x g f x h f ра в- носильно системе,) (,) (), () (M g E M h E x g x h где) (h E и) (g E – множество значений функций) (x h и) (x g соответс т венно. Следствие 1 . Неравенство вида) (log) (log x g x h a a , где 1 a , равн о- сильно неравенствам 0) () (x g x h . Следствие 2. Неравенс т во вида) (log) (log x g x h a a , где 1 0 a , ра в- носильно неравенст вам) () (0 x g x h . Следствие 3. Неравенс т во вида) (arcsin) (arcsin x g x h равносильно н е- равенствам 1) () (1 x g x h . Следствие 4. Нер а венство вида) (arccos) (arccos x g x h равносил ь но неравенствам 1) () (1 x g x h . Пример 5 4 . Решит е неравенство 1 log 2 4 log 3 3 2 3 3 x x x x . Решение. Так как функция t y 3 log строго возрастает на множестве 0 t , то данное неравенство можно замени ть ра в- носильной сист е мой 0 1 , 1 2 4 3 3 2 3 x x x x x 3 1 , 3 1 1 , 0 3 4 3 2 x x x x x x x . Ответ:) ; 3 [ . Пример 5 5 . Решите неравенство) 2 3 arcsin() 2 3 arcsin(2 x x x . Решение. Функция t y arcsin опред е- лена при 1 1 t и возрастает на всей области определения. Испо льзуя свойства этой функции, п ерейдем к равносильной сист е ме 3 1 , 0 1 2 3 , 0 2 5 3 1 2 3 , 2 3 1 , 2 3 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x 3 1 3 1 , 2 3 1 x x x . Ответ: 3 1 . Пример 5 6 . Решите неравенство) (cos log) (cos log 19 2 2 84 2 x x x x x . Решение. Из условий 1 cos 0 , 1 19 , 0 19 , 1 2 2 84 , 0 2 2 84 2 2 x x x x x x x получаем Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 32 . 2 167 1 , 6 ; 2 3 2 ; 2 2 3 ; 7 x x (*) Так как по условию 1 cos 0 x , то рассмотрим два случая. 1. Пусть 1 cos x , тогда из множества чисел Z n n , 2 , с учетом (*) решени я ми данного в условии неравенства яв ляются два чи с ла 2 и 0. 2. Для случая 1 cos 0 x исследуем функцию a y t log , где 1 , 0 t t и чи с- ло 1 0 a . Так как 0 ln ln ln ln) (log 2 t t a t a a y t , то функция a y t log возрастает на ка ж- дом из промежутков) 1 ; 0 (и) ; 1 (. а) Для функции a y t log , возраста ю- щей на промежутке) 1 ; 0 (, пол у чаем 19 2 2 84 1 19 0 1 2 2 84 0 2 2 x x x x x x 19 2 2 84 18 19 1 2 2 84 6 7 2 2 x x x x x x x Нет решений. б) Для функции a y t log , возраста ю- щей на пр о межутке) ; 1 (, получаем 19 2 2 84 , 1 19 , 1 2 2 84 2 2 x x x x x x 0 65 3 2 , 18 , 0 83 2 2 2 2 x x x x x 5 , 5 , 6 , 18 , 2 167 1 2 167 1 x x x x . 2 167 1 5 , 2 13 2 167 1 x x Полученные решения удовлетворяют условию (*). О т вет: 0 ; 2 2 13 ; 2 167 1 2 167 1 ; 5 . Пример 5 7 . (МИЭТ, 2005). Решите н е- равенство 4 2 20 4 3 11 7 x x x x . Решение. Рассмотрим функцию x x x f 11 7) (. ] 11 ; 7 [) (f D . Найдем экстрем у мы функции: x x x x x x x f 11 7 2 7 11 11 2 1 7 2 1) (,) 11 ; 7 () (f D . Найдем нули произво д- ной из уравнения 0) (x f . Из ура в нения 7 11 x x получаем 2 x . 0) (x f при 2 7 x ; 0) (x f при 11 2 x . Следовате льно, 2 x – точка максим у- ма функции) (x f и 6) 2 (f . Зн а чит 6 11 7 x x при всех допу с тимых значениях x . Оценим правую часть исходного нер а- венства 4 2 4 2 16) 2 (3 20 4 3 x x x 6 16 3 4 . Таким образом, для исходного нераве н- ства нужно, чтобы его левая и правая ча с- ти были равны 6. Это выполняется при 2 x . Ответ: 2 . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 33 функции разной монотонности Пусть на промежутке) ; (b a задан ы во з- растающая функция) (x f и убыва ю щая функция) (x g , причем 0 x – корень ура в- нения) () (x g x f , принадлежащий пр о- межутку) ; (b a . Тогда решение неравенс т- ва) () (x g x f – все числа из промежутка) ; (0 b x , а решение неравенс т ва) () (x g x f – промежуток) ; (0 x a (см. рис. 2 2). Пусть на промежутке) ; (b a задана во з- растающая функция) (x f и 0 x – к о рень уравнения c x f) (, принадлежащий пр о- межутку) ; (b a . Тогда решение неравенс т- ва c x f) (– все числа из пром е жутка) ; (0 b x , а решение неравенства c x f) (– промеж у ток) ; (0 x a (см. рис. 2 3). Пример 5 8 . Решите неравенства: а) 3 3 5 3 14 80 5 2 x x x x . б) 3 3 5 3 14 80 5 2 x x x x . Решение. Рассмотрим функции 80 5 2) (3 5 x x x x f и 3 3 14) (x x g . Функция) (x f определена и дифференц и- руема на R . Исследуем ее на моното н- ность: 0 5 3 10) (2 4 x x x f , как сумма неотрицательных слагаемых и положительного слагаемого. Поэтому функция) (x f строго возрастает на R . Функция) (x g о п ределена на R и ди ф- ференцируема на множес т ве; 3 14 3 14 ; , причем. 0) 3 14 (1) (3 2 x x g Значит, функция) (x g убывает на R . Поскольку функция) (x f строго во з- растает, а функция) (x g уб ывает на R , то уравн е ние) () (x g x f имеет не больше одного корня. Подбором нах о дим, что 2 x является корнем эт ого уравн е ния, так как получ а ем верное равенство 3 3 5 2 3 14 80 2 5 2 2 2 . Значит, решения неравенства а) есть про межуток) ; 2 (, а неравенства б) – пром е жуток) 2 ; (. Ответ: а)) ; 2 (; б)) 2 ; (Пример 5 9 . Решите неравенство 4 1) 2 (log 2 3 3 6 x x x x . Решение. Область определения данн о го неравенства е сть промежуток . Фун к- ция x x x x y 1) 2 (log 2 3 3 6 возрастает на этом промежутке как сумма возрастающих функций. Так как 4) 1 (f , то все значения x из множества ; 5 [ 0 x x , где 0 x – корень уравнения 2) 4 2 (5 x x такой, что 0 2 0 x . Уравнение 0 11 15 4 2 x x имеет корни 1 и 4 11 , поэтому 1 0 x . Отс ю да с учетом области определения нераве н ства при условии 1 | | x находим множ е ство решений неравенства (*): 1 4 x . 2. Пусть 1 | | 0 x . Тогда исход ное н е- равенство равносильно неравенс т ву 4 2 5 x x . Откуда (см. рис. 2 5) следует 1 x . С учетом области определения неравенс т ва при условии 1 | | 0 x находим множ е- ство решений неравенства, которое явл я- ется объе динением интервалов) 0 ; 1 (и) 1 ; 0 (. Ответ: 1 4 x , 0 1 x , 1 0 x . 0 1 x y y = f (x) y = g (x) 1 Рис. 24 1 y = 2 x + 4 y x 1 O 2 y = x + 5 x 0 Рис. 25 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 35 Пример 6 2 . При каких значениях а н е- равенство x a x 2 1 имеет реш е ние? Решение. График фун кции 2 1 x y или 0 1 2 2 y y x есть полуокру ж- ность (см. рис. 2 6) . Функция x a y задает семейство прямых с угловым коэффицие н том 1 k . С увеличением а прямая x a y пер е- мещает ся в право. Исходное неравенство будет выпо л- няться до тех пор, пока точки окружн о сти будут лежать выше точек прямой, т.е. пока прямая не станет касательной к окружн о- сти. В этом случае значение 2 1 1 2 2 OB a находим из прям о- угольного треугольника О АВ. Знач е ние 2 a можно найти и анал и тически, если решить уравнение, 1 2 x a x и после возведения в квадрат потребовать, чтобы дискриминант полученного ква д ратного уравнения был равен нулю. Ответ: 2 a . 3. Геометрические методы решения Геометрическая интерпретация нер а- венств позволяет легко и красиво решать как простые, так и сложные задачи. На и- более распространенная интерпретация неравенств связана с модулем или ра с- стоянием на координатной прямой. Обо б- щен ием этой интерпретации является ра с- стояние на плоск о сти. 3.1. Расстояние на координатной пр я мой Геометрический смысл модуля: модуль разности двух чисел равен расстоянию ме ж- ду точками координатной прямой, коорд и- наты которых соответствуют этим чи с лам. Наприм ер, запись | | b a означает рассто я- ние между точками а и b ; | | b a – ра с- стояние между точками а и – b ; | 0 | | | a a – расстояние между то ч ками а и 0. Пример 6 3 . Решить неравенство 5 | 2 | x . Решение. Запись | 2 | x есть рассто я- ние от точки x до точки 2. Для решения данного неравенства необходимо на коо р- динатной оси найти такие точки, рассто я- ние от которых до точки 2 больше 5. Справа от точки 2 расположена точка 7 на расстоянии 5 единиц, а сл е ва – точка (– 3). Поэтому данному неравенству удовлетв о- ряют все значения) ; 7 () 3 ; (x . Ответ:) ; 7 () 3 ; (. Пример 6 4 . Решить неравенство | 2 | | 5 | x x . Решение. Рассмотрим уравнение | 2 | | 5 | x x . Так как | 5 | x и |) 2 (| | 2 | x x – это расстояния от точки x до точек 5 и – 2 с о- ответственно, то из данного равенс т ва следует, что точка x – середина отре з ка ] 5 ; 2 [ , и поэтому 5 , 1 2 5 2 x . Знач и т решениями данного неравенства явл я ются все числа) 5 , 1 ; (x , т. е. все точки, ра с- стояния от каждой из кот о рых до точки 5 больше расстояния до то ч ки (– 2). Ответ:) 5 , 1 ; (. Пример 6 5 . Решить неравенство 8 | 3 | | 5 | x x . Решение. Так как расстояние между точками – 5 и 3 равно 8, то решениями уравнения 8 | 3 | | 5 | x x являются все числа из отрезка ] 3 ; 5 [ . Для любой точки, расположенной вне о т резка ] 3 ; 5 [ (справа или слева), сумма рассто я- ний от точек – 5 и 3 больше 8. Ответ:) ; 3 () 5 ; (. 1 y = a x y x 1 O B A Рис. 26 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 36 3.2. Расстояние на координатной пло с кости Расстояние между двумя точками 1 1 1 ; y x M и 2 2 2 ; y x M на координатной п лоскости вычисляется по фо р муле 2 2 1 2 2 1 2 1) () (y y x x M M . Для любых n точек n M M M ,..., 2 1 при 3 n справедливо нер а венство 1 2 2 3 1 1 ... n n n M M M M M M M M , (1) причем знак равенства достигается тол ь ко, когда точки 1 2 ,..., n M M M лежат на о т- резке 1 n M M и следуют друг за другом в указанном порядке. В частности, если д а- ны три точки 1 2 3 , M M M , то нераве н ство (1) имеет вид 1 2 2 3 1 3 M M M M M M и называется неравенством треугол ьн и ка. Е сли на плоскости введена декартова си с- тема координат, то через координаты т о- чек 1 1 1 2 2 2 (;),(;), M x y M x y 3 3 3 (;) M x y оно записывается следующим образ о м 2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 2 1) () () () (y y x x y y x x .) () (2 3 1 2 3 1 y y x x (2) Пример 6 6 . Решить неравенс тво. 10) 7 3 () 2 2 () 1 3 () 4 2 (2 2 2 2 x x x x . Решение. Заметим, что число 2 2) 1 3 () 4 2 (x x u можно рассматривать как расстояние между то ч- ками на координатной плоскости) 1 3 ; 4 2 (A и) ; (x x B . Точно также число 2 2) 7 3 () 2 2 (x x v можно р ассматривать как расстояние ме ж- ду точками на координатной плоскости) 7 3 ; 2 2 (C и) ; (x x B (или) 2 2 ; 7 3 (1 C и) ; (x x B , где точка 1 C симметрична точке C относи тельно пр я- мой x y). Поэтому левую часть исходного нер а- венства можно рассматривать как длину ломаной ABC (или 1 ABC), причем точка B лежит на прямой x y . Из положения точки B (см. рис. 2 7) и равенства BC и 1 BC следует, что для решения достато ч но рассмотреть только случай с то ч ками C B A , . Заметим, что AC BC AB , но AC 2 2) 7 3 () 1 3 () 2 2 () 4 2 (10 8 6 2 2 . Следовательно, и сходное неравенство б у- дет выполняться только в случае, если точка B лежит на отрезке AC . Это во з- можно только в случае, когда B есть то ч- ка пер е сечения 0 B прямых AC и x y . Уравнение прямой AC в виде b kx y находим из системы уравн е ний (подставляя в это уравнен ие коорд и наты точек A и C): .) 2 2 (7 3 ,) 4 2 (1 3 b k b k О тсюда 3 4 k и 3 13 3 2 4 3 b . Тогда координаты точки 0 B найдем, по д- ставив x y в уравнение п рямой AC . Получим 3 13 3 2 4 3 3 4 x x . Отсюда 7 13 2 4 3 3 x . A C B x y x 1 O 3 2 4 2 1 C 1 y B 0 7 6 5 6 5 4 3 7 Рис. 27 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 37 Ответ: 7 13 2 4 3 3 . Замечание. Рассмотрение точки, си м- метричной точке А относительно пр я мой x y приводит к тому же ответу. 3.3. Векторная интерпретация неравенс т ва Векторы успешно могут быть примен е- ны не только в геометрии, но и при реш е- нии нер а венств. Пусть даны два вектора a и b . Для скалярного произведения этих ве к торов | | | | cos a b a b , где – угол между векторами, справедливы следующие оце н- ки | | | | | | | | a b a b a b , (3) причем экстремальные значения скалярн о- го произведения достигаются в случаях коллинеарности векторов. Запишем нер а- ве нства (3) в координатной форме: для векторов на плоскости 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 b b a a b a b a 2 2 2 2 2 1 2 1 b a b a ; для векторов в пространстве 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 c b a c b a . 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 c b a c b a c c b b a a Пример 6 7 . Решите неравенство) 24)(4 (5 1 2 2 x x x x . Решение. Рассмотр им два вектора } ; 2 { } , { 2 1 x a a a и } , { 2 1 b b b } 5 ; 1 { x , заданны е в декартовой си с- теме координат. Тогда неравенство мо ж но записать в виде 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 b b a a b a b a , т.е. | | | | b a b a . В силу неравенства (3) получае м | | | | b a b a . Поскольку рассматрива е- мые векторы – ненулевые, то из получе н- ного равенств а следует, что векторы a и b коллинеарны. Следовательно, сущес т- вует такая константа k , что a k b , а это означает, что. 5 , 2 1 kx k x Из второго уравнения этой системы п о- лучаем, что 0 k , тогда из первого след у- ет 0 k (соответственно 0 x). Исключая из второго у равнения 0 k , п о лучим 0 , 100 1 0 , 10 1 2 x x x x x x . 0 , 0 100 2 3 x x x Перебирая целые делители числа 100, заметим, что уравнение 0 100 2 3 x x имеет целый корень 5 x . Тогда, раскл а- дывая левую часть этого у равнения на множители, пол у чим:) 20 4)(5 (100 2 2 3 x x x x x . Квадратное уравнение 0 20 4 2 x x не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицат е лен. Следовательно, 5 x единственный корень кубического уравнения, а так как усл о вие 0 x выполнено, то число 5 x будет и решением исходного неравенс т ва. Ответ. 5. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 38 Упражнения 1 . Решите неравенство 0 3 cos 2 cos) 3 cos 2 (cos 2 x x . 2 . Решите неравенство 0 25 6 2) 5 () 4 (2 x x x . 3 . Решите нераве нство 0) 3)(3 5 2 (3 2 x x x . 4 . Решите неравенство 0) 2011)(2 3 (2 2 x x x x . 5 . Решите неравенство 0 5 15 8 2 x x x . 6 . Решите неравенство 0 7 1 1 1 1 1 x x . 7 . Решите неравенство 4 7 3 1 3 2 3 5 2 1 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x x . 8 . Решите неравенство 2 2 2 2 2 2 2 2) 1 (2) 5 2 () 1 (9 6) 1 (4 4 x x x x x x x x x . 9 . Решите неравенство 0 2 3 4 1 8 6 2 2 x x x x x x . 10 . Решите неравенство 0 3 3 2 16) 3 2)(3 (2 2 x x x x x x . 11 . Решите неравенство 1) 7)(4)(2 () 7)(4)(2 (x x x x x x . 12 . Решите двойное неравенство 0 2 1 3 2 x x . 13 . Найдите область определения фун к ции 1 1 2 2 x x x y . 14 . Решите неравенство x x x x 2 2 2 | 2 | . 15 . Решите неравенство 4 | 3 | 2 || 2 x x . 16 . Решите неравенство 0 | 1 | 2 | 1 | 2 x x x . 17 . Решите неравенство 7 8 4 | 7 8 2 | 2 3 2 3 x x x x x x . 18 . Решите неравенс т во | 10 3 | | 8 2 | 2 2 3 x x x x x | 10 11 3 | 2 3 x x x 19 . Решите неравенство 2 2 | 2 8 | 2 2 x x x x . 20 . Решите неравенство | 1 | | 3 | 2 5 2 x x x . 21 . Решите неравенство 2 2 1 2 x x . 22 . Решите неравенство x x x x x 3 2 | |) 2)(1 (2 . 23 . Решите неравенство 0 | 7 5 | 5 4 3 | 7 2 | x x x x . 24 . Решите неравенство 0 6 17 10 3 | | 2) 1 (2 2 2 3 2 2 x x x x x x x x . 25 . Решите неравенство 0 2 1 2 1 14 5 3 2 2 x x x x . 26 . Решите неравенство 0 21 10) 12 8 (2 2 x x x x . 27 . Решите неравенство x x x 10 5 8 25 2 . 28 . Решите неравенство 6 5 12 7 3 4 2 2 2 x x x x x x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 39 2 9 . Решите неравенство 10 2 8 9 2 2 8 2 2 x x x x x x . 30 . Решите неравенство 0 6 2 2 5 2 2 2 x x x x . 31 . Решите неравенство 2 7 26 4 5 2 x x x x . 32. Решите неравенство. 1 1 1 3 x x x 33 . Решите неравенство 0 1 7 1 2 1 2 x x x . 34. Решите неравенс тво. 1 5 14 7 5 2 3 x x x x x 3 5. Решите неравенство. 3 2 2 x x 36. Решите неравенство. 4 2 2 x x x 37 . При каких значениях аргумента гр а фик функции 1 2 5) (x x x f лежит выше гр а- фика функции 3 5) (x x g ? 3 8 . Решите неравенство | 1 2 | 36 2 35 3 2 2 2 x x x x x . 39 . Решите неравенство 3 4 | 4 3 |) 2 (6 8 3 x x x x x . 4 0 . Решите неравенство 2 2 1 6 1 16 8 4 x x x x x 2 2 1 6 1 16 8 5 x x x . 41 . Решите н е равенство 2 4 4) 1 4 (1 |) | 2 1 (2 2 x x x x x . 42 . Решите н е равенство 4 2 97 8 4 2 28 44 2 x x x x . 43 . Решите неравенство 5) 2 , 0 (2 3 2 x x . 44 . Пусть 2 3) (x x x f . Решите неравенс т во 3 1) 1 () (2 x f x f . 4 5 . Решите неравенство 0 2 3 2 4 2 1 x x . 4 6 . Решите неравенство 0 8 2 9 4 x x . 4 7 . Решите неравенство x x x 15 8 5 15 3 5 1 2 2 . 4 8 . Решите неравенство 0 96 2 2 5 3 3 3 2 2 x x x x . 49 . Решите н е равенство 0 2 2 2 5 , 0 5 , 0 1 1 2 x x x x x x . 50 . Решите неравенство 72 3 3 2 3 5 3 3 2 3 2 1 3 2 2 2 2 x x x x x x . 5 1 . Решите неравенство 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 5 5 3 p p p p p p p p . 5 2 . Решите неравенство x x x 2 1 2 25 , 0 14 4 2 2 . 5 3 . Решите неравенство x x) 2 2 3 (4 3) 2 2 3 (. 54 . Решите неравенство 10 5 2 1 x x . 55 . Решите неравенство 4 3 1 x x . 5 6 . Решите неравенство 2 5 4 2 4 2 2 x x x x . 5 7 . Решите неравенство 0 1 2 12 3 4 12 2 1 1 x x x x x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 40 5 8 . Решите неравенст во 0 3 3 , 0 3) 4 (1 1 x x x . 5 9 . Решите неравенство 0) 20 4)(8 3 (4 32) 5 2 (4 1 x x x x x . 60 . Решите неравенство 0 14 5 27 3 32 2 2 x x x x . 6 1 . Решите неравенство 0 1 5) 5 , 0 (4 1 2 2 2 3 2 2 x x x x x . 6 2 . Решите неравенство x x x x 3 2 1 2 3 3 8 2 . 63 . Решите неравенство 11 3 6 9 | | x x . 64. Решите неравенство. 0 16 2 10 2 1 2 2 4 x x x 6 5 . Решите неравенство. 2 3 3 4 9 17 x x x x 6 6 . Решите неравенство. 1 | 3 2 | 5 | 2 3 | 2 2 21 6 x x x x 6 7 . Решите неравенство 2 2 4 3 4 2 4 1 1 4 2 x x x x x x x . 68 . Решите неравенство 1 3 9 1 1 3 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x x 3 9 1 1 . 69 . Найдите область определения фун к ции 2 1 2 2 2 125 , 0 2 64) (x x x f . 70 . Найдите область определения фун к ции 3 3 4 3 16 2 2 x x x y . 7 1 . Решите неравенство 4 log) 8 3 (log 89 sin 91 sin x . 72 . Решите неравенство) 1 (log) 9 2 (log 3 2 3 x x x . 73. Решите не равенство). 2 (log) 1 (log 3 3 1 x x 7 4 . Решите неравенство 1 2 1 2 log log 1 1 log log 2 2 9 1 8 1 3 2 x x x x x x . 7 5 . Решите неравенство 2 9 5 1 2 5 9 1 log log log log 5 9 x x . 7 6 . Решите неравенство 1 5 log 4 3 log 5 x x . 7 7 . Решите неравенство 1 2 1 2 log 3 1 x x . 7 8 . Решите неравенство 0 1 log 2 1 , 0 x . 7 9 . Решите неравенство 2) 55 2 16 2 (log 2 5 11 x x . 80 . Решите неравенство 2) 2 (log 3 x . 8 1 . Решите неравенство 1 9 1 log 2 2 x . 8 2 . Решите неравенство 3 4) 1 3 (log 2 2 1 x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 41 83 . (ЕГЭ, 2010) Решите неравенство 49 log log log) 2 (log) 2 (log 4 49 14 14 4 x x x x . 8 4 . Решите неравенство. 1 2 3) 1 (log 3 1 2 3 log 3 8 2 x x x x 85 . Решите неравенство 1) 7 6 (log)) 7 6)(1 3 ((log 3 1 2 3 x x x . 86. Решите неравенство. 2 2 2 log 3 4 log 2 2 2 x x x 87 . Решите неравенство) 4 3 (log 2 4 log) 4 (log 2 2 5 , 0 2 2 x x x x x . 88 . Решите неравенство) 2 3 2 (log) 1 3 (log 2 3 1 2 3 1 x x x x 2 4 log) 1 2 (log 3 2 2 3 1 x x . 89 . Решите неравенство) 2 (log) 4 2 (log 13 2 13 x x x) 3 4 (log 2 3 13 x x x . 90 . Решите неравенство) 1 (log) 2 (log 5 5 x x 8 8 1 log 2 5 x x x . 91 . Решите неравенство. 7 log 2 1) 2 (log) 4)(2 (log 3 3 1 3 x x x 92. Решите неравенство 0 3 2 log 3 log 9 4 3 4 x x . 9 3. Решите неравенство 3 4 log 2 2 x x 1 1 1 4 2 log 2 2 1 x x x . 94. Решите неравенство 1 log log 3 2 1 x x . 95 . (ЕГЭ, 2010) Решите неравенство x x x x 2 log log 1) 8 (log 4 log 2 1 2 4 2 4 2 . 96 . (ЕГЭ, 2010) Решите неравенство 1 log) 2 (log 2 6 9 6 9 x x x x . 97 . Решите нерав енство 1 2 log) 2 (log 4 x x . 98 . Решите неравенство 0) 2 1 (log) 2 1 (log 5 3 2 3 x x x . 99 . Решите неравенство 1) 2 (log 16 3 tg x . 100 . Решите неравенство 0 2) 2 (log) 2 (log 3 2 5 , 0 2 2 2 x x x x . 101 . Решите неравенство 1) 7 6 (log 7 2 2 | 3 | x x x . 102 . Решите систему неравенств). 21 (log) 4 (log 1 , 1 4 2 3 3 1 2 4 x x x x 103 . Найдите область определения фун к ции 2 3 log log 5 , 0 5 x x y . 104 . Найдите область определения фун к ции) 3 (log 4 6 2 x x y . 105 . Найдите область определения фун к ции) 16 ln(3 17 3 , 8 2 2 2 x x x x y . 106 . Решите неравенство 1 2 1 log log 2 3 1 x x . 107 . Решите неравенство 6) (log log 2 2 2 4 x x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 42 108. Решите неравенство. log 2 log 2 1 5 log 2 2 2 x x x 109 . Решите неравенство. 2 log log 4 1 1 8 2 8 x x 110. Решите неравенство 4 16 2 2 2 1 log 4 2 log 4 log x x x . 111. Решите неравенство 0 2 7 49 5 log 5 log x x . 112 . Решите неравенство. 11 log 11 log) 2 3 5 lg() 1 2 3 lg(2 32 5 x x x x 113 . Решите неравенство 0) 5 (log) 3 (3 x x . 114. Решите неравенство. 1) 2 3 (log log 3 3 x x 1 15 . Решите неравенство. 0 1 log 4 2 2 1 2 x x 116 . Решите неравенство 0) 1)(5 , 0 () 5 , 1 (log 2 5 , 2 x x x x . 117 . Решите не равенство 0 6 lg 2 x x x . 118 . Решите неравенс т во 0 | 1 | log) 3)(5 , 0 (2 x x x . 119 . Решите неравенство 1 1 1 2 log 4 x x . 120 . Решите неравенство 0 2 4 log 2 8 2 x x x . 121. Найдите все значения x , для кот о рых точки графи ка функции x x y 4 45) 4 23 (log 2 7 , 0 лежат выше соответствующих точек гр а- фика функции 45 4 83 x y . 122 . Решите неравенство. 0 2 3 1 log) 1 2 (log) 2 (log 1 2 1 log 2 , 0 5 5 2 , 0 x x x x 123. Решите неравенство. 0) 3 2 (log) 2 3 (log 3 2 x x 124. Решите неравенство. 0) 7 (log 1 20 13 2 log 3 2 2 x x x 125 . Р ешите неравенство. 1 1 2 3 log 1 2 x x 126. Решите неравенство. 1 log 1 9 log 1 3 3 x x x 127. Решите неравенство. 0 2 log 2 5 log 2 2 2 3 3 2 x x x x 128 . Решите неравенство. 0 3 5 2) 11 4 (log) 11 4 (log 2 3 2 11 2 2 5 x x x x x x 129 . Решите неравенство 1 5 log 11 6 x . 130 . Решите неравенств о x x x x x 1 2 1 2 log 5 log . 131 . Решите неравенство 3 2 1 log) 2 6 3 (log 2 x x x x x . 132. Решите неравенство 2 4 4) 4 (log) 20 5 (log x x x x . 133 . Решите неравенство 7 14 6 log) 7 (log 2 3 x x x x x x). 1 (log x x 134. Решите неравенство 2 2 1 3 2 2 1 3 3 6 11 log 1 2 log x x x x x x x x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 43 135. Решит е неравенство. 2 log 2 log 1 5 6 1 5 6 2 2 x x x x 136 . Решите неравенство 2) 1 3 2 (log 2 1 x x x . 137 . Решите неравенство 2) 6 15 9 (log 2 2 x x x . 138 . Решите неравенство 2) 1 3 2 (log 2 1 x x x . 139. Решите неравенство. 2 2 7 4 log 2 2 x x x 140. Решите неравенство 1 1 9 log 2 x x x . 141. Решите неравенство. 1 log 2 3 2 x x 142. Решите неравенство 2 1 2 5 log 1 x x . 143 . Решите неравенство 1 3 1 log 1 3 1 3 x x x . 144. Решите неравенство. 0 3 log 6 7 2 2 x x x 145. Решите неравенство 2 1 | 2 | 5 4 log 2 x x x . 146. Решите неравенство 0) 10 6 (log) 2 (log log 2 1 2 2 2 1 2 x x x x x x . 147. Решите неравенство 7 log 7 log) 1 5 4 lg() 1 2 5 lg(5 5 3 2 2 3 y y y y . 148. Решите неравенство. 0 6 log log 6 x x x 1 49 . Решите неравенство) 8 (log 2) 5 , 9 (log 8 2 10 x x x x . 150 . Решите неравенство 1 log) 1 (log 5 3 2 2 x x x x x . 151 . Решите неравенство) 3 (log) 7 (log 2) 2 (3 2 2 1 x x x x x x x x 5 log 2 . 15 2 . Решите неравенство 2 2 2 9 log 1 2 3 1 2 x x x . 15 3 . Решите неравенство 0 1 1 2 2 1 7 2 log 1 5 2 2 2 y y y y . 154 . При каких р число 2 является реш е- нием неравенства 1 6 5 , 0 5 , 0 log 2 2 2 2 x p x p p x ? 155 . Реш ите неравенство. 1 9 3 log log 9 x x 156 . Решите неравенство. 0 4 log log 4 x x x 1 57 . Решите неравенство. 0) 3 (log) 2 (log 3 2 x x x x 1 58 . Решите неравенство. 0 1 | | | 4 | log 3 2 2 x x x x x 159 . Решите неравенство. 0 log 10 log) 10 3 (log) 3 10 (log 3 3 3 3 x x x x 16 0 . Решите неравенство. 2) 18 (log 16 1 16 36 log 2 2 2 2 2 x x x x x 16 1 . Решите неравенство x x x) 2 (log 1 1 2 6 2 . 16 2 . Решите неравенство) 2 (log 2 log 3 x x x x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 44 16 3 . Решите неравенство 0 2 2 1) 4 (log) 2 | 1 2 (| | | 3 1 1 2 x x x x x . 164 . (ЕГЭ, 2010) Решите неравенство) 7 (log) 12 (log) 7 (log | | log 2 3 3 2 2 1 1 x x x x x x . 165 . Решите неравенство 2 2 1 5 10 log) 4 | (| log 2 4 1 2 4 1 2 2 x x x x x . 16 6 . Решите неравенство 2 2) 5 (9 6 log 3 x x x x x 2 2) 5 (9 6 log 4 x x x . 1 67 . Решите неравенство. 2) 19 (log 16 1 18 19 log 2 2 1 2 1 x x x x x 1 68 . Решите неравенство). 2 1 (log 2 9 5 log 1 2 4 5 2 x x x x x x 169 . Решите неравенство. 3 1 15 19 6 log 2 7 25 30 9 log 5 3 1 log 2 3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x 170. Решите неравенство 10 2 log 5 log 5 2 log 2 2 log x x x x . 171. Решите неравенство 3 10 lg lg x x x x . 17 2 . Решите неравенство. 100 10 2 lg x x 173. Решите неравенство 1000 1 lg 3 lg 2 x x x . 174. Решите неравенство 000 000 1 10 10 2 lg 10 lg x x x . 17 5 . Решите неравенство 3 3 3 log 4) (log 3 2 3 x x x . 17 6 . Решите неравенство 2 2 log x x . 17 7 . Решите неравенство x x x 2 2 2 10 10 101 log x x x 2 2 2 5 2 5 2 101 log . 1 78 . Решите неравенство x x x lg 1 2 1 5 log lg 1 lg 1 2 1 . 1 79 . Решите неравенство) 4 4 (log 8 2 2 3 2 x x x x x) 4 4 (log 9 2 2 3 2 x x x . 18 0 . Решите неравенство 6 1 1 4 1) 2 (log 3 2) 2 (log x x x x . 18 1 . Решите неравенство 0 5 4 sin 3 2 2 ctg 2 x x x x . 18 2 . Решите неравенство 1 3 cos 3 sin 2 2 x x . 18 3 . Решите неравенство 6 3 arcsin x . 18 4 . Решите неравенство 0) 2 tg)(2 (1 2 2 x x x x . 185 . Решите не равенство 16 1 cos 2 x x . 18 6 . Решите неравенство 1 1 sin log) 24 10 (2 2 2 x x x . 187. Найдите количество целочисленных решений неравенства 0 2 3 2 x x , удовлетворяющих у с ловию 0 2 cos 2 x . 188 . Решите неравенство 1 2 2 2 5 x x 3 4 arctg cos 4 3 4 arctg sin 3 x x . Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 45 Ответы 1 .) 2 cos ; 3 (cos . 2 . 4 25 6 2 ; 5 . 3 .) ; 5 , 1 () 3 ; 1 (3 . 4 . ] 2 ; 1 [ . 5 .) ; 5 () 5 ; 3 [ . 6 .) 8 ; 7 (] 2 ; 1 (. 7 .) 1 ; 1 (3 4 ; 2 3 . 8 . 7 1 . 9 .) 1 ; (] 4 ; 2 (. 10 .) ; 1 [) 0 ; 5 , 1 [) 3 ; 4 [ . 11 .) 2 ; 4 () 7 ; (. 12 .) ; 5 , 0 [ . 13 .) ; 1 (1 . 14 .) 5 , 0 ; 0 (. 15 .) 14 ; 2 () 2 ; 2 (. 16 .) 1 ; 0 () 3 ; (. 17 .) ; 7 , 1 ; 3 [ . 18 . ] 2 ; 0 2 ; 4 [) ; 5 [ . 19 .) ; 5 2 ; 1 0 ; (. 20 .) 4 ; 0 () 2 ; (. 21) ; 2 (2 ; 4 5 . 22 . 2 , 1 3 2 x x . 23 . 3 1 x . 24 . , 3 2 x , 3 2 3 , 0 x , 1 x 2 x . 25 . ] 5 , 0 ; 1 () 1 ; 3 [ . 26 .) ; 7 [ 3 ] 2 ; (. 27 . 5 ] 1 ; (. 28 . 3 x . 29 . 2 ] 1 ; 4 [ . 30 . , 0 3 x 2 , 5 , 0 x x . 31 .) ; 9 () 7 ; 5 0 ; (. 32. ] 1 ; 0 [) 1 ; 2 [ . 33 . 1 ] 1 ; 5 [) 6 ; 7 [ . 34. 5 4 , 2 1 x x . 3 5. ]. 16 ; 4 (] 1 ; 0 [ 36. ] 3 ; 0 () 0 ; 2 [ . 37.) 1 ; 6 , 0 [ . 3 8 . 2 145 1 ; 4 5 ; 2 145 1 . 39 . 7 4 3 x . 4 0 . , 5 4 , 3 , 1 0 x x x . 6 5 x 41 . 3 1 x . 42 . 4 . 43 . 2 ; 3 5 . 44 .) ; 2 () 1 ; (. 4 5 .) ; 1 [ . 4 6 .) 9 ; 0 (. 4 7 . ] 1 ; 0 [ . 4 8 .) ; 2 5 ; (. 49 .) ; 1 (5 , 0 ; 0 . 50 . ] 5 , 2 ; 1 [ . 5 1 . 1 5 , 0 p . 5 2 .) ; 5 (. 5 3 . 0 x . 54 .) ; 5 (log) 1 ; 0 (2 . 55 . ] 1 ; (. 5 6 . 2. 5 7 .) 4 log ; 1 () 1 ; 3 (log 3 4 . 5 8 .) 3 ; 1 () 1 ; 4 [ . 5 9 . ; 8 log 0 3 x 5 , 2 x . 60 . ] 5 ; 2 () 7 ; (. 6 1 . ] 5 , 0 ; 0 (] 5 , 2 ; (. 6 2 . 3 1 log ; 0 3 2 . 63 .)); 3 20 ( 1 ; (3 . 64.). ; 6 [ 2 6 5 . 17 1 log 2 3 x . 6 6 . 3 x . 6 7 . 3 2 3 2 x ; 0 3 2 x ; 3 2 0 x ; 3 2 3 2 x . 68 . 0 x . 69 . } 2 { ] 7 ; (. 70 . ] 4 ; 1 () 1 ; 0 () 0 ; 4 [ . 7 1 . 4 ; 3 2 2 . 72 .) ; 5 [ . 73. 2 13 1 ; 2 . 7 4 . 2 x . 7 5 . 1 x , 1 x . 7 6 . 4 1 x . 7 7 . 1 5 , 0 x . 7 8 . 10 1 , 0 x . 7 9 . ] 0 ; 2 [ . 80 .) ; 7 (9 17 ; 2 . 8 1 . 3 ; 3 x x . 8 2 . 6 1 ; 4 1 64 21 ; 384 127 . 83 .) 2 ; 1 () 1 ; 0 (. 8 4 . , 3 2 2 1 x 2 1 1 x . 85 . ; 6 1 1 . 86. 2 x или 6 x . 87. 17 1 x . 88 . – 1 . 89 . ] 5 ; 2 (. 90 . 1 2 x . 91 . 3 2 x . 92. 16 27 0 x . 93. 0 1 x . 94. 5 , 1 lg 2 lg 5 , 0 lg 10 ; 0 или 3 log 5 , 1 2 1 ; 0 . 95 . 0 ; 8 1) 1 ; 4 () 4 ; 8 [ . 96 .) ; 6 () 6 ; 2 () 1 ; 0 () 0 ; 1 () 1 ; 2 (. 97 .) ; 2 [) 1 ; 0 (. 98 . ; 2 2 x 2 1 0 x . 99 . 16 3 tg 2 2 x . 100 . ] 5 1 ; 3 1 3 1 ; 5 1 [ . 101 . 3. 102 . ] 5 , 16 ; 4 (. 103 .) 3 ; 5 , 0 (. 104 .) ; 4 () 4 ; 3 (. 105 . ] 7 , 1 ; 3 () 3 ; 4 (. 106 . 9 17 ; 2 3 . 107 . 0 ; 8 1) 4 ; (. 108. . 2 2 2 , 5 , 0 0 4 x x Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 46 109 .) 8 ; 1 (1 ; 4 2 . 110. ; 4 1 0 x 4 1 x . 111. 5 log 7 log 2 2 7 5 1 x . 112 . 50 69 3 39 ; 4 1 . 113.) ; 3 4 ; 5 (. 114.) ; 0 (. 1 15 .) 1 ; 2 () 2 ; (). ; 2 () 2 ; 1 (116 .) 5 , 1 ; 5 , 2 () 5 , 1 ; 1 (5 , 0) 5 , 0 ; 5 , 1 (. 117.) ; 3 (] 1 ; 0 (. 118.) 3 ; 2 (5 , 0 ; 0 . 119.) ; 1 (. 120. 3 ] 1 ; 2 (. 121.) 25 , 11 ; 75 , 5 (. 122 .) 1 ; 5 , 0 (. 123. 3 1 ; 3 2 . 124. 5 , 2 ; 2 6 ; 7 5 , 4 ; 4 . 125 .). ; 1 [ ; 0 ; 3 2 log 2 126.) 3 ; 2 [ . 127. , 2 5 3 3 1 x 2 5 2 x . 128 . ; 15 2 2 ; 2 x x 6 x . 129 . 1 ; 3 5 . 130 .) ; 5 (1 ; 5 , 0 . 131 . 2 ; 3 1 1 ] 2 1 ; 0 (. 132.) ; 1 [) 3 ; 4 (. 133 . , 2 1 x 7 3 x . 134. . 3 ; 5 , 1 1 135. 3 1 0 x , 6 5 2 1 x . 136 . ] 5 ; 1 () 5 , 0 ; 0 () 0 ; 1 (. 137. 8 5 ; 3 1 . 138. ] 5 ; (. 139. ] 0 ; 5 , 0 () 4 ; 1 [ . 140. . 1 ; 5 44 2) 1 ; 8 [ 141.). 3 ; 0 () 0 ; 1 () 1 ; 5 , 1 (142.). ; 2 [), 1 ; 5 , 0 [ 143. 3 2 3 1 x . 144. . 3 , 5 , 2 2 , 5 , 1 1 x x x 145. . 5 2 ; 2 1 6 x x 146. . 3 1 1 2 x 147. 4 1 ; 0); 0 ; 3 [ ; 4 5 ; 1 . 148. (2; 5) . 1 49 .) 75 , 9 ; 5 , 9 () 5 , 9 ; 9 (. 150 .). ; 5 () 3 ; 1 () 0 ; 1 (151 . , 1 2 x 5 3 x . 15 2 .) 3 log 1 (3 2 ; 2 3) 1 ; 0 (2 . 15 3 . 1 0 ; 3 2 3 5 7 log 2 y y . 154 . ] 5 , 1 ; 1 () 7 ; (. 155 . ; 10 log 3 . 156 . 2 1 17 ; 1 . 1 57 .) 2 ; 1 (] 1 ; 2 (. 1 58 . 5 1 5 ; 3 5 1 x x . 159 .) ; 1 () 1 , 0 ; 0 (. 16 0 . 2. 16 1 . 0 2 1 x . Указание. Рассмотреть граф и ки функций 1 2 6 x x y и) 2 (log 1 2 x y . 1 6 2 . 2 ; 2 1 0 3 x x . 16 3 . 1 4 x . 164 . ] 4 ; 1 (), 1 ; 0 (), 0 ; 3 [), 6 ; 7 (. 165 . 20 5 5 2 1 x ; 0 20 5 5 x ; 20 45 5 0 x ; 2 1 10 44 3 x . 16 6 . , 4 3 , 2 , 1 0 x x x . 5 4 x 1 67 . 3. 1 68 . , 0 4 , 2 2 2 5 x x 5 , 0 0 x . 169 . . 4 7 170. . 2 ; 1 0 x x Указание. Рассмо т реть два случая 1 0 x и 1 x . Во втором случае прим е- нить неравенство К о ши. 171. . 10 , 10 0 5 lg 5 lg x x 17 2 .). 1000 ; 1 (173. 1000 x . 174. 4 lg 4 lg 10 10 x . 17 5 . 3 2 3 2 3 ; 3 0 x x . 17 6 . ; 4 1 0 x 4 x . 17 7 . 2 101 lg 0 , 2 x x . 1 78 . 5 , 0 1 , 0 x . 1 79 . 8 ; 3 x x . 18 0 . ; 2 5 1 0 ; 2 5 1 1 x x 2 13 1 x . 18 1 . 3 4 ; 3 2 ; 0 5 ; 1 . 18 2 . Z k k , 3 . 18 3 .) 6 ; 3 [ . 184 . 2 ; 2 2 ; 0 . 185 . 0. 186 . 5. 187. 2. 188 . 0,5. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. 21 .01.2011 . www.alexlarin.narod.ru 47 С писок и источники литературы 1. Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Кра с- нянская К.А., Рязановский А.Р., С е менов П.В. Единый государственный э к замен 2008. Математика. Учебно - тренировоч - ные материалы для подг о товки учащихся / ФИПИ – М.: Инте л лект - Центр, 2007. 2. До рофеев Г.В. Обобщение метода интервалов // Математика в школе, 1969, №3. 3 . Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные мат е- риалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Инте л лект - Центр, 2010. 4 . ЕГЭ 2010. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р., З а- харов П.И., Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Ше с таков С.А., Ященко И.В. – М.: МЦНМО, 2009. 5 . ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А.Л. Семен о ва, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экз а- мен» , 2010. 6. Задачи письменного экзамена по м а- тематике за курс средней школы. У с ловия и решения. Вып. 1 - 6, 8, 12, 14, 18, 25. – М.: Школьная Пресса, – (Библиот е ка журнала «Математика в школе»), 1993 - 2003. 7. Математика. Алгебра. Начала мат е- матического анализ а. Профильный ур о- вень: задачник для 10 - 11 классов / М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. – М.: БИНОМ. Лаборат о- рия знаний. 2009. – 477 с. 8. Математика. Алгебра. Начала мат е- матического анализа. Профильный ур о- вень: учебник для 11 класса / М.И. Шаб у- нин, А.А. Прокофьев. – 2 - е изд., испр. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория зн а ний. 2011. – 391 с. 9 . Панферов В.С., Сергеев И.Н. ЕГЭ 2010 . Математика. Задача С3 / под ред. А.Л. Се менова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. 10 . Панферов В.С., Сергеев И.Н. О т- личник ЕГЭ. Математика. Решение сло ж- ных задач; ФИПИ – М.: И н теллект - Центр, 2010. 11 . Потапов М.К., Шевкин А.В., Вук о- лова Т.М. О решении неравенств вида)) (()) ((x f x f // Математика в шк о ле, 2005, №5 . 1 2 . Самое полное издание типовых в а- рианто в реальных заданий ЕГЭ 2010: М а- тематика /авт. - сост. И.Р. Высо ц кий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ: Ас т- рель, 2009. – (Федеральный институт пед а- гогических измер е ний). 1 3 . Ященко И.В., Шестаков С.А., Зах а- ров П.И. Подготовка к ЕГЭ по матем а тике в 2010 году. Методические указ а ния. – М.: МЦНМО, 2009. 1 4 . Уравнения и неравенства. Неста н- дартные методы решения. 10 - 11 кла с сы: Учебно - метод. пособие / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. – М.: Др о- фа, 2001. 1 5 . www . mathege . ru - Математика ЕГЭ 2010 , 2011 (открытый банк зад а ний) 1 6 . www . alexlarin . narod . ru – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подгото в ке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изуч е нии различных разделов высшей матем а тики. 1 7 . http:/// eek . diary . ru / – сайт по оказ а- нию помощи абитуриентам, студе н там, учителям по м атематике.
Математика. ЕГЭ-2014. Решение неравенств с одной переменной. (Задания С3). Корянов А.Г., Прокофьев А.А.
Корянов А.Г. - Брянск; Прокофьев А.А. - Москва; 2013г. - 93 с.
Пособие по решению заданий типа С3.
Решение неравенств с одной переменной.
Формат: pdf / zip
Размер: 1,5 Мб
/ Download
файл
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 2
Основные понятия 4
1. Сравнение числовых выражений 5
1.1. Методы сравнения числовых выражений 6
1.2. Сравнение действительных чисел 8
1.3. Сравнение выражений, содержащих дроби 8
1.4. Сравнение выражений, содержащих степени 9
1.5. Сравнение выражений, содержащих корни натуральной степени 9
1.6. Сравнение выражений, содержащих логарифмы 10
1.7. Сравнение выражений разного вида 12
2. Область определения выражения (функции) 13
3. Алгебраические методы решения 14
3.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем 14
3.2. Метод замены 23
3.3. Разбиение области определения неравенства на подмножества 28
4. Функционально-графические методы решения 30
4.1. Использование области определения функции 30
4.2. Использование непрерывности функции 31
4.3. Использование ограниченности функций 35
4.4. Использование монотонности функций 39
4.5. Графический метод 53
5. Геометрические методы решения 55
5.1. Расстояние между точками на координатной прямой 55
5.2. Расстояние между точками на координатной плоскости 56
5.3. Векторная интерпретация неравенства 57
6. Решение неравенств разными способами 58
7. Системы неравенств 61
Упражнения 75
Ответы 88
Список и источники литературы 92